জ্যামিতি

ধরি,
মইয়ের ভূমি সংলগ্ন প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব x মি.

মইটি দেয়ালের সাথে সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে,
৪² + x² = ৫²
বা, ১৬ + x² = ২৫
বা, x² = 9
বা, x = 3

মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব ৩ মি.

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য 132° হলে বহুভুজটি কোন প্রকৃতির?

সমাধান:
মনে করি, বহুভুজের বাহু সংখ্যা = n
আমরা জানি:
প্রতিটি অন্তঃকোণ = (n - 2) × 180°/n
প্রতিটি বহিঃকোণ = 360°/n

প্রশ্নমতে,
অন্তঃকোণ - বহিঃকোণ = 132°
বা, {(n - 2) × 180°/n} - (360°/n) = 132°
বা, {(n - 2) × 180° - 360°}/n = 132°
বা, 180°n - 360° - 360° = 132°n
বা, 180°n - 720° = 132°n
বা, 180°n - 132°n = 720°
বা, 48°n = 720°
বা, n = 720°/48°
বা, n = 15

যেহেতু বহুভুজটির বাহু সংখ্যা 15, এটি একটি পঞ্চদশভুজ (Pentadecagon)।

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 13 : 5 হলে কোণ দুটির পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, দুটি সম্পূরক কোণের সমষ্টি 180°।
ধরি, কোণ দুটি হলো 13x এবং 5x।

শর্তমতে,
13x + 5x = 180°
⇒ 18x = 180°
⇒ x = 180°/18
⇒ x = 10°
∴ প্রথম কোণটি = 13x = 13 × 10° = 130°
এবং দ্বিতীয় কোণটি = 5x = 5 × 10° = 50°
সুতরাং, কোণ দুটির পরিমাণ হলো 130° এবং 50°।

• দুটি কোণের সমষ্টি 180° হলে তাদেরকে সম্পূরক কোণ (Supplementary Angles) বলা হয়।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি লম্বের দ্বিগুণ অপেক্ষা ২ মিটার বেশি এবং অতিভুজ অপেক্ষা ১ মিটার কম। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
​সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব = ক মিটার 
​ভূমি = ২ক + ২ মিটার 
​অতিভুজ = (২ক + ২) + ১ মিটার = ২ক + ৩ মিটার 
​
​পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
​অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
⇒ ​(২ক + ৩)^২ = ক^২ + (২ক + ২)^২ 
​⇒ ৪ক^২ + ১২ক + ৯ = ক^২ + ৪ক^২ + ৮ক + ৪
⇒ ​৪ক^২ + ১২ক + ৯ = ৫ক^২ + ৮ক + ৪
​⇒ ৫ক^২ - ৪ক^২ + ৮ক - ১২ক + ৪ - ৯ = ০
​⇒ ক^২ - ৪ক - ৫ = ০
⇒ ​ক^২ - ৫ক + ক - ৫ = ০
​⇒ ​ক(ক - ৫) + ১(ক - ৫) = ০
⇒ ​(ক - ৫)(ক + ১) = ০

​​হয়, ক - ৫ = ০ অথবা ক + ১ = ০
​হয়, ক = ৫ অথবা ক = - ১
​​কিন্তু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না। 
​ ​∴ ক = ৫
​
অর্থাৎ লম্ব = ৫ মিটার 
∴ ​অতিভুজ = (২ × ৫ + ৩) মিটার = (১০ + ৩) মিটার = ১৩ মিটার 

বৃত্তের ব্যাস = 2r একক
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক
3 গুণ বৃদ্ধি করলে, নতুন ব্যাস = 3.2r একক
= 6r একক
নতুন ব্যাসার্ধ = 6r/2 একক
= 3r একক
সুতরাং নতুন ক্ষেত্রফল = π(3r)² বর্গ একক
= π × 9r² বর্গ একক
= 9 × πr² বর্গ একক
= 9 × বৃত্তের ক্ষেত্রফল

ΔABC এ AD একটি মধ্যমা G এর ভরকেন্দ্র, AG = 6 সে.মি হলে, DG = কত সে.মি?



আমরা জানি,
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র তার মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
এখানে, ΔABC এ AD একটি মধ্যমা G তাহার ভরকেন্দ্র।
ধরি, AG = 2x এবং DG = x
2x = 6
বা, x = 6/2
বা, x = 3

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে। বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৮ সে. মি. ও ৩ সে. মি. হলে কেন্দ্র দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?

সমাধান:

আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের বিয়োগফলের সমান।

মনে করি,
A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, AC = ৮ সে. মি
B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, BC = ৩ সে. মি.
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, AB = AC - BC
= (৮ - ৩) সে. মি.
= ৫ সে. মি.

∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৫ সে. মি.

