জ্যামিতি

PrepBank · পাতা ৯০ / ১০৭ · ৮,৯০১–৯,০০০ / ১০,৭৫২

৮,৯০১.

একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সে.মি. বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?

ক
26 সে.মি.
খ
27 সে.মি.
গ
28 সে.মি.
ঘ
29 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সে.মি. বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের উচ্চতা = h সে.মি.
∴ ত্রিভুজের ভূমি = 2h + 6 সে.মি.

প্রশ্নমতে,
(1/2) × (2h + 6) × h = 810
⇒ 2h² + 6h = 1620
⇒ h² + 3h - 810 = 0
⇒ h² + 30h - 27h - 810 = 0
⇒ h(h + 30) - 27 (h + 30) = 0
⇒ (h + 30)(h - 27) = 0
∴ h = 27 [h = - 30 গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ ত্রিভুজের উচ্চতা 27 সে.মি.

৮,৯০২.

একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহু অপর একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান হলে, বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত কত?

ক
ক) ৮ : ৫
খ
খ) ৪ : ১
গ
গ) ৫ : ২
ঘ
ঘ) ৬ : ২

ব্যাখ্যা

ধরা যাক , একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = ৪ক
অপর বর্গের পরিসীমা = ৪ক
সুতরাং , অপর বর্গের বাহু = ক
বর্গের বাহু ক হলে কর্ণ =√২ ক
কর্ণ দ্বয়ের অনুপাত = (√২ x ৪ক):(√২ x ক) = ৪:১

৮,৯০৩.

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এর কর্ণের দৈর্ঘ্যর কত গুণ?

ক
ক) 2√2
খ
খ) 2
গ
গ) √2/2
ঘ
ঘ) √2

ব্যাখ্যা

বর্গক্ষেত্রের একবাহু a একক হলে পরিসীমা 4a একক এবং কর্ণ √2a একক।
সুতরাং পরিসীমা/কর্ণ = 4a/√2a
= 4/√2
= (2 × √2 × √2) / √2
= 2√2

৮,৯০৪.

sec2θ = 2/√3 হলে, θ এর মান কত?

ক
60°
খ
45°
গ
30°
ঘ
15°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sec2θ = 2/√3 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
sec2θ = 2/√3
⇒ sec2θ = sec30°
⇒ 2θ = 30°
⇒ θ = 30°/2
∴ θ = 15°

৮,৯০৫.

একটি বর্গাকৃতির ক্ষেত্রের পরিসীমা ৪৪ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
৮৮ বর্গ মি.
খ
১২০ ব.মি.
গ
১৩২ ব.মি.
ঘ
১২১ ব.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতির ক্ষেত্রের পরিসীমা ৪৪ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪৪ মিটার
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪৪/৪ মিটার
= ১১ মিটার

∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (১১)^২ বর্গ মিটার
= ১২১ বর্গ মিটার

৮,৯০৬.

67° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

ক
67°
খ
57°
গ
80°
ঘ
90°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 67° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

সমাধান:
যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

যেহেতু, বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
∴ 67° কোণের বিপ্রতীপ কোণ = 67°

৮,৯০৭.

একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর মধ্যবিন্দু পরস্পর যুক্ত করলে কীরূপ ক্ষেত্র পাওয়া যাবে?

ক
ক) বর্গক্ষেত্র
খ
খ) আয়তক্ষেত্র
গ
গ) ট্রাপিজিয়াম
ঘ
ঘ) সামান্তরিক

ব্যাখ্যা

- একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর মধ্যবিন্দু পরস্পর যুক্ত করলে সামান্তরিক পাওয়া যাবে।
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পর অসমান।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয় তবে সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র হবে।
- সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে, তা আয়ত।

৮,৯০৮.

একটি মাঠের প্রস্থ আরও ১৫ মিটার বেশি হলে একটি ১০,০০০ বর্গমিটার ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গাকার মাঠ হতো। মাঠটির প্রস্থ কত?

ক
৮৫ মিটার
খ
৯০ মিটার
গ
৭৫ মিটার
ঘ
১০৫ মিটার

ব্যাখ্যা

একটি বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল ১০০০০ বর্গমিটার
সুতরাং, '' '' একবাহু = √১০০০০ = ১০০ মিটার
অর্থাৎ, পরিবর্তিত ক্ষেত্রের প্রস্থ = ১০০মিটার
∴ মাঠটির প্রকৃত প্রস্থ = (১০০ - ১৫) = ৮৫ মিটার

৮,৯০৯.

একটি ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার হলে ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ৭২ ব.মি.
খ
খ) ৯৬ ব.মি.
গ
গ) ১২৮ ব.মি.
ঘ
ঘ) ১৪৪ ব.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার হলে ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ৪
আমরা জানি, ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a²
= ৬ ×৪^২
= ৯৬ বর্গমিটার

৮,৯১০.

নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?

ক
x² + y² = 36
খ
x² + 6x + 5 = 0
গ
y = 3x + 5
ঘ
x² - y² = 36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?

সমাধান:
বৃত্তের সমীকরণে বৈশিষ্ট্য:
i) সমীকরণটি x এবং y এর দ্বিঘাত সমীকরণ।
ii) সমীকরণে x² এবং y² এর সহগ সমান।
iii) xy সম্বলিত পদ নেই।

কেবলমাত্র 'ক' অপশনেই এই তিনটি বৈশিষ্ট্য বিদ্যমান রয়েছে।

৮,৯১১.

চতুর্ভুজের চার কোণের অণুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ হবে-

ক
ক) ৭৫°
খ
খ) ৬৫°
গ
গ) ৫৫°
ঘ
ঘ) ৪৫°

ব্যাখ্যা

চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
চার কোণের অনুপাত = ১ : ২ : ২ : ৩
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ১ + ২ + ২ + ৩ = ৮

ক্ষুদ্রতম কোণ = (৩৬০ এর ১/৮)°
=৪৫°

৮,৯১২.

বর্গক্ষেত্রের এক বাহু √2 মিটার হলে কর্ণ কত মিটার?

ক
√2 মিটার
খ
4 মিটার
গ
2√2 মিটার
ঘ
2 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বর্গক্ষেত্রের এক বাহু √2 মিটার হলে কর্ণ কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = √2 মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × একবাহুর দৈর্ঘ্য

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = (√2 × √2) মিটার
= 2 মিটার

৮,৯১৩.

যদি বৃত্তের সমীকরণ x² + y² - 8x + 10y + 16 = 0 হয়, তবে বৃত্তের কেন্দ্র কী হবে?

ক
(4, - 5)
খ
(- 5, - 3)
গ
(3, - 5)
ঘ
(- 4, - 5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি বৃত্তের সমীকরণ x² + y² - 8x + 10y + 16 = 0 হয়, তবে বৃত্তের কেন্দ্র কী হবে?

সমাধান:
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0,
যেখানে (- g, - f) হলো কেন্দ্র এবং c হলো একটি ধ্রুবক।

প্রদত্ত সমীকরণ: x² + y² - 8x + 10y + 16 = 0

এখানে,
2g = - 8
∴ g = - 4

আবার, 2f = 10
∴ f = 5

∴ বৃত্তের কেন্দ্র = (- g, - f)
= (4, - 5)

৮,৯১৪.

৩৫° কোণের পূরক কোণ কোনটি?

ক
১৪৫°
খ
৪৫°
গ
১২৫°
ঘ
৫৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩৫° কোণের পূরক কোণ কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে, তাদের পূরক কোণ বলে।
∴ পূরক কোণ = (৯০ - ৩৫)°
= ৫৫°।

৮,৯১৫.

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ১৬ বর্গমিটার এবং পরিধি ৮ মিটার হলে উহার বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?

