জ্যামিতি

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ২৪° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণ কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণ = ক°, বৃহত্তর কোণ = ক + ২৪°
সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ ৯০° এবং অপর দুই কোণের সমষ্টি ৯০° হয়।
প্রশ্নমতে,
∴ ক + (ক + ২৪°) = ৯০°
∴ ২ক = ৯০° - ২৪°
∴ ২ক = ৬৬°
∴ ক = ৬৬°/২ = ৩৩°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩৩°

প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে এবং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব ৪ সে.মি.। বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১১ সে.মি. হলে, ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান: 
দুটি বৃত্ত অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে।
অর্থাৎ ছোট বৃত্তটি বড় বৃত্তের ভিতরে আছে এবং তারা ভিতর থেকে একবিন্দুতে স্পর্শ করছে।

দেওয়া আছে, 
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = ৪ সে.মি.
বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ (R) = ১১ সে.মি.

অন্তঃস্থ স্পর্শের ক্ষেত্রে, 
কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = বড় ব্যাসার্ধ - ছোট ব্যাসার্ধ
∴ ৪ = ১১ - r
⇒ r = ১১ - ৪
⇒ r = ৭ সেমি

সুতরাং, ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৭ সে.মি.

প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 সে.মি. হয়, তবে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 4 সে.মি.

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= π × 4²
= 16π sq. cm.

প্রশ্ন: ১৫ ফুট দৈর্ঘ্য ও ১২ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট একটি কার্পেট দ্বারা একটি মেঝের ৬০% মোড়ানো যায়। মেঝেটির ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য ১৫ ফুট ও প্রস্থ ১২ ফুট
∴ কার্পেটের ক্ষেত্রফল (১৫ × ১২) বর্গফুট
= ১৮০ বর্গফুট 

∴ ৬০% সমান ১৮০ বর্গফুট 
∴ ১% সমান (১৮০/৬০) বর্গফুট
∴ ১০০% সমান {(১৮০ × ১০০)/৬০}  বর্গফুট
= ৩০০ বর্গফুট 

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)(বাহু)²
বা, বাহু² = (৪ × ৫০)/√৩ = ১১৫.৪৭
বা, বাহু = ১০.৭৫ সেমি 

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত ৪ : ৫। এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান: 
১ম বৃত্তের, ব্যাস, = ৪
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₁ = ২
১ম বৃত্তের, ক্ষেত্রফল = π২^২ 
= ৪π

২য় বৃত্তের, ব্যাস, r = ৫
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₂ = ৫/২
২য় বৃত্তের, ক্ষেত্রফল = π(৫/২)^২
= ২৫/৪

∴ দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, ৪π : ২৫π/৪
= ৪ : ২৫/৪
= ১৬ : ২৫

প্রশ্ন: একটি গরুর গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৪ মিটার এবং পিছনের চাকার পরিধি ৫ মিটার। গাড়িটি কত পথ গেলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ৯৬ বার বেশি ঘুরবে।

সমাধান:
সামনের চাকা ও পিছনের চাকার লসাগু = (৪ × ৫) = ২০
২০ মিটার অতিক্রম করলে চাকাটি ১ বার বেশি ঘুরে

∴ ৯৬ বার বেশি ঘুরতে চাকাটির পথ অতিক্রম করতে হবে = (৯৬ × ২০) মিটার
= ১৯২০ মিটার 
= (১৯২০/১০০০) কিলোমিটার
= ১.৯২ কিলোমিটার

আমরা জানি,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
বা, 10² = 8² + ভূমি²
∴ ভূমি = 6 মিটার
সুতরাং ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা = (1/2) × 8 × 6 = 24 বর্গ মিটার

প্রশ্ন: যদি একটি সমবাহু ত্রিভুজে এক শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশের দৈর্ঘ্য ২৭ সেন্টিমিটার হয়, তবে ত্রিভুজটির ঐ শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব কত হবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
মধ্যমা, AE = ২৭
ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।

∴ শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব, AD = (২/৩) × ২৭ = ১৮ সে.মি.

প্রশ্ন: (- 3, - 5) বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত?

সমাধান:
একটি সমতল কার্তেসীয় তলে:

প্রথম চতুর্ভাগ: x > 0, y > 0
দ্বিতীয় চতুর্ভাগ: x < 0, y > 0
তৃতীয় চতুর্ভাগ: x < 0, y < 0
চতুর্থ চতুর্ভাগ: x > 0, y < 0

দেওয়া বিন্দু (- 3, - 5) এ:
x < 0
y < 0

∴ এটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। 

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a এবং
ক্ষেত্রফল = (a/2)² × √3
শর্তমতে,
3a = 18
বা, a = 6
সুতরাং ক্ষেত্রফল = (6/2)² × √3
= 9√3 বর্গ একক

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 12 এবং প্রস্থ 5। এই আয়তক্ষেত্রের কর্ণকে নতুন আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ধরে এবং প্রস্থ আগের মতো 5 ধরে নতুন আয়তক্ষেত্র আঁকা হলে, নতুন আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল আগের তুলনায় শতকরা কত শতাংশ বড় হবে?