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ তার বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

∴ বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে = ৬৫° × ২
= ১৩০°

∴ কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে ১৩০°।

ধরি, অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য 3x এবং 4x ফুট
তাহলে,
(3x)² + (4x)² = 25²
⇒ 9x² + 16x² = 25²
⇒ 25x² = 25²
⇒ x² = 25
∴ x = 5
∴ অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য (3×5)= 15 ফুট এবং (4×5)= 20 ফুট

ধরি, দৈর্ঘ্য = x m
তাহলে প্রস্থ = (x - 6) m
প্রশ্নমতে,
x(x - 6) = 160
বা, x² - 6x -160 = 0
বা, x² - 16x + 10x -160 = 0
বা, x(x - 16) + 10(x - 16) = 0
বা, (x - 16)(x + 10) = 0
কিন্তু x +10 ≠ 0
সুতরাং x -16 = 0
বা, x = 16 m

প্রশ্ন: ২১ মিটার দীর্ঘ এবং ১৫ মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরের চারদিকে ২ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে । রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = {২১ মি. + (২ + ২) মি.} = ২৫ মিটার 
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = {১৫ মি. + (২ + ২) মি.} = ১৯ মিটার 
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৫ × ১৯) বর্গমিটার 
= ৪৭৫ বর্গমিটার

আবার, 
রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (২১ × ১৫) বর্গমিটার 
= ৩১৫ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৪৭৫ – ৩১৫) বর্গমিটার 
= ১৬০ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে কী বলে? 

সমাধান:
ভরকেন্দ্র: ত্রিভুজের মধ্যমাগুলোর ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।


চিত্রে G বিন্দুটি হলো ভরকেন্দ্র।

উল্লেখ্য,
• অন্তঃকেন্দ্র: ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
• পরিকেন্দ্র (Circumcentre): ত্রিভুজের তিনটি বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে পরিকেন্দ্র বলা হয়।
• বহিঃকেন্দ্র: একটি ত্রিভুজের একটি অন্তঃস্থ কোণের সমদ্বিখণ্ডক এবং অপর দুটি বহিঃস্থ কোণের সমদ্বিখণ্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে বহিঃকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: যে সরলরেখাটি y = 3x – 5 এর সমান্তরাল, তার ঢাল কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত সরলরেখা- 
y = 3x – 5 

আমরা জানি, 
সমান্তরাল রেখার ঢাল (slope) সদা সমান থাকে। 
y = mx + c আকারের সমীকরণে ঢাল  m দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

এখন, 
y = 3x – 5 সমীকরণের সাথে তুলনা করলে ঢাল পাওয়া যায়- 
ঢাল, m = 3 তাই সমান্তরাল রেখার ঢালও 3 ।

প্রশ্ন: Δ XYZ এ P ও Q যথাক্রমে XY ও XZ এর মধ্যবিন্দু। YZ বাহুর দৈর্ঘ্য ২৪ সে.মি. হলে, PQ বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।

এখানে, P ও Q যথাক্রমে △ XYZ-এর XY ও XZ বাহুর মধ্যবিন্দু।
∴ PQ = (১/২) × YZ
দেওয়া আছে, YZ = ২৪ সে.মি.
∴ PQ = (১/২) × ২৪ সে.মি.
= ১২ সে.মি.
সুতরাং, PQ বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থকোণ ১৫৬° হলে, এর বাহু সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃস্থকোণের পরিমাণ = ১৫৬°

আমরা জানি,
একটি অন্তঃস্থকোণ ও তার সংশ্লিষ্ট বহিঃস্থকোণের সমষ্টি ১৮০°।
সুতরাং, সুষম বহুভুজটির বহিঃস্থকোণ = (১৮০° - ১৫৬°) = ২৪°

আবার, যেকোনো সুষম বহুভুজের বহিঃস্থকোণগুলোর সমষ্টি ৩৬০°।
∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = বহিঃস্থকোণগুলোর সমষ্টি/একটি বহিঃস্থকোণের পরিমাণ

∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/২৪°
 = ১৫ টি

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ ১৪৪° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান: 
মনে করি,
বাহুর সংখ্যা = ক

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজে মোট উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণ = {(ক - ২)১৮০°}/ক

প্রশ্নমতে, 
{(ক - ২)১৮০°}/ক = ১৪৪°
বা, (ক - ২) × ১৮০ = ১৪৪ক
বা, ১৮০ক - ২ × ১৮০ = ১৪৪ক
বা, ১৮০ক - ৩৬০ = ১৪৪ক
বা, ১৮০ক - ১৪৪ক = ৩৬০
বা, ৩৬ক = ৩৬০
বা, ক = ৩৬০/৩৬ 
∴ ক = ১০

∴ বাহুর সংখ্যা = ১০টি ।

প্রশ্ন: secA + tanA = 13/5 হলে (secA - tanA) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
secA + tanA = 13/5

আমরা জানি,
sec²A − tan²A = 1
⇒ (sec A + tan A)(sec A - tan A) = 1
⇒ sec A - tan A = 1/(sec A + tan A)
⇒ sec A - tan A = 1/(13/5)
∴ sec A - tan A = 5/13

অতএব, sec A - tan A = 5/13

প্রশ্ন: কোনটি সরলরেখার সমীকরণ হিসেবে গণ্য হয় না?

