জ্যামিতি

প্রশ্ন: একটি 20 মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে খাড়া করে রাখা আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূরে সরালে এর উপরের অংশ 4 মিটার নিচে নেমে আসবে?

সমাধান:


এখানে, AC মইয়ের গোড়া C থেকে D বিন্দুতে সরালে উপরের প্রান্ত A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে 4 মিটার নামবে। মইয়ের দৈর্ঘ্য, AC = BD = 20 মিটার 
এবং AB = 4 মিটার, BC = 20 - 4 = 16 মিটার 

এখন, পীথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
BC² + CD² = BD²
⇒ CD² = BD² - BC²
⇒ CD² = 20² - 16²
⇒ CD² = 400 - 256
⇒ CD² = 144
⇒ CD = √144
∴ CD = 12

∴ মইটির গোড়া দেয়াল থেকে 12 মিটার দূরে সরালে উপরের প্রান্ত 4 মিটার নিচে নামবে।

কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(7² + 7²)
= √98
= √(49×2)
= 7√2
∴ কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (7√2)² বর্গফুট
 = 98 বর্গফুট 

প্রশ্ন: একটি লম্বা গাছের পাদদেশ হতে 40 মিটার দূরে ভূমির একটি বিন্দুতে গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 30°। গাছটির উচ্চতা নির্ণয় করুন।
 
সমাধান: 
মনে করি, গাছটির পাদবিন্দু B, ভূমির একটি বিন্দু C এবং শীর্ষবিন্দু A। গাছটির পাদদেশ হতে নির্দিষ্ট স্থানের দূরত্ব BC = 40 মিটার। 
গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB =30° এবং গাছটির উচ্চতা AB = h মিটার



এখন,
tan30° = AB/BC
⇒ 1/√3 = h/40
⇒ √3h = 40
⇒ h = 40/√3

∴ গাছটির উচ্চতা = 40/√3 মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফল (√3/4)a²
এখন, প্রশ্নোক্ত সমবাহু ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = 16 মিটার।
সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√3/4) X (16)²
= (√3/4) X 16 X 16
= 64√3

প্রশ্ন: নিচের কোন অনুপাতটি সঠিক?

সমাধান:

আমরা জানি,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ
cosecθ = অতিভুজ/লম্ব   
cosθ = ভূমি/অতিভুজ 
secθ = অতিভুজ/ভূমি 
tanθ = লম্ব/ভূমি 
cotθ = ভূমি/লম্ব

প্রশ্ন: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় সেই চতুর্ভুজকে বলা হয় -

সমাধান:
বর্গ :
-  যে চতুর্ভুজের সকল বাহু সমান ও একটি কোণ এক সমকোণ তাকে বর্গ বলে।

সামান্তরিক:
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।

আয়তক্ষেত্র:
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।

প্রশ্ন: একটি সমবাহ ত্রিভুজের এক বাহর দৈর্ঘ্য a একক হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
সমবাহুু ত্রিভুজের একটি দৈর্ঘ্য a একক
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল =(√3/4)a² বর্গ একক

দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°
অর্থ্যাৎ, প্রতিটি কোণ সুক্ষ্মকোণ।

ধরি, বর্গের বাহু = x মিটার
তাহলে, কর্ণ = √2 x
শর্তমতে, √2 x = a
∴ x = a/√2
∴ x² = a²/2

প্রশ্ন: রেখাংশের প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
- রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ।
- সুতরাং রেখাংশের প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা দুইটি।

বি:দ্র:
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই।
- রশ্মির প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা একটি।

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বাড়ালে উৎপন্ন দুটি বহিঃস্থ কোণ পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
সমাধান:
 
ধরি, ABC একটি ত্রিভুজ যার BC বাহুকে উভয় দিকে D এবং E পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো।
ফলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ দুটি হলো ∠ABD এবং ∠ACE।
শর্তমতে, ∠ABD = ∠ACE
আমরা জানি, একই সরলরেখার ওপর অবস্থিত দুটি কোণের সমষ্টি 180° (এক সরলকোণ)।
অতএব, অন্তঃস্থ ∠ABC = 180° - ∠ABD
এবং অন্তঃস্থ ∠ACB = 180° - ∠ACE
যেহেতু ∠ABD = ∠ACE, সেহেতু তাদের সম্পূরক কোণগুলোও পরস্পর সমান হবে।
অর্থাৎ, ∠ABC = ∠ACB
আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান হলে তাদের বিপরীত বাহু দুটিও সমান হয় (AB = AC)।
যেহেতু ত্রিভুজটির দুটি বাহু সমান, তাই এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∴ ত্রিভুজটি অবশ্যই একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে।

∴ সঠিক উত্তর: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। 

প্রশ্ন: একটি নিয়মিত বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ 18° হলে, এর বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনে করি,
বাহুর সংখ্যা = n

দেওয়া আছে,
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ 18°

আমরা জানি,
বহুভুজের বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি = 360°

এখন,
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = 360°/n
⇒ 18° = 360°/n
⇒ n = 360°/18°
⇒ n = 20

প্রশ্ন: tan²A = 1/3 হয়, তবে cos^⁡4A + sin⁡⁴A = ?
​
​সমাধান:
দেওয়া আছে,
​tan2A = 1/3
⇒ tanA = 1/√3 = tan30°
​∴ A = 30°
​
​প্রদত্ত রাশি,
​ cos⁡⁴A + sin⁡⁴A 
​= cos⁡⁴30° + sin⁡⁴30°
​= (√3/2)⁴ + (1/2)⁴
​= (9/16) + (1/16)
​= (9 + 1)/16
​= 10/16
​= 5/8

প্রশ্ন: ১৩, ১১, ৮, ২৪, ২০, ১৭ সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
সংখ্যাগুলো ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই,
৮, ১১, ১৩, ১৭, ২০, ২৪

এখানে,
n = ৬

∴ মধ্যক = {(n/২) তম পদ ও (n/২) + ১ তম পদের যোগফল}/২
= (৩ তম পদ + ৪ তম পদ)/২
= (১৩ + ১৭) /২
= ১৫

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ √20 cm এবং এর ক্ষেত্রফল 8cm² । ঐ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান: 
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সে.মি.
এবং প্রন্থ y সে.মি.

