Geometry: Mensuration, Trigonometry

Question: The perimeter of a rectangle is 36 cm. If its length is 10 cm, what is its breadth in cm?

Solution: 
Given that, 
Perimeter = 36 cm
Length = 10 cm
Let the breadth = b cm

Then we know,
Perimeter = 2 × (length + breadth)
⇒ 2 × (10 + b) = 36
⇒ 10 + b = 36/2 = 18
⇒ 10 + b = 18
⇒ b = 18 - 10
∴ b = 8

So the breadth is 8 cm.

Question: What is the largest possible value of cos θ?

Solution:
cosθ এর সর্বনিম্ন মান - 1 এবং সর্বোচ্চ মান 1
sinθ এর সর্বনিম্ন মান - 1 এবং সর্বোচ্চ মান 1

প্রশ্ন: The value of cos1° cos2° cos3° ............... cos88° cos89° cos90° is?

সমাধান:
 cos1° cos2° cos3° ............... cos88° cos89° cos90°
= cos90°
= 0 [0 will make whole series 0]
= 0

Question: How many revolutions per minute does a 140 cm diameter scooter wheel need to maintain a speed of 132 km/h?

Solution:
Distance travelled by wheel in one revolution = circumference of wheel
= (22/7) × 140 = 440 cm.

And
Speed of scooter = 132 km/hr = (132 × 1000 × 100)/60 cm/min = 220000 cm/min.

∴ Revolutions per minute = Distance covered per minute/Distance per revolution
= 220000/440 = 500

So the answer is indeed 500 revolutions per minute.

Question: If the points A(1, 5), B(k, 1), and C(4, 11) are collinear, then find the value of k.

Solution:
আমরা জানি,
তিনটি বিন্দু A(1, 5), B(k, 1) এবং C(4, 11) সরলরেখায় অবস্থিত হলে, তাদের ঢাল (slope) সমান হবে।

আমরা জানি, 
ঢাল = (y₂​ - y₁​​)/(x₂ - x₁)
 
এখন, 
A এবং B-এর মধ্যে ঢাল, m_AB = (1 - 5)/(k - 1)
= - 4/(k - 1)

B এবং C-এর মধ্যে ঢাল, m_BC = (11 - 1)/(4 - k)
= 10/(4 - k)

শর্তমতে,
m_AB = m_BC
⇒ - 4/(k - 1) = 10/(4 - k)
⇒ 10(k - 1) = - 4(4 - k)
⇒ 10k - 10 = - 16 + 4k
⇒ 10k - 4k = - 16 + 10
⇒ 6k = - 6
∴ k = - 1

Question: A ladder 20 meters long leans against a vertical wall. If the ladder makes an angle of 60 degrees with the ground, what is the distance of the foot of the ladder from the wall?

Solution:

মইয়ের দৈর্ঘ্য, AC = 20 m
ধরি, দেয়াল থেকে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব, BC = x
মই ভূমির সাথে যে কোণ তৈরি করে, ∠ACB = 60°

আমরা জানি, cosθ = ভূমি/অতিভুজ
∴ cos 60° = BC/ AC
⇒ 1/2 = x/20
⇒ 2x = 20
∴ x = 10 m

অতএব, দেয়াল থেকে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব = 10 m।

Question: A bicycle wheel has a diameter of 70 cm and is making 200 revolutions per minute. What is the speed of the bicycle in km/h?

Solution: 
Given that,
Diameter of wheel, D = 70 cm
Radius, r = 70/2 = 35 cm
And revolutions per minute (rpm) = 200

We know, 
Circumference C = 2πr = 2 × (22/7) × 35
= 44 × 5 = 220 cm

∴ Distance per minute = 220 × 200 = 44000 cm/min
= (44000 × 60)/100000 km/h ; [1 km = 100000 cm and 1 hour = 60 min] 
= (44 × 6)/10  km/h
= 26.4  km/h

Question: A chord of length 18 cm is drawn in a circle of radius 12 cm. The distance of the chord from the center of the circle is -

Solution:
Given,
r = 12 cm
and c = 18 cm.
Half of the chord length = 18/2 = 9 cm

∴ Distance = √(12² - 9²)
= √(144 - 81) 
= √63 cm

The chord's distance from the circle's center is √63 cm.

Question: If the total surface area of a cube is 150 cm², then what is the volume of the cube?

