জ্যামিতি

PrepBank · পাতা ৯১ / ১০৭ · ৯,০০১–৯,১০০ / ১০,৭৫২

৯,০০১.

একটি আয়তাকার খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য 50 ফুট ও প্রস্থ 40 ফুট। মাঠের বাহিরের চতুর্দিকে 2 ফুট চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
344 বর্গফুট
খ
364 বর্গফুট
গ
396 বর্গফুট
ঘ
376 বর্গফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য 50 ফুট ও প্রস্থ 40 ফুট। মাঠের বাহিরের চতুর্দিকে 2 ফুট চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
শুধুমাত্র খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল = 50 × 40 = 2000 বর্গফুট
রাস্তা সহ খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য = 50 + (2 × 2) = 54 ফুট
রাস্তা সহ খেলার মাঠের প্রস্থ = 40 + (2 × 2) = 44 ফুট

∴ রাস্তা সহ খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল = (54 × 44) বর্গফুট
= 2376 বর্গফুট

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (2376 - 2000) বর্গফুট
= 376 বর্গফুট

৯,০০২.

If sin 45° = √2A, then A = ?

ক
ক) 1
খ
খ) 1/2
গ
গ) 1 √2
ঘ
ঘ) 1√3

ব্যাখ্যা

Question: If sin 45° = √2A, then A =?

Solution:
sin 45° = √2A
1/√2 =√2A
A = 1/(√2)²
A = 1/2

৯,০০৩.

P, Q, R কেন্দ্র বিশিষ্ট তিনটি বৃত্ত পরস্পর স্পর্শ করে আছে। PQ = x, QR = y এবং RP = z হলে Q বৃত্তের ব্যাস কত হবে?

ক
x - y + z
খ
x + y - z
গ
x - y - z
ঘ
x + y + z

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P, Q, R কেন্দ্র বিশিষ্ট তিনটি বৃত্ত পরস্পর স্পর্শ করে আছে। PQ = x, QR = y এবং RP = z হলে Q বৃত্তের ব্যাস কত হবে?

সমাধান:

P, Q, R কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে a, b, c (ধরে নেই)
∴ বৃত্তত্রয় পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে
∴ PQ = a + b
বা, x = a + b ......(1)

QR = b + c
বা, y = b + c .......(2)

এবং RP = c + a
বা, z = c + a .......(3)

(1) নং + (2) নং হতে পাই
x + y = a + 2b + c
⇒ 2b = x + y - (a + c)
∴ 2b = x + y - z

∴ Q বৃত্তের ব্যাস, 2b = x + y - z

৯,০০৪.

নিচের প্রতিটি গুচ্ছে তিনটি করে সরলরেখার দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন গুচ্ছের সরলরেখাগুলোকে দিয়ে ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়?

ক
৩, ৮, ৮
খ
৭, ৬, ১১
গ
২০, ৮, ১৩
ঘ
১১, ১৩, ২৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের প্রতিটি গুচ্ছে তিনটি করে সরলরেখার দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন গুচ্ছের সরলরেখাগুলোকে দিয়ে ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর যোগফল তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

এখানে,
৩ + ৮ = ১১ > ৮
৭ + ৬ = ১৩ > ১১
১৩ + ৮ = ২১ > ২০

কিন্তু, ১১ + ১৩ = ২৪ < ২৫

∴ ১১, ১৩, ২৫ দৈর্ঘ্যের সরলরেখাগুলো দ্বারা ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়।

৯,০০৫.

একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 12 মিটার, প্রস্থ 10 মিটার ও উচ্চতা 4 মিটার। এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

ক
408 বর্গমিটার
খ
412 বর্গমিটার
গ
416 বর্গমিটার
ঘ
420 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 12 মিটার, প্রস্থ 10 মিটার ও উচ্চতা 4 মিটার। এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
এখানে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 12 মিটার,
আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রস্থ, b = 10 মিটার এবং
আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা, c = 4 মিটার

আমরা জানি,
সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca) বর্গ একক
= 2(12 × 10 + 10 × 4 + 4 × 12) বর্গমিটার
= 2(120 + 40 + 48) বর্গমিটার
= 2 × 208 বর্গমিটার
= 416 বর্গমিটার ।

৯,০০৬.

একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 14 সে.মি. এবং উচ্চতা 30 সে.মি. হলে বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

ক
2832 বর্গ সে.মি.
খ
2640 বর্গ সে.মি.
গ
1678 বর্গ সে.মি.
ঘ
1296 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 14 সে.মি. এবং উচ্চতা 30 সে.মি. হলে বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 14 সে.মি.
উচ্চতা, h = 30 সে.মি.

আমরা জানি,
সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= 2 × π × 14 × 30
= 2 × (22/7) × 14 × 30
= 44 × 60
= 2640 বর্গ সে.মি.

৯,০০৭.

5 সে.মি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 4 সে.মি দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি?

ক
6 সে.মি
খ
4 সে.মি
গ
8 সে.মি
ঘ
9 সে.মি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 সে.মি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 4 সে.মি দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি?

সমাধান:

ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA = 5 সে.মি
কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব OC = 4 সে.মি

এখন,
OAC সমকোণী ত্রিভুজে,
AC = √(OA² - OC²)
= √(5² - 4²)
= √(25 - 16)
= √9
= 3 সে.মি

আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ জ্যা AB = 2 × AC
= 2 × 3 সে.মি
= 6 সে.মি ।

৯,০০৮.

(1/sin²A) - (1/tan²A) = কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 1/2
ঘ
ঘ) 1/√3

ব্যাখ্যা

(1/sin²A) - (1/tan²A)
=(1/sin²A) - (cos²A/sin²A)
= (1 - cos²A)/sin²A
= sin²A/sin²A
=1

৯,০০৯.

∠ABC এর মান কত?

ক
ক) ১১০°
খ
খ) ১২৫°
গ
গ) ৫৫°
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

বৃত্তস্থ কোণ ∠ADC = কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC/2
= 110°/2
= 55°
এখানে,
∠ADC ও ∠ABC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°
∠ABC = 180° - ∠ADC = 180° - 55° = 125°

৯,০১০.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৮ সে.মি. এবং প্রস্থ ১৬ সে.মি.। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ৩২ সে.মি. বৃদ্ধি করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

ক
৮ সে.মি.
খ
১৪ সে.মি.
গ
১২ সে.মি.
ঘ
১২.৫ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৮ সে.মি. এবং প্রস্থ ১৬ সে.মি.। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ৩২ সে.মি. বৃদ্ধি করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্র দুটির ক্ষেত্রফল সমান হওয়ায়,
নতুন আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ
= ক্ষেত্রফল / নতুন আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য
= (২৮ × ১৬)/৩২
= ১৪ সে.মি.

৯,০১১.

৩১০° কোণকে কী কোণ বলে?

ক
পূরক কোণ
খ
সূক্ষ্মকোণ
গ
প্রবৃদ্ধ কোণ
ঘ
স্থূলকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩১০° কোণকে কী কোণ বলে?

সমাধান:
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
সুতরাং, ৩১০° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

অন্যদিকে,
- দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে, কোণ দুইটির একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

৯,০১২.

নিচের কোনটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র?

ক
(১/২)(সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব)
খ
২(দৈর্ঘ্য × প্রস্থ)
গ
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা
ঘ
(১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র?

