জ্যামিতি

ধরি,
ব্যাসার্ধ = r,
∴ ক্ষেত্রফল = πr^২
২০% কমে ব্যাসার্ধ = ৮০r/১০০
= ৪r/৫
ক্ষেত্রফল = π(৪r/৫)²
= (১৬πr²)/২৫
ক্ষেত্রফল হ্রাস পায় = πr^২ - (১৬/২৫)πr^২
= (৯/২৫)πr^২
ক্ষেত্রফল হ্রাসের হার = ((৯/২৫)πr^২ × ১০০)/πr^২
= ৩৬%

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার 5/6 অংশ এবং উচ্চতা 18 মিটার হলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের উচ্চতা = 18 মিটার
সামান্তরিকের ভূমি = 18 এর 5/6
= (18 × 5)/6
= 90/6
= 15 মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= 15 × 18
= 270 বর্গমিটার

প্রশ্ন: কোনো ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটি অপরটির 3 গুণ এবং ছোটটির দৈর্ঘ্য ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতার সমান। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 128 বর্গসে.মি. হলে ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে,
ছোটটির দৈর্ঘ্য = উচ্চতা = x সে.মি. 
এবং বড়টির দৈর্ঘ্য = 3x সে.মি.

প্রশ্নমতে,
 ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 128
⇒ (1/2) × উচ্চতা × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি = 128
⇒ (1/2) × x × (x + 3x) = 128
⇒ 4x²/2 = 128
⇒ 2x² = 128
⇒ x² = 64
⇒ x = 8

∴ ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা = 8 সে.মি.

ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ = (১৮০ × (৭/১৮))° = ৭০°

আমরা জানি , বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π× ব্যাসার্ধ^২

∴ব্যাসার্ধ = ৬ মিটার
অতএব, ব্যাস =৬ × ২ = ১২ মিটার

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 13 একক এবং ভূমি 10 একক হলে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
সমান বাহু, a = 13 একক
ভূমি, b = 10 একক

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
∴ ক্ষেত্রফল = (10/4) × √{4 × (13)² - (10)²}
= (10/4) × √(4 × 169 - 100)
= (10/4) × √(676 - 100)
= (10/4) × √576
= (10/4) × 24
= 10 × 6
= 60 বর্গ একক।

অতএব, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 60 বর্গ একক।

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 294 বর্গ সে.মি. হলে, এক ধারের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 294 বর্গ সে.মি.

ধরি, ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

আমরা জানি,
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গ সে.মি.
⇒ 6a² = 294
⇒ a² = 294/6
⇒ a² = 49
⇒ a = √49 = 7 সে.মি.

∴ ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য = 7 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 8 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 8/2 সে.মি. = 4 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr²θ)/360°
= (π × 4²× 60°)/360°
= (π × 16× 60°)/360°
= 8π/3

বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন জ্যা এর দৈর্ঘ্য 8√2 সে.মি.
এবং কেন্দ্র হতে ঐ জ্যা এর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য 2 সে.মি. হলে
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r² = (8√2 / 2)² + 2²
বা, r² = 32 + 4
বা, r = 6
সুতরাং, ব্যাসার্ধ ৬ সে.মি.

চাকাটি একবারে অতিক্রম করে তার পরিধির সমান দুরত্ব।
∴ পরিধি = 2πr = πD = π×4.5 = 14.14 মি.
∴ চাকাটি 360 মি. পথ অতিক্রম করতে ঘুরবে = 360/14.14 = 25.46 = 25 বার

প্রশ্ন: একটি কোণের দ্বিগুণ 50° হলে, তার পূরক কোণ কত?

সমাধান: 
ধরি,
একটি কোণ = x হলে, 
কোণটির দ্বিগুণ হবে = 2x

প্রশ্নমতে,
2x = 50°
বা, x = 50°/2
∴ x = 25° 

∴  25° এর পূরক কোণ = (90° - 25°)
= 65°  ।

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টির গড়)×(উচ্চতা)
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (½)(a + b)h

দুইটি কোনের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৪৫ ডিগ্রি হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০° এবং বাকি দুটি কোণ সূক্ষ্মকোণ, যাদের সমষ্টি ৯০°।
ধরি, ক্ষুদ্রতম সূক্ষ্মকোণটি হলো ক।
তাহলে, বৃহত্তম সূক্ষ্মকোণটি হবে (ক + ৪৫)°।
শর্তমতে, সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি ৯০°।
ক + (ক + ৪৫) = ৯০°
⇒ ২ক + ৪৫ = ৯০°
⇒ ২ক = ৯০° - ৪৫°
⇒ ২ক = ৪৫°
⇒ ক = ৪৫°/২
∴ ক = ২২.৫০°
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণটির মান হলো ২২.৫০°।