Solution:
ধরি,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি

আমরা জানি, একটি ঘনকের মোট ৬টি সমান বর্গাকার তল থাকে।
সুতরাং, সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a²

প্রশ্নমতে,
6a² = 150
⇒ a² = 150/6
⇒ a² = 25
⇒ a = √25 = 5 সেমি

আবার,
ঘনকের আয়তন = a³
∴ আয়তন = 5³ = 125 ঘন সেমি

সুতরাং, ঘনকটির আয়তন = 125 ঘন সেমি

Question: In a trapezoid, the lengths of the two parallel bases are 12 and 20. If the height of the trapezoid is 5, find the area of the trapezoid.

Solution:
Given,
Trapezoid with bases a = 12 and b = 20
Height, h = 5

We know,
Area of trapezoid = (1/2) × (sum of bases) × height
= (1/2) × (a + b) × h
= (1/2) × (12 + 20) × 5
= (1/2) × 32 × 5
= 16 × 5
= 80

So, the area of the trapezoid is 80 square units.

Question: Determine the value of the 3^rd term of the sequence: sin⁡(nπ/6)

Solution:
The sequence is defined as sin(nπ/6), where n = 1, 2, 3, 4, ...
We need the 3^rd term, so substitute n = 3
3^rd term = sin(3π/6)
= sin(π/2)
= 1

So the 3^rd term of the sequence is 1.

Question: A cylinder with a diameter of 16 cm and height of 2 cm is melted to make 12 spheres. What is the radius of each sphere?

Solution:
Given that, 
Diameter of cylinder = 16 cm,
so radius = 16/2 = 8 cm

Let the radius of each sphere is r cm.

We know,
Volume of a sphere = (4/3)πr³
Volume of a cylinder = πR²h

According to the question, 
Volume of 12 spheres = Volume of the cylinder
⇒ 12 × (4/3) × π × r³ = π × (8)² × 2
⇒ 12 × (4/3) × π × r³ = π × 64 × 2
⇒ 12 × (4/3) × π × r³ = 128π
⇒ 16r³ = 128
⇒ r³ = 128/16
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2

Therefore, the radius of each sphere is 2 cm.

We know, Area of rhombus = 1/2 × x × y [Here, x and y are two diagonals of the rhombus]
Or, x = (96 × 2) / 16 = 12 cm

Question: The surface area of a sphere is 324π cm². What is its radius? 

Solution: 
Let, r is the square of the sphere. 

A.T.Q,
4πr² = 324π
r² = 81
∴ r = 9

The radius of the sphere is 9 cm.

Let BA be the ladder and AC be the wall as shown above.
Then the distance of the foot of the ladder from the wall = BC

Given that BA = 10 m , BAC = 60°
sin 60° = BC/BA
√3/2 = BC/10
BC = 10√3/2
= 5√3.
= 5 × 1.71
= 8.65 m.

Question: A rectangular prism has dimensions 10 inches by 12 inches by 15 inches. A cylinder with a radius of inches 5 and a height of 14 inches is placed inside the prism. To the nearest cubic inch, what is the volume of the space in the prism not taken up by the cylinder?

Solution:
Given that,
Rectangular prism are 10 in × 12 in × 15 in
And
Cylinder inside prism radius, r = 5 in and height, h = 14 in

Now, 
Volume of the prism = length × width × height
= 10 × 12 × 15 = 1800 cubic inch

And, Volume of the cylinder = πr²h
= (22/7) × 5² × 14
= 22 × 25 × 2
= 1100 cubic inch

So the volume of the empty space = Volume of the prism - Volume of the cylinder
= 1800 - 1100 = 700 cubic inch

Question:

Solution:

Question: If the diameter of a circle is 6π, then what is the ratio between radius and the circumference of the circle?

Solution:
Here,
The diameter of the circle is d = 6π
So the radius of the circle r = 3π

∴ Circumference of circle = 2. π. 3π
= 6π²

So the ratio between radius and Circumference of circle = 3π : 6π²
= 3π/6π²
= 1 : 2π

Question: Which is the area of this triangle? 

