জ্যামিতি

PrepBank · পাতা ৭৯ / ১০৭ · ৭,৮০১–৭,৯০০ / ১০,৭৫২

৭,৮০১.

একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ সে.মি. বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৮১০ বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?

ক
৩০ সে.মি.
খ
৩৩ সে.মি.
গ
৩৬ সে.মি.
ঘ
২৭ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ সে.মি. বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৮১০ বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
মনে করি,
ত্রিভুজের উচ্চতা x সে.মি.
ভূমি = (2x + 6) সে.মি.

প্রশ্নমতে,
⇒ (1/2) × (2x + 6) × x = 810
⇒ x² + 3x = 810
⇒ x² + 3x - 810 = 0
⇒ x² + 30x - 27x - 810 = 0
⇒ x(x + 30) - 27(x + 30) = 0
⇒ (x + 30)(x - 27) = 0

হয়
x + 30 = 0
x = - 30 [যা গ্রহণ যোগ্য নয়]

অথবা
x - 27 = 0
∴ x = 27

∴ ত্রিভুজের উচ্চতা 27 সে.মি.

৭,৮০২.

একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?

ক
ক) ৬টি
খ
খ) ৯টি
গ
গ) ৭টি
ঘ
ঘ) ১০টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?

সমাধান :

একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যুনতম ২টি ও সর্বোচ্চ ৬টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।

৭,৮০৩.

৩২° কোণের সম্পূরক কোণ কোনটি?

ক
১৪৮°
খ
৬৪°
গ
২১২°
ঘ
৫৮°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩২° কোণের সম্পূরক কোণ কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে তারা পরস্পরের সম্পূরক কোণ।

∴ ৩২° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৩২)°
= ১৪৮° ।

৭,৮০৪.

বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভূজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি কত?

ক
180°
খ
360°
গ
120°
ঘ
60°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভূজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি কত?

সমাধান:
বৃত্তে অন্তলিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।

৭,৮০৫.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত?

ক
২৪২০ বর্গমিটার
খ
১৫২০ বর্গমিটার
গ
২৫২০ বর্গমিটার
ঘ
২৪৮০ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - ২৩) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২ {x + (x - ২৩)} মিটার
= ২ (২x - ২৩) মিটার
= (৪x - ৪৬) মিটার

প্রশ্নমতে,
৪x - ৪৬ = ২০৬
বা, ৪x = ২০৬ + ৪৬
বা, ৪x = ২৫২
বা, x = ২৫২/৪
∴ x = ৬৩
অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৬৩ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (৬৩ - ২৩) মিটার
= ৪০ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
= (৬৩ × ৪০) বর্গমিটার
= ২৫২০ বর্গমিটার ।

৭,৮০৬.

sin 120° এর মান কত?

ক
ক) √3/2
খ
খ) - √3/2
গ
গ) - 1/2
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

{(π/2) - θ)} কোণ বা পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (0 < θ < π/2 ):sin {(π/2) - θ)} = cosθ
cos{(π/2) - θ)} = sinθ
tan{(π/2) - θ)} = cot θ
cot{(π/2) - θ)} = tanθ
cosec{(π/2) - θ)} = secθ
sec{(π/2) - θ)} = cosecθ

sin 120° = sin(90° + 30°)
= cos 30°
= √3/2

৭,৮০৭.

একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ‍্য ও পরিসীমার অনুপাত কত?

ক
ক) 1 : √2
খ
খ) 2 : √2
গ
গ) 1 : 2
ঘ
ঘ) 1 : 2√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ‍্য ও পরিসীমার অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য a একক
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য a√2 একক
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 4a একক

⇒ কর্ণ/পরিসীমা
= a√2/4a
= √2/(2 × 2)
=1/2√2

∴ একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ‍্য ও পরিসীমার অনুপাত = 1 : 2√2

৭,৮০৮.

সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে নিচের কোন তথ্যটি সঠিক?

ক
একটি কোণ সমকোণ
খ
তিনটি কোণই সূক্ষ্মকোণ
গ
একটি কোণ স্থূলকোণ
ঘ
একটি সূক্ষ্মকোণ একটি সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে নিচের কোন তথ্যটি সঠিক?

সমাধান:
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের তিনটি কোণই সূক্ষ্মকোণ।
- সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ, অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ।
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।
- সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের যে কোন দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।

৭,৮০৯.

ΔABC সমবাহু ত্রিভুজে BC বাহুর মধ্যমা AD হলে 2∠BAD এর মান কত?

ক
ক) 30°
খ
খ) 45°
গ
গ) 60°
ঘ
ঘ) 80°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC সমবাহু ত্রিভুজে BC বাহুর মধ্যমা AD হলে 2∠BAD এর মান কত?

সমাধান:

ABD সমকোণী ত্রিভুজ হতে,
∠ABD + ∠BAD + ∠ADB = 180°
বা, 60° + ∠BAD + 90° = 180°
বা, ∠BAD = 180° - 150°
বা, ∠BAD = 30°
∴ 2∠BAD = 60°

৭,৮১০.

কোনো‌ সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটির অন্তর 16° হলে এর ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

ক
43°
খ
41°
গ
39°
ঘ
37°

ব্যাখ্যা

মনে করি,
একটি কোণ 'ক' তাহলে অপর কোণ (90 - ক)।
শর্তমতে,
ক - (90 - ক) = 16
বা, ক - 90 + ক = 16
বা, 2ক = 106
বা, ক = 53
সুতরাং অপর কোণ = 90 - ক
= 90 - 53
= 37°

৭,৮১১.

একটি বৃত্তে কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের-

ক
দ্বিগুণ
খ
সমান
গ
অর্ধেক
ঘ
অসমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তে কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের-

সমাধান:
বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর ওপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্ব-দ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

৭,৮১২.

একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। সামান্তরিকের ভূমি 75 মিটার এবং উচ্চতা 6 মিটার হলে বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
15 মি.
খ
30 মি.
গ
15√2 মি.
ঘ
45√2 মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। সামান্তরিকের ভূমি 75 মিটার এবং উচ্চতা 6 মিটার হলে বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ভূমি = 75 মিটার
এবং উচ্চতা = 6 মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
= (75 × 6) বর্গ মিটার
= 450 বর্গ মিটার

যেহেতু সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

শর্তমতে,
a² = 450
⇒ a = √450
∴ a = 15√2

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a
= √2 × 15√2
= (15 × 2)
= 30 মি.

৭,৮১৩.

কোনো চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত 1:2:2:3 হলে উহার ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত?

ক
ক) 60°
খ
খ) 55°
গ
গ) 45°
ঘ
ঘ) 35°

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°
এখানে কোণগুলোর অনুপাতের যোগফল = 1 + 2 + 2 + 3
= 8
সুতরাং,
ক্ষুদ্রতম কোণ = 1/8 × 360°
= 45°

৭,৮১৪.

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান জ্যা। OE এবং OF যথাক্রমে কেন্দ্র থেকে AB ও CD এর লম্ব দূরত্ব। OE = ৫ সে.মি. হলে OF= কত?

ক
ক) ১৫ সে.মি.
খ
খ) ২.৫ সে.মি.
গ
গ) ১০ সে.মি.
ঘ
ঘ) ৫ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান জ্যা। OE এবং OF যথাক্রমে কেন্দ্র থেকে AB ও CD এর লম্ব দূরত্ব। OE = ৫ সে.মি. হলে OF= কত?

সমাধান:

বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
যেহেতু AB = CD তাহলে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব OE = OF হবে।
OE = ৫ সে.মি. হলে OF =৫ সে.মি. হবে।

৭,৮১৫.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১৩ সে.মি. এবং লম্ব ১২ সে.মি. হলে ভূমি কত সে.মি.?

