Geometry: Mensuration, Trigonometry

Question: If the difference between the circumference and diameter of a circle is 90 cm, then the diameter of the circle is-

Solution:
Let,
Radius of the circle = r
Diameter of the circle = 2r
Circumference of the circle = 2πr

According to the question,
2πr - 2r = 90
⇒ 2r(π - 1) = 90
⇒ r(π - 1) = 45
⇒ r = 45/(π - 1)
⇒ r = 45/(22/7 - 1) ; [π = 22/7]
⇒ r = 45/{(22 - 7)/7}
⇒ r = 45/(15/7)
⇒ r = 45 × (7/15)
∴ r = 21 cm

∴ Diameter of the circle = 2r = 2 × 21 = 42 cm

So the diameter of the circle is 42 cm.

Question: ∠P and ∠Q are complementary to each other. If ∠P = 3x + 9° and ∠Q = 2x - 4°, find the value of ∠Q.

Solution:
Here,
∠P = 3x + 9° and ∠Q = 2x - 4°

For complementary angles,
∠P + ∠Q = 90°
⇒ (3x + 9°) + (2x - 4°) = 90°
⇒ 3x + 9° + 2x - 4° = 90°
⇒ 5x + 5° = 90°
⇒ 5x = 85°
∴ x = 17°

So, ∠Q = 2x - 4°
= (2 × 17) - 4°
= 30°

Question: If tanA = 3/4, then sec A =

Solution:
দেওয়া আছে,
tanA = 3/4
∴ অতিভুজ = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = 5

আমরা জানি,
secA = অতিভুজ/ভূমি
= 5/4

Question: The ratio between the perimeter and the breadth of a rectangle is 5 : 1. If the area of the rectangle is 216 sq. cm, what is the length of the rectangle?

Solution: 
et the breadth of the rectangle be B cm.
Perimeter of a rectangle = 2(Length + Breadth) = 2(L + B)
Given the Ratio of perimeter to breadth = 5 : 1
Now,
2(L + B)/B = 5/1
⇒ 2L + 2B = 5B
⇒ 3B = 2L
∴ B = (2/3)L

Area of the rectangle = L . B = 216 sq. cm.
⇒ L . (2/3)l = 216
⇒ L² = (216 × 3)/2
⇒ L² = 324 = 18²
∴ l = 18 cm

So the length of the rectangle is 18 cm.

Let, the carpet's length = x
Given, x² = 169 cm²
∴ carpet's length = √169 = 13 cm
Width of the room = (13 - 2) cm = 11 cm
So, area of the rectangular room = (13 × 11) = 143 cm²

Question: A square garden is surrounded by a path of uniform width 2 meters. If the area of the path is 48 square meters, find the side length of the garden.

Solution:
Let the side of the garden = x meters.
Then, the side of the garden including the path = x + (2 × 2)
= x + 4 meters.

Area of path = Area of garden with path - Area of garden
⇒ 48 = (x + 4)² - x²
​⇒ 48 = x² + 8x + 16 - x²
​⇒ 8x + 16 = 48
⇒ 8x = 48 - 16
⇒ x = 32/8
∴ x = 4 meters

∴ Therefore, side length of the garden is 4 meters.

Question: If A = 30°, then what is the value of (1 - tan²A)/(1 + tan²A)?

Solution:
Here, A = 30°

Now,
(1 - tan²A)/(1 + tan²A)
= {1 - (tan30°)²}/{1 + (tan30°)²}
= {1 - (1/√3)²}/{1 + (1/√3)²}
= (1 - 1/3)/(1 + 1/3)
= (2/3)/(4/3)
= 1/2

Question: An observer who is 1.6 meters tall is standing 25 meters away from a tower. If the angle of elevation from his eye to the top of the tower is 45°, what is the height of the tower?

Solution:


পর্যবেক্ষকের উচ্চতা, CD = 1.6 মিটার
এখানে, CD = EB
টাওয়ারের উচ্চতা = AB
এখন,
tan∠C = AE/CE
⇒ tan45° = AE/25
⇒ 1 = AE/25
∴ AE = 25

∴ AB = AE + BE
= 25 + 1.6 
= 26.6
∴ টাওয়ারটির উচ্চতা 26.6 মিটার।

Question: Find the area of a triangle with side lengths of 5 meters, 6 meters, and 7 meters.

Solution:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 5 মি., b = 6 মি. এবং c = 7 মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা, s = (a + b + c)/2
= (5 + 6 + 7)/2
= 18/2
= 9 মি.

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{9(9 - 5)(9 - 6)(9 - 7)}
= √(9 × 4 × 3 × 2)
= √(36 × 6)
= 6√6 বর্গ মি.

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 6√6 বর্গ মি.

