জ্যামিতি

প্রশ্ন: ΔABC ত্রিভুজের ∠B এর পরিমাণ ৫৬° এবং AB = AC হয়, তাহলে ∠A এর মান কত?

সমাধান:

চিত্রে, ∠B = ৫৬° এবং AB = AC 
∴ ∠B = ∠C = ৫৬°
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°

প্রশ্নমতে,
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = ১৮০°
⇒ ∠A + ৫৬° + ৫৬° = ১৮০°
⇒ ∠A + ১১২° = ১৮০°
⇒ ∠A = ১৮০° - ১১২° = ৬৮°
∴ ∠A = ৬৮°

একই চাপের (AD) উপর দন্ডায়মান সকল বৃত্তস্থ কোন সমান।

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার এবং গভীরতা ৪০ সে.মি । চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা কত লিটার? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার = (৩ × ১০০) সে.মি = ৩০০ সে.মি 
চৌবাচ্চার প্রস্থ = ২ মিটার = (২ × ১০০) সে.মি = ২০০ সে.মি 
চৌবাচ্চার গভীরতা = ৪০ সে.মি 

∴ চৌবাচ্চার আয়তন = (৩০০ × ২০০ × ৪০) ঘন সে.মি 
= ২৪০০০০০ ঘন সে.মি 

১০০০ ঘন সে.মি = ১ লিটার 
∴ চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা = ২৪০০০০০/১০০০ লিটার 
= ২৪০০ লিটার ।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের 5 গুণ। ক্ষেত্রফল 500 বর্গমিটার হলে, দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = w
দৈর্ঘ্য = 5w
ক্ষেত্রফল = 5w × w = 5w²

প্রশ্নমতে,
5w² = 500
w² = 100
w = 10m

তাহলে,
দৈর্ঘ্য = 10 × 5 = 50m

∴দৈর্ঘ্য= 50m

3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তিনটির আয়তন যথাক্রমে, (4/3 π 3³), (4/3 π 4³), (4/3 π 5³)।
সুতরাং নতুন গোলকটির আয়তন = (4/3 π 3³) + (4/3 π 4³) + (4/3 π 5³)
= 4/3 π (3³+4³+5³)
= 4/3 π × 216
= 4/3 π × 6³
নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধ = 6 সে.মি.

বৃত্তঃস্থ চতুর্ভূজের ক্ষেত্রে,
<A + <C = ১৮০°
∴ <C = ১৮০° - ৯৫°
বা, <C = ৮৫°

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৯০ মিটার। এর প্রস্থ ২০ মিটার হলে, আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
পরিসীমা = ৯০মিটার
প্রস্থ = ২০মিটার

পরিসীমা:
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
৯০ = ২(দৈর্ঘ্য + ২০)
৯০ = ২ × দৈর্ঘ্য + ৪০
৯০ - ৪০ = ২ × দৈর্ঘ্য
৫০ = ২ × দৈর্ঘ্য
দৈর্ঘ্য = ২৫ মিটার 

ক্ষেত্রফল:
= দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ২৫ × ২০
= ৫০০ বর্গমিটার 

∴আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ৫০০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে ∠B = 75° এবং ∠ACE = 160° হলে, ∠A এর মান কত?

সমাধান:
∠ACB + ∠ACE = এক সরলকোণ = 180°
⇒ ∠ACB = 180° - ∠ACE
⇒ ∠ACB = 180° - 160°
⇒ ∠ACB = 20°

আবার, ∠A+ ∠B+ ∠ACB = 180°
⇒ ∠A + 75° + 20° = 180°
⇒ ∠A + 95° = 180°
⇒ ∠A = 180° - 95°
∴ ∠A = 85°

প্রশ্ন: একটি পাইপের বহির্ব্যাস ৬ ইঞ্চি এবং অন্তর্ব্যাস ৫ ইঞ্চি। পাইপটির পুরুত্ব কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পাইপের বহির্ব্যাস = ৬ ইঞ্চি
∴ পাইপের বহির্ব্যাসার্ধ = ৬ ÷ ২ = ৩ ইঞ্চি

পাইপের অন্তর্ব্যাস = ৫ ইঞ্চি
∴ পাইপের অন্তর্ব্যাসার্ধ = ৫ ÷ ২ = ২.৫ ইঞ্চি

∴ পাইপের পুরুত্ব = ৩ - ২.৫
= ০.৫ ইঞ্চি

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 8 সে.মি. এবং উচ্চতা 21 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 8 সে.মি.
উচ্চতা, h = 21 সে.মি.

