জ্যামিতি

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাস 16 সে.মি. এবং আয়তন 320π ঘন সে.মি. হলে, উহার হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের ব্যাস = 16 সে.মি.
∴ কোণকের ব্যাসার্ধ, r = 16/2 = 8 সে.মি.
কোণকের আয়তন, V = 320π ঘন সে.মি.

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন, V = (1/3)πr²h

প্রশ্নমতে,
320π = (1/3) × π × (8²) × h
⇒ 320 = (1/3) × 64 × h
⇒ 320 × 3 = 64h
⇒ h = 960/64
∴ h = 15 সে.মি.

এখন, হেলানো তলের দৈর্ঘ্য, L = √(r² + h²)
= √(8² + 15²)
= √(64 + 225)
= √289
= 17 সে.মি.

∴ কোণকটির হেলানো তলের দৈর্ঘ্য 17 সে.মি.।

ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বর্গের কর্ণ AC = বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল πr² = 16π
বা, r² = 16
∴ r = 4
∴ বর্গের কর্ণ AC = 2r = 8
∴ বাহুর দৈর্ঘ্য AB = BC = 8/√2 সে.মি.
ΔABC এর ক্ষেত্রফল = 1/2 × AB × BC
= 1/2 × 8/√2 × 8/√2
= 1/4 × 64
= 16 বর্গ সে.মি.

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে আমরা জানি, অতিভূজ^২ = লম্ব^২ + ভুমি^২
বা, c²  =  a² + b² 
বা, a² + b² = c²

প্রশ্ন: একটি সমবাহু অষ্টভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ কত ডিগ্রি হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, 
বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (2n - 4) × 90° 
(যেখানে, n = বহুভুজের বাহুর সংখ্যা)

∴ অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = {(2 × 8) - 4} × 90° 
= (16 - 4) × 90°
= 12 × 90°
= 1080° 

∴ প্রতিটি কোণ = 1080°/8 
=135° ।

ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি হয় দুই সমকোণ। ত্রিভুজটির তৃতীয় কোণের পরিমাণ = ১৮০° - (১০°+৮০°) = ৯০°, অর্থাৎ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভূজ।

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষের দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার, প্রস্থ ১০ মিটার এবং উচ্চতা ৮ মিটার। শ্রেণিকক্ষটির চার দেয়ালের মোট ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
শ্রেণিকক্ষের দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার,
শ্রেণিকক্ষের প্রস্থ = ১০ মিটার এবং
শ্রেণিকক্ষের উচ্চতা = ৮ মিটার

আমরা জানি,
শ্রেণিকক্ষের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা
= ২ (১৫ + ১০) × ৮ বর্গ মিটার
= ২ × ২৫ × ৮ বর্গ মিটার
= ৪০০ বর্গ মিটার

∴ শ্রেণিকক্ষের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ৪০০ বর্গ মিটার।

ধরি, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য x
এখন, কর্ণের দৈর্ঘ্য x√2 = 5√2
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য x = 5

প্রশ্ন: একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৮√৩ মিটার হলে ঘনকটির ধার কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
ঘনকটির ধার = ক মিটার 

∴ ঘনকের কর্ণ = √৩ ক 
বা, ১৮√৩ = √৩ ক 
বা, ক = ১৮
∴ ক = ১৮

∴ ঘনকটির ধার = ১৮ মিটার।

প্রশ্ন: একটি কাঠের ব্লকের দৈর্ঘ্য 4 সে.মি. প্রস্থ 3 সে.মি. এবং উচ্চতা 2.5 সে.মি.। 50 সে.মি. দৈর্ঘ্য, 45 সে.মি. প্রস্থ এবং 30 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কার্টনের মধ্যে কতটি কাঠের ব্লক রাখা যাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি কাঠের ব্লকের দৈর্ঘ্য = 4 সে.মি.
প্রস্থ =  3 সে.মি. 
উচ্চতা = 2.5 সে.মি.
∴ একটি কাঠের ব্লকের আয়তন = (4 × 3 × 2.5) ঘন সে.মি. = 30 ঘন সে.মি.

আবার,
কার্টনের দৈর্ঘ্য = 50 সে.মি. 
প্রস্থ = 45 সে.মি. 
উচ্চতা = 30 সে.মি. 
∴ কার্টনের আয়তন = (50 × 45 × 30) ঘন সে.মি. = 67500 ঘন সে.মি.