সমাধান:
মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
A₁ = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = 12 × 5 = 60 বর্গএকক

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ সূত্র:
d = √(L² + W²)
= √(12² + 5²)
= √(144 + 25)
= √169
= 13 বর্গএকক

নতুন দৈর্ঘ্য = কর্ণ = 13 একক, প্রস্থ = 5 একক
A₂ = 13 × 5 = 65 বর্গএকক

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = A₂ - A₁ = 65 - 60 = 5 একক
শতকরা বৃদ্ধি = 5/60 × 100% = 8.33%

∴ শতকরা বৃদ্ধি = 8.33%

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের একটি কোণের মান অপর দুই কোণের সমষ্টির সমান হলে, অপর দুই কোণের সমষ্টির অর্ধেক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
বা, 90° + 2 কোণ = 180°
বা, 2 কোণ = 180° - 90°
বা, 2 কোণ = 90°
বা, কোণ = 90°/2
∴ কোণ = 45°

প্রশ্ন: ১১০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে। 

∴ ১১০° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ১১০)°
= ৭০° ।

প্রশ্ন: একটি 17 মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত দেয়াল থেকে 8 মিটার দূরে থাকলে, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের কত উচ্চতায় স্পর্শ করেছে?

সমাধান:

ধরি, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের x মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।
দেওয়া আছে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = 17 মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব = 8 মিটার
দেয়ালের উচ্চতা, AB = x

যেহেতু দেয়াল মাটির সাথে 90° কোণ উৎপন্ন করে,
∴ পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(দেয়ালের উচ্চতা)² + (দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব)² = (মইয়ের দৈর্ঘ্য)²
⇒ x² + 8² = 17²
⇒ x² + 64 = 289
⇒ x² = 289 - 64
⇒ x² = 225
⇒ x = √225
⇒ x = 15

∴ মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের 15 মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

ধরি,
সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটি a ও b এবং অতিভুজ c = 13 সে.মি.
পরিসীমা a+b+13 = 30 বা, a+b = 17
আবার, a² + b² = 13²
বা, (a+b)² - 2ab = 169
বা, (17)² - 2ab = 169
বা, 2ab = 289-169
বা, ab = 120/2
∴ ab = 60
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ½ × ab = ½ × 60 = 30 বর্গ সে.মি.

চর্তুভূজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখাদ্বারা সামান্তরিক গঠিত হয়।

প্রশ্ন: ১৮ সে.মি. ব্যাস ও ১২ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান। 

এখানে, 
১ম বৃত্তের ব্যাস = ১৮ সে.মি.
 ∴ ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১৮/২ সে.মি.
= ৯ সে.মি.

আবার,
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১২ সে.মি. 

∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (৯ + ১২) সে.মি. 
= ২১ সে.মি.। 

সুতরাং, বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ২১ সে.মি.।

প্রশ্ন: sec(θ - 60°) = 2/√3 হলে, sinθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sec(θ - 60°) = 2/√3
⇒ sec(θ - 60°) = sec 30°
⇒ θ - 60° = 30°
⇒ θ = 30° + 60°
⇒ θ = 90°

∴ sinθ = sin 90° = 1

প্রশ্ন: যদি sin(θ + 15°) = 3/√12 হয়, তবে cosθ/√2 = কত?

সমাধান:
sin(θ + 15°) = 3/√12
⇒ sin(θ + 15°) = 3/(2√3)
⇒ sin(θ + 15°) = (√3 . √3)/2√3
⇒ sin(θ + 15°) = √3/2
⇒ sin(θ + 15°) = sin60°
⇒ θ + 15° = 60°
⇒ θ = 45°

এখন,
cosθ/√2 = (cos 45°)/√2
= (1/√2) (1/√2)
= 1/2

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৪০ মিটার। এর প্রস্থ ৫ মিটার হলে, দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পরিসীমা = ৪০
প্রস্থ = ৫

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা সূত্র:
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
৪০ = ২(দৈর্ঘ্য + ৫)
৪০ = ২দৈর্ঘ্য + ১০
৩০ = ২দৈর্ঘ্য
দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার

∴ দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার

যেহেতু, সমবাহু ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর পরিমাপ ৬০°
∴ ABC সমবাহূ ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর প্রত্যেকটির পরিমাপ ১২০°।

ABC সমবাহূ ত্রিভুজে তিনটি বহিঃস্থ কোণ আছে।
ABC সমবাহূ ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর যোগফল 
= (১২০ + ১২০ + ১২০)°
=৩৬০°

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৫০° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে-

সমাধান:
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৫০°।
সুতরাং সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = ১৮০° - ১৫০°
= ৩০°
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°
সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/৩০° = ১২টি 

সুতরাং, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা ১২টি। 

প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০√২ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০√২ মিটার 

মনে করি,
বর্গের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ক মিটার
তাহলে, বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য √২ক মিটার

 শর্তমতে,
√২ক = ১০√২
বা, ক = ১০

∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)^২=১০^২=১০০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের কোণগুলোর অনুপাত ৪ : ৫ : ৬ : ৩। তৃতীয় বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি, চতুর্ভুজের কোণগুলো:
৪x, ৫x, ৬x, ৩x

চতুর্ভুজের কোণগুলোর যোগফল = ৩৬০°

তাহলে সমীকরণ,
৪x + ৫x + ৬x + ৩x = ৩৬০
→ ১৮x = ৩৬০
∴ x = ৩৬০/১৮ = ২০°

কোণগুলো হবে:
৪x = ৮০°
৫x = ১০০°
৬x = ১২০°
৩x = ৬০°

বৃহত্তম থেকে ক্রম:
১২০°, ১০০°, ৮০°, ৬০°

∴ তৃতীয় বৃহত্তম কোণের মান = ৮০°

প্রশ্ন: যদি sin(θ + 15°) = 3/√12 হয়, তাহলে sin²θ = ?

সমাধান:
sin(θ + 15°) = 3/√12
⇒ sin(θ + 15°) = 3/(2√3)
⇒ sin(θ + 15°) = √3/2
⇒ sin(θ + 15°) = sin60°
⇒ θ + 15° = 60°
⇒ θ = 45°

এখন,
sin²θ = (sin 45°)²
= (1/√2)²
= 1/2