প্রশ্ন: রেখা 3x - 4y = 12 এর ঢাল কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ:
3x - 4y = 12 এটিকে y = mx + c আকারে লিখলে,
⇒ - 4y = - 3x + 12
⇒ y = 3/4x - 3
এখানে x এর সহগ হলো রেখার ঢাল m = 3/4

∴ রেখাটির ঢাল = 3/4

বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ঠ্যঃ
১. x  ও y - এর দ্বিঘাত সমীকরণ।
২. x²  এর সহগ = y² এর সহগ
৩. xy সম্বলিত পদ অনুপস্থিত।
প্রশ্নের অপশন ক) বৃত্তের সমীকরণের সবগুলো শর্ত পুরণ করে।
তাই অপশন ক) সঠিক উত্তর।

প্রশ্ন: একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক কয়টি ছেদবিন্দু থাকতে পারে?

সমাধান:

একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক দুইটি ছেদবিন্দু থাকতে পারে।

প্রশ্ন: যদি cosec²θ + cot²θ = 5/3 হয় তাহলে cotθ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosec²θ = 1 + cot²θ

দেওয়া আছে,,
cosec²θ + cot²θ = 5/3
⇒ 1 + cot²θ + cot²θ = 5/3
⇒ 2 cot²θ = (5/3) -1
⇒ 2cot²θ = 2/3
⇒ cot²θ = 2/6
⇒ cot²θ = 1/3
∴ cotθ = 1/√3

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা’কে কী বলা হয়? 

সমাধান: 
 - বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে। 
- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে। 
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে। 
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে। 
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

প্রশ্ন: একটি সমান্তর চতুর্ভুজের ভিত্তি দ্বিগুণ এবং উচ্চতা অর্ধেক করলে ক্ষেত্রফলের কী পরিবর্তন হবে? 

সমাধান:
সমান্তর চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল সূত্র:
A = ভিত্তি × উচ্চতা
প্রাথমিক ভিত্তি b এবং উচ্চতা h

প্রাথমিক ক্ষেত্রফল: A₁ = b × h

নতুন মান:
ভিত্তি দ্বিগুণ = 2b
উচ্চতা অর্ধেক = h/2
A₂ = 2b × h/2 = b × h = A₁

∴ ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।

প্রশ্ন: 5 মিটার ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি লোহার গোলক গলিয়ে 1 মিটার ব্যাসার্ধের কতটি গোলক তৈরি করা যাবে?

সমাধান: 
মনে করি,
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ, R = 5 m
ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 1 m 

∴ গোলক বানানো যাবে = বড় গোলকের আয়তন/ছোট গোলকের আয়তন
= (4/3)πR³ / (4/3)πr³
= R³ / r³
= 5³ / 1³
= 125 / 1
= 125 

∴ গোলক তৈরি করা যাবে = 125 টি।

আমরা জানি,
ত্রিভুজের দুই বাহু দেওয়া থাকলে এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া থাকলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2×বাহুদ্বয়ের গুনফল×sinθ = 1/2(11×12×sin60) = 57.157 বর্গমি.

বাহু সংখ্যা n = ১০
∴ কোণের পরিমাণ = ((n - 2)/n) × ১৮০°
= ((১০ - ২)/১০) × ১৮০°
= ১৪৪°

প্রশ্ন: কেন্দ্র (- 2, 4) এবং ব্যাসার্ধ 5 বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের কেন্দ্র = (- 2, 4)
ব্যাসার্ধ = 5

আমরা জানি,  
বৃত্তের আদর্শ সমীকরণ,
(x - h)² +(y - k)² = r²
⇒ (x + 2)² + {y - 4}² = 5² ; [এখানে h = - 2, k = 4 এবং r = 5]
∴ (x + 2)² + (y - 4)² = 25

সুতরাং, বৃত্তের সমীকরণ (x + 2)² + (y - 4)² = 25

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 45°। গাছটি 15 মিটার উঁচু হলে ঐ স্থানটি গাছটি হতে কত দূরে অবস্থিত? 

সমাধান: 

ধরি, 
গাছটি a মিটার দূরে অবস্থিত 
∴ tan 45° = AB/AC 
বা, 1 = 15/a 
∴ a = 15 মিটার 

∴ গাছটি 15 মিটার দূরে অবস্থিত ।

প্রশ্ন: P(2, 5) এবং Q(8, - 3) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাংক কত?

সমাধান: