জ্যামিতি

মনেকরি,
প্রস্থ = 2a মিঃ
∴ দৈর্ঘ্য = 2a এর 3/2 = 3a মিঃ

∴ পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= 2(2a + 3a) = 10a মিঃ

∴ দৈর্ঘ্য ও পরিসীমার অনুপাত = 3a : 10a
= 3 : 10

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ এবং ক্ষেত্রফল ২৮৮ বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
ঘরের প্রস্থ = ক মিটার 
∴ ঘরের দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার 
∴ ঘরের ক্ষেত্রফল = (ক × ২ক) বর্গমিটার 
= ২ক^২ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে, 
২ক^২ = ২৮৮
বা, ক^২ = ২৮৮/২
বা, ক^২ = ১৪৪
বা, ক = √১৪৪
∴ ক = ১২ মিটার 

∴ পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ (২ক + ক)
= ২ × ৩ক
= (২ × ৩ × ১২)
= ৭২ মিটার । 

প্রশ্ন: ৮ মিটার বাহু বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের অভ্যন্তরে অঙ্কিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান: 

বর্গের অভ্যন্তরে অঙ্কিত বৃত্তের ব্যাস বর্গের বাহুর সমান।
অর্থাৎ,
বৃত্তের ব্যাস = ৮ মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৮/২ মিটার = ৪ মিটার

আমরা জানি, গোলকের ক্ষেত্রফল = 4πr² = 4π×3² = 36π বর্গসেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: tan2A = √3 হলে, A = ?

সমাধান: 
tan2A = √3 = tan60°
⇒ 2A = 60° 
∴ A = 30°

Question: In a right-angled triangle, the length of one leg is 15 units and the hypotenuse is 25 units. Find the length of the other leg.

Solution:
Given,
Right-angled triangle
One leg a = 15
Hypotenuse c = 25
Other leg = b

Applying the Pythagorean theorem,
Hypotenuse² = leg a² + leg b²
⇒ 25² = 15² + b²
⇒ b² = 625 - 225
⇒ b² = 400
⇒ b = √400
b = 20

∴ Other leg (b) is 20 units

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 10√2 একক হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
মনে করি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 একক

শর্তমতে,
a√2 = 10√2
⇒ a = 10√2/√2
∴ a = 10

বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = a²
= 10² = 100 বর্গএকক

অতএব, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 100 বর্গএকক।

প্রশ্ন: একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 100 বর্গ সে.মি. এবং আয়তন 150 ঘন সে.মি.। বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
বেলনের ব্যাসার্ধ = r ও উচ্চতা = h
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh = 100 ......... (1)
এবং আয়তন = πr²h = 150 ............ (2)

(2) নং ÷ (1) নং হতে পাই,
πr²h/2πrh = 150/100
বা, r/2 = 150/100
বা, 100r = 300
বা, r = 300/100
∴ r = 3

∴ বেলনের ব্যাসার্ধ = 3 সে.মি.।

ঘনকের আয়তন = (বাহু)^৩
∴ ১ম ঘনকের আয়তন = ৩^৩ = ২৭ ঘন সে.মি.
২য় ঘনকের আয়তন = ৪^৩ = ৬৪ ঘন সে.মি.
৩য় ঘনকের আয়তন = ৫^৩ = ১২৫ ঘন সে.মি.
∴ তিনটি ঘনকের মোট আয়তন = (২৭ + ৬৪ + ১২৫) = ২১৬ ঘন সে.মি.
∴ নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য x হলে, x^৩ = ২১৬
বা, x = ^৩√২১৬ = ৬ 

প্রশ্ন: যদি একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ ৪০° হয়, তাহলে সেই বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বহিঃস্থ কোণ = ৪০° 
∴ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/৪০°
= ৯ 

আমরা জানি, 
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২ 
∴ বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = {৯(৯ - ৩)}/২ 
= (৯ × ৬)/২ 
= ২৭ টি । 

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য (x + ৯) মিটার, (২x + ১) মিটার এবং ২(২x - ১) মিটার। ত্রিভুজটির পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য হবে-

সমাধান:
(x + ৯) + (২x + ১)+ ২(২x - ১) = ৩৬
⇒ x + ৯ + ২x + ১ + ৪x - ২ = ৩৬
⇒ ৭x + ৮ = ৩৬
⇒ ৭x = ৩৬ - ৮
⇒ ৭x = ২৮
∴ x = ৪ 

∴ বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য হবে = ২(২x - ১) =  ৪x - ২ = ১৬ - ২ = ১৪ মিটার

