লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

জ্যামিতি

মোট প্রশ্ন১০,৭৫২এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

জ্যামিতি

PrepBank · পাতা ৮৩ / ১০৭ · ৮,২০১–৮,৩০০ / ১০,৭৫২

৮,২০১.
১২ সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখা দিয়ে একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করা হলে, উক্ত ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    ৪ সে.মি.
  2. খ
    √৩ সে.মি.
  3. গ
    ২√৩ সে.মি.
  4. ঘ
    ৩√৩ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১২ সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখা দিয়ে একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করা হলে, উক্ত ত্রিভুজটির উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
ধরি,
উক্ত ত্রিভুজের উচ্চতা = h

ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য = ১২/৩ = ৪ সে.মি. 

প্রশ্নমতে, 
(১/২) × ৪ × h = (√৩/৪) × ৪২ 
⇒ ২h = ৪√৩ 
⇒ h = (৪√৩)/২
∴ h = ২√৩

∴ ত্রিভুজের উচ্চতা = ২√৩ সে.মি. ।
৮,২০২.
কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিম্নের কোনটি হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে?
  1. ক
    ক) ৭ : ৫ : ৪
  2. খ
    খ) ৩ : ৪ : ৬
  3. গ
    গ) ১৩ : ১২ : ৫
  4. ঘ
    ঘ) ৬ : ৪ : ১৩
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।
∴ ১৩২ = ১২২ + ৫২
সুতরাং, ১৩ : ১২ : ৫ বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে।
৮,২০৩.
বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
  1. ক
    ক) ৪
  2. খ
    খ) ৯
  3. গ
    গ) ১২
  4. ঘ
    ঘ) ৬
ব্যাখ্যা

বৃত্তের ব্যাস= 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r
∴ ব্যাসার্ধ = 3r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)² = 9πr²
∴ ৯ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

৮,২০৪.
একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৬ মিটার এবং প্রস্থ ৩ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ৪৫ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?
  1. ক
    ৭৬০ টাকা
  2. খ
    ৭৯০ টাকা
  3. গ
    ৮১০ টাকা
  4. ঘ
    ৮৫০ টাকা
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৬ মিটার এবং প্রস্থ ৩ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ৪৫ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ৬ মিটার
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ৩ মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
= ২ × (৬ + ৩) মিটার
= ২ × ৯ মিটার
= ১৮ মিটার

১ মিটারে খরচ হয় = ৪৫ টাকা
∴ ১৮ মিটারে খরচ হয় = (৪৫ × ১৮) টাকা
= ৮১০ টাকা। 

৮,২০৫.
দুইটি সমান্তরাল রেখা কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?
  1. ক
    একটি
  2. খ
    দুইটি
  3. গ
    তিনটি
  4. ঘ
    কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সমান্তরাল রেখা কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
দুটি সরল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব যখন সর্বদা একই থাকে তখন একটিকে অপরটির সমান্তরাল রেখা বলা হয়।
দুটি সমান্তরাল রেখা কখনও পরস্পর ছেদ করে না।
৮,২০৬.
একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 একক হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
  1. ক
    ক) 24 বর্গ একক
  2. খ
    খ) ৪ বর্গ একক
  3. গ
    গ) 16 বর্গ একক
  4. ঘ
    ঘ) 32 বর্গ একক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 একক হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক? 

সমাধান:
মনেকরি  
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক 
 কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2ক একক

শর্তমতে,
√2ক = 4√2
বা, ক = 4√2/√2
 ক = 4

বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ক2
= 42
= 16 বর্গমিটার
৮,২০৭.
নিচে ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি আঁকা সম্ভব নয়?
  1. ক
    ৩ সে.মি, ৪ সে.মি, ৫ সে.মি
  2. খ
    ২ সে.মি, ৫ সে.মি, ৮ সে.মি
  3. গ
    ৬ সে.মি, ৭ সে.মি, ১০ সে.মি
  4. ঘ
    ৫ সে.মি, ৫ সে.মি, ৭ সে.মি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচে ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
ত্রিভুজের কোনো দুটি বাহুর যোগফল সর্বদা তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে।
যদি দুটি বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর সমান বা কম হয়, তাহলে ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়।

খ) ২ + ৫ = ৭, যা তৃতীয় বাহুর চেয়ে ছোট; তাই ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।

৮,২০৮.
চিত্রে ∠PQR = 55°, ∠LRN = 90° এবং PQ || MR, PQ = PR হলে, ∠NRP এর মান নীচের কোনটি?
  1. ক
    ক) 90°
  2. খ
    খ) 55°
  3. গ
    গ) 45°
  4. ঘ
    ঘ) 35°
ব্যাখ্যা

প্রদত্ত চিত্রে PQ = PR সুতরাং PQR সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∠PQR = ∠PRQ = 55°
∠LRN = 90° হলে ∠NRQ = 90°
সুতরাং ∠NRP = ∠NRQ - ∠PRQ = 90° - 55° = 35°

৮,২০৯.
sinA = 3/5 হলে, secA এর মান কত?
  1. ক
    4/5
  2. খ
    4/9
  3. গ
    5/4
  4. ঘ
    3/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sinA = 3/5 হলে, secA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinA = 3/5
⇒ sin2A = (3/5)2
⇒ sin2A = 9/25
⇒ 1 - cos2A = 9/25
⇒ 1 - (9/25) = cos2A
⇒ 16/25 = cos2A
⇒ cosA = 4/5
⇒ 1/cosA = 5/4
∴ secA = 5/4
৮,২১০.
৬ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল-
  1. ক
    ক) ২১√৩ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    খ) ২৩√২ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    গ) ২৫√৩ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ২৭√৩ বর্গ সে.মি,
ব্যাখ্যা

ধরি,
ΔABC এর বাহুর দৈর্ঘ্য AB = BC = AC = a
এবং দেওয়া আছে, ত্রিভুজের পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ, R = ৬ সেঃমিঃ
∴ ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে, a/SinA = 2R
বা, a = 2RSinA
∴ a = ২.৬(Sin৬০°)
= ১২ × (√(৩)/২)
= ৬√৩
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = {√(৩)/৪}a2
= {√(৩)/৪}(৬√৩)2
= {√(৩)/৪} × ১০৮
= ২৭√৩

৮,২১১.
৩.৫ মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি চাকা ২৬৪০ মিটার যেতে কতবার ঘুরবে?
  1. ক
    ১২০ বার
  2. খ
    ৯০ বার
  3. গ
    ১৬০ বার
  4. ঘ
    ৮০ বার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩.৫ মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি চাকা ২৬৪০ মিটার যেতে কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
চাকার পরিধি, 2πr = 2 × (22/7) × 3.5
= 22 m.

মোট ঘুরবে = 2640/22 = 120 বার
৮,২১২.
কোনটি প্রবৃদ্ধ কোণ হতে পারে না?
  1. ক
    ক) ১৭৫°
  2. খ
    খ) ১৮৫°
  3. গ
    গ) ২৮৫°
  4. ঘ
    ঘ) ১৯৫°
ব্যাখ্যা
প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle )
দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়। চিত্রে চিহ্নিত ∠AOC প্রবৃদ্ধ কোণ 
 
৮,২১৩.
একটি সরল রেখার উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার এক-সপ্তাংশের উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?
  1. ক
    7
  2. খ
    14
  3. গ
    21
  4. ঘ
    49
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সরল রেখার উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার এক-সপ্তাংশের উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

সমাধান:
ধরি,
সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য = x
সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ = x²
সরলরেখার এক চতুর্থাংশের উপর অঙ্কিত বর্গ = (x/7)2
= x2/49

∴ একটি সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার এক চতুর্থাংশের উপর অঙ্কিত বর্গের 49 গুণ।
৮,২১৪.
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠BAC = 42° হলে, ∠BOC কোণের মান কত?
  1. ক
    84°
  2. খ
    86°
  3. গ
    96°
  4. ঘ
    120°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠BAC = 42° হলে, ∠BOC কোণের মান কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
এখানে, ∠BOC হলো কেন্দ্রস্থ কোণ।

∴ ∠BAC = (1/2) × ∠BOC
⇒ 42° = (1/2) × ∠BOC
∴ ∠BOC = 84°
৮,২১৫.
একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 মি. এবং প্রস্থ 5 মিটার হলে, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
  1. ক
    92 বর্গমিটার
  2. খ
    80 বর্গমিটার
  3. গ
    72 বর্গমিটার
  4. ঘ
    60 বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 মি. এবং প্রস্থ 5 মিটার হলে, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:

চিত্র অনুসারে,
আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য BD = 13 মি.
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থের দৈর্ঘ্য AD = 5 মি.

