Geometry: Mensuration, Trigonometry

Question: In a right triangle, the length of one of the legs is 9 and the length of the hypotenuse is 15. What is the length of the other leg?

Solution:
এখানে, সমকোণী ত্রিভুজের (right triangle) অতিভুজ (hypotenuse) = 15 একক
সমকোণ সংলগ্ন এক বাহু = 9 একক
সমকোণ সংলগ্ন অপর বাহু = a একক

প্রশ্নমতে,
a² + 9² = 15²
⇒ a² + 81 = 225
⇒ a² = 225 - 81
⇒ a² = 144
⇒ a = √144
⇒ a = 12

∴ সমকোণ সংলগ্ন অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = 12 একক

​Question: The height of a cylinder is five times the radius of the cylinder. If the volume of the cylinder is 135π cm³, what is the height of the cylinder?

Solution:
Let
The radius of the cylinder is r cm
The height of the cylinder is 5r cm.

We know,
The volume of a cylinder = πr²h cubic units.

ATQ,
πr² × 5r = 135π
⇒ 5r³ = 135
⇒ r³ = 135/5
⇒ r³ = 27
⇒ r³= 3³

∴ r = 3

So the height ot the cylinder = 5 × 3 = 15 cm

Question: A square and a circle have the same perimeter. The length of the side of the square is 44 cm. What is the area of the circle?

Solution:
বর্গের পরিসীমা = 4 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= 4 × 44 সেমি
= 176 সেমি

প্রশ্নমতে, বর্গ এবং বৃত্তের পরিসীমা সমান।
সুতরাং, বৃত্তের পরিধি = 176 সেমি

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
⇒ 2πr = 176
⇒ 2 × (22/7) × r = 176
⇒ (44/7) × r = 176
⇒ r = 176 × (7/44)
∴ r = 28 সেমি

এখন, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= (22/7) × (28)²
= (22/7) × 784
= 22 × 112
= 2464 বর্গ সেমি

Question: A square park is surrounded by a path of uniform width 3 meters. If the area of the path is 75 square meters, find the side length of the park.

Solution:
Let the side of the park = x meters.
Then, the side of the park including the path = x + (2 × 3)
= x + 6 meters.

Area of the path = Area of park with path - Area of park
⇒ 75 = (x + 6)² - x²
⇒ 75 = x² + 12x + 36 - x²
⇒ 75 = 12x + 36
⇒ 12x = 75 - 36 = 39
⇒ x = 39/12 = 3.25 meters

Therefore, the side length of the park is 3.25 meters.

Question: What is the value of tan240°

Solution: 
tan240°
= tan(180° + 60°)
= tan(180° + θ)
= tanθ
= tan60°
= √3


Note:
240° lies in the 3rd quadrant.
In the 3rd quadrant, tan θ is positive (because both sin θ and cos θ are negative).

Question: If cosecθ - cotθ = 1/x, then (cosecθ + cotθ) = ?

Solution: 
Given that, 
cosecθ - cotθ = 1/x

We know,
cosec² θ – cot²θ = 1
⇒ (cosecθ + cotθ) (cosecθ - cotθ) = 1
⇒ (cosecθ + cotθ) × (1/x) = 1
⇒ cosecθ + cotθ = x

∴ cosecθ + cotθ = x

Question: The slope of the line 3x - 6y = 12 is not the same as the slope of which one of the following lines?

Solution:
প্রথমে, প্রদত্ত রেখাটির ঢাল নির্ণয় করতে হবে।
রেখাটির সমীকরণকে y = mx + c আকারে রূপান্তর করতে হবে।
এখানে 'm' হলো ঢাল (Slope)।

প্রদত্ত রেখার সমীকরণ: 3x - 6y=12
⇒ - 6y = - 3x + 12
⇒ y = (- 3/- 6)x + (12/ - 6)
⇒ y = (1/2)x - 2
∴ এই রেখাটির ঢাল (m) হলো 1/2.