∴ কার্টনে কাঠের ব্লক ধরবে = কার্টনের আয়তন/একটি কাঠের ব্লকের আয়তন
= 67500/30
= 2250 টি 

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তে একটি ত্রিভুজ আঁকা হলে, সেই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
অর্ধবৃত্তে সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফলের ত্রিভুজ হবে ব্যাসার্ধকে ভিত্তি ধরে এবং কেন্দ্র থেকে শীর্ষবিন্দু পর্যন্ত উঁচু।

এই ক্ষেত্রে, ত্রিভুজের ভিত্তি = 2r (অর্ধবৃত্তের ব্যাস)
উচ্চতা = r
তাহলে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সূত্র:
A = 1/2 × ভিত্তি × উচ্চতা
= 1/2 × 2r × r 
= r²

∴ r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট অর্ধবৃত্তে আঁকা বৃহত্তম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হবে r²

প্রদত্ত চিত্রে,
PQ = PR

সুতরাং, PQR সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

∠PQR = ∠PRQ = 55°
∠LRN = 90° হলে ∠NRQ = 90°

সুতরাং, ∠NRP = ∠NRQ - ∠PRQ = 90° - 55° = 35°

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার এবং ১০ মিটার হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ২৪ × ১০
= ১২ × ১০
= ১২০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য ৪ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার ৭৫ সে.মি. এবং উচ্চতা ১ মিটার। বাক্সটির আয়তন কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বাক্সের দৈর্ঘ্য  = ৪ মিটার 
বাক্সের প্রস্থ  = ২ মিটার ৭৫ সে.মি. = ২.৭৫ মিটার
বাক্সের উচ্চতা = ১ মিটার

∴ বাক্সটির আয়তন = (৪ × ২.৭৫ × ১) ঘনমিটার 
= ১১ ঘনমিটার । 

বৃত্তের বৈশিষ্ট্য অনুসারে x² + y² = 9 একটি বৃত্ত।
উপবৃত্তের সমীকরণ, 4x2 + 9y2 = 36

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²; এখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π X ৩^২ : π X ২^২
= ৯ : ৪

আমরা জানি, সম্পূরক কোণের পরিমাণ = 180°
রৈখিক মানে সোজা 180°।
সুতরাং 75° কোণের রৈখিক সম্পূরক কোণের পরিমাপ = 180° - 75° = 105°।

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(তৃতীয় বাহু)^২ = (বড় বাহু)^২ + (ছোট বাহু)^২ অথবা (বড় বাহু - অতিভুজ)^২ - (ছোট বাহু)^২
সূত্রানুসারে,
(তৃতীয় বাহু)^২ = ১৭^২ - ১৫^২
                  = ৮^২
∴ তৃতীয় বাহু = ৮ সে.মি

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গএকক এবং পরিধি = 2πr একক।
প্রশ্নমতে, πr²/2πr = 16/8
=> r/2 = 2/1
=> r = 4

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 50% বাড়ানো হলে, এর ক্ষেত্রফল কত শতাংশ বাড়বে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাসার্ধ 50% বাড়লে, নতুন ব্যাসার্ধ = r + r এর 50%
= r + (50r/100)
= (3r)/2

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = π(3r/2)²
= π × (9r²/4)
= 9πr²/4

∴  ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (9πr²/4) - πr²
= (5πr²)/4

∴  শতকরা বৃদ্ধি = {(5πr²/4)/(πr²)} × 100%
= 125%

প্রশ্ন: rsinθ = 5/2 এবং rcosθ = 5√3/2 হলে, r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
rsinθ = 5/2 .......... (1)
rcosθ = 5√3/2 .......... (2)
এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করে পাই,
(rsinθ)² + (rcosθ)² = (5/2)² + (5√3/2)²
⇒ r²sin²θ + r²cos²θ = 25/4 + (25 × 3)/4
⇒ r²(sin²θ + cos²θ) = (25 + 75)/4
⇒ r²(1) = 100/4 [যেহেতু, sin²θ + cos²θ = 1]
⇒ r² = 25
⇒ r = √25
⇒ r = 5
∴ r এর মান 5

প্রশ্ন: আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ দৈর্ঘ্যের দুই-তৃতীয়াংশ। ক্ষেত্রটির পরিসীমা ৮০ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ক মিটার 
প্রস্থ = ২ক/৩ মিটার 