ΔABD এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
AB2 = BD2 - AD2
⇒ AB2 = 132 - 52
⇒ AB2 =169 - 25
⇒ AB = √144
∴ AB = 12

ABCD আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল  = (AD × AB) বর্গমিটার 
= (5 × 12) বর্গমিটার 
= 60 বর্গমিটার
৮,২১৬.
একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১৪৪৪ বর্গ মি. এবং এর চারদিকে বেড়া দেয়া আছে। প্রতি মিটার বেড়া ‍দিতে ১২ টাকা খরচ হলে সম্পূর্ণ বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা খরচ হয়েছে?
  1. ক
    ১৮১০ টাকা
  2. খ
    ১৮২৪ টাকা
  3. গ
    ১৮৪৪ টাকা
  4. ঘ
    ১৮৫৬ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১৪৪৪ বর্গ মি. এবং এর চারদিকে বেড়া দেয়া আছে। প্রতি মিটার বেড়া ‍দিতে ১২ টাকা খরচ হলে সম্পূর্ণ বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা খরচ হয়েছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ১৪৪৪ বর্গ .মি.
বর্গাকার বাগানের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √১৪৪৪ মি.
= ৩৮ মি.

∴ বর্গাকার বাগানের পরিসীমা = (৩৮ × ৪) মি.
= ১৫২ মি.

১ মিটার বেড়া ‍দিতে খরচ হয় = ১২ টাকা
১৫২ মিটার বেড়া ‍দিতে খরচ হয় = (১৫২× ১২) টাকা
= ১৮২৪ টাকা
৮,২১৭.
রেখাংশের প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা কয়টি? 
  1. ক
    একটি 
  2. খ
    দুইটি 
  3. গ
    অসীম 
  4. ঘ
    প্রান্তবিন্দু নেই 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রেখাংশের প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা কয়টি? 

সমাধান: 
রেখাংশ: 
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে। 
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। 
- আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত। 
অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ, তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে। 

অন্যদিকে, 
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই। 
- রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে। 
৮,২১৮.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ১৩ সে. মি. এবং ১২ সে. মি. হলে, রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) ৫০ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    খ) ১৫৬ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    গ) ১০৪ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ৭৮ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ১৩ সে. মি. এবং ১২ সে. মি. হলে, রম্বসের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
 আমরা জানি
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২)(কর্ণদ্বয়ের গুণফল)
                            = (১/২)(১৩ × ১২) বর্গ সে.মি. 
                            = ৭৮ বর্গ সে.মি.
৮,২১৯.
3x + y - 5 = 0 এবং x - 3y + 7 = 0 রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল কত?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    - 1
  3. গ
    1/3
  4. ঘ
    - 1/4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + y - 5 = 0 এবং x - 3y + 7 = 0 রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 3x + y - 5 = 0 এবং x - 3y + 7 = 0
আমরা জানি,
সরল রেখার সাধারণ সমীকরণ y = mx + c (যেখানে m = ঢাল)

এখন, প্রথম রেখার ঢাল:
3x + y - 5 = 0
সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ y = - 3x + 5
সুতরাং, প্রথম রেখার ঢাল m1 = - 3

দ্বিতীয় রেখার ঢাল:
x - 3y + 7 = 0
সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ 3y = x + 7
⇒ y = (1/3)x + 7/3
সুতরাং, দ্বিতীয় রেখার ঢাল m2 = 1/3

∴ ঢালদ্বয়ের গুণফল = m1 × m2 = (- 3) × (1/3) = - 1

উল্লেখ্য: রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব, কারণ তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল - 1

৮,২২০.
কোনো সমতল সীমাবদ্ধ করতে কমপক্ষে কতটি সরলরেখা প্রয়োজন?
  1. ক
    একটি
  2. খ
    দুইটি
  3. গ
    তিনটি
  4. ঘ
    চারটি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সমতল সীমাবদ্ধ করতে কমপক্ষে কতটি সরলরেখা প্রয়োজন?

সমাধান:
কোনো সমতল সীমাবদ্ধ করতে কমপক্ষে তিনটি সরলরেখা (ত্রিভুজ) প্রয়োজন এবং একটি বক্ররেখা (বৃত্ত) প্রয়োজন।
৩টি সরলরেখা যদি পরস্পর ছেদ করে এবং একটি ত্রিভুজ তৈরি করে, তখন তারা একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র তৈরি করে।
৮,২২১.
২৪৩° কোণকে কী কোণ বলা হয়?
  1. ক
    ক) সূক্ষ্মকোণ
  2. খ
    খ) প্রবৃদ্ধ কোণ
  3. গ
    গ) স্থূলকোণ
  4. ঘ
    ঘ) পূরককোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২৪৩° কোণকে কী কোণ বলা হয়?

সমাধান:
প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle ): দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
২৫৩° হলো প্রবৃদ্ধ কোণ। 
৮,২২২.
sin30° + cos60° এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1/2
  3. গ
    √3/2
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sin30° + cos60° এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
sin30° = 1/2
cos60° = 1/2

প্রদত্ত রাশি, 
sin30° + cos60°
= (1/2) + (1/2) 
= (1 + 1)/2
= 2/2
= 1

৮,২২৩.
একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 150 বর্গ সে.মি. হলে উহার আয়তন কত?
  1. ক
    125 ঘন সে.মি.
  2. খ
    216 ঘন সে.মি.
  3. গ
    343 ঘন সে.মি.
  4. ঘ
    512 ঘন সে.মি.
ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a2 এবং আয়তন = a3
প্রশ্নানুসারে,
6a2 = 150
বা, a2 = 25
বা, a = 5
সুতরাং আয়তন = 53
= 125 ঘন সে.মি.

৮,২২৪.
সরল করুন: cot90° × tan0° × sec30° + cosec60°
  1. ক
    0
  2. খ
    2
  3. গ
    2/√3
  4. ঘ
    √2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সরল করুন: cot90° × tan0° × sec30° + cosec60°

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
cot90° × tan0° × sec30° + cosec60°
= 0 × 0 × (2/√3) + 2/√3  ; [cot90° = 0, tan0° = 0, sec30° = 2/√3 এবং cosec60° = 2/√3] 
= 0 + 2/√3
= 2/√3

৮,২২৫.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 16√3 বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত মিটার?
  1. ক
    24 মিটার
  2. খ
    32 মিটার
  3. গ
    36 মিটার
  4. ঘ
    48 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 16√3 বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত মিটার?
 
সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার 
তাহলে, ক্ষেত্রফল = (√3/4) a2 বর্গমিটার
 
প্রশ্নমতে,
(√3/4) a2 = 16√3
⇒ a2/4 = 16
⇒ a2 = 64
∴ a = 8
 
∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a
= 3 × 8
= 24 মিটার
৮,২২৬.
16 সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট একটি অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত? 
  1. ক
    64π বর্গ সে.মি.
  2. খ
    36π বর্গ সে.মি.
  3. গ
    32π বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    128π বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 16 সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট একটি অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
বৃত্তের ব্যাস = 16 সে.মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r  = 16/2 = 8 সে.মি.

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
= π × 82
= 64π

অর্ধ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 64π/2 = 32π বর্গ সে.মি.
৮,২২৭.
একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে 132 সেন্টিমিটার ও 1386 বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    21 সেন্টিমিটার
  2. খ
    22 সেন্টিমিটার
  3. গ
    42 সেন্টিমিটার
  4. ঘ
    66 সেন্টিমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে 132 সেন্টিমিটার ও 1386 বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বৃত্তের পরিধি, 2πr = 132 সেন্টিমিটার.......................(1)

ক্ষেত্রফল, πr2 = 1386 বর্গসেন্টিমিটার....................(2)

(2) নং সমীকরণকে (1) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
πr2/2πr = 1386/132
⇒ r = (1386 × 2)/132
⇒ r = 21

∴ বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা = বৃত্তের ব্যাস = 2r = 2 × 21 = 42 সেন্টিমিটার
৮,২২৮.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
  1. ক
    25 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    36√2 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    49 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    64√2 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ = 45°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য a = b = 12 সে.মি.
আমরা জানি,
 ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × absinθ
= (1/2) × 12 × 12 × sin 45°
= 72 × (1/√2)
= 72 × (√2/2)
= 36√2 বর্গ সে.মি.