Solution:
দেওয়া আছে, 
ত্রিভুজের বাহুগুলো হলো 5x, 5x, 8x
সুতরাং, এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

এখন, ভূমি = 8x = 8x/2 = 4x  ; [ভূমি 8x-এর ওপর উচ্চতা আঁকলে, এটি ভূমিকে সমান দুইভাগে ভাগ করে।]
সুতরাং, প্রতিটি অংশ = 4x

এখন, 
আমরা জানি, 
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
(অতিভুজ)² = (উচ্চতা)² + (ভূমি)²
⇒ (উচ্চতা)² = (অতিভুজ)² - (ভূমি)²
 = (5x)² - (4x)² = 25x² - 16x²
= 9x²
⇒ (উচ্চতা)² = 9x²
⇒ উচ্চতা = √9x² = 3x
∴ উচ্চতা = 3x

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) ​× ভূমি × উচ্চতা 
= (1/2) ​× 8x × 3x
= 12x² 

সুতরাং, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12x² 

Question: The area of a square park is 1600 sq. meters. If fencing costs Tk. 5 per meter, what is the total cost to fence the park?

Solution:
Given that,
Area of square park = 1600 m²
∴ Side length of the square = √1600 = 40 meters

Perimeter of the square = 4 × side = 4 × 40 = 160 meters
And cost of fencing = Tk. 5 per meter

∴ Total cost = perimeter × cost per meter
= 160 × 5
= Tk. 800

So the total cost to fence the park is Tk. 800.

Question: If tan(3x - 15°) = cot(3y + 15°), then (x + y) is:

Solution:
tan(3x - 15°) = cot(3y + 15°)
⇒ tan (3x - 15°) = tan {90° - (3y + 15°)}
⇒ 3x - 15° = 75° - 3y
⇒ 3x + 3y = 75° + 15°
⇒ 3(x + y) = 90°
⇒ x + y = 30°

∴ x + y = 30°

Question: Determine the value of the 4^th term of the sequence: sin⁡(nπ/6)

Solution:
Here,  
The 4^th term of sin(nπ/6) = {sin(4 × π)/6}  
= {sin(4 × 180°)/6}  
= sin 120°  
= sin(90° + 30°)  
= cos 30°  
= √3/2 

Question: Find the midpoint of the line segment joining the points P₁ = (- 2, 5) and P₂ = (8, - 1).

Solution:

Question: If sinA = 5/13 then, cosA = ?

Solution:
আমরা জানি,
sin²A + cos²A = 1
⇒ (5/13)² + cos²A = 1 [এখানে, sinA = 5/13]
⇒ 25/169 + cos²A = 1
⇒ cos²A = 1 - 25/169
⇒ cos²A = (169 - 25)/169
⇒ cos²A = 144/169
⇒ cosA = √(144/169)
∴ cosA = 12/13

Question: What is the radius of a circle if the length of its largest chord is 30 cm?

Solution:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 30 সে.মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা হলো বৃত্তের ব্যাস।
এবং, বৃত্তের ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ

∴ ব্যাসার্ধ = ব্যাস/2
= 30/2 সে.মি.
= 15 সে.মি.

অতএব, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 15 সে.মি.

Question: What is the volume of a cylinder with diameter 8 unit and height 14 unit?

Solution:
Given,
Height = 14 unit
Diameter = 8 unit
∴ radius = 8 ÷ 2
= 4 unit

We know,
The volume of a cylinder = πr²h
= (22/7) × 4² × 14
= 22 × 16 × 2
= 704

Question: A metal sphere weighing 120 kilograms is melted and recast into 6000 identical nails. Calculate the weight of each nail in grams.

Solution:
দেওয়া আছে,
ধাতুর বলের ওজন = 120 = 120 × 1000 = 120000 গ্রাম
পেরেকের সংখ্যা = 6000 টি

এখন,
6000 পেরেকের ওজন = 120000 গ্রাম
∴ 1 টি পেরেকের ওজন = (120000/6000) = 20 গ্রাম

Question: In a circle of radius 10 cm. a chord is drawn at a distance of 6 cm from the center. What is the length of the chord in cm?

Solution:

দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ (r) = 10 সেমি।
কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব (d) = 6 সেমি।
আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-টিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। এর ফলে কেন্দ্র, লম্ব দূরত্ব এবং জ্যা-এর অর্ধেক অংশ মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
OB² = OC² + BC²
⇒ 10² = 6² + BC²
⇒ 100 = 36 + BC²
⇒ BC² = 100 - 36
⇒ BC² = 64
⇒ BC = √64
⇒ BC = 8 cm

যেহেতু কেন্দ্র থেকে অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই জ্যা AB-এর মোট দৈর্ঘ্য = 2 × BC

∴ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 2 × 8 = 16 cm

Question: Find the value of cos(5π/6).

