লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

জ্যামিতি

মোট প্রশ্ন১০,৭৫২এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

জ্যামিতি

PrepBank · পাতা ৫৮ / ১০৭ · ৫,৭০১–৫,৮০০ / ১০,৭৫২

৫,৭০১.
5 একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার পরিধির কত শতাংশ?
  1. ক
    ক) 40%
  2. খ
    খ) 250%
  3. গ
    গ) 500%
  4. ঘ
    ঘ) 400%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার পরিধির কত শতাংশ?

সমাধান:
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (5)2 = 25π
বৃত্তের পরিধি = 2πr = 2 × π × 5 = 10π

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার পরিধির = (25π/10π) × 100 = 250 শতাংশ
৫,৭০২.
একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ ফুট হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ১৬ বর্গফুট
  2. খ
    ৩২ বর্গফুট
  3. গ
    ৬৪ বর্গফুট
  4. ঘ
    ১২৮ বর্গফুট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ ফুট হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a = ৪ ফুট
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য  = √২ × ৪ ফুট
= ৪√২ 

অপর বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪√২ ফুট
অপর বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =(৪√২)২ 
= ১৬ × ২ বর্গফুট 
= ৩২ বর্গফুট।
৫,৭০৩.
একটি বর্গাকৃতি ক্ষেত্রের পরিসীমা 56 মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    196 বর্গমিটার
  2. খ
    96 বর্গমিটার
  3. গ
    121 বর্গমিটার
  4. ঘ
    140 বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি ক্ষেত্রের পরিসীমা 56 মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরা যাক, বর্গাকৃতি ক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার।
∴পরিসীমা = 4a
পরিসীমা = 56 মিটার হলে,

প্রশ্নমতে,
⇒ 4a = 56
⇒ a = 56/4
∴ a = 14 মিটার 
এখন, বর্গের ক্ষেত্রফল = a2
=142
=196 বর্গমিটার
৫,৭০৪.
একটি চর্তুভুজের চারটি কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে ‍বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    100°
  2. খ
    115°
  3. গ
    135°
  4. ঘ
    225°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চর্তুভুজের চারটি কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে ‍বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°
চার কোণের অনুপাত = 1 : 2 : 2 : 3
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = 1 + 2 + 2 + 3 = 8
সুতরাং বৃহত্তম কোণ = 3/8 × 360°
= 135°
৫,৭০৫.
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করলে আয়তন কতগুণ হবে?
  1. ক
    2 গুণ
  2. খ
    4 গুণ
  3. গ
    6 গুণ
  4. ঘ
    8 গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গোলকের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করলে আয়তন কতগুণ হবে?

সমাধান:
মনে করি, 
গোলকের প্রাথমিক ব্যাসার্ধ = r
সুতরাং গোলকের আয়তন, V1 = 4/3 πr3

আবার, 
ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হলে নতুন ব্যাসার্ধ = 2r 
এবং
পরিবর্তিত আয়তন, V2 = ( 4/3 ) × π × ( 2r )3

তাহলে, 
আয়তনের বৃদ্ধি = V2 /  V1
 = {( 4/3 ) × π × ( 2r )3 } / {( 4/3 ) πr3 }
= 8
৫,৭০৬.
একটি আয়তক্ষেত্র ও একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা সমান। আবার আয়তক্ষেত্রের বড় বাহু ছােট বাহুর ৩ গুণ। বড় বাহু ২১ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) ২১ মিটার
  2. খ
    খ) ৫৬ মিটার
  3. গ
    গ) ৭ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ১৪ মিটার
ব্যাখ্যা
আয়তক্ষেত্রের বড় বাহুর দৈর্ঘ্য ২১ মিটার
আয়তক্ষেত্রের ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য ২১/ ৩মিটার 
                                                = ৭ মিটার

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা= ২ ( ৭ + ২১) মিটার
                                    = ৫৬ মিটার 

বর্গের পরিসীমা =  ৫৬ মিটার 
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৫৬/ ৪ মিটার 
                                 = ১৪ মিটার
৫,৭০৭.
একটি গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 100π হলে এর আয়তন কত?
  1. ক
    ক) 50π/3
  2. খ
    খ) 500π
  3. গ
    গ) 500π/3
  4. ঘ
    ঘ) 150π
ব্যাখ্যা

ধরি,
গোলকের ব্যাসার্ধ = r
∴ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 4πr2 = 100π
বা, r2 = 25
∴ r = 5
∴ আয়তন = 4/3 × π × r3
= 4/3 × π × 53
= 500π/3

৫,৭০৮.
চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত যথাক্রমে 1 : 2 : 2 : 3 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?
  1. ক
    45°
  2. খ
    90°
  3. গ
    120°
  4. ঘ
    150°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত যথাক্রমে 1 : 2 : 2 : 3 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণের অনুপাত, 1 : 2 : 2 : 3
অনুপাতের সাধারণ x হলে, x, 2x, 2x, 3x

∴ চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি,
⇒ x + 2x + 2x + 3x = 360°
⇒ 8x = 360°
⇒ x = 360°/8
⇒ x ​= 45°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = x = 45∘
∴ বৃহত্তম কোণ = 3x = 3 × 45∘ = 135∘

∴ পার্থক্য = (135 - 45∘) = 90∘
৫,৭০৯.
একটি ত্রিভুজের যে কোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের হবে? 
  1. ক
    সমবাহু
  2. খ
    স্থূলকোণী
  3. গ
    সূক্ষ্মকোণী
  4. ঘ
    সমকোণী
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের যে কোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের হবে?

সমাধান: 
ধরি, 
বড় কোণ = x 
∴ অপর দুই কোণের সমষ্টি = x 

শর্তমতে, 
x + x = 180° 
বা, 2x = 180° 
বা, x = 180°/2 
∴ x = 90° 

অর্থাৎ, ত্রিভুজটি সমকোণী।
৫,৭১০.
৬০° এর পূরক কোণ কোনটি?
  1. ক
    ১২০°
  2. খ
    ৩০০°
  3. গ
    ৩০°
  4. ঘ
    ২১০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ৬০° কোণের পূরক কোণ কত?

সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে,  কোণ দুইটি একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
৬০° কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৬০° = ৩০°
৫,৭১১.
৩ মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি চাপের দৈর্ঘ্য π মিটার হলে। উক্ত চাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ কত?
  1. ক
    ক) ৩০°
  2. খ
    খ) ৪৫°
  3. গ
    গ) ৬০°
  4. ঘ
    ঘ) ৫৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩ মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি চাপের দৈর্ঘ্য π মিটার হলে। উক্ত চাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ কত?

সমাধান: 
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৩ মিটার 
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, s = π মিটার

আমরা জানি,
s = rθ 
বা, θ = s/r
= π/৩ রেডিয়ান
= ৬০°
৫,৭১২.
কোনো ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 মিটার হলে, এর আয়তন কত ঘনমিটার ? 
  1. ক
    ক) 18 ঘনমি.
  2. খ
    খ) 36 ঘনমি.
  3. গ
    গ) 23 ঘনমি.
  4. ঘ
    ঘ) 64 ঘনমি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 মিটার হলে, এর আয়তন কত ঘনমিটার ? 

সমাধান: 
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য, √3a = 4√3
∴ a = 4 মি.
∴ ঘনকের আয়তন = 43
= 43
= 64 ঘনমি.
৫,৭১৩.
একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ? 
  1. ক
    ক) ৩ গুণ 
  2. খ
    খ) ৪ গুণ 
  3. গ
    গ) ৬ গুণ 
  4. ঘ
    ঘ) ৯ গুণ 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ? 