ক
ক) ৪ সে.মি.
খ
খ) ৫ সে.মি.
গ
গ) ৬ সে.মি.
ঘ
ঘ) ৮ সে.মি.

ব্যাখ্যা

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে -
অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
⇒ ভূমি = √(অতিভুজ^২ - লম্ব^২)
⇒ ভূমি = √(১৩^২- ১২^২)
⇒ ভূমি = √(১৬৯ - ১৪৪)
⇒ ভূমি = √২৫
∴ ভূমি = ৫

৭,৮১৬.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 10 সে.মি. এবং 24 সে.মি. হলে, রম্বসটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
13 সে.মি.
খ
6.5 সে.মি.
গ
34 সে.মি.
ঘ
60 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 10 সে.মি. এবং 24 সে.মি. হলে, রম্বসটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ABCD একটি রম্বস।
উহার AC = 10 cm, BD= 24 cm
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
AO = CO = 5 cm, BO = OD = 12 cm

ΔAOB এ
OA² + OB² = AB²
⇒ 5² + 12² = AB²
⇒ 25 + 144 = AB²
⇒ 169 = AB²
⇒ AB² = 13²
∴ AB = 13

৭,৮১৭.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। সামান্তরিকের ভূমি 9 মি এবং উচ্চতা 4 মি হলে বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে?

ক
ক) 6√2 মি.
খ
খ) 7√2 মি.
গ
গ) 8√2 মি.
ঘ
ঘ) 9√2 মি.

ব্যাখ্যা

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা)
= 9 × 4
= 36 মি.

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ক মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ক^২ বর্গ মি.
ক^২ = 36
ক = √36 = 6

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2ক
= 6√2 মি.

৭,৮১৮.

যে চতুর্ভূজের কেবলমাত্র দু’টি বাহু সমান্তরাল তাকে বলে-

ক
বর্গক্ষেত্র
খ
সামন্তরিক
গ
আয়তক্ষেত্র
ঘ
ট্রাপিজিয়াম

ব্যাখ্যা

ট্রাপিজিয়াম:
- যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।

ট্রাপিজিয়ামের বৈশিষ্ঠ্য:
- ট্রাপিজিয়ামের দুইটি বাহু সমান্তরাল।
- সমান্তরাল বাহু দুইটি কখনও সমান হতে পারে না।
- সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটিকে ভূমি বলে।
- সমান্তরাল বাহু দুটি ব্যতীত অপর দুটি বাহুকে তীর্যক বাহু বলে।
- তীর্যক বাহু দুইটি সমান হলে উহা একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।

অন্যদিকে,
- সামান্তরিক: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোনগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।
- আয়তক্ষেত্র: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
- বর্গক্ষেত্র: যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুই পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোনগুলো সমকোণ তাকে বর্গক্ষেত্র বলে।

৭,৮১৯.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতিত অপর কোণের মান 60° হলে অপর কোণটি কত?

ক
30°
খ
45°
গ
60°
ঘ
50°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতিত অপর কোণের মান 60° হলে অপর কোণটি কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180 ডিগ্রি।
ত্রিভুজটি সমকোণী এবং দ্বিতীয় কোণের মানের 60 ডিগ্রি হওয়ায়
অপর কোণের মান (180 - 90 - 60) = 30 ডিগ্রি

৭,৮২০.

সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ১২ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক
ক) ৪ বর্গমিটার
খ
খ) ৩√৩ বর্গমিটার
গ
গ) ৪√৩ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) ৩ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ১২ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ১২ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১২/৩ মিটার = ৪ মিটার

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল (√৩ ÷ ৪) × ৪^২ বর্গমিটার
= (√৩ ÷ ৪) × ১৬ বর্গমিটার
=৪√৩ বর্গমিটার

৭,৮২১.

একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের যোগফল ১০০° এবং উক্ত দুটি কোণের বিয়োগফল ৮০°। তৃতীয় কোণের মান হচ্ছে -

ক
ক) ৮০°
খ
খ) ৯০°
গ
গ) ৭০°
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের তিন কোনের সমষ্টি ১৮০°। যদি দুই কোনের সমষ্টি ১০০° হয় তাহলে তৃতীয় কোনটি অবশ্যই (১৮০-১০০)বা ৮০°।

৭,৮২২.

AB || CD হলে, ∠BCA = ?

ক
40°
খ
50°
গ
90°
ঘ
130°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

AB || CD হলে, ∠BCA = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠BAC = 40^° এবং ∠ABC = 90°

এখন,
∠BCA = 180° - ∠BAC - ∠ABC
= 180° - 40° - 90°= 180° - 130°= 50°

৭,৮২৩.

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল চারগুণ করা হলে, পরিসীমা কতগুণ হবে?

ক
চারগুণ
খ
তিনগুণ
গ
দ্বিগুণ
ঘ
আটগুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল চারগুণ করা হলে, পরিসীমা কতগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
পরিবর্তী ব্যাসার্ধ = R
∴ πR² = 4πr²
বা, R² = 4r²
বা, R = 2r

∴ পরিসীমা = 2πR
= 2π(2r)
= 2 × 2πr
= 2 × পূর্বের পরিসীমা

৭,৮২৪.

একটি সমকোণী ত্রিভুজে, cosecθ = ?

ক
ভূমি/লম্ব
খ
লম্ব/ভূমি
গ
অতিভুজ/ভূমি
ঘ
অতিভুজ/লম্ব

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজে, cosecθ = ?

সমাধান:

আমরা জানি,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ
cosθ = ভূমি/অতিভুজ
tanθ = লম্ব/ভূমি
cotθ = ভূমি/লম্ব
secθ = অতিভুজ/ভূমি
cosecθ = অতিভুজ/লম্ব

৭,৮২৫.

একটি বিষমবাহু ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈ‍‍র্ঘ্য যথাক্রমে 6 সে.মি., 8 সে.মি. এবং 10 সে.মি.হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত ব‍‍র্গ সে.মি.?

ক
24
খ
18
গ
32
ঘ
48

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বিষমবাহু ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈ‍‍র্ঘ্য যথাক্রমে 6 সে.মি., 8 সে.মি. এবং 10 সে.মি.হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত ব‍‍র্গ সে.মি.?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহু a, b, c সে.মি. হলে,
এর অর্ধপরিসীমা s = (a + b + c)/2 সে.মি.
= (6 + 8 + 10)/2 সে.মি.
= 24/2 সে.মি.
= 12 সে.মি.

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √s(s - a)(s - b)(s - c)
= √{12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10)}
= √(12 × 6 × 4 × 2)
= √576 বর্গ সে.মি.
= 24 বর্গ সে.মি.

৭,৮২৬.

একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মি. এবং প্রস্থ 10 মি. হলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

ক
35√5
খ
40√5
গ
45√5
ঘ
50√5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মি. এবং প্রস্থ 10 মি. হলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি,

আয়তক্ষেত্র ABCD এর কর্ণের দৈর্ঘ্য AC = 15 মি. এবং প্রস্থ AB = 10 মি.
∴ দৈর্ঘ্য, BC = √(15² - 10²) মি.
=√125 মি.
= 5√5 মি.

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 5√5 × 10
= 50√5 বর্গমিটার

৭,৮২৭.

একটি ঘনকের কয়টি সমকোণ থাকে?

ক
ক) ৪ টি
খ
খ) ৮ টি
গ
গ) ১৬ টি
ঘ
ঘ) ২৪ টি

ব্যাখ্যা

ঘনকে ৬ টি তল থালে।প্রতিটি তলে ৪ টি সমকোণ থাকে
∴মোট সমকোণ = ৬×৪ = ২৪ টি

৭,৮২৮.

