জ্যামিতি

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে কয়টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?

সমাধান:

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে ৪টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যাবে।
AB, CD, EF, GH চারটি স্পর্শক। 

প্রশ্ন: ত্রিভুজের যে কোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
বড় কোণ = x
∴ অপর দুই কোণের সমষ্টি = x

শর্তমতে,
x + x = 180°
বা, 2x = 180°
বা, x = 180°/2
∴ x = 90°
অর্থাৎ, ত্রিভুজটি সমকোণী।

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের বাহুর পরিমাণ ৪০% বৃদ্ধি পায়, তবে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান: 
ধরি, 
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক মিটার 
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ক^২ বর্গমিটার 

আবার, 
৪০% বৃদ্ধিতে বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক + (ক এর ৪০%) মিটার 
= ক + (২ক/৫)
= ৭ক/৫ মিটার 

আবার, 
৪০% বৃদ্ধিতে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৭ক/৫)^২ বর্গমিটার
= ৪৯ক^২/২৫ বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধি = (৪৯ক^২/২৫) - ক^২ = (৪৯ক^২ - ২৫ক^২)/২৫ 
= ২৪ক^২/২৫ 

∴ শতকরা বৃদ্ধি = (২৪ক^২/২৫)/(ক^২) × ১০০% 
= ২৪ × ৪ = ৯৬%

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = ৯৬%।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য 60 ফুট ও প্রস্থ 45 ফুট। বাগানের ভিতরে চতুর্দিকে 3 ফুট চওড়া একটি রাস্তা আছে।রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = 60 ফুট
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = 45 ফুট

∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = 60 × 45
= 2700 বর্গফুট

রাস্তা বাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = 60 - (3 × 2)
= 60 - 6
= 54 ফুট

রাস্তা বাদে বাগানের প্রস্থ = 45 - (3 × 2)
= 45 - 6
= 39 ফুট

∴ রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (54 × 39) বর্গফুট
= 2106 বর্গফুট

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (2700 - 2106) বর্গফুট
= 594 বর্গফুট

প্রশ্ন: রম্বসের ১টি কর্ণের দৈর্ঘ্য ৮ মি. এবং অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য প্রথমটির ৩/২ গুণ হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের ১টি কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৮ মি
অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = (৮ এর ৩/২) = ১২ মিটার

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ১২ বর্গ মি.
= ৪৮ বর্গ মি.

∴ ক্ষেত্রফল = ৪৮ বর্গ মি.।

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 54 বর্গমিটার। ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 54 বর্গমিটার।
ধরি, ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার।
আমরা জানি, ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 6a²

প্রশ্নমতে,
6a² = 54
⇒ a² = 54 / 6
⇒ a² = 9
⇒ a = 3 মিটার

আবার আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3
যেহেতু a = 3 মিটার,
∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 3√3 মিটার

প্রশ্ন: 3 সেন্টিমিটার ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের মধ্যে একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কিত আছে। বর্গক্ষেত্রের বাইরে কিন্তু বৃত্তের ভেতরে যে অংশটি অবস্থিত, সেই আবৃত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?

সমাধান:

প্রথমত,
ধরি, প্রদত্ত বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 3 সে.মি
∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = πr²
= π × 3² বর্গ সে.মি
= 9π বর্গ সে.মি

আবার
ABCD এ AC = 6 সে.মি.

আমরা জানি
AC² = AB² + BC²
⇒ AB² + AB² = AC²
⇒ 2AB² = 6²
⇒ 2AB² = 36
∴ AB² = 18

বর্গক্ষেত্রের বহিঃস্থ এবং বৃত্তটি দ্বারা আবৃদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল = 9π - 18 বর্গ সে.মি

​প্রশ্ন: 3 সে.মি. ধার বিশিষ্ট একটি ঘনকের দুইটি কর্ণের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের ধার, a = 3 সে.মি. 

আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণ,
= a√3
= 3√3 সে.মি. 

∴ দুইটি কর্ণের সমষ্টি = (3√3 + 3√3) সে.মি. = 6√3 সে.মি. 

ABCD চতুর্ভূজটি একটি আয়তক্ষেত্র ফলে AC² = AD² + CD²
= AD² + AB²
= AB² + AD²

প্রশ্ন: এক বর্গক্ষেত্রের এক বাহু অপর একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান হলে, বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি, প্রথম বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = ক
এর কর্ণ = ক√২

শর্তানুসারে,
দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ক
অতএব, দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = ক/৪
এর কর্ণ = √২(ক/৪)

সুতরাং, কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = ক√২ : √২(ক/৪)
= ১ : ১/৪
= ৪ : ১

∴ বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত = ৪ : ১

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি ২য় কোণের তিনগুন এবং ৩য় কোণ যদি ২য় কোণের চেয়ে ৩০° বড় হয় তবে ২য় কোণটি কত ডিগ্রি? 

সমাধান: 
ধরি,
২য় কোণ = ক
একটি কোণ = ৩ক
৩য় কোণ = ক + ৩০°

শর্তমতে,
ক + ৩ক + ক + ৩০° = ১৮০°
⇒ ৫ক = ১৮০° - ৩০°
⇒ ক = ১৫০°/৫
∴ ক = ৩০°

∴ ২য় কোণ = ৩০° ।

ধরি, সরলরেখার দৈর্ঘ্য ৩ একক।
তবে এর এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১ বর্গ একক।
সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৩ × ৩) = ৯ বর্গ একক
∴ সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের ওপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের (৯ / ১) = ৯ গুণ

একটি রেখার প্রান্ত বিন্দুতে অপর একটি সরলরেখা মিলিত হলে যে দু’টি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।
এটি অনুসিদ্ধান্ত।

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।
পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে।
বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে এবং বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

চাকার ব্যাস ২r = ৭০ সেমি, তাহলে, ব্যসার্ধ r = ৩৫
চাকাটি একবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দুরত্ব অতিক্রম করে।
পরিধি = ২πr(π এর মান ২২/৭ ধরে)
= ২২০ সেমিঃ = ২.২ মিঃ

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাস 10 সেমি এবং আয়তন 100π ঘন সেমি হলে, উহার হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের ব্যাস = 10 সেমি
∴ ব্যাসার্ধ, r = 10/2 = 5 সেমি
আয়তন = 100π ঘন সেমি

আমরা জানি, কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h

প্রশ্নমতে,
(1/3)π(5)²h = 100π
⇒ (1/3) × 25h = 100
⇒ 25h = 300
⇒ h = 300/25
∴ h = 12 সেমি

এখন, হেলানো তলের দৈর্ঘ্য (l) = √( r² + h²)
= √(5² + 12²)
= √(25 + 144)
= √169
= 13 সেমি

∴ নির্ণেয় হেলানো তলের দৈর্ঘ্য = 13 সেমি।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের প্রথম কোণ দ্বিতীয় কোণের দ্বিগুণ। তৃতীয় কোণ প্রথম ও দ্বিতীয় কোণের যোগফলের অর্ধেক। দ্বিতীয় কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান: 
ধরি,
দ্বিতীয় কোণ = ক
তাহলে প্রথম কোণ = ২ক  ; (দ্বিতীয় কোণের দ্বিগুণ)
এবং তৃতীয় কোণ = (প্রথম + দ্বিতীয়) এর অর্ধেক
= (প্রথম + দ্বিতীয়)/২ 
= (২ক + ক)/২ 
= ৩ক/২

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল = ১৮০°
⇒ ২ক + ক + (৩ক/২) = ১৮০°
⇒ (৪ক + ২ক + ৩ক)/২ = ১৮০°
⇒ ৯ক/২ = ১৮০°
⇒ ৯ক = ১৮০° × ২ 
⇒ ৯ক = ৩৬০°
⇒ ক = ৩৬০/৯
∴ ক = ৪০°

সুতরাং, দ্বিতীয় কোণ ৪০°। 

ধরি, কোনটি x,
x এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - x
শর্তমতে,
২(১৮০° - x) = x
বা, ৩৬০° - ২x = x
বা, ৩x = 360°
∴ x = 120°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20 মিটার ও 24 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 120 বর্গমিটার। বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?

