৪,৮০১.
(sin2)55° + (sin2)35° = ?
সঠিক উত্তর: গ
গ) 1
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) 1
ব্যাখ্যা
(sin2)55° + (sin2)35°
= (sin2)55° + (sin2) (90°-55°)
= (sin2)55° + (cos2)55°
= 1
= (sin2)55° + (sin2) (90°-55°)
= (sin2)55° + (cos2)55°
= 1
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
জ্যামিতি
জ্যামিতি
PrepBank · পাতা ৪৯ / ১০৭ · ৪,৮০১–৪,৯০০ / ১০,৭৫২
গ
৪,৮০২.
যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও তাদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে বলে-
সঠিক উত্তর: ঘ
সন্নিহিত কোণ
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
সন্নিহিত কোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও তাদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে বলে-
সমাধান:
সন্নিহিত কোণ (Adjacent Angle):
- যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও তাদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে। এরূপ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণও বলা হয় ।
- কোনো রশ্মি তার প্রান্তবিন্দুতে একটি সরলরেখার সাথে মিলিত হলে, যে দুইটি কোণ উৎপন্ন হয় তারাও সন্নিহিত কোণ।
সমাধান:
সন্নিহিত কোণ (Adjacent Angle):
- যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও তাদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে। এরূপ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণও বলা হয় ।
- কোনো রশ্মি তার প্রান্তবিন্দুতে একটি সরলরেখার সাথে মিলিত হলে, যে দুইটি কোণ উৎপন্ন হয় তারাও সন্নিহিত কোণ।
৪,৮০৩.
কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের পার্থক্য 20° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?
সঠিক উত্তর: ক
ক) 35°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
ক) 35°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের পার্থক্য 20° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?
সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ x এবং
অপর ক্ষুদ্রতম কোণ x + 20°
এখন,
x + x + 20° + 90° = 180°
⇒ 2x = 180° - 110°
⇒ 2x = 70°
⇒ x = 70°/2
∴ x = 35°
∴ ক্ষুদ্রতম কোণ 35°
সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ x এবং
অপর ক্ষুদ্রতম কোণ x + 20°
এখন,
x + x + 20° + 90° = 180°
⇒ 2x = 180° - 110°
⇒ 2x = 70°
⇒ x = 70°/2
∴ x = 35°
∴ ক্ষুদ্রতম কোণ 35°
৪,৮০৪.
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের কত গুণ?
সঠিক উত্তর: গ
গ) দ্বিগুণ
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) দ্বিগুণ
ব্যাখ্যা
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
বা বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
যেমন, যদি একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 40° হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 80°।
৪,৮০৫.
একটি সোনার বারের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা যথাক্রমে ৫ সে.মি., ৪ সে.মি. এবং ১.৫ সে.মি.। একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা যথাক্রমে ৫৫ সে.মি., ৪৮ সে.মি. এবং ৩০ সে.মি. হলে, বাক্সটিতে কয়টি সোনার বার রাখা যাবে?
সঠিক উত্তর: গ
গ) ২৬৪০টি
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) ২৬৪০টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সোনার বারের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা যথাক্রমে ৫ সে.মি., ৪ সে.মি. এবং ১.৫ সে.মি.। একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা যথাক্রমে ৫৫ সে.মি., ৪৮ সে.মি. এবং ৩০ সে.মি. হলে, বাক্সটিতে কয়টি সোনার বার রাখা যাবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সোনার বারের দৈর্ঘ্য = ৫ সে.মি.
সোনার বারের প্রস্থ = ৪ সে.মি.
সোনার বারের উচ্চতা = ১.৫ সে.মি.
সোনার বারের আয়তন = ৫ × ৪ × ১.৫ ঘন সে.মি.
= ৩০ ঘন সে.মি.
আবার,
বাক্সের দৈর্ঘ্য = ৫৫ সে.মি.
বাক্সের প্রস্থ = ৪৮ সে.মি.
বাক্সের উচ্চতা = ৩০ সে.মি.
বাক্সের আয়তন = ৫৫ × ৪৮ × ৩০ ঘন সে.মি.
= ৭৯২০০ ঘন সে.মি.
সোনার বারের সংখ্যা = ৭৯২০০/ ৩০টি
= ২৬৪০টি
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সোনার বারের দৈর্ঘ্য = ৫ সে.মি.
সোনার বারের প্রস্থ = ৪ সে.মি.
সোনার বারের উচ্চতা = ১.৫ সে.মি.
সোনার বারের আয়তন = ৫ × ৪ × ১.৫ ঘন সে.মি.
= ৩০ ঘন সে.মি.
আবার,
বাক্সের দৈর্ঘ্য = ৫৫ সে.মি.
বাক্সের প্রস্থ = ৪৮ সে.মি.
বাক্সের উচ্চতা = ৩০ সে.মি.
বাক্সের আয়তন = ৫৫ × ৪৮ × ৩০ ঘন সে.মি.
= ৭৯২০০ ঘন সে.মি.
সোনার বারের সংখ্যা = ৭৯২০০/ ৩০টি
= ২৬৪০টি
৪,৮০৬.
O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তের P একটি বহিঃস্থ বিন্দু এবং PA ও PB রেখাংশদ্বয় বৃত্তের A ও B বিন্দুতে দুইটি স্পর্শক হলে নিচের কোনটি সত্য?
সঠিক উত্তর: খ
খ) PA = PB
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) PA = PB
ব্যাখ্যা
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানলে, ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান ।
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তের P একটি বহিঃস্থ বিন্দু এবং PA ও PB রেখাংশদ্বয় বৃত্তের A ও B বিন্দুতে দুইটি স্পর্শক।
তাহলে PA = PB
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তের P একটি বহিঃস্থ বিন্দু এবং PA ও PB রেখাংশদ্বয় বৃত্তের A ও B বিন্দুতে দুইটি স্পর্শক।
তাহলে PA = PB
৪,৮০৭.
ত্রিভুজের দুই কোণের সমষ্টি -
সঠিক উত্তর: গ
গ) ১৮০° - তৃতীয় কোণ
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) ১৮০° - তৃতীয় কোণ
ব্যাখ্যা
কোণ তিনটি যথাক্রমে, ∠A, ∠B ও ∠C হলে,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + B = 180° - ∠C
৪,৮০৮.
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: খ
537.5 বর্গ সে.মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
537.5 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 502 = 2500
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × r2
= 3.14 × 252 [r = 50/2 = 25 cm]
= 1962.5
∴ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল = 2500 - 1962.5
= 537.5 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 502 = 2500
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × r2
= 3.14 × 252 [r = 50/2 = 25 cm]
= 1962.5
∴ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল = 2500 - 1962.5
= 537.5 বর্গ সে.মি.
৪,৮০৯.
ABCD চতুর্ভুজের E, F, G, H যথাক্রমে AB, BC, CD, DA বাহুর মধ্যবিন্দু হলে EFGH একটি -
সঠিক উত্তর: গ
গ) সামান্তরিক
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) সামান্তরিক
৪,৮১০.
একটি আয়তকার ঘন বস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতার অনুপাত 5:4:3 এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য 30√2 মিঃ হলে আয়তন কত?
সঠিক উত্তর: খ
খ) 12,960 ঘনমিঃ
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) 12,960 ঘনমিঃ
ব্যাখ্যা
দৈর্ঘ্য = 5a,
প্রস্থ = 4a,
উচ্চতা = 3a
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য় = √{(5a)2 + (4a)2 + (3a)2} = 30√2
বা, √(25a2 + 16a2 + 9a2) = 30√2
বা, √50a2 = 30√2
বা, 5√2a = 30√2
∴ a = 6
∴ আয়তন = 5a × 4a × 3a
= 60a3
= 60(6)3
= 60 × 216
= 12,960 ঘনমিঃ
৪,৮১১.
একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 3 : 1 এবং উহার পরিসীমা 200 মিটার হলে আয়তাকার ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) কোনটিই নয়
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
দৈর্ঘ্য 3x এবং প্রস্থ x হলে,
2(3x + x) = 200
4x = 100
∴ x = 25
∴ আয়তকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 75 X 25 = 1875.
৪,৮১২.
চিত্রে xy এবং wz দুটো সমান্তরাল সরলরেখা, PQ তাদের ছেদক। সেক্ষেত্রে ∠a + ∠b এর মান নিচের কোনটি?
সঠিক উত্তর: গ
গ) 180°
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) 180°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্রে xy এবং wz দুটো সমান্তরাল সরলরেখা, PQ তাদের ছেদক। সেক্ষেত্রে ∠a + ∠b এর মান নিচের কোনটি?
সমাধান:
প্রদত্ত চিত্রে xy এবং wz দুটো সমান্তরাল সরলরেখা, PQ তাদের ছেদক।
∠a + ∠b = 180°
সমাধান:
প্রদত্ত চিত্রে xy এবং wz দুটো সমান্তরাল সরলরেখা, PQ তাদের ছেদক।
∠a + ∠b = 180°
৪,৮১৩.
y = x + 2, y = - x + 2 এবং y = 1 দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্র -
সঠিক উত্তর: ঘ
একটি সমকোণী ও সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
একটি সমকোণী ও সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
ব্যাখ্যা
y = - x + 2 এবং y = x + 2 সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দু (0, 2)
y = - x + 2 এবং y = 1 সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দু (1, 1)
y = x + 2 এবং y = 1 সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দু (-1, 1)
(0, 2) ও (1, 1) বিন্দু দুইটির দূরত্ব = √2
(1, 1) ও (-1, 1) বিন্দু দুইটির দূরত্ব = 2
(-1, 1) ও (0, 2) বিন্দু দুইটির দূরত্ব = √2
অতএব, y = x + 2, y = - x + 2 এবং y = 1 দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্র একটি সমকোণী ও সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
y = - x + 2 এবং y = 1 সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দু (1, 1)
y = x + 2 এবং y = 1 সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দু (-1, 1)
(0, 2) ও (1, 1) বিন্দু দুইটির দূরত্ব = √2
(1, 1) ও (-1, 1) বিন্দু দুইটির দূরত্ব = 2
(-1, 1) ও (0, 2) বিন্দু দুইটির দূরত্ব = √2
অতএব, y = x + 2, y = - x + 2 এবং y = 1 দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্র একটি সমকোণী ও সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
৪,৮১৪.