ক
৮ মিটার
খ
৪ মিটার
গ
৬ মিটার
ঘ
২ মিটার

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² এবং পরিধি = 2πr
প্রশ্নানুসারে, πr²/2πr = ১৬/৮
বা, r = ২×২
বা, r = ৪
বা, ২r = ৮ (যেহেতু বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা)

৮,৯১৬.

একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ১০ সেন্টিমিটার ও ২০ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?

ক
১০০ বর্গ সেন্টিমিটার
খ
১৫০ বর্গ সেন্টিমিটার
গ
১৮০ বর্গ সেন্টিমিটার
ঘ
২০০ বর্গ সেন্টিমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ১০ সেন্টিমিটার ও ২০ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের একটি কর্ণ = ১০ সেন্টিমিটার
এবং অপর কর্ণটি = ২০ সেন্টিমিটার

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ১০ × ২০
= ১০০ বর্গ সেন্টিমিটার।

৮,৯১৭.

একটি বৃত্তের ব্যাস 10% বাড়ানো হলে এর ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?

ক
10%
খ
21%
গ
44%
ঘ
30%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 10% বাড়ানো হলে এর ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ ব্যাস = 2r
∴ ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাস 10% বৃদ্ধি পেলে,
নতুন ব্যাস = 2r + 2r এর 10%
= 2r + (2r × 10/100)
= 2r + (2r/10)
= (20r + 2r)/10
= 22r/10

সুতরাং, নতুন ব্যাসার্ধ হবে,
= (1/2) × (22r/10)
= 11r/10

∴ নতুন ক্ষেত্রফল,
= π × (11r/10)²
= π × (121r²/100) = 121πr²/100

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = নতুন ক্ষেত্রফল - মূল ক্ষেত্রফল
= (121πr²/100) - πr²
= (121πr² − 100πr²)/100
= 21πr²/100

শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি,
= (ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি/মূল ক্ষেত্রফল) × 100%
= (21πr²/100)/(πr²) × 100%
= (21/100) × 100%
= 21%

∴ ক্ষেত্রফল 21% বৃদ্ধি পাবে।

৮,৯১৮.

গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৭০ বার ঘোরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘোরে?

ক
৭২০°
খ
৫৪০°
গ
৪২০°
ঘ
৩৪০°

ব্যাখ্যা

১ মিনিটে চাকাটি ঘুরে ৭০ বার
অর্থাৎ, ১ সেকেন্ডে ঘুরে = ৭০/৬০ বা ৭/৬ বার
এখানে ১ বারে ঘুরে ৩৬০°
∴৭/৬ বারে ঘুরে = (৩৬০° × ৭)/৬ = ৪২০°

৮,৯১৯.

রম্বসের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি-

ক
৯০°
খ
১২০°
গ
১৮০°
ঘ
৩৬০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রম্বসের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি-

সমাধান:
• রম্বসের বৈশিষ্ট্য:
- রম্বসের প্রত্যেকটি বাহুই সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় অসমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
- রম্বসের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ১৮০°।

৮,৯২০.

রশ্মির প্রান্তবিন্দু কয়টি?

ক
০
খ
১
গ
২
ঘ
অসংখ্য

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রশ্মির প্রান্তবিন্দু কয়টি?

সমাধান:
রেখার কোনো প্রান্তবিন্দু নাই, কিন্তু রশ্মির একটিমাত্র প্রান্তবিন্দু থাকে।
রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।
একটি বিন্দু থেকে একাধিক রশ্মি আঁকা যায়।

৮,৯২১.

একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 16 মিটার, প্রস্থ 12 মিটার ও উচ্চতা 4.5 মিটার। এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
22.5 মিটার
খ
25.5 মিটার
গ
20.5 মিটার
ঘ
24.5 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 16 মিটার, প্রস্থ 12 মিটার ও উচ্চতা 4.5 মিটার। এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
এখানে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 16 মিটার,
আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রস্থ, b = 12 মিটার এবং
আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা, c = 4.5 মিটার

আমরা জানি,
∴ আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(a² + b² + c²)
= √{(16)² + (12)² + (4.5)²} মিটার
= √(256 + 144 + 20.25) মিটার
= √(420.25) মিটার
= 20.5 মিটার ।

৮,৯২২.

বেলনের ভূমির ব্যাস ৮৪ সে.মি., উচ্চতা ১৪৭ সে.মি. হলে, বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

ক
২৪০০০ সে.মি^২
খ
৩৫০০০ সে.মি^২
গ
৩৮৮০৮ সে.মি^২
ঘ
৪৫৮০৮ সে.মি^২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাস ৮৪ সে.মি., উচ্চতা ১৪৭ সে.মি. হলে, বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ভূমির ব্যাস = ৮৪ সে.মি.
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ r = ৮৪ ÷ ২ = ৪২ সে.মি.

বেলনের উচ্চতা h = ১৪৭ সে.মি.

আমরা জানি,
বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ২πrh
= ২ × (২২/৭) × ৪২ × ১৪৭
= (২ × ২২ × ৪২ × ১৪৭) ÷ ৭
= ২৭১৬৫৬ ÷ ৭
= ৩৮৮০৮ সে.মি^২

∴ বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ৩৮৮০৮ সে.মি^২

৮,৯২৩.

কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত সমকোণ?

ক
চার সমকোণ
খ
তিন সমকোণ
গ
দুই সমকোণ
ঘ
পাঁচ সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত সমকোণ?

সমাধান:

ত্রিভুজের যেকোন বাহুকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ যে কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ দুই কোণের সমষ্টির সমান।
∠CBD = ∠A + ∠C
∠BAF = ∠B + ∠C
∠ACE = ∠A + ∠B

বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি = ∠CBD + ∠BAF + ∠ACE
= ∠A + ∠C + ∠B + ∠C + ∠A + ∠B
= 2(∠A + ∠B + ∠C)
= 2 × 180° [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°]
= 360°
= 4 × 90°
= 4 সমকোণ

৮,৯২৪.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. এবং ৭ সে.মি.। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
৩৫ বর্গ সে.মি.
খ
৪৫ বর্গ সে.মি.
গ
৪৮ বর্গ সে.মি.
ঘ
৫০ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. এবং ৭ সে.মি.। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ১০ × ৭ বর্গ সে.মি.
= ৩৫ বর্গ সে.মি.।

৮,৯২৫.

একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮৫ বর্গগজ। ত্রিভুজ শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ১০ গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

ক
২০ গজ
খ
১৪ গজ
গ
১৫ গজ
ঘ
১৭ গজ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮৫ বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ১০ গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) × ভূমি × ১০
= ৫ × ভূমি

প্রশ্নমতে,
৫ × ভূমি = ৮৫
∴ ভূমি = ৮৫/৫ = ১৭ গজ

৮,৯২৬.

ABCD সামান্তরিকের ∠A = 65° হলে, ∠B = কত?

ক
ক) 100°
খ
খ) 105°
গ
গ) 115°
ঘ
ঘ) 120°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকের ∠A = 65° হলে, ∠B = কত?

সমাধান:

AB কে E পর্যন্ত বর্ধিত করি।
AD BC, AE ছেদক
∠CBE = A = 65°
∠B = 180° - 65° = 115°

৮,৯২৭.

একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি., ১৮ সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গ সে.মি. হলে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

ক
২০ সে.মি.
খ
২৪ সে.মি.
গ
৩০ সে.মি.
ঘ
৩৪ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি., ১৮ সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গ সে.মি. হলে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
⇒ ৩০০ = (১/২) × (১২ + ১৮) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
⇒ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (৩০০ × ২)/৩০
⇒ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ২০

∴ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ২০ সে.মি.

৮,৯২৮.

একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ২০ বর্গসেমি। এর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য ৩ সেমি ও ৭ সেমি। সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

ক
ক) ২
খ
খ) ৩
গ
গ) ৪
ঘ
ঘ) ৫

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২ × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
⇒ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ২ × ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল/ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল
= ২ × ২০/(৭+৩)
= ৪ সেমি

৮,৯২৯.

যদি cotθ = 4/3 হয়, তাহলে (3sinθ + 2cosθ)/(3sinθ − 2cosθ) এর মান নির্ণয় করুন?

ক
0
খ
5
গ
17
ঘ
25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি cotθ = 4/3 হয়, তাহলে (3sinθ + 2cosθ)/(3sinθ − 2cosθ) এর মান নির্ণয় করুন?

সমাধান:
আমরা জানি,
cotθ = ভূমি/লম্ব = 4/3
এখানে, ভূমি = 4 এবং লম্ব = 3
ধরি, অতিভুজ = x

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
x² = 4² + 3²
⇒ x² = 16 + 9
⇒ x² = 25
⇒ x² = 5²
⇒ x = 5

এখন, sinθ = লম্ব/অতিভুজ = 3/5
এবং, cosθ = ভূমি/অতিভুজ = 4/5

∴ (3sinθ + 2cosθ)/(3sinθ − 2cosθ)
= [3(3/5) + 2(4/5)]/[3(3/5) - 2(4/5)]
= (17/5)/(1/5)
= 17

৮,৯৩০.

যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং sin(θ + 14°) = 1/2 হয়, তবে θ এর মান কত?

ক
16°
খ
18°
গ
24°
ঘ
30°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং sin(θ + 14°) = 1/2 হয়, তবে θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sin(θ + 14°) = 1/2
⇒ sin(θ + 14°) = sin30°
⇒ θ + 14° = 30°
⇒ θ = 30° - 14°
∴ θ = 16°

৮,৯৩১.

যদি 1 + sinθ = mcosθ হয় তবে cotθ এর মান কত?

ক
2m/(m² + 1)
খ
2m/(m² - 1)
গ
m/(m² - 1)
ঘ
(m² - 1)/2m

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 1 + sinθ = mcosθ হয় তবে cotθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
1 + sinθ = m cos θ
⇒ (1 + sinθ)/cosθ = m
⇒ (1/cosθ) + (sinθ/cosθ) = m
⇒ secθ + tanθ = m .......(i)

আমরা জানি
(secθ + tanθ) (secθ - tanθ) = 1
⇒ m(secθ - tanθ) = 1
⇒ secθ - tanθ = 1/m ........(ii)

এখন, (i) - (ii) ⇒
secθ + tanθ - (secθ - tanθ) = m - (1/m)
⇒ secθ + tanθ - secθ + tanθ = (m² - 1)/m
⇒ 2tanθ = (m² - 1)/m
⇒ tanθ = (m² - 1)/2m
⇒ 1/cotθ = 1/{(m² - 1)/2m}
∴ cotθ = 2m/(m² - 1)

৮,৯৩২.

একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ৩/৪ অংশের সমান। কর্ণের দৈর্ঘ্য ২৫ সেন্টিমিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ২১ সে.মি.
খ
খ) ২২ সে.মি.
গ
গ) ১৮ সে.মি.
ঘ
ঘ) ২০ সে.মি.

ব্যাখ্যা

ধরি,
দৈর্ঘ্য = ৪x সে.মি.
∴ প্রস্থ = ৪x এর ৩/৪ সে.মি.
= ৩x সে.মি.
ΔBCD সমকোণী ত্রিভুজে,
(৩x)^২ + (৪x)^২ = (২৫)^২
বা, ২৫(x^২) = ৬২৫
বা, x^২= ২৫
বা, x = ৫
∴ x = ৫
∴ দৈর্ঘ্য = ৪x সে.মি.
= (৪×৫) সে.মি.
= ২০ সে.মি.

৮,৯৩৩.

একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ৯০ সে.মি. এবং বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ২ : ৩ : ৫ হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
৪৫ সে.মি.
খ
৪০ সে.মি.
গ
৩৫ সে.মি.
ঘ
২৬ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ৯০ সে.মি. এবং বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ২ : ৩ : ৫ হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ২ক সে.মি. ৩ক সে.মি. এবং ৫ক সে.মি.

শর্তমতে,
২ক + ৩ক + ৫ক = ৯০
⇒ ১০ক = ৯০
⇒ ক = ৯

সুতরাং, বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য = (৫ × ৯) সে.মি.
= ৪৫ সে.মি.

৮,৯৩৪.

ক
1/2
খ
3/2
গ
3
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৮,৯৩৫.

১৬ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্নিহিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ৯৬ ব. সে.মি.
খ
খ) ১২৮ ব. সে.মি.
গ
গ) ১৪৪ ব. সে.মি.
ঘ
ঘ) ১৯৬ ব. সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৬ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্নিহিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

বৃত্তের ব্যাস = বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ
∴ বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ১৬ সেমি

প্রশ্নমতে,
√২ × বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৬
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৬/√২ = ৮√২

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৮√২)^২ = ১২৮ বর্গ সেমি

৮,৯৩৬.

বৃত্তের ব্যাস কতগুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল 16 গুণ বৃদ্ধি পায়?

ক
4 গুণ
খ
8 গুণ
গ
16 গুণ
ঘ
32 গুণ

ব্যাখ্যা

ধরি, ব্যাসার্ধ = r
∴ ব্যাস = 2r এবং ক্ষেত্রফল = πr²
16 গুণ বৃদ্ধিতে ক্ষেত্রফল = 16πr² = π(4r)²
∴ ব্যাসার্ধ = 4r ফলে ব্যাস = 8r যা পূর্বের ব্যাসের 4 গুণ ।

৮,৯৩৭.

কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?

ক
৩৬০°
খ
১৮০°
গ
১৬০°
ঘ
২৭০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি-

সমাধান:

ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∴ x + y + z = b + c + a + c + a + b
= 2 (a + b + c)
= 2 × 180°
= 360°

∴ কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি ৩৬০ ডিগ্রি

৮,৯৩৮.

28 ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে কোনো এক দিকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?

ক
√154 ফুট
খ
2√154 ফুট
গ
4√154 ফুট
ঘ
6√154 ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 28 ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে কোনো এক দিকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ = 28/2 ফুট = 14 ফুট
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = πr²
= π × 14 × 14
= (22/7) × (14 × 14)
= 616 বর্গফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 616 বর্গফুট

∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √616 = 2√154 ফুট

৮,৯৩৯.

ঢাকনা সহ একটি বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে ১০ সেমি, ৯ সেমি ও ৭ সেমি। বাক্সটির আয়তন কত?

ক
৬৩০ ঘন সেমি
খ
৫৬০ ঘন সেমি
গ
৬৯০ ঘন সেমি
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

ঢাকনা সহ একটি বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে ১০ সেমি, ৯ সেমি ও ৭ সেমি।
বাক্সটির আয়তন = ১০ × ৯ × ৭ ঘন সেমি = ৬৩০ ঘন সেমি

৮,৯৪০.

একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য √40 সে.মি. হলে, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
20 বর্গ সে.মি.
খ
25 বর্গ সে.মি.
গ
15 বর্গ সে.মি.
ঘ
30 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য √40 সে.মি. হলে, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি. হলে
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 সে.মি.

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য a√2 = √40 সে.মি. হলে,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √40/√2
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (√40/√2)² = 40/2 = 20 বর্গ সে.মি.

৮,৯৪১.

বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মাণ কেন্দ্রস্থ কোণ ৮০° হলে বৃত্তস্থ কোণ-

ক
১৬০°
খ
১২০°
গ
৬০°
ঘ
৪০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মাণ কেন্দ্রস্থ কোণ ৮০° হলে বৃত্তস্থ কোণ -

সমাধান:
একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ , বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগ্ণ হয়ে থাকে।

∴ বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মাণ কেন্দ্রস্থ কোণ ৮০° হলে বৃত্তস্থ কোণ = ৮০°/২
= ৪০°

৮,৯৪২.

দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ১০ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলছে। তারা একে অন্যের সাথে কত মিটার দূরে গিয়ে মিলিত হবে?

ক
১০ মিটার
খ
২০ মিটার
গ
১০০ মিটার
ঘ
কখনোই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ১০ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলছে। তারা একে অন্যের সাথে কত মিটার দূরে গিয়ে মিলিত হবে?

সমাধান:
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না।

সমান্তরাল রেখা:
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে।
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত:
১. সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে।
২. এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না।
৩. দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে।
• দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল।
• একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়।

৮,৯৪৩.

একটি আয়তকার তামার পাত্রের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা যথাক্রমে ২০ সেমি, ১৫ সেমি, ১০ সেমি হলে, পাত্রের ভিতরের আয়তন কত?

ক
৩০০০ ঘন সেমি
খ
২৭০০ ঘন সেমি
গ
১৫০০ ঘন সেমি
ঘ
২০০০ ঘন সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তকার তামার পাত্রের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা যথাক্রমে ২০ সেমি, ১৫ সেমি, ১০ সেমি হলে, পাত্রের ভিতরের আয়তন কত?

সমাধান:
আয়তকার তামার পাত্রের দৈর্ঘ্য = ২০ সেমি
আয়তকার তামার পাত্রের প্রস্থ = ১৫ সেমি
আয়তকার তামার পাত্রের উচ্চতা = ১০ সেমি

আয়তকার তামার পাত্রের আয়তন = (২০ × ১৫ × ১০) ঘন সেমি
= ৩০০০ ঘন সেমি

৮,৯৪৪.

একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সে.মি. এবং ১৮ সে.মি. এবং এর ক্ষেত্রফল ১৫০ বর্গসে.মি. হলে, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

ক
২০ সে.মি.
খ
১৫ সে.মি.
গ
১০ সে.মি.
ঘ
৫ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সে.মি. এবং ১৮ সে.মি. এবং এর ক্ষেত্রফল ১৫০ বর্গসে.মি. হলে, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি × লম্ব দূরত্ব
⇒ লম্ব দূরত্ব = (২ × ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল)/সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি
= (২ × ১৫০)/(১২ + ১৮)
= ৩০০/৩০
= ১০ সে.মি.

৮,৯৪৫.

একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ ৫৫° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে?

ক
১০০°
খ
১৩০°
গ
১২০°
ঘ
১১০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ ৫৫° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ।

এখন,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ = ৫৫° হলে,
কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে = (৫৫° × ২)
= ১১০°

∴ কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ = ১১০° ।

৮,৯৪৬.

যদি cot (θ - 30°) = 1/√3 হয়, তাহলে cosθ এর মান কত?

ক
0
খ
√3/2
গ
1
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি cot (θ - 30°) = 1/√3 হয়, তাহলে cosθ এর মান কত?

সমাধান:
cot (θ - 30°) = 1/√3
⇒ cot (θ - 30º) = cot 60º
⇒ θ - 30º = 60º
⇒ θ = 60º + 30º
∴ θ = 90º

এখন,
cosθ
= cos90º
= 0

৮,৯৪৭.

প্রদত্ত চিত্র অনুসারে, ∠ABC = কত?

ক
40°
খ
50°
গ
60°
ঘ
80°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্র অনুসারে, ∠ABC = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠ACD = 120°
∠BAC = 70°

আমরা জানি,
বহিঃস্থ কোণের মান বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের মানের সমষ্টির সমান।
∴ ∠ABC + ∠BAC = ∠ACD
বা, ∠ABC = ∠ACD - ∠BAC
বা, ∠ABC = 120° - 70°
= 50° ।

৮,৯৪৮.

একটি ১২ ফুট দীর্ঘ এবং ৯ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট কার্পেট একটি ঘরের ৬০% ঢেকে আছে। ঘরটির ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?

ক
৩০০
খ
১৮০
গ
১০৮
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ১২ ফুট দীর্ঘ এবং ৯ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট কার্পেট একটি ঘরের ৬০% ঢেকে আছে। ঘরটির ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কার্পেটের দৈর্ঘ্য ১২ ফুট এবং প্রস্থ ৯ ফুট
কার্পেটের ক্ষেত্রফল = ১২ × ৯ বর্গফুট = ১০৮ বর্গফুট

৬০% মেঝের ক্ষেত্রফল ১০৮ বর্গফুট
১০০% মেঝের ক্ষেত্রফল (১০৮ × ১০০)/৬০ বর্গফুট
= ১০৮০০/৬০ বর্গফুট
= ১৮০ বর্গফুট

৮,৯৪৯.

যদি tanθ = 1 হয়, তাহলে, (8sinθ + 5cosθ)/(sin³θ - 2cos³θ + 7cosθ) = কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি tanθ = 1 হয়, তাহলে, (8sinθ + 5cosθ)/(sin³θ - 2cos³θ + 7cosθ) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ = 1
⇒ tanθ = tan45°
∴ θ = 45°

এখন, (8sinθ + 5cosθ)/(sin³θ - 2cos³θ + 7cosθ)
= (8sin45° + 5cos45°)/(sin³45° - 2cos³45° + 7cos45°)
= [{8 × (1/√2)} + {5 × (1/√2)}]/{(1/√2)³ - 2(1/√2)³ + 7(1/√2)}
= (8/√2) + (5/√2)/{(1/2√2) - (2/2√2) + (7/√2)}
= (13/√2)/{(1 - 2 + 14)/2√2}
= (13/√2)/(13/2√2)
= 2

৮,৯৫০.

একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি কত হবে?

ক
ক) ৯০°
খ
খ) ১৬০°
গ
গ) ১৮০°
ঘ
ঘ) ১২০°

ব্যাখ্যা

একটি সরলরেখার একটি বিন্দুতে অন্য একটি রশ্মি মিলিত হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।

৮,৯৫১.

একটি সমবাহু ত্রিভুুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজটির প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 4 সে.মি.
খ
খ) 5 সে.মি.
গ
গ) 6 সে.মি.
ঘ
ঘ) 9 সে.মি.

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4)(বাহু)²
(√3/4)(বাহু)² = 9√3
(1/4)(বাহু)² = 9
(বাহু)² = 36
(বাহু)² = 6²
বাহু = 6

৮,৯৫২.

(sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7 হলে secθ এর মান কত?

ক
3/5
খ
5/2
গ
5/3
ঘ
4/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7 হলে secθ এর মান কত?

সমাধান:
(sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7
⇒ (sinθ + cosθ + sinθ - cosθ)/(sinθ + cosθ - sinθ + cosθ) = (7 + 1)/(7 - 1) [যোজন-বিয়োজন করে]
⇒ 2sinθ/2cosθ = 8/6
⇒ sinθ/cosθ = 4/3
⇒ tanθ = 4/3
⇒ tan²θ = 16/9
⇒ sec²θ - 1 = 16/9 [ sec²θ - tan²θ = 1]
⇒ sec²θ = 1 + (16/9)
⇒ sec²θ = (9 + 16)/9
⇒ sec²θ = 25/9
⇒ secθ = 5/3

৮,৯৫৩.

P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পর R বিন্দুতে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।∠PRQ এর মান কত?

ক
৯০°
খ
১২০°
গ
৩৬০°
ঘ
১৮০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পর R বিন্দুতে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। ∠PRQ এর মান কত?

সমাধান:
PRQ হলো P, R, এবং Q বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত কোণ।
যেহেতু বৃত্ত দুটি বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে, তাই P, R, এবং Q বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।
সুতরাং, PRQ এর মান ১৮০°

৮,৯৫৪.