সমাধান:

মনে করি,
ত্রিভুজ ABC এর AB = c = 20 মিটার, AC = b = 24 মিটার,
এবং Δ ক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল = 120 বর্গমিটার।
AB ও BC বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ নির্ণয় করতে হবে।

∴ Δ ক্ষেত্র ABC ক্ষেত্রফল = (1/2) × c × b × sinθ
⇒ 120 = (1/2) × 20 × 24 × sinθ
⇒ 10 × 24 × sinθ = 120
⇒ sinθ = 120/240
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
⇒ θ = 30°

∴ নির্ণেয় অন্তর্ভুক্ত কোণ = 30°।

প্রশ্ন: sinθ = 4/5 হলে, ‍secθ এর মান কোনটি? 

সমাধান: 
sinθ = 4/5 
⇒ (sinθ)² = (4/5)²
⇒ sin²θ = 16/25
⇒ 1 - cos²θ = 16/25
⇒ 1 - (16/25) = cos²θ
⇒ (25 - 16)/25 = cos²θ
⇒ 9/25 = cos²θ
⇒ (3/5)² = cos²θ
⇒ cosθ = 3/5
⇒ 1/secθ = 3/5
∴ secθ = 5/3

প্রশ্ন: বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π একক হলে, বৃত্তের পরিসীমা কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 64π

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 64π
⇒ r² = 64 = 8²
⇒ r = 8

∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
= 2π × 8
= 16π

ধরি,
ব্যাসার্ধ = r
∴ ক্ষেত্রফল = πr²
১০% বৃদ্ধিতে ব্যাসার্ধ = ১১০r/১০০,
এবং ক্ষেত্রফল = π.(১১০r/১০০)²
= π(১২১r²/১০০)
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = ১২১πr²/১০০ - πr²
(১২১/১০০ - ১)πr²
= (২১/১০০)πr²
∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = (২১πr² × ১০০)/(১০০ × πr²)
= ২১% 

বৃত্তের কেন্দ্র হতে দু'টি সমান জ্যা এর দূরত্ব সমান
∴ দূরত্বের অনুপাত = 1:1

প্রশ্ন: cos{(7π/2) - θ} = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cos{(7π/2) - θ}
= cos{7 × (π/2) - θ}
= cos{7 × 90° - θ}
যেহেতু, 90° করে 7 বার ঘুরে তৃতীয় চতুর্ভাগে আসে এবং এই চতুর্ভাগে cosine এর মান ঋণাত্মক। তাই এর চিহ্ন হবে ঋণাত্মক।
আবার,
যেহেতু π/2 বা 90° এর বিজোড় গুণিতক (odd multiple) রয়েছে, তাই cosine অনুপাতটি sine অনুপাত-এ পরিবর্তিত হবে।

অর্থাৎ, cos{7 × 90° - θ} = - sinθ
∴ cos{(7π/2) - θ} = - sinθ.

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ক্ষেত্রফল 49π বর্গ একক হলে, ঐ বৃত্তের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 49π
⇒ r² = 49
⇒ r = √49
⇒ r = 7

∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
= 2 × (22/7) × (7)
= 44 একক বা, 14π একক

মনে করি একটি কোণ 'ক' তাহলে অপর কোণ (90-ক)
শর্তমতে, ক - (90-ক) = 4
বা, ক - 90 + ক = 4
বা, 2ক = 94
বা, ক = 47
সুতরাং অপর কোণটি = 90-ক = 90-47 = 43°

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ (বাহু)^২ বর্গমি.
= √৩/৪ (১৬)^২ বর্গমি.
= ৬৪√৩ বর্গমি.