সমাধান: 
ধরি,
সরলরেখার দৈর্ঘ্য ৩ একক
তবে এর এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ১ বর্গ একক 
∴ সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (৩ × ৩) = ৯ বর্গ একক 

∴ সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের (৯/১) = ৯ গুণ
৫,৭১৪.
বৃত্তের সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্যকে বলা হয়-
  1. ক
    ক) বৃত্তচাপ
  2. খ
    খ) জ্যা
  3. গ
    গ) ব্যাস
  4. ঘ
    ঘ) পরিধি
ব্যাখ্যা
বৃত্ত সম্পর্কে কিছু তথ্য: 
- বৃত্তের সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্যকে পরিধি বলা হয়।
- একটি বৃত্তের যেকোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাকে জ্যা বলে।
- জ্যা যদি বৃত্তের কেন্দ্রগামি হয় তবে তাকে ব্যাস বলে।
- ব্যাসের অর্ধেক ব্যাসার্ধ।
- বৃত্তের পরিধির অংশকে চাপ বলে।
- বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে বৃত্তের পরিধি = 2πr
৫,৭১৫.
একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০মিটার। ত্রিভুজটির ভূমি ১০০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত? 
  1. ক
    ক) ৫০ মিটার
  2. খ
    খ) ২৫ মিটার
  3. গ
    গ) ৪৫ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ১০০ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০মিটার। ত্রিভুজটির ভূমি ১০০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার  
বর্গের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৫০) বর্গ মিটার 
= ২৫০০ বর্গ মিটার 

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গ মিটার 
ত্রিভুজটির ভূমি ১০০ মিটার  

আমরা জানি,
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
বা, (১/২) × ১০০ × উচ্চতা = ২৫০০
বা, উচ্চতা = (২৫০০ × ২)/১০০ 
∴ উচ্চতা = ৫০ মিটার।
৫,৭১৬.
নিচে ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য সে. মি. এককে দেয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?
  1. ক
    3, 4, 5
  2. খ
    5, 12, 13
  3. গ
    6, 8, 10
  4. ঘ
    2, 4, 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচে ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য সে. মি. এককে দেয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ২ = ভূমি২ + লম্ব২

32 + 42 = 52 [যা সমকোণী ত্রিভুজ ]
62 + 82 = 102 [যা সমকোণী ত্রিভুজ ]
52 + 122 = 132 [যা সমকোণী ত্রিভুজ ]
22 + 42 ≠ 82 [যা সমকোণী ত্রিভুজ নয়]

∴অপশন ঘ এর বাহুগুলোর দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
৫,৭১৭.
দুইটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4 : 3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 3 : 4 হলে ভূমির অনুপাত কত? 
  1. ক
    9 : 8
  2. খ
    5 : 8
  3. গ
    16 : 9
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4 : 3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 3 : 4 হলে ভূমির অনুপাত কত? 

সমাধান: 
ধরি, ত্রিভুজের ভূমি যথাক্রমে x এবং y 
এবং তাদের উচ্চতা যথাক্রমে 3h এবং 4h

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা

এখন, 
{(1/2) × x × 3h} : {(1/2) × y × 4h} = 4 : 3
⇒ {(1/2) × x × 3h}/{(1/2) × y × 4h} = 4/3 
⇒ (3x/2)/(2y) = 4/3
⇒ x/y = (4/3) × (4/3)
⇒ x/y = 16/9
∴ x : y = 16 : 9

সুতরাং, ভূমির অনুপাত 16 : 9

৫,৭১৮.
cosA secA + 1 এর মান কত? 
  1. ক
    1/4
  2. খ
    1/2
  3. গ
    1
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cosA secA + 1 এর মান কত?

সমাধান:
cosA secA + 1
= cosA (1/cosA) + 1
= 1 + 1
= 2

৫,৭১৯.
একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৮ হলে, বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?
  1. ক
    ১২টি
  2. খ
    ১৮টি
  3. গ
    ১৫টি
  4. ঘ
    ২০টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৮ হলে, বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২
= ৮(৮ - ৩)/২
= ২০ টি
৫,৭২০.
বৃত্তের ব্যাস ২৫% বৃদ্ধি করলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
  1. ক
    ক) ২৫%
  2. খ
    খ) ৫০%
  3. গ
    গ) ৫৬.২৫%
  4. ঘ
    ঘ) ১০০%
ব্যাখ্যা

বৃদ্ধিপ্রাপ্ত ব্যাস = d + d এর 25% = 1.25d
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = (π/4) × (1.25d)² - (π/4) × d²
= (π/4)d² (1.5625 - 1)
= .5625 × (π/4)d²
= 56.25% × (π/4)d²

৫,৭২১.
ABC ত্রিভুজের ∠A এক সমকোণ। BP ও CQ দুইটি মধ্যমা। BP = 3সেমি ও CQ = 4সেমি হলে, BC বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) √5 সে.মি.
  2. খ
    খ) 2√5 সে.মি.
  3. গ
    গ) 3√5 সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 5√5 সে.মি.
ব্যাখ্যা
ABC ত্রিভুজের ∠A এক সমকোণ।
BP ও CQ দুইটি মধ্যমা।
BP = 3সে.মি. ও CQ = 4সে.মি.
5BC2 = 4(BP2 + CQ2)
5BC2 = 4(32 + 42)
5BC2 = 4(9 + 16)
5BC2 = 100
BC2 = 20
BC = 2√5
BC বাহুর দৈর্ঘ্য = 2√5 সে.মি.

সূত্র - গণিত, অষ্টম শ্রেণি, বোর্ড বই
৫,৭২২.
কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি- 
  1. ক
    বিষমবাহু
  2. খ
    সমকোণী
  3. গ
    সমদ্বিবাহু
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি- 

সমাধান: 
ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
সুতরাং ত্রিভুজের দুটি বহিঃস্থ কোণ সমান হলে ত্রিভুজটির অন্তঃস্থ কোণ দুটিও সমান হবে।
অর্থাৎ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু হবে।
৫,৭২৩.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা 6 মি. বেশি। লম্বের দৈর্ঘ্য 12 মি. হলে, অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত মিটার?
  1. ক
    ক) 9 মি.
  2. খ
    খ) 16 মি.
  3. গ
    গ) 15 মি.
  4. ঘ
    ঘ) 18 মি.
ব্যাখ্যা
ধরি,
ভূমি = x মি.
সুতরাং, অতিভুজ = x + 6 মি.
এখানে, লম্ব = 12 মি.

∴ সূত্রানুসারে,
(x + 6)2 = x2 + 122
⇒ x2 + 12x + 36 = x2 +144
⇒ 12x = 108
⇒ x = 9

∴ অতিভুজ = 9 + 6 = 15 মি.
৫,৭২৪.
একটি ত্রিভুজের সন্নিহিত দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং এদের দৈর্ঘ্য ৪ মিটার, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৪ বর্গমিটার হলে সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত হবে?
  1. ক
    ক) ৪৫°
  2. খ
    খ) ৩০°
  3. গ
    গ) ৬০°
  4. ঘ
    ঘ) ৯০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের সন্নিহিত দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং এদের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ২৫ বর্গমিটার হলে সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত হবে?

সমাধান:

ধরি,
ত্রিভুজের সন্নিহিত বাহু দুটি যথাক্রমে a = ১০ মিটার এবং b = ১০ মিটার,
সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ θ 

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (১/২)absinθ বর্গমিটার

(১/২)absinθ = ২৫
⇒ absinθ = ৫০
⇒ ১০ × ১০ × sinθ = ৫০
⇒ sinθ = ১/২
⇒ sinθ = sin৩০°
⇒ θ = ৩০°

সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ ৩০°
৫,৭২৫.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা ১২ মিটার এবং ভূমি ৫ মিটার হলে, ত্রিভুজটির অতিভুজ কত?
  1. ক
    ১৫ মিটার
  2. খ
    ১৩ মিটার
  3. গ
    ১২ মিটার
  4. ঘ
    ১১ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা ১২ মিটার এবং ভূমি ৫ মিটার হলে, ত্রিভুজটির অতিভুজ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা = ১২ মিটার 
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = ৫ মিটার

আমরা জানি,
(অতিভুজ)২ = (উচ্চতা)২ + (ভূমি)২
⇒ (অতিভুজ)২ = (১২)২ + (৫)২
⇒ (অতিভুজ)২ = ১৪৪ + ২৫
⇒ (অতিভুজ)২ = ১৬৯
∴ অতিভুজ = ১৩

∴ ত্রিভুজটির অতিভুজ = ১৩ মিটার
৫,৭২৬.
পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 101 হলে অন্য দুটি সদস্য কী কী?
  1. ক
    12, 35
  2. খ
    13, 84
  3. গ
    16, 63
  4. ঘ
    20, 99
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 41 হলে অন্য দুটি সদস্য কী কী?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
পিথাগোরাস ত্রয়ী (Pythagorean triplet) হলো তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সেট, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করে

তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c2 = a2 + b2
শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।

যেমন:
(3, 4, 5)
(5, 12, 13)
(7, 24, 25)

(8, 15, 17)
(9, 40, 41)
(11, 60, 61)

(12, 35, 37)
(13, 84, 85)
(16, 63, 65)
(20, 99, 101)

এখানে,
202 +  992 = 1012
⇒ 400 + 9801 = 10201
⇒ 10201 = 10201
৫,৭২৭.
১৫ ফুট দীর্ঘ এবং ১০ ফুট প্রস্থ একটি কার্পেট দিয়ে একটি রুমের মেঝের ৪০% জায়গা ঢেকে দেয়া যায়।  প্রতি বর্গফুট মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে ৩ টাকা খরচ হলে সম্পূর্ণ মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে কত টাকা খরচ হবে?
  1. ক
    ১১২৫ টাকা 
  2. খ
    ১২৫০ টাকা 
  3. গ
    ১৪২০ টাকা
  4. ঘ
    ১৫৫৫ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৫ ফুট দীর্ঘ এবং ১০ ফুট প্রস্থ একটি কার্পেট দিয়ে একটি রুমের মেঝের ৪০% জায়গা ঢেকে দেয়া যায়।  প্রতি বর্গফুট মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে ৩ টাকা খরচ হলে সম্পূর্ণ মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
কার্পেটের ক্ষেত্রফল = ১৫ × ১০ বর্গফুট = ১৫০ বর্গফুট

৪০% মেঝের ক্ষেত্রফল = ১৫০ বর্গফুট
∴ ১০০% মেঝের ক্ষেত্রফল = (১৫০ × ১০০)/৪০ বর্গফুট
= ৩৭৫ বর্গফুট

∴ মেঝে ঢাকতে খরচ হবে = ৩৭৫ × ৩ = ১১২৫ টাকা 
৫,৭২৮.
cosθ = 4/5 হলে, cotθ = কত?
  1. ক
    4/3
  2. খ
    5/3
  3. গ
    3/4
  4. ঘ
    2/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosθ = 4/5 হলে, cotθ = কত?

সমাধান:
৫,৭২৯.
sin(nπ/6) অনুক্রমটির চতুর্থ পদ কোনটি?
  1. ক
    √3/2
  2. খ
    1
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sin(nπ/6) অনুক্রমটির চতুর্থ পদ কোনটি?

সমাধান:
এখানে,
sin(nπ/6) এর তৃতীয় পদ = {sin(4 × π)/6}
= {sin(4 × 180°)/6}
= sin120°
= sin(90° + 30°) 
= cos30°
= √3/2
৫,৭৩০.
সমবাহু ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তার দুই-তৃতীয়াংশ কত?
  1. ক
    ক) 60°
  2. খ
    খ) 120°
  3. গ
    গ) 80°
  4. ঘ
    ঘ) 180°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তার দুই-তৃতীয়াংশ কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাণ 60°

ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরিত অন্তস্থ দুইটি কোণের সমষ্টির সমান।

সুতরাং,
 সমবাহু ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় এর মান হবে 60° + 60° = 120°

120° এর দুই-তৃতীয়াংশ = 120° × (2/3) = 240°/3 = 80°

৫,৭৩১.
ABCD একটি আয়তক্ষেত্র এবং BEFH একটি বর্গক্ষেত্র। এদের প্রত্যেকের ক্ষেত্রফল 64 বর্গ মিটার। C, BE এর মধ্যবিন্দু হলে  ABCD আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত? 
  1. ক
    ক) 20 মিটার 
  2. খ
    খ) 30 মিটার 
  3. গ
    গ) 40 মিটার 
  4. ঘ
    ঘ) 50 মিটার 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABCD একটি আয়তক্ষেত্র এবং BEFH একটি বর্গক্ষেত্র। এদের প্রত্যেকের ক্ষেত্রফল 64 বর্গ মিটার। C, BE এর মধ্যবিন্দু হলে  ABCD আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত? 


সমাধান:
 BEFH বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 64 বর্গ মিটার
BE এর দৈর্ঘ্য = √64 = 8 মিটার

C, AB এর মধ্যবিন্দু হলে BC = 8/2 = 4 মিটার 
AB এর দৈর্ঘ্য =64/4 = 16 মিটার 

ABCD আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(16 + 4)মিটার 
= 40 মিটার
৫,৭৩২.
ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। উহার AB ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) 120°
  2. খ
    খ) 180°
  3. গ
    গ) 240°
  4. ঘ
    ঘ) 280°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। উহার AB ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি কত?

সমাধান:

ধরি,  AB ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় x এবং y
x = 180° - 60°
∴ x = 120°

y =  = 180° - 60°
∴ y = 120°

∴ x + y = 120° + 120°
= 240°
৫,৭৩৩.
একটি বৃত্তের ব্যাস 5 গুণ বৃদ্ধি করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
  1. ক
    10 গুণ
  2. খ
    25 গুণ
  3. গ
    20 গুণ
  4. ঘ
    35 গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 5 গুণ বৃদ্ধি করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 10r) = 12r
∴ ব্যাসার্ধ = 12r/2 = 6r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(6r)2 = 36πr2
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 36πr2 - πr2 = 35πr2
∴ 35 গুণ বৃদ্ধি পাবে।
৫,৭৩৪.
দুইটি ত্রিভুজ সদৃশ হলে-
  1. ক
    ক) অনুরূপ কোণগুলো সমান
  2. খ
    খ) অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক
  3. গ
    গ) অনুরূপ কোণগুলো অসমান
  4. ঘ
    ঘ) ক ও খ
ব্যাখ্যা
দুইটি ত্রিভুজ বা বহুভুজ সদৃশ হলে
- অনুরূপ কোণগুলো সমান।
- অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক।

- সদৃশ চিত্রের বাহুগুলোর অনুপাত দ্বারা মূল চিত্রের তুলনায় অন্য চিত্রের বর্ধন অথবা সঙ্কোচন বোঝায়।
- সদৃশ চিত্র একই আকৃতির কিন্তু আকারে সমান নাও হতে পারে।
- সদৃশ চিত্রের আকার সমান হলে তা সর্বসম চিত্রে পরিণত হয়।
সুতরাং সর্বসমতা সদৃশতার বিশেষ রূপ ।
৫,৭৩৫.
একটি খুটির দৈর্ঘ্য 18 মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে সূর্যের উন্নতি কোণ 30° হবে?
  1. ক
    21 মিটার
  2. খ
    18√3 মিটার
  3. গ
    36 মিটার
  4. ঘ
    27√3 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি খুটির দৈর্ঘ্য 18 মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে সূর্যের উন্নতি কোণ 30° হবে?
​
​সমাধান:
​
​খুটির দৈর্ঘ্য, AB = 18 মিটার
​ছায়ার দৈর্ঘ্য, BC = ?
​সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = θ = 30°

​ত্রিভুজ ABC-তে,
​tanθ = AB/BC
​⇒ tan30° = 18/BC
​​⇒ 1/√3 = 18/BC
​​⇒ BC = 18√3
​সুতরাং, ছায়ার দৈর্ঘ্য হবে 18√3 মিটার।

৫,৭৩৬.
একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার। ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
     2√2 মিটার
  2. খ
    2√3 মিটার
  3. গ
    2 মিটার
  4. ঘ
    2√6 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার। ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =  6a2, [যেখানে a হলো ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য।]

প্রশনমতে, 
6a2 = 48
⇒ a2 = 48/6
⇒ a2 = 8
⇒ a = √8 = 2√2 
∴ a = 2√2 মিটার

আবার,
আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3
= (2√2) × √3  ; [a = 2√2]
= 2√(2 × 3)
= 2√6

সুতরাং, ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 2√6 মিটার।

৫,৭৩৭.
কোনো ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5, 12,13 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 
  1. ক
    24 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    78 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    32.5 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    30 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5, 12,13 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
 ত্রিভুজের বাহু তিনটির দিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা যায় 
সমকোণ সংলগ্ন বাহু 5,12

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল  = (1/2)× 5 × 12 = 30 বর্গ সে.মি.
৫,৭৩৮.
It requires Taka 20 for fencing 1 meter. How much will it cost to fence a plot having length of 30 meters and breadth of 10 meters? 
  1. ক
    1000 tk.
  2. খ
    1500 tk.
  3. গ
    1600 tk.
  4. ঘ
    1900 tk.
ব্যাখ্যা
Question: It requires Taka 20 for fencing 1 meter. How much will it cost to fence a plot having length of 30 meters and breadth of 10 meters? 