কোন আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয়কেই দ্বিগুণ করা হলে, এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায়?
সঠিক উত্তর: খ
৩০০%
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
৩০০%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয়কেই দ্বিগুণ করা হলে, এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায়?
সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ক একক
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ খ একক
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কখ বর্গএকক
দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ দ্বিগুণ হলে ক্ষেত্রফল হবে = ২ক × ২খ বর্গএকক
= ৪কখ বর্গএকক
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = (৪কখ - কখ) বর্গএকক
= ৩কখ
কখ বর্গএকক এ বৃদ্ধি পায় ৩কখ বর্গএকক
∴ ১ বর্গএকক এ বৃদ্ধি পায় (৩কখ)/(কখ) = ৩ বর্গএকক
∴ ১০০ বর্গএকক এ বৃদ্ধি পায় ৩ × ১০০ বর্গএকক
= ৩০০ বর্গএকক
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩০০% বৃদ্ধি পাবে।
সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ক একক
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ খ একক
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কখ বর্গএকক
দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ দ্বিগুণ হলে ক্ষেত্রফল হবে = ২ক × ২খ বর্গএকক
= ৪কখ বর্গএকক
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = (৪কখ - কখ) বর্গএকক
= ৩কখ
কখ বর্গএকক এ বৃদ্ধি পায় ৩কখ বর্গএকক
∴ ১ বর্গএকক এ বৃদ্ধি পায় (৩কখ)/(কখ) = ৩ বর্গএকক
∴ ১০০ বর্গএকক এ বৃদ্ধি পায় ৩ × ১০০ বর্গএকক
= ৩০০ বর্গএকক
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩০০% বৃদ্ধি পাবে।
৪,৮১৫.
একটি আয়তকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৭০ মিটার এবং প্রস্থ ৫০ মিটার হলে, মাঠের পরিসীমা কত?
সঠিক উত্তর: গ
২৪০ মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
২৪০ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৭০ মিটার এবং প্রস্থ ৫০ মিটার হলে, মাঠের পরিসীমা কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
আয়তকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
= ২(৭০ + ৫০) মিটার
= ২৪০ মিটার
∴ নির্ণেয় পরিসীমা = ২৪০ মিটার
সমাধান:
আমরা জানি,
আয়তকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
= ২(৭০ + ৫০) মিটার
= ২৪০ মিটার
∴ নির্ণেয় পরিসীমা = ২৪০ মিটার
৪,৮১৬.
একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সেন্টিমিটার এবং ৫ সেন্টিমিটার। সামান্তরিকটির পরিসীমা কত?
সঠিক উত্তর: গ
৩৪ সেন্টিমিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
৩৪ সেন্টিমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সেন্টিমিটার এবং ৫ সেন্টিমিটার। সামান্তরিকটির পরিসীমা কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের এক বাহু = ১২সেন্টিমিটার
অপর বাহু = ৫ সেন্টিমিটার
সামান্তরিকের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
= ২(১২ + ৫) সেন্টিমিটার
= (২ × ১৭) সেন্টিমিটার
= ৩৪ সেন্টিমিটার
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের এক বাহু = ১২সেন্টিমিটার
অপর বাহু = ৫ সেন্টিমিটার
সামান্তরিকের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
= ২(১২ + ৫) সেন্টিমিটার
= (২ × ১৭) সেন্টিমিটার
= ৩৪ সেন্টিমিটার
৪,৮১৭.
একটি সুষম ষড়ভুজের পরিসীমা ৭২ সে.মি.। ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল প্রায় কত বর্গ সে.মি.?
সঠিক উত্তর: গ
৩৭৪ বর্গ সে.মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
৩৭৪ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের পরিসীমা ৭২ সে.মি.। ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল প্রায় কত বর্গ সে.মি.?
সমাধান:
সুষম ষড়ভুজের পরিসীমা ৭২ সে.মি.
∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৭২/৬ সে.মি.
= ১২ সে.মি.
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল = {(na2)/4} cot(180°/n)
এখানে, n = বাহুর সংখ্যা
a = বাহুর দৈর্ঘ্য
∴ ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = {(৬ × ১২২)/৪}cot(১৮০°/৬)
= ২১৬ × cot৩০°
= ২১৬ × √৩
= ৩৭৪.১২২
≈ ৩৭৪
৪,৮১৮.
১টি বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গমিটার হলে তার পরিসীমা কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
৮০ মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
৮০ মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১টি বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গমিটার হলে তার পরিসীমা কত?
সমাধান:
বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = ৪০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের প্রতিবাহু = √৪০০ মিটার
= ২০ মিটার
∴ মাঠের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৪ × ২০) মিটার
= ৮০ মিটার
সমাধান:
বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = ৪০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের প্রতিবাহু = √৪০০ মিটার
= ২০ মিটার
∴ মাঠের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৪ × ২০) মিটার
= ৮০ মিটার
৪,৮১৯.
নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) x2 + y2 = 5
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) x2 + y2 = 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?
সমাধান:
বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ট্য:
(i) x, y এর সর্বোচ্চ ঘাত 2।
(ii) x2 ও y2 এর সহগ সমান।
(iii) xy সম্বলিত পদ না থাকা।
∴ বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী x2 + y2 = 5 বৃত্তের সমীকরণ
সমাধান:
বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ট্য:
(i) x, y এর সর্বোচ্চ ঘাত 2।
(ii) x2 ও y2 এর সহগ সমান।
(iii) xy সম্বলিত পদ না থাকা।
∴ বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী x2 + y2 = 5 বৃত্তের সমীকরণ
৪,৮২০.
যদি ১৮ ফুট দীর্ঘ এবং ১৫ ফুট প্রস্থ একটি কার্পেট দিয়ে একটি ঘরের মেঝের ৪০% জায়গা ঢেকে দেয়া যায় তবে ঐ মেঝের ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: ক
৬৭৫ বর্গফুট
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
৬৭৫ বর্গফুট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি ১৮ ফুট দীর্ঘ এবং ১৫ ফুট প্রস্থ একটি কার্পেট দিয়ে একটি ঘরের মেঝের ৪০% জায়গা ঢেকে দেয়া যায় তবে ঐ মেঝের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
কার্পেটের ক্ষেত্রফল = ১৮ × ১৫
= ২৭০ বর্গফুট
৪০% মেঝে = ২৭০ বর্গফুট
⇒ ১% মেঝে = ২৭০/৪০ বর্গফুট
⇒ ১০০% বা সম্পূর্ণ মেঝে = (২৭০ × ১০০) /৪০ বর্গফুট = ৬৭৫ বর্গফুট
৪,৮২১.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান কোণদ্বয়ের একটি 50° হলে, বৃহত্তম কোনটির মান -
সঠিক উত্তর: খ
খ) 80°
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) 80°
ব্যাখ্যা
বৃহত্তম কোণ = 180° - (সমান কোণদ্বয়ের সমষ্টি)
= 180° - (2 × 50)°
= 80°
৪,৮২২.
একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ ৩৭° ও ৫৩°। ত্রিভুজটি কোন ধরণের?
সঠিক উত্তর: ক
ক) সমকোণী
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
ক) সমকোণী
ব্যাখ্যা
ত্রিভুজের তিনকোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
ত্রিভুজটির তৃতীয় কোণের পরিমাপ = ১৮০°- (৫৩° + ৩৭°)
= ৯০°
অতএব, ত্রিভুজটি সমকোণী।
ত্রিভুজটির তৃতীয় কোণের পরিমাপ = ১৮০°- (৫৩° + ৩৭°)
= ৯০°
অতএব, ত্রিভুজটি সমকোণী।
৪,৮২৩.
অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে একটি অপরটির দ্বিগুণ হলে, বৃহত্তম সূক্ষ্মকোণটির পরিমাণ কত?
সঠিক উত্তর: খ
৬০°
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
৬০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে একটি অপরটির দ্বিগুণ হলে, বৃহত্তম সূক্ষ্মকোণটির পরিমাণ কত?
সমাধান:
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হওয়ায় ত্রিভুজটি সমকোণী।
ত্রিভুজটির সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের ক্ষুদ্রতম কোণটি = x হলে বৃহত্তম কোণটি হবে = ২x
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ x + ২x + ৯০° = ১৮০°
বা, ৩x = ১৮০° - ৯০°
বা, ৩x = ৯০°
বা, x = ৯০°/৩
∴ x = ৩০°
অর্থাৎ, ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩০°
∴ বৃহত্তম সূক্ষ্মকোণ= ২x
= ২ × ৩০°
= ৬০°
৪,৮২৪.
কোনো ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 সে.মি. হলে ঘনকটির আয়তন কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) 64 ঘন সে.মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) 64 ঘন সে.মি.
ব্যাখ্যা
মনে করি,
ঘনকের ধার, a
আমরা জানি,
ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a এবং আয়তন = a3 ঘন একক।
প্রশ্নানুসারে, √2a = 4√2
বা, a = 4
সুতরাং ঘনকটির আয়তন = 43
= 64
উৎসঃ গণিত, নবম-দশম শ্রেণি।
৪,৮২৫.
দুটি বৃত্ত যদি পরস্পর স্পর্শ করে তবে কেন্দ্র হতে স্পর্শ বিন্দুগামী সরলরেখা দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?