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 36√2 বর্গ সে.মি.

৮,২২৯.
একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের ৭ গুণ হলে, কোণটির মান কত?
  1. ক
    ১৪০°
  2. খ
    ১৪৬.৫°
  3. গ
    ১৫০°
  4. ঘ
    ১৫৭.৫°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের ৭ গুণ হলে, কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি কোণ = ক
তাহলে, সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ক

শর্তমতে,
ক = ৭(১৮০° - ক)
বা, ক = ১২৬০° - ৭ক
বা, ক + ৭ক = ১২৬০°
বা, ৮ক = ১২৬০°
বা, ক = ১৫৭.৫°

৮,২৩০.
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের ৩/৫ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ২৫ সে.মি. এবং প্রস্থ, দৈর্ঘ্য অপেক্ষা ১০ সে.মি. কম। বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?
  1. ক
    ৬০ সে.মি.
  2. খ
    ৪৪ সে.মি.
  3. গ
    ৮০ সে.মি.
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের ৩/৫ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ২৫ সে.মি. এবং প্রস্থ, দৈর্ঘ্য অপেক্ষা ১০ সে.মি. কম। বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২৫ সে.মি.
প্রস্থ = (২৫ - ১০) সে.মি. = ১৫ সে.মি.
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (২৫ × ১৫) বর্গসে.মি. = ৩৭৫ বর্গসে.মি.

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৩/৫) × ৩৭৫ বর্গসে.মি.
= ২২৫ বর্গসে.মি.

বর্গক্ষেত্রের বাহু = √২২৫ সে.মি. = ১৫ সে.মি.

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = (৪ × ১৫) সে.মি. = ৬০ সে.মি.
৮,২৩১.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সে.মি. করে এবং ভূমি 6 সে.মি.। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে?
  1. ক
    24 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    6√55 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    3√55 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    48 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সে.মি. করে এবং ভূমি 6 সে.মি.। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 8 সে.মি.
ভূমির দৈর্ঘ্য b = 6 সে.মি. 

∴ ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a2 - b2)
= (6/4) × √{4 × (8)2 - (6)2}
= (3/2) × √(256 - 36)
= (3/2) × √220
= (3/2) × √(4 × 55)
= (3/2) × 2 × √55
= 3√55
৮,২৩২.
যদি A + B + C = 180° হয়, তবে sin⁡(A + B) এর মান কী হবে?
  1. ক
    sin⁡C
  2. খ
    cos⁡C
  3. গ
    1- sin⁡C
  4. ঘ
    sin⁡90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি A + B + C = 180° হয়, তবে sin⁡(A + B) এর মান কী হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A + B + C = 180°
∴ A + B = 180° - C

sin⁡(A + B) = sin(180° - C)
= sinC
৮,২৩৩.
A ও B দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 30 সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট C বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমান। যদি A বৃত্তের ব্যাস 18 সে.মি. হয় তবে B বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
  1. ক
    ক) 10 সে.মি. 
  2. খ
    খ) 8 সে.মি. 
  3. গ
    গ) 15 সে.মি. 
  4. ঘ
    ঘ) 12 সে.মি. 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A ও B দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 30 সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট C বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমান। যদি A বৃত্তের ব্যাস 18 সে.মি. হয় তবে B বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
B বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সে.মি. 
A বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 18/2 = 9 সে.মি.
C বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 30/2 =15 সে.মি.

প্রশ্নমতে 
π92 + πr2 = π152
81 + r2 = 225
r2 = 225 - 81
r2 = 144
r2 = 122
r = 12
৮,২৩৪.
একটি সুষম পঞ্চভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃকোণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    108°
  2. খ
    120°
  3. গ
    145°
  4. ঘ
    160°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম পঞ্চভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃকোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
সুষম ষড়ভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে,
অন্তঃকোণ = {(n - 2) × 180°}/n
= {(5 - 2) ×180°}/5
= (3 ×180°)/5
= 108°
৮,২৩৫.
একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের ৮ গুণ হলে, কোণটির মান কত?
  1. ক
    ১৭০°
  2. খ
    ১৫০°
  3. গ
    ১৪০°
  4. ঘ
    ১৬০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের ৮ গুণ হলে, কোণটির মান কত?

সমাধান: 
ধরি,
কোণটি = ক
সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ক

∴ ক = ৮(১৮০° - ক)
বা, ৯ক = ১৪৪০°
বা, ক = ১৪৪০°/৯
∴ ক = ১৬০°
৮,২৩৬.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু ৯০ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির অন্তব্যাসার্ধ কত?
  1. ক
    ১০√৩
  2. খ
    ১৫√৩
  3. গ
    ১৮√৩
  4. ঘ
    ১৮
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু ৯০ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির অন্তব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = ৯০ সে.মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের অন্তব্যাসার্ধ = বাহু/২√৩
= ৯০/২√৩
= ৪৫/√৩
= (১৫ × √৩ × √৩)/√৩
= ১৫√৩
৮,২৩৭.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১৬ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ মিটার?
  1. ক
    ক) ৩২√৩
  2. খ
    খ) ৬৪√৩
  3. গ
    গ) ৬৪
  4. ঘ
    ঘ) ৩২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১৬ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, ক্ষেত্রফল = (√3/4)a²
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = 16 মিটার।

সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (16)2
= (√3/4) × (16 × 16)
= 64√3 বর্গ মিটার
৮,২৩৮.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১২ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    36 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    48 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    56 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    72 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 12 সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ, b = 12 সে.মি.
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের 2টি সমান বাহু = ‍a

আমরা জানি,
a2 + a2 = (12)2
⇒ 2a2 = 144
⇒ a2 = 72
∴ a = √72

∴ ক্ষেত্রফল = (1/2) × √72 × √72
= (1/2) × 72
= 36 বর্গ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল = 36 বর্গ সে.মি.
৮,২৩৯.
একটি অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত? 
  1. ক
    ৯ সমকোণ
  2. খ
    ৮ সমকোণ
  3. গ
    ১০ সমকোণ
  4. ঘ
    ১২ সমকোণ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত? 

সমাধান:

 ধরি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = n
∴ কোণগুলোর সমষ্টি = (2n - 4) সমকোণ

 অষ্টভুজের জন্য, n = 8
∴ কোণগুলোর সমষ্টি = (2 × 8 - 4) সমকোণ
= (16 - 4) × 90°
= 12 × 90°
= 12 সমকোণ

অর্থাৎ, একটি অষ্টভুজের কোণের সমষ্টি ১২ সমকোণ 

৮,২৪০.
দুইটি ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 3 হলে, এদের আয়তনের অনুপাত কত?
  1. ক
    4 : 9
  2. খ
    8 : 18
  3. গ
    8 : 27
  4. ঘ
    1 : 27
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 3 হলে, এদের আয়তনের অনুপাত কত?

ধরি,
ঘনক দুটির বাহুর দৈঘ্যের অনুপাত যথাক্রমে = 2a, 3a
∴ ঘনকদুটির আয়তনের অনুপাত = (2a)3 : (3a)3
= 8a3 : 27a3
= 8 : 27
৮,২৪১.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৮ সে. মি. ও ৯ সে. মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের কর্ণ কত?
  1. ক
    ক) ৭√২ সে.মি.
  2. খ
    খ) ৮√২ সে.মি.
  3. গ
    গ) ৯√২ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ৬√২ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৮ সে. মি. ও ৯ সে. মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের কর্ণ কত?

সমাধান: 
রম্বসের ক্ষেত্রফল= ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ৯ = ৩৬বর্গ সে.মি.
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.
∴ ক২ = ৩৬ বর্গ সে.মি.
∴ ক = ৬ সে.মি.