ধরি,
AB হচ্ছে দেয়াল এবং BC হচ্ছে মই।
এখানে ∠ACB = 60° এবং AC = 4.6 মিটার
তাহলে, AC/BC = cos 60° = 1/2 [ যেহেতু, cosΘ = ভূমি/অতিভুজ]
⇒ BC = 2 × AC
∴ BC = 2 × 4.6
= 9.2m

Question: cos45° . sin0° . tan45° . cosec60°

Solution:
Here,  
cos45° . sin0° . tan45° . cosec60°
= (1/√2) × 0 × 1 × (2/√3)
= 0

Question: A rectangular field has a perimeter of 110 meters. The length of the field is 5 meters less than three times its width. Find the area of the field in square meters.

Solution:
ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রটির প্রস্থ = x মিটার
সুতরাং, ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = 3x - 5 মিটার

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
প্রশ্নমতে,
2((3x - 5) + x) = 110
⇒ 2(4x - 5) = 110
⇒ 4x - 5 = 55
⇒ 4x = 60
⇒ x = 15 মিটার

সুতরাং,
প্রস্থ = 15 মিটার।
দৈর্ঘ্য = 3x - 5
= (3 × 15) - 5 
= 45 - 5
= 40 মিটার।

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
∴ ক্ষেত্রফল = 40 × 15 
= 600 বর্গ মিটার।

সুতরাং, ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল হলো 600 বর্গ মিটার।

প্রশ্ন: Find the ratio of total surface area to lateral surface area of a cylinder whose radius is 20 cm and height 80 cm.

সমাধান:

দেয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ (r) = 20 সেমি এবং উচ্চতা (h) = 80 সেমি।

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
সিলিন্ডারের পার্শ্ব পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh

সুতরাং, সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল : পার্শ্ব পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল
= 2πr(r + h) : 2πrh
= (r + h) : h
= (20 + 80) : 80
= 100 : 80
= 5 : 4

সুতরাং, নির্ণেয় অনুপাত হল 5 : 4

Question: What is the distance between the points A (- 1, 3) and B (5, - 5)?

Solution:

Question: sin2A = √3/2, then find the value of A = ?

Solution:
Given that,
sin 2A = √3/2

We know,
sin 60° = √3/2
⇒ sin2A = sin60°
⇒ 2A = 60°
⇒ A = 60°⁄2
∴ A = 30°

Question: The radius of a wheel is 14 cm. How many revolutions will it make in travelling 66 kilometers?

Solution:
আমরা জানি,
চাকার পরিধি = 2πr
= 2 × (22/7) × 14
= 88 সে. মি.

∴ মোট দূরত্ব = 66 কি. মি.
= 66 × 1000 × 100
= 6600000 সে. মি.

∴ ঘূর্ণন সংখ্যা = 6600000 / 88
= 75000 টি

Question: (sin⁴θ - cos⁴θ +1) cosec²θ = ?

Solution:
Given that,
(sin⁴θ - cos⁴θ + 1) cosec²θ
= [(sin²θ - cos²θ) (sin²θ + cos²θ) + 1] cosec²θ
= (sin²θ - cos²θ + 1) cosec²θ     ; [sin²A + cos²A = 1]
= [sin²θ - (1 - sin²θ) + 1] cosec²θ
= [2sin²θ - 1 + 1] cosec²θ
= 2sin²θ cosec²θ
= 2sin²θ (1/sin²θ)
= 2

Total volume of the body :
= Volume of the cylinder + Volume of the cone + Volume of the hemisphere
= πr².r + (1/3)πr².r + (2/3)πr³
= 2πr³
= 2π × (2)³
= 16π.

Question: A solid metal sphere of radius 9 cm is melted and recast into solid cones of radius 9 cm and height 4 cm. How many cones can be made?

Solution:
দেওয়া আছে, 
গোলকের ব্যাসার্ধ, R = 9 cm
∴ গোলকের আয়তন, V_গোলক = 4/3πR³
= 4/3π(9)³
= 4/3π(729)
= 972π ঘন সেমি।

আবার,
দেওয়া আছে,
কোণকের ব্যাসার্ধ, r = 9 cm এবং উচ্চতা, h = 4 cm
∴ কোণকের আয়তন, V_কোণক = 1/3πr²h
= 1/3π(9)²(4)
= 1/3π(81)(4)
= 108π ঘন সেমি।

∴ কোণকের সংখ্যা = (V_গোলক)/(V_কোণক)
= 972π/108π
= 9

সুতরাং, মোট 9টি কোণ তৈরি করা যাবে।

Question: If sin(θ - 30°) = 1/2, then what is the value of cosθ?