সঠিক উত্তর: খ
খ) ১৮০°
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) ১৮০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত যদি পরস্পর স্পর্শ করে তবে কেন্দ্র হতে স্পর্শ বিন্দুগামী সরলরেখা দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?
সমাধান:
বৃত্তের যে কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।
∴ ∠AOC = 90°, ∠BOC = 90°
∠AOC + ∠BOC = 90° + 90°
= 180°
= এক সরলকোণ।
∴ AO এবং BO এর মধ্যবর্তী কোণ সরলকোণ।
সমাধান:
বৃত্তের যে কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।
∴ ∠AOC = 90°, ∠BOC = 90°
∠AOC + ∠BOC = 90° + 90°
= 180°
= এক সরলকোণ।
∴ AO এবং BO এর মধ্যবর্তী কোণ সরলকোণ।
৪,৮২৬.
সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর________ .
সঠিক উত্তর: খ
খ) পূরক
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) পূরক
ব্যাখ্যা
- ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত
অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
- ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত
কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর ।
- সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ 60°
অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
- ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত
কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর ।
- সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ 60°
৪,৮২৭.
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে, উহার ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: ক
ক) √3/4 × a2 বর্গ একক
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
ক) √3/4 × a2 বর্গ একক
ব্যাখ্যা
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে, উহার ক্ষেত্রফল = √3/4 × a2 বর্গ একক
৪,৮২৮.
১২ সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ৮ সেমি হলে, প্রস্থ কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) ৬ সেমি
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) ৬ সেমি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- ১২ সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ৮ সেমি হলে, প্রস্থ কত?
সমাধান-
বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ১২ × ৪ = ৪৮ সেমি
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৪৮ সেমি
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৪৮/৮ = ৬ সেমি
সমাধান-
বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ১২ × ৪ = ৪৮ সেমি
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৪৮ সেমি
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৪৮/৮ = ৬ সেমি
৪,৮২৯.
10 টা 45 মিনিটে ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত ডিগ্রী হবে?
সঠিক উত্তর: ক
52.5°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
52.5°
ব্যাখ্যা
মধ্যবর্তী কোণ
= ।(11M - 60H)/2।°
= ।(11 × 45 - 60 × 10)/2।°
= ।(495 - 600)/2।°
= 52.5°
= ।(11M - 60H)/2।°
= ।(11 × 45 - 60 × 10)/2।°
= ।(495 - 600)/2।°
= 52.5°
৪,৮৩০.
একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ ৩৫° ও ৫৫°। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
সঠিক উত্তর: ক
সমকোণী
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
সমকোণী
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ ৩৫° ও ৫৫° । ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
বা, ৩৫° + ৫৫° + তৃতীয় কোণ = ১৮০°
বা, তৃতীয় কোণ = ১৮০° - ৯০°
∴ তৃতীয় কোণ = ৯০°
সুতরাং, ত্রিভুজটি সমকোণী।
সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
বা, ৩৫° + ৫৫° + তৃতীয় কোণ = ১৮০°
বা, তৃতীয় কোণ = ১৮০° - ৯০°
∴ তৃতীয় কোণ = ৯০°
সুতরাং, ত্রিভুজটি সমকোণী।
৪,৮৩১.
বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসার্ধের অনুপাত -
সঠিক উত্তর: গ
গ) 44/7
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) 44/7
ব্যাখ্যা
পরিধিঃব্যাসার্ধ = 2πr:r
= 2π
= 2 × 22/7
= 44/7
= 2π
= 2 × 22/7
= 44/7
৪,৮৩২.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু ৮ একক এবং সন্নিহিত বাহু ১৫ একক হলে অতিভুজ কত একক হবে?
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) ১৭
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) ১৭
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের, অতিভুজ২ = লম্ব২ + ভূমি২
⇒অতিভুজ২ = ৮২ + ১৫২
⇒অতিভুজ২ = ২৮৯
∴ অতিভুজ = ১৭
⇒অতিভুজ২ = ৮২ + ১৫২
⇒অতিভুজ২ = ২৮৯
∴ অতিভুজ = ১৭
৪,৮৩৩.
কোনো বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ৭২° হলে, বৃত্তস্থ কোণ কত হবে?
সঠিক উত্তর: গ
৩৬°
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
৩৬°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ৭২° হলে, বৃত্তস্থ কোণ কত হবে?
সমাধান:
আমরা জানি,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক হয়।
দেওয়া আছে, কেন্দ্রস্থ কোণ = ৭২°
∴ বৃত্তস্থ কোণ = ৭২°/২
= ৩৬°
∴ বৃত্তস্থ কোণ ৩৬°
৪,৮৩৪.
সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ৬ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: খ
৯√৩ বর্গমিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
৯√৩ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ৬ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × বাহু২
= (√৩/৪) × ৬২
= (√৩/৪) × ৩৬
= ৯√৩ বর্গমিটার
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৯√৩ বর্গমিটার।
৪,৮৩৫.
6 সেমি বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রে পরিলিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: খ
18π বর্গসেমি
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
18π বর্গসেমি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6 সেমি বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রে পরিলিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 6 সেমি
আমরা জানি, বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × বাহু = 6√2 সেমি
যেহেতু বৃত্তটি বর্গক্ষেত্রের বাইরে পরিলিখিত, তাই বর্গের কর্ণই হবে বৃত্তের ব্যাস।
∴ বৃত্তের ব্যাস = 6√2 সেমি
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = (6√2 / 2) সেমি = 3√2 সেমি
আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
= π(3√2)2
= π(9 × 2)
= 18π বর্গসেমি
∴ পরিলিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল 18π বর্গসেমি।
৪,৮৩৬.
একটি বেলনের ব্যাসার্ধ 20 সে.মি. এবং উচ্চতা 60 সে.মি. হলে ঐ বেলনের সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল এবং বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
সঠিক উত্তর: গ
গ) 4 : 3
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) 4 : 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বেলনের ব্যাসার্ধ 20 সে.মি. এবং উচ্চতা 60 সে.মি. হলে ঐ বেলনের সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল এবং বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
সমাধান:
দেয়া আছে
বেলনের ব্যাসার্ধ h = 20 সে.মি.
বেলনের উচ্চতা r = 60 সে.মি.
সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
বেলনের সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল এবং বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= 2πr(r + h) : 2πrh
= r + h : h
= (60 + 20) : 60
= 80 : 60
= 4 : 3
সমাধান:
দেয়া আছে
বেলনের ব্যাসার্ধ h = 20 সে.মি.
বেলনের উচ্চতা r = 60 সে.মি.
সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
বেলনের সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল এবং বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= 2πr(r + h) : 2πrh
= r + h : h
= (60 + 20) : 60
= 80 : 60
= 4 : 3
৪,৮৩৭.
একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ১৩ মিটার এবং প্রস্থ ৮ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ৪১ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?
সঠিক উত্তর: গ
১৭২২ টাকা
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
১৭২২ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ১৩ মিটার এবং প্রস্থ ৮ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ৪১ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ১৩ মিটার
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ ৮ মিটার
আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২ × (১৩ + ৮) মিটার
= ২ × ২১ মিটার
= ৪২ মিটার
১ মিটারে খরচ হয় ৪১ টাকা
∴ ৪২ মিটারে খরচ হয় (৪২ × ৪১) টাকা
= ১৭২২ টাকা
সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ১৩ মিটার
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ ৮ মিটার
আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২ × (১৩ + ৮) মিটার
= ২ × ২১ মিটার
= ৪২ মিটার
১ মিটারে খরচ হয় ৪১ টাকা
∴ ৪২ মিটারে খরচ হয় (৪২ × ৪১) টাকা
= ১৭২২ টাকা
৪,৮৩৮.
72 সে.মি. পরিসীমা বিশিষ্ট একটি অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: ক
308 বর্গ সে.মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
308 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 72 সে.মি. পরিসীমা বিশিষ্ট একটি অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে
πr + 2r = 72
⇒ r(π + 2) = 72
⇒ r{(22/7) + 2} = 72
⇒ r {(22 + 14)/7} = 72
⇒ r (36/7) = 72
⇒ r/7 = 2
r =14
অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল = (1/2)πr2
= (1/2) × (22/7) × 14 × 14
= 308 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে
πr + 2r = 72
⇒ r(π + 2) = 72
⇒ r{(22/7) + 2} = 72
⇒ r {(22 + 14)/7} = 72
⇒ r (36/7) = 72
⇒ r/7 = 2
r =14
অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল = (1/2)πr2
= (1/2) × (22/7) × 14 × 14
= 308 বর্গ সে.মি.
৪,৮৩৯.
কোন বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা এর দৈর্ঘ্য ২০ সেমি, কেন্দ্র থেকে ৬ সেমি দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত হবে?
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) ১৬ সেমি
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) ১৬ সেমি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- কোন বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা এর দৈর্ঘ্য ২০ সেমি, কেন্দ্র থেকে ৬ সেমি দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত হবে?
সমাধান-
বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা হচ্ছে বৃত্তের ব্যাস।
∴ ব্যাসার্ধ = ২০/২ = ১০ সেমি
পিথাগোরাসের সূত্র মতে =√(১০২ - ৬২)
= ৮ সেমি
তাহলে জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ২× ৮ = ১৬ সেমি
সমাধান-
বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা হচ্ছে বৃত্তের ব্যাস।
∴ ব্যাসার্ধ = ২০/২ = ১০ সেমি
পিথাগোরাসের সূত্র মতে =√(১০২ - ৬২)
= ৮ সেমি
তাহলে জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ২× ৮ = ১৬ সেমি
৪,৮৪০.
দুটি বৃত্ত পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করল। বৃহত্তর বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 8 সে.মি. এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 3 সে.মি.। অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) 5 সে.মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) 5 সে.মি.