এবার, প্রদত্ত অপশনগুলোর প্রত্যেকটির ঢাল নির্ণয় করি:

ক) x - 2y = 4
⇒  - 2y = - x + 4
⇒ y = (- x/- 2) + (4/- 2)
⇒ y = (1/2)x - 2
∴ ঢাল, m = 1/2

খ) 2x - 4y = 16
⇒ - 4y = - 2x + 16
⇒ y = (- 2x/- 4) + (16/- 4)
⇒ y = (1/2)x - 4
∴ ঢাল, m = 1/2

গ) y = 2x - 1
∴ ঢাল, m = 2

ঘ) y = x/2 - 3
⇒ y = (1/2)x - 3
∴ ঢাল, m = 1/2

সুতরাং, দেখা যাচ্ছে যে শুধু মাত্র অপশন (গ) এর রেখার ঢাল মূল রেখার ঢাল থেকে ভিন্ন।

Question: Which trigonometric ratio is undefined in value?

Solution:
cos90° = 0
sec0° = 1
sin0° = 0
tan90° = ∞(Undefined)

Supplementary angle to 30 is 180 - 30 = 150°
It's one third is = 150 × 1/3 = 50°

Question: The radius of the wheel of a vehicle is 70 cm. The wheel makes 10 revolutions in 4 seconds. The speed of the vehicle is :

Solution:
Distance covered in 4 sec :
= {2 × (22/7) × 70 × 10} cm
= 4400 cm
= 44 m

Distance covered in 1 sec :
= (44/4) m
= 11 m

∴ speed = 11 m/sec.
= {11 × (18/5) } km/hr
= 39.6 km/hr

Question: A ladder leans against a vertical wall, making an angle of 30° with the ground. if the foot of the ladder is 15√3 meters away from the wall, what is the height on the wall reached by the ladder?

Solution:

ধরি, মইটি দেয়ালে যে উচ্চতায় পৌঁছায় = h মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব, BC = 15√3  
ভূমির সাথে যে কোণ তৈরি করে, ∠ACB = 30°

আমরা জানি,
tanθ = লম্ব/ভূমি
∴ tan 30° = AB/BC
⇒ 1/√3 = h/15√3
⇒ h√3 = 15√3
⇒ h = 15√3/√3
∴ h = 15 m

অতএব, মইটি দেয়ালের 15 m উচ্চতায় পৌঁছায়।

Length of the wire fencing
= perimeter
= 2(90+50)
= 280
Two poles are kept 5 metres apart.
Note that the poles are placed along the perimeter of the rectangular plot, not in a single straight line.
Hence, the number of poles required
= 280/5
= 56.

Question: Find the value of 1 + {tan²θ/(1 + secθ)}.

Solution:
1 + {tan²θ / (1 + secθ)}
= 1 + {(sec²θ − 1)/(1 + secθ)}
= (1 + secθ + sec²θ − 1)/(1 + secθ)
= (secθ + sec²θ)/(1 + secθ)
= secθ

Question: If sec²θ + tan²θ = 5/3, then what is the value of tan2θ?

Solution:
We know,
sec²θ = 1 + tan²θ

Given that,
⇒ sec²θ + tan²θ = 5/3
⇒ 1 + tan²θ + tan²θ = 5/3
⇒ 2tan²θ = 2/3
⇒ tanθ = 1/√3
⇒ θ = 30°

∴ tan(2θ) = tan(2 × 30°) = tan60° = √3

Question: A triangular garden has sides measuring 36 meters, 40 meters, and 32 meters. A fence is to be constructed around the garden, with pillars placed at intervals of 4 meters. How many pillars will be required to completely surround the garden?

Solution:
Perimeter of the triangle = 36 + 40 + 32 = 108 meters
Distance between pillars = 4 meters

Number of pillars required = Perimeter ÷ Distance
= 108 ÷ 4 
= 27
= 27 pillars

∴ 27 pillars are needed to surround the triangular garden.

Question: Given that the diagonal of a square measures 10√6 units, find the area of the square in units.

Solution:
দেয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 10√6 একক

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × বাহু

প্রশ্নমতে,
√2 × বাহু = 10√6
⇒ বাহু = 10√6/√2
⇒ বাহু = 10√3 একক

এখন, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল  =  বাহু2
= (10√3)2
= 300 বর্গ একক

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 300 বর্গ একক 

Question: One diagonal of a rhombus is four times the other diagonal. If its area is 56 sq. cm, find the sum of the diagonals.