আমরা জানি,
 সিলিন্ডারের আয়তন, V = πr²h ঘনএকক
= (22/7) × 8² × 21 ঘন সে.মি.
= (22/7) × 64 × 21 ঘন সে.মি.
= 22 × 64 × 3 ঘন সে.মি.
= 4224 ঘন সে.মি.

∴সিলিন্ডারের আয়তন 4224 ঘন সে.মি. ।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 মিটার, প্রস্থ 5 মিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত সে. মি. হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 মিটার, প্রস্থ 5 মিটার
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য P মি.

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(দৈর্ঘ্য²+ (প্রস্থ)²}
বা, 13 = √{(P)²+ (5)²}
বা, 13 = √(P²+ 25)
বা, √(P²+ 25) =13
বা, P²+ 25 = 13²
বা, P²= 169 - 25
বা, P²= 144
বা, P = √144
∴ P = 12

∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 12 মি. = (12 × 100) বা 1200 সে. মি.

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে ∠B = 75° এবং ∠ACE = 150° হলে ∠A কোণের মান কত?

সমাধান:
একটি সরল রেখায় 180° থাকে।
 এখন
সরলরেখার সন্নিহিত কোণদ্বয়ের ∠ACE = 150°  হলে,
∠ACB = 180° - 150° = 30°

দেওয়া আছে,
∠B = ∠ABC = 75°
এবং ∠ACB = 30°
∴ ∠BAC = ∠A = 180° - (75° + 30°)
= 180° - 105°
= 75°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্বের দৈর্ঘ্য সমান হলে এর অতিভুজ হবে লম্বের-

সমাধান:
দেয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = লম্ব
ধরি, ভূমি = লম্ব = a

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + লম্ব^২
⇒ অতিভুজ^২ = a^২ + a^২
⇒ অতিভুজ^২ = ২a^২
⇒ অতিভুজ = √(২a^২)
⇒ অতিভুজ = a√২
∴ অতিভুজ = √২ × লম্ব

অর্থাৎ, অতিভুজ হবে লম্বের √২ গুণ

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের মান যথাক্রমে x, (2x/3) ও (x/3)। ক্ষুদ্রতম কোণের মান রেডিয়ান এককে কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে,
x, (2x/3) ও (x/3)

এখন,
x + (2x/3) + (x/3) = 180°
⇒ (3x + 2x + x)/3 = 180°
⇒ 6x/3 = 180°
⇒ 2x = 180°
⇒ x = 180°/2
∴ x = 90°

সুতরাং তিনটি কোণের মান হবে যথাক্রমে,
x = 90°
2x/3 = (2 × 90°)/3 = 60°
এবং x/3 = 90°/3 = 30°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = 30°

আমরা জানি,
1° = π/180 রেডিয়ান
∴ 30° = 30° × (π/180) রেডিয়ান
= π/6 রেডিয়ান

∴ ক্ষুদ্রতম কোণের মান = π/6 রেডিয়ান

একটি ত্রিভুজ আঁকতে হলে কমপক্ষে ১টি কোণ ও ১টি বাহু থাকতে হবে।
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে একটি কোণ ৯০ ডিগ্রি।
তাই শুধু অতিভুজ দেওয়া থাকলেও ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
এক্ষেত্রে, লম্ব ও ভূমির বাহুকে ছোট ও বড় করে অনেকগুলো ত্রিভুজ আঁকা যাবে।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 90° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস 20 cm হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি, বৃত্তের ব্যাস = 20 cm ∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 10 cm
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 90°
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, s = ?

আমরা জানি, s = (π × r × θ)/180°
∴ s = (π × 10 × 90)/180
∴ s = (10π)/2
∴ s = 5π cm

∴ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = 5π cm

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু²
সুতরাং, প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = √বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =√404.01 = 20.1 মিটার

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯ সেন্টিমিটার এবং ৬ সেন্টিমিটার হলে এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
​সামান্তরিকের পরিসীমা = ২ × (সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের সমষ্টি)
= ২ × (৯ + ৬) সে.মি.
= ২ × ১৫ সে.মি.
= ৩০ সে.মি.