প্রশ্নমতে, 
√(x² + y²) = √20 
∴ x² + y² = 20 ......... (i) [উভয় পক্ষে বর্গ করে]
এবং xy = 8 .........(ii)

এখন,
আমরা জানি, 
(x + y)² = x² + y² + 2xy = 20 + (2 × 8) = 20 + 16 = 36
⇒ (x + y)² = 36
⇒ x + y = √36
∴ x + y = 6

অতএব, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(x + y) = 2 × 6 = 12cm.

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণকে কী বলা হয়?  

সমাধান: 
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস ধরে বৃত্ত অঙ্কন করলে তা সমকৌণিক শীর্ষ বিন্দু দিয়ে যাবে। 
- কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ। 
- কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ গুলো পরস্পর সমান। 
- অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ। 
- বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমানুপাতিক। 

বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে।
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে এবং বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

মনে করি ক্ষুদ্রতম কোণ = x
প্রশ্নমতে, 90° + x + x + 10° = 180°
বা, 2x = 80°
বা, x = 40°

প্রশ্ন: ২৫৫° কোণটি হলো- 

সমাধান: 
৯০° অপেক্ষা অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ব কোণ বলে।
একটি সরলরেখার উপর আরেকটি সরলরেখা লম্বভাবে দন্ডায়মান হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এবং তাদের মান সমান হলে (৯০°) তাদের প্রত্যেককেটিকে সমকোণ বলে।

∴ ২৫৫° কোণটি হলো প্রবৃদ্ব কোণ।

একটি কোণ = ৬৫°
∴ অপর কোণটি = ৯০° - ৬৫° = ২৫°
∴ অপর কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ২৫° = ১৫৫°

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সে.মি. এবং প্রস্থ (x - 3) সে.মি.। ক্ষেত্রফল 54 বর্গ সে.মি. হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
প্রস্থ = (x - 3) সে.মি.

প্রশ্নমতে,
x(x - 3) = 54
⇒ x² - 3x - 54 = 0
⇒ x² - 9x + 6x - 54 = 0
⇒ x(x - 9) + 6(x - 9) = 0
⇒ (x - 9)(x + 6) = 0

অর্থাৎ, x - 9 = 0
∴ x = 9 (কারণ দৈর্ঘ্য ধনাত্মক)

∴ দৈর্ঘ্য, x এর মান = 9 সে.মি.

বৃত্তের ক্ষেত্রফল πr² = ১০০π
বা, r = ১০
বৃত্তের ব্যাসার্ধ হলো প্রতিটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা
তাহলে, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (উচ্চতা)²/ √৩
= (১০)²/ √৩ = ১০০/√৩
৬টি সমবাহু ত্রিভুজের বা ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = (৬ x ১০০)/√৩ = ২০০√৩

প্রশ্ন: একই সমতলে অবস্থিত দুটি রেখা যদি কখনোই পরস্পরকে ছেদ না করে, তবে তাদের কী বলা হয়?

সমাধান:
সমান্তরাল রেখা: দুটি সরলরেখা যদি একই সমতলে থাকে এবং উভয় দিকে অনন্ত পর্যন্ত বিস্তৃত হওয়া সত্ত্বেও কখনো পরস্পর ছেদ না করে অর্থাৎ মিলিত না হয়, তাহলে তাদের সমান্তরাল রেখা বলে।

বৈশিষ্ট্য:
দুটি সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব সর্বত্র সমান থাকে।
যদি একটি তির্যক রেখা (transversal) দুটি সমান্তরাল রেখাকে ছেদ করে, তাহলে সম্পূরক কোণ, অনুরূপ কোণ ইত্যাদি সমান হয়।

উদাহরণ:
⋅ রেললাইনের দুটি পাত (যতদূর দেখা যায়)।
⋅ খাতার সমান্তরাল রুলিং লাইন।
⋅ সড়কের দুই পাশের লেনের মাঝের লাইন (যদি সোজা হয়)।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। যদি ঘরের ক্ষেত্রফল 486 বর্গমিটার হয়, তবে ঘরের পরিসীমা কত?

Solution:
ধরি, প্রস্থ = x মিটার
তাহলে দৈর্ঘ্য = 3x মিটার

ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
⇒ 3x × x = 486
⇒ 3x² = 486
⇒ x² = 162
⇒ x = √162 = 9√2 মিটার

দৈর্ঘ্য = 3x = 27√2 মিটার

পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= 2 × (27√2 + 9√2)
= 2 × 36√2
= 72√2 মিটার

ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(a² + a² + a²)
= √(3a²)
= √3a

ADC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ACD = 60°; ∠ADC = 90°; ∠DAC = 30°
∴ DC = AD/tan60° = 9/√3
∴ BC = 18/√3
ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) ×(18/√3)² = 27√3 or 81/√3 বর্গমিটার

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৯০° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, 
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোণ ৯০° হলে, 
অপর কোনটি হবে = (১৮০° - ৯০°)
= ৯০° 

∴ বিপরীত কোণের পরিমাণ = ৯০° ।