∠A এর পূরক কোণ কত?

ক
30°
খ
40°
গ
20°
ঘ
50°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

∠A এর পূরক কোণ কত?

সমাধান:
∠A = 180° - 120° = 60°

∠A এর পূরক কোণ = 90° - 60° = 30°

৮,৯৫৫.

9.8 মিটার ব্যাসের বৃত্তাকার একটি বাগানের ক্ষেত্রফল কত?

ক
73.39 বর্গমিটার
খ
75.39 বর্গমিটার
গ
72.39 বর্গমিটার
ঘ
78.39 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9.8 মিটার ব্যাসের বৃত্তাকার একটি বাগানের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তাকার বাগানটির ব্যাস, d = 9.8 মিটার
বৃত্তাকার বাগানটির ব্যাসার্ধ, r = 9.8/2 মিটার
= 4.9 মিটার

আমরা জানি,
বৃত্তাকার বাগানটির ক্ষেত্রফল = πr²
= 3.14 × (4.9)² বর্গমিটার
= 75.39 বর্গমিটার (প্রায়) ।

৮,৯৫৬.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 72 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
12 মিটার
খ
6√2 মিটার
গ
8 মিটার
ঘ
8√3 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 72 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 72 বর্গমিটার
বর্গক্ষেত্রের বাহু = √72 মিটার
= √(36 × 2) মিটার
= 6√2 মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= √2 × 6√2 মিটার
= 12 মিটার

৮,৯৫৭.

cos24° + cos204° =?

ক
√3/2
খ
1/√2
গ
0
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cos24° + cos204° =?

সমাধান:
cos204° = cos(180° + 24°) = - cos24°

cos24° + cos204°
= cos24° - cos24°
= 0

৮,৯৫৮.

চিত্রে A এর কোণের প্রকৃতি -

ক
ক) সমকোণ
খ
খ) সূক্ষ্মকোণ
গ
গ) স্থূলকোণ
ঘ
ঘ) প্রবৃদ্ধ কোণ

ব্যাখ্যা

চিত্রে, ∠A + ∠B = ∠ACD
বা, ∠A = ∠ACD - ∠B = ১৫০° - ৩৫° = ১১৫° যা স্থূলকোণ

৮,৯৫৯.

ABCD সামন্তরিকে ∠A = 75° হলে, ∠B = ?

ক
ক) 75°
খ
খ) 80°
গ
গ) 100°
ঘ
ঘ) 105°

ব্যাখ্যা

AB কে E পর্যন্ত বর্ধিত করে।
AD || BC, AE ছেদক
∴ ∠CBF = ∠A = 75°
∴ B = 180° - 75° = 105°

৮,৯৬০.

ত্রিভুজের তিন কোণের অনুপাত 9 : 4 : 5 হলে ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত?

ক
৪০°
খ
৫০°
গ
৯০°
ঘ
৩০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন কোণের অনুপাত ৯ : ৪ : ৫ হলে ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান,
মনেকরি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ৯ক + ৪ক + ৫ক
= ১৮ক

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°

∴ ১৮ক = ১৮০°
বা, ক = ১৮০°/১৮
বা, ক = ১০°

ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ = ৪ × ১০°
= ৪০°

৮,৯৬১.

একটি বর্গাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল ৪ হেক্টর। মাঠটির পরিসীমা কত মিটার?

ক
১২০০ মিটার
খ
১০০০ মিটার
গ
৯০০ মিটার
ঘ
৮০০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল ৪ হেক্টর। মাঠটির পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
∴ ৪ হেক্টর = ৪০০০০ বর্গমিটার

∴ মাঠটির এক পাশের দৈর্ঘ্য = √(৪০০০০) মিটার
= ২০০ মিটার

∴ মাঠটির পরিসীমা = ৪ × এক পাশের দৈর্ঘ্য
= (৪ × ২০০) মিটার
= ৮০০ মিটার

৮,৯৬২.

40a পরিসীমা বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 8a + 6 হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
10a - 6
খ
12a + 6
গ
8a - 6
ঘ
12a - 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 40a পরিসীমা বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 8a + 6 হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = b

প্রশ্নমতে,
2(8a + 6 + b) = 40a
⇒ 8a + 6 + b = 20a
⇒ b = 20a - 8a - 6
⇒ b = 12a - 6
∴ b = 12a - 6

৮,৯৬৩.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ 96°ঐ ত্রিভুজের অপর কোণটি কত?

ক
ক) 48°
খ
খ) 42°
গ
গ) 24°
ঘ
ঘ) 84°

ব্যাখ্যা

১৮০ - ৯৬ = ৮৪
অর্থাৎ, বাকী দুটি কোণের সমষ্টি ৮৪ ডিগ্রি
আমরা জানি, সমান বাহু দুটির বিপরীত কোণদ্বয়ও সমান হবে।
অর্থাৎ, বাকী কোণ দুটি ৮৪/২ = ৪২ ডিগ্রি করে

৮,৯৬৪.

একটি স্কুলে ৩০০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কতজন পুরুষ তা পার্শ্ব চিত্রে দেখানো হয়েছে। পুরুষের জন্য নির্দেশিত কোণ ৬০°। পুরুষের সংখ্যা কত?

ক
৪০
খ
৫০
গ
৬০
ঘ
৮০
ঙ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি স্কুলে ৩০০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কতজন পুরুষ তা পার্শ্ব চিত্রে দেখানো হয়েছে। পুরুষের জন্য নির্দেশিত কোণ ৬০°। পুরুষের সংখ্যা কত?

সমাধান:
৩৬০° কোণের জন্য শিক্ষার্থী ৩০০ জন
১° কোণের জন্য শিক্ষার্থী ৩০০/৩৬০ জন
৬০° কোণের জন্য শিক্ষার্থী (৩০০ × ৬০°)/৩৬০° জন
= ৫০ জন

৮,৯৬৫.

একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ২০২৫ বর্গ মি. এবং এর চারদিকে বেড়া আছে। প্রতি মিটার বেড়া ‍দিতে ২.৫০ টাকা খরচ হলে সম্পূর্ণ বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

ক
৩৫০ টাকা
খ
৪২০ টাকা
গ
৪৫০ টাকা
ঘ
৫৫০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ২০২৫ বর্গ মি. এবং এর চারদিকে বেড়া আছে। প্রতি মিটার বেড়া ‍দিতে ২.৫০ টাকা খরচ হলে সম্পূর্ণ বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ২০২৫ বর্গ .মি.
বর্গাকার বাগানের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √২০২৫ মি.
= ৪৫ মি.

বর্গাকার বাগানের পরিসীমা = (৪৫ × ৪) মি.
= ১৮০ মি.

১ মিটার বেড়া ‍দিতে খরচ হয় = ২.৫ টাকা
১৮০ মিটার বেড়া ‍দিতে খরচ হয় = (১৮০ × ২.৫) টাকা
= ৪৫০ টাকা

৮,৯৬৬.

একটি অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

ক
৮ টি
খ
১৬ টি
গ
২০ টি
ঘ
২৪ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহু সংখ্যা = ৮ টি [অষ্টভুজের বাহু সংখ্যা ৮ টি]

∴ অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২
= {৮ × (৮ - ৩)}/২
= ৪ × ৫
= ২০ টি

৮,৯৬৭.

যে চতুর্ভুজের প্রত্যেক কোণ সমকোণ এবং প্রত্যেক বাহু সমান তাকে কী বলে?

ক
ক) রম্বস
খ
খ) আয়ত
গ
গ) বর্গ
ঘ
ঘ) সামান্তরিক

ব্যাখ্যা

যে চতুর্ভুজের প্রত্যেক কোণ সমকোণ এবং প্রত্যেক বাহু সমান তাকে বর্গ বলে।

৮,৯৬৮.