Solution:
let, one diagonal is x cm, other is 4x

ATQ,
(1/2) × x × 4x = 56
⇒ 2x2 = 56
⇒ x2 = 28
⇒ x = √28 = 2√7
x = 2√7

sum of diagonals = x + 4x
= 5x
= 5 × 2√7
= 10√7 cm

Area of rectangle without road = 16 × 12 = 192
Area of rectangle with road = (16 + 2 × 3) × (12 + 2 × 3) = 396
Area of road = 396 - 192 = 204.

The height of an equilateral triangle is also its median
hence, base gets divided into 2 equal parts

So,
Base = 1cm
Hypotenuse = 2cm
And, Height = p = ?

Now, h² = b² + p²
Or, 2² = 1² + p²
Or, 4 = 1 + p²
Or, p² = 4 - 1
Or, p² = 3
Or, p = 3^1/2

Hence, the height of the ∆ is 3^1/2 = √3 cm

Question: Write an equation of the line with slope 3 and x-intercept (- 2, 0).

Solution:
Given:
Slope, m = 3
x-intercept = (- 2, 0)

We know the point-slope form of a line:
y - y₁ = m(x - x₁)

Substitute the values (x₁, y₁) = (- 2, 0) and m = 3:
y - 0 = 3(x - (- 2))
⇒ y = 3(x + 2)
⇒ y = 3x + 6

So, the equation of the line is y = 3x + 6.

Question: A cylinder has a radius of 7 cm and a height of 10 cm. What is its volume?

Solution: 
Radius, r = 7 cm 
Height, h = 10 cm

We know, 
Volume = πr²h
= (22/7) × (7)² × 10
= 1540 cm³

Sum of present dimension 48+30+52 = 130.
New dimension = 156.
Increase in dimension = 26.
Ratio of dimensions = 48:30:52 ⇒ 24:15:26.
Therefore, increase in the shortest side = 15×(26)/(24+15+26) = 6.

Question: How many points are both 4 units from the origin and also 2 units from the line y = 4?

Solution:
১ম শর্ত:
মূলবিন্দু (0, 0) থেকে 4 ইউনিট দূরত্বে থাকা বিন্দুগুলো একটি বৃত্ত তৈরি করে, যার সমীকরণ x² + y² = 4²। এই বৃত্তটি y-অক্ষে সর্বোচ্চ (0, 4) এবং সর্বনিম্ন (0, -4) বিন্দু পর্যন্ত বিস্তৃত।

২য় শর্ত:
y = 4 রেখা থেকে ২ ইউনিট দূরত্বে থাকা বিন্দুগুলো দুটি সমান্তরাল রেখা তৈরি করে।

একটি রেখা হবে: y = 4 + 2 = 6
অন্য রেখাটি হবে: y = 4 - 2 = 2

এখন ছেদবিন্দু পরীক্ষা:
১. y = 6 রেখাটি বৃত্তের সীমানার (y = 4) বাইরে অবস্থিত, তাই এটি বৃত্তকে কোথাও ছেদ করবে না।
২. y = 2 রেখাটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের (৪) ভেতরে অবস্থিত। আমরা জানি, একটি সরলরেখা বৃত্তের ভেতর দিয়ে গেলে তা বৃত্তকে ঠিক ২ টি বিন্দুতে ছেদ করে।

অতএব, উভয় শর্ত পূরণকারী বিন্দুর সংখ্যা মোট ২ টি।

Consider the diagram shown above where PR represents the ladder and RQ represents the wall.
cos⁡60∘=PQ/PR
1/2=12.4/PR
PR=2×12.4=24.8m

Question: What is the maximum value of cosθ?