Solution:
cos(5π/6)
= cos(π - π/6) [∵ (π - θ) দ্বিতীয় চতুর্ভাগে পড়ে এবং দ্বিতীয় চতুর্ভাগে cos ঋণাত্মক, তাই cos(π - θ) = -cos θ]
= - cos(π/6)
= - cos(30°)
= - √3/2

Question: If the difference between the circumference and diameter of a circle is 120 cm, then the radius of the circle is:

Solution:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 120
⇒ 2r(π - 1) = 120
⇒ r = 120/{2(π - 1)}
⇒ r = 60/{(22/7) - 1}
⇒ r = 60/{(22 - 7)/7}
⇒ r = 60/(15/7)
⇒ r = 60 × (7/15)
⇒ r = 4 × 7
⇒ r = 28

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 28 সে.মি.

Question: A cylindrical tank with a radius of 7 m and height of 2 m is filled with water. If the water is poured into a rectangular tank with a base measuring 7 m × 7 m, what will be the height of water in the rectangular tank?

Solution: 
Volume of the cylinder = π(7)²2
= π × 49 × 2
= 98π m³

Volume of the rectangle = 7 × 7 × h (Assuming, height of the rectangle is 'h')
= 49h m³ 

So, 49h = 98π
⇒ h = (98/49)π
∴ h = 2π m 

Question: The slope of the line 3x + y = 5 is not the same as the slope of which one of the following lines?

Solution: 
প্রথমে, প্রদত্ত রেখাটির ঢাল নির্ণয় করতে হবে। রেখাটির সমীকরণকে y =mx + c তে রূপান্তর করতে হবে। এখানে 'm' হলো ঢাল (Slope)।

 3x + y = 5 
⇒ y = - 3x + 5

∴ এই রেখাটির ঢাল (m) হলো - 3

এবার, প্রদত্ত বিকল্পগুলোর প্রত্যেকটির ঢাল নির্ণয় করি:
ক) 3x + y = 2
⇒ y = - 3x + 2
∴ ঢাল -3

খ) x + (y/3) = 4
⇒ y/3 = - x + 4
⇒ y = - 3x + 12
∴ ঢাল - 3.

গ) y = - 3x + 1
∴ ঢাল - 3.

ঘ) x + 3y = 6
⇒ 3y = - x + 6
⇒ y = - 1/3x + 2
∴ ঢাল - 1/3.

∴ অপশন (ঘ) এর রেখার ঢাল মূল রেখার ঢাল থেকে ভিন্ন।

Question: A cube has a base with a perimeter of 24 cm. What is its volume?

Solution:
দেওয়া আছে,
ঘনকের ভূমির পরিসীমা = 24 cm
আমরা জানি,
ঘনকের ভূমি একটি বর্গক্ষেত্র।

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × বাহুর দৈর্ঘ্য

ধরি, ঘনকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a

প্রশ্নমতে,
4a = 24
⇒ a = 24/4
⇒ a = 6 cm

এখন,
ঘনকের আয়তন, V = a³ ঘন একক
= (6)³
= 216 cm³

সুতরাং, ঘনকটির আয়তন হল 216 cm³।

Question: ΔABC is a right-angled isosceles triangle, and ∠B is the right angle in the triangle. If AC measures 10√2, then which one of the following would equal the lengths of AB and BC, respectively?

Solution:
যেহেতু ABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং ∠B হলো সমকোণ, তাই সমকোণের সাথে সংযুক্ত বাহু দুটি অর্থাৎ AB এবং BC এর দৈর্ঘ্য সমান হবে।

 পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
AB² + BC² = AC²
⇒ BC² + BC² = (10√2)² [এখানে, AB = BC এবং AC = 10√2]
⇒ 2BC² = 10² × 2
⇒ BC² = 10² 
⇒ BC = 10

সুতরাং, AB এবং BC এর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 এবং 10।

Question: If 2cos²θ + 5sinθ = 4 where 0° < θ < 90°, what is the value of cotθ ?

