জ্যামিতি

প্রশ্ন: যদি একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ ৩ সেমি এবং উচ্চতা ১৪ সেমি হয়, তবে তার আয়তন কত হবে?

সমাধান:
​
​ধরা যাক,
ব্যাসার্ধ, r = ৩ সে.মি.
উচ্চতা, h = ১৪ সে.মি.

এখন,
আয়তন = (১/৩) × π × r^২ × h
= (১/৩) × (২২/৭) × ৩^২ × ১৪
= ১৩২ ঘন সে.মি. (প্রায়)

প্রশ্ন: PQRS রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য 5 ইঞ্চি। PR এবং QS কর্ণ দুটি O বিন্দুতে ছেদ করলে PO² + QO² = কত?

সমাধান:

পিথাগোরসের উপপাদ্য অনুসারে POQ ত্রিভুজ হতে,
PQ² = PO² + QO²
⇒ 5² = PO² + QO²
∴ PO² + QO² = 25

প্রশ্ন: ৮ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৮ সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের ব্যাস = ব্যাসার্ধ × ২
= ৮ × ২
= ১৬ সে.মি.

বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস = ১৬ সে.মি.

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (কর্ণ)^২
∴ ক্ষেত্রফল = ১/২ × (১৬)^২
= ১/২ × ২৫৬
= ১২৮ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফর কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 30°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a = b = 10 সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)absinθ
= (1/2) × 10 × 10 × sin30°
= (1/2) × 10 × 10 × (1/2)
= 25 বর্গসে.মি.

(1 - tan²30°)/(1 + tan²30°)
= cos2.30°
= cos60°
= 1/2

প্রশ্ন: যদি (sinA + cosA)/(sinA - cosA) = 7 হয়, cosA = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
(sinA + cosA)/(sinA - cosA) = 7
⇒ (sinA + cosA + sinA - cosA)/(sinA + cosA - sinA + cosA) = (7 + 1)/(7 - 1)
⇒ 2sinA/2cosA = 8/6
⇒ sinA/cosA = 4/3
⇒ tanA = 4/3

∴ cosA = ভূমি/অতিভুজ
⇒ cosA = 3/5

প্রশ্ন: দুটি রেখা 2x + y = 2 এবং y = kx - 3 পরস্পর লম্ব হলে, k এর মান কত?

সমাধান:
দুটি রেখা পরস্পর লম্ব হলে তাদের ঢালগুলির গুণফল হয় -1।
প্রথম রেখার ঢাল m₁ = -2
দ্বিতীয় রেখার ঢাল m₂ = k

সুতরাং,
m_1​ × m₂ ​= -1
(-2) × k = -1
⇒ k = 1/2

∴ k-এর মান = 1/2

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার ও প্রস্থ ২৫ মিটার। চারপাশে ৩ মিটার চওড়া পাড় থাকলে পাড়সহ পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পুকুরের দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার
পুকুরের প্রস্থ = ২৫ মিটার
চারপাশে পাড়ের চওড়া = ৩ মিটার

পাড় চারপাশে থাকায় দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয় দিকেই দুই পাশে মোট ২ × ৩ = ৬ মিটার যোগ হবে।

সুতরাং, পাড়সহ দৈর্ঘ্য = ৪০ + ৬ = ৪৬ মিটার
পাড়সহ প্রস্থ = ২৫ + ৬ = ৩১ মিটার

∴ পাড়সহ পুকুরের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক 
= ২ × (৪৬ + ৩১) = ২ × ৭৭ 
= ১৫৪ মিটার

অতএব, পাড়সহ পরিসীমা ১৫৪ মিটার।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের প্রতিটি বাহু ১১ সে.মি. হলে, রম্বসের পরিসীমার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের প্রতিটি বাহু, a = ১১ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের পরিসীমা = 4a একক
= (৪ × ১১) সে.মি.
= ৪৪ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি কাঠের গুড়ির দৈর্ঘ্য ৪ মিটার, প্রস্থ ৫০ সে.মি. এবং উচ্চতা ২৫ সে.মি.। এটি কেটে ১০ সে.মি. উচ্চতা, ২৫ সে.মি. প্রস্থ এবং ৫০ সে.মি. দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট কতগুলো ব্লক তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কাঠের গুড়ির দৈর্ঘ্য = ৪ মিটার = (৪ × ১০০) সে.মি. = ৪০০ সে.মি.
কাঠের গুড়ির প্রস্থ = ৫০ সে.মি.
কাঠের গুড়ির উচ্চতা = ২৫ সে.মি.