Solution: 
প্লটটির দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার 
প্লটটির প্রস্থ= ১০ মিটার 

প্লটটির পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
= ২ (৩০ + ১০)
= ২ × ৪০
= ৮০ মিটার

নির্ণেয় খরচ = ৮০ × ২০ টাকা
= ১,৬০০ টাকা।
৫,৭৩৯.
চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত হবে?
  1. ক
    ক) 90°
  2. খ
    খ) 135°
  3. গ
    গ) 175°
  4. ঘ
    ঘ) 210°
ব্যাখ্যা
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
চার কোণের অনুপাত = ১ : ২ : ২ : ৩
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ১ + ২ + ২ + ৩ = ৮
বৃহত্তম কোণ = (৩৬০ এর ৩/৮)° = ১৩৫°
৫,৭৪০.
(- 3, - 5) বিন্দুটি কোন চর্তুভাগে অবস্থিত?
  1. ক
    প্রথম
  2. খ
    দ্বিতীয়
  3. গ
    তৃতীয়
  4. ঘ
    চতুর্থ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (- 3, - 5) বিন্দুটি কোন চর্তুভাগে অবস্থিত?

সমাধান:

এখানে, (- 3, - 5) বিন্দুটি তৃতীয় চর্তুভাগে অবস্থিত ।
৫,৭৪১.
3 সে.মি. ধার বিশিষ্ট একটি ঘনকের দুইটি কর্ণের সমষ্টি কত?
  1. ক
    √3
  2. খ
    4√3
  3. গ
    6√3
  4. ঘ
    8√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 সে.মি. ধার বিশিষ্ট একটি ঘনকের দুইটি কর্ণের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের ধার, a = 3 সে.মি. 

আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণ,
= a√3
= 3√3 সে.মি. 

∴ দুইটি কর্ণের সমষ্টি = (3√3 + 3√3) সে.মি. = 6√3 সে.মি. 
৫,৭৪২.
যদি tan (x - 30°) = 1/√3 হয়, তাহলে sinx = ?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    √3
  3. গ
    √3/2
  4. ঘ
    1/√2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি tan (x - 30°) = 1/√3 হয়, তাহলে sinx = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
tan (x - 30°) = 1/√3
⇒ tan (x - 30°) = tan 30°
⇒ x - 30° = 30°
⇒ x = 60°
∴ sin 60° = √3/2

৫,৭৪৩.
৫ সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কোনো বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৮ সেমি দীর্ঘ জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য হবে-
  1. ক
    ক) ৬ সেমি
  2. খ
    খ) ৫ সেমি
  3. গ
    গ) ৩ সেমি
  4. ঘ
    ঘ) ৪ সেমি
ব্যাখ্যা

এখানে অঙ্কিত লম্ব জ্যা কে দ্বিখণ্ডিত করবে।
অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য২ = ৫২ - ৪২ = ৯
বা, অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য = ৩ সে.মি.

৫,৭৪৪.
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত একটি কোণ ৫০° হলে অপর কোণটি কত?
  1. ক
    ক) 40°
  2. খ
    খ) 50°
  3. গ
    গ) 20°
  4. ঘ
    ঘ) 30°
ব্যাখ্যা
অপর কোণের পরিমাপ = ১৮০° - (৯০° + ৫০°) = ৪০°
৫,৭৪৫.
একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ৭৮ সে.মি. এবং বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৩ : ৪ : ৬ হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ২৬ সে.মি.
  2. খ
    ৩০ সে.মি.
  3. গ
    ৩৬ সে.মি.
  4. ঘ
    ৩৮ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ৭৮ সে.মি. এবং বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৩ : ৪ : ৬ হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩ক সে.মি., ৪ক সে.মি. এবং ৬ক সে.মি.

শর্তমতে,
৩ক + ৪ক + ৬ক = ৭৮
⇒ ১৩ক = ৭৮
∴ ক = ৬

∴ বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য = (৬ × ৬) সে.মি.
= ৩৬ সে.মি.
৫,৭৪৬.
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাণ-
  1. ক
    ক) ৬০°
  2. খ
    খ) ৩০°
  3. গ
    গ) ৭০°
  4. ঘ
    ঘ) ৮০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাণ-

সমাধান: 
- যে ত্রিভুজের তিন কোণ সমান, তার বাহুগুলোও সমান হয় বলে তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে।
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ ৬০°।
- সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় পরস্পর সমান
৫,৭৪৭.
একটি সমবৃত্তভুমিক বেলনের উচ্চতা 10 সে.মি ও ভূমির ব্যসার্ধ 7 সে.মি হলে, এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    238Π
  2. খ
    117Π
  3. গ
    34Π
  4. ঘ
    171Π
ব্যাখ্যা

একটি সমবৃত্তভুমিক বেলনের উচ্চতা 10 সেমি ও ভূমির ব্যসার্ধ 7 সেমি হলে, এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
= 2Πr(r + h)
= 2 × Π × 7(7 + 10)
= 238Π

৫,৭৪৮.
একটি ত্রিভুজের দু’টি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে ৩৯° এবং ৫১° হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
  1. ক
    ক) সমকোণী
  2. খ
    খ) সমবাহু
  3. গ
    গ) সমদ্বিবাহু
  4. ঘ
    ঘ) স্থুলকোণী
ব্যাখ্যা
ত্রিভুজের তৃতীয় কোণ = ১৮০° - (৩৯° + ৫১°) = ৯০°
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।
৫,৭৪৯.
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ও সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা সমান, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ৩.৫ মিটার
  2. খ
    ৪ মিটার
  3. গ
    ৫ মিটার
  4. ঘ
    ৬ মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ও সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা সমান, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে পরিসীমা ৩ক একক।
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে পরিসীমা ৪ক একক।

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য  = ৮ মিটার
তাহলে, এর পরিসীমা = ৩ × ৮ = ২৪ মিটার

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২৪ মিটার
∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ২৪/৪ = ৬ মিটার।

৫,৭৫০.
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমান দূরে অবস্থিত দুটি জ্যা এর মধ্যে সম্পর্ক কি?
  1. ক
    ক) জ্যা দুটি পরষ্পর সমান
  2. খ
    খ) একটি অপরটি থেকে বৃহত্তর
  3. গ
    গ) জ্যা দুটি একই সরলরেখা বরাবর অবস্থিত
  4. ঘ
    ঘ) কোন সম্পর্ক নেই
ব্যাখ্যা
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরষ্পর সমান। (উপপাদ্য)
৫,৭৫১.
একটি ত্রিভুজের তিন কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩ হলে, ত্রিভুজটি হবে -
  1. ক
    ক) সমবাহু
  2. খ
    খ) সুক্ষকোণী
  3. গ
    গ) স্থুলকোণী
  4. ঘ
    ঘ) সমকোণী
ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১:২:৩ হলে
১+২+৩ = ৬x
৬x= ১৮০°
x=৩০°
১ম দুইটি কোণ= যথাক্রমে ৩০° ও ৬০°
তৃতীয় কোণ=৯০°
আমরা জানি ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০° হলে তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে।

৫,৭৫২.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে 20 মিটার বেশি এবং পরিসীমা 180 মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    1500 বর্গমিটার
  2. খ
    1800 বর্গমিটার
  3. গ
    1925 বর্গমিটার
  4. ঘ
    1975 বর্গমিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে 20 মিটার বেশি এবং পরিসীমা 180 মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - 20) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = 2 {x + (x - 20)} মিটার
= 2 (2x - 20) মিটার
= (4x - 40) মিটার

প্রশ্নমতে,
4x - 40 = 180
বা, 4x = 180 + 40
বা, 4x = 220
বা, x = 220/4
∴ x = 55
অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = 55 মিটার 
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (55 - 20) মিটার
= 35 মিটার 

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার 
= (55 × 35) বর্গমিটার
= 1925 বর্গমিটার ।