আমরা জানি,
(a,b) কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ r হলে বৃত্তের সমীকরণ হবে,
(x -a)²+(y-b)² = r²
কেন্দ্র (0, 0) হলে বৃত্তের সমীকরণ হবে -
x² + y² = r²
সুতরাং, অপশন ক হবে বৃত্তের সমীকরণ।

প্রদত্ত কোণটি দুই সমকোণ বা ১৮০° অপেক্ষা বড় এবং চার সমকোণ বা ৩৬০° অপেক্ষা ছোট।
অর্থাৎ ১৮০° < ২৭৯° < ৩৬০°
সুতরাং ২৭৯° কোণটি একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৩০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ২০% হ্রাস করা হলে, ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = ১০০ একক
প্রস্থ = ১০০ একক
অতএব, ক্ষেত্রফল = (১০০ × ১০০) বর্গ একক = ১০০০০ বর্গ একক

আবার,
৩০% বৃদ্ধিতে নতুন দৈর্ঘ্য = ১০০ + (১০০ এর ৩০%)
= ১০০ + ৩০ = ১৩০ একক
২০% হ্রাসে নতুন প্রস্থ = ১০০ - (১০০ এর ২০%)
= ১০০ - ২০ = ৮০ একক

নতুন ক্ষেত্রফল = (১৩০ × ৮০) বর্গ একক = ১০৪০০ বর্গ একক

ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন = (১০৪০০ - ১০০০০) বর্গ একক = ৪০০ বর্গ একক

∴ ক্ষেত্রফলের শতকরা পরিবর্তন = (৪০০ ÷ ১০০০০) × ১০০%
= ৪% বৃদ্ধি

প্রশ্ন: 14 মিটার ব্যাসের বৃত্তাকার একটি বাগানের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
বৃত্তাকার বাগানটির ব্যাস, d = 2r = 14 মিটার 
বৃত্তাকার বাগানটির ব্যাসার্ধ, r = 14/2 মিটার 
= 7 মিটার 

আমরা জানি, 
বৃত্তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক 
= 3.1416 × (7)² বর্গমিটার
= 3.1416 × 49 বর্গমিটার
= 153.9384 বর্গমিটার
= 154 বর্গমিটার (প্রায়) ।

প্রশ্ন: sin60° cos30° + sin30° cos60° = ?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
sin 60° = √3/2, sin 30° = 1/2,
cos 60° = 1/2 and cos 30° = √3/2

এখন,
sin60° cos30° + sin30° cos60°
(√3/2) × (√3/2) + (1/2) × (1/2)
= (3/4) + (1/4)
= 4/4
= 1

a,b কেন্দ্রবিশিষ্ট r ব্যাসার্ধের বৃত্তের সমীকরণ = (x-a)²+(y-b)² = r²

প্রশ্ন: সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 3 সে.মি. এবং উচ্চতা 9 সে.মি. হলে সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 3 সে.মি এবং
সিলিন্ডারের ভূমির উচ্চতা, h = 9 সে.মি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= 2 π × 3 × 9
= 54π

∴ সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 54π বর্গ সে.মি।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত ৪ : ৫ এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল ৪৯০ বর্গসে.মি. হলে, বড় কর্ণটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, 
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৪ক এবং ৫ক

প্রশ্নমতে,
(১/২) × ৪ক × ৫ক = ৪৯০
⇒ ১০ক২ = ৪৯০
⇒ ক২ = ৪৯০/১০
⇒ ক২ = ৪৯
∴ ক = ৭

তাহলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হবে যথাক্রমে,
৪ × ৭ = ২৮ সে.মি. এবং ৫ × ৭ = ৩৫ সে.মি.

∴ বড় কর্ণটির দৈর্ঘ্য ৩৫ সে.মি.।