ABC ত্রিভুজে A কোণের মান 40° এবং B কোণের মান 70° হলে, ত্রিভুজটি কি ধরনের ত্রিভুজ?

ক
সমকোণী
খ
সমবাহু
গ
সমদ্বিবাহু
ঘ
স্থুলকোণী

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে A কোণের মান 40° এবং B কোণের মান 70° হলে, ত্রিভুজটি কি ধরনের ত্রিভুজ?

সমাধান:
C কোণের মান = 180° - 40° - 70°
= 180° - 110°
= 70°

এখানে B ও C কোণ সমান, আর কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ সমান ত্রিভুজটির দুইটি বাহুও সমান হবে।
তাই ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে।

৮,৯৬৯.

y = mx + c সমীকরণে, m কী নির্দেশ করে?

ক
রেখার অভিলম্ব
খ
রেখার ঢাল
গ
রেখার মধ্যবিন্দু
ঘ
রেখার y-অক্ষের ছেদবিন্দু

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: y = mx + c সমীকরণে, m কী নির্দেশ করে?

সমাধান:
- সরলরেখার সমীকরণ y = mx + c -এ, m নির্দেশ করে রেখার ঢাল,
- যা নির্ধারণ করে রেখাটি কতটা খাড়া বা তির্যক হবে।
- ঢাল m হলো Δy/Δx অর্থাৎ, x অক্ষের প্রতি একক পরিবর্তনের জন্য y অক্ষের পরিবর্তন।
- ঢাল যদি ধনাত্মক হয়, তবে রেখাটি উপরের দিকে উঠবে, আর ঋণাত্মক হলে নিচের দিকে নামবে।

৮,৯৭০.

একটি চাকার ব্যাস 4.2 মিটার। চাকাটি 330মিটার পথ অতিক্রম করতে কতবার ঘুরবে?

ক
ক) 32
খ
খ) 30
গ
গ) 25
ঘ
ঘ) 22

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাস 4.2 মিটার। চাকাটি 330 মিটার পথ অতিক্রম করতে কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চাকার ব্যাস d= 4.2 মিটার
চাকার পরিধি = 2πr মিটার
= 4.2 × (22/7)
= 13.2 মিটার
একটি চাকা একবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দুরত্ব অতিক্রম করে।

13.2 মিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি ঘুরে 1 বার
1 মিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি ঘুরে 1/13.2 বার
330 মিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি ঘুরে (1 × 330)/13.2 বার
= 25 বার

৮,৯৭১.

একটি সাবানের আকার ৫ সে. মি., ৩ সে. মি. ও ২ সে. মি. হলে ২৫ সে. মি. দৈর্ঘ্য, ২০ সে. মি. প্রস্থ এবং ১৫ সে. মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি বাক্সের মধ্যে কতটি সাবান রাখা যাবে?

ক
২৫০০টি
খ
৫০টি
গ
৭৫০টি
ঘ
২৫০টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সাবানের আকার ৫ সে. মি., ৩ সে. মি. ও ২ সে. মি. হলে ২৫ সে. মি. দৈর্ঘ্য, ২০ সে. মি. প্রস্থ এবং ১৫ সে. মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি বাক্সের মধ্যে কতটি সাবান রাখা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা ) ঘন একক

সাবানের আয়তন = ৫ × ৩ × ২
=৩০ ঘন সে.মি.
এবং
বাক্সের আয়তন = ২৫ × ২০ × ১৫
= ৭৫০০ ঘন সে. মি.

∴ সাবানের সংখ্যা = বাক্সের আয়তন/সাবানের আয়তন
= ৭৫০০/৩০
= ২৫০ টি
∴ সর্বোচ্চ ২৫০টি সাবান রাখা যাবে।

৮,৯৭২.

একটি আয়তাকার মাঠের পরিসীমা ৬০ মিটার এবং দৈর্ঘ্য ২০ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

ক
২০০ বর্গমিটার
খ
১৭৫ বর্গমিটার
গ
১২০ বর্গমিটার
ঘ
১৬০ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের পরিসীমা ৬০ মিটার এবং দৈর্ঘ্য ২০ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পরিসীমা = ৬০ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার

আমরা জানি,
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
⇒ ২(২০ + প্রস্থ) = ৬০
⇒ ২০ + প্রস্থ = ৬০ ÷ ২
⇒ ২০ + প্রস্থ = ৩০
⇒ প্রস্থ = ৩০ - ২০
∴ প্রস্থ = ১০ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ২০ × ১০ = ২০০ বর্গমিটার

৮,৯৭৩.

8 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ক
72 বর্গ সে.মি.
খ
48 বর্গ সে.মি.
গ
128 বর্গ সে.মি.
ঘ
36 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ = 8 সে.মি. ব্যাসার্ধ
তাহলে, ব্যাস = 8 × 2 = 16 [যা বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান]

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (1/2) × (কর্ণ)²
= (1/2) × (16)²
= 256/2
= 128 বর্গ সে.মি.

৮,৯৭৪.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 3 : 4 এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল 384 বর্গ সে.মি. হলে, কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?

ক
15 সে.মি. ও 20 সে.মি.
খ
24 সে.মি. ও 32 সে.মি.
গ
16 সে.মি. ও 30 সে.মি.
ঘ
12 সে.মি. ও 24 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 3 : 4 এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল 384 বর্গ সে.মি. হলে, কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 3a এবং 4a

প্রশ্নমতে,
(1/2) × 3a × 4a = 384
⇒ 12a²/2 = 384
⇒ 6a² = 384
⇒ a² = 64
∴ a = 8

∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হবে যথাক্রমে = (3 × 8) = 24 সে.মি. এবং (4 × 8) = 32 সে.মি.

৮,৯৭৫.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/3, x/3 এবং 4x/3 হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের মান কত ডিগ্রি?

ক
30°
খ
60°
গ
90°
ঘ
120°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/3, x/3 এবং 4x/3 হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের মান কত ডিগ্রি?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
বা, x/3 + x/3 + 4x/3 = 180°
বা, (x + x + 4x)/3 = 180°
বা, 6x/3 = 180°
বা, 2x = 180°
∴ x = 90°

∴ বৃহত্তম কোণটি হবে = 4x/3
= {(4 × 90)/3}°
= 120° ।

৮,৯৭৬.

নিচের কোনটি সত্য নয়?

ক
ক) sin²θ + cos²θ = 1
খ
খ) sec²θ - tan²θ = 1
গ
গ) sec²θ + tan²θ = 1
ঘ
ঘ) cosec²θ - cot²θ = 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সত্য নয়?

sin²θ + cos²θ = 1
sec²θ - tan²θ = 1
sec²θ + tan²θ = 1
cosec²θ - cot²θ = 1

সঠিক উত্তর: sec²θ + tan²θ = 1

সমাধান:

৮,৯৭৭.

একটি কোণকের উচ্চতা ৮ সে.মি. এবং আয়তন ৯৬π ঘন সে.মি. হলে হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?

ক
৭ সে.মি.
খ
৮ সে.মি.
গ
১০ সে.মি.
ঘ
১২ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণকের উচ্চতা ৮ সে.মি. এবং আয়তন ৯৬π ঘন সে.মি. হলে হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
h = 8 cm
v = 96 cm3
ধরি,
ব্যাসার্ধ = r
v = (1/3)πr²h
r² = 3v/πh
r² = (3 × 96π)/π8
r = 6

হেলনো তলের দৈর্ঘ্য = √{(8)² + (6)²}
= 10 cm

৮,৯৭৮.

একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। আয়তকার ঘরের ক্ষেত্রফল ৫১২ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

ক
৯২ মিটার
খ
৯৬ মিটার
গ
৯৪ মিটার
ঘ
৯৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। আয়তকার ঘরের ক্ষেত্রফল ৫১২ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার = ক মিটার
∴ আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার
∴ আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = (২ক × ক) বর্গমিটার
= ২ক^২ বর্গমিটার

শর্তমতে,
২ক^২ = ৫১২
বা, ক^২ = ২৫৬
∴ ক = ১৬
অর্থাৎ, আয়তাকার ঘরের বিস্তার = ১৬ মিটার
∴ আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = ৩২ মিটার

∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২ (৩২ + ১৬) মিটার
= ২ × ৪৮ মিটার
= ৯৬ মিটার ।

৮,৯৭৯.

θ = 30° হলে, (2sinθ/tanθ) এর মান কত?

ক
2
খ
1/√2
গ
√3
ঘ
√3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: θ = 30° হলে, (2sinθ/tanθ) এর মান কত?

সমাধান:
2sinθ/tanθ
= 2sinθ/(sinθ/cosθ)
= 2sinθ × (cosθ/sinθ)
= 2cosθ
= 2cos30°
= 2 × (√3/2)
= √3

৮,৯৮০.

বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক
ক) ৪
খ
খ) ৮
গ
গ) ১২
ঘ
ঘ) ১৬

ব্যাখ্যা

বৃত্তের ক্ষেত্রফল এর ব্যাস বা ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতে বৃদ্ধি পাবে।
সুতরাং বৃত্তের ব্যাস ৪ গুণ বৃদ্ধি করলে এর ক্ষেত্রফল ১৬ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

৮,৯৮১.

একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ১৭০° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?

ক
৩৬টি
খ
৩২টি
গ
৫২টি
ঘ
৩৪টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ১৭০° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ = ১৭০°
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = (১৮০° - ১৭০°) = ১০°

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°
∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/১০°
= ৩৬ টি

৮,৯৮২.

কোনো বৃত্তের যে কোনো একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ 30° হলে ঐ বৃত্তচাপের বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান কত?

ক
15°
খ
45°
গ
60°
ঘ
75°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের যে কোনো একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ 30° হলে ঐ বৃত্তচাপের বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

∴ বৃত্তস্থ কোণ = 30°/2 = 15°

আবার,
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ, দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = 30°

∴ 15 ডিগ্রি কোণের পূরক কোণ = 90° - 15° = 75°

৮,৯৮৩.

বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত কত?

ক
ক) ৩
খ
খ) ২২ : ৭
গ
গ) ২৫ : ৯
ঘ
ঘ) প্রায় ৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত কত?

সমাধান:
বৃত্তের পরিধি ২πr এবং ব্যাস ২r

∴ বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত = পরিধি : ব্যাস
= ২πr : ২r
= ২πr/২r
= π/১
= (২২/৭)/১
= ২২/৭
= ২২ : ৭

৮,৯৮৪.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু 36 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির অন্তব্যাসার্ধ কত?

ক
2√3
খ
√3
গ
6√3
ঘ
4√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু 36 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির অন্তব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = 36 সে.মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের অন্তব্যাসার্ধ = বাহু/2√3
= 36/2√3
= 18/√3
= (6 × √3 × √3)/√3
= 6√3

৮,৯৮৫.

3 cm, 4 cm এবং 5 cm ব্যসার্ধ বিশিষ্ট ৩টি গোলক গলিয়ে একটি গোলক তৈরি করা হলে গোলকের ব্যসার্ধ কত?

ক
3 সে.মি.
খ
6 সে.মি.
গ
9 সে.মি.
ঘ
10 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 cm, 4 cm এবং 5 cm ব্যসার্ধ বিশিষ্ট ৩টি গোলক গলিয়ে একটি গোলক তৈরি করা হলে গোলকের ব্যসার্ধ কত?

সমাধান:
3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তিনটির আয়তন যথাক্রমে, {(4/3)π3³}, {(4/3)π4³}, {(4/3)π5³}।
সুতরাং নতুন গোলকটির আয়তন ={(4/3)π3³} + {(4/3)π4³} + {(4/3)π5³}
= (4/3) π (3³ + 4³ + 5³)
= (4/3) π × 216
= (4/3)π × 6³

নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধ = 6 সে.মি.

৮,৯৮৬.

যদি sin θ = 0.5 হয়, তবে θ এর মান কত? (0° ≤ θ ≤ 90°)

ক
60°
খ
90°
গ
30°
ঘ
45°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি sin θ = 0.5 হয়, তবে θ এর মান কত? (0° ≤ θ ≤ 90°)

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিকোণমিতির মান অনুসারে-
sin 0° = 0
sin 30° = 1/2
sin 90° = 1
sin 180° = 0

অতএব, sin θ = 0.5 হয় কেবল যখন θ এর মান = 30° হয়।

৮,৯৮৭.

sinθ = 4/5 হলে, ‍cotθ এর মান নিচের কোনটি?

ক
ক) 3/5
খ
খ) 4/3
গ
গ) 3/4
ঘ
ঘ) 4/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sinθ = 4/5 হলে, ‍cotθ এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
sinθ = 4/5
⇒ (sinθ)² = (4/5)²
⇒ sin²θ = 16/25
⇒ 1 - cos²θ = 16/25
⇒ 1 - (16/25) = cos²θ
⇒ (25 - 16)/25 = cos²θ
⇒ 9/25 = cos²θ
⇒ (3/5)² = cos²θ
∴ cosθ = 3/5

আমরা জানি,
cotθ = cosθ/sinθ
= (3/5)/(4/5)
= (3/5) × (5/4)
= 3/4

৮,৯৮৮.

একটি তালগাছ এর পাদবিন্দু হতে 10 মিটার দূরবর্তী স্থানে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ 60° হলে, গাছটির উচ্চতা কত?

ক
5√3 মিটার
খ
15 মিটার
গ
10√3 মিটার
ঘ
12√6 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি তালগাছ এর পাদবিন্দু হতে 10 মিটার দূরবর্তী স্থানে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ 60° হলে, গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

গাছটির উচ্চতা AB

ΔABC এ
tan60° = AB/BC
⇒ √3 = AB/10
⇒ AB = 10√3
∴ AB = 10√3 মিটার

৮,৯৮৯.

২৮০° কোণটি হলো -

ক
সূক্ষ্মকোণ
খ
স্থূলকোণ
গ
প্রবৃদ্ব কোণ
ঘ
সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৮০° কোণটি হলো -

সমাধান:
৯০° অপেক্ষা অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ব কোণ বলে।
একটি সরলরেখার উপর আরেকটি সরলরেখা লম্বভাবে দন্ডায়মান হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এবং তাদের মান সমান হলে (৯০°) তাদের প্রত্যেককেটিকে সমকোণ বলে।

∴ ২৮০° কোণটি হলো প্রবৃদ্ব কোণ।

৮,৯৯০.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু যথাক্রমে 6 সে.মি., 8 সে.মি. এবং 10 সে.মি.। 8 সে.মি. বাহুটিকে উচ্চতা ধরে 6 সে.মি. বাহুটিকে ঘুরিয়ে একটি কোণক তৈরি করা হলে, কোণকের আয়তন কত হবে?

ক
48π cm³
খ
74π cm³
গ
82π cm³
ঘ
96π cm³

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু যথাক্রমে 6 সে.মি., 8 সে.মি. এবং 10 সে.মি.। 8 সে.মি. বাহুটিকে উচ্চতা ধরে 6 সে.মি. বাহুটিকে ঘুরিয়ে একটি কোণক তৈরি করা হলে, কোণকের আয়তন কত হবে?

সমাধান:

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন = (1/3) × πr²h
= (1/3) × π × 6²× 8
= 96π cm³

৮,৯৯১.

একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ৬০ সে.মি. বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৩ : ৫ : ৭ হলে ত্রিভুজের সবচেয়ে ছোটবাহুর পরিমাণ কত?

ক
ক) ২৮ সে. মি.
খ
খ) ১৭ সে. মি.
গ
গ) ১৫ সে. মি.
ঘ
ঘ) ১২ সে. মি.

ব্যাখ্যা

ধরি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩x সে.মি.; ৫x সে.মি. এবং ৭x সে.মি.

শর্তমতে,
৩x + ৫x + ৭x = ৬০
বা, ১৫x = ৬০
∴ x = ৪
∴ বাহুগুলো যথাক্রমে ১২ সে. মি.; ২০ সে. মি. ও ২৮ সে. মি.

৮,৯৯২.

কয়টি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি এবং কেবল একটি সরলরেখা আঁকা যাবে?

ক
একটি
খ
দুইটি
গ
অসংখ্য
ঘ
একটিও না

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কয়টি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি এবং কেবল একটি সরলরেখা আঁকা যাবে?

সমাধান:
- দুইটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি এবং কেবল একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
- যেসব বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থান করে, তাদেরকে সমরেখ বিন্দু বলা হয়।
- একটি রেখাংশের দৈর্ঘ্যই তার প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব।
- প্রান্তবিন্দুদ্বয় ছাড়া রেখাংশের যেকোনো বিন্দুকে ঐ রেখাংশের অন্তঃস্থ বিন্দু বলা হয়।

৮,৯৯৩.

একটি পঞ্চভুজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত ডিগ্রি?

ক
340°
খ
440°
গ
540°
ঘ
560°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে,

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°

∴ পঞ্চভূজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (5 - 2) × 180°
= 540°

৮,৯৯৪.

কোন সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সে. মি. ও ৯ সে. মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ৩০ ডিগ্রি হলে সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল নিচের কোনটি হবে?

ক
ক) ৭০ বর্গ সেমি
খ
খ) ৬৫ বর্গ সেমি
গ
গ) ৫৪ বর্গ সেমি
ঘ
ঘ) ৬০ বর্গ সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : কোন সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সে. মি. ও ৯ সে. মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ৩০ ডিগ্রি হলে সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল নিচের কোনটি হবে?
সমাধান :
দেয়া আছে,
সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = ১০ সে. মি. ও b = ৮ সে. মি
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = ৩০

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = a × b × sinθ
= ১২ × ৯ × sin৩০°
=১২ × ৯ × (১/২)
= ৫৪ বর্গ সেমি

৮,৯৯৫.

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১২৬ বর্গ মি. এবং ভূমি ১৮ মি. হলে উচ্চতা কত?

ক
১২ মি.
খ
১৬ মি.
গ
২২ মি.
ঘ
১৪ মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১২৬ বর্গ মি. এবং ভূমি ১৮ মি. হলে উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = ১২৬ বর্গ মি.
ভূমি = ১৮ মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
১২৬ = (১/২) × ১৮ × উচ্চতা
১২৬ = ৯ × উচ্চতা
উচ্চতা = ১২৬/৯ = ১৪ মি

সুতরাং, উচ্চতা ১৪ মি.

৮,৯৯৬.

একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 মিটার হলে, ঘনকটির সম্পূর্ণ পৃষ্টের ক্ষেত্রফল কত?

ক
24 বর্গমিটার
খ
48 বর্গমিটার
গ
86 বর্গমিটার
ঘ
96 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 মিটার হলে, ঘনকটির সম্পূর্ণ পৃষ্টের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 4√3 মিটার।

আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3a

প্রশ্নমতে,
√3a = 4√3
∴ a = 4

∴ ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্টের ক্ষেত্রফল = 6a²
= 6 × (4)²
= 6 × 16
= 96 বর্গমিটার

৮,৯৯৭.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ √12 সে.মি. ও লম্ব √3 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ভূমি কত?

ক
1 সে.মি.
খ
3 সে.মি.
গ
9 সে.মি.
ঘ
√6 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ √12 সে.মি. ও লম্ব √3 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ভূমি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ √12 সে.মি. ও লম্ব √3 সে.মি.

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
(অতিভুজ)² = (ভূমি)² + (লম্ব)²
⇒ (ভূমি)² = (√12)² - (√3)²
⇒ (ভূমি)² = 12 - 3
⇒ (ভূমি)² = 9
⇒ (ভূমি)² = 3²
∴ ভূমি = 3

৮,৯৯৮.

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ক) প্রতিটি কোণ সমান
খ
খ) সুঠাম ত্রিভুজ
গ
গ) ক ও খ
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

যে ত্রিভুজের প্রতিটি বাহু এবং কোণ সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে। আবার যে ত্রিভুজের কোনো কোণই ৩০° এর কম নয় এবং ১২০° এর বেশি নয়, তাকে সুঠাম ত্রিভুজ বলে। এখানে সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০°।

৮,৯৯৯.

কোন ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক?

ক
সমবাহু ত্রিভুজের
খ
সমকোণী ত্রিভুজের
গ
সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজ : যে ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তিনটি কোণ সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে।
সাধারণ বৈশিষ্ট :
১. সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহু সমান দৈর্ঘ্যযুক্ত হয়।
২. সব কোণই সমান, প্রতিটি কোণ ৬০° হয়।

সমকোণী ত্রিভুজ : যে ত্রিভুজেরি একটি কোণ সমকোণ বা ( ৯০° ) এর সমান, তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে।
সাধারণ বৈশিষ্ট :
১. সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০° হয়, বাকি দুটি কোণের যোগফল হয় ৯০° বা ( পরস্পর পূরক )।
২. দুইটি বাহু একে অপরের লম্ব থাকে, এবং তাদের সংযুক্ত রেখাটি হাইপোটেনিউজ গঠন করে, যা ত্রিভুজের দীর্ঘতম বাহু হয়।
যেমন: ৩, ৪, ৫ একটি ক্লাসিকাল সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে ৫ হাইপোটেনিউজ।

সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ : একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণই ৯০° থেকে ছোট হলে, তাকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলা হয়।
সাধারণ বৈশিষ্ট :
১. একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ০° থেকে ৯০° এর মধ্যে থাকে।
২. এই ত্রিভুজের বাহুগুলির কোনো একটি বাহু কখনও দীর্ঘ হতে পারে, কিন্তু সব কোণই ছোটো থাকে।

বিষমবাহু ত্রিভুজ : যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ভিন্ন এবং তিনটি কোণও ভিন্ন তাকে বিষমবাহু ত্রিভুজ বলে।
সাধারণ বৈশিষ্ট :
১. তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য অসমান হয়।
২. তিনটি কোণের মান ভিন্ন হয় (কোনো কোণ একে অপরের সমান হয় না)।

৯,০০০.

3cm, 4cm এবং 5cm ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট তিনটি গোলক গলিয়ে একটি গোলক তৈরি করা হলে গোলকের ব্যাসার্ধ কত?

ক
12 সে.মি.
খ
6 সে.মি.
গ
4 সে.মি.
ঘ
8 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3cm, 4cm এবং 5cm ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট তিনটি গোলক গলিয়ে একটি গোলক তৈরি করা হলে গোলকের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (4/3)πr³
3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তিনটির আয়তন যথাক্রমে,
{(4/3)π × 3³}, {(4/3)π × 4³} {(4/3)π × 5³}

সুতরাং নতুন গোলকটির আয়তন ={(4/3)π × 3³} + {(4/3)π × 4³} + {(4/3)π × 5³}
= (4/3)π × (3³+ 4³ + 5³)
= (4/3)π × (27 + 64 + 125)
= (4/3)π × 216
= (4/3)π × 6³

∴ নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধ = 6 সে.মি.