জ্যামিতি

প্রশ্ন: (sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7 হলে, tanθ =?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
(sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7
⇒ 7(sinθ - cosθ) = sinθ + cosθ
⇒ 7sinθ - 7cosθ = sinθ + cosθ
⇒ 7sinθ - sinθ = cosθ + 7cosθ
⇒ 6sinθ = 8cosθ
⇒ sinθ/cosθ = 8/6
∴ tanθ = 4/3

প্রশ্ন: একটি ফুটবলের ব্যাস ৬ ইঞ্চি হলে ফুটবলের আয়তন কত?

সমাধান:
ফুটবলের ব্যাস, ২r = ৬ ইঞ্চি
∴ ব্যাসার্ধ, r = ৩ ইঞ্চি

যেহেতু, ফুটবল একটি গোলক।
∴ ফুটবলের আয়তন = (৪/৩) × π × (৩)^৩
= (৪/৩) × π × ২৭
= (৪ × ৯)π 
= ৩৬π ঘন ইঞ্চি

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৮ সে.মি. হলে ঐ বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা = বৃত্তের ব্যাস 
= ২ × ব্যাসার্ধ 
= (২ × ৮) সে.মি.
= ১৬ সে.মি.

• বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রমকারী জ্যা-কে ব্যাস বলে।
• কোনো বৃত্তের ব্যাস হলো তার বৃহত্তম জ্যা।
• ব্যাস হলো ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। অর্থাৎ, ব্যাস = ২ × ব্যাসার্ধ।

প্রশ্ন: ∠A, ∠B এবং ∠C হলো একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ এবং ∠A/4 + ∠B/4 + ∠C/5 = 41° হলে, ∠A + ∠B  এর মান নির্ণয় করুন?

সমাধান:
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°

দেওয়া আছে, 
∠A/4 + ∠B/4 + ∠C/5 = 41°
⇒ (5∠A + 5∠B + 4∠C)/20 = 41°
⇒ (∠A + 4∠A + ∠B + 4∠B + 4∠C)/20 = 41°
⇒ (∠A + ∠B + 4∠A + 4∠B + 4∠C)/20 = 41°
⇒ ∠A + ∠B + 4(∠A + ∠B + ∠C) = 41° × 20
⇒ ∠A + ∠B + 4 × 180° = 820°
⇒ ∠A + ∠B = 820° - 720°
∴ ∠A + ∠B = 100°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ও সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা সমান, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১৬ মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে পরিসীমা ৩ক একক।
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে পরিসীমা ৪ক একক।

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য  = ১৬ মিটার
তাহলে, এর পরিসীমা = ৩ × ১৬ = ৪৮ মিটার

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪৮ মিটার
∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪৮/৪ = ১২ মিটার।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ৭ সেন্টিমিটার ও ১০ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের একটি কর্ণ = ৭ সেন্টিমিটার 
এবং অপর কর্ণটি = ১০ সেন্টিমিটার 

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
= (১/২) × ৭ × ১০
= ৩৫ বর্গ সেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ ৫০° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ। 

এখন, 
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ = ৫০° হলে, 
কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে = (৫০° × ২) 
= ১০০° 

∴ কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ = ১০০° 

যেহেতু AB⊥OD সেহেতু D, AB এর মধ্যবিন্দু এবং AD = BD = 12
ΔOAD সমকোণী ত্রিভুজ
∴ OA² = AD² + OD²
         = 12² + 5²
         = 169
∴ ব্যাসার্ধ, OA = 13cm.

প্রশ্ন: (- 1, 4) এবং (3, - 2) বিন্দু দুইটির দূরত্ব কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
দুটি বিন্দু A(- 1, 4) এবং B(3, - 2)
যেখানে, (x₁, y₂) = (- 1, 4) 
এবং (x₂, y₂) =(3, - 2)

আমরা জানি, 
দুই বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব, d = √{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²} 
= √{(3 - (- 1))² + ((- 2) - 4)²}
= √{(3 + 1)² + (- 2 - 4)²}
= √{(4)² + (- 6)²}
= √{16 + 36}
= √52
= √(4 × 13)
= 2√13

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য ১০০° হলে বহুভুজটি কোন প্রকৃতির?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য = ১০০° 

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৭২০°/(১৮০° - কোণদ্বয়ের পার্থক্য) 
= ৭২০°/(১৮০° - ১০০°) 
= ৭২০°/৮০° 
= ৯ টি  

∴ বহুভুজটি ৯ বাহু বিশিষ্ট অর্থাৎ নবভুজ(Nonagon)। 

প্রশ্ন: সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৬.৫ সে.মি. এবং ৮০ মি.মি. হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৬.৫ সে.মি. = ৬.৫ সে.মি.
৮০ মি.মি. = ৮০/১০ = ৮ সে.মি.   ; [১০ মি.মি. = ১ সে.মি.]

আমরা জানি, 
সামান্তরিকের পরিসীমা = ২ × (সন্নিহিত বাহু + অন্য সন্নিহিত বাহু)
= ২ × (৬.৫ + ৮) সে.মি.
= ২ × ১৪.৫ সে.মি.
= ২৯ সে.মি.
= ২৯/১০০ মি.  ; [১০০ সে.মি. = ১ মিটার] 
= ০.২৯ মিটার

সুতরাং, সামান্তরিকটির পরিসীমা ০.২৯ মিটার।

প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য 8√2 একক হলে উহার পরিসীমার অর্ধেক কত? 