Solution:
দেয়া আছে,
sin(θ - 30°) = 1/2
⇒ θ - 30° = 30°
⇒ θ = 60°

এখন,
cosθ
= cos60°
= 1/2

Question: Five identical cubes, each with a side of 5 cm, are placed next to each other. What is the volume of the resulting solid?

Solution:
The new formed is a cuboid of length = 5 × 5 = 25 cm
breadth = 5 cm and height = 5 cm

∴ Volume = (25 × 5 × 5) cm3
= 625 cm3

Question: A cube has a total surface area of 1,350 square meters. What is the volume of the cube?

Solution:
ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার।

আমরা জানি, ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 6a²
প্রশ্নমতে,
6a² = 1350
⇒ a² = 1350/6
⇒ a² = 225
⇒ a = √225
∴ a = 15 মিটার

এখন, ঘনকের আয়তন = a³
= 15³
= 3375 ঘন মিটার

অতএব, ঘনকটির আয়তন = 3375 ঘন মিটার

Question:  The perimeter of a rhombus is 56 m and its height is 5 m. Its area is- 

Solution: 
one side of rhombus is 56/4 = 14 m

area = 14 × 5 
= 70 m²

Let,
Length of smaller field = x
And, Width of smaller field = y
So, Length of larger field = 2x
and, Width of larger filed = 4y
Area of smaller field = xy = K
Area of larger field = 2x × 4y = 8xy = 8K

∴ Difference of the Larger and Smaller field = 8K – K = 7K

Question: The measurement of a rectangle is 8 feet by 6 feet. What is the area of the smallest circle that can cover this rectangle entirely (so that no part of the rectangle is outside the circle)?

Solution:  

For a rectangle of length 8 feet and width 6 feet
∴ Diagonal = √(8² + 6²)
= √(64 + 36) 
= √100
= 10



Here, the diagonal is the diameter of the smallest covering circle.
∴ Radius = 10/2
= 5 feet

 ∴ Area of the circle = πr²
= π × (5)²
= 25π sq. feet

Question: If tan3A = √3, then A = ?
​
​Solution:
tan3A = √3
⇒ tan3A = tan60°
⇒ 3A = 60°
⇒ A = 60°/3
∴ A = 20°

Length of the tower AB = h meter.
∠DAC = ∠ACB = 60°
BC = 70 metre

In ABC,
tan 60° = AB/BC
⇒ √3 = h/70
⇒ h = 70√3 meter.

Question: If sin 45° = √2A, then A =?

Solution: 
sin 45° = √2A
1/√2 =√2A
A = 1/(√2)²
A = 1/2

অর্ধ পরিসীমা, s = (3+5+6) / 2 = 7
ক্ষেত্রফল = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
= √{7(7-3)(7-5)(7-6)}
= √(7×4×2×1)
= √56
= √(4 x 14)
= 2√14

দেওয়া আছে, সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 5 ইঞ্চি এবং আয়তন 150π ঘন ইঞ্চি। 
আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h
প্রশ্নমতে, πr²h = 150π
      ⇒ π5²h = 150π [যেহেতু, r = 5 ইঞ্চি]
      ⇒ 25πh = 150π
               ∴ h = 6 in

The area of the garden, excluding the walkway, is = {(100 - 2×2) × (60 - 2×2)}
= 96×56
= 5376 m²

Question: A circus artist is climbing a 30 m long rope, which is tightly stretched and tied from the top of a vertical pole to the ground. Find the height of the pole, if the angle made by the rope with the ground level is 30°.

Solution:

By observing the figure, AB is the pole.

In triangle ABC,
⇒ AB/AC = sin30°
⇒ AB/30 = 1/2
⇒ AB = 15

Therefore, the height of the pole is 15 m.

Area of the park = (60 x 40) m² = 2400 m².
Area of the lawn = 2109 m².
Area of the crossroads = (2400 - 2109) m² = 291 m^2.
Let the width of the road be x metres. Then,
60x + 40x - x² = 291
x² - 100x + 291 = 0
(x - 97)(x - 3) = 0
x = 3.

Area of the carpet :
= [(5 - 0.20) × (8 - 0.20)] m² 
= (4.8 × 7.8) m² 
= 37.44 m² 
∴ Cost of carpeting :
= Tk. (37.44 × 18)
= Tk. 673.92

Question: A person 1.8 meters tall sees the top of a tree in a small mirror placed on the ground. The mirror is 1 meter away from the person's feet and 150 meters away from the base of the tree. What is the height of the tree?