অতএব, সামান্তরিকটির পরিসীমা ৩০ সে.মি.।

মনে করি, বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = x² বর্গ মিটার 
রাস্তা বাদে বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য = (x - 10) মিটার
রাস্তা বাদে বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (x - 10)² বর্গ মিটার
প্রশ্নমতে,
x² - (x² - 10)² = 10,000
20x = 10,100
x = 505
∴ রাস্তা বাদে বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (505 - 10)² = (495)² বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব x, ভূমি y এবং অতিভুজ z। যদি অতিভুজ ভূমির দ্বিগুণ হয় এবং লম্ব 3 সে.মি. হয়, তবে অতিভুজ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
z = 2y এবং x = 3
∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
z² = x² + y²
⇒ (2y)² = 3² + y²
⇒ 4y² - y² = 9 
⇒ 3y² = 9
⇒ y² = 3
⇒ y = √3

∴ অতিভুজ z = 2y = 2√3 

√(1-cos²θ)/tanθ
= cotθ.sinθ
= cosθ/sinθ.sinθ
= cosθ

প্রশ্ন: বৃত্তাকার একটি পুকুরের ব্যাসার্ধ একটি বৃত্তাকার বাগানের ব্যাসার্ধের তিনগুণ। পুকুরটির ক্ষেত্রফল বাগানটির ক্ষেত্রফলের চেয়ে কতগুণ বেশি?

সমাধান:
ধরি,
বাগানের ব্যাসার্ধ = r
পুকুরের ব্যাসার্ধ = 3r (প্রশ্নে বলা হয়েছে তিনগুণ)

আমরা জানি, 
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = π⋅(ব্যাসার্ধ)²

এখন, 
বাগানের ক্ষেত্রফল = πr²
পুকুরের ক্ষেত্রফল = π(3r)² = π⋅9r² = 9πr²

পুকুরটির ক্ষেত্রফল বাগানটির ক্ষেত্রফলের চেয়ে বেশি = 9πr² -πr² = 8πr²
অতএব, পুকুরের ক্ষেত্রফল বাগানের ক্ষেত্রফলের 8 গুণ বেশি

ব্যাসার্ধ r হলে,
আয়তন/পৃষ্টের ক্ষেত্রফল = ((4/3)πr³)/(4πr²) = r/3
বা, r/3 = 5/3
∴ r = 5

প্রশ্ন: 2x + 3y - 9 = 0 এবং mx - 6y + 12 = 0 রেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হলে, m এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, y = mx + c দ্বারা একটি সরলরেখা প্রকাশ করা হয়, যেখানে m হলো রেখার ঢাল এবং c হলো y-অক্ষের ছেদাংশ।

প্রথম রেখার ঢাল নির্ণয়:
2x + 3y - 9 = 0
⇒ 3y = - 2x + 9
⇒ y = (- 2/3)x + 3

অতএব, প্রথম রেখার ঢাল,
m₁ = - 2/3

দ্বিতীয় রেখার ঢাল নির্ণয়:
mx - 6y + 12 = 0
⇒ -6y = - mx - 12
⇒ y = (m/6)x + 2

অতএব, দ্বিতীয় রেখার ঢাল,
m₂ = m/6

সমান্তরাল রেখার শর্ত:
দুটি রেখা পরস্পর সমান্তরাল হলে তাদের ঢাল সমান হয়।
⇒ m₁ = m₂
⇒ - 2/3 = m/6
⇒ m =  (- 2/3) × 6
⇒ m = - 4

∴ m এর মান = - 4

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ ৭৫° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ। 

এখন, 
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ = ৭৫° হলে, 
কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে = (৭৫° × ২) 
= ১৫০° 

∴ কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ = ১৫০° ।

প্রশ্ন: একটি ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৩ মিটার হলে ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ঘনকের ১ টি বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার
∴ ঘনকের ১ টি তলের ক্ষেত্রফল = (৩)^২ বর্গমিটার
= ৯ বর্গমিটার 

আমরা জানি, 
ঘনকের মোট তল = ৬ টি 
∴ ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = (৯ × ৬) বর্গমিটার
= ৫৪ বর্গমিটার।

ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= 1/2 × 35 × 38
= 35 × 19
= 665

আমরা জানি,
(আয়তক্ষেত্রের কর্ণ)² = (দৈর্ঘ্য)² + (প্রস্থ)²
বা, 7.5² = (দৈর্ঘ্য)² + 4.5²
∴ দৈর্ঘ্য = 6 ft
∴ ক্ষেত্রফল = 6×4.5 = 27 ft²

ধরি,
তিন বাহুর দৈর্ঘ্য a = 3cm, b = 4.5cm ও c = 5.5cm
অর্ধপরিসীমা, s = (a+b+c)/2 = (3+4.5+5.5)/2 = 6.5
ক্ষেত্রফল = √(s(s-a)(s-b)(s-c))
= √[6.5(6.5-3)(6.5-4.5)(6.5-5.5)]
= 6.75

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ 75° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = 180° 
একটি কোণ 75° হলে, 
∴ অপর কোণটি হবে = (180 - 75)°
= 105°