কোনো চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত 1:2:2:3 হলে উহার ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত?

ক
ক) 60°
খ
খ) 55°
গ
গ) 45°
ঘ
ঘ) 35°

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°
এখানে কোণগুলোর অনুপাতের যোগফল = 1+2+2+3
= 8
সুতরাং ক্ষুদ্রতম কোণ = 1/8 × 360°
= 45°

৭,৮২৯.

কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৬°। ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের মান কত?

ক
৬৮°
খ
৪২°
গ
৯০°
ঘ
১০২°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৬°। ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
একটি সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ ৯০°
_____________
সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম বা ক্ষুদ্রতম কোণের মান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণটি = ক°
বৃহত্তর কোণ = (ক + ৬)°

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ৬ = ৯০° [সমকোনী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যাতিত অপর কোণ দুটির সমষ্টি ৯০°]
⇒ ২ক = ৮৪°
∴ ক = ৪২°

ক্ষুদ্রতম কোণ = ৪২°
বৃহত্তর কোণ = (৪২ + ৬)° = ৪৮°

৭,৮৩০.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অন্য দুটি কি কোণ?

ক
ক) সরল কোণ
খ
খ) সম্পূরক কোণ
গ
গ) সূক্ষ্ণকোণ
ঘ
ঘ) স্থূলকোণ

ব্যাখ্যা

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অন্য দুটি কোণ সূক্ষ্মকোণ হয়। যে কোণ এর মান ৯০° অপেক্ষা কম তাকে সূক্ষ্মকোণ বলা হয়। সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোন যেহেতু ৯০° তাই অপর দুইটি কোণ অবশ্যই ৯০° অপেক্ষা কম হবে।

৭,৮৩১.

বৃত্তে অন্তঃলিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৬০ বর্গ মিটার এবং প্রস্থ ৫ মিটার হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

ক
৬ মিটার
খ
৭.৫ মিটার
গ
৯.৫ মিটার
ঘ
৬.৫ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তে অন্তঃলিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৬০ বর্গ মিটার এবং প্রস্থ ৫ মিটার হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৬০ বর্গ মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৫ মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ক্ষেত্রফল ÷ প্রস্থ
= ৬০/৫ = ১২ মিটার

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস

কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২)
= √(১২^২ + ৫^২)
= √(১৪৪ + ২৫)
= √১৬৯
= ১৩ মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ব্যাস ÷ ২
= ১৩/২
= ৬.৫ মিটার

৭,৮৩২.

একটি আয়তাকার পার্কের দৈর্ঘ্য 80 মিটার এবং প্রস্থ 50 মিটার। পার্কটিকে পরিচর্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে 4 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

ক
484 বর্গমিটার
খ
504 বর্গমিটার
গ
572 বর্গমিটার
ঘ
620 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পার্কের দৈর্ঘ্য 80 মিটার এবং প্রস্থ 50 মিটার। পার্কটিকে পরিচর্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে 4 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
আয়তাকার পার্কের দৈর্ঘ্য = 80 মিটার
এবং প্রস্থ = 50 মিটার

∴ দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = 80 × 4 = 320 বর্গমিটার
∴ প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (50 - 4) × 4 = 184 বর্গমিটার

∴ রাস্তার মোট ক্ষেত্রফল = (320 + 184) বর্গমিটার
= 504 বর্গমিটার

৭,৮৩৩.

একটি কোণ তার সম্পূরক কোণ অপেক্ষায় ২০ ডিগ্রি বেশি হলে, কোণটির মান কত?

ক
১১০°
খ
১০০°
গ
৮০°
ঘ
১১৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণ অপেক্ষায় ২০ ডিগ্রি বেশি হলে, কোণটির মান কত?

সমাধান:
সম্পূরক কোণের সংজ্ঞা অনুসারে,
দুইটি কোণের যোগফল = ১৮০°
ধরি,
কোণটি x
∴ তার সম্পূরক কোণ = (১৮০° - x)

প্রশ্নমতে,
x = (১৮০° - x) + ২০°
⇒ x + x = ১৮০° + ২০°
⇒ ২x = ২০০°
∴ x = ১০০°

৭,৮৩৪.

নিম্নের O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে, ∠BAC = ৪৫° হলে ∠ABC =?

ক
৫৫°
খ
৪০°
গ
৪৫°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিম্নের O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে, ∠BAC = ৪৫° হলে ∠ABC =?

সমাধান:
আমরা জানি, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ৯০°
∴ ∠ACB = ৯০°

ABC ত্রিভুজে,
∠ACB + ∠BAC + ∠ABC = ১৮০°
⇒ ৯০° + ৪৫° + ∠ABC = ১৮০°
⇒ ১৩৫° + ∠ABC = ১৮০°
∴ ∠ABC = ১৮০° - ১৩৫°
= ৪৫°

৭,৮৩৫.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 10 একক এবং ভূমি 12 একক হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
96 বর্গ একক
খ
120 বর্গ একক
গ
24 বর্গ একক
ঘ
48 বর্গ একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 10 একক এবং ভূমি 12 একক হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
সমান বাহু, a = 10 একক
ভূমি, b = 12 একক

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)
= (12/4) √{4 × (10)² - (12)²}
= 3 √(400 - 144)
= 3 √256
= 3 × 16
= 48 বর্গ একক ।

৭,৮৩৬.

একটি মাঠের প্রস্থ আরও ১০ মিটার বেশি হলে একটি ১০০০০ বর্গমিটার ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গাকার মাঠ হতো। মাঠটির প্রস্থ কত?

ক
৯০ মিটার
খ
৮০ মিটার
গ
৬০ মিটার
ঘ
১০০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মাঠের প্রস্থ আরও ১০ মিটার বেশি হলে একটি ১০০০০ বর্গমিটার ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গাকার মাঠ হতো। মাঠটির প্রস্থ কত?

সমাধান:
ধরি,
মাঠটির প্রস্থ = x মিটার (যেখানে, দৈর্ঘ্য = প্রস্থ)
∴ ১০ মিটার বেশিতে বর্গাকার মাঠের প্রস্থ = (x + ১০) মিটার

প্রশ্নমতে,
(x + ১০)^২ = ১০০০০
বা, (x + ১০)^২ = (১০০)২
বা, x + ১০ = ১০০
বা, x = ১০০ - ১০
∴ x = ৯০

∴ মাঠটির প্রস্থ = ৯০ মিটার।

৭,৮৩৭.

দুইটি গোলকের আয়তনের অনুপাত ২৭ : ৬৪। তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

ক
৩ : ১৬
খ
৪ : ৩
গ
৯ : ১৬
ঘ
৫ : ১৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি গোলকের আয়তনের অনুপাত ২৭ : ৬৪। তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
১ম গোলকের ব্যাসার্ধ r₁
২য় গোলকের ব্যাসার্ধ r₂

আমরা জানি
গোলকের আয়তনের = (4/3)πr³

প্রশ্নমতে,
(4/3)πr₁³/(4/3)πr₂³ = 27/64
বা, r₁/r₂ = 3/4
বা, r₁²/r₂² = 9/16
4πr₁²/4πr₂² = 9/16

ক্ষেত্রফলের অনুপাত = ৯ : ১৬

৭,৮৩৮.

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ সংলগ্ন কোণ দুটির প্রত্যেকটি -

ক
ক) সরলকোণ
খ
খ) সূক্ষ্মকোণ
গ
গ) সম্পূরক কোণ
ঘ
ঘ) স্থূলকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ সংলগ্ন কোণ দুটির প্রত্যেকটি -

সমাধান:
৯০ ডিগ্রি এর চেয়ে ছোটো কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অন্য দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০ ডিগ্রী অর্থাৎ, এরা সূক্ষ্মকোণ।

৭,৮৩৯.