কাঠের গুড়ির আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= (৪০০ × ৫০ × ২৫) ঘন সে.মি.
= ৫০০০০০ ঘন সে.মি.

আবার,
প্রতিটি ব্লকের দৈর্ঘ্য = ৫০ সে.মি.
প্রতিটি ব্লকের প্রস্থ = ২৫ সে.মি.
প্রতিটি ব্লকের উচ্চতা = ১০ সে.মি.

প্রতিটি ব্লকের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= (৫০ × ২৫ × ১০) ঘন সে.মি.
= ১২৫০০ ঘন সে.মি.

∴ ব্লকের সংখ্যা = কাঠের গুড়ির আয়তন/প্রতিটি ব্লকের আয়তন
= ৫০০০০০/১২৫০০
= ৪০ টি

সুতরাং, ৪০টি ব্লক তৈরি করা যাবে।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম আকৃতির কাগজের ক্ষেত্রফল ৫৪ বর্গ সে.মি.। এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. ও ৮ সে.মি. হলে, লম্ব দূরত্ব কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ৫৪ বর্গ সে.মি.
সমান্তরাল বাহু দুটি = ১০ সে.মি. ও ৮ সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল
= (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × লম্ব দূরত্ব
⇒ ৫৪ = (১/২) × (১০ + ৮) × লম্ব দূরত্ব
⇒ ৫৪ = (১/২) × ১৮ × লম্ব দূরত্ব
⇒ ৫৪ = ৯ × লম্ব দূরত্ব
⇒ লম্ব দূরত্ব = ৫৪/৯ 
∴ লম্ব দূরত্ব = ৬ সে.মি.

সুতরাং, ট্রাপিজিয়ামটির লম্ব দূরত্ব = ৬ সে.মি.

দৈর্ঘ্য = √(ক্ষেত্রফল×দৈর্ঘ্য প্রস্থের কত গুন)
= √(২০০ × ২)
= ২০ মিটার
সুতরাং, প্রস্থ হবে ১০ মিটার
তাহলে আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা হবে = ২(২০+১০) = ৬০ মিটার

আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = সামন্তরিকের ভূমি × উচ্চতা
∴ সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৪ × ৩ = ১২ বর্গফুট।

প্রশ্ন: cosecθ = 2 হলে, tanθ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
cosecθ = 2
⇒ 1/sinθ = 2
∴ sinθ = 1/2

আমরা জানি,
sin²θ + cos²θ = 1
⇒ cos²θ = 1 - sin²θ
⇒ cos²θ = 1 - (1/2)²
⇒ cos²θ = 1 - (1/4)
⇒ cos²θ = 3/4
⇒ cosθ = √(3/4)
∴ cosθ = √3/2

tanθ = sinθ/cosθ
= (1/2)/(√3/2)
= 1/√3

বা,(cosA - sinA + cosA + sinA)/(cosA - sinA - cosA - sinA) = (1 - √3 + 1 + √3)/(1 - √3 - 1 - √3)[যোজন-বিয়োজন করে]
বা,2cosA/-2sinA = 2/-2√3 
বা,cosA/sinA = 1/√3
বা,cotA = cot60°
∴A = 60°

আমরা জানি, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/(১৮০° - অন্তঃস্থকোণ)
বা, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/(১৮০° - ১৫০°) = ১২ টি।

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রের আলোকে 'X' এর মান কত?


সমাধান:
এখানে,
∠AOC + ∠AOD = 180°
⇒ 110° + ∠AOD = 180°
⇒ ∠AOD = 180° - 110°
∴ X = 70°

দেওয়া আছে,
B = 6x,
C = 5x
A:B = 7:6
বা, A/B = 7/6
বা, A = 7/6 B
= 7/6 × 6x
= 7x
ΔABC-এ,
A + B + C = 180°
বা, 6x + 5x + 7x = 180°
বা, 18x = 180°
∴ x = 10°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য √৩২ একক হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য = √৩২ একক

যদি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক হয়
তাহলে কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√২ একক
সুতরাং,
a√২ = √৩২ = √(১৬ × ২) = ৪ × √২
∴ a = ৪ একক

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
= ৪ × ৪ = ১৬ একক

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ১২৮ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি, আয়তাকার ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার।
অতএব, দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার।

আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ।
প্রশ্নমতে,
২ক × ক = ১২৮
⇒ ২ক² = ১২৮
⇒ ক² = ১২৮/২
⇒ ক² = ৬৪
⇒ ক = √৬৪
⇒ ক = ৮ মিটার

∴ প্রস্থ = ৮ মিটার
দৈর্ঘ্য = ২ × ৮ = ১৬ মিটার

∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(১৬ + ৮) মিটার
= ২ × ২৪ মিটার
= ৪৮ মিটার

ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য = 2a cm
বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য = 3a cm
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 2a × 3a = 48
বা, 3a² = 48
বা, a² = 16
∴ a = 4
∴ বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য = 3.4
= 12 সে. মি.