সমাধান:
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র = {(1/2)(a + b) h}

এখানে,
- a এবং b হচ্ছে দুটি সমান্তরাল বাহু
- h হচ্ছে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব।

∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র = (১/২)(সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব)

৯,০১৩.

একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ ৭৫° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে?

ক
১১০°
খ
১২০°
গ
১৫০°
ঘ
১৮০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ ৭৫° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ।

এখন,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ = ৭৫° হলে,
কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে = (৭৫° × ২)
= ১৫০°

∴ কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ = ১৫০° ।

৯,০১৪.

ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। D, E ও F যথাক্রমে AB, BC ও CA এর মধ্যবিন্দু।
নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ক) ∠BDF + ∠DFE + ∠FEB + ∠EBD = 360°
খ
খ) DF ।। BC
গ
গ) DF = BC/2
ঘ
ঘ) উপরের সবগুলো

ব্যাখ্যা

ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। D, E ও F যথাক্রমে AB, BC ও CA এর মধ্যবিন্দু।

∠BDF + ∠DFE + ∠FEB + ∠EBD = 360°
DF ।। BC
DF = BC/2

৯,০১৫.

cosecθ + cotθ = 3 হলে cosecθ - cotθ = কত?

ক
ক) -3
খ
খ) -1/3
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 1/3

ব্যাখ্যা

(cosecθ + cotθ)(cosecθ - cotθ)
= cosec²θ - cot²θ = 1
বা, 3(cosecθ - cotθ) = 1
∴ cosecθ - cotθ = 1/3

৯,০১৬.

একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪, ৫ ও ৩ হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ২০
খ
খ) ১২
গ
গ) ৮
ঘ
ঘ) ৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪, ৫ ও ৩ হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য দেখে বোঝা যায় ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৪ × ৩
= ৬ বর্গ একক

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৬ বর্গ একক।

৯,০১৭.

একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 48√3 cm² হলে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

ক
72π cm²
খ
640 cm²
গ
64π cm²
ঘ
84π cm²
ঙ
440 cm²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 48√3 cm² হলে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তে অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 48√3 cm²

প্রশ্নমতে,
(√3/4)a² = 48√3
⇒ a² = (48 × 4 × √3)/√3
⇒ a² = 192
⇒ a² = (8 × √3)²
∴ a = 8√3 cm

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহু, a = বৃত্তের ব্যাসার্ধ × √3
⇒ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = a/√3 = (8√3)/√3 = 8

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr² = π × (8)² = 64π cm²

৯,০১৮.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১২√৩ বর্গ সে.মি. হলে, ত্রিভুজের উচ্চতা কত?

ক
৬ সে.মি.
খ
৪ সে.মি.
গ
৫ সে.মি.
ঘ
৩ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১২√৩ বর্গ সে.মি. হলে, ত্রিভুজের উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য = a

প্রশ্নমতে,
(√3/4) × a² = 12√3
বা, a² = 48
বা, a = √48
বা, a = √(16 × 3)
∴ a = 4√3

∴ সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = (√3/2) × a
= (√3/2) × (4√3)
= (4 × 3)/2
= 6 সে.মি.।

৯,০১৯.

প্রতি মিনিটে 56 মিটার বেগে 2 মিনিটে একটি ঘোড়া কোনো বৃত্তাকার মাঠ ঘুরে এলো। ঐ বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ কত?

ক
14.8 মিটার
খ
19.8 মিটার
গ
17.8 মিটার
ঘ
15.8 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রতি মিনিটে 56 মিটার বেগে 2 মিনিটে একটি ঘোড়া কোনো বৃত্তাকার মাঠ ঘুরে এলো। ঐ বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ঘোড়াটি 1 মিনিটে যায় 56 মিটার
ঘোড়াটি 2 মিনিটে যায় (56 × 2) মিটার
= 112 মিটার

মনেকরি,
বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = r
প্রশ্নমতে,
2πr = 112
⇒ 2(22/7)r = 112
⇒ 44r/7 = 112
⇒ r = (112 × 7)/44
∴ r = 17.8 মিটার

৯,০২০.

একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ ৪৫° হলে, বহুভুজটির কর্ণের সংখ্যা কত?

ক
২০টি
খ
২২টি
গ
২৪টি
ঘ
১৮টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ ৪৫° হলে, বহুভুজটির কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহিঃস্থ কোণ 45°
∴ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = 360°/45° = 8

আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2
∴ বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = {8(8 - 3)}/2
= (8 × 5)/2
= 20

৯,০২১.

৭০° কোনের সম্পূরক কোণের দ্বিগুণ x এর সমান হলে x = ?

ক
ক) ১১০°
খ
খ) ২০০°
গ
গ) ২১০°
ঘ
ঘ) ২২০°

ব্যাখ্যা

৭০° কোনের সম্পূরক কোন = ১৮০° - ৭০° = ১১০°
কোনটির দ্বিগুন = ১১০° × ২ = ২২০°

৯,০২২.

অর্ধবৃত্তস্থ কোণের সম্পূরক কোণের পরিমাণ কত?

ক
ক) ৭০°
খ
খ) ৮০°
গ
গ) ৯০°
ঘ
ঘ) ১০০°

ব্যাখ্যা

অর্ধ বৃত্তস্থ কোন = ৯০°
∴ এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৯০°
= ৯০°

৯,০২৩.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 16√3 বর্গ সে.মি. হলে উহার পরিসীমা কত?

ক
18 সে.মি.
খ
24 সে.মি.
গ
36 সে.মি.
ঘ
48 সে.মি.

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √3/4 × a² এবং পরিসীমা 3a।
শর্তমতে, √3/4 × a² = 16√3
বা, a² = 16 × 4
বা, a² = 64
বা, a = 8
সুতরাং পরিসীমা = 3a
= 3 × 8
= 24 সে.মি.

৯,০২৪.

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 14 সে. মি. এবং কেন্দ্রীয় কোণ 120° হলে, বৃত্তচাপের ক্ষেত্রফল কত?

ক
350.22 বর্গ সে. মি.
খ
225.75 বর্গ সে. মি.
গ
205.33 বর্গ সে. মি.
ঘ
195.30 বর্গ সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 14 সে. মি. এবং কেন্দ্রীয় কোণ 120° হলে, বৃত্তচাপের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r =14 সে. মি.
এবং কেন্দ্রীয় কোণ, θ = 120°

আমরা জানি,
বৃত্তচাপের ক্ষেত্রফল = (θ/360) × πr²
= (120°/360°) × π × (14)²
= (1/3) × (22/7) × 196
= (22 × 28)/3
= 616/3
= 205.33 বর্গ সে. মি.

৯,০২৫.

একটি চাকার পরিধি ৭ মিটার। ১৪ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

ক
১৪০০ বার
খ
৭০০ বার
গ
২০০০ বার
ঘ
৯৮০ বার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চাকার পরিধি ৭ মিটার। ১৪ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১৪ কিলোমিটার = ১৪০০০ মিটার

৭ মিটার গেলে ঘুরে = ১ বার
∴ ১ মিটার গেলে ঘুরে = ১/৭ বার
∴ ১৪০০০ মিটার গেলে ঘুরে = (১ × ১৪০০০)/৭ বার
= ২০০০ বার

৯,০২৬.

১ ইঞ্চি সমান কত সেন্টিমিটার?