২৫০° কোণকে কী কোণ বলে?

ক
সূক্ষ্মকোণ
খ
পূরক কোণ
গ
স্থূলকোণ
ঘ
প্রবৃদ্ধ কোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৫০° কোণকে কী কোণ বলে?

সমাধান:
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- তাই ২৫০° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

অন্য অপশন গুলো -
সূক্ষ্মকোণ: যে কোণের মান ০° থেকে ৯০° এর মধ্যে।
স্থূলকোণ: যে কোণের মান ৯০° থেকে ১৮০° এর মধ্যে।
পূরক কোণ: দুটি কোণের সমষ্টি যখন ৯০° হয় তখন একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলা হয়।

৭,৮৪০.

Sin{(11π/2) + θ} = ?

ক
- cosθ
খ
cosθ
গ
sinθ
ঘ
- sinθ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: Sin{(11π/2) + θ} = ?

সমাধান:
আমরা জানি
Sin{(π/2) + θ} = cosθ
cos{(π/2) + θ} = - sinθ

Sin[{11(π/2)} + θ] = - cosθ

(π/2) এর বিজোড় গুণিতক হলে

৭,৮৪১.

পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 8 হলে অন্য দুটি সদস্য কী কী?

ক
12, 13
খ
15, 17
গ
24, 26
ঘ
20, 21

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 8 হলে অন্য দুটি সদস্য কী কী?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।
আবার,
তিনটি সংখ্যা যদি 2m, m² - 1, m² + 1 [যেখানে m পূর্ণসংখ্যা] আকারে থাকে তাহলে তাদেরকে পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।
যেমন:
(3, 4, 5) পিথাগোরাস ত্রয়ী,
(2)² - 1 = 3
2 × 2 = 4
(2)² + 1 = 5

এখানে,
একটি ত্রয়ী 8
ধরি,
2m = 8
∴ m = 4
∴ অন্য ত্রয়ী দুটি হবে,
m² - 1 = 4² - 1 = 16 - 1 =15
m² + 1 = 4² + 1 = 15 + 1 = 17

৭,৮৪২.

PQRS একটি সামান্তরিক হলে y - x = কত?

ক
30°
খ
35°
গ
40°
ঘ
70°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: PQRS একটি সামান্তরিক হলে y - x = কত?

সমাধান:
PQRS সামান্তরিকের ∠QPS = ∠QRS = x° = 180° - 140° = 40°
আবার,
2y° = 140°
∴ y° = 70°

∴ y - x = 70° - 40°
= 30°

৭,৮৪৩.

যদি sin⁡θ = 3/5, তাহলে cos⁡θ =?

ক
4/5
খ
3/4
গ
1/5
ঘ
2/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি sin⁡θ = 3/5, তাহলে cos⁡θ =?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosθ = √(1 - sin²θ)
= √{1 - (3/5)²}
= √(1 - 9/25)
= √{(25 - 9)/25}
= √(16/25)
= 4/5

৭,৮৪৪.

একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৭০ মিটার এবং প্রস্থ ৬০ মিটার। মাঠের বাইরের দিকে ৫ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তা তৈরি করতে ১৪ টাকা খরচ হয়, তাহলে রাস্তাটি তৈরি করতে মোট কত টাকা লাগবে?

ক
১৯৬০০ টাকা
খ
২২৫০০ টাকা
গ
২৫০০০ টাকা
ঘ
৩২০০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৭০ মিটার এবং প্রস্থ ৬০ মিটার। মাঠের বাইরের দিকে ৫ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তা তৈরি করতে ১৪ টাকা খরচ হয়, তাহলে রাস্তাটি তৈরি করতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাঠের দৈর্ঘ্য = ৭০ মিটার
মাঠের প্রস্থ = ৬০ মিটার
∴ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৭০ × ৬০ = ৪২০০ বর্গমিটার

আবার,
রাস্তার প্রস্থ = ৫ মিটার
যেহেতু রাস্তাটি মাঠের বাইরের দিকে তৈরি করা হয়েছে,
∴ রাস্তাসহ দৈর্ঘ্য = ৭০ + ৫ + ৫ = ৮০ মিটার
∴ রাস্তাসহ প্রস্থ = ৬০ + ৫ + ৫ = ৭০ মিটার

∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৮০ × ৭০ = ৫৬০০ বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল - মাঠের ক্ষেত্রফল
= ৫৬০০ - ৪২০০ = ১৪০০ বর্গমিটার

এখন,
প্রতি বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় ১৪ টাকা
∴ ১৪০০ বর্গমিটার রাস্তার মোট ব্যয় = ১৪০০ × ১৪ টাকা
= ১৯৬০০ টাকা

∴ রাস্তাটি তৈরি করতে মোট ১৯৬০০ টাকা লাগবে।

৭,৮৪৫.

একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 96 বর্গ মিটার। এর ভূমি 12 মিটার হলে, উচ্চতা কত?

ক
ক) 5 মিটার
খ
খ) 7 মিটার
গ
গ) 8 মিটার
ঘ
ঘ) 9 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 91 বর্গ মিটার। এর ভূমি 13 মিটার হলে, উচ্চতা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
96 = 12 × উচ্চতা
⇒ উচ্চতা = 96/12
∴ উচ্চতা = 8

∴ সামান্তরিকের উচ্চতা = 8 মিটার

৭,৮৪৬.

কোনো একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ৩২° ও ৫৮°। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

ক
সূক্ষ্মকোণী
খ
স্থূলকোণী
গ
সমকোণী
ঘ
সমদ্বিবাহু সমকোণী

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ৩২° ও ৫৮°। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।

ধরি,
৩য় কোণটি ‘ক’

প্রশ্নমতে,
⇒ ৩২° + ৫৮° + ক = ১৮০°
⇒ ৯০° + ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০° - ৯০°
∴ ক = ৯০°

অর্থাৎ তৃতীয় কোণ ৯০°, যা একটি সমকোণ।
সুতরাং, ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

৭,৮৪৭.

একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20m, 21 m এবং 29 m হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
200m²
খ
210m²
গ
290m²
ঘ
300m²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20m, 21 m এবং 29 m হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
a = 20 মিটার
b = 21 মিটার
c = 29 মিটার

অর্ধ পরিসীমা s = (a + b + c)/2 মিটার
= (20 + 21 + 29)/2 মিটার
= 70/2 মিটার
= 35 মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = √{35(35 - 20)(35 - 21)(35 - 29)} বর্গমিটার
= √(35 × 15 × 14 × 6) বর্গমিটার
= √44100 বর্গমিটার
= 210 বর্গমিটার

৭,৮৪৮.

দুইটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত ৩ : ৭। এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

ক
ক) ৯ : ৪৭
খ
খ) ১৬ : ২৫
গ
গ) ১২ : ১৫
ঘ
ঘ) ৯ : ৪৯

ব্যাখ্যা

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×3² : π×7²
= 9 : 49

৭,৮৪৯.

একটি বৃত্তের পরিধি এবং তার ক্ষেত্রফল সমান হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
2π
খ
4π
গ
8π
ঘ
16π

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি এবং তার ক্ষেত্রফল সমান হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r

তাহলে,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
2πr = πr²
⇒ 2r = r²
⇒ r = 2

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (2)² = 4π

৭,৮৫০.

একটি ঘনকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গ মিটার হলে, ঘনকের আয়তন কত?

ক
৫১২ ঘন মিটার
খ
২১৬ ঘন মিটার
গ
১৫৬ ঘন মিটার
ঘ
১১২ ঘন মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গ মিটার হলে, ঘনকের আয়তন কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ 6a² = 216
বা, a² = 36
∴ a = 6

আয়তন = a³
= 6³
= 216 ঘন মি.