ব্যাখ্যা
আমরা জানি
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান।
বৃহত্তর বৃত্তটির ব্যাসার্ধ r1 = 8 সে. মি.
অন্তঃস্থ বৃত্তের ব্যাসার্ধ r2= ?
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব= (r1 - r2)
3 = 8 - r2
3 - 8 = - r2
r2 = 5 সে.মি.
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান।
বৃহত্তর বৃত্তটির ব্যাসার্ধ r1 = 8 সে. মি.
অন্তঃস্থ বৃত্তের ব্যাসার্ধ r2= ?
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব= (r1 - r2)
3 = 8 - r2
3 - 8 = - r2
r2 = 5 সে.মি.
৪,৮৪১.
∠PRQ এর মান কত ডিগ্রী?
∠PRQ এর মান কত ডিগ্রী?
সঠিক উত্তর: গ
80°
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
80°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
∠PRQ এর মান কত ডিগ্রী?
সমাধান:
বহিঃস্থ কোণের মান থেকে একটি অন্তঃস্থ কোণের মান বিয়োগ করলে অপর কোণের মান পাওয়া যায়।
দেওয়া আছে,
একটি অন্তঃস্থ কোণ = 40°
বহিঃস্থ কোণ = 120°
∴ অপর কোণ বা ∠PRQ = 120° - 40°
= 80°
∠PRQ এর মান কত ডিগ্রী?
সমাধান:
বহিঃস্থ কোণের মান থেকে একটি অন্তঃস্থ কোণের মান বিয়োগ করলে অপর কোণের মান পাওয়া যায়।
দেওয়া আছে,
একটি অন্তঃস্থ কোণ = 40°
বহিঃস্থ কোণ = 120°
∴ অপর কোণ বা ∠PRQ = 120° - 40°
= 80°
৪,৮৪২.
একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ২৪২ বর্গ সে. মি. । যদি উচ্চতা ভূমির দ্বিগুণ হয়, তবে সামান্তরিকের উচ্চতা কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
২২ সে. মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
২২ সে. মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ২৪২ বর্গ সে. মি. । যদি উচ্চতা ভূমির দ্বিগুণ হয়, তবে সামান্তরিকের উচ্চতা কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ২৪২ বর্গ সে. মি.
ধরি,
ভূমি = ক সে. মি.
উচ্চতা = ২ক সে. মি.
আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
⇒ ক × ২ক = ২৪২
⇒ ২ক২ = ২৪২
⇒ ক২ = ২৪২/২
⇒ ক = √১২১
⇒ ক = ১১
∴ ভূমি = ক = ১১ সে. মি.
∴ উচ্চতা = ২ক = ২ × ১১ = ২২ সে. মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ২৪২ বর্গ সে. মি.
ধরি,
ভূমি = ক সে. মি.
উচ্চতা = ২ক সে. মি.
আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
⇒ ক × ২ক = ২৪২
⇒ ২ক২ = ২৪২
⇒ ক২ = ২৪২/২
⇒ ক = √১২১
⇒ ক = ১১
∴ ভূমি = ক = ১১ সে. মি.
∴ উচ্চতা = ২ক = ২ × ১১ = ২২ সে. মি.
৪,৮৪৩.
একটি চতুর্ভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 1 cm, 2 cm, এবং 3 cm হলে চতুর্থ বাহুর দৈর্ঘ্য -
সঠিক উত্তর: ক
ক) 5 cm
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
ক) 5 cm
ব্যাখ্যা
চতুর্ভুজের যে কোন তিন বাহুর সমষ্টি ৪র্থ বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে। সুতরাং, প্রদত্ত অপশনগুলোতে সঠিক উত্তর - ৫ সে.মি।
৪,৮৪৪.
1 + tanx = √2 হলে cotx - 1 = কত?
সঠিক উত্তর: খ
√2
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
√2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 + tanx = √2 হলে cotx - 1 = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
1 + tanx = √2
⇒ tanx = √2 - 1
⇒ cotx = 1/(√2 - 1)
⇒ cotx = (√2 + 1)/{(√2 - 1)(√2 + 1)}
⇒ cotx = (√2 + 1)/(2 - 1)
⇒ cotx = √2 + 1
∴ cotx - 1 = √2
সমাধান:
দেওয়া আছে,
1 + tanx = √2
⇒ tanx = √2 - 1
⇒ cotx = 1/(√2 - 1)
⇒ cotx = (√2 + 1)/{(√2 - 1)(√2 + 1)}
⇒ cotx = (√2 + 1)/(2 - 1)
⇒ cotx = √2 + 1
∴ cotx - 1 = √2
৪,৮৪৫.
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের OC, AB জ্যা এর উপর লম্ব এবং AC = 8 সে.মি. হলে AB এর মান কত?
সঠিক উত্তর: ক
16 সে.মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
16 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের OC, AB জ্যা এর উপর লম্ব এবং AC = 8 সে.মি. হলে AB এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
AC = 8 সে.মি.
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং, AB = (8 × 2) = 16 সে.মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
AC = 8 সে.মি.
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং, AB = (8 × 2) = 16 সে.মি.
৪,৮৪৬.
রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ এবং ১৫ বর্গমিটার। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
৯০ বর্গমিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
৯০ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ এবং ১৫ বর্গমিটার। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
রম্বসটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ১২ × ১৫
= ৯০ বর্গমিটার
সমাধান:
রম্বসটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ১২ × ১৫
= ৯০ বর্গমিটার
৪,৮৪৭.
দুই সমকোণ অপেক্ষা বড় ও চার সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে বলে-
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) প্রবৃদ্ধ কোণ
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) প্রবৃদ্ধ কোণ
ব্যাখ্যা
দুই সমকোণ বা ১৮০° থেকে বড় এবং চার সমকোণ বা ৩৬০° থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধকোণ বলে।
৪,৮৪৮.
9 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 14 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?
সঠিক উত্তর: গ
378 ঘন সে.মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
378 ঘন সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 14 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?
সমাধান:
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × 9 × 9 × 14 ঘন সে.মি.
= 378 ঘন সে.মি.
সমাধান:
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × 9 × 9 × 14 ঘন সে.মি.
= 378 ঘন সে.মি.
৪,৮৪৯.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) 25 বর্গমিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) 25 বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
ধরি,
সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a মি.
এখন,
a2 + a2 = 102
বা, 2a2 = 100
বা, a2 = 50
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × a × a
= (1/2) × a2
= (1/2) × 50
= 25 বর্গমিটার
সমাধান:
ধরি,
সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a মি.
এখন,
a2 + a2 = 102
বা, 2a2 = 100
বা, a2 = 50
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × a × a
= (1/2) × a2
= (1/2) × 50
= 25 বর্গমিটার
৪,৮৫০.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৫ মিটার ও ৯ মিটার এবং তাদের উচ্চতা ৭ মিটার। ঐ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: খ
৮৪ বর্গমিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
৮৪ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৫ মিটার ও ৯ মিটার এবং তাদের উচ্চতা ৭ মিটার। ঐ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের যোগফল) × উচ্চতা
= (১/২) × (১৫ + ৯) × ৫
= (১/২) × ২৪ × ৭
= ৮৪ বর্গমিটার
সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের যোগফল) × উচ্চতা
= (১/২) × (১৫ + ৯) × ৫
= (১/২) × ২৪ × ৭
= ৮৪ বর্গমিটার
৪,৮৫১.
নিচের কোন তথ্যটি ভুল?
সঠিক উত্তর: ক
ক) রেখাংশের একটি প্রান্তবিন্দু আছে।
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
ক) রেখাংশের একটি প্রান্তবিন্দু আছে।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন তথ্যটি ভুল?
সমাধান:
রেখা: রেখা অসীম, রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই। রেখা উভয় দিকে অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত।
রশ্মি: একটি রেখার একটি দিকে যদি প্রান্তবিন্দু থাকে এবং অন্যদিকে অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত থাকে তাকে রশ্মি বলে।
রেখাংশ: কোন রেখার দুইটি বিন্দু চিহ্নিত করে সেই অংশ কেটে নিলে তাকে রেখাংশ বলে।
সমাধান:
রেখা: রেখা অসীম, রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই। রেখা উভয় দিকে অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত।
রশ্মি: একটি রেখার একটি দিকে যদি প্রান্তবিন্দু থাকে এবং অন্যদিকে অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত থাকে তাকে রশ্মি বলে।
রেখাংশ: কোন রেখার দুইটি বিন্দু চিহ্নিত করে সেই অংশ কেটে নিলে তাকে রেখাংশ বলে।
৪,৮৫২.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থকে দ্বিগুণ করলে ক্ষেত্রফল মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের কতগুণ হবে?
সঠিক উত্তর: গ
4 গুণ
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
4 গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থকে দ্বিগুণ করলে ক্ষেত্রফল মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের কতগুণ হবে?
সমাধান:
ধরি,
মূল আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = a
মূল আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = b
মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ab
তাহলে,
২য় আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 2a
২য় আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 2b
২য় আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2a × 2b
= 4ab
= 4 × মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থকে দ্বিগুণ করলে ক্ষেত্রফল মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের 4 গুণ হবে।
সমাধান:
ধরি,
মূল আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = a
মূল আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = b
মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ab
তাহলে,
২য় আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 2a
২য় আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 2b
২য় আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2a × 2b
= 4ab
= 4 × মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থকে দ্বিগুণ করলে ক্ষেত্রফল মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের 4 গুণ হবে।
৪,৮৫৩.
একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 160 বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য 6 মিটার কম হয়, তবে ক্ষেত্রটি বর্গাকার হয়। আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
16 মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
16 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 160 বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য 6 মিটার কম হয়, তবে ক্ষেত্রটি বর্গাকার হয়। আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x মিটার
প্রস্থ x - 6 মিটার
x (x - 6) = 160
⇒ x2 - 6x - 160 = 0
⇒ x2 - 16x + 10x - 160 = 0
⇒ x(x - 16) + 10 (x - 16) = 0
⇒ (x - 16) (x + 10) = 0
⇒ x = 16, x = -10
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 16 মিটার।
সমাধান:
ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x মিটার
প্রস্থ x - 6 মিটার
x (x - 6) = 160
⇒ x2 - 6x - 160 = 0
⇒ x2 - 16x + 10x - 160 = 0
⇒ x(x - 16) + 10 (x - 16) = 0
⇒ (x - 16) (x + 10) = 0
⇒ x = 16, x = -10
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 16 মিটার।
৪,৮৫৪.
একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 150 বর্গ সে. মি. এবং আয়তন 225 ঘন সে. মি.। বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ কত?
সঠিক উত্তর: গ
গ) 3 সে. মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) 3 সে. মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 150 বর্গ সে. মি. এবং আয়তন 225 ঘন সে. মি.। বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ কত?
সমাধান :
মনেকরি,
বেলনটির উচ্চতা h এবং ভূমির ব্যাসার্ধ r
প্রশ্নমতে,
2πrh = 150 ........... (1)
πr2h = 225 ............ (2)
(2)নং কে (1) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
πr2h/2πrh = 225/150
r/2 =3/2
r= 3
সমাধান :
মনেকরি,
বেলনটির উচ্চতা h এবং ভূমির ব্যাসার্ধ r
প্রশ্নমতে,
2πrh = 150 ........... (1)
πr2h = 225 ............ (2)
(2)নং কে (1) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
πr2h/2πrh = 225/150
r/2 =3/2
r= 3
৪,৮৫৫.
কোন ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য 7√2 সে.মি. হলে, ঘনকটির আয়তন কত?
সঠিক উত্তর: গ
343 ঘন সে.মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
343 ঘন সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য 7√2 সে.মি. হলে, ঘনকটির আয়তন কত?
সমাধান:
মনে করি,
ঘনকের এক ধার = a
ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2
প্রশ্নমতে,
a√2 = 7√2
∴ a = 7
ঘনকটির আয়তন = a3
= 73
= 343 ঘন সে.মি.
সমাধান:
মনে করি,
ঘনকের এক ধার = a
ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2
প্রশ্নমতে,
a√2 = 7√2
∴ a = 7
ঘনকটির আয়তন = a3
= 73
= 343 ঘন সে.মি.
৪,৮৫৬.
একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য 2000 সে.মি., উচ্চতা 5 মি. এবং পুরুত্ব 40 সে.মি.। একটি ইটের দৈর্ঘ্য 20 সে.মি., প্রস্থ 5 সে.মি., উচ্চতা 4 সে.মি.। দেওয়ালটি ইট দিয়ে তৈরী করতে কয়টি ইট প্রয়োজন?
সঠিক উত্তর: ক
ক) 100000 টি
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
ক) 100000 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য 2000 সে.মি., উচ্চতা 5 মি. এবং পুরুত্ব 40 সে.মি.। একটি ইটের দৈর্ঘ্য 20 সে.মি., প্রস্থ 5 সে.মি., উচ্চতা 4 সে.মি.। দেওয়ালটি ইট দিয়ে তৈরী করতে কয়টি ইট প্রয়োজন?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দেওয়ালের দৈর্ঘ্য = 2000 সে.মি.
দেওয়ালের উচ্চতা = 5 মি. = 500 সে.মি.
দেওয়ালের পুরুত্ব = 40 সে.মি.
দেওয়ালটির আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা)
= (2000 × 500 × 40) ঘন সে.মি.
আবার, ইটের আয়তন = (20 × 5 × 4) ঘন সে.মি.
∴ দেওয়ালটি ইট দিয়ে তৈরী করতে ইট লাগবে = (2000 × 500 × 40)/(20× 5 × 4) টি
= 100000 টি
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দেওয়ালের দৈর্ঘ্য = 2000 সে.মি.
দেওয়ালের উচ্চতা = 5 মি. = 500 সে.মি.
দেওয়ালের পুরুত্ব = 40 সে.মি.
দেওয়ালটির আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা)
= (2000 × 500 × 40) ঘন সে.মি.
আবার, ইটের আয়তন = (20 × 5 × 4) ঘন সে.মি.
∴ দেওয়ালটি ইট দিয়ে তৈরী করতে ইট লাগবে = (2000 × 500 × 40)/(20× 5 × 4) টি
= 100000 টি
৪,৮৫৭.
দুই বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৩:২ হলে বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফল এর অনুপাত কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) ৯:৪
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) ৯:৪
ব্যাখ্যা
ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×32:π×22
= 9:4
দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×32:π×22
= 9:4
৪,৮৫৮.
দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 4 : 3 হলে তাদের পরিধির অনুপাত কত?
সঠিক উত্তর: গ
গ) 4 : 3
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) 4 : 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 4 : 3 হলে তাদের পরিধির অনুপাত কত?
সমাধান:
মনে করি,
বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 4r এবং 3r
সুতরাং, তাদের পরিধির অনুপাত = (2π × 4r) : (2π × 3π) = 4 : 3
সমাধান:
মনে করি,
বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 4r এবং 3r
সুতরাং, তাদের পরিধির অনুপাত = (2π × 4r) : (2π × 3π) = 4 : 3
৪,৮৫৯.
সমাধান করুন:
সঠিক উত্তর: ক
cotθ
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
cotθ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
সমাধান:
৪,৮৬০.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে ক/৩, ক/৩ এবং ৪ক/৩ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণ দুটির সমষ্টি কত?
সঠিক উত্তর: খ
৬০°
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
৬০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে ক/৩, ক/৩ এবং ৪ক/৩ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণ দুটির সমষ্টি কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ ক/৩ + ক/৩ + ৪ক/৩ = ১৮০°
বা, (ক + ক + ৪ক)/৩ = ১৮০°
বা, ৬ক/৩ = ১৮০°
বা, ৬ক = ১৮০° × ৩
বা, ক = (১৮০° × ৩)/৬
∴ ক = ৯০°
∴ ক্ষুদ্রতম কোণ দুটির সমষ্টি = (ক/৩) + (ক/৩)
= (ক + ক)/৩
= ২ক/৩
= (২ × ৯০°)/৩
= ৬০° ।
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ ক/৩ + ক/৩ + ৪ক/৩ = ১৮০°
বা, (ক + ক + ৪ক)/৩ = ১৮০°
বা, ৬ক/৩ = ১৮০°
বা, ৬ক = ১৮০° × ৩
বা, ক = (১৮০° × ৩)/৬
∴ ক = ৯০°
∴ ক্ষুদ্রতম কোণ দুটির সমষ্টি = (ক/৩) + (ক/৩)
= (ক + ক)/৩
= ২ক/৩
= (২ × ৯০°)/৩
= ৬০° ।
৪,৮৬১.
একটি বাগানের পরিসীমা ৪৪ ফুট, ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গফুট, বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) ১২, ১০
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) ১২, ১০
ব্যাখ্যা
ধরি, বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে x ও y.
প্রশ্নমতে,
2 (x+y) = 44
বা, x+y = 22 ...... (1)
এবং xy = 120 ....... (2)
এখন, সমীকরণ (!) এবং (!!) সমাধান করে পাই,
x = 12 এবং y = 10
সুতরাং, বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 12 ফুট ও 10 ফুট।
৪,৮৬২.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের অন্তর ৮ সে.মি. এবং এদের লম্ব দূরত্ব ১২ সে.মি.। যদি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ১৫৬ বর্গ সে.মি. হয় তবে সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি কত?
সঠিক উত্তর: গ
২৬ সে.মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
২৬ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের অন্তর ৮ সে.মি. এবং এদের লম্ব দূরত্ব ১২ সে.মি.। যদি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ১৫৬ বর্গ সে.মি. হয় তবে সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি কত?
সমাধান:
ধরি,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল একটি বাহু x সে.মি.
তাহলে, ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল অপর বাহু = x + ৮ সে.মি.
সমান্তরাল বাহু দুইটির লম্ব দূরত্ব, h = ১২ সে.মি.
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১৫৬ সে.মি.
প্রশ্নমতে,
(১/২) × (x + x + ৮) × ১২ = ১৫৬
⇒ ৬ × (২x + ৮) = ১৫৬
⇒ ১২x + ৪৮ = ১৫৬
⇒ ১২x = ১০৮
∴ x = ৯
∴ ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল একটি বাহু = ৯ সে.মি.
এবং ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল অপর বাহু ৯ + ৮ = ১৭ সে.মি.
∴ সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি = ৯ + ১৭ = ২৬ সে.মি.
সমাধান:
ধরি,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল একটি বাহু x সে.মি.
তাহলে, ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল অপর বাহু = x + ৮ সে.মি.
সমান্তরাল বাহু দুইটির লম্ব দূরত্ব, h = ১২ সে.মি.
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১৫৬ সে.মি.
প্রশ্নমতে,
(১/২) × (x + x + ৮) × ১২ = ১৫৬
⇒ ৬ × (২x + ৮) = ১৫৬
⇒ ১২x + ৪৮ = ১৫৬
⇒ ১২x = ১০৮
∴ x = ৯
∴ ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল একটি বাহু = ৯ সে.মি.
এবং ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল অপর বাহু ৯ + ৮ = ১৭ সে.মি.
∴ সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি = ৯ + ১৭ = ২৬ সে.মি.
৪,৮৬৩.
একটি বৃত্তের ব্যাস অপর একটি বৃত্তের ব্যাস এর দ্বিগুণ হলে প্রথমটির ক্ষেত্রফল দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রফলের কত গুণ হবে?