ক
ক) ২.৪৫
খ
খ) ২.৫৪
গ
গ) ২.৬৪
ঘ
ঘ) ২.৪৬

ব্যাখ্যা

১ মিটার = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি
১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সেন্টিমিটার।
১ মিটার = ১০০ সেন্টিমিটার।

৯,০২৭.

একটি বর্গক্ষেত্রের বর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 একক হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ক
ক) 24
খ
খ) 8
গ
গ) 16
ঘ
ঘ) 32

ব্যাখ্যা

বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x হলে, কর্ণের দৈর্ঘ্য x√2
বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x = 4
ক্ষেত্রফল x² = 4²

৯,০২৮.

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য এর প্রস্থের দ্বিগুণ। বাগানটির ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গ মিটার হলে বাগানের পরিসীমা কত?

ক
১০ মিটার
খ
২০ মিটার
গ
৩০ মিটার
ঘ
৪৫ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য এর প্রস্থের দ্বিগুণ। বাগানটির ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গ মিটার হলে বাগানের পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি, বাগানের প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

প্রশ্নমতে,
২ক × ক = ৫০
⇒ ২ক^২ = ৫০
⇒ ক^২ = ৫০/২
⇒ ক^২ = ২৫
⇒ ক = ৫

∴ বাগানের প্রস্থ = ৫ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = (২ × ৫) = ১০ মিটার

∴ বাগানের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২(১০ + ৫) = ২ × ১৫ = ৩০ মিটার

৯,০২৯.

≅ প্রতীকের অর্থ হলো-

ক
আকার ও আকৃতি সমান
খ
আকার ও পরিমাণ সমান
গ
আকার সমান নয়
ঘ
আকার, আকৃতি এবং পরিমান সমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ≅ প্রতীকের অর্থ হলো-

সমাধান:
≅ হলো সর্বসম প্রতীক।
≅ প্রতীকের অর্থ হলো আকার ও আকৃতি সমান।

• দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার শর্ত:
- একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু অপর ত্রিভুজের তিনটি বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হয়।
- একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং একটি কোণ অপর ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং একটি কোণের সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়।
- একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ এবং একটি বাহু অপর ত্রিভুজের দুইটি কোণ এবং একটি বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়
- দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের একটির অতিভুজ এবং এক বাহু অপরটির অতিভুজ এবং এক বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়।

৯,০৩০.

একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 25 ব‍র্গফুট। ট্রাপিজিয়ামের দুই বাহুর মধ্যব‍র্তী উচ্চতা 2 ফুট এবং সমান্তরাল দুই বাহুর একটি অপরটি হতে 1 ফুট বেশি হলে বৃহত্তর বাহুর দৈ‍র্ঘ্য কত?

ক
25 ফুট
খ
15 ফুট
গ
13 ফুট
ঘ
12 ফুট
ঙ
10 ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 25 ব‍র্গফুট। ট্রাপিজিয়ামের দুই বাহুর মধ্যব‍র্তী উচ্চতা 2 ফুট এবং সমান্তরাল দুই বাহুর একটি অপরটি হতে 1 ফুট বেশি হলে বৃহত্তর বাহুর দৈ‍র্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সমান্তরাল ক্ষুদ্রতর বাহুর দৈ‍র্ঘ্য = x ফুট
সমান্তরাল বৃহত্তর বাহুর দৈ‍র্ঘ্য = (x + 1) ফুট

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি

প্রশ্নমতে,
(1/2) . 2 . (x + x + 1) = 25
বা, 2x + 1 = 25
বা, 2x = 24
∴ x = 12

∴ বৃহত্তর বাহুর দৈ‍র্ঘ্য = 12 + 1 = 13

৯,০৩১.

ΔPQR -এ ∠Q = 90° হলে sin²P + sin²R = ?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) - 1
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔPQR -এ ∠Q = 90° হলে sin²P + sin²R = ?

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্যানুসারে,
∠Q = 90°
∴ P + R = 90°
বা, P = 90° - R
বা, sinP = sin(90° - R)
বা, sinP = cosR

∴ sin²P + sin²R
= cos²R + sin²R
= 1

৯,০৩২.

বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি -

ক
ক) বর্গক্ষেত্র
খ
খ) ট্রাপিজিয়াম
গ
গ) রম্বস
ঘ
ঘ) আয়তক্ষেত্র

ব্যাখ্যা

বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র। কারণ বৃত্তের ভেতর সামান্তরিক আকলে এর বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল হয়ে যায়।

৯,০৩৩.

১৪ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কয়টি?

ক
৭ টি
খ
৭৭ টি
গ
৭২ টি
ঘ
৭৫ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৪ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2

∴ ১৪ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা হবে = {১৪(১৪ - ৩)}/২
= (১৪ × ১১)/২
= ৭৭

৯,০৩৪.

ঘনকের ধার ‍a একক হলে ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) √6a²
খ
খ) 6a²
গ
গ) a³
ঘ
ঘ) 6a

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ঘনকের ধার ‍a একক হলে ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য = a একক
আমরা জানি,
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গ একক

৯,০৩৫.

একটি আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৪২৫০ বর্গমিটার এবং প্রস্থ ৫০ মিটার হলে বাগানটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
৬৫ মিটার
খ
৭৫ মিটার
গ
৮৫ মিটার
ঘ
৯৫ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৪২৫০ বর্গমিটার এবং প্রস্থ ৫০ মিটার হলে বাগানটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ৪২৫০ বর্গমিটার
এবং
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ৫০ মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ৪২৫০/৫০ মিটার
= ৮৫ মিটার।

৯,০৩৬.

একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ ১১০° হলে পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ কত?

ক
ক) ৯০°
খ
খ) ৫৫°
গ
গ) ৭০°
ঘ
ঘ) ৭৫°

ব্যাখ্যা

একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের অর্ধেক।
তাহলে, কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ ১১০° হলে বৃত্তস্থ বা পরিধিস্থ কোণ = ১১০/২ = ৫৫

৯,০৩৭.

sin{(nπ)/2} অনুক্রমটির চতুর্থ পদ কোনটি?

ক
0
খ
1
গ
1/2
ঘ
√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sin{(nπ)/2} অনুক্রমটির চতুর্থ পদ কোনটি?

সমাধান:
sin{(nπ)/2}
= sin{(4π)/2}
= sin2π
= sin360°
= sin(4 × 90° + 0°)
= sin0°
= 0

৯,০৩৮.

যদি sin⁡A = 5/13 হয়, তবে cot⁡A =?

ক
12/5
খ
12/13
গ
13/5
ঘ
1/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি sin⁡A = 5/13 হয়, তবে cot⁡A =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinA = 5/13

আমরা জানি,
⇒ sin⁡²A + cos⁡²A =1
⇒ cos²A = 1 - sin²A = 1 - (5/13)² = 1 - (25/169) = 144/169
⇒ cosA = √(144/169) = 12/13

এখন,
cot⁡A = cos⁡A/sin⁡A = (12/13)/(5/13) = 12/5

∴ cot⁡A = 12/5

৯,০৩৯.

0° < A < 90° হলে, {sinA/(1 + cosA)} + {sinA/(1 - cosA) এর মান নির্ণয় করুন?

ক
(1/2) secA
খ
2 tanA
গ
2 cosecA
ঘ
(1/2) cosA

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 0° < A < 90° হলে, {sinA/(1 + cosA)} + {sinA/(1 - cosA) এর মান নির্ণয় করুন?