৫,৭৫৩.
একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের বিস্তার দৈর্ঘ্যের এক তৃতীয়াংশ। বিস্তার ১৬ মিটার হলে, ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?
  1. ক
    ৯৬ মিটার
  2. খ
    ১২৮ মিটার
  3. গ
    ১৪৪ মিটার
  4. ঘ
    ১৭২ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের বিস্তার দৈর্ঘ্যের এক তৃতীয়াংশ। বিস্তার ১৬ মিটার হলে, ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ১৬ × ৩ = ৪৮ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + বিস্তার)
= ২(৪৮ + ১৬)
= ১২৮ মিটার
৫,৭৫৪.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু যথাক্রমে ৫০ মিটার ও ১২০ মিটার। অতিভুজের দৈর্ঘ্য = ?
  1. ক
    ক) ১০০ মিটার
  2. খ
    খ) ১১০ মিটার
  3. গ
    গ) ১২০ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ১৩০ মিটার
ব্যাখ্যা

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ = √(50²+120²)
= √(2500+14400)
= √16900
= 130 মিটার

৫,৭৫৫.
আয়তাকার একটি ক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ১২ মিটার বড় এবং ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৩৬ মিটার হলে ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত? 
  1. ক
    ৪২ মিটার  ও ৩০ মিটার 
  2. খ
    ৩৮ মিটার  ও ২৬ মিটার 
  3. গ
    ৪০ মিটার  ও ৫২ মিটার 
  4. ঘ
    ৪০ মিটার  ও ২৮ মিটার 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ১২ মিটার বড় এবং ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৩৬ মিটার হলে ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?

সমাধান:
ধরি, 
প্রস্থ = x মিটার 
দৈর্ঘ্য = (x + ১২) মিটার 

শর্তমতে, 
২(x + ১২ + x) = ১৩৬ 
বা, ২x + ১২ = ৬৮ 
বা, ২x = ৬৮ - ১২ 
বা, ২x = ৫৬ 
বা, x = ৫৬/২ 
∴ x = ২৮ 
অর্থাৎ, প্রস্থ = ২৮ মিটার 
এবং দৈর্ঘ্য = (২৮ + ১২) মিটার = ৪০ মিটার  । 
৫,৭৫৬.
চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত হবে ?
  1. ক
    ক) 100°
  2. খ
    খ) 115°
  3. গ
    গ) 135°
  4. ঘ
    ঘ) 225°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত হবে ?

সমাধান: 
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°
চার কোণের অনুপাত = 1 : 2 : 2 : 3
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = 1 + 2 + 2 + 3 = 8
সুতরাং বৃহত্তম কোণ = (3/8) × 360°
= 135°
৫,৭৫৭.
যদি tanθ = 3/4 হয়, তবে sinθ এর মান কত?
  1. ক
    4/5
  2. খ
    5/4
  3. গ
    4/3
  4. ঘ
    3/5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি tanθ = 3/4 হয়, তবে sinθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, tanθ = 3/4

আমরা জানি, 
সমকোণী ত্রিভুজে, tanθ = লম্ব/ভূমি।

অতএব, লম্ব = 3 এবং ভূমি = 4।

এখন,
অতিভুজ2 = লম্ব2 + ভূমি2
বা, অতিভুজ = √(লম্ব2 + ভূমি2)
বা, ​অতিভুজ = √(32 + 42)
বা, অতিভুজ = √(9 + 16)
বা, অতিভুজ = √25
∴ অতিভুজ = 5

আমরা জানি, 
​sinθ = লম্ব/অতিভুজ
​∴ sinθ = 3/5

৫,৭৫৮.
10 সেমি ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের অভ্যন্তরে একটি বর্গ অঙ্কিত হলো। বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
  1. ক
    π : 2
  2. খ
    3π : 5
  3. গ
    2 : 3
  4. ঘ
    π : 5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 10 সেমি ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের অভ্যন্তরে একটি বর্গ অঙ্কিত হলো। বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
 
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাস = 10 সেমি
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ (r) = 10/2 সেমি = 5 সেমি

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 বর্গসেমি
 = π × 52 বর্গসেমি = 25π বর্গসেমি

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 10 সেমি

ধরি, বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি।
আমরা জানি, বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2
প্রশ্নমতে,
a√2 = 10
⇒ a = 10/√2 সেমি

∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = a2 বর্গসেমি
= (10/√2)2 বর্গসেমি = 100/2 বর্গসেমি
= 50 বর্গসেমি

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 25π : 50 = π : 2

৫,৭৫৯.
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) θπr2/360 বর্গ একক
  2. খ
    খ) θπr2/90 বর্গ একক
  3. গ
    গ) θπr2/210বর্গ একক
  4. ঘ
    ঘ) θπr2/180 বর্গ একক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কোনটি সঠিক?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = θπr2/360 বর্গ একক
৫,৭৬০.
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 60° হলে, অপর কোণটি কত?
  1. ক
    ক) 30°
  2. খ
    খ) 120°
  3. গ
    গ) 40°
  4. ঘ
    ঘ) 0°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 60° হলে, অপর কোণটি কত?

সমাধান: 
সমকোণী ত্রিভূজের একটি সমকোণ = 90°
২য় কোণ = 60°
∴ ৩য় কোণ = 180° - (90° + 60°)
                   =  180° - 150°
                   = 30°
৫,৭৬১.
যদি, sec4θ - tan4θ = 5/4 হয়, তবে, sec2θ + tan2θ =?
  1. ক
    1
  2. খ
    2/5
  3. গ
    5/4
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি, sec4θ - tan4θ = 5/4 হয়, তবে, sec2θ + tan2θ =?

সমাধান: 
sec4θ − tan4θ = 5/4
⇒ (sec2θ − tan2θ) (sec2θ + tan2θ) = 5/4
⇒ 1 × (sec2θ + tan2θ) = 5/4                    [আমরা জানি, sec2θ - tan2θ = 1]
∴ sec2θ + tan2θ = 5/4

৫,৭৬২.
উন্নতি কোণ কত হলে খুঁটির দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে?
  1. ক
    ৪৫°
  2. খ
    ৩০°
  3. গ
    ৬০°
  4. ঘ
    ১°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: উন্নতি কোণ কত হলে খুঁটির দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে?

সমাধান:

ধরি,
খুঁটিটির দৈর্ঘ্য AB, ছায়ার দৈর্ঘ্য BC,
∴ AB = BC
চিত্র হতে,
tanθ = AB/BC = 1
বা, tanθ = tan45°
∴ θ = 45°

অর্থাৎ, উন্নতি কোণ 45° হলে, খুঁটির দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে।
৫,৭৬৩.
ABC সমবাহু ত্রিভুজ এবং AB ΙΙ CE হলে, ∠ACE = ?
  1. ক
    ক) 60°
  2. খ
    খ) 80°
  3. গ
    গ) 100°
  4. ঘ
    ঘ) 120°
ব্যাখ্যা
ABC সমবাহু ত্রিভুজ এবং AB ΙΙ CE হলে, ∠ACE = ?

সমাধানঃ

ABC সমবাহু ত্রিভুজ ,
∠ABC = ∠BAC = ∠ACB = 60°

আবার, AB ΙΙ CE , যেহেতু ∠ABC = অনুরুপ ∠ECD = 60°

∴ ∠ACE = 180° - (∠ACB + ∠ECD) = 180° - (60° + 60°) = 60°
 
৫,৭৬৪.
যে কোন ত্রিভুজের দুইটি অন্তঃস্থ কোণের যোগফল কত হবে?
  1. ক
    ১৮০ ডিগ্রী অপেক্ষা কম
  2. খ
    ০ ডিগ্রীর চেয়ে বেশি
  3. গ
    বিপরীত বহিঃস্থ কোণের সমান
  4. ঘ
    সবগুলো হতে পারে
ব্যাখ্যা
যে কোন ত্রিভুজের দুইটি অন্তঃস্থ কোণের যোগফল ০ ডিগ্রী অপেক্ষা বেশি, ১৮০ ডিগ্রী অপেক্ষা কম এবং বিপরীত বহিঃস্থ কোণের সমান।
৫,৭৬৫.
প্রদত্ত চিত্র অনুসারে, নিচের কোনটি সঠিক? 
 
