জ্যামিতি

PrepBank · পাতা ৫৫ / ১০৭ · ৫,৪০১–৫,৫০০ / ১০,৭৫২

৫,৪০১.

ABCD সামান্তরিকের ∠A = ১২০° হলে ∠B এর মান কত?

ক
৬০°
খ
৮০°
গ
১০০°
ঘ
১২০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকের ∠A = ১২০° হলে ∠B এর মান কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
সামান্তরিকের সন্নিহিত দুই কোণের যোগফল ১৮০° এবং কর্ণ বরাবর বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
অর্থাৎ ABCD সামন্তরিকে A ও B কোণের যোগফল ১৮০° এবং B ও D কোণ পরস্পর সমান।

এখন
∴ ∠B + ∠A = 180°
বা, 120° + ∠B = 180°
বা, ∠B = 180° - 120°
∴ ∠B = 60°

৫,৪০২.

ত্রিভুজ ABC তে, ∠A = 90° হলে, ∠B + ∠C =?

ক
ক) ৬০°
খ
খ) ৭০°
গ
গ) ৮০°
ঘ
ঘ) ৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজ ABC তে, ∠A = 90° হলে, ∠B + ∠C =?

সমাধান:
ত্রিভুজের তিনকোণের সমষ্টি ১৮০°

∠A + ∠B + ∠C = ১৮০°
⇒ ৯০° + ∠B + ∠C = ১৮০°
⇒ ∠B + ∠C = ১৮০° - ৯০°
∴ ∠B + ∠C = ৯০°

৫,৪০৩.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩২৪ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

ক
৪৮ মিটার
খ
৬৪ মিটার
গ
৭২ মিটার
ঘ
৮৪ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩২৪ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩২৪ বর্গমিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৩২৪ = ১৮ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= (১৮ × ৪) মিটার
= ৭২ মিটার

৫,৪০৪.

একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 27√3 cm² হলে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

ক
27π
খ
36π
গ
54π
ঘ
9π
ঙ
24π

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 27√3 cm² হলে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তে অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 27√3 cm²

প্রশ্নমতে,
(√3/4)a² = 27√3
⇒ a² = (27 × 4 × √3)/√3
⇒ a² = 108
⇒ a² = (36 × 3)
⇒ √a² = √(36 × 3)
⇒ a = 6√3 cm

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহু, a = বৃত্তের ব্যাসার্ধ × √3
⇒ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = a/√3 = (6√3)/√3 = 6

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr² = π × (6)² = 36π

৫,৪০৫.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 1 হেক্টর হলে উহার পরিসীমা কত?

ক
200 মিটার
খ
300 মিটার
গ
400 মিটার
ঘ
100 মিটার

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
1 হেক্টর = 10,000 বর্গমিটার
এবং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, a² এবং
পরিসীমা = 4a
শর্তমতে, a² = 10,000
বা, a = 100
সুতরাং বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a = 4 × 100 = 400 মিটার।

৫,৪০৬.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 14 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করে উক্ত মধ্যমাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের পরিধি নির্ণয় করলে এর মান কত হবে?

ক
20 সে.মি.
খ
21π সে.মি.
গ
42π সে.মি.
ঘ
18.82 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 14 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করে উক্ত মধ্যমাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের পরিধি নির্ণয় করলে এর মান কত হবে?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় থাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।
∴ XE : EF = 2 : 1
⇒ 14 : EF = 2 : 1
⇒ 14/EF = 2/1
⇒ 2EF = 14
⇒ EF = 7

∴ ত্রিভুজটির মধ্যমা XF = XE + EF = 14 + 7 = 21 সে.মি.

বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ব্যাস, 2r = 21 সে.মি.
উক্ত মধ্যমাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের পরিধি = 21π সে.মি.

৫,৪০৭.

যদি sec²θ+tan²θ=7/12 হয়, তাহলে (sec⁴θ − tan⁴θ) এর মান নির্ণয় করুন -

ক
ক) 7/12
খ
খ) 12/7
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
sec²θ + tan²θ = 7/12
∴ (sec⁴θ−tan⁴θ) = (sec²θ + tan²θ)(sec²θ - tan²θ) = (7/12).1 = 7/12

৫,৪০৮.

ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র প্রত্যেক মাধ্যমাকে কত অনুপাতে বিভক্ত করে?

ক
1 : 1
খ
2 : 1
গ
3 : 1
ঘ
1 : 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র প্রত্যেক মাধ্যমাকে কত অনুপাতে বিভক্ত করে?

সমাধান:

মধ্যমা:
একটি ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে তার বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখাকে বলা হয় মধ্যমা।

ভরকেন্দ্র:
ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে বলা হয় ভরকেন্দ্র।

ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র প্রত্যেক মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

৫,৪০৯.

একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ৬ সে.মি., ৩ সে. মি. ২ সে.মি. হলে আয়তাকার ঘনবস্তুটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 25√2 সে.মি.
খ
খ) 12 সে.মি.
গ
গ) 5√5 সে.মি.
ঘ
ঘ) 7 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ৬ সে.মি., ৩ সে. মি. ২ সে.মি. হলে আয়তাকার ঘনবস্তুটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান :
মনেকরি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = ৬ সে.মি., প্রস্থ, b = ৩ সে.মি. এবং উচ্চতা, c = ২ সে.মি.।

সুতরাং, আয়তাকার ঘনবস্তুটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(a² + b² + c²)
= √(6² + 3² + 2²)
= √(36 + 9 + 4)
= √49
= 7

৫,৪১০.

r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি অর্ধ-বৃত্তের মধ্যে অন্তর্লিখিত করা যায় এরূপ সর্ববৃহৎ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক
r² - 1
খ
2r²
গ
r² + 1
ঘ
r²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি অর্ধ-বৃত্তের মধ্যে অন্তর্লিখিত করা যায় এরূপ সর্ববৃহৎ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ ব্যাস = 2r
অর্ধবৃত্তে অঙ্কিত সর্ববৃহৎ ত্রিভুজ পূর্ণবৃত্তের বর্গের অর্ধেক।

এক্ষেত্রে, ব্যাস দুইটি সমান
অর্থাৎ, BD = AC = 2r
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণ দুটির গুণফল
= (1/2) × 2r × 2r
= 2r²
∴ অর্ধবৃত্ত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হবে = 2r² x 1/2 = r²

৫,৪১১.

৯০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রী?

ক
ক) ০°
খ
খ) ৯০°
গ
গ) ১৮০°
ঘ
ঘ) ২৭০°

ব্যাখ্যা

সম্পূরক কোনদ্বয়ের সমষ্টি = ১৮০°
৯০° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০°-৯০° = ৯০°

৫,৪১২.

ΔABC এর AB = AC, BA কে D পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যেন AD = AC হয়। C, D যোগ করা হল।
উপরোক্ত তথ্যের আলোকে কোনটি সঠিক?

ক
∠BCD = এক সমকোণ
খ
∠BCD = দুই সমকোণ
গ
BC + CD < 2AC
ঘ
BC + CD = 2AC

৫,৪১৩.

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ১৫০ মিটার ও ১০০ মিটার। বাগানটির দৈর্ঘ্য ২০% এবং প্রস্থ ১০% বৃদ্ধি করলে নতুন বাগানটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার হবে?

ক
১৯,৮০০
খ
১,৫০০
গ
৩,০০০
ঘ
১৯,৫০০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ১৫