সমাধান:

৯,০৪০.

ABCD সামান্তরিকের AD = 12 m, A থেকে BC এর লম্ব দূরত্ব AE = 6 m সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেঃমিঃ?

ক
ক) 36 বর্গ মিঃ
খ
খ) 72 বর্গ মিঃ
গ
গ) 144 বর্গ মিঃ
ঘ
ঘ) 18 বর্গ মিঃ

ব্যাখ্যা

ক্ষেত্রফল = AE × BC = 6 × 12 = 72 বর্গ মিঃ

৯,০৪১.

দুইটি সরলরেখার একটি ছেদক থাকলে, নিচের কোনটি সত্য?

ক
ক) একান্তর কোণগুলো সমান
খ
খ) অনুরুপ কোণগুলো সমান
গ
গ) অনুরুপ কোণগুলো সমান নয়
ঘ
ঘ) উপরের কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক থাকলে,
- একান্তর কোণগুলো সমান
- অনুরুপ কোণগুলো সমান

দুইটি সরলরেখার একটি ছেদক থাকলে, একান্তর কোণ, অনুরুপ কোণ উৎপন্ন হবে
কিন্তু কোণগুলো সমান হবে কি না তা নির্ভর করবে সরলরেখা দুইটি সমান্তরাল কিনা তার উপর।

৯,০৪২.

একটি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান। বস্তুটির আয়তন ৭২৯ ঘন সে.মি. হলে তার দুইটি তলের ক্ষেত্রফল কত?

ক
৮১ বর্গ সে.মি.
খ
১৫৬ বর্গ সে.মি.
গ
১৬২ বর্গ সে.মি.
ঘ
১৭২ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান। বস্তুটির আয়তন ৭২৯ ঘন সে.মি. হলে তার দুইটি তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনবস্তুর আয়তন = a^৩

প্রশ্নমতে,
⇒ a^৩ = ৭২৯
⇒ a^৩ = ৯^৩
∴ a = ৯

∴ দুইটি তলের ক্ষেত্রফল = ২ × a^২ = ২ × ৯^২= ১৬২ বর্গ সে.মি.

৯,০৪৩.

একটি তাল গাছের পাদবিন্দু হতে ৫ মিটার দূরবর্তী স্থান থেকে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ ৪৫° হলে, গাছটির উচ্চতা কত মিটার?

ক
ক) ১
খ
খ) ৩
গ
গ) ৫
ঘ
ঘ) ৮.৬৬

ব্যাখ্যা

ধরি উচ্চতা = h
আমরা জানি,
tanθ = লম্ব / ভূমি
⇒ tan45 = h / 5
⇒ tan45 X 5 = h

∴h = 5

৯,০৪৪.

সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ৩০ ডিগ্রি হলে অপরটি কত?

ক
ক) ৫০ ডিগ্রি
খ
খ) ৬০ ডিগ্রি
গ
গ) ১২০ ডিগ্রি
ঘ
ঘ) ৩০ ডিগ্রি

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।

ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বলে সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অন্য দুই কোণের সমষ্টি = ৯০°
একটি কোণ ৩০° হলে, অপরটি= ৯০° - ৩০° = ৬০°

৯,০৪৫.

একটি সুষম পঞ্চভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ -

ক
ক) ৩৬°
খ
খ) ৭২°
গ
গ) ৪৫°
ঘ
ঘ) ৯০°

ব্যাখ্যা

বহিঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = ৩৬০°
∵ বাহুর সংখ্যা = ৫
∴ একটি বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০°/৫
= ৭২°

৯,০৪৬.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 16 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির 5/6 হলে, ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 5 সে.মি.
খ
খ) 6 সে.মি.
গ
গ) 4 সে.মি.
ঘ
ঘ) 8 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 16 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির 5/6 হলে, ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি = x সে.মি.
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = 5x/6

প্রশ্নমতে,
x + (5x/6) + (5x/6) = 16
(6x + 5x + 5x)/6 = 16
16x/6 = 16
x/6 = 1
x = 6 সে.মি.

৯,০৪৭.

একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 10 মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
40 বর্গমিটার
খ
50 বর্গমিটার
গ
60 বর্গমিটার
ঘ
100 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 10 মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = a
তাহলে কর্ণ = a√2
প্রশ্নমতে,
a√2 = 10
⇒ a = 10/√2

এখন, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a²
= (10/√2)²
= (100/2)
= 50 বর্গমিটার

অতএব, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 50 বর্গমিটার।

৯,০৪৮.

একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ২৪ সে.মি., ৪০ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ২০ সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল-

ক
৩২০ বর্গ সে.মি.
খ
৬৪০ বর্গ সে.মি.
গ
২২০ বর্গ সে.মি.
ঘ
৪৪০ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ২৪ সে.মি., ৪০ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ২০ সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল-

সমাধান:
য়ামরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা
= (১/২) × (২৪ + ৪০) × ২০
= (১/২) × ৬৪ × ২০
= ৬৪০ বর্গ সে.মি.

৯,০৪৯.

cotθ = 4/3 হলে, cosecθ এর মান কত?

ক
ক) 4/3
খ
খ) 5/4
গ
গ) 5/3
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cotθ = 4/3 হলে, cosecθ এর মান কত?

সমাধান:
cotθ = 4/3 = ভূমি/লম্ব

ভূমি = 4, লম্ব = 3

অতিভুজ^২ = 4² + 3²
= 16 + 9
= 25
∴ অতিভুজ = 5

cosecθ = অতিভুজ/লম্ব
= 5/3

৯,০৫০.

একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর পরিমাণ যথাক্রমে 3, 5 ও 7 হলে, ত্রিভুজটি হবে-

ক
সমকোণী
খ
সূক্ষকোণী
গ
স্থূলকোণী
ঘ
উপরের সবগুলোই হতে পারে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর পরিমাণ যথাক্রমে 3, 5 ও 7 হলে, ত্রিভুজটি হবে-

৯,০৫১.

ABCD সামান্তরিকের DC ভূমিকে E পর্যন্ত বাড়ানো হলো। যদি ∠BAD = 100° হলে, ∠BCE = ?

ক
ক) 60°
খ
খ) 80°
গ
গ) 100°
ঘ
ঘ) 120°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- ABCD সামান্তরিকের DC ভূমিকে E পর্যন্ত বাড়ানো হলো। যদি ∠BAD = 100° হলে, ∠BCE = ?

সমাধান-

সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো সমান।
∴ ∠BAD = ∠BCD = 100°

আবার,
∠BCD + ∠BCE = 180°
⇒ 100° + ∠BCE = 180°
⇒ ∠BCE = 80°

৯,০৫২.

16m² একটি বর্গের কর্ণের সমান বাহু নিয়ে নতুন বর্গ আঁকলে তা শতকরা কতটুকু বড় বা ছোট হবে?

ক
50%
খ
75%
গ
100%
ঘ
150%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16m² একটি বর্গের কর্ণের সমান বাহু নিয়ে নতুন বর্গ আঁকলে তা শতকরা কতটুকু বড় বা ছোট হবে?

সমাধান:
বর্গের ক্ষেত্রফল = 16 m²⇒ a²= 16m²
a = 4m

বর্গের কর্ণ = a√2 = 4√2m
নতুন বর্গের ক্ষেত্রফল = (4√2)²= 4² × √2²= 16 × 2 = 32 m²

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = [(32 - 16)/16 ] × 100
= [16/16] × 100
= 100%

∴ শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = 100%

৯,০৫৩.