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ক√২ = ৬√২ সে.মি.
৮,২৪২.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ মিটার কম। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ৪৮ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
  1. ক
    ১২০ বর্গমিটার
  2. খ
    ১৩২ বর্গমিটার
  3. গ
    ১৪০ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ১৬০ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ মিটার কম। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ৪৮ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = (২ক - ৬) মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

প্রশ্নমতে,
২{(২ক - ৬) + ক} = ৪৮
বা, ২(৩ক - ৬) = ৪৮
বা, ৬ক - ১২ = ৪৮
বা, ৬ক = ৪৮ + ১২
বা, ৬ক = ৬০
বা, ক = ৬০/৬
∴ ক = ১০

∴ প্রস্থ = ১০ মিটার
দৈর্ঘ্য = ২(১০) - ৬ = ২০ - ৬ = ১৪ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ১৪ × ১০
∴ ক্ষেত্রফল = ১৪০ বর্গমিটার

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল হলো ১৪০ বর্গমিটার।

৮,২৪৩.
৭৮০ কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রী?
  1. ক
    ক) ১২
  2. খ
    খ) ৭৮
  3. গ
    গ) ২৮২
  4. ঘ
    ঘ) ১০২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭৮° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রী?

সমাধান: 
যদি দুইটি কোণের মান ১৮০ ডিগ্রী হয়, তবে কোণদ্বয় পরস্পরের সম্পূরক কোণ হয়।
৭৮° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৭৮°  = ১০২°
৮,২৪৪.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 40° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    π বর্গসে.মি.
  2. খ
    3π বর্গসে.মি.
  3. গ
    6π বর্গসে.মি.
  4. ঘ
    8π বর্গসে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 40° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 3 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 40°

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr2θ)/360°
= (π × 32 × 40°)/360°
= (π × 9 × 40°)/360°
= π

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = π বর্গসে.মি.
৮,২৪৫.
If xsin45°=ycosec30°, the value of X4/Y4 is ?
  1. ক
    ক) 4³
  2. খ
    খ) 5³
  3. গ
    গ) 6³
  4. ঘ
    ঘ) 8³
ব্যাখ্যা

xsin45º=ycosec30º
⇒x.(1/√2) = y.2
⇒ x/y = 2√2
⇒(x/y)4 = (2√2)4
∴(x/y)4 = 64 = 4³

৮,২৪৬.
কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য ৩০ সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
  1. ক
    ১২ সেমি
  2. খ
    ৭ সেমি
  3. গ
    ১৪ সেমি 
  4. ঘ
    ২৪ সেমি 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য ৩০ সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
তাহলে, বৃত্তের ব্যাস = ২r
এবং বৃত্তের পরিধি = ২πr

প্রশ্নমতে,
২πr - ২r = ৩০
⇒ ২r(π - 1) = ৩০
⇒ ২r{(২২/৭) - 1} = ৩০
⇒ ২r{(২২ - ৭)/৭} = ৩০
⇒ ২r(১৫/৭) = ৩০
⇒ r = (৩০ × ৭)/(২ × ১৫)
⇒ r = ২১০/৩০
∴ r = ৭

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সেমি।

৮,২৪৭.
একটি আয়তাকার ঘন বস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 15 মিটার, 12 মিটার ও 4 মিটার। এর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    456 বর্গ মিটার
  2. খ
    576 বর্গ মিটার
  3. গ
    652 বর্গ মিটার
  4. ঘ
    694 বর্গ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘন বস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 15 মিটার, 12 মিটার ও 4 মিটার। এর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, দৈর্ঘ্য a = 15 মিটার, প্রস্থ b = 12 মিটার এবং উচ্চতা c = 4 মিটার
∴ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2 (ab + bc + ca) বর্গ একক
= 2 (15 × 12 + 12 × 4 + 4 × 15) বর্গ মিটার
= 2 (180 + 48 + 60) বর্গ মিটার
= 2 × 288 বর্গ মিটার
= 576 বর্গ মিটার
৮,২৪৮.
একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৭ মিটার এবং ১৬ মিটার হলে, নিচের কোনটি ত্রিভুজটির বাহু হতে পারে না?
  1. ক
    ২২
  2. খ
    ১৭
  3. গ
    ১২
  4. ঘ
    ৯
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৭ মিটার এবং ১৬ মিটার হলে, নিচের কোনটি ত্রিভুজটির বাহু হতে পারে না?

সমাধান:
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর। 

প্রদত্ত বাহু ৭ এর  সাথে ২২ যোগ করলে হয় ২২ + ৭ = ২৯ যা ১৬ অপেক্ষা বড় । তাই ২২ মিটার দৈর্ঘ্যের বাহুটি ত্রিভুজটির বাহু হতে পারে। 
৭ + ১৭ = ২৪ , যা ১৬ অপেক্ষা বড়, তাই ১৭ মিটার দৈর্ঘ্যের বাহুটি ত্রিভুজটির বাহু হতে পারে। 
৭ + ১২ = ১৯ , যা ১৬ অপেক্ষা বড়, তাই ১২ মিটার দৈর্ঘ্যের বাহুটি ত্রিভুজটির বাহু হতে পারে। 
৭ + ৯ = ১৬ , যা ১৬ এর সমান, তাই ৯ মিটার দৈর্ঘ্যের বাহুটি ত্রিভুজটির বাহু হতে পারে না।
৮,২৪৯.
একটি সরলরেখার উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার ৫০ শতাংশের উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?
  1. ক
    ২ গুণ
  2. খ
    ৪ গুণ
  3. গ
    ৮ গুণ
  4. ঘ
    ১৬ গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার ৫০ শতাংশের উপর অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

সমাধান:
ধরি,
সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য = ক
সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ = ক২
সরলরেখাটির ৫০ শতাংশ = ৫০ক/১০০ = ক/২
সরলরেখাটির ৫০ শতাংশের উপর অঙ্কিত বর্গ = (ক/২)২
= ক২/৪

∴ একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের = ক২ ÷ (ক২/৪)
= ক২ × (৪/ক২)
= ৪ গুণ
৮,২৫০.
tan A = 1 হলে, cos A এর মান কত?
  1. ক
    1/√2
  2. খ
    1/√3
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    1/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tan A = 1 হলে, cosA এর মান কত?

সমাধান:
 tan A = 1
tanA = tan45°
A = 45°

cosA = cos45°
cosA = 1/√2
৮,২৫১.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দু'টির দৈর্ঘ্য ৯ সে. মি. এবং ১১ সে. মি. এবং ক্ষেত্রফল ৭০ বর্গ সে. মি. হলে বাহু দু'টির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
  1. ক
    ৫ সে. মি.
  2. খ
    ৬ সে. মি.
  3. গ
    ৭ সে. মি.
  4. ঘ
    ৮ সে. মি.
ব্যাখ্যা

মধ্যবর্তী দূরত্ব h হলে,
৭০ = ১/২ × h × (৯+১১)
বা, ৭০ = h/২ × ২০
∴ h = ৭

৮,২৫২.
একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৩, ১৪ ও ১৫ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) ৭৫ ব. মি.
  2. খ
    খ) ৮৪ ব. মি.
  3. গ
    গ) ৯২ ব. মি.
  4. ঘ
    ঘ) ১০৮ ব. মি.
ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের অর্ধ-পরিসীমা (s) = (১৩ + ১৪ + ১৫)/২ = ২১ মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = √{২১(২১ - ১৩)(২১ - ১৪)(২১ - ১৫)} = ৮৪ বর্গমিটার।

৮,২৫৩.
একটি ঘনকের আয়তন ২৭ ঘনমিটার হলে এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৫৪ বর্গমিটার
  2. খ
    ২৭ বর্গমিটার
  3. গ
    ৩৪ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ৯ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ২৭ ঘনমিটার হলে এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘনকটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার

তাহলে,
a3 = ২৭
বা, a = ৩

আমরা জানি,
ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ৬a২ বর্গমিটার
= ৬ × ৩২ বর্গমিটার
= ৬ × ৯ বর্গমিটার
= ৫৪ বর্গমিটার
৮,২৫৪.
বৃত্তের ব্যাস 20 মিটার হলে পরিধি কত? 
  1. ক
    ক) 20π
  2. খ
    খ) 10π
  3. গ
    গ) 100π
  4. ঘ
    ঘ) 400π
ব্যাখ্যা
বৃত্তের ব্যাস 20মি.
ব্যাসার্ধ r  = 20/2 সে.মি. বা 10 সে.মি.
বৃত্তের পরিধি =2πr = 2 × π ×10
                = 20π  সে.মি.
৮,২৫৫.
পিথাগোরাসের ত্রয়ীর বৃহত্তম সদস্য 25 এবং অন্য একটি সদস্য 7 হলে তৃতীয় সদস্যটি কত?
  1. ক
    24
  2. খ
    17
  3. গ
    27
  4. ঘ
    22
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পিথাগোরাসের ত্রয়ীর বৃহত্তম সদস্য 25 এবং অন্য একটি সদস্য 7 হলে তৃতীয় সদস্যটি কত?