সমাধান: 
সরলরেখার সমীকরণ (মূল বিন্দুগামী) y = mx 
দুই অক্ষকে ছেদ করে এমন সরল রেখার সমীকরণ = x/a + y/b = 1 

অপশনগুলোর মধ্যে (গ) অপশনটি সরল রেখা নয়। 
কারণ, x = 1/y এই সমীকরণটির ঘাত হচ্ছে ২ ।
তাই উক্ত সমীকরণটি কোনো সরলরেখার সমীকরণ নয়।
.............................
............................................
অন্যভাবে বলা যায়,
সরলরেখার সমীকরণ একঘাত বিশিষ্ট সমীকরণ যেখানে xy সমন্বিত কোনো পদ নেই।
x = 1/y
∴ xy = 1
প্রদত্ত সমীকরণে xy সমন্বিত পদ থাকায় সমীকরণটি সরলরেখার সমীকরণ নয়।

অপশন আলোচনা:
এখন, দেওয়া বিকল্পগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:

ক) x + y = 5 → এটি একটি রৈখিক সমীকরণ, কারণ x এবং y-এর ঘাত ১ এবং কোনো ভগ্নাংশ নেই। এটি সরলরেখার সমীকরণ।

খ) y = 3 → এটি একটি অনুভূমিক সরলরেখার সমীকরণ, যা y-অক্ষ বরাবর চলমান। এটি সরলরেখার সমীকরণ।

গ) x = 1/y → এখানে x এবং y-এর মধ্যে ভগ্নাংশ সম্পর্ক আছে, অর্থাৎ এটি রৈখিক নয়। এটি একটি অরৈখিক (non-linear) সমীকরণ। এটি সরলরেখার সমীকরণ নয়।

ঘ) 2x - 7y = 4 → এটি একটি রৈখিক সমীকরণ, কারণ x এবং y-এর ঘাত ১ এবং ভগ্নাংশ নেই। এটি সরলরেখার সমীকরণ।

প্রশ্ন: একটি রেখার কতটি প্রান্তবিন্দু থাকে? 

সমাধান:
- রেখা অসীম এবং রেখার কোনো প্রান্ত বিন্দু নাই। 
- একটি রেখার যদি একদিকে একটি প্রান্ত বিন্দু থাকে এবং অন্যদিকে অসীম হয়, তবে তাকে রশ্মি বলে। 
- রেখাংশের প্রান্তবিন্দু দুইটি।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১৫ সে.মি. ও ৯ সে.মি., এবং উচ্চতা ৮ সে.মি.। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত বর্গ মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = ১৫ সে.মি. = ১৫/১০০ = ০.১৫ মি.
এবং ৯ সে.মি. = ৯/১০০ = ০.০৯ মি.
উচ্চতা = ৮ সে.মি. = ৮/১০০ = ০.০৮ মি.

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × উচ্চতা
= (১/২) × (০.১৫ + ০.০৯) × ০.০৮
= (১/২) × ০.২৪ × ০.০৮
= ০.১২ × ০.০৮
= ০.০০৯৬ বর্গ মি.

সুতরাং, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ০.০০৯৬ বর্গ মিটার।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৬০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১৬০০ বর্গমিটার 
∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √১৬০০ মিটার
= ৪০ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × একবাহুর দৈর্ঘ্য 
= ৪ × ৪০ মিটার 
= ১৬০ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১৬০ মিটার। 

প্রশ্ন: আয়না থেকে 5 ফুট দূরত্বে দাঁড়িয়ে, আয়না থেকে আপনার প্রতিবিম্ব কতদূরে দেখা যাবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
আয়না থেকে লক্ষ্যবস্তুর দূরত্ব ও প্রতিবিম্বের দূরত্ব সমান। 
অতএব, প্রতিবিম্ব 5 ফুট দূরে দেখা যাবে।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৪ গুণ। দৈর্ঘ্য ২৮ মিটার হলে ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের বিস্তার = ক মিটার
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৪ক

প্রশ্নমতে,
৪ক = ২৮
⇒ ক = ২৮/৪
∴ ক = ৭ মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + বিস্তার)
= ২ × (২৮ + ৭) মিটার
= ২ × ৩৫ মিটার
= ৭০ মিটার

∴ আয়তাকার ক্ষেত্রটির পরিসীমা ৭০ মিটার।

মনে করি.
একটি কোণ ক তাহলে অপর কোণ (90 - ক)
শর্তমতে,
ক - (90-ক) = 8
বা, ক - 90 + ক = 8
বা, 2ক = 98
বা, ক = 49
সুতরাং অপর কোণ = 90 - ক
= 90 °- 49°
= 41°