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ব্যতীত যেকোন এক বাহুর দৈর্ঘ্য ২৪ সেমি হলে, উক্ত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি?

ক
ক) ১৪৪ বর্গ সেমি
খ
খ) ২৮৮ বর্গ সেমি
গ
গ) ৭২ বর্গ সেমি
ঘ
ঘ) ২৪৪ বর্গ সেমি

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজটির নির্ণেয় ক্ষেত্রফল
= ১/২ × ২৪ × ২৪ বর্গ সেমি
= ২৮৮ বর্গ সেমি

[ একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ব্যতীত যেকোন এক বাহুর দৈর্ঘ্য ২৪ সেমি হলে, লম্ব = ভূমি = ২৪ সেমি ]

৯,০৫৪.

ক
0°
খ
45°
গ
30°
ঘ
60°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৯,০৫৫.

4 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহু এবং বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি?

ক
ক) (4π - 8) বর্গ সেমি
খ
খ) (8π - 16) বর্গ সেমি
গ
গ) (16π - 32) বর্গ সেমি
ঘ
ঘ) (16π - 8) বর্গ সেমি

ব্যাখ্যা

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × 4² বর্গ সেমি = 16π বর্গ সেমি
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 4 × 2 সেমি = 8 সেমি
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 8/√2 সেমি = 4√2 সেমি
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (4√2)² বর্গ সেমি = 32 বর্গ সেমি
নির্ণেয় আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল = (16π - 32) বর্গ সেমি

৯,০৫৬.

ABC-একটি বৃত্তস্থ ত্রিভুজ। AB বাহুকে D পর্যন্ত বাড়ানো হলো। ∠CBD = ১১০° হলে ∠ABC = কত?

ক
৫৫°
খ
৭০°
গ
১৮০°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC-একটি বৃত্তস্থ ত্রিভুজ। AB বাহুকে D পর্যন্ত বাড়ানো হলো। ∠CBD = ১১০° হলে ∠ABC = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, ∠CBD = ১১০°
⇒ ∠ABC + ∠CBD = ১৮০° ;[এক সরল কোণ = ১৮০°]
⇒ ∠ABC + ১১০° = ১৮০°
⇒ ∠ABC = ১৮০° - ১১০°
∴ ∠ABC = ৭০°

৯,০৫৭.

চিত্র অনুসারে O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∆ABC অন্তর্লিখিত। ∠y = 112° হলে, ∠x = ?

ক
68°
খ
34°
গ
45°
ঘ
39°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চিত্র অনুসারে O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∆ABC অন্তর্লিখিত। ∠y = 112° হলে, ∠x = ?

সমাধান:
ΔBOC এর বহিঃস্থ ∠AOB =∠OBC + ∠OCB
এখন, ∠AOB + ∠y = 180°
∠OBC + ∠OCB + ∠y = 180° [∠OBC = ∠OCB]
∠x + ∠x = 180° - 112°
2∠x = 68°
∠x = 34°

৯,০৫৮.

সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪৫° হলে, এর বাহুর সংখ্যা কত?

ক
৮
খ
১০
গ
১২
ঘ
১৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪৫° হলে, এর বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
অন্তঃস্থ কোণ = (১৮০° - ৪৫°)
= ১৩৫°

ধরি,
বাহুর সংখ্যা = n

∴ {(n - ২) × ১৮০°/n} = ১৩৫°
বা, {(n - ২) × ৪/n} = ৩
বা, ৪n - ৮ = ৩n
বা, ৪n - ৩n = ৮
∴ n = ৮

∴ বাহুর সংখ্যা = ৮।

৯,০৫৯.

একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 মি. এবং প্রস্থ 5 মি. হলে আয়তক্ষেত্রের অর্ধ-পরিসীমা কত ডেসিমিটার?

ক
170 ডেসিমিটার
খ
1700 ডেসিমিটার
গ
17 ডেসিমিটার
ঘ
17000 ডেসিমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 মি. এবং প্রস্থ 5 মি. হলে আয়তক্ষেত্রের অর্ধ-পরিসীমা কত ডেসিমিটার?

সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্র ABCD এর কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 মি. এবং প্রস্থ 5 মি.
∴ দৈর্ঘ্য, BC = √(13² - 5²) মি.
=√144 মি.
= 12 মি

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(12 + 5) মিটার
= 34 মিটার

আয়তক্ষেত্রের অর্ধ-পরিসীমা =34/2 মিটার
= 17 মিটার
= (17 × 10)ডেসিমিটার
= 170 ডেসিমিটার

৯,০৬০.

একটি পঞ্চভুজের মধ্যে কতটি কর্ণ আঁকা যাবে?

ক
ক) 5
খ
খ) 10
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের মধ্যে কতটি কর্ণ আঁকা যাবে?

সমাধান:
একটি পঞ্চভুজে বাহু আছে = 5 টি
2 টি বাহুর কৌণিক বিন্দু যোগ করে কর্ণ আঁকা যাবে।

তাহলে মোট বাহু এবং কর্ণ সংখ্যা = ⁵C₂
= (5 × 4)/2!
= 20/2
= 10

∴ মোট কর্ণ সংখ্যা = 10 - 5 = 5

৯,০৬১.

একটি সুষম অষ্টভুজের বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

ক
৪৫°
খ
৯০°
গ
৬০°
ঘ
৭৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম অষ্টভুজের বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৩৬০°/৮
= ৪৫°

৯,০৬২.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৫০ সে.মি. এবং এর পরিসীমা ১.৮ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
২৪০০ বর্গ সে. মি.
খ
২০০০ বর্গ সে. মি.
গ
১৮০০ বর্গ সে. মি.
ঘ
২২০০ বর্গ সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৫০ সে.মি. এবং এর পরিসীমা ১.৮ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক সে. মি.

আমরা জানি,
১.৮ মিটার = ১৮০ সে. মি.
∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(ক + ৫০) সে. মি.

প্রশ্নমতে,
২(ক + ৫০) = ১৮০
⇒ ২ক + ১০০ = ১৮০
⇒ ২ক = ১৮০ - ১০০
⇒ ২ক = ৮০
∴ ক = ৪০

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৪০) = ২০০০ বর্গ সে. মি.।

৯,০৬৩.

একটি গাছের উচ্চতা 150 মি.। গাছটির শীর্ষ ভূমির কোনো বিন্দুতে উন্নতি কোণ 60° হলে গাছটির গোড়া থেকে ভূতলস্থ বিন্দুটির দুরত্ব কত?

ক
300√3 মি.
খ
50/√3 মি.
গ
150√3 মি.
ঘ
50√3 মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাছের উচ্চতা 150 মি.। গাছটির শীর্ষ ভূমির কোনো বিন্দুতে উন্নতি কোণ 60° হলে গাছটির গোড়া থেকে ভূতলস্থ বিন্দুটির দুরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
গাছটির গোড়া থেকে ভূতলস্থ বিন্দুটির দুরত্ব = x মি.
গাছের উচ্চতা, AB = 150 মি.
এবং C বিন্দুতে গাছটির শীর্ষ A বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 60°

সমকোণী Δ ABC থেকে পাই, tan∠ACB = AB/BC
বা, tan 60° = 150/x
বা, √3 =150/x
বা, x√3= 150
বা, x = 150/√3
∴ x = 150√3/3
x = 50√3

৯,০৬৪.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ১৮ মিঃ এবং ১৬ মিঃ হলে ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ১৩৬ বর্গ মিঃ
খ
খ) ১৪০ বর্গ মিঃ
গ
গ) ১৪৪ বর্গ মিঃ
ঘ
ঘ) ২৮৮ বর্গ মিঃ

ব্যাখ্যা

ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= ১/২ × ১৮ × ১৬
= ১৪৪ বর্গ মিঃ

৯,০৬৫.

একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গমিটার এবং ভূমি ১০ মিটার হলে, সামান্তরিকের উচ্চতা কত?

ক
৫ মিটার
খ
১৫ মিটার
গ
২০ মিটার
ঘ
২৫ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গমিটার এবং ভূমি ১০ মিটার হলে, সামান্তরিকের উচ্চতা কত?

সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৫০ বর্গমিটার
সামান্তরিকের ভূমি = ১০ মিটার
সামান্তরিকের উচ্চতা = ক্ষেত্রফল / ভূমি
= ৫০ / ১০
= ৫ মিটার

অতএব, সামান্তরিকের উচ্চতা ৫ মিটার।

৯,০৬৬.

একটি বৃত্তের ব্যাস 4 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

ক
π/3
খ
4π/3
গ
2π/3
ঘ
3π/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 4 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 4/2 সে.মি. = 2 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr²θ)/360°
= (π × 2² × 60°)/360°
= 2π/3

৯,০৬৭.

দুটি বৃত্ত পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করল। একটি বৃত্তের ব্যাস ৬ মিটার এবং অপর বৃত্তের ব্যাস ৪ মিটার হলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

ক
ক) ৬ মিটার
খ
খ) ৫ মিটার
গ
গ) ২ মিটার
ঘ
ঘ) ১ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করল। একটি বৃত্তের ব্যাস ৬ মিটার এবং অপর বৃত্তের ব্যাস ৪ মিটার হলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
দুটি বৃত্ত পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের বিয়োগফলের সমান।
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৬/২ = ৩ মিটার
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৪/২ = ২ মিটার

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ৩ - ২ মিটার = ১ মিটার

৯,০৬৮.

4 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর মধ্যবিন্দুগুলো সংযোগের মাধ্যমে অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রটি ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 4√2 বর্গসেমি
খ
খ) 8 বর্গসেমি
গ
গ) 8√2 বর্গসেমি
ঘ
ঘ) 16 বর্গসেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্নঃ 4 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গের মধ্যবিন্দুগুলো সংযোগের মাধ্যমে অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রটি ক্ষেত্রফল কত?

সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = 4 সেমি

নতুন অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য,
⇒ √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য = 4 সেমি
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = 2√2

∴ ক্ষেত্রফল = (2√2)²= 8 বর্গসেমি

৯,০৬৯.

10 একক বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের কর্ণের অর্ধেক বাহুর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল-

ক
50 বর্গ একক
খ
100 বর্গ একক
গ
150 বর্গ একক
ঘ
200 বর্গ একক

ব্যাখ্যা

বর্গের, বাহুর দৈর্ঘ্য = 10
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = 10√2
∴ কর্ণের অর্ধেক দৈর্ঘ্য = 10√2/2 = 10/√2
∴ কর্ণের অর্ধেক বাহুর উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (10/√2)² = 100/2 = 50

৯,০৭০.

ত্রিভুজের তিনবাহুর দৈর্ঘ্য x+1, 2x-1, 3x+1 এবং পরিসীমা 25cm হলে ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 5cm
খ
খ) 3cm
গ
গ) 4cm
ঘ
ঘ) 7cm

ব্যাখ্যা

(x+1) + (2x-1) + (3x+1) = 25
বা, 6x = 24
∴ x = 4
∴ ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য = x+1 = 4+1 = 5cm

৯,০৭১.

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষ কোণের মান ৭৮° হলে অপর কোণদ্বয়ের প্রতিটির মান -

ক
ক) ৪৯°
খ
খ) ৫০°
গ
গ) ৫১°
ঘ
ঘ) ৫২°

ব্যাখ্যা

অপর কোণদ্বয়ের সমষ্টি = ১৮০° - ৭৮° = ১০২°
∴ প্রতিটির মান = ১২০°/২
= ৫১°।

৯,০৭২.

একটি রেখাংশের কয়টি প্রান্তবিন্দু থাকে?

ক
ক) ১ টি
খ
খ) ২ টি
গ
গ) অসীম
ঘ
ঘ) কোন প্রান্তবিন্দু থাকে না

ব্যাখ্যা

রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই।
রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে।
রশ্মির প্রান্ত বিন্দু একটি, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই।

৯,০৭৩.

একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৬০ বর্গসেমি। এর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ সেমি ও ৪ সেমি। সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

ক
ক) ১২ সেমি
খ
খ) ৮ সেমি
গ
গ) ৬ সেমি
ঘ
ঘ) ১০ সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৬০ বর্গসেমি। এর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ সেমি ও ৪ সেমি। সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
সমাধান :
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২ × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
⇒ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ২ × ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল/ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল
= ২ × ৬০/(৮+৪)

= ২ × ৬০/১২
= ১০ সেমি

৯,০৭৪.

এক বিন্দু দিয়ে কয়টি বৃত্ত অংকন করা যাবে?

ক
ক) ১টি
খ
খ) অসংখ্য
গ
গ) ৩০০টি
ঘ
ঘ) একটিও না

ব্যাখ্যা

- একটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অংকন করা যাবে ।

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।

৯,০৭৫.

একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 13m, 14m, 15m হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
84 m²
খ
72 m²
গ
96 m²
ঘ
108 m²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 13m, 14m, 15m হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = 13m, b = 14m, c = 15m।
অর্ধপরিসীমা, s = (a + b + c)/2 = (13 + 14 + 15)/2 = 42/2 = 21

আমরা জানি, ক্ষেত্রফল = √{s(s − a)(s − b)(s − c)}
= √{21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15)}
= √{21 × 8 × 7 × 6}
= √7056 = 84

∴ ক্ষেত্রফল = 84 বর্গমিটার

৯,০৭৬.

স্পর্শ না করে দুইটি বৃত্ত পাশাপাশি অবস্থান করলে, কয়টি সাধারণ স্পর্শক আঁকা যাবে?

ক
২ টি
খ
৩ টি
গ
৪ টি
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: স্পর্শ না করে দুইটি বৃত্ত পাশাপাশি অবস্থান করলে, কয়টি সাধারণ স্পর্শক আঁকা যাবে?

সমাধান:

স্পর্শ না করে দুইটি বৃত্ত পাশাপাশি অবস্থান করলে, চারটি সাধারণ স্পর্শক আঁকা যাবে।
যথা - AB, BC, CD, EF ও GH

৯,০৭৭.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি ছোট; কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি বড়। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

ক
10 সে.মি
খ
12 সে.মি
গ
16 সে.মি
ঘ
8 সে.মি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি ছোট; কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি বড়। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, ভূমি = x সে.মি
∴ লম্ব = x - 2 সে.মি
এবং অতিভুজ = x + 2 সে.মি

প্রশ্নমতে,
x² + (x - 2)² = (x + 2)²
⇒ x² + x² - 4x + 4 = x² + 4x + 4
⇒ x² - 8x = 0
⇒ x (x - 8) = 0
হয়, x = 0 (গ্রহনযোগ্য নয়)
অথবা,
x = 8

∴ অতিভুজ = 8 + 2 = 10 সে.মি

৯,০৭৮.