সমান সমান বাহুঃভূমি = 5:6
সুতরাং 5x + 5x + 6x = 16
Or, 16x = 16
Or, x = 1
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 6/4 × √{4(5)² - 6²}
= 6/4 × √(100 - 36)
= 6/4 × 8
= 12 বর্গমিটার

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস 3 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
বৃত্তের ব্যাস = 2r 
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r 
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² 
বৃত্তের ব্যাস 3 গুণ বৃদ্ধি করলে ব্যাস হবে 6r এবং ব্যাসার্ধ হবে = 3r 
∴ পরিবর্তিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3r)² 
= π × 9r² 
= 9πr² 

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = 9πr²  - πr²   = 8πr²
বৃত্তের ক্ষেত্রফল 8 গুণ বৃদ্ধি পাবে। 

বৃত্তের ব্যাস n গুন বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল n² গুন বৃদ্ধি পায়।

 ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের মান = (180 - 150)° = 30°
90° = π/2 রেডিয়ান
∴30° = π/6 রেডিয়ান

প্রশ্ন: (- 1, - 4) এবং (4, 8) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৩০ মিটার এবং ২০ মিটার। পুকুরের চারপাশে ২ মিটার চওড়া পাড় আছে। পাড়সহ পুকুরের পরিসীমা কত?

সমাধান: 
পাড়সহ পুকুরের দৈর্ঘ্য = ৩০ + (২ × ২) = ৩৪ মিটার 
পাড়সহ পুকুরের = ২০ + (২ × ২) = ২৪ মিটার 
∴ পাড়সহ পুকুরের পরিসীমা = ২ × (৩৪ + ২৪) মিটার 
= ১১৬ মিটার। 

প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাস ৬ মিটার, উচ্চতা ১৪ মিটার হলে, বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ভূমির ব্যাস ৬ মিটার
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ r = ৩ মিটার
বেলনের উচ্চতা h = ১৪ মিটার

আমরা জানি,
বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ২πrh
= ২ × (২২/৭) × ৩ × ১৪ বর্গ মিটার
= ২৬৪ বর্গমিটার

দেওয়া আছে,
√2sinθ - cosθ=2sinθ–√2sin(90º−θ)
⇒ -cosθ+√2cosθ =2sinθ - √2sinθ
⇒cosθ(√2 - 1) =√2sinθ(√2 - 1)
⇒ cotθ = √2

প্রশ্নমতে,
(x+5)º + (2x-3)º + (3x+4)º = 180º
বা, 6x + 6 = 180
বা, 6x = 174
বা, x = 174/6 = 29

এখানে,
17² - 15²
= 64
= 8²
∴ 17² = 15² + 8²
∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = 8 সে.মি

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য 30 মিটার, প্রস্থ 20 মিটার এবং পুকুরের সীমানার বাহিরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাটি পাকা করতে প্রতি বর্গ মিটারে খরচ হয় 330 টাকা। রাস্তাটি পাকা করতে কত টাকা খরচ হবে? 

সমাধান: 

দেওয়া আছে, 
আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য = 30 মিটার 
আয়তাকার পুকুরের প্রস্থ = 20 মিটার 
∴ আয়তাকার পুকুরের ক্ষেত্রফল = (30 × 20) বর্গমিটার
= 600 বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাসহ পুকুরের দৈর্ঘ্য= (30 + 2 + 2) মিটার = 34 মিটার
রাস্তাসহ পুকুরের প্রস্থ (20 + 2 + 2) মিটার = 24 মিটার
∴ রাস্তাসহ পুকুরের ক্ষেত্রফল= (34 × 24) বর্গমিটার
= 816 বর্গমিটার 

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = রাস্তাসহ পুকুরের ক্ষেত্রফল - পুকুরের ক্ষেত্রফল
= (816 - 600) বর্গমিটার
= 216 বর্গমিটার 

এখন, 
প্রতি বর্গমিটার রাস্তা পাকা করতে খরচ হয় = 330 টাকা
∴ রাস্তাটি পাকা করতে খরচ হবে = (216 × 330) টাকা
= 71280 টাকা ।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা √6 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a সে.মি.

আমরা পাই,
(a/2)² + (√6)² = a² [ পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে ]
⇒ a² - (a/2)² = (√6)²
⇒ a² - a²/4 = 6
⇒ (4a² - a²)/4 = 6
⇒ 3a² = 24
⇒ a² = 8
∴ a = 2√2

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a²
= (√3/4) × (2√2)²
= (√3/4) × 4 × 2
= 2√3
= 2√3 বর্গসে.মি.