সঠিক উত্তর: খ
খ) ৪
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) ৪
ব্যাখ্যা
যুক্তিঃ ধরি, ২য় বৃত্তের ব্যাস = ২r
∴ ১ম বৃত্তের ব্যাস = ৪r
ফলে, ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r এবং ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ২r
∴ ২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(২r)২ = ৪πr২
∴ প্রথমটির ক্ষেত্রফল দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রফলের = (৪πr২ )/(πr২ ) = ৪
∴ ১ম বৃত্তের ব্যাস = ৪r
ফলে, ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r এবং ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ২r
∴ ২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(২r)২ = ৪πr২
∴ প্রথমটির ক্ষেত্রফল দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রফলের = (৪πr২ )/(πr২ ) = ৪
৪,৮৬৪.
একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩৬০ বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ ৪৫ সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?
সঠিক উত্তর: গ
৮ সে.মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
৮ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩৬০ বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ ৪৫ সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি,
সামান্তরিকের বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য = h সে.মি.
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের একটি কর্ণ = ৪৫ সে. মি.
∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল,
= কর্ণ × কর্ণের বিপরীত বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য
= (৪৫ × h) বর্গ সে.মি
প্রশ্নমতে,
৪৫ × h = ৩৬০
⇒ h = ৩৬০/৪৫
⇒ h = ৮
∴ নির্ণেয় লম্বের দৈর্ঘ্য = ৮ সে.মি.
৪,৮৬৫.
বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর-
সঠিক উত্তর: খ
খ) উপর লম্ব
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) উপর লম্ব
ব্যাখ্যা
বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর উপর লম্ব।
৪,৮৬৬.
একটি নোনাগনের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?
সঠিক উত্তর: গ
140°
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
140°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি নোনাগনের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা, n = 9
∴ অন্তঃস্থ কোণ, θ = 180° - (360°/9)
= 180° - (360°/9)
= 140°
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা, n = 9
∴ অন্তঃস্থ কোণ, θ = 180° - (360°/9)
= 180° - (360°/9)
= 140°
৪,৮৬৭.
একটি রেখা A(- 2, 3) বিন্দু দিয়ে যায় যার ঢাল 1/2 । রেখাটি যদি আবারও (3, k) বিন্দু দিয়ে যায় তবে k এর মান কত?
সঠিক উত্তর: গ
11/2
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
11/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রেখা A(- 2, 3) বিন্দু দিয়ে যায় যার ঢাল 1/2 । রেখাটি যদি আবারও (3, k) বিন্দু দিয়ে যায় তবে k এর মান কত?
সমাধান:
(-2, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ-
(y - 3) = m(x + 2)
বা, y - 3 = 1/2 × (x + 2) [∴ ঢাল, m = 1/2]
বা, 2y - 6 = x + 2
বা, - 6 - 2 = x - 2y
বা, - 8 = x - 2y
বা, x - 2y + 8 = 0
আবার,
রেখাটি (3, k) বিন্দুগামী,
3 - 2k + 8 = 0
বা, - 2k + 11 = 0
বা, -2k = - 11
বা, k = -11/-2
∴ k = 11/2
সমাধান:
(-2, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ-
(y - 3) = m(x + 2)
বা, y - 3 = 1/2 × (x + 2) [∴ ঢাল, m = 1/2]
বা, 2y - 6 = x + 2
বা, - 6 - 2 = x - 2y
বা, - 8 = x - 2y
বা, x - 2y + 8 = 0
আবার,
রেখাটি (3, k) বিন্দুগামী,
3 - 2k + 8 = 0
বা, - 2k + 11 = 0
বা, -2k = - 11
বা, k = -11/-2
∴ k = 11/2
৪,৮৬৮.
∠A হলো ∠B এর দ্বিগুণ। ∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক হলে ∠A এর মান কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
120°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
120°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∠A হলো ∠B এর দ্বিগুণ। ∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক হলে ∠A এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠B = ∠A/2
শর্তমতে,
∠A + ∠B = 180°
বা, ∠A + (∠A/2) = 180°
বা, {(2∠A + ∠A)/2} = 180°
বা, (3∠A)/2 = 180°
বা, ∠A = (180° × 2)/3
∴ ∠A = 120°
৪,৮৬৯.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত?
সঠিক উত্তর: ক
৪০ মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
৪০ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত?
সমাধান:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - ২৩) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২ {x + (x - ২৩)} মিটার
= ২ (২x - ২৩) মিটার
= (৪x - ৪৬) মিটার
প্রশ্নমতে,
৪x - ৪৬ = ২০৬
বা, ৪x = ২০৬ + ৪৬
বা, ৪x = ২৫২
বা, x = ২৫২/৪
∴ x = ৬৩
অর্থাৎ আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৬৩ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (৬৩ - ২৩) মিটার
= ৪০ মিটার।
৪,৮৭০.
আয়তাকার একটি বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় ৩২ বর্গমিটার। বাগানের প্রস্থ কত?
সঠিক উত্তর: খ
৪ মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
৪ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: আয়তাকার একটি বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় ৩২ বর্গমিটার। বাগানের প্রস্থ কত?
সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য, ক মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের প্রস্থ, খ মিটার
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, কখ বর্গমিটার
৮ মিটার বৃদ্ধি করলে,
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, ক + ৮ মিটার
∴ ক্ষেত্রফল হবে, (ক + ৮) × খ বর্গমিটার
= কখ + ৮খ বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
কখ + ৮খ - কখ = ৩২
বা, ৮খ = ৩২
∴ খ = ৪
সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য, ক মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের প্রস্থ, খ মিটার
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, কখ বর্গমিটার
৮ মিটার বৃদ্ধি করলে,
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, ক + ৮ মিটার
∴ ক্ষেত্রফল হবে, (ক + ৮) × খ বর্গমিটার
= কখ + ৮খ বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
কখ + ৮খ - কখ = ৩২
বা, ৮খ = ৩২
∴ খ = ৪
৪,৮৭১.
ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত √2 : √2 : 2 হলে, ত্রিভুজের বাহুগুলোর বিপরীত কোণগুলোর অনুপাত কত?
সঠিক উত্তর: খ
1 : 1 : 2
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
1 : 1 : 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত √2 : √2 : 2 হলে, ত্রিভুজের বাহুগুলোর বিপরীত কোণগুলোর অনুপাত কত?
সমাধান:
প্রদত্ত ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত √2 : √2 : 2
এখানে,
(√2)2 + (√2)2
= 2 + 2
= 4
= √4
= 2
অর্থাৎ, বাহু তিনটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।
আমরা বলতে পারি ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ
তাহলে তার কোণগুলি হবে 45⁰ 45⁰ 90⁰
ত্রিভুজের বাহুগুলোর বিপরীত কোণগুলোর অনুপাত হবে = 45 : 45 : 90
= 1 : 1 : 2
সমাধান:
প্রদত্ত ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত √2 : √2 : 2
এখানে,
(√2)2 + (√2)2
= 2 + 2
= 4
= √4
= 2
অর্থাৎ, বাহু তিনটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।
আমরা বলতে পারি ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ
তাহলে তার কোণগুলি হবে 45⁰ 45⁰ 90⁰
ত্রিভুজের বাহুগুলোর বিপরীত কোণগুলোর অনুপাত হবে = 45 : 45 : 90
= 1 : 1 : 2
৪,৮৭২.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল √৩ বর্গমিটার হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?
সঠিক উত্তর: গ
গ) ৬ মিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
গ) ৬ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল √৩ বর্গমিটার হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?
সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² বর্গ মিটার
শর্তমতে,
(√3/4) × a2 = √3
বা, a2 = 4
বা, a = 2
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 3a = 3 × 2 মিটার = 6 মিটার
৪,৮৭৩.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ২৪ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
১৪৪√৩ বর্গমিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
১৪৪√৩ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ২৪ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = ২৪ মিটার।
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)a২
= (√৩/৪) × (২৪)২
= (√৩/৪) × ২৪ × ২৪
= √৩ × ৬ × ২৪
= ১৪৪√৩ বর্গমিটার
সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ১৪৪√৩ বর্গমিটার
৪,৮৭৪.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ x°, (3x/2)°, (5x/2)° হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?
সঠিক উত্তর: খ
54°
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
54°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ x°, (3x/2)°, (5x/2)° হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = 180°
শর্তমতে,
⇒ x + 3x/2 + 5x/2 = 180°
⇒ (2x + 3x + 5x)/2 = 180°
⇒ 10x/2 = 180°
⇒ 5x = 180°
⇒ x = 180°/5
∴ x = 36°
∴ প্রথম কোণ = x = 36°
দ্বিতীয় কোণ = 3x/2 = (3× 36°)/2= 54°
তৃতীয় কোণ = 5x/2 = (5×36°)/2 = 90°
∴ পার্থক্য = 90° − 36° = 54°
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = 180°
শর্তমতে,
⇒ x + 3x/2 + 5x/2 = 180°
⇒ (2x + 3x + 5x)/2 = 180°
⇒ 10x/2 = 180°
⇒ 5x = 180°
⇒ x = 180°/5
∴ x = 36°
∴ প্রথম কোণ = x = 36°
দ্বিতীয় কোণ = 3x/2 = (3× 36°)/2= 54°
তৃতীয় কোণ = 5x/2 = (5×36°)/2 = 90°
∴ পার্থক্য = 90° − 36° = 54°
৪,৮৭৫.