  1. ক
    ক) ∠AOD একটি স্থূলকোণ 
  2. খ
    খ) ∠AOC একটি সূক্ষ্মকোণ
  3. গ
    গ) ∠AOB একটি সূক্ষ্মকোণ
  4. ঘ
    ঘ) ক ও খ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্র অনুসারে, নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান:


স্থুলকোণ : ৯০° থেকে বড় এবং ১৮০° থেকে ছোট কোণকে স্থুলকোণ বলে।
 ∠AOD একটি স্থূলকোণ 

সূক্ষ্মকোণ: ৯০ ডিগ্রি এর চেয়ে ছোটো কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
∠AOC একটি সূক্ষ্মকোণ
৫,৭৬৬.
xsin45° = ycosec30° হলে x2 : y2 = ?
  1. ক
    ক) 4 : 1
  2. খ
    খ) 8 : 1
  3. গ
    গ) 16 : 1
  4. ঘ
    ঘ) 32 : 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: xsin45° = ycosec30° হলে x2 : y2 = ?

সমাধান:
xsin45° = ycosec30°
⇒ x/y = cosec30/sin45°
⇒ x/y = 2/(1/√2)
⇒ x/y = 2√2
⇒ x2/y2 = (2√2)2
⇒ x2/y2 = 8
⇒ x2 : y2 = 8 : 1
৫,৭৬৭.
যদি একটি বৃত্তের একই চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ১৩০° হয় তবে, তার বৃত্তস্থ কোণের মান কত হব?
  1. ক
    ৫০°
  2. খ
    ৬৫°
  3. গ
    ২৬০°
  4. ঘ
    ৯০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের একই চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ১৩০° হয় তবে, তার বৃত্তস্থ কোণের মান কত হব?

সমাধান:
বৃত্তস্থ কোণ (Inscribed Angle) : বৃত্তস্থ কোণ হলো এমন একটি কোণ, যার শীর্ষবিন্দু বৃত্তের যে কোন পয়েন্টে থাকে এবং এর বাহু দুটি বৃত্তের দুটি ভিন্ন পয়েন্টকে সংযোগ করে।

কেন্দ্রস্থ কোণ (Central Angle) : কেন্দ্রস্থ কোণ হলো এমন একটি কোণ, যার শীর্ষবিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রে থাকে এবং এর বাহু দুটি বৃত্তের দুটি পয়েন্টকে সংযোগ করে।

আমরা জানি,
বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

দেওয়া আছে,
কেন্দ্রস্থ কোণ = ১৩০°

∴ বৃত্তস্থ কোণ =  কেন্দ্রস্থ কোণ/২
= ১৩০°/২
= ৬৫°
৫,৭৬৮.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এর প্রস্থের চেয়ে ২৫% বেশি। যদি একটি বর্গক্ষেত্রের পাশের দৈর্ঘ্য হয় আয়তক্ষেত্রের প্রস্থের সমান, তবে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও সেই বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?
  1. ক
    ৬ : ৫
  2. খ
    ৪ : ৩ 
  3. গ
    ৭ : ৫
  4. ঘ
    ৫ : ৪
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এর প্রস্থের চেয়ে ২৫% বেশি। যদি একটি বর্গক্ষেত্রের পাশের দৈর্ঘ্য হয় আয়তক্ষেত্রের প্রস্থের সমান, তবে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও সেই বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?
 
সমাধান: 
ধরি, 
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক একক
তাহলে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ক + ২৫% এর ক = ক + (২৫/১০০)ক
= ক + (ক/৪) 
= ৫ক/৪ একক
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৫ক/৪ একক

আমরা জানি, 
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক 
= {(৫ক/৪) × ক} = ৫ক২/৪ বর্গ একক

আবার, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ক২ বর্গ একক ; [প্রস্থ = ক একক] 

∴ অনুপাত(আয়তক্ষেত্র : বর্গক্ষেত্র) = (৫ক২/৪) : ক২ = ৫/৪ : ১ 
= ৫ : ৪ 

সুতরাং, আয়তক্ষেত্র ও বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৫ : ৪। 

৫,৭৬৯.
একটি ১৩ মিটার লম্বা মই দেয়ালের সঙ্গে লাগানো হয়েছে এবং মইয়ের এক প্রান্ত দেয়ালের নিচ থেকে ৫ মিটার দূরে রাখা হয়েছে। মইটি দেয়ালের কতটুকু উপরে গিয়ে ঠেকেছে?
  1. ক
    ৮ মিটার
  2. খ
    ১২ মিটার
  3. গ
    ১০ মিটার
  4. ঘ
    ৯ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ১৩ মিটার লম্বা মই দেয়ালের সঙ্গে লাগানো হয়েছে এবং মইয়ের এক প্রান্ত দেয়ালের নিচ থেকে ৫ মিটার দূরে রাখা হয়েছে। মইটি দেয়ালের কতটুকু উপরে গিয়ে ঠেকেছে?

সমাধান:

ধরি,
দেয়ালের উচ্চতা = ক
পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী
১৩২ = ৫২+ ক২
বা, ১৬৯ = ২৫ + ক২
বা, ক২ = ১৬৯ - ২৫
বা, ক২ = ১৪৪
বা, ক২ = ১২২
∴ ক = ১২ মিটার
৫,৭৭০.
ABCD  সামান্তরিকের ∠BCD = 130° হলে, ∠ABC = কত? 
  1. ক
    ক) 40°
  2. খ
    খ) 50°
  3. গ
    গ) 90°
  4. ঘ
    ঘ) 130°
ব্যাখ্যা




সামন্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান
∠BCD = ∠BAD = 130°
∠ABC = ∠ADC 
এখন 
∠BCD + ∠BAD = 130° + 130° =260°

আবার,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°

∠BCD + ∠BAD + ∠ABC + ∠ ADC  = 360°
260° + ∠ABC + ∠ ADC  = 360°
∠ABC + ∠ADC =360° - 260°
∠ABC + ∠ADC = 100°
∠ABC + ∠ABC = 100° [∠ABC = ∠ADC]
2∠ABC = 100°
∠ABC =50°
৫,৭৭১.
১৩ সে. মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৫ সে. মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ১৮ সে. মি.
  2. খ
    ৩৬ সে. মি.
  3. গ
    ২৪ সে. মি.
  4. ঘ
    ১৪ সে. মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৩ সে. মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৫ সে. মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ১৩ সে. মি.
কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব, d = ৫ সে. মি.

∴ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = ২√(r২ − d২)
= ২√(১৩২ − ৫২)
= ২√(১৬৯ - ২৫)
= ২√১৪৪
= ২ × ১২
= ২৪

∴ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ২৪ সে. মি.।
৫,৭৭২.
নিচের কোনটি প্রবৃদ্ধ কোণ?
  1. ক
    ক) 120°
  2. খ
    খ) 330°
  3. গ
    গ) 90°
  4. ঘ
    ঘ) 85°
ব্যাখ্যা
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে ।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে ।
- সমতলস্থ দুইটি সরলরেখা যদি পরস্পরকে কোথাও ছেদ না করে, তবে তাদেরকে পরস্পর সমান্তরাল রেখা বলে ।
- সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব সব সময় সমান থাকে ।
- 330° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে
৫,৭৭৩.
cosθ এর সর্বনিম্ন মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    - 1
  3. গ
    0
  4. ঘ
    - ∞
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cosθ এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
cosθ এর সর্বনিম্ন মান হল - 1

• cosine ফাংশনের রেঞ্জ হলো [- 1, 1]
অর্থাৎ, cosθ এর মান -1 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে।
সর্বোচ্চ মান = 1 (যখন θ = 0°, 360°, 720°... )
সর্বনিম্ন মান = -1 (যখন θ = 180°, 540°... )

উদাহরণ:
cos(0°) = 1
cos(90°) = 0
cos(180°) = - 1
cos(270°) = 0
cos(360°) = 1

তাই cosθ এর সর্বনিম্ন মান - 1

৫,৭৭৪.
3cotθ = 4 হলে cosecθ এর মান কত?
  1. ক
    3/5
  2. খ
    3/4
  3. গ
    5/3
  4. ঘ
    4/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3cotθ = 4 হলে cosecθ এর মান কত?