নিচের কোনটি সঠিক?
i. যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নেই, শুধু অবস্থান আছে তাকে বিন্দু বলে
ii. দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্যকার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হলো সরলরেখা
iii. 0° এর সম্পূরক কোণ 90°

ক
i
খ
i ও ii
গ
ii ও iii
ঘ
i, ii ও iii

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?
i. যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নেই, শুধু অবস্থান আছে তাকে বিন্দু বলে
ii. দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্যকার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হলো সরলরেখা
iii. 0° এর সম্পূরক কোণ 90°

সমাধান:
i. যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নেই, শুধু অবস্থান আছে তাকে বিন্দু বলে।
এটি সঠিক। গাণিতিক সংজ্ঞা অনুযায়ী, বিন্দু হলো এমন একটি জ্যামিতিক উপাদান যার মাত্রা নেই, কেবল অবস্থান আছে।

ii. দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্যকার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হলো সরলরেখা।
এটি সঠিক। গাণিতিকভাবে, দুইটি বিন্দুর মধ্যে সংক্ষিপ্ততম দূরত্ব বা সরাসরি সংযোগ হলো সরলরেখা।

iii. 0° এর সম্পূরক কোণ 90° এটা ভুল। কারণ, 0° এর সম্পূরক কোণ 180°

সুতরাং, সঠিক উত্তর খ) i ও ii

৯,০৭৯.

ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ AC = 2 একক এবং লম্ব AB = 1 একক হলে tanC = কত?

ক
2
খ
√3
গ
1
ঘ
1/√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ AC = 2 একক এবং লম্ব AB = 1 একক হলে tanC = কত?

৯,০৮০.

একটি সামন্তরিক ABCD এর ∠B ও ∠D পরস্পর বিপরীত এবং ∠B এর মান 68° হলে, ∠A + ∠C এর মান কত ?

ক
228°
খ
224°
গ
240°
ঘ
220°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিক ABCD এর ∠B ও ∠D পরস্পর বিপরীত এবং ∠B এর মান 68° হলে, ∠A + ∠C এর মান কত ?

সমাধান:

আমরা জানি,
সামন্তরিকের পাশাপাশি দুটি কোণের সমষ্টি 180° হয়
∠A + ∠B = 180°
⇒ ∠A = 180°- ∠B
⇒ ∠A = 180°- 68°
∴ ∠A = 112°

যেহেতু সামন্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান
∴ ∠A = ∠C
∴ ∠C = 112°

∴ ∠A + ∠C = 112° + 112°
= 224°

৯,০৮১.

x + y = 0 এবং 2x – y + 3 = 0 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

ক
ক) (০, -১)
খ
খ) (-১, ১)
গ
গ) (১, ০)
ঘ
ঘ) (৩, -৩)

ব্যাখ্যা

x + y = 0 এবং 2x – y + 3 = 0 সমীকরন দুটি যোগ করে পাই,
3x + 3 = 0
x = -1
x- এর মান ১ম সমীকরনে বসিয়ে পাই, y = 1
সরলরেখা দুটি (-১, ১) বিন্দুতে ছেদ করে।

৯,০৮২.

চর্তুভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?

ক
১৪০°
খ
১৩৫°
গ
১১৫°
ঘ
১০০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চর্তুভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
চর্তুভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩

ধরি,
চতুর্ভুজের চারটি কোণ x°, ২x°, ২x°, ৩x°

আমরা জানি, চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি ৩৬০°

শর্তমতে,
x° + ২x° + ২x° + ৩x° = ৩৬০°
বা, ৮x° = ৩৬০°
বা, x° = ৪৫°

∴ বৃহত্তম কোণের পরিমাণ = ৩ × ৪৫° = ১৩৫°

৯,০৮৩.

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরেকে-

ক
ক) শুধু সমকোণে দ্বিখন্ডিত করে
খ
খ) সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে
গ
গ) সমকোণে অসমভাবে দ্বিখন্ডিত করে
ঘ
ঘ) শুধু সমদ্বিখন্ডিত করে

ব্যাখ্যা

যে আয়তে চারটি বাহু সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কর্ণ দুইটি অসমান তথা কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
প্রকৃতপক্ষে, রম্বস হলো সামান্তরিকের একটি বিশেষ রূপ অর্থাৎ সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে যায়।
রম্বসকে অনেকসময় ডায়মন্ড বলা হয় কারণ এটি দেখতে অনেকটা ডায়মন্ডের মত।
আবার এটিকে সমবাহু চতুর্ভুজও বলা হয় কারণ এর চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান।
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।

৯,০৮৪.

দুইটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 11:7 হলে, কোণ দুইটির মান কত?

ক
ক) ১১০,৭০
খ
খ) ১০০,৮০
গ
গ) ৯০,৯০
ঘ
ঘ) সবগুলো

ব্যাখ্যা

ধরি, কোণ দুইটি যথাক্রমে 11x ও 7x
প্রশ্নমতে,
11x + 7x = 180
বা, 18x = 180
বা, x = 10
∴ কোণ দুইটির মান 110 ডিগ্রী এবং 70 ডিগ্রী।

৯,০৮৫.

ADF সমবাহু ত্রিভুজের AE মধ্যমা হলে, ABCD বর্গের কর্ণ AC = ?

ক
৫√৬ সে.মি.
খ
৪√৬ সে.মি.
গ
৩√৬ সে.মি.
ঘ
৪√৩ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

ADF সমবাহু ত্রিভুজের AE মধ্যমা হলে, ABCD বর্গের কর্ণ AC = ?

সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = বর্গের বাহু = a
∴ √3a/2 = 6
a = 4√3 cm

∴ AC = √2a
= √2(4√3)
= 4√6 cm

৯,০৮৬.

ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠A = 40° এবং ∠B = 60° হলে, ∠ACD = কত ডিগ্রি?

ক
১৮০°
খ
৯০°
গ
১০০°
ঘ
১২০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠A = 40° এবং ∠B = 60° হলে, ∠ACD = কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∠ACD = ∠A + ∠B
= 40° + 60°
= 100°

৯,০৮৭.

একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৩৬ বর্গফুট। যদি উচ্চতা ৪ ফুট এবং সমান্তরাল বাহু দুটি একটি অপরটি থেকে ২ ফুট বেশি হয় তাহলে ছোট বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
৮ ফুট
খ
৬ ফুট
গ
৫ ফুট
ঘ
১০ ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৩৬ বর্গফুট। যদি উচ্চতা ৪ ফুট এবং সমান্তরাল বাহু দুটি একটি অপরটি থেকে ২ ফুট বেশি হয় তাহলে ছোট বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় বাহুটি = ক ফুট
ছোট বাহুটি = (ক - ২) ফুট

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা)
⇒ ৩৬ = (১/২) × {ক + (ক - ২)} × ৪
⇒ ৩৬ = (১/২) × (২ক - ২) × ৪
⇒ ৩৬ = (১/২) × (৮ক - ৮)
⇒ ৮ক - ৮ = ৭২
⇒ ৮ক = ৭২ + ৮
⇒ ৮ক = ৮০
⇒ ক = ১০

∴ ছোট বাহুটি = (১০ - ২) ফুট
= ৮ ফুট

৯,০৮৮.

10 একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গের ক্ষেত্রফল কত?

