জ্যামিতি

প্রশ্ন: নিচের কোন সমীকরণ সরলরেখা প্রকাশ করে না?

সমাধান: 
এখানে, ক, খ এবং গ রেখাত্রয়কে y = mx + c আকারে প্রকাশ করা যায়।
কিন্তু,
ঘ এর সমীকরণকে y = mx + c আকারে প্রকাশ করা যায় না। 
সুতরাং, এটি x² অন্তর্ভুক্ত, তাই এটি প্যারাবোলা, সরলরেখা নয়। 

প্রশ্ন: আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 140 বর্গ মি.। যদি এর দৈর্ঘ্য 2 মি. কমানো হয় এবং প্রস্থ 2 মি. বাড়ানো হয় তবে তা একটি বর্গক্ষেত্র হয়। বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
ধরি, বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ‍a মিটার
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (a + 2) মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = (a - 2) মিটার

প্রশ্নমতে,
(a + 2) × (a - 2) = 140
বা, ‍a² + 2a - 2a - 4 = 140
বা,  ‍a² - 4 = 140
বা, a² = 144
বা, a² = (12)²
∴ ‍a = 12

∴ ‍ বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 12 মিটার।

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
বা, ১৩^২ = লম্ব^২ + ৫^২
বা, লম্ব^২ + ৫^২ = ১৩^২
বা, লম্ব^২ = ১৩^২ - ৫^২
বা, লম্ব^২ = ১৬৯ - ২৫
বা, লম্ব^২ = ১৪৪
বা, লম্ব^২ = (১২)^২
বা, লম্ব = ১২
সুতরাং, সমকোণী ত্রিভুজটির পরিসীমা = ৫ + ১২ + ১৩
= ৩০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ ৪ সে.মি এবং উচ্চতা ৯ সে.মি হলে, উহার তলগুলোর মোট ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = ৪ সে.মি.
উচ্চতা, h = ৯ সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= ২π × ৪(৪ + ৯)
= ২π × ৪ × ১৩
= ৮π × ১৩
= ১০৪π বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন:
​
​
​​সমাধান:
​

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার জমির চতুর্দিকে প্রাচীর নির্মাণ করতে প্রতি মিটার 200 টাকা হিসেবে 50000 টাকা খরচ হয়। যদি জমির প্রস্থ ও দৈর্ঘ্যের অনুপাত 12 : 13 হয়, তবে জমিটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আয়তাকার জমির পরিসীমা = 50000/200 = 250 মিটার
মনে করি,
প্রস্থ ও দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12x ক এবং 13x
শর্তমতে,
2(12x + 13x) = 250
⇒ 50x = 250
⇒ x = 250/50
⇒ x = 5

অতএব,
দৈর্ঘ্য = 12 × 5 = 60 মিটার 
প্রস্থ = 13 × 5 = 65 মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = 60 × 65 = 3900 বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 126 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 14 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?
 
সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা 
= (1/2) × ভূমি × 14 
= 7 × ভূমি 
 
প্রশ্নমতে, 
7 × ভূমি = 126
বা, ভূমি = 126/7 
∴ ভূমি = 18 গজ 

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = 18 গজ । 

ধরি, দৈর্ঘ্য = ৬x সে.মি, প্রস্থ = ৫x সে.মি, উচ্চতা = ৪x সে.মি.
∴ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ২(৬x × ৫x + ৫x × ৪x + ৬x × ৪x) = ২৩৬৮
বা, ২(৩০x^২ + ২০x^২ + ২৪x^২) = ২৩৬৮
বা, ২ × ৭৪x^২ = ২৩৬৮
বা, x^২ = ২৩৬৮/(২×৭৪) = ১৬
∴ x = ৪
∴ দৈর্ঘ্য = ২৪ সে.মি., প্রস্থ = ২০ সে.মি., উচ্চতা = ১৬ সে.মি.
∴ আয়তন = ২৪ × ২০ ×১৬ = ৭৬৮০ ঘন সে.মি.

ΔABC-এ,
BC||EF
এবং AEB ছেদক
∴ ∠ABC অনুরুপ কোণ ∠AEF

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৩৬π বর্গ মিটার । বৃত্তটির ব্যাস কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = ৩৬π বর্গ মিটার
= π৬^২ বর্গ মিটার

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল =  π × (ব্যাসার্ধ)^২
বা, π৬^২ =  π × (ব্যাসার্ধ)^২
বা, (ব্যাসার্ধ)^২ = ৬^২ 
∴ ব্যাসার্ধ = ৬ মিটার 

∴ ব্যাস = (২ × ৬) মিটার
= ১২ মিটার। 

প্রশ্ন: একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের লম্বের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে লম্ব ও ভূমির মান সমান। 
∴ ভূমির দৈর্ঘ্য হবে ৮ মিটার

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 846 বর্গ সে.মি.। যদি ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 5 : 4 : 3 হয়, তবে আয়তকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
ধরি,
আয়তকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 5x সে.মি.
আয়তকার ঘনবস্তুর প্রস্থ, b = 4x সে.মি.
আয়তকার ঘনবস্তুর উচ্চতা, c = 3x সে.মি.