Solution:
cosθ এর সর্বনিম্ন মান - 1 এবং সর্বোচ্চ মান 1
sinθ এর সর্বনিম্ন মান - 1 এবং সর্বোচ্চ মান 1

Question: A circle and a rectangle have the same perimeter. The sides of the rectangle are 20 cm and 46 cm. What is the area of the circle?
​
​Solution:
​আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = 2 × (20 + 46) সেমি 
​= 132 সেমি।

যেহেতু বৃত্তের পরিধি ও আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা সমান, তাই বৃত্তের পরিধিও 132 সেমি।

​বৃত্তের পরিধি, C = 2πr
⇒ 2πr = 132
⇒ r = 132/(2 × 22/7) 
​∴ r = 21 সেমি।

​বৃত্তের ক্ষেত্রফল, A = πr²
= (22/7) × (21)² 
​= 1386 বর্গ সেমি।

সুতরাং, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল হলো 1386 বর্গ সেমি।

Volume of cylinder = πr²h 
As height = radius
So, πr²h = πr²×r = πr³
Volume of sphere = 4/3 πr³
As the radius is Halfen, Here r = r/2
So, volume of sphere = (4/3)π × (r/2)³ = (πr³)/6
∴ Number of balls = πr³/(πr³/6) = 6

Question: An observer 1.6 m tall stands 20 meters away from a tree. The angle of elevation from his eye to the top of the tree is 45°. What is the height of the tree?

Solution:

মনে করি, 
গাছটির উচ্চতা AB। পর্যবেক্ষকের চোখ C বিন্দুতে আছে এবং তার উচ্চতা CD = 1.6 m
পর্যবেক্ষক থেকে গাছটির দূরত্ব BD = 20 m
এখানে, A, C এবং E বিন্দু দ্বারা গঠিত ACE হলো একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার ∠C = 45°।

আমরা জানি,
tan θ = লম্ব/ভূমি
এখানে, লম্ব = AE এবং ভূমি = CE
∴ tan 45° = AE/20
∴ 1 = AE/20
∴ AE = 20 মিটার

গাছটির মোট উচ্চতা, AB = AE + EB
= 20 + 1.6
= 21.6 মিটার

সুতরাং, গাছটির উচ্চতা হলো 21.6 মিটার।

Question: If A = 45° , then what is the value of (1 - tan²A)/(1 + tan²A)?

Solution:
Here, A = 45°

Now,
(1 - tan²A)/(1 + tan²A)
= {1 - (tan45°)²}/{1 + (tan45°)²}
= (1 - 1²)/(1 + 1²)
= 0/2
= 0

Length of the wire fencing = perimeter
= 2(90 + 50)
= 2 × 140
= 280. m
Two poles are kept 5 meters apart. Note that the poles are placed along the perimeter of the rectangular plot, not in a single straight line.
Hence, the number of poles required
= 280/5
= 56.

Let BD be the lighthouse and A and C be the two points on the ground.
Then, BD, the height of the lighthouse = 60 m
∠BAD = 45°,∠BCD = 60°
tan45° = BD/BA
1 = 60/BA
BA = 60 m .......(i)
tan60° = BD/BC
√3= 60/BC
BC = 60/√3
= 60 × √3)/(√3 × √3)
= 20√3
= 20 × 1.73
= 34.6 m .......(ii)
Distance between the two points A and C
= AC = BA + BC
= 60 + 34.6 [∵ Substituted value of BA and BC from (1) and (2)]
= 94.6 m

Question: If tan (5x - 10°) = cot (5y + 20°), then the value of (x + y) is

Solution:
tan (90° - θ) = cotθ
∴ tan (5x - 10°) = cot (5y + 20°)
⇒ tan (5x - 10°) = tan {90° - (5y + 20°)}
⇒ 5x - 10° = 90° - (5y + 20°)
⇒ 5x - 10° = 90° - 5y - 20°
⇒ 5x + 5y = 70° + 10°
⇒ 5 (x + y) = 80°
∴ x + y = 16°

Question: If a pole 12 m high casts a shadow 4√3 m long on the ground, then the elevation of the sun is -

Solution:

 
ধরি,
AB = 12, BC = 4√3

ABC সমকোণী ত্রিভুজ হতে পাই,
tanθ = AB/BC
⇒ tanθ = 12/4√3
⇒ tanθ = 3/√3
⇒ tanθ = (√3 × √3)/√3
⇒ tanθ = √3
⇒ tanθ = tan60°
∴ θ = 60°

So the elevation of the sun is 60°.

Question: What is the length of a chord that is 6 cm away from the center of a circle with a radius of 10 cm?