ক
100 বর্গএকক
খ
200 বর্গএকক
গ
240 বর্গএকক
ঘ
256 বর্গএকক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০ একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r =10 একক
বৃত্তের ক্ষেত্রফল:
A= πr² = 100π = 314.16 বর্গএকক

বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = 2r = 20 একক
বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু:
a = কর্ণ/√2
= 10√2 একক

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
A = a² = (10√2) = 100 × 2 = 200 বর্গএকক

৯,০৮৯.

একটি বর্গাকৃতি বাগানের ক্ষেত্রফল ১ হেক্টর। বাগানটির কর্ণের দৈর্ঘ্য -

ক
১০০√২ মি.
খ
১৫০√২ মি.
গ
৫০√২ মি.
ঘ
২০০√২ মি.

ব্যাখ্যা

সমাধান: একটি বর্গাকৃতি বাগানের ক্ষেত্রফল ১ হেক্টর। বাগানটির কর্ণের দৈর্ঘ্য -

সমাধান:
১ হেক্টর = ১০,০০০ বর্গমিটার
∴ এক বাহু = √১০০০০ বর্গ মি. = ১০০ মি.
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = ১০০√২ মি.

৯,০৯০.

ABCD সামান্তরিকের দুটি কোণের মান দেয়া আছে। x এর মান কত?

ক
10
খ
20
গ
22
ঘ
24

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকের দুটি কোণের মান দেয়া আছে। x এর মান কত?

সমাধান:
ABCD সামান্তরিকের ∠A = ∠C এবং ∠B = ∠D
এখানে,
∠D + ∠C = 180°
⇒ ∠B + ∠C = 180°
⇒ 4x + 12° + 3x + 14° = 180°
⇒ 7x + 26° = 180°
⇒ 7x = 154°
∴ x = 22°

৯,০৯১.

একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের -

ক
ক) সমান
খ
খ) অর্ধেক
গ
গ) দ্বিগুণ
ঘ
ঘ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক। অর্থাৎ, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
তাই একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণের মান 60° হলে কেন্দ্রস্থ কোণ হবে 120°।

৯,০৯২.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্বের দৈর্ঘ্য সমান হলে, অতিভুজ হবে লম্বের-

ক
√২ গুণ
খ
১/√২ গুণ
গ
২ গুণ
ঘ
১/২ গুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্বের দৈর্ঘ্য সমান হলে, অতিভুজ হবে লম্বের-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = লম্ব
মনে করি,
ভূমি = লম্ব = ক

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ^২= লম্ব^২+ ভূমি^২
= ক^২+ ক^২
= ২ক^২
⇒ অতিভুজ^২ = ২ক^২
∴ অতিভুজ = √২ক = √২ × লম্ব

তাহলে, অতিভুজ হবে লম্বের √২ গুণ।

৯,০৯৩.

২৫০° কোণটি হলো-

ক
সমকোণ
খ
সূক্ষ্মকোণ
গ
স্থূলকোণ
ঘ
প্রবৃদ্ধ কোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৫০° কোণটি হলো-

সমাধান:
- ৯০° অপেক্ষা অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- ৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
- ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- একটি সরলরেখার উপর আরেকটি সরলরেখা লম্বভাবে দন্ডায়মান হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এবং তাদের মান সমান হলে (৯০°) তাদের প্রত্যেককেটিকে সমকোণ বলে।

∴ ২৫০° কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।

৯,০৯৪.

একটি আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 846 বর্গ সে.মি.। যদি ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 5 : 4 : 3 হয়, তবে এর দৈর্ঘ্য কত?

ক
30 সে.মি.
খ
25 সে.মি.
গ
20 সে.মি.
ঘ
15 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 846 বর্গ সে.মি.। যদি ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 5 : 4 : 3 হয়, তবে এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য(a), প্রস্থ(b) ও উচ্চতা(c) যথাক্রমে 5x, 4x ও 3x সে.মি.

আমরা জানি,
আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2 (ab + bc + ca)
⇒ 846 = 2(5x ⋅ 4x + 4x ⋅ 3x + 3x ⋅ 5x)
⇒ 2(20x² + 12x² + 15x²) = 846
⇒ 47x² = 846/2
⇒ 47x² = 423
⇒ x² = 9
∴ x = 3

অতএব, দৈর্ঘ্য = 5 × 3 = 15 সে.মি.

৯,০৯৫.

একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের ৫ গুণ হলে, কোণটির মান কত?

ক
১২০°
খ
১৩৫°
গ
১৫০°
ঘ
১৫৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের ৫ গুণ হলে, কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
কোণটি = ক
সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ক

প্রশ্নমতে,
ক = ৫(১৮০° - ক)
⇒ ক = ৯০০° - ৫ক
⇒ ক + ৫ক = ৯০০°
⇒ ৬ক = ৯০০°
⇒ ক = ৯০০°/৬
∴ ক = ১৫০°

৯,০৯৬.

ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠B = 80°, ∠D = কত?

ক
80°
খ
90°
গ
100°
ঘ
110°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠B = 80°, ∠D = কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুইটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180°

∴ ∠B = 80° হলে, ∠D = 180° - 80° = 100°

৯,০৯৭.

নিচের কোনটি সরলরেখার সমীকরণ নির্দেশ করে?

ক
x² + 2y + 5 =0
খ
x + 2y² + 5 = 0
গ
x + 2y + 5 = 0
ঘ
2xy + 5 = 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সরলরেখার সমীকরণ নির্দেশ করে?

সমাধান:
x + 2y + 5 = 0
⇒ 2y = - x - 5
⇒ y = (- x - 5)/2
⇒ y = (-1/2)x - (5/2)
⇒ y = (-1/2)x + {- (5/2)}; যা সরলরেখার সমীকরণ y = mx + c এর অনুরূপ।

৯,০৯৮.

কোন ৩ টি বাহু দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না?

ক
ক) ২, ৪, ৫
খ
খ) ৪, ৫, ৬
গ
গ) ২, ৪, ৭
ঘ
ঘ) ৩, ৪, ৬

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুইবাহুর সমষ্টী, তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে। যদি সমান বা কম হয় তবে ত্রিভুজ আকা যাবে না। যেমন- ২ + ৪ < ৭, এই তিনটি বাহু দিয়ে ত্রিভুজ আঁকা যাবে না।

৯,০৯৯.

২৭৯° কোণকে কী কোণ বলে?

ক
সূক্ষ্মকোণ
খ
স্থূলকোণ
গ
পূরক কোণ
ঘ
প্রবৃদ্ধ কোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৭৯° কোণকে কী কোণ বলে?

সমাধান:
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- তাই ২৭৯° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

৯,১০০.

tan⁡A + cot⁡A = 2, এই সমীকরণ থেকে sin⁡A এর মান নির্ণয় করুন?

ক
1/2
খ
1/√2
গ
√3/2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tan⁡A + cot⁡A = 2, এই সমীকরণ থেকে sin⁡A এর মান নির্ণয় করুন?

সমাধান:
tan⁡A + cot⁡A = 2
বা, sinA/cosA + cosA/sinA = 2
বা, (sin²A + cos²A)/(sinA.cosA) = 2
বা, 1 = 2sinA.cosA
বা, sin2A = 1
বা, sin2A = sin90°
বা, 2A = 90°
∴ A = 45°

∴ sinA = sin45° = 1/√2