আমরা জানি, 
আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2 (ab + bc + ca) বর্গ একক 

প্রশ্নমতে, 
2 (ab + bc + ca) = 846
⇒ 2(5x . 4x + 4x . 3x + 3x . 5x) = 846
⇒ 2(20x² + 12x² + 15x²) = 846
⇒ 47x² = 846/2
⇒ 47x² = 423
⇒ x² = 9
⇒ x² = 3²
∴ x = 3

এখন, 
আয়তকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 5x সে.মি.
= (5 × 3) সে.মি.
= 15 সে.মি. ।

প্রশ্ন: যদি P + Q = 90° এবং tanP = 1/√3 হয়, তবে Q এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
P + Q = 90°......(1)
এবং tanP = 1/√3
⇒ tanP = tan30°  ; [tan 30° = 1/√3]
∴ P = 30°

এখন, P এর মান (1) সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
P + Q = 90°
⇒ 30° + Q = 90°
⇒ Q = 90° - 30°
∴ Q = 60°

অতএব, Q এর মান 60°

- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র কোনটি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
- সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো- (ভূমি × উচ্চতা)। 

উল্লেখ্য যে, 
- একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর মধ্যবিন্দু পরস্পর যুক্ত করলে সামান্তরিক পাওয়া যাবে। 
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল। 
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পর অসমান। 
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয় তবে সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র হবে। 
- সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে, তা আয়ত। 

১ মিনিট বা ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে ৯০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে ঘুরে ৯০/৬০ বার
= ১.৫ বার
১ বার ঘুরলে ঘুরে ৩৬০°
∴ ১.৫ বার ঘুরলে ঘুরে (৩৬০ × ১.৫)°
= ৫৪০°
৫৪০° ঘুরে ১ সেকেণ্ডে
∴ ৯০° ঘুরে (১×৯০)/৫৪০ সেকেন্ডে
= ১/৬ সেকেন্ডে

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর অর্ধেক এবং সমান্তরাল। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. হয়, তবে সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের মধ্যবিন্দু উপপাদ্য,
একটি ত্রিভুজের যেকোনো দুইটি বাহুর মধ্যবিন্দুকে যুক্ত করলে যে রেখাংশ পাওয়া যায়, সেটি তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং তার অর্ধেক দৈর্ঘ্যের হয়।

দেওয়া আছে,
তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৮ সে.মি.
সুতরাং, সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য = তৃতীয় বাহুর অর্ধেক = ১৮ ÷ ২ = ৯ সে.মি. 

কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

প্রশ্ন: 2° সমান কত রেডিয়ান? 

সমাধান: 
রেডিয়ান: 
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে। 

আমরা জানি, 
180° = π রেডিয়ান 
∴ 1° = π/180 রেডিয়ান
∴ 2° = 2 × (π/180)
= π/90

প্রশ্ন: (6, 4) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত x-অক্ষকে স্পর্শ করলে, বৃত্তটির ব্যাস কত একক?

সমাধান:
(6, 4) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত x-অক্ষকে স্পর্শ করে (অর্থাৎ y = 0), তাহলে কেন্দ্র থেকে x-অক্ষ পর্যন্ত অনুভূমিক দূরত্বই বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

কেন্দ্রের y-সমন্বয় = 4 ⇒ দূরত্ব = |4| = 4 একক।

তাহলে ব্যাসার্ধ = 4 একক ⇒ ব্যাস = 2 × 4 = 8 একক.
বৃত্তটির ব্যাস = 8 একক। 

আমরা জানি,
গোলকের ক্ষেত্রফল = 4 × বৃত্তের ক্ষেত্রফল
= 4πr² এবং আয়তন = (4/3)πr³
সুতরাং গোলকের ব্যাসার্ধ 2 গুণ বৃদ্ধি করলে উহার ক্ষেত্রফল 4 গুণ এবং আয়তন 8 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

ধরি,
প্রস্থ = x মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = 2x মিটার
প্রশ্নমতে,
x.2x = 72
⇒ x² = 36
⇒ x = 6
অর্থাৎ, প্রস্থ 6 মিটার এবং দৈর্ঘ্য 12 মিটার।
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = 2(6+12) মিটার
= ৩৬ মিটার।

আমরা জানি,
tan²θ = sec²θ - 1
এখন, tan²θ = (3/2)² - 1 = (9/4) - 1 = 5/4
∴ tanθ = √5/2

রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = ৩০ + (২ × ২) = ৩৪ মিটার
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = ২০ + (২ × ২) = ২৪ মিটার
∴রাস্তাসহ বাগানের পরিসীমা = ২ × (৩৪ + ২৪) = ১১৬ মিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গের পরিসীমা 32 মিটার। যদি বর্গের বাহু দ্বিগুণ করা হয়, নতুন বর্গের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
বর্গের পরিসীমা, P = 4a [যেখানে a হল বাহু]
∴ 4a = 32
⇒ a = 8 মিটার