সমাধান:
তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c> a, b) যদি c2 = a2 + b2 শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।

যেমন:
c2 = a2 + b2
⇒ 252 = 72 + b2
⇒ 625 - 49 = b2
⇒ b2 = 576
∴ b = 24

এমন আরো কয়েকটি ত্রয়ী হলো:
(5, 12, 13)
(3, 4, 5)
(8, 15, 17)
(9, 40, 41)
৮,২৫৬.
একটি বৃত্তস্থ বর্গের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 সে.মি. হলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    π
  2. খ
    2π
  3. গ
    √2π
  4. ঘ
    2√2π
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তস্থ বর্গের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 সে.মি. হলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, 
বৃত্তস্থ বর্গের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = 2 সে.মি.
যদি একটি বর্গ বৃত্তস্থ হয়, তবে বৃত্তের ব্যাস = বর্গক্ষেত্রের কর্ণ 

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √(22 + 22)
= √(4 + 4)
= √8
= 2√2 সে.মি.
অতএব, বৃত্তের ব্যাস = 2√2 সে.মি.

এখন, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = (2√2)/2 = √2 সে.মি.

আমরা জানি, 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
= π × (√2)2 = 2π বর্গ সে.মি.

৮,২৫৭.
বিন্দু (1, 2) থেকে রেখা x + y - 3 = 0 পর্যন্ত দূরত্ব কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    √2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বিন্দু (1, 2) থেকে রেখা x + y - 3 = 0 পর্যন্ত দূরত্ব কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত বিন্দু-
 (x1, y1) = (1, 2)
প্রদত্ত রেখা-
 x + y − 3 = 0 যেখানে A = 1, B = 1, C = −3 

আমরা জানি, 
বিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র- 
d = ​|Ax1​ + By1​ + C |/√(A2 + B2)
= ​|(1​).(1) + (1​).(2)+ (−3) |/√(1)2 + (1)2) 
= ​|1​ + 2 − 3) |/√(1 + 1))
= ​|3 − 3|/√2
= ​|0| /√2
= 0

৮,২৫৮.
একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৬ মিটার, ১০ মিটার এবং ১২ মিটার হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু’টির দূরত্ব কত মিটার?
  1. ক
    ১১ মিটার
  2. খ
    ১০ মিটার
  3. গ
    ৮ মিটার
  4. ঘ
    ৫ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৬ মিটার, ১০ মিটার এবং ১২ মিটার হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু’টির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোন দুইবাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।
এখানে বৃহত্তম বাহু = ১২ মিটার
এবং ক্ষুদ্রতম বাহু = ৬ মিটার।

∴ এদের মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব হবে তৃতীয় বাহু ১০ মিটার এর অর্ধেক।
অর্থাৎ ৫ মিটার
৮,২৫৯.
একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৮০ বর্গমিটার। এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য ১২ মিটার এবং উচ্চতা ৮ মিটার হলে, অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ৬ মিটার
  2. খ
    ৮ মিটার
  3. গ
    ১২ মিটার
  4. ঘ
    ১৬ মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৮০ বর্গমিটার। এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য ১২ মিটার এবং উচ্চতা ৮ মিটার হলে, অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ৮০ বর্গমিটার
একটি সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ১২ মিটার
উচ্চতা, h = ৮ মিটার
ধরি, অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য = b মিটার

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (a + b) × h
⇒ ৮০ = (১/২) × (১২ + b) × ৮
⇒ ৮০ = (১২ + b) × ৪
⇒ ১২ + b = ৮০ / ৪
⇒ ১২ + b = ২০
⇒ b = ২০ - ১২
⇒ b = ৮ মিটার

∴ অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার।

৮,২৬০.
দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৩ : ২, বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?
  1. ক
    ২ : ৩
  2. খ
    ৩ : ৪
  3. গ
    ৪ : ৯
  4. ঘ
    ৯ : ৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৩ : ২, বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধ ৩ক এবং ২্ক

∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(৩ক)২ : π(২ক)২
= ৯πক২ : ৪πক২
= ৯ : ৪
৮,২৬১.
যদি 3 + 3cot2θ = 4 এবং θ < 90° হয়, θ =?
  1. ক
    60°
  2. খ
    45°
  3. গ
    30°
  4. ঘ
    0°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 3 + 3cot2θ = 4 এবং θ < 90° হয়, θ =?

সমাধান:
3 + 3cot2θ = 4
⇒ 3cot2θ = 4 - 3
⇒ 3cot2θ = 1
⇒ cot2θ = 1/3
⇒ cotθ = 1/√3
⇒ cotθ = cot60°
∴ θ = 60°
৮,২৬২.
ত্রিকোণমিতিক অনুপাত কয়টি?
  1. ক
    ৫টি
  2. খ
    ৬টি
  3. গ
    ৭টি
  4. ঘ
    ৮টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিকোণমিতিক অনুপাত কয়টি?

সমাধান:
ত্রিকোণমিতিক অনুপাত মোট 6 টি। তারা হল:
1. সাইন (sin)
2. কোসাইন (cos)
3..ট্যানজেন্ট (tan)
4. কোট্যানজেন্ট(cot)
5. সেক্যান্ট (sec)
6. কোসেক্যান্ট (cosec)
৮,২৬৩.
একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের মানের তিন ভাগের এক ভাগ। কোণটির মান কত?
  1. ক
    75°
  2. খ
    55°
  3. গ
    45°
  4. ঘ
    40°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের মানের তিন ভাগের এক ভাগ। কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি কোণ y
∴ তার সম্পূরক কোণ = 180° - y

প্রশ্নানুসারে,
y = (180° - y)/3
⇒ 3y = 180° - y
⇒ 3y + y = 180°
⇒ 4y = 180°
∴ y = 45°
৮,২৬৪.
একটি ষড়ভুজের কোণগুলোর অনুপাত 5 : 6 : 7 : 8 : 9 : 10 হলে, ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম কোণের গড় কত? 
  1. ক
    110°
  2. খ
    116°
  3. গ
    120°
  4. ঘ
    130°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের কোণগুলোর অনুপাত 5 : 6 : 7 : 8 : 9 : 10 হলে, ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম কোণের গড় কত?

সমাধান: 
কোণগুলোর সমষ্টি = (5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 45
∴ ষড়ভুজের 6 কোণের সমষ্টি = 720° 

∴ ছোট কোণ = (5/45) × 720° = 80° 
এবং
বৃহত্তম কোণ = (10/45) × 720° = 160°

∴ ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম কোণের গড় = (80° + 160°)/2
= 120° ।
৮,২৬৫.
একটি ঘোড়ার গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ২ মিটার এবং পিছনের চাকার পরিধি ৩ মিটার। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করলে পিছনের চাকা অপেক্ষা ৫ বার বেশি ঘুরবে?
  1. ক
    ২০ মিটার
  2. খ
    ৩০ মিটার
  3. গ
    ৪০ মিটার
  4. ঘ
    ৫০ মিটার
ব্যাখ্যা
২ এবং ৩ এর লসাগু = ৬
তাহলে, ১ বার বেশি ঘুরবে = ৬ মিটার গেলে
∴ ৫ বার বেশি ঘুরবে = ৬ ✕ ৫ = ৩০ মিটার
৮,২৬৬.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৬ ডিগ্রি। সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণের মান কত?
  1. ক
    ৪৬°
  2. খ
    ৪৮°
  3. গ
    ৫০°
  4. ঘ
    ৫২.২°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৬ ডিগ্রি। সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ ক সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণ = ক + ৬
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ = ৯০°

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ৬ + ৯০° = ১৮০°
⇒ ২ক + ৯৬° = ১৮০°
⇒ ২ক = ১৮০ - ৯৬°
⇒ ২ক = ৮৪°
⇒ ক = ৪২°

∴ সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণ = ৪২° + ৬°
= ৪৮°

৮,২৬৭.
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সে. মি. হলে, বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা - এর দৈর্ঘ্য নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) 2 সে. মি.
  2. খ
    খ) 6 সে. মি.
  3. গ
    গ) 14 সে. মি.
  4. ঘ
    ঘ) 12 সে. মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সে. মি. হলে, বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা - এর দৈর্ঘ্য নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা = বৃত্তের ব্যাস
= বৃত্তের ব্যাসার্ধ × 2
= 7 × 2
= 14 সে.মি.
৮,২৬৮.
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের একটি চাপ AB এর উপর OD লম্ব। বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি. এবং AD = ৩ সে.মি. হলে, OD = ?
  1. ক
    ৩ সে.মি.
  2. খ
    ৬ সে.মি.
  3. গ
    ৪ সে.মি.
  4. ঘ
    ২ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের একটি চাপ AB এর উপর OD লম্ব। বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি. এবং AD = ৩ সে.মি. হলে, OD = ?