Solution:
Given that,
Radius of the circle, r = 10 cm
Distance from the center of the circle to the chord, d = 6 cm

Then, the length of the chord = 2 × √(radius² - distance from center²)
= 2 × √(10² - 6²) cm
= 2 × √(100 - 36)
= 2 × √64
= 2 × 8
= 16 cm

So the length of the chord is 16 cm.

Question: Three sides of a triangle measure 6 cm, 10 cm and p cm. The minimum integral value of p is:

Solution:
আমরা জানি,
- ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর সমষ্টি তার তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
- ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর অন্তর বা ব্যবধান তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
অপশন 
ক) 1 + 6 = 7 < 10
খ) 2 + 6 = 8 < 10
গ) 3 + 6 = 9 < 10
ঘ) 5 + 6 = 11 > 10

Question: A rectangular garden has an area of 800 square feet. It will be fenced on three sides, leaving one side of 40 feet uncovered. How many feet of fencing is required?

Solution:
দেওয়া আছে, আয়তকার বাগানের ক্ষেত্রফল = 800 square feet
এবং যে বাহুটি খোলা থাকবে তার দৈর্ঘ্য = 40 feet

ধরি, আয়তকার ক্ষেত্রের অন্য বাহুর দৈর্ঘ্য = x feet
প্রশ্নমতে,
40 × x = 800
⇒ x = 800/40
⇒ x = 20 feet

যেহেতু বাগানটির তিন দিকে বেড়া দেওয়া হবে এবং 40 feet দৈর্ঘ্যের একটি বাহু খোলা থাকবে,
∴ প্রয়োজনীয় বেড়ার দৈর্ঘ্য = x + x + 40
= 20 + 20 + 40
= 80

∴ বাগানটি ঘেরাও করতে মোট 80 feet বেড়া লাগবে।

Question: For a rhombus with diagonals 8 m and 16 m, determine the diagonal of a square that covers the same area as the rhombus.

Solution:
area of rhombus = (1/2) × 8 × 16
= 64 m²

area of square = 64 m²
side of square = √64 m
= 8 m

∴ diagonal of the square = 8√2 m

Question: In the figure given below, what is ∠BCD equal to?

Solution:
বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ পরস্পর সমান।
BC চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC ও ∠BDC
∠BAC = ∠BDC = 30°

আবার
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180°
ΔBCD এ
⇒ ∠CBD + ∠BDC + ∠BCD = 180°
⇒ 30° + 70° + ∠BCD = 180°
∴ ∠BCD = 180° - 100° = 80°

Let 'a' be the side of the 1st triangle.
Area = [√3/4] x a² and perimeter = 3a.
Perimeter of 1st triangle 3a = 24m and a = 8m
Area₁ = [√3/4] x a²
[√3/4] x 8²
= 1.732 x 16 m²
Perimeter of 2nd triangle 3A = 36m and A = 12m.
Area₂ = [√3/4] x 12²
= 1.732 x 36 m²
Required difference = 1.732 x 36 m² - 1.732 x 16 m²
= 1.732(36 - 16)
= 1.732 x 20 m²
= 34.64 m².

Question: A solid cube of edge 6 is first painted red and then cut into smaller cubes of edge 2. How many of the smaller cubes have paint on exactly 2 edges?

Solution: 
Number of small cubes along each edge, n = Edge of the larger cube/Edge of the smaller cube
= 6/2
= 3

Cubes with exactly 2 painted faces lie on the edges, but not at the corners of the cube. 
Each edge contains (n − 2) such cubes. A cube has 12 edges

∴ Required number of smaller cubes = 12 × (n - 2)
= 12 × (3 - 2)
= 12

Question: If the area of a right triangle is 6 square meters and the hypotenuse is 5 meters, what is the perimeter of the triangle? 

Solution: 
যেহেতু ত্রিভুজটির অতিভুজ = 5 মিটার
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।

ধরি, ত্রিভুজের দুই বাহু যথাক্রমে x ও y
∴ x² + y² = 5² = 25

আবার, ক্ষেত্রফল, (1/2)xy = 6
⇒ xy = 12

আমরা জানি, (x + y)² = x² + y² + 2xy
= 25 + (2 × 12)
= 25 + 24 
= 49
x + y = 7

পরিসীমা = (x + y + 5)
= 7 + 5
= 12 মিটার