প্রাথমিক ক্ষেত্রফল, A = a²
= 8² = 64 বর্গমিটার

বাহু দ্বিগুণ করলে, a' = 2 × 8 = 16 মিটার

∴ নতুন ক্ষেত্রফল, A' = (a')²
= 16² = 256 বর্গমিটার

ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি = (A' - A)/A × 100
= {(256 - 64)/64} × 100
= (192/64) × 100
= 300%

∴ ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি = 300%

ধরি, ভুমির দৈর্ঘ্য = x, লম্বের দৈর্ঘ্য = x - 2, অতিভূজের দৈর্ঘ্য = x + 2
∴ x² + (x - 2)² = (x + 2)²
বা, x² = (x + 2)² - (x - 2)²
বা, x² = 4.x.2
বা, x² - 8x = 0
বা, x(x - 8) = 0
বা, x - 8 = 0
∴ x = 8
∴ অতিভূজের দৈর্ঘ্য = x + 2 = 8 + 2 = 10 cm 

চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি ৩৬০°
∴চতুর্থ কোণের মান = ৩৬০° - ২৮০° = ৮০°

C = 120°
∴ A = 180° - C
= 180° - 120° = 60°

আবার,
A : B = 2 : 3
বা, A/B = 2/3
বা, B/A = 3/2
বা, B = 3/2 × A
= 3/2 × 60° = 90°

∴ D = 180° - B
= 180° - 90°
= 90°

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ (বাহু)^২ বর্গমি.
= √৩/৪ (১৮)^২ বর্গমি.
= ৮১√৩ বর্গমি.

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
ষড়ভুজের বাহুর সংখ্যা = ৬ টি 

আমরা জানি,
বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি = {৯০ × (২n - ৪)}° 
= {৯০ × (২ × ৬ - ৪)}° 
={৯০ × (১২ - ৪)}° 
= (৯০ × ৮}° 
= ৭২০°

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a

তাহলে, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) a² বর্গ একক

দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে, ক্ষেত্রফল = (√3/4) (a +2)²
= (√3/4) (a² + 4a + 4) বর্গ একক

প্রশ্নমতে,
(√3/4) (a² + 4a + 4) = (√3/4) a² + 3√3
⇒ √3(a² + 4a + 4) = √3a² + 12√3
⇒ √3(a² + 4a + 4) = √3(a² + 12)
⇒ a² + 4a + 4 = a² + 12
⇒ 4a = a² + 12 - a² - 4
⇒ 4a = 8
∴ a = 2

অতএব, সমবাহু ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার। 

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বাড়ানো হলো এবং প্রস্থ ২০% কমানো হলো। ক্ষেত্রফল ....

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ক 
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ খ
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = কখ

দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধিতে 
নতুন দৈর্ঘ্য = ক  + ক এর ২০%
= ক + ক এর ২০/১০০
= ক + ক/৫
= ৬ক/৫

প্রস্থ ২০% হ্রাসে 
নতুন প্রস্থ = ক  - ক এর ২০% 
= ক - ক এর ২০/১০০
= ক - ক/৫
= ৪ক/৫

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (৬ক/৫) × (৪ক/৫) = ২৪কখ/২৫

∴ ক্ষেত্রফল হ্রাস = কখ - ২৪কখ/২৫
= (২৫কখ - ২৪কখ)/২৫
= কখ/২৫

∴ শতকরা ক্ষেত্রফল হ্রাস= {(কখ/২৫)/কখ} × ১০০%
=  ৪%

অতএব, ক্ষেত্রফল ৪% কমবে। 

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 1/2 সে.মি. হলে, বহুভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.? 

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সুষম ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে, সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = [(3√3)/2] × a²  বর্গ একক।

∴ সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = [(3√3)/2] × (1/2)²
= [(3√3)/2] × (1/4) 
= (3√3)/8  বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ ১০ মিটার, এবং ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গমিটার। যদি দ্বিতীয় কর্ণটি ২০% বৃদ্ধি করা হয়, তাহলে ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত: d₁= ১০ মিটার, ক্ষেত্রফল A = ১২০ বর্গমিটার।

রম্বসের ক্ষেত্রফল A সূত্র:
A = ১/২ × d₁ × d₂
⇒ ১২০ = ১/২ ​× ১০ × d₂​
⇒ ৫d₂​ = ১২০
⇒ d_{2 ​}= ২৪

দ্বিতীয় কর্ণটি ২০% বৃদ্ধি করলে:
d₂′ = ২৪ × ১.২
= ২৮.৮ মিটার

নতুন ক্ষেত্রফল A′:
A′ = ১/২ × ১০ × ২৮.৮ = ২৮৮/২ = ১৪৪ বর্গমিটার
 
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = ১৪৪ বর্গমিটার