সমাধান:
আমরা জানি, 
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 a
∴ √2 a = 8 √2
∴ a = 8

∴ বর্গের পরিসীমা = 4a একক 
= (4 × 8) একক 
= 32 একক 

∴ পরিসীমার অর্ধেক = 32/2
= 16 একক।

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ 67° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = 180°
∴ একটি কোণ 67° হলে, উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ = (180 - 67)°
= 113°

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৪২ সে.মি. হলে বৃত্তটির পরিধি কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৪২ সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি = ২πr
∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr
= ২ × (২২/৭) × ৪২
= ২ × ২২ × ৬
= ২৬৪ সে.মি.

∴ বৃত্তের পরিধি ২৬৪ সে.মি.।

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে,
∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°
∴ ∠A + ∠C = 180°
∴ ∠C = 180° - ∠A
বা, ∠C = 180° - 105°
বা, ∠C = 75°

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব AB যা r₁, r₂ এর সমষ্টির সমান
∴ AB = r₁ + r₂

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের দুইটি সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
এখানে, সমান বাহু দুটির দৈর্ঘ্য = a = 12 সে.মি. এবং b = 12 সে.মি.
অন্তর্ভুক্ত কোণ, θ = 30°

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) absinθ
⇒ ক্ষেত্রফল = (1/2) × 12 × 12 × sin 30°
= (1/2) × 144 × 1/2  [sin 30° = 1/2]
= 72 × 1/2
= 36

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 36 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: যদি sin(2θ + 15°) = 1/√2 হয়, তবে cot3θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sin(2θ + 15°) = 1/√2
⇒ sin(2θ + 15°) = sin(45°)
⇒ 2θ + 15° = 45°
⇒ 2θ = 45° - 15°
⇒ 2θ = 30°
∴  θ = 15°

এখন,
cot3θ
= cot(3 × 15°)
= cot(45°)
= 1

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গ সে.মি এবং সমান্তরাল বাহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯ সে.মি. ও ৭ সে.মি. হলে ইহার উচ্চতা কত?

সমাধান: 
মনে করি,
উচ্চতা = h 
∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × (৯ + ৭)h
= (১৬/২)h
= ৮h 

প্রশ্নমতে,
৮h = ৪৮
⇒ h = ৪৮/৮
∴ h = ৬

আমরা জানি, চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
সুতরাং ক্ষুদ্রতম কোণ = ১/৮ × ৩৬০°
= ৪৫°

মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a²/4
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= √3(a + 2)²/4

প্রশ্নমতে,
√3(a + 2)²/4 - √3a²/4= 3√3
a² + 4a + 4 - a² = 12
4a + 4 = 12
4a = 8
a = 2
∴ a = 2মিটার

প্রশ্ন: একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
ধরি, সমান সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = a
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী, a² + a² = 10²
বা, 2a² = 100
বা, a² = 100/2
বা, a² = 50

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) × a × a
= (1/2) × a²
= (1/2) × 50
= 25 বর্গ সে.মি.

সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।
সুতরাং সুষম পঞ্চভুজের পাঁচ কোণের সমষ্টি = (2×5 - 4) সমকোণ
= (10-4) × 90°
= 6 × 90°
= 540°
সুতরাং সুষম পঞ্চভুজের একটি শীর্ষ কোণ = 540°/5
= 108°

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত ৪ : ৩ : ২  এবং তার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল ৪৬৮ বর্গমিটার হলে, তার আয়তন নির্ণয় করুন।

সমাধান:
মনে করি,
দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ৪x, ৩x ও ২x মিটার

∴ ২{(৪x × ৩x) + (৩x × ২x )+ (২x × ৪x)} = ৪৬৮
⇒ ১২x^২ + ৬x^২ + ৮x^২ = ২৩৪
⇒ ২৬x^২ = ২৩৪
⇒ x^২ = ৯
⇒ x = ৩

∴ আয়তাকার ঘনবস্তুর,
দৈর্ঘ্য = ৪ × ৩ = ১২ মিটার 
প্রস্থ = ৩ × ৩ = ৯ মিটার
এবং উচ্চতা = ২ × ৩ = ৬ মিটার

∴ আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন = (১২ × ৯ × ৬) ঘনমিটার
= ৬৪৮ ঘনমিটার

বহিস্থ ∠ACD = ∠A + ∠B
বা, 115° = 60° + ∠B
∴ ∠B = 115° - 60° = 55°

ধরি, বাহুর সংখ্যা n
সুষম বহুভুজের মোট অন্তঃস্থ কোণ = (n-2) x 180
বা, 108 x n = (n-2) x 180
বা, 108n = 180n – 360
বা, n = 360/72 = 5

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অণুপাত ২ : ২ : ৩ : ৫  হলে, চতুর্ভুজটির বৃহত্তম কোণের মান বের করুন?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°

দেওয়া আছে,
চার কোণের অনুপাত ২ : ২ : ৩ : ৫
∴ অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ২ + ২ + ৩ + ৫ = ১২

∴ বৃহত্তম কোণ = (৩৬০ এর ৫/১২)°
= ১৫০°

AB = ২৪ সেমি
∴ AD = ১২ সেমি
AF² = AD ²+ FD²
∴AF = ১৩ সেমি

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৬ গুণ। দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার হলে, ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আয়তকার ক্ষেত্রের বিস্তার = ক মিটার
আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৬ক মিটার

প্রশ্নমতে,
৬ক = ২৪
∴ ক = ৪

আয়তকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(৬ক + ক )
= ১৪ক
= (১৪ × ৪) মিটার
= ৫৬ মিটার

অন্তঃকোণের সংজ্ঞানুসারে প্রশ্নটি প্রণীত।