সমাধান:
3cotθ = 4 
⇒ cotθ = 4/3
⇒ cot2θ = 16/9
⇒ cosec2θ - 1  = 16/9
⇒ cosec2θ = (16/9) + 1
⇒ cosec2θ = (16 + 9)/9
⇒ cosec2θ = 25/9
∴ cosecθ = 5/3
৫,৭৭৫.
কোনো রম্বসের একটি বাহু ও একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৩ সেমি. ও ২৪ সেমি. রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) ১০ সেমি.
  2. খ
    খ) ১৬ সেমি.
  3. গ
    গ) ৫ সেমি.
  4. ঘ
    ঘ) ৮ সেমি.
ব্যাখ্যা
এখানে, এক বাহু AD = 13 cm
AO = 1/2AC = ½ X 24 = 12 cm [যেহেতু, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]

∴ ∠AOD = 90°
∴ AD2 = AO2 + OD2
⇒OD = √(AD2 - AO2)
⇒OD = √(132 - 122)
⇒OD = √(25)
∴ OD = 5 cm
অপর কর্ণ BD = 2 X OD = 2 X 5 = 10 cm
৫,৭৭৬.
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এবং এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত?
  1. ক
    ক) 2 : √2
  2. খ
    খ) √2 : 4
  3. গ
    গ) 4 : √2
  4. ঘ
    ঘ) 3 : √3
ব্যাখ্যা
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এবং এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত?

বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এবং এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = 4a : √2a = 4 : √2
৫,৭৭৭.
২০ সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তাকার কাগজ থেকে ৫ সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট চারটি বৃত্ত কেটে নেওয়া হলো। অবশিষ্ট কাগজ এবং কর্তনকৃত অংশের অনুপাত কত?
  1. ক
    ক) ৩ : ১
  2. খ
    খ) ৪ : ১
  3. গ
    গ) ৪ : ৩
  4. ঘ
    ঘ) ৩ : ২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২০ সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তাকার কাগজ থেকে ৫ সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট চারটি বৃত্ত কেটে নেওয়া হলো। অবশিষ্ট কাগজ এবং কর্তনকৃত অংশের অনুপাত কত?

সমাধান:
বৃত্তাকার কাগজের ক্ষেত্রফল = π(২০)২ = ৪০০π
কর্তনকৃত বৃত্তগুলোর ক্ষেত্রফল = ৪ × π(৫)২ = ১০০π

অবশিষ্ট কাগজ  = ৪০০π - ১০০π = ৩০০π

∴ অনুপাত = ৩০০π : ১০০π = ৩ : ১
৫,৭৭৮.
যদি 3 + tan2θ = 4 এবং θ < 90, θ = ?
  1. ক
    0°
  2. খ
    30°
  3. গ
    45°
  4. ঘ
    60°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 3 + tan2θ = 4 এবং θ < 90, θ = ?

সমাধান:
3 + tan2θ = 4
⇒ tan2θ = 4 - 3
⇒ tan2θ = 1
⇒ tanθ = 1
⇒ tanθ = tan45°
∴ θ = 45°
৫,৭৭৯.
এক মাইলে কত ফুট?
  1. ক
    ১৫৭০
  2. খ
    ১৭৬০
  3. গ
    ১৬৪০
  4. ঘ
    ৫২৮০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক মাইলে কত ফুট?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ মাইল = ১৭৬০ গজ
১ গজ = ৩ ফুট
∴১ মাইল = ১৭৬০×৩ = ৫২৮০ ফুট
৫,৭৮০.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 গজ 1 ফুট 5 ইঞ্চি। বৃত্তটির পরিধি কত?
  1. ক
    972 ইঞ্চি
  2. খ
    980 ইঞ্চি
  3. গ
    1012 ইঞ্চি
  4. ঘ
    1102 ইঞ্চি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 গজ 1 ফুট 5 ইঞ্চি। বৃত্তটির পরিধি কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 4 গজ 1 ফুট 5 ইঞ্চি
= (4 × 3 × 12) ইঞ্চি + (1 × 12) ইঞ্চি + 5 ইঞ্চি 
= (144 + 12 + 5) ইঞ্চি 
= 161 ইঞ্চি

∴ বৃত্তের পরিধি = 2πr 
= 2 × (22/7) × 161
= 1012 ইঞ্চি

৫,৭৮১.
একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২ এয়র, এর দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত?
  1. ক
    ৮ মিটার
  2. খ
    ১০ মিটার
  3. গ
    ১২ মিটার
  4. ঘ
    ১৬ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২ এয়র, এর দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ এয়র = ১০০ বর্গমিটার

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২০০ বর্গমিটার 
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২৫ মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ২০০/২৫ মিটার
= ৮ মিটার
৫,৭৮২.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু ৯০ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির অন্তব্যাসার্ধ কত?
  1. ক
    ১৫√৩
  2. খ
    ১৮√৩
  3. গ
    ১৫
  4. ঘ
    ১৮
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু ৯০ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির অন্তব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের অন্তব্যাসার্ধ= বাহু/২√৩
= ৯০/২√৩
= ৪৫/√৩
= (১৫ × √৩ × √৩)/√৩
= ১৫√৩
৫,৭৮৩.
যদি cosθ = 5/13 হয়, তাহলে tan2θ + sec2θ = ?
  1. ক
    313/25
  2. খ
    323/25
  3. গ
    233/25
  4. ঘ
    303/25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি cosθ = 5/13 হয়, তাহলে tan2θ + sec2θ = ?

সমাধান:
tan2θ + sec2θ
= sec2θ - 1 + sec2 θ
= 2sec2θ - 1 
= 2 ×  (13/5)2 - 1
= (2 × 169)/25 - 1
= 338/25 - 1
= (338 - 25)/25
= 313/25
৫,৭৮৪.
বর্গ -
  1. ক
    আয়ত
  2. খ
    রম্বস
  3. গ
    সামান্তরিক
  4. ঘ
    উপরের সবগুলো
ব্যাখ্যা

বর্গকে আয়ত, রম্বস, সামান্তরিক, ট্রাপিজিয়াম, ঘুড়ি বলা যায়।

১) যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল ও একটি কোণ এক সমকোণ তাকে আয়ত বলে।
- বর্গের বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল ও একটি কোণ এক সমকোণ। তাই বর্গ হচ্ছে আয়ত।
২) যে চতুর্ভুজের সকল বাহু সমান তাকে রম্বস বলে।
- বর্গের সকল বাহু সমান। তাই বর্গ হচ্ছে রম্বস।
৩) যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল তাকে সামান্তরিক বলে।
- বর্গের বিপরীত বাহু গুলো সমান্তরাল। তাই বর্গ সামান্তরিক।
৪) যে চতুর্ভুজের সকল বাহু সমান ও একটি কোণ এক সমকোণ তাকে বর্গ বলে।
- কোনো চতুর্ভুজের সকল বাহু সমান ও একটি কোণ এক সমকোণ হলে, ঐ চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল হয়ে যায়। প্রত্যেক কোণের পরিমাপ ৯০ ডিগ্রী হয়ে যায়।

৫,৭৮৫.
67° কোণের পূরক কোণ কত?
  1. ক
    23°
  2. খ
    123°
  3. গ
    113°
  4. ঘ
    33°
ব্যাখ্যা
67° কোণের পূরক কোণ
= 90° - 67°
= 23°
৫,৭৮৬.
একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ৩৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণের মান কত?
  1. ক
    ক) ৭০°
  2. খ
    খ) ১৭.৫°
  3. গ
    গ) (৩৫/২)°
  4. ঘ
    ঘ) খ ও গ
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
৫,৭৮৭.
১৮ টি বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের মান কত?
  1. ক
    ২০°
  2. খ
    ১০°
  3. গ
    ১৫°
  4. ঘ
    ১২°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৮ টি বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুষম বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা, n = ১৮

আমরা জানি,
একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ = ৩৬০°/বাহুর সংখ্যা
∴ প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০°/১৮
= ২০°

∴ সুষম বহুভুজটির প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের মান ২০°।

৫,৭৮৮.
একটি সমবৃত্তক বেলনের উচ্চতা 16 সে.মি.এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত? 
  1. ক
    ক) 2444 ঘন সে.মি. 
  2. খ
    খ) 2244 ঘন সে.মি. 
  3. গ
    গ) 2364 ঘন সে.মি. 
  4. ঘ
    ঘ) 2464 ঘন সে.মি. 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবৃত্তক বেলনের উচ্চতা 16 সে.মি.এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত? 