Solution:
দেওয়া আছে,
2cos²θ + 5sinθ = 4
⇒ 2(1 - sin²θ) + 5sinθ = 4 [cos²θ = 1 - sin²θ]
⇒ 2 - 2sin²θ + 5sinθ - 4 = 0
⇒ - 2sin²θ + 5sinθ - 2 = 0
⇒ 2sin²θ - 5sinθ + 2 = 0
⇒ 2sin²θ - 4sinθ - sinθ + 2 = 0
⇒ 2sinθ(sinθ - 2) -1(sinθ - 2) = 0
⇒ (sinθ - 2)(2sinθ - 1) = 0

যেহেতু sinθ এর সর্বোচ্চ মান 1, তাই sinθ = 2 অসম্ভব।
∴ 2sinθ - 1=0
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
∴ θ = 30°

অতএব, cotθ = cot30° = √3

Question: The base of a right-angled triangle is 6 m and the hypotenuse is 10 m. What is its area?

Solution:
Given,
Base = 6 m, Hypotenuse = 10 m

By Pythagoras' Theorem
Height² = Hypotenuse² - Base²
⇒ Height²= 10² - 6²
⇒ Height²= 100 - 36
⇒ Height² = 64
∴ Height = 8

We know,
Area = (1/2) × base × height
= (1/2) × 6 × 8
= 24 sq. meters

Question: What is the distance between the points (- 1, - 4) and (4, 8)?

Solution:
আমরা জানি, দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র হলো:
d = √{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}

দেওয়া আছে,
প্রথম বিন্দু A = (x₁, y₁) = (- 1, - 4)
দ্বিতীয় বিন্দু B = (x₂, y₂) = (4, 8)

∴ d = √[{4 - (-1)}² + {8 - (- 4)}²]
⇒ d = √[(4 + 1)² + (8 + 4)²]
⇒ d = √[5² + 12²]
⇒ d = √[25 + 144]
⇒ d = √169
⇒ d = 13

∴ দূরত্ব হলো 13 একক।

Question: The value of sin30° + cos60° = ?

Solution:
We know,
sin30° = 1/2
cos60° = 1/2

So,
sin30° + cos60° = 1/2 + 1/2
= 1

∴ The value of sin30° + cos60° is 1.

Question: Find an equation of the horizontal line containing the point (3, 2).

[২০২২ সাল ভিত্তিক সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান পদের নাম: অফিসার (জেনারেল)]
Solution:
প্রদত্ত বিন্দু (3, 2)
এখানে
x = 3, y = 2
অনুভূমিক রেখা সবসময় y-এর মান একই
বিন্দু (3, 2)-এর মধ্যে দিয়ে যে অনুভূমিক রেখাটি যাবে, সেটির প্রতিটি বিন্দুর y-এর মান হবে 2

নির্ণেয় সমীকরণ হবে: y = 2

Question: In the given figure ABCD is a Parallelogram then the find out of the value of x is?

Solution:
Given that,
ABCD is a parallelogram.
than, 
∠C = (2x + 30)°
∠A = (5x - 105)°
Angle A and Angle C, Opposite angles in a parallelogram are equal.
∠A = ∠C
 ⇒ 5x - 105° = 2x + 30°
 ⇒ 5x - 2x = 30° + 105°
 ⇒ 3x = 135°
∴ x = 45° 

Question: Find the maximum distance between two points on the perimeter of a rectangular garden whose length and breadth are 15 m and 8 m.

Solution:
Given that,
Length of rectangle, L = 15 m
Breadth of rectangle, B = 8 m 

Now, the maximum distance between two points on a rectangle is the diagonal of the rectangle.

∴ Diagonal = √(L² + B²)
=  √(15² + 8²)
= √(225 + 64)
= √289
= 17 m

So the maximum distance between two points on the perimeter is 17 m.

Given, cosθ + sinθ = 1
Or, (cosθ + sin)² = 1² 
Or, cos²θ + sin²θ + 2cosθsinθ = 1
Or, 2cosθsinθ = 0 [As, cos²θ + sin²θ = 1]
Or, cosθsinθ = 0

Question: In a trapezoid, the lengths of the two parallel bases are 10 and 16. If the height of the trapezoid is 4, find the area of the trapezoid.

Solution: 
Given that, 
Trapezoid with bases a = 10 and b = 16
Height, h = 4 

We know, 
Area of trapezoid = (1/2) × (sum of bases) × height = (1/2) × (a + b) × h
= (1/2) × (10 + 16) × 4
= (1/2) × 104
= 52

So the area of the trapezoid is 52 square units.

In Parallelogram
Let,
b and care sides
b = base
h = height
area = base × height
= b × h
Therefore,
p² - 4 = (p + 4)(p - 3)
p² - 4 = p² + p - 12
p = 8
Hence, actual area
= (p² - 4) = 8² - 4
= 64 - 4
= 60 square units.