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = a হলে, দৈর্ঘ্য = ৩a
এখন, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বর্গের ক্ষেত্রফল = ২৭^২ বা, ৩a × a = ৭২৯
বা, a^২ = 243
∴ a = ১৫.৫৯ মি.
∴ পরিসীমা = ২(৩a+a)
= ৮a
= ৮ × ১৫.৫৯
= ১২৪.৭১ মি.

প্রশ্ন: 5x + 9y = 45 রেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে কত ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ তৈরি করে?

সমাধান:
এখানে, 
5x + 9y = 45
⇒ (5x/45) + (9y/45) = 1
⇒ (x/9) + (y/5) = 1

∴ 5x + 9y = 45 রেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে কত ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ = (1/2) x 9 x 5 = 22.5 বর্গ একক

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 3 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a²

ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 3 মিটার বাড়ালে,
ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (a + 3)²

প্রশ্নমতে,
{(√3/4)(a + 3)²} - {(√3/4)a²} = 9√3
⇒ (√3/4){(a + 3)² - a²} = 9√3
⇒ (√3/4){a² + 6a + 9 - a²} = 9√3
⇒ (√3/4)(6a + 9) = 9√3
⇒ 6a + 9 = 9√3 × (4/√3)
⇒ 6a + 9 = 36
⇒ 6a = 27
⇒ a = 4.5

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = 4.5 মিটার

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে y এর মান কত?


সমাধান:
এখানে,
3x + 2x = 180°
⇒ 5x = 180°
⇒ x = 36°
∴ 2x = 72°

আবার, 2x এবং y + 30 পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।
আমরা জানি, বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান।
∴ y + 30° = 72°
⇒ y = 72° - 30°
∴ y =  42°

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজে দুটি বিপরীত বাহু সমান্তরাল ও সমান না হলে সেটি কোনটি?

সমাধান:
• ট্রাপিজিয়াম (Trapezium) হলো এমন একটি চতুর্ভুজ যার দুটি বিপরীত বাহু সমান্তরাল কিন্তু সমান নয়। বাকি দুটি বাহু অসমান্তরাল হয়।
- এটি অন্যান্য চতুর্ভুজের তুলনায় বিশেষ একটি রূপ, যেখানে সমান্তরাল বাহুগুলিকে ভিত্তি (bases) এবং অসমান্তরাল বাহুগুলিকে বাহু (legs) বলা হয়।

প্রধান বৈশিষ্ট্য:
- একটি জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল।
- সমান্তরাল বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান নাও হতে পারে।
- কর্ণদ্বয় সাধারণত সমান নয়।
- যদি অসমান্তরাল বাহুদ্বয় সমান হয়, তবে সেটি সমবাহু ট্রাপিজিয়াম (Isosceles Trapezium) নামে পরিচিত।

∴ চতুর্ভুজটি ট্রাপিজিয়াম

প্রশ্ন: (sinA + cosA)/(sinA - cosA) = 5 হলে, tanA =?

সমাধান: 
(sinA + cosA)/(sinA - cosA) = 5 
বা, (sinA + cosA + sinA - cosA)/(sinA + cosA - sinA + cosA ) = (5 + 1)/(5 - 1)
বা, 2sinA/2cosA = 6/4
বা, tanA = 3/2 

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল পরিসীমা অপেক্ষা ১০ গুণ হলে বাহুর দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
বর্গের বাহু = ক মিটার 
ক্ষেত্রফল = ক^২ বর্গমিটার 
পরিধি = 4ক মিটার 

প্রশ্নমতে:
ক^২ = ১০ × ৪ক
ক^২ = ৪০ক
ক(ক - ৪০) = ০ 
ক = ৪০ (ক = ০ সম্ভব নয়)

∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার 

দেয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫৬ ফুট 
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = ৩.১৪১৬ × ৫৬² = ৯৮৫২.০৬ বর্গফুট
প্রশ্নমতে,বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯৮৫২.০৬ বর্গফুট
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √৯৮৫২.০৬ = ৯৯.২৬ ফুট।

দুইটি দেখা AB ও CD পরস্পরকে ছেদ করায় যে চারটি কোণ উৎপন্ন হলো এদের একটি ∠AOD এর পরিমাপ ১২৫°।
এখন AB ও CD সরল রেখা হওয়ায়,
∠AOC = ∠BOD = (১৮০ - ১২৫)° = ৫৫°
সুতরাং, ∠AOD এর সন্নিহিত কোণ দুটির সমষ্টি = (৫৫ +৫৫)° = ১১০°