সমাধান: 
সমবৃত্তক বেলনের উচ্চতা h  = 16সে.মি.
ভূমির ব্যাসার্ধ r = 14 সে.মি.
সমবৃত্তক বেলনের আয়তন  = πr2h 
= (22/7) × 72 × 16
= (22/7) × 49 × 16 
= 2464 ঘন সে.মি.
৫,৭৮৯.
কোন তিনটি বাহু দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না?
  1. ক
    ক) ৪, ৫, ৬
  2. খ
    খ) ৩, ৪, ৬
  3. গ
    গ) ২, ৪, ৭
  4. ঘ
    ঘ) ২, ৪, ৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না? 

সমাধান: 
তিনটি বাহু দেয়া থাকলে তাদের দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করার শর্ত হলো- 
"যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে"। 

অপশন ক) তে, ৪ + ৫ = ৯ > ৬; যা দ্বারা ত্রিভুজ গঠন সম্ভব। 

অপশন খ) তে, ৩ + ৪ = ৭ > ৬; যা দ্বারা ত্রিভুজ গঠন সম্ভব। 

অপশন গ) তে, ২ + ৪ = ৬ < ৭; যা দ্বারা ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়। 

অপশন ঘ) তে, ২ + ৪ = ৬ > ৫; যা দ্বারা ত্রিভুজ গঠন সম্ভব। 
৫,৭৯০.
দুটি পূরক কোণের একটি আরেকটির ৪/৫ অংশ হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?
  1. ক
    ৪০°
  2. খ
    ৮০°
  3. গ
    ৫০°
  4. ঘ
    ১০০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি পূরক কোণের একটি আরেকটির ৪/৫ অংশ হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি = ৯০°

কোণদ্বয়ের অনুপাত = ৪ : ৫
অনুপাতের যোগফল = ৪ + ৫ = ৯

∴ বৃহত্তম কোণটি = (৯০/৯) × ৫ = ৫০°
৫,৭৯১.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 4 : 5 হলে, ক্ষুদ্রতর কোনটি কত ডিগ্রী?
  1. ক
    75°
  2. খ
    60°
  3. গ
    30°
  4. ঘ
    45°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 4 : 5 হলে, ক্ষুদ্রতর কোনটি কত ডিগ্রী?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3 : 4 : 5
ধরি কোণগুলো হলো 3x, 4x, 5x

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের কোণগুলোর যোগফল = 180°

প্রশ্নমতে, 
3x + 4x + 5x = 180
⇒ 12x = 180
⇒ x = 180/12
∴ x = 15

তাহলে কোণগুলো হল,
3x = 3 × 15 = 45°
4x = 4 × 15 = 60°
5x = 5 × 15 = 75°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = 45°

৫,৭৯২.
১.৮ হেক্টরে কত একর?
  1. ক
    ৪.৫৪
  2. খ
    ৪.৪৫
  3. গ
    ৫.৪৪
  4. ঘ
    ৪.৮০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১.৮ হেক্টরে কত একর?

সমাধান:
১ হেক্টর = ২.৪৭ একর
১.৮ হেক্টর = (১.৮ × ২.৪৭) একর.
= ৪.৪৪৬
= ৪.৪৫
৫,৭৯৩.
২৫ মি.লি. আয়তনের পানির ওজন কত কেজি?
  1. ক
    ক) ২৫০
  2. খ
    খ) ২.৫০
  3. গ
    গ) ০.০২৫
  4. ঘ
    ঘ) ২.৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২৫ মি.লি. আয়তনের পানির ওজন কত কেজি?

সমাধান:
১০০০ মি.লি. = ১ কেজি
১ মি.লি. = ১/১০০০ কেজি
২৫ মি.লি. =২৫/১০০০ কেজি
= ০.০২৫ কেজি
৫,৭৯৪.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১৬ মি. এবং অপর দুটি বাহুর প্রতিটি ১০ মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) ৪২ বর্গমিটার
  2. খ
    খ) ৩৬ বর্গমিটার
  3. গ
    গ) ৪৮ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ঘ) ৫০ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা

ধরি, ভূমি b = ১৬ মিটার এবং বাহুর দৈর্ঘ্য a = ১০ মিটার।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/৪)√(৪a২ - b২)
= (১৬/৪) X √(৪X১০২ - ১৬২)
= ৪ X ১২
= ৪৮ বর্গমিটার

৫,৭৯৫.
উন্নতি কোণ কত হলে খুঁটির দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে?
  1. ক
    90°
  2. খ
    60°
  3. গ
    45°
  4. ঘ
    30°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: উন্নতি কোণ কত হলে খুঁটির দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে?

সমাধান:

ধরি, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য AB, ছায়ার দৈর্ঘ্য BC, উন্নতি কোণ AB = BC

চিত্র হতে,
tane = AB/BC = 1
⇒ tanθ = tan45°
∴ θ  = 45°

অর্থাৎ, উন্নতি কোণ 45° হলে, খুঁটির দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে।
৫,৭৯৬.
কোন ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডকের ছেদ বিন্দুকে কী বলে?
  1. ক
    পরিকেন্দ্র
  2. খ
    লম্বকেন্দ্র
  3. গ
    ভরকেন্দ্র
  4. ঘ
    অন্তকেন্দ্র
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডকের ছেদ বিন্দুকে কী বলে?

সমাধান:
পরিকেন্দ্র:
- কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তকে বলে পরিবৃত্ত এবং কেন্দ্রকে বলে পরিকেন্দ্র।

লম্বকেন্দ্র:
- শীর্ষ বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বত্রয়ের মিলিত বিন্দু কে ঐ ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র বলে।

ভরকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।

অন্তকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডকের ছেদ বিন্দুকে ঐ ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র বলে।
৫,৭৯৭.
১ ঘন ইঞ্চি সমান কত মিলিলিটার?
  1. ক
    প্রায় ৬.৪৫ মিলিলিটার
  2. খ
    প্রায় ৩৯.৩৭ মিলিলিটার
  3. গ
    প্রায় ২.৫৪ মিলিলিটার
  4. ঘ
    প্রায় ১৬.৩৯ মিলিলিটার
ব্যাখ্যা
পরিমাপ: 


৫,৭৯৮.
আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৬৪৮ বর্গ মিটার হলে, এর পরিসীমা কত? 
  1. ক
    ১১৮ মিটার
  2. খ
    ১০৮ মিটার
  3. গ
    ১২৮ মিটার
  4. ঘ
    ১৩৮ মিটার
ব্যাখ্যা
মনে করি,
বিস্তার ক মিটার 
দৈর্ঘ্য ২ক মিটার

প্রশ্নমতে,
২ক২ = ৬৪৮
ক২ = ৩২৪
ক = ১৮ 
∴ বিস্তার ১৮ মিটার এবং দৈর্ঘ্য (২×১৮) = ৩৬মিটার
∴ পরিসীমা = ২(৩৬+১৮) = ১০৮ মিটার
৫,৭৯৯.
যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং cos(θ + 18°) =1/2, তবে θ এর মান কত?
  1. ক
    60°
  2. খ
    12°
  3. গ
    72°
  4. ঘ
    42°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং cos(θ + 18°) =1/2, তবে θ এর মান কত?

সমধান:
sin(θ + 18°) = 1/2
বা, sin(θ + 18°) = cos60°
বা, θ + 18° = 60°
বা, θ = 60° - 18°
θ = 42°

∴ θ এর মান 42° হবে।
৫,৮০০.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ১২° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?
  1. ক
    ৩৯°
  2. খ
    ৫১°
  3. গ
    ৪১°
  4. ঘ
    ৩৩°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ১২° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ = x°
বৃহত্তর কোণ = x + ১২°
সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ ৯০° এবং অপর দুই কোণের সমষ্টি ৯০° হয়।

প্রশ্নমতে,
⇒ x + (x + ১২°) = ৯০°
⇒ ২x = ৯০ - ১২
⇒ ২x = ৭৮
⇒ x = ৭৮/২
 ∴ x = ৩৯°

 ∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩৯°

শর্টকাটঃ
ক্ষুদ্রতম কোণ = (৯০ - ১২)/২ = ৭৮/২ = ৩৯°