Solution:

ধরি, মানুষের উচ্চতা, AB = 1.8 m
মানুষ এবং আয়নার দূরত্ব, BC = 1 m
গাছের উচ্চতা, ED = h
গাছ এবং আয়নার দূরত্ব, CD = 150 m

আলোর প্রতিফলনের সূত্র অনুসারে, ∠ACB = ∠ECD (আপতন কোণ = প্রতিফলন কোণ)।
∴ ΔABC এবং ΔEDC সদৃশ।

সদৃশ ত্রিভুজের ধর্ম অনুসারে:
AB/ED = BC/CD
⇒ 1.8/h = 1/150
⇒ h × 1 = 1.8 × 150
⇒ h = 270 m

অতএব, গাছটির উচ্চতা = 270 meters।

Question: A square and a circle have the same perimeter. The side of the length of square is 44 cm, what is the area of the circle?

Solution:
Perimeter of the square = 4 × side length
= 4 × 44 cm
= 176 cm

As per the question, the square and circle have the same perimeter.
∴ Circumference of the circle = 176 cm
We know that, Circumference of the circle = 2πr
∴ 2πr = 176
⇒ r = 176/(2π)
⇒ r = 88/π
⇒ r = 88/(22/7)
⇒ r = 88 × 7/22
⇒ r = 4 × 7
⇒ r = 28 cm

Area of the circle = πr²
= (22/7) × 28²
= (22/7) × (28 × 28)
= 22 × 4 × 28
= 2464 sq. cm

∴ The area of the circle is 2464 sq. cm.

Question: A right triangle has sides 6 cm, 8 cm, and 10 cm. What is its area?

Solution: 
Given that,
A right triangle with sides are 6 cm, 8 cm, and 10 cm.

We know,
Area = (1/2) ​× base × height
= (1/2) ​× 6 × 8
= 24 cm²

So the area of the right triangle is 24cm².

Question: A solid metal sphere of radius 10 cm is melted and recast into solid cones of radius 5 cm and height 12 cm. How many cones can be made?

Solution: 
The volume of a sphere = (4/3)πr³
= (4/3)π(10)³
= (4000π/3) cm³

The volume of a cone = (1/3)πr²h
= (1/3)π(5)²(12)
= 100π cm³

Number of cones = (4000π/3)/100π
= 40/3
= 13. 33
= 13 (approx)

Question: State the equation of the vertical line that goes through the point (-3, 5).

Solution:

একটি উল্লম্ব রেখা (vertical line) হলো এমন একটি সরলরেখা যা Y-অক্ষের সমান্তরাল। এই ধরনের রেখার একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য হলো, রেখার উপর অবস্থিত প্রতিটি বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক (x-coordinate) একই থাকে, কিন্তু y-স্থানাঙ্ক (y-coordinate) পরিবর্তিত হতে পারে।

উল্লম্ব রেখার সাধারণ সমীকরণ হলো: x = a, যেখানে a একটি ধ্রুবক সংখ্যা এবং রেখার প্রতিটি বিন্দুর x এর মান একই থাকে।

প্রশ্নে বলা হয়েছে রেখাটি (- 3, 5) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়।
 যেহেতু এই বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক হলো - 3,
সুতরাং রেখাটির সমীকরণ হবে: x = - 3

Given that,
The area of the field = 680 sq. feet
⇒ lb = 680 sq. feet
Length(l) = 20 feet
⇒ 20 × b = 680
⇒ b = 680/20
= 34 feet

∴ Required length of the fencing = l + 2b
= 20 + (2 × 34)
= 88 feet

• Insist on/upon/ Insist on doing something:
- To keep doing something, even if it annoys other people, or people think it is not good for you.
- বাংলায়, কোনো কিছুতে জোর দেয়া বা পীড়াপীড়ি করা।

- Insist on/upon এর সাথে verb এর -ing form বসে।

• Example sentence:
- He insisted on my going there.
- She insists on doing everything her own way.
- He insisted on seeing her.

• Complete Sentence: Despite the objections from the team, he insisted on implementing the new strategy.

Source: Advanced Learner's Communicative English Grammar & Composition By Chowdhury & Hossain.

ধরি, B এর দৈর্ঘ্য x একক এবং প্রস্থ y একক
∴ A এর দৈর্ঘ (1/2)x একক এবং (1/2)y একক
B এর ক্ষেত্রফল xy বর্গএকক
A এর ক্ষেত্রফল (1/2 x × 1/2 y) বর্গএকক
= xy/4 বর্গএকক
∴ A:B = xy/4:xy
= 1:4
∴ A/B = 1/4

ধরি, আয়তাকার ঘরের প্রস্থ x মিটার এবং দৈর্ঘ্য ১.৫x মিটার বা ৩x/২ মিটার
প্রশ্নমতে,
x × ৩x/২ = ২১৬
⇒ ৩x² = ৪৩২
⇒ x² = ১৪৪
∴ x = ১২
অর্থাৎ প্রস্থ x = ১২ মিটার এবং দৈর্ঘ্য ৩x/২ = ৩×১২/২ = ১৮ মিটার
∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(১২+১৮) = ৬০ মিটার