সমাধান:

OD2 = OA2 - AD2
= (5)2 - (3)2
= 25 - 9
= 16
∴ OD = 4
৮,২৬৯.
একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে ২৪ ফুট উঁচু বাড়ির দেওয়াল থেকে ৭ ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়ির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?
  1. ক
    ক) ২৫ ফুট
  2. খ
    খ) ২৮ ফুট
  3. গ
    গ) ৩০ ফুট
  4. ঘ
    ঘ) ৩২ ফুট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে ২৪ ফুট উঁচু বাড়ির দেওয়াল থেকে ৭ ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়ির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?

সমাধান-
এখানে, বাড়ির উচ্চতা (লম্ব) = ২৪ ফুট ও
দেওয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব (ভূমি) = ৭ ফুট।
মইয়ের দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) = ?

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, অতিভুজ২ = লম্ব২ + ভূমি২
⇒  অতিভুজ২ = ২৪২ + ৭২ = ৬২৫
⇒ অতিভুজ = ২৫ অতিভুজ = ২৫

অর্থাৎ, মইয়ের দৈর্ঘ্য = ২৫ ফুট।

এছাড়াও, পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বাহুগুলোর অনুপাত = 3:4:5, 6:8:10, 5:12:13 7:24:25, 9:40:41 এরকম হয়।
অনুপাত ব্যবহারের মাধ্যমে শর্ট টেকনিকেও সহজে উত্তর করা যায়।
৮,২৭০.
একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর অনুপাত ৩ : ৫ : ৬। যদি ত্রিভুজটির পরিসীমা ৭০ সে.মি. হয় তবে ত্রিভুজটির দীর্ঘতম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) ৩৫ সে.মি.
  2. খ
    খ) ২৫ সে.মি.
  3. গ
    গ) ৩০ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ২৮ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর অনুপাত ৩ : ৫ : ৬। যদি ত্রিভুজটির পরিসীমা ৭০ সে.মি. হয় তবে ত্রিভুজটির দীর্ঘতম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে, ৩ক, ৫ক, ৬ক

আমরা জানি,
∴ ত্রিভুজটির পরিসীমা = ৩ক + ৫ক + ৬ক
= ১৪ক

প্রশ্নমতে,
১৪ক = ৭০
বা, ক = ৭০/১৪
∴ ক = ৫

∴ দীর্ঘতম বাহুর দৈর্ঘ্য = ৬ × ৫ = ৩০ সে.মি. 
৮,২৭১.
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় ৫ সে.মি. ও ১২ সে.মি. হলে ত্রিভুজটির অতিভুজের মান কত?
  1. ক
    ১৭ সে.মি.
  2. খ
    ১৪ সে.মি.
  3. গ
    ১৩ সে.মি.
  4. ঘ
    ১১ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় ৫ সে.মি. ও ১২ সে.মি. হলে ত্রিভুজটির অতিভুজের মান কত? 

সমাধান: 
অতিভুজ = √(৫২ + ১২২) সে.মি.
= √(২৫ + ১৪৪) সে.মি.
= √১৬৯ সে.মি. 
= ১৩ সে.মি.
৮,২৭২.
একটি ঘোড়ার গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ২ মিটার এবং পেছনের চাকার পরিধি ৩ মিটার। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করলে সামনের চাকা পেছনের চাকা অপেক্ষা ২১ বার বেশি ঘুরবে?
  1. ক
    ১১৪ মিটার
  2. খ
    ১২৬ মিটার
  3. গ
    ২০৮ মিটার
  4. ঘ
    ২৪৯ মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘোড়ার গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ২ মিটার এবং পেছনের চাকার পরিধি ৩ মিটার। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করলে সামনের চাকা পেছনের চাকা অপেক্ষা ২১ বার বেশি ঘুরবে?

সমাধান:
সামনের চাকা পেছনের চাকার চেয়ে ১ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে ২ ও ৩ এর ল. সা. গু. এর সমান।
এখন, ২ ও ৩ এর ল. সা. গু. = ৬

১ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব = ৬ মিটার
∴ ২১ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব = (৬ × ২১) মিটার
= ১২৬ মিটার
৮,২৭৩.
একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গমিটার এবং ভূমি ১৮ মিটার হলে উচ্চতা কোনটি?
  1. ক
    ক) ১২ মিটার
  2. খ
    খ) ১৪ মিটার
  3. গ
    গ) ১৬ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ২৪ মিটার
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল = ২১৬ বর্গমিটার
ভূমি = ১৮ মিটার 

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
২১৬ = (১/২) × ১৮ × উচ্চতা 
৯ × উচ্চতা = ২১৬
উচ্চতা = ২১৬/৯
উচ্চতা = ২৪ মিটার
৮,২৭৪.
75° কোণের বিপ্রতীপ কোণের মান কত?
  1. ক
    90°
  2. খ
    105°
  3. গ
    15°
  4. ঘ
    75°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 75° কোণের বিপ্রতীপ কোণের মান কত?

সমাধান:
বিপ্রতীপ কোণ: যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান।

∴ 75° কোণের বিপ্রতীপ কোণ = 75°

৮,২৭৫.
নিচের চিত্রে, AB ।। EF ।। CD এবং BD ⊥ CD হলে, ∠AEC = ?
  1. ক
    ক) 70°
  2. খ
    খ) 80°
  3. গ
    গ) 90°
  4. ঘ
    ঘ) 120°
ব্যাখ্যা
AB ।। EF ।। CD এবং BD ⊥ CD

∠AEC
= ∠AEF +∠CEF
= (180° - 120°) + (180° - 150°)
= 60° + 30°
= 90°
= এক সমকোণ
৮,২৭৬.
একটি ত্রিভুজের ভূমি ৪ মি. এবং উচ্চতা ৩ মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
  1. ক
    ক) ৬
  2. খ
    খ) ৯
  3. গ
    গ) ১২
  4. ঘ
    ঘ) ১৮
ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × ভূমি × উচ্চতা
= ১/২ × ৪ × ৩
= ৬ বর্গ মিটার 

৮,২৭৭.
একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত √2 : 4 : 3√2 হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?
  1. ক
    30°
  2. খ
    60°
  3. গ
    80°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত √2 : 4 : 3√2 হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত √2 : 4 : 3√2

ধরি 
১ম বাহু = √2x
২য় বাহু = 4x
৩য় বাহু = 3√2x

এখন 
(3√2x)2 = (√2x)2 + (4x)2
⇒ 18x2 = 2x2 + 16x2
∴ 18x2 = 18x2

∴ প্রদত্ত ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ। 
সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ সর্বদা 90°।
৮,২৭৮.
r সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট কোনো অর্ধবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ বৃহত্তম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) 2r2 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    খ) r2/2 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    গ) 4r2 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) r2 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: r সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট কোনো অর্ধবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ বৃহত্তম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:

অর্ধবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ বৃহত্তম ত্রিভুজ হলো সমকোণী ত্রিভুজ। 
B থেকে AC ব্যাসের উপর OB লম্ব আঁকি। 
এখানে 
OB = OC = OA = r [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]


ΔOBC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × r × r
= r2/2 বর্গ সে.মি.
ΔOAC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =r2/2 বর্গ সে.মি.