যদি ABC সূক্ষকোণী ত্রিভুজ হয়, sin 2(B + A - C) = 1 এবং tan (A + C - B) = √3 হয়, তাহলে ∠A এর মান -
সঠিক উত্তর: খ
খ) 105°/2
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) 105°/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : যদি ABC সূক্ষকোণী ত্রিভুজ হয়, sin 2(B + A - C) = 1 এবং tan (A + C - B) = √3 হয়, তাহলে ∠A এর মান -
সমাধান :
দেওয়া আছে,
sin 2(B + A - C) = 1
sin 2(B + A - C) = Sin 90°
2(B + A - C) = 90°
B + A - C = 45°................. (1)
tan (A + C - B) = √3
A + C - B = tan 60°
A + C - B = 60°....................(2)
(1) + (2) ⇒
B + A - C + A + C - B = 45° + 60°
2A = 105°
A = 105°/2
সমাধান :
দেওয়া আছে,
sin 2(B + A - C) = 1
sin 2(B + A - C) = Sin 90°
2(B + A - C) = 90°
B + A - C = 45°................. (1)
tan (A + C - B) = √3
A + C - B = tan 60°
A + C - B = 60°....................(2)
(1) + (2) ⇒
B + A - C + A + C - B = 45° + 60°
2A = 105°
A = 105°/2
৪,৮৭৬.
180° - x° কোণের সম্পূরক কোণ কোনটি?
সঠিক উত্তর: ঘ
x°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
x°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 180° - x° কোণের সম্পূরক কোণ কোনটি?
সমাধান:
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180° হলে তারা পরস্পরের সম্পূরক কোণ।
∴ 180° - x°কোণের সম্পূরক কোণ = 180° - (180° - x°)
= 180° - 180° + x
= x°
সমাধান:
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180° হলে তারা পরস্পরের সম্পূরক কোণ।
∴ 180° - x°কোণের সম্পূরক কোণ = 180° - (180° - x°)
= 180° - 180° + x
= x°
৪,৮৭৭.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল-
সঠিক উত্তর: গ
২৫ বর্গ সে.মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
২৫ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল-
সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের ২টি সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.
১০২ = ক২ + ক২
বা, ১০০= ২ক২
বা, ক২ = ৫০
∴ ক = √৫০
∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × (√৫০) × (√৫০)
= (১/২) × ৫০
= ২৫ বর্গ সে.মি.
সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের ২টি সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.
১০২ = ক২ + ক২
বা, ১০০= ২ক২
বা, ক২ = ৫০
∴ ক = √৫০
∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × (√৫০) × (√৫০)
= (১/২) × ৫০
= ২৫ বর্গ সে.মি.
৪,৮৭৮.
একটি ঘনকের সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 54 হলে ঘনকের আয়তন কত?
সঠিক উত্তর: খ
27 ঘন একক
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
27 ঘন একক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনকের সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 54 হলে ঘনকের আয়তন কত?
সমাধান:
ধরি,
ঘনকের প্রতি বাহু = a
∴ সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল, 6a2 = 54
⇒ a2 = 9
∴ a = 3
∴ ঘনকটির আয়তন = a3 = 33 = 27 ঘন একক
সমাধান:
ধরি,
ঘনকের প্রতি বাহু = a
∴ সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল, 6a2 = 54
⇒ a2 = 9
∴ a = 3
∴ ঘনকটির আয়তন = a3 = 33 = 27 ঘন একক
৪,৮৭৯.
ΔABC ত্রিভুজের AB = AC, ∠A = 40° হলে, ∠C = কত?
সঠিক উত্তর: খ
খ) 70°
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) 70°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC ত্রিভুজের AB = AC, ∠A = 40° হলে, ∠C = কত?
সমাধান:
যদি কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হয়, তবে এদের বিপরীত কোণ দুইটিও পরস্পর সমান হবে।
ΔABC ত্রিভুজে AB = AC
তাহলে, ∠C = ∠B
∠A + ∠B + ∠C = 180°
40° + ∠C + ∠C = 180°
2∠C = 140°
∠C = 70°
সমাধান:
যদি কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হয়, তবে এদের বিপরীত কোণ দুইটিও পরস্পর সমান হবে।
ΔABC ত্রিভুজে AB = AC
তাহলে, ∠C = ∠B
∠A + ∠B + ∠C = 180°
40° + ∠C + ∠C = 180°
2∠C = 140°
∠C = 70°
৪,৮৮০.
sinA + sin2A = 1 হলে cos2A + cos4A = কত?
সঠিক উত্তর: ক
1
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sinA + sin2A = 1 হলে cos2A + cos4A = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinA + sin2A = 1
বা, sinA = 1 - sin2A
∴ sinA = cos2A
এখন,
cos2A + cos4A
= cos2A + (cos2A)2
= cos2A + (sinA)2
= cos2A + sin2A
= sin2A + cos2A
= 1
৪,৮৮১.
একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজ 5 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: খ
6.25 বর্গ সে.মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
6.25 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
ধরি,
সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বাহু a সে.মি.
এখন
a2 +a2 = 52
2a2 =25
a2 = 25/2
a = √(25/2)
a = 5/√2
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ( 1/2) × (5/√2) × (5/√2)
= 25/4
= 6.25 বর্গ সে.মি.
সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বাহু a সে.মি.
এখন
a2 +a2 = 52
2a2 =25
a2 = 25/2
a = √(25/2)
a = 5/√2
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ( 1/2) × (5/√2) × (5/√2)
= 25/4
= 6.25 বর্গ সে.মি.
৪,৮৮২.
কোনো ঘনকের ধার 10 সে. মি. হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) 600 বর্গ সে. মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ঘ) 600 বর্গ সে. মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ঘনকের ধার 10 সে. মি. হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
একটি ঘনকের ধার a = 10 সে. মি.
ঘনকের সমগ্রতল হলে = 6a2
= 6 × 102
= 6 × 100
= 600 বর্গ সে. মি.
সমাধান:
একটি ঘনকের ধার a = 10 সে. মি.
ঘনকের সমগ্রতল হলে = 6a2
= 6 × 102
= 6 × 100
= 600 বর্গ সে. মি.
৪,৮৮৩.
60° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে-
সঠিক উত্তর: ঘ
π/3 রেডিয়ান
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
π/3 রেডিয়ান
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 60° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে-
সমাধান:
• রেডিয়ান: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে।
ডিগ্রিকে রেডিয়ানে রূপান্তর করার সূত্র হলো: রেডিয়ান = ডিগ্রি × (π/180)
∴ 60° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে = 60° × (π/180)
= π/3 রেডিয়ান।
৪,৮৮৪.
একটি গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং আয়তনের অনুপাত 1 : 1 হলে ব্যাসার্ধ কত?
সঠিক উত্তর: খ
3 একক
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
3 একক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং আয়তনের অনুপাত 1 : 1 হলে ব্যাসার্ধ কত?
সমাধান:
মনে করি,
গোলকের ব্যাসার্ধ = r
আমরা জানি,
গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গ একক
এবং গোলকের আয়তন= (4/3)πr3 ঘন একক
প্রশ্নমতে,
4πr2 : (4/3)πr3 = 1 : 1
⇒ 4πr2/(4/3)πr3 = 1
⇒ 3/r = 1
⇒ r = 3
∴ r = 3
∴ ব্যাসার্ধ = 3 একক।
৪,৮৮৫.
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ কত ডিগ্রী?
সঠিক উত্তর: গ
৬০°
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
৬০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ কত ডিগ্রী?
সমাধান:
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০°।
- ত্রিভুজের যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
- সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা পরস্পর সমান।
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।
সমাধান:
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০°।
- ত্রিভুজের যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
- সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা পরস্পর সমান।
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।
৪,৮৮৬.
∠RPS এর মান কত?
সঠিক উত্তর: ক
70°
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
70°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∠RPS এর মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
তাহলে, ∠P + ∠PRQ ∠RQP = 180°
⇒ ∠QPR = 180° - 30° - 40°
= 110°
আবার, ∠QPR + ∠RPS = 180°
⇒ ∠RPS = 180° - 110°
= 70°
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
তাহলে, ∠P + ∠PRQ ∠RQP = 180°
⇒ ∠QPR = 180° - 30° - 40°
= 110°
আবার, ∠QPR + ∠RPS = 180°
⇒ ∠RPS = 180° - 110°
= 70°
৪,৮৮৭.
একটি সাবানের দৈর্ঘ্য ৫ সে. মি. প্রস্থ ৪ সে . মি. এবং উচ্চতা ৩ সে. মি. হলে, ৮০ সে. মি. দৈর্ঘ্য, ৫০ সে. মি. প্রস্থ এবং ৩০ সে. মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি বাক্সের মধ্যে কতটি সাবান রাখা যাবে?
সঠিক উত্তর: ঘ
২০০০ টি
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
২০০০ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সাবানের দৈর্ঘ্য ৫ সে. মি. প্রস্থ ৪ সে . মি. এবং উচ্চতা ৩ সে. মি. হলে, ৮০ সে. মি. দৈর্ঘ্য, ৫০ সে. মি. প্রস্থ এবং ৩০ সে. মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি বাক্সের মধ্যে কতটি সাবান রাখা যাবে?
সমাধান:
একটি সাবানের আয়তন = (৫ × ৪ × ৩) ঘন সে. মি.
= ৬০ ঘন সে. মি.
একটি বাক্সের আয়তন = (৮০ × ৫০ × ৩০) ঘন সে. মি.
= ১,২০,০০০ ঘন সে. মি.
তাহলে, একটি বাক্সে সর্বমোট সাবান ধরবে = বাক্সের আয়তন/সাবানের আয়তন
= ১,২০,০০০/৬০ টি
= ২০০০ টি
৪,৮৮৮.
একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৫২ বর্গ সে. মি. হলে, এর কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত?
সঠিক উত্তর: ক
১০৪ বর্গ সে.মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
১০৪ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৫২ বর্গ সে. মি. হলে, এর কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ৫২ = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ৫২ × ২
∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ১০৪ বর্গ সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ৫২ = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ৫২ × ২
∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ১০৪ বর্গ সে.মি.