৭,৮৫১.

ΔABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ উহার AB এবং AC বাহুকে বর্থিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয়ের সমষ্টি কত?

ক
ক) ২৪০°
খ
খ) ১২০°
গ
গ) ১৮০°
ঘ
ঘ) ৬০°

ব্যাখ্যা

∠B = ∠C = ৬০°
∴ ∠CBD = ∠BCE = ১৮০° - ৬০° = ১২০°
∴ ∠CBD + ∠BCE
= ১২০° + ১২০°
= ২৪০°

৭,৮৫২.

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে-

ক
২০√৩ বর্গমিটার
খ
১৬√৩ বর্গমিটার
গ
৩২√৩ বর্গমিটার
ঘ
৬৪√৩ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে-

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,
ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)×a^২
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২
= (√৩/৪) × (৮)^২
= (√৩/৪) × ৮ × ৮
= ১৬√৩

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ১৬√৩ বর্গমিটার।

৭,৮৫৩.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩৯২ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্যের পরিমাণ কত?

ক
৩৪ মিটার
খ
২৮ মিটার
গ
৩২ মিটার
ঘ
২৬ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩৯২ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্যের পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = ক মিটার
তাহলে দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
⇒ ৩৯২ = ক × ২ক
⇒ ২ক^২ = ৩৯২
⇒ ক^২ = ১৯৬
∴ ক = ১৪ মিটার

অতএব, প্রস্থ = ১৪ মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ১৪ × ২ = ২৮ মিটার

৭,৮৫৪.

একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 2 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 4 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 36 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
12 মিটার
খ
10 মিটার
গ
18 মিটার
ঘ
22 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 2 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 4 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 36 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লম্ব দূরত্ব = 4 মিটার
মনে করি,
সমান্তরাল বাহুদ্বয় যথাক্রমে, x ও (x + 2) মিটার

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) x উচ্চতা

প্রশমতে,
(1/2) × 4 × (x + x + 2) = 36
⇒ 2x + 2 = 18
⇒ 2x = 16
∴ x = 8

বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 8 + 2 = 10 মিটার

৭,৮৫৫.

একটি বৃত্তের ব্যাস 4 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 90° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

ক
π বর্গ সে. মি.
খ
8π/3 বর্গ সে. মি.
গ
4π বর্গ সে. মি.
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 4 সে. মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 90° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 4/2 সে. মি. = 2 সে. মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 90°

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr²θ)/360°
= (π × 2²× 90°)/360°
= (π × 4× 90°)/360°
= π বর্গ সে. মি.

৭,৮৫৬.

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ?

ক
ক) দৈর্ঘ্য × কর্ণ
খ
খ) বাহু^২
গ
গ) দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
ঘ
ঘ) ১/২ × দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

ব্যাখ্যা

এটি একটি সূত্র।

৭,৮৫৭.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/3, x/3 এবং 4x/3 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?

ক
30°
খ
60°
গ
80°
ঘ
90°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/3, x/3 এবং 4x/3 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান:
x/3 + x/3 + (4x)/3 = 180°
⇒ x + x + 4x = 3 × 180°
⇒ 6x = 3 × 180°
∴ x = 90°

∴ বৃহত্তম কোণ = (4 × 90°)/3 = 120°
ক্ষুদ্রতম কোণ = 90°/3 = 30°

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য = 120° - 30° = 90°

৭,৮৫৮.

একটি কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. এবং উচ্চতা 12 সে.মি. হলে, এর হেলানো উচ্চতা কত?

ক
9 সে.মি.
খ
12 সে.মি.
গ
13 সে.মি.
ঘ
16 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. এবং উচ্চতা 12 সে.মি. হলে, এর হেলানো উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 5 সে.মি.
উচ্চতা, h = 12 সে.মি.

ধরি,
হেলানো উচ্চতা = l

আমরা জানি,
l² = r² + h²
বা, l² = (5)²+ (12)²
বা, l = √169
∴ l = 13

∴ হেলানো উচ্চতা = 13 সে.মি.

৭,৮৫৯.

একটি ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু যোগ করলে কোনটি গঠিত হয়?

ক
ক) সরলরেখা
খ
খ) বিন্দু
গ
গ) ত্রিভুজ
ঘ
ঘ) যেকোনটি হতে পারে

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু সমরেখ। (উপপাদ্যের প্রমান আছে)

৭,৮৬০.

ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু সংলগ্ন কোণদ্বয়-

ক
ক) সূক্ষ্মকোণ
খ
খ) স্থূলকোণ
গ
গ) সমকোণ
ঘ
ঘ) সরলকোণ

ব্যাখ্যা

স্থুলকোণী ত্রিভুজে স্থুলকোণটি থাকে বৃহত্তম বাহুর বিপরীতে।
∴ বৃহত্তম বাহু সংলগ্ন কোণ দু’টি সর্বদা সুক্ষ্ম কোণ।

৭,৮৬১.

১০ ইঞ্চি দীর্ঘ এবং ৮ ইঞ্চি প্রস্থ বিশিষ্ট আর্ট পেপারের ১ ইঞ্চি বর্ডার রেখে একটি ছবি আঁকা হলে ছবিটি কত বর্গ ইঞ্চি ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট?

ক
ক) ৩২
খ
খ) ৪৮
গ
গ) ৮০
ঘ
ঘ) ১৮

ব্যাখ্যা

ছবির দৈর্ঘ্য = ১০ - (১+১) = ৮ ইঞ্চি
প্রস্থ = ৮ - (১+১) = ৬ ইঞ্চি
ক্ষেত্রফল = ৬×৮ = ৪৮ বর্গ ইঞ্চি

৭,৮৬২.

একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃকোণ ১৬৫°। এর বাহু সংখ্যা কতগুলো হবে?

ক
২২টি
খ
২৪টি
গ
২৫টি
ঘ
২৬টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃকোণ ১৬৫°। এর বাহু সংখ্যা কতগুলো হবে?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৬৫°।
সুতরাং সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = ১৮০° - ১৬৫°
= ১৫°

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°
সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/১৫°
= ২৪টি

৭,৮৬৩.

∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ। ∠A = 63° হলে, ∠B এর মান হবে-

ক
ক) 117°
খ
খ) 27°
গ
গ) 63°
ঘ
ঘ) 72°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ। ∠A = 63° হলে, ∠B এর মান হবে-

সমাধান:
দুইটি কোনের সমষ্টি 180° হলে, কোণ দুইটি একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ
∠A + ∠B = 180°
63° + ∠B = 180°
∠B =180° - 63°
∠B = 117°

৭,৮৬৪.

ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত?

ক
340 বর্গ সে.মি.
খ
338 বর্গ সে.মি.
গ
344 বর্গ সে.মি.
ঘ
348 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 40²= 1600
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × r²
= 3.14 × 20² [r = 40/2 = 20 cm]
= 1256

∴ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল = 1600 - 1256
= 344 বর্গ সে.মি.

৭,৮৬৫.

একটি বৃত্তের পরিধি এবং তার ক্ষেত্রফল সমান হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
2π
খ
3π
গ
4π
ঘ
5π

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি এবং তার ক্ষেত্রফল সমান হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r

তাহলে,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
2πr = πr²
⇒ 2r = r²
⇒ r = 2

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (2)² = 4π

৭,৮৬৬.

একটি বৃত্তের ব্যাস 4 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) π/3
খ
খ) 4π/3
গ
গ) 2π/3
ঘ
ঘ) 3π/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 4 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস 4 সে.মি.

মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 4/2 সে.মি. = 2 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr²θ)/360°
= (π × 2²× 60°)/360°
= 2π/3

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = 2π/3

৭,৮৬৭.

কোনটি বৃত্তের সমীকরণ-

ক
ক) 2x² + y² = a²
খ
খ) x² - y² = a²
গ
গ) y² - x² = a²
ঘ
ঘ) 2x² + 2y² = a²

ব্যাখ্যা

বৃত্তের শর্ত সমূহ
(i) x, y এর ঘাত 2
(ii) x² এর সহগ = y² এর সহগ
(iii) xy সমন্বিত পদ না থাকা
এইসকল শর্তানুসারে 2x² + 2y² = a² একটি বৃত্তের সমীকরণ

৭,৮৬৮.

ঘড়িতে যখন 2 টা 20 মিনিট বাজে তখন ঘড়ির কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত ডিগ্রি?

ক
ক) 40°
খ
খ) 45°
গ
গ) 55°
ঘ
ঘ) 50°

ব্যাখ্যা

মধ্যবর্তী কোণ :
= । (11 M - 60 H) / 2 । [এখানে, M = 20 মিনিট, H = 2 ঘণ্টা ]
= । (11 × 20 - 60 × 2) / 2।
= । 220 - 120 / 2।
= । 100/2।
= 50°

৭,৮৬৯.

আয়তাকার একটি মাঠের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের চেয়ে ১২ মিটার বেশি। যদি মাঠটির পরিসীমা ১৩৬ মিটার হয়, তবে এর দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
২৪ মিটার
খ
২৮ মিটার
গ
৩৬ মিটার
ঘ
৪০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি মাঠের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের চেয়ে ১২ মিটার বেশি। যদি মাঠটির পরিসীমা ১৩৬ মিটার হয়, তবে এর দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = x মিটার
দৈর্ঘ্য = (x + ১২) মিটার

শর্তমতে,
২(x + ১২ + x) = ১৩৬
বা, ২x + ১২ = ৬৮
বা, ২x = ৬৮ - ১২
বা, ২x = ৫৬
বা, x = ৫৬/২
∴ x = ২৮
অর্থাৎ, প্রস্থ = ২৮ মিটার

∴ দৈর্ঘ্য = (২৮ + ১২) মিটার
= ৪০ মিটার।

৭,৮৭০.

∆ABC এ ∠B = 90°, যদি AC = 2AB হয় তবে, ∠C এর মান কত?

ক
ক) 45°
খ
খ) 22.5°
গ
গ) 30°
ঘ
ঘ) 60°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ∆ABC এ ∠B = 90°, যদি AC = 2AB হয় তবে, ∠C এর মান কত?

সমাধান:

∆ABC এ লম্ব = AB
এবং অতিভূজ = AC

দেওয়া আছে,
AC = 2AB
∴ AB/AC = 1/2

মনে করি,
∠ACB = ∠C = θ

আমরা জানি,
sin∠ACB = লম্ব/অতিভূজ
⇒ sinθ = AB/AC
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
⇒ θ = 30°

∴ ∠C = 30°

৭,৮৭১.

একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং আয়তন যথাক্রমে ২৫ সে.মি, ২০ সে.মি ও ৫০০০ ঘন সে.মি.। আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা কত?

ক
ক) ১২ সে.মি
খ
খ) ১০ সে.মি
গ
গ) ১৪ সে.মি
ঘ
ঘ) ১৬ সে.মি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং আয়তন যথাক্রমে ২৫ সে.মি, ২০ সে.মি ও ৫০০০ ঘন সে.মি.। আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা কত?

সমাধান:
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য = ২৫ সে.মি
আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রস্থ = ২০ সে.মি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন = ৫০০০ ঘন সে.মি.

আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা = আয়তন/(প্রস্থ × দৈর্ঘ্য)
= ৫০০০/(২৫ × ২০)
= ১০ সে.মি

৭,৮৭২.

একটি ষড়ভুজের কর্ণের সংখ্যা কয়টি?

ক
৪ টি
খ
৬ টি
গ
৯ টি
ঘ
১১ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের কর্ণের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
আমরা জানি,
ষড়ভুজের বাহুর সংখ্যা = ৬ টি

∴ ষড়ভুজের কর্ণের সংখ্যা = n(n - ৩)/২
= ৬(৬ - ৩)/২
= (৬ × ৩)/২
= ১৮/২
= ৯ টি

৭,৮৭৩.

sinθ + cosθ = √2 হলে, θ এর মান নির্ণয় করুন, যেখানে 0 < θ < 90°.

ক
45°
খ
30°
গ
60°
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sinθ + cosθ = √2 হলে, θ এর মান নির্ণয় করুন, যেখানে 0 < θ < 90°.

সমাধান:
sinθ + cosθ = √2
⇒ sinθ = √2 - cosθ
⇒ sin²θ = (√2 - cosθ)² ; [বর্গ করে]
⇒ 1 - cos²θ = (√2)² - 2.√2.cosθ + cos²θ
⇒ 1 - cos²θ = 2 - 2√2cosθ + cos²θ
⇒ 2cos²θ - 2√2cosθ + 1 = 0
⇒ (√2cosθ - 1)² = 0
⇒ √2cosθ - 1 = 0
⇒ √2cosθ = 1
⇒ cosθ = 1/√2
⇒ cosθ = cos45°
⇒ θ = 45°

৭,৮৭৪.

কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?

ক
180°
খ
150°
গ
270°
ঘ
360°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?

সমাধান:

ত্রিভুজের যেকোন বাহুকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ যে কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ দুই কোণের সমষ্টির সমান।
∠CBD = ∠A + ∠C
∠BAF = ∠B + ∠C
∠ACE = ∠A + ∠B

বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি = ∠CBD + ∠BAF + ∠ACE
= ∠A + ∠C + ∠B + ∠C + ∠A + ∠B
= 2(∠A + ∠B + ∠C)
= 2 × 180° [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°]
= 360°

৭,৮৭৫.

ABCD সামান্তরিকের ∠ABC = 70° হলে ∠BCD = কত?

ক
ক) 100°
খ
খ) 110°
গ
গ) 90°
ঘ
ঘ) 120°

ব্যাখ্যা

ABCD সামান্তরিকে ∠ABC + ∠BCD = 180°
বা, 70° + ∠BCD = 180°
∴ ∠BCD = 110°

৭,৮৭৬.

একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৭টি হলে অন্তঃকোণ সমূহের সমষ্টি হবে-

ক
৮ সমকোণ
খ
১০ সমকোণ
গ
১৩ সমকোণ
ঘ
১৪ সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৭টি হলে অন্তঃকোণ সমূহের সমষ্টি হবে-

সমাধান:
৭ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃকোণ সমূহের সমষ্টি = (৭ - ২) × এক সরলকোণ
= ৫ × এক সরলকোণ
= ৫ × ২ সমকোণ
= ১০ সমকোণ

৭,৮৭৭.

কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথক্রমে 10 সে.মি. ও 12 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60° । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 60√3 বর্গ সে.মি.
খ
খ) 45√3 বর্গ সে.মি.
গ
গ) 36√3 বর্গ সে.মি.
ঘ
ঘ) 30√3 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথক্রমে 10 সে.মি. ও 12 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60° । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
ত্রিভুজের বাহুদ্বয় যথাক্রমে a = 10 সে.মি. ও b = 12 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 60°

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)absinθ
= (1/2) × 10 × 12× sin60°
= (1/2) × 10 × 12 × (√3/2)
= 30√3 বর্গ সে.মি.

৭,৮৭৮.

একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১১ সে.মি. ও ক্ষেত্রফল ৪৪ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

ক
৪ সে.মি.
খ
৮ সে.মি.
গ
১৬ সে.মি.
ঘ
১২ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১১ সে.মি. ও ক্ষেত্রফল ৪৪ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:
ধরি,
অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

আমরা জানি,
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ৪৪ = (১/২) × a × ১১
বা, ৪ = a/২
∴ a = ৮

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৮ সে.মি.

৭,৮৭৯.

সমকোণী ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. ও ৩ সে.মি.। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ৭ সে.মি.
খ
খ) ১২ সে.মি.
গ
গ) ১ সে.মি.
ঘ
ঘ) ৫ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. ও ৩ সে.মি.। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
অতিভুজ^২ = ৩^২ + ৪^২
অতিভুজ^২ = ৯ + ১৬
অতিভুজ^২ = ২৫
অতিভুজ = √২৫
অতিভুজ = ৫

৭,৮৮০.

ΔABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। ত্রিভুজটি AB ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থকোণ দুটির যোগফল কত?

ক
৬০°
খ
১২০°
গ
১৮০°
ঘ
২৪০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। ত্রিভুজটি AB ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থকোণ দুটির যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের উৎপন্ন প্রত্যেকটি অন্তঃস্থকোণের মান = ৬০°
এবং, প্রতিটি বহিঃস্থকোণের মান = ১২০°
দুটি বাহু বর্ধিত করায় দুটি বহিঃস্থকোণ উৎপন্ন হবে।

∴ উৎপন্ন বহিঃস্থকোণ দুটির যোগফল = ১২০° + ১২০°
= ২৪০°

৭,৮৮১.

ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের সমষ্টি ত্রিভুজের-

ক
ক) পরিসীমা অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর
খ
খ) পরিসীমা অপেক্ষা বৃহত্তর
গ
গ) পরিসীমার সমান
ঘ
ঘ) পরিসীমার অর্ধেকের চেয়ে ক্ষুদ্রতর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের সমষ্টি ত্রিভুজের-

সমাধান:
- ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলে।
- ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
- যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা।
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের সমষ্টি ত্রিভুজের পরিসীমা অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।

৭,৮৮২.

প্রতি বর্গমিটার ১২ টাকা দরে একটি রুমের মেঝে তৈরী করতে মোট খরচ ৬০০ টাকা। রুমটির দৈর্ঘ্য ১০ মিটার হলে প্রস্থ কত মিটার?

ক
৪ মিটার
খ
৫ মিটার
গ
৭ মিটার
ঘ
৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রতি বর্গমিটার ১২ টাকা দরে একটি রুমের মেঝে তৈরী করতে মোট খরচ ৬০০ টাকা। রুমটির দৈর্ঘ্য ১০ মিটার হলে প্রস্থ কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রতি বর্গমিটারে খরচ = ১২ টাকা
মোট খরচ = ৬০০ টাকা

আমরা জানি,
মেঝের ক্ষেত্রফল = মোট খরচ ÷ প্রতি বর্গমিটারে খরচ
= (৬০০/১২) বর্গমিটার
= ৫০ বর্গমিটার

আবার,
দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল
⇒ ১০ × প্রস্থ = ৫০
⇒ প্রস্থ = ৫০/১০
∴ প্রস্থ = ৫

রুমটির প্রস্থ ৫ মিটার

৭,৮৮৩.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 512 বর্গমিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 28 মিটার
খ
খ) 32 মিটার
গ
গ) 36 মিটার
ঘ
ঘ) 40 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 512 বর্গমিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ x মিটার
∴ দৈর্ঘ্য 2x মিটার

প্রশ্নমতে,
2x × x = 512
⇒ 2x² = 512
⇒ x² = 512/2
⇒ x² = 256
∴ x = 16

∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (2 × 16) মিটার = 32 মিটার

৭,৮৮৪.

ABCD সামন্তরিকের DC ভূমিকে E পর্যন্ত বাড়ান হলো। ∠BAD = ১০৫° হলে, ∠BCE = কত?

ক
ক) ১০৫°
খ
খ) ৮০°
গ
গ) ৫০°
ঘ
ঘ) ৭৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : ABCD সামন্তরিকের DC ভূমিকে E পর্যন্ত বাড়ান হলো। ∠BAD = ১০৫° হলে, ∠BCE = কত?

সমাধান:

∴ ∠BAD = ∠BCD = ১০৫°
আবার,
∠BCD + ∠BCE = ১৮০°
⇒ ১০৫° + ∠BCE = ১৮০°
⇒ ∠BCE = ৭৫°

৭,৮৮৫.

একটি বর্গাকার মাঠের বাইরে চারদিকে ১০ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল ৪০০০ বর্গমিটার হলে, মাঠের ক্ষেত্রফল কত?

ক
৬৪০০ বর্গ মিটার
খ
৭০০০ বর্গ মিটার
গ
৮৫২৫ বর্গ মিটার
ঘ
৮১০০ বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের বাইরে চারদিকে ১০ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল ৪০০০ বর্গমিটার হলে, মাঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি
বর্গাকার মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক মিটার

∴ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (একবাহু)^২ বর্গ একক
= (ক)^২ বর্গ মিটার

∴ রাস্তা সহ বর্গাকার মাঠ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = (ক+ ১০ + ১০) মিটার
= (ক + ২০) মিটার

রাস্তা সহ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (ক + ২০)^২ বর্গ একক

প্রশ্নমতে,
(ক + ২০)^২ - (ক)^২ = ৪০০০
⇒ ক^২ + ৪০ক + ৪০০ - ক^২ = ৪০০০
⇒ ৪০ক + ৪০০ = ৪০০০
⇒ ৪০ক = ৩৬০০
⇒ ক = ৩৬০০/৪০
∴ ক = ৯০

∴ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (৯০)^২ বর্গ একক
= ৮১০০ বর্গ মিটার

৭,৮৮৬.

একটি নিয়মিত বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ 24° হলে, এর বাহুর সংখ্যা কত?

ক
10
খ
21
গ
19
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি নিয়মিত বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ 24° হলে, এর বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনে করি,
বাহুর সংখ্যা = n

দেওয়া আছে,
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ 24°

আমরা জানি,
বহুভুজের বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি = 360°

এখন,
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = 360°/n
⇒ 24° = 360°/n
⇒ n = 360°/24°
⇒ n = 15

৭,৮৮৭.

কোনো ঘনকের আয়তন 343 ঘন সে.মি. হলে ঘনকটির প্রতিটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
6√2 সে.মি.
খ
7√2 সে.মি.
গ
9 সে.মি.
ঘ
11 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ঘনকের আয়তন 343 ঘন সে.মি. হলে ঘনকটির প্রতিটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ঘনকের আয়তন = 343 ঘন সে.মি.
প্রশ্নমতে,
a³ = 343
⇒ a³ = 7³
∴ a = 7 সে.মি.

∴ ঘনকের প্রতিটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 = 7√2 সে.মি.

৭,৮৮৮.

একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য 200 মিটার এবং প্রস্থ 120 মিটার। মাঠটির মাঝ দিয়ে 5 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

ক
1480 বর্গমিটার
খ
1498 বর্গমিটার
গ
1545 বর্গমিটার
ঘ
1575 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য 200 মিটার এবং প্রস্থ 120 মিটার। মাঠটির মাঝ দিয়ে 5 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = 200 মিটার
এবং প্রস্থ = 120 মিটার

দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (200 × 5) = 1000 বর্গমিটার
প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (120 - 5) × 5 = 575 বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (1000 + 575) বর্গমিটার
= 1575 বর্গমিটার

৭,৮৮৯.

tanθ = 4/3 হলে secθ এর মান কত?