প্রশ্নমতে,
২ {ক + (২ক/৩)} = ৮০
⇒ (৩ক + ২ক)/৩ = ৮০/২
⇒ ৫ক/৩ = ৪০
⇒ ৫ক = ১২০
⇒ ক = ১২০/৫
⇒ ক = ২৪

অর্থাৎ দৈর্ঘ্য = ২৪ মিটার 
এবং প্রস্থ = (২ × ২৪)/৩ = ১৬ মিটার 

∴ ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ 
= ২৪ × ১৬ = ৩৮৪ বর্গমিটার 

প্রশ্ন: একটি সমবাহ ত্রিভূজের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 মিটার হলে, ত্রিভূজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = 4 মিটার।
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a²
= √3/4 × 4²
= √3/4 × 16
= 4√3

বহুভূজের একপ্রান্ত বা শীর্ষ হতে অঙ্কিত ত্রিভুজ সংখ্যা = (n - 2)
এখানে সপ্তভূজ হওয়ায়, n = 7
∴ অঙ্কিত ত্রিভুজ সংখ্যা হবে = 7 - 2 = 5

আমরা জানি দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব = √{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}
এখন প্রশ্নমতে,√{(-5 - 0)² + (5 - 0)²} = √{(5 - 0)² + (k - 0)²}
⇒50 = 25 + k²
⇒ k = 5

আমরা জানি,
বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n-২)×180° [এখানে n = সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা]
(5-2)×180° = 540°
= 540°/90° = 6 সমকোণ [যেহেতু 90° = 1 সমকোণ]

Given, length - width = 23……….(1)
ATQ, 2( length + width) = 206
Or, length + width = 103………(2)
Adding (1) and (2) we get,
2( length) = 126
∴ length = 63 m
From eqn..(1)
Width = 40 m
∴ Area = 63×40 = 2520 m²

প্রশ্ন: একটি বাক্সে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা যথাক্রমে 6, 4 ও 3 মিটার। বাক্সটির বাইরের সাইডে প্রতি বর্গমিটার রং করতে 12.5 টাকা করে খরচ হলে বাক্সটি রং করতে কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বাক্সে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা যথাক্রমে 6, 4 ও 3 মিটার
আমরা জানি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca ) বর্গ মিটার
= 2{(6 × 4) + (4 × 3) + (3 × 6)} ; [a = 6, b = 4 এবং c = 3]
= 2(24 + 12 + 18)
= 2 × 54
= 108 বর্গ মিটার

∴ বাক্সটি রং করতে মোট খরচ হবে = 108 × 12.5 = 1350 টাকা।

প্রশ্ন: 14 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 14 সে.মি.
তাহলে, ব্যাস = 2r = (14 × 2) = 28 [যা বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান]

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (1/2) × (কর্ণ)²
= (1/2) × (28)²
= 784/2
= 392 বর্গ সে.মি.

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 392 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত ৪ : ৩ হলে, বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ (৪ক/২) এবং (৩ক/২)

তাহলে, বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π × (৪ক/২)^২ : π × (৩ক/২)^২
= π × (২ক)^২ : π × ৯ক^২/৪
= π × ৪ক^২ : π × ৯ক^২/৪
= ৪ক^২ : ৯ক^২/৪
= ১৬ক^২: ৯ক^২
= ১৬ : ৯

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি ২য় কোণের তিনগুণ এবং ৩য় কোণ যদি ২য় কোণের চেয়ে ৩০ ডিগ্রি বড় হয় তবে প্রথম কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজের দ্বিতীয় কোণটি = x ডিগ্রি। 
প্রশ্নানুযায়ী,
প্রথম কোণটি দ্বিতীয় কোণের তিনগুণ, অর্থাৎ 3x ডিগ্রি। 
এবং তৃতীয় কোণটি দ্বিতীয় কোণের চেয়ে 30 ডিগ্রি বড়,
অর্থাৎ x + 30 ডিগ্রি।  

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°
প্রশ্নমতে,
⇒ 3x + x + (x + 30°) = 180°
⇒ 5x + 30° = 180°
⇒ 5x = 180° - 30°
⇒ 5x = 150°
∴ x = 30°

∴ প্রথম কোণটি হল  3x = 3 × 30° = 90°