৪,৮৮৯.
দুইটি পূরক কোণের সমষ্টি কত ডিগ্রি?
সঠিক উত্তর: গ
৯০°
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
৯০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি পূরক কোণের সমষ্টি কত ডিগ্রি?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ, দুইটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০° ।
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ, দুইটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০° ।
৪,৮৯০.
বেলনের ভূমির ব্যাস ৮ মিটার, উচ্চতা ৩৫ মিটার হলে, বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: গ
৮৮০ বর্গমিটার
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
৮৮০ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাস ৮ মিটার, উচ্চতা ৩৫ মিটার হলে, বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ভূমির ব্যাস = ৮ মিটার
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ r = ৪ মিটার
বেলনের উচ্চতা h = ৩৫ মিটার
আমরা জানি,
বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= ২ × (২২/৭) × ৪ × ৩৫ বর্গ মিটার
= ৮৮০ বর্গমিটার
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ভূমির ব্যাস = ৮ মিটার
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ r = ৪ মিটার
বেলনের উচ্চতা h = ৩৫ মিটার
আমরা জানি,
বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= ২ × (২২/৭) × ৪ × ৩৫ বর্গ মিটার
= ৮৮০ বর্গমিটার
৪,৮৯১.
একটি ঘনকের আয়তন ৬৪ ঘনসে.মি.। ঘনকটির একটি ধারের সমান ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত হবে?
সঠিক উত্তর: খ
খ) ৪π বর্গসে.মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) ৪π বর্গসে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ৬৪ ঘনসে.মি.। ঘনকটির একটি ধারের সমান ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের আয়তন ৬৪ ঘনসে.মি.।
ঘনকের ধার =
বৃত্তটির ব্যাস ৪ সে.মি.
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ ২ সে.মি.
বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π ২২ বর্গসে.মি.
= ৪π বর্গসে.মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের আয়তন ৬৪ ঘনসে.মি.।
ঘনকের ধার =
বৃত্তটির ব্যাস ৪ সে.মি.
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ ২ সে.মি.
বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π ২২ বর্গসে.মি.
= ৪π বর্গসে.মি.
৪,৮৯২.
1/cosecθ এর সর্বনিম্ন মান কত?
সঠিক উত্তর: খ
- 1
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
- 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1/cosecθ এর সর্বনিম্ন মান কত?
সমাধান:
এখানে, sinθ = 1/cosecθ
- 1 < 1/cosecθ < 1
- 1 < sinθ < 1
1/cosecθ এর সর্বনিম্ন মান হল sinθ এর সর্বনিম্ন মান।
সুতরাং sinθ এর সর্বনিম্ন মান -1 এবং সর্বোচ্চ মান 1
সমাধান:
এখানে, sinθ = 1/cosecθ
- 1 < 1/cosecθ < 1
- 1 < sinθ < 1
1/cosecθ এর সর্বনিম্ন মান হল sinθ এর সর্বনিম্ন মান।
সুতরাং sinθ এর সর্বনিম্ন মান -1 এবং সর্বোচ্চ মান 1
৪,৮৯৩.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি যথাক্রমে ১৭ ও ১৩ সে মি এবং তাদের দূরত্ব ৫ সে মি হলে, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: খ
৭৫ বর্গ সে.মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
৭৫ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি যথাক্রমে ১৭ ও ১৩ সে মি এবং তাদের দূরত্ব ৫ সে মি হলে, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি যথাক্রমে ১৭ ও ১৩ সে মি
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি = ১৭ + ১৩ = ৩০ সে মি
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ৫ সে মি
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
= (১/২) × ৩০ × ৫ বর্গ সে মি
= ১৫ × ৫ বর্গ সে মি
= ৭৫ বর্গ সে.মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি যথাক্রমে ১৭ ও ১৩ সে মি
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি = ১৭ + ১৩ = ৩০ সে মি
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ৫ সে মি
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
= (১/২) × ৩০ × ৫ বর্গ সে মি
= ১৫ × ৫ বর্গ সে মি
= ৭৫ বর্গ সে.মি.
৪,৮৯৪.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা √3 সেমি হলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
সঠিক উত্তর: খ
2
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা √3 সেমি হলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজ ABC এর মধ্যমা AD ⊥ BC
এখানে,
AB = BC = AC = 2BD
পিথাগোরাসের সূত্র মতে,
AB2 = AD2 + BD2
⇒ x2 = (√3)2 +(x/2)2
⇒ x2 - x2/4 = 3
⇒ 3x2/4 = 3
⇒ x2 = 4
⇒ x = 2
সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজ ABC এর মধ্যমা AD ⊥ BC
এখানে,
AB = BC = AC = 2BD
পিথাগোরাসের সূত্র মতে,
AB2 = AD2 + BD2
⇒ x2 = (√3)2 +(x/2)2
⇒ x2 - x2/4 = 3
⇒ 3x2/4 = 3
⇒ x2 = 4
⇒ x = 2
৪,৮৯৫.
একটি পাইপের বহির্ব্যাস 18.5 ইঞ্চি এবং অন্তর্ব্যাস 8.5 ইঞ্চি। পাইপটির পুরুত্ব কত?
সঠিক উত্তর: খ
5.0 ইঞ্চি
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
5.0 ইঞ্চি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পাইপের বহির্ব্যাস 18.5 ইঞ্চি এবং অন্তর্ব্যাস 8.5 ইঞ্চি। পাইপটির পুরুত্ব কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
পাইপের বহির্ব্যাস = 18.5 ইঞ্চি
পাইপের অন্তর্ব্যাস = 8.5 ইঞ্চি
∴ পাইপটির পুরুত্ব = (18.5 - 8.5)/2 ইঞ্চি
= 10/2 ইঞ্চি
= 5.0 ইঞ্চি ।
৪,৮৯৬.
যদি tanθ = 1/√3 হয়, তবে cosecθ এর মান নিচের কোনটি?
সঠিক উত্তর: ঘ
2
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি tan θ = 1/√3 হয়, তবে cosec θ এর মান নিচের কোনটি?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ = 1/√3
বা, tanθ = tan30°
∴ θ = 30°
এখন,
cosec θ
= cosec30°
= 1/sin30°
= 1/(1/2)
= 2
৪,৮৯৭.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.
সঠিক উত্তর: খ
খ) ৩৬
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
খ) ৩৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.
সমাধান:
ধরি
সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য x সে.মি.
এখানে,
x2 + x2 = 122
2x2 =144
x2 = 144/2
x2 = 72
x = √72
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল= (1/2)(√72)(√72) বর্গ সে.মি.
= 36 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
ধরি
সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য x সে.মি.
এখানে,
x2 + x2 = 122
2x2 =144
x2 = 144/2
x2 = 72
x = √72
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল= (1/2)(√72)(√72) বর্গ সে.মি.
= 36 বর্গ সে.মি.
৪,৮৯৮.
3 cm, 4 cm এবং 5 cm ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট ৩টি গোলক গলিয়ে একটি গোলক তৈরি করা হলে গোলকের ব্যাস কত হবে?
সঠিক উত্তর: গ
12 cm
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
12 cm
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 cm, 4 cm এবং 5 cm ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট ৩টি গোলক গলিয়ে একটি গোলক তৈরি করা হলে গোলকের ব্যাস কত হবে?
সমাধান:
3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তিনটির আয়তন যথাক্রমে, {(4/3)π33}, {(4/3)π43}, {(4/3)π53}।
সুতরাং নতুন গোলকটির আয়তন ={(4/3)π33} + {(4/3)π43} + {(4/3)π53}
= (4/3)π(33 + 43 + 53)
= (4/3) π × 216
= (4/3)π × 63
নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধ = 6 সে.মি.
∴ নতুন গোলকটির ব্যাস = 6 × 2 সে.মি.
= 12 সে.মি.
সমাধান:
3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তিনটির আয়তন যথাক্রমে, {(4/3)π33}, {(4/3)π43}, {(4/3)π53}।
সুতরাং নতুন গোলকটির আয়তন ={(4/3)π33} + {(4/3)π43} + {(4/3)π53}
= (4/3)π(33 + 43 + 53)
= (4/3) π × 216
= (4/3)π × 63
নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধ = 6 সে.মি.
∴ নতুন গোলকটির ব্যাস = 6 × 2 সে.মি.
= 12 সে.মি.
৪,৮৯৯.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 2 সে.মি. এবং অপর বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য 3 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: গ
√8 বর্গ সে.মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
√8 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 2 সে.মি. এবং অপর বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য 3 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু a এবং ভূমি b হলে,
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a2 - b2)
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের ভূমি b = 2 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য a = 3 সে.মি
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/4 {√(4a2 - b2)}
= 2/4 [√{(4 × 32) - 22}]
= (1/2) × √(32)
= (1/2) × √(4 × 8)
= (1/2) × 2√8
= √8 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু a এবং ভূমি b হলে,
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a2 - b2)
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের ভূমি b = 2 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য a = 3 সে.মি
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/4 {√(4a2 - b2)}
= 2/4 [√{(4 × 32) - 22}]
= (1/2) × √(32)
= (1/2) × √(4 × 8)
= (1/2) × 2√8
= √8 বর্গ সে.মি.
৪,৯০০.
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২৮ সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
সঠিক উত্তর: ঘ
৪৯ বর্গ সে.মি.
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
৪৯ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২৮ সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২৮ সে.মি.
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহু
প্রশ্নমতে,
৪ × এক বাহু = ২৮
⇒ এক বাহু = ২৮/৪
∴ এক বাহু = ৭
অর্থাৎ বর্গক্ষেত্রটির একবাহু = ৭ সে.মি.
আবার,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ( একবাহু × একবাহু ) বর্গ একক
= (৭ × ৭ ) বর্গ সে.মি.
= ৪৯ বর্গ সে.মি.