ক
ক) ±5/3
খ
খ) ±4/3
গ
গ) ±2/3
ঘ
ঘ) ±7/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tanθ = 4/3 হলে Secθ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
tanθ = 4/3
⇒ tan²θ = 16/9
⇒ Sec²θ - 1 = 16/9
⇒ Sec²θ = (16/9) + 1
⇒ Sec²θ = (16 + 9)/9
⇒ Sec²θ = 25/9
⇒ Sec²θ = (16 + 9)/9
⇒ Sec²θ = 25/9
Secθ = ±5/3

৭,৮৯০.

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান জ্যা। OE এবং OF যথাক্রমে কেন্দ্র থেকে AB ও CD এর লম্ব দূরত্ব। OE = ১০ সে.মি. হলে OF = কত?

ক
৫ সে.মি.
খ
১৫ সে.মি.
গ
২০ সে.মি.
ঘ
১০ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান জ্যা। OE এবং OF যথাক্রমে কেন্দ্র থেকে AB ও CD এর লম্ব দূরত্ব। OE = ১০ সে.মি. হলে OF = কত?

সমাধান:

বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
যেহেতু AB = CD তাহলে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব OE = OF হবে।
OE = ১০ সে.মি. হলে OF = ১০ সে.মি. হবে।

৭,৮৯১.

ক
ক)
খ
খ)
গ
গ)
ঘ
ঘ)

ব্যাখ্যা

এখানে তিনটি বৃত্তের চিত্রে,
প্রথম চিত্রের ভিতরে তীর দুটি বিপরীত দিকে আছে।
দ্বিতীয় চিত্রের ভিতরে তীরটি যেদিকে আছে তৃতীয় চিত্রে তীরটি তার বিপরীত দিকে আছে।একই ভাবে তিনটি ত্রিভুজের চিত্রে,
প্রথম ত্রিভুজের(চিত্র-৪) ভিতরে বৃত্ত দুইটি বিপরীত দিকে আছে।
দ্বিতীয় ত্রিভুজের(চিত্র-৫) ভিতরের বৃত্তটি আছে উপরের দিকে, তাহলে এর পরবর্তী ত্রিভুজটির ভিতরে বৃত্তটি হবে নিচের দিকে।
অতএব, ত্রিভুজ-৩(চিত্র-৬) হবে অপশন ক এর অনুরূপ।

৭,৮৯২.

কোনটি সত্য?

ক
ব্যাস ভিন্ন জ্যা কখনোই স্পর্শকের উপর লম্ব লম্ব হতে পারেনা
খ
ব্যাস স্পর্শকের উপর লম্ব হতে পারে
গ
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যাই উক্ত বৃত্তের ব্যাস
ঘ
উপরের সবগুলো

ব্যাখ্যা

বৃত্তের ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত তথ্যগুলো সঠিকঃ
ব্যাস ভিন্ন জ্যা কখনোই স্পর্শকের উপর লম্ব লম্ব হতে পারেনা
ব্যাস স্পর্শকের উপর লম্ব হতে পারে
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যাই উক্ত বৃত্তের ব্যাস
স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ ঐ স্পর্শকের উপর লম্ব

৭,৮৯৩.

একটি ত্রিভুজের যেকোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি হবে-

ক
সমবাহু
খ
স্থূলকোণী
গ
সমকোণী
ঘ
সূক্ষ্মকোণী

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের যে কোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
বড় কোণ = x
∴ অপর দুই কোণের সমষ্টি = x

শর্তমতে,
x + x = 180°
বা, 2x = 180°
বা, x = 180°/2
∴ x = 90°
অর্থাৎ, ত্রিভুজটি সমকোণী।

৭,৮৯৪.

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এর কর্ণের দৈর্ঘ্যর কত গুণ?

ক
2
খ
4√2
গ
√2
ঘ
2√2

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু a একক হলে পরিসীমা 4a একক এবং কর্ণ √2a একক।
সুতরাং পরিসীমা/কর্ণ = 4a/√2a
= 4/√2
= 2 × √2.√2/√2
= 2√2

৭,৮৯৫.

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সে.মি হলে ত্রিভুজটির লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

ক
3√3 সে.মি
খ
6√3 সে.মি
গ
9√2 সে.মি
ঘ
11√3 সে.মি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সে.মি হলে ত্রিভুজটির লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (বাহু)²
= (√3/4) × 6²
= (√3/4) × 36
= 9√3 বর্গ সে.মি।

আবার,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) × 6 × h = 3h বর্গ সে.মি।

প্রশ্নমতে,
3h = 9√3
⇒ h = (9√3)/3
= 3√3 সে.মি।

∴ ত্রিভুজটির লম্বের দৈর্ঘ্য 3√3 সে.মি।

৭,৮৯৬.

কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিম্নের কোনটি হলে, একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে না?

ক
ক) ৩ : ৪ : ৫
খ
খ) ১৩ : ১২ : ৫
গ
গ) ৯ : ১২ : ১৫
ঘ
ঘ) ৮ : ৪ : ১২

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গ অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টির সমান।
এখানে,
৫^২ = ৩^২ + ৪^২
১৩^২ = ১২^২ + ৫^২
৯^২ + ১২^২ = ১৫^২
৮^২ + ৪^২ ≠ ১২^২
সুতরাং, ৮ : ৪ : ১২ বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে না।

৭,৮৯৭.

সমবাহু ত্রিভুজের দুইটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের বিয়োগফল কত?

ক
ক) 0°
খ
খ) 120°
গ
গ) 90°
ঘ
ঘ) 60°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের দুইটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের বিয়োগফল কত?

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজের ১টি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণ ১২০°।
∴ সমবাহু ত্রিভুজের দুইটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের বিয়োগফল ১২০° - ১২০° = ০

৭,৮৯৮.

যদি 2.8 সে.মি. বাহু বিশিষ্ট বর্গাকার একটি বাক্সে একটি ফুটবল পুরপুরিভাবে এঁটে যায়, তবে ফুটবলটির পরিধি কত?

ক
ক) 176 মি.মি.
খ
খ) 17.6 সে.মি.
গ
গ) 88 মি.মি.
ঘ
ঘ) 88 সে.মি

ব্যাখ্যা

যেহেতু বর্গাকার একটি বাক্সে একটি ফুটবল পুরপুরিভাবে এঁটে যায়, তাহলে বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্যই হবে ফুটবলের ব্যাস। তাহলে ফুটবলের ব্যাস = 2.8 cm = 28 mm এবং পরিধি = πD = π×28 = 88 mm.

৭,৮৯৯.

একটি সরলরেখার একটি বিন্দুতে অপর একটি রশ্মি মিলিত হলে, যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি কত?

ক
ক) এক সমকোণ
খ
খ) দুই সমকোণ
গ
গ) তিন সমকোণ
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

একটি সরলরেখার একটি বিন্দুতে অপর একটি রশ্মি মিলিত হলে, যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি দুই সমকোণ ।

মনে করি, AB সরলরেখাটির O বিন্দুতে OC রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়েছে ।
ফলে ∠AOC ও ∠COB দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হলো ।
∠AOC + ∠COB = দুই সমকোণ।

৭,৯০০.

একটি বহুভুজের 27 টি কর্ণ রয়েছে। সেই বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত?

ক
3 টি
খ
6 টি
গ
9 টি
ঘ
12 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের 27 টি কর্ণ রয়েছে। সেই বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2

এখন,
{n(n - 3)}/2 = 27
⇒ n² - 3n = 54
⇒ n² - 3n - 54 = 0
⇒ n²- 9n + 6n - 54 = 0
⇒ n(n - 9) + 6(n - 9) = 0
⇒ (n - 9)(n + 6) = 0
∴ n = 9 [n = - 6 গ্রহণযোগ্য নয়]