সামন্তরিকের বৈশিষ্ট অনুসারে এর কর্ণদ্বয় পরস্পর অসমান।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের তিনগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৪৩২ বর্গমিটার হলে, পরিসীমার তিনগুণ কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার = ক মিটার
আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার
আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = (৩ক × ক) বর্গমিটার
= ৩ক^২বর্গমিটার

শর্তমতে,
৩ক^২ = ৪৩২
বা, ক^২= ৪৩২/৩
বা, ক^২= ১৪৪
বা, ক = √১৪৪
∴ ক = ১২

∴ আয়তাকার ঘরের বিস্তার = ১২ মিটার
আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = (১২ × ৩) = ৩৬ মিটার

তাহলে, আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(৩৬ + ১২) মিটার
= ২ × ৪৮ = ৯৬ মিটার
∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমার তিনগুণ = ৯৬ × ৩ = ২৮৮ মিটার

ΔABC - এ,
AD = BD
∴ ∠ABD = ∠BAD
বহিঃস্থ ∠ADC = ∠ABD + ∠BAD = ∠ABD + ∠ABD = 2 ∠ABD
বা, 2 ∠ABD = ∠ADC = 76°
বা, ∠ABD = 38°
∴ ∠B = 38°

রেখা (Line): বিন্দুর চলার পথকে রেখা বলে। একটি রেখার নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য ও প্রান্তবিন্দু নেই।

রেখাংশ (Segment of line): রেখাংশের নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে। রেখাংশের দুইটি প্রান্ত বিন্দু থাকে।

রশ্মি (Ray): একটি রশ্মির নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই। একটি রশ্মির মাত্র একটি প্রান্ত বিন্দু আছে।

আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
AC ও BD দুটি কর্ণ পরস্পরকে O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে
∠AOD = 90°
∠BOC = 90°
∴ ∠AOD + ∠BOC = 180°

প্রশ্ন: একটি লোহার ফাপা গোলকের বাইরের ব্যাস ১০ সে.মি. ও বেধ ২ সে.মি.হলে, গোলকের ফাঁপা অংশের আয়তন কত ঘন সে.মি.?

সমাধান:
দেয়া আছে,
বাইরের ব্যাস = ১০ সে.মি.
বেধ = ২ সে.মি.

বাইরের ব্যাসার্ধ (R) = ১০/২ = ৫ সে.মি.
ভিতরের ব্যাসার্ধ (r) = বাইরের ব্যাসার্ধ - বেধ
= ৫ - ২ = ৩ সে.মি.

ফাঁপা অংশ = ভিতরের গোলকের আয়তন

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (৪/৩)πr^৩
∴ ফাঁপা অংশের আয়তন = (৪/৩)π(৩)^৩
= (৪/৩)π × ২৭
= (৪ × ২৭π)/৩
= ৩৬π ঘন সে.মি.

চিত্রে AB||CD এবং EF ছেদক ফলে ∠BAC = ∠DCF = x
আবার,
∠BAE + ∠BAC = এক সরলকোণ = 180°
∴ y + x = 180° 
⇒ ∠x + ∠y = 180°

সপ্তভূজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (n - ২) × ১৮০
                                                          = (৭ - ২) × ১৮০°
                                                          = ৯০০°

মনে করি,
একটি কোণ 'ক' তাহলে অপর কোণ (90 - ক)
শর্তমতে,
ক - (90 - ক) = 8
বা, ক - 90 + ক = 8
বা, 2ক = 98
বা, ক = 49
সুতরাং অপর কোণটি = 90 - ক
= 90 - 49
= 41°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৯০০ বর্গমিটার 
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৯০০ মিটার 
= ৩০ মিটার 

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য 
= (৩০ × ৪) মিটার 
= ১২০ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১২০ মিটার।