ΔABC এর ক্ষেত্রফল =(r2/2) + (r2/2) বর্গ সে.মি.
= 2r2/2
=r2 
৮,২৭৯.
একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার এবং প্রস্থ ২৪ মিটার। এর ভিতরের চারদিকে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 
  1. ক
    ১৯৪ বর্গমিটার 
  2. খ
    ২০৪ বর্গমিটার 
  3. গ
    ২০৮ বর্গমিটার 
  4. ঘ
    ২২৮ বর্গমিটার 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার এবং প্রস্থ ২৪ মিটার। এর ভিতরের চারদিকে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ৩২ মিটার 
∴ আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ২৪ মিটার 
∴ আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (৩২ × ২৪) বর্গমিটার 
= ৭৬৮ বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = {৩২ - (২ × ২)} মিটার = ২৮ মিটার 
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = {২৪ - (২ × ২)} মিটার = ২০ মিটার 
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৮ × ২০) বর্গমিটার 
= ৫৬০ বর্গমিটার

∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৭৬৮ - ৫৬০) বর্গমিটার
= ২০৮ বর্গমিটার।

৮,২৮০.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যাতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য 2 ডিগ্রী হলে ক্ষুদ্রতম কোণ কত?
  1. ক
    ক) 36°
  2. খ
    খ) 44°
  3. গ
    গ) 42°
  4. ঘ
    ঘ) 60°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যাতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য 2 ডিগ্রী হলে ক্ষুদ্রতম কোণ কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সূক্ষ্মকোণ = x
অপর সূক্ষ্মকোণ = x + 2

প্রশ্নমতে,
x + x + 2 = 90°
⇒ 2x + 2 = 90°
⇒ 2x = 88°
∴ x = 44°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = 44°
৮,২৮১.
অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান কত?
  1. ক
    ৪০ ডিগ্রি
  2. খ
    ৬০ ডিগ্রি
  3. গ
    ৪৫ ডিগ্রি
  4. ঘ
    ৯০ ডিগ্রি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
- অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
-অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সরলকোণের অর্ধেক।
- অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান ৯০°

৮,২৮২.
কোণকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?
  1. ক
    4πr2
  2. খ
    πr2h
  3. গ
    (4/3) πr3
  4. ঘ
    (1/3) × πr2h
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোণকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?

সমাধান: 
• গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গ একক  ।
• গোলকের আয়তন = (4/3) πr3 ঘন একক ।

• কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πr√(h2 + r2) বর্গ একক । 
• কোণকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = πr(L + r) বর্গ একক । 
• কোণকের আয়তন = (1/3) × πr2h ঘন একক । 

• বেলনের ভূমির ক্ষেত্রফল = πr2  । 
• বেলনের সম্পূর্ণতলের ক্ষেত্রফল বা সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বা পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)  । 
• বেলনের আয়তন = πr2h   ।

৮,২৮৩.
একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য ১৫ ফুট এবং প্রস্থ ১২ ফুট। মেঝেটি ঢাকতে ৬ ফুট দীর্ঘ এবং ৩ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট কয়টি কার্পেট প্রয়োজন?
  1. ক
    ক) ১৫টি
  2. খ
    খ) ১২টি
  3. গ
    গ) ১০টি
  4. ঘ
    ঘ) ৯টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য ১৫ ফুট এবং প্রস্থ ১২ ফুট। মেঝেটি ঢাকতে ৬ ফুট দীর্ঘ এবং ৩ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট কয়টি কার্পেট প্রয়োজন?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কার্পেটের দৈর্ঘ্য ৬ ফুট এবং প্রস্থ ৩ ফুট
∴ কার্পেটের ক্ষেত্রফল = (৬ × ৩) বর্গফুট
= ১৮ বর্গফুট

ঘরের দৈর্ঘ্য ১৫ ফুট এবং প্রস্থ ১২ ফুট 
∴ ঘরের ক্ষেত্রফল = (১৫ × ১২) বর্গফুট
= ১৮০ বর্গফুট 

∴ কার্পেট সংখ্যা = ১৮০/১৮ টি 
= ১০টি 
৮,২৮৪.
দুইটি পরস্পর বিপরীত রশ্মি তাদের সাধারণ প্রান্তবিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন  করে, তাকে কী বলে?
  1. ক
    ক) সন্নিহিত কোণ
  2. খ
    খ) সরল কোণ
  3. গ
    গ) পূরক কোণ
  4. ঘ
    ঘ) বিপ্রতীপ কোণ
ব্যাখ্যা
সরল কোণ (Straight Angle)
দুইটি পরস্পর বিপরীত রশ্মি তাদের সাধারণ প্রান্তবিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন  করে, তাকে সরল কোণ বলে।

সন্নিহিত কোণ (Adjacent Angle)
যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও তাদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে। এরূপ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণও বলা হয়।

পূরক কোণ (Complementary Angle)
দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি এক সমকোণ বা 90° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের পূরক কোণ বলা হয়।

বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angles)
যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে ।
৮,২৮৫.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বাড়ানো হল এবং প্রস্থ ২০% কমানো হল। ক্ষেত্রফল-
  1. ক
    ক) ৪% কমবে
  2. খ
    খ) ৪% বাড়বে
  3. গ
    গ) ২% কমবে
  4. ঘ
    ঘ) অপরিবর্তিত থাকবে
ব্যাখ্যা

ধরি, দৈর্ঘ্য ১০০ ও প্রস্থ ১০০
তাহলে, ক্ষেত্রফল = ১০০০০
দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি হলে নতুন দৈর্ঘ্য = ১২০
ও প্রস্থ ২০% হ্রাস হলে নতুন প্রস্থ = ৮০
নতুন ক্ষেত্রফল = ৯৬০০
ক্ষেত্রফল হ্রাস = ১০০০০ – ৯৬০০ = ৪০০
শতকরা ক্ষেত্রফল হ্রাস= (৪০০ x ১০০)/১০০০০ = ৪

শর্টকাট নিয়মঃ
ক + খ + কখ/১০০
= ২০-২০+ [২০ X (-২০)]/১০০
= -৪

৮,২৮৬.
যদি একটি ত্রিভুজের দুটি অন্তঃস্থ কোণ ৪৫° ও ৫৫° হয়, তবে ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের বহিঃস্থ কোণ কত হবে? 
  1. ক
    ৯০°
  2. খ
    ১০°
  3. গ
    ১০০°
  4. ঘ
    ১২০°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি একটি ত্রিভুজের দুটি অন্তঃস্থ কোণ ৪৫° ও ৫৫° হয়, তবে ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের বহিঃস্থ কোণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
এখানে,
ত্রিভুজের দুটি অন্তঃস্থ কোণ ৪৫° ও ৫৫°
ত্রিভুজের তৃতীয় অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - (৪৫° + ৫৫°)
= ১৮০° - ১০০°
= ৮০°

আবার,
বহিঃস্থ কোণ এবং তার সংলগ্ন অন্তঃস্থ কোণের যোগফল ১৮০° হয়।
∴ বহিঃস্থ কোণ + সংলগ্ন অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০°
⇒ বহিঃস্থ কোণ + ৮০° = ১৮০°
⇒ বহিঃস্থ কোণ  = ১৮০° - ৮০°
⇒ বহিঃস্থ কোণ  = ১০০°

অন্যভাবে বলা যায়,
ত্রিভুজের কোনো বহিঃস্থ কোণ = দুটি বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টির সমান।
যেহেতু,
ত্রিভুজটির দুটি অন্তঃস্থ কোণ = ৪৫° + ৫৫°
= ১০০° 
∴ ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের বহিঃস্থ কোণ = ১০০°

৮,২৮৭.
cos4θ - sin4θ = 3/4 হলে 1 - 2sin2θ এর মান কত?
  1. ক
    ক) 3/4
  2. খ
    খ) 4/3
  3. গ
    গ) 5/4
  4. ঘ
    ঘ) 4/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos4θ - sin4θ = 3/4 হলে 1 - 2sin2θ এর মান কত? 

সমাধান: 
cos4θ - sin4θ = 3/4
(cos2θ - sin2θ)(cos2θ + sin2θ) = 3/4
cos2θ - sin2θ = 3/4
1 - sin2θ - sin2θ = 3/4
1 - 2sin2θ = 3/4 
৮,২৮৮.
একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 10 মি. এবং প্রস্থ 6 মি. হলে আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত মিটার?
  1. ক
    ক) 32 মি.
  2. খ
    খ) 20মি.
  3. গ
    গ) 36 মি.
  4. ঘ
    ঘ) 28 মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 10 মি. এবং প্রস্থ 6 মি. হলে আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত মিটার?


সমাধান:  

ধরি,
আয়তক্ষেত্র ABCD এর কর্ণের দৈর্ঘ্য 10 মি. এবং প্রস্থ 6 মি.

∴ দৈর্ঘ্য, BC = √(102 - 62) মি.
                  =√100 - 36 মি.
                  = √64
                   = 8 
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(8 + 6) মি. = 2 × 14 = 28 মি.
৮,২৮৯.
১৮১° কোণকে কি কোণ বলে?
  1. ক
    ক) সমকোণ
  2. খ
    খ) সরলকোণ
  3. গ
    গ) স্থূলকোণ
  4. ঘ
    ঘ) প্রবৃদ্ধ কোন
ব্যাখ্যা
দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
৮,২৯০.
একটি দড়িকে বৃত্তাকারে বাঁকালে তার ব্যাসার্ধ হয় ২১ সে.মি.। এখন যদি দড়িটি দিয়ে একটি আয়তক্ষেত্র বানানো হয়, যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৩ : ১, তাহলে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত হবে?
  1. ক
    ৯৬৮ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    ৮১৬.৭৫ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    ১০২০ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ৯৪৪.২৫ বর্গ সে.মি.
  5. ঙ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি দড়িকে বৃত্তাকারে বাঁকালে তার ব্যাসার্ধ হয় ২১ সে.মি.। এখন যদি দড়িটি দিয়ে একটি আয়তক্ষেত্র বানানো হয়, যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৩ : ১, তাহলে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ২১ সেমি
∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr
= ২ × (২২/৭) × ২১
= ১৩২ সেমি

আবার,
ধরি, আয়তক্ষেত্রের
দৈর্ঘ্য = ৩ক এবং প্রস্থ = ক

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২(৩ক + ক) = ৮ক

প্রশ্ন অনুসারে,
⇒ ৮ক = ১৩২
∴ ক = ১৩২ ÷ ৮ = ১৬.৫
∴ প্রস্থ = ক = ১৬.৫ সে.মি.
তাহলে,
দৈর্ঘ্য = ৩ক = ৩ × ১৬.৫ = ৪৯.৫ সে.মি.

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
= ৪৯.৫ × ১৬.৫
= ৮১৬.৭৫ বর্গ সে.মি.

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৮১৬.৭৫ বর্গ সে.মি.

৮,২৯১.
দুটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত 3 : 2 হলে বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?
  1. ক
    2 : 3
  2. খ
    9 : 4
  3. গ
    4 : 9
  4. ঘ
    6 : 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত 3 : 2 হলে বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধ 3x/2 এবং 2x/2

∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(3x/2)2 : π(2x/2)2
= 9πx2/4 : 4πx2/4
= 9 : 4
৮,২৯২.
৩ একক ধার বিশিষ্ট একটি ঘনকের দুই কর্ণের সমষ্টির ১/৬ ভাগ কত?
  1. ক
    ক) √৩
  2. খ
    খ) ৬√৩
  3. গ
    গ) ২√৩
  4. ঘ
    ঘ) ৩√৩
ব্যাখ্যা
 প্রশ্ন: ৩ একক ধার বিশিষ্ট একটি ঘনকের দুই কর্ণের সমষ্টির ১/৬ ভাগ কত?

সমাধান:

ঘনকের ধার a = 3একক
∴ ঘনকের কর্ণ = √3 a = 3√3

দুই কর্ণের সমষ্টির 1/6 ভাগ = (3√3 + 3√3) × (1/6)
= 6√3/6= √3
৮,২৯৩.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ১২ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 
  1. ক
    ক) ২৪
  2. খ
    খ) ২৮√৩
  3. গ
    গ) ৩২
  4. ঘ
    ঘ) ৩৬√৩
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ১২ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
আমরা জানি, 
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪(বাহু)২
= √৩/৪ × (১২)২
= √৩/৪ × ১২ × ১২
= ৩৬√৩
৮,২৯৪.
কোনো বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ ৭২° হলে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    ১৪৪°
  2. খ
    ২২৬°
  3. গ
    ৩৬°
  4. ঘ
    ১৮০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ ৭২° হলে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ, পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ।
∴ বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ ৭২° হলে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ = ৭২° × ২
= ১৪৪°
৮,২৯৫.
একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 8√2 একক হলে, পরিসীমা কত?
  1. ক
    32√2 একক
  2. খ
    8√2 একক
  3. গ
    40 একক
  4. ঘ
    32 একক
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 8√2 একক হলে, পরিসীমা কত?
 
সমাধান:
দেওয়া আছে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য = 8√2 একক

যদি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক হয়
তাহলে কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 একক

প্রশ্নমতে,
a√2 = 8√2
∴ a = 8 একক

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= 4 × 8
= 32 একক

৮,২৯৬.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যাতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য 2 ডিগ্রী হলে ক্ষুদ্রতম কোণ কত?
  1. ক
    ক) 45°
  2. খ
    খ) 44.5°
  3. গ
    গ) 44°
  4. ঘ
    ঘ) 46°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যাতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য 2 ডিগ্রী হলে ক্ষুদ্রতম কোণ কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সূক্ষ্মকোণ = x
অপর সূক্ষ্মকোণ = x + 2

প্রশ্নমতে,
x + x + 2 = 90°
⇒ 2x + 2 = 90°
⇒ 2x = 88°
∴ x = 44°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = 44°
৮,২৯৭.
3x + 2y = 6 সমীকরণের রেখার ঢাল কী হবে?
  1. ক
    3/2
  2. খ
    - 3/2
  3. গ
    2/3
  4. ঘ
    - 6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x + 2y = 6 সমীকরণের রেখার ঢাল কী হবে?

সমাধান:
3x + 2y = 6 সমীকরণের ঢাল বের করতে, প্রথমে একে y = mx + c আকারে রূপান্তর করতে হবে, যেখানে m হলো রেখার ঢাল।

3x + 2y = 6
⇒ 2y = - 3x + 6
⇒ y = - (3/2​)x + 3

এখন, এই সমীকরণটি y = mx + c আকারে রূপান্তরিত হয়েছে, যেখানে m = - (3/2)
সুতরাং, রেখার ঢাল হলো m = - (3/2)
৮,২৯৮.
যদি A সূক্ষ্মকোণ এবং sinA = 12/13 হয়, তবে cot A এর মান কত?
  1. ক
    ক) 7/12
  2. খ
    খ) 5/13
  3. গ
    গ) 9/13
  4. ঘ
    ঘ) 5/12
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A সূক্ষ্মকোণ এবং sinA = 12/13 হয়, তবে cot A এর মান কত?

সমাধান:
sinA = 12/13

আমরা জানি
cos2A = 1 - sin2A
cos2A = 1 - (12/13)2
cos2A = 1 - 144/169
cos2A = (169 - 144)/169
cos2A = 25/169
cos2A = (5/13)2
cosA = 5/13

cotA = cosA/sinA
= (5/13)/(12/13)
= (5/13) × (13/12)
= 5/12

৮,২৯৯.
আয়তাকার একটি ক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ১২ মিটার বড় এবং ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৩৬ মিটার হলে ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত? 
  1. ক
    ৪২ ও ৩০
  2. খ
    ৩৮ ও ২৬
  3. গ
    ৪০ ও ২৮
  4. ঘ
    ৪০ ও ৫২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ১২ মিটার বড় এবং ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৩৬ মিটার হলে ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
প্রস্থ = x মিটার এবং 
দৈর্ঘ্য = (x + ১২) মিটার 

শর্তমতে, 
২(x + ১২ + x) = ১৩৬ 
বা, ২x + ১২ = ৬৮ 
বা, ২x = ৬৮ - ১২ 
বা, ২x = ৫৬ 
বা, x = ৫৬/২ 
∴ x = ২৮ 
অর্থাৎ প্রস্থ = ২৮ মিটার 
এবং দৈর্ঘ্য = (২৮ + ১২) মিটার = ৪০ মিটার।
৮,৩০০.
বিন্দুর শুধু _________ আছে।
  1. ক
    ক) দৈর্ঘ্য
  2. খ
    খ) প্রস্থ
  3. গ
    গ) উচ্চতা
  4. ঘ
    ঘ) অবস্থান
ব্যাখ্যা
- ঘনবস্তু ত্রিমাত্রিক অর্থাৎ ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা আছে।
- তল দ্বিমাত্রিক অর্থাৎ, তলের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, কিন্তু উচ্চতা নাই।
- রেখা একমাত্রিক অর্থাৎ, রেখার শুধু দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ ও উচ্চতা নাই।
- বিন্দুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা কিছুই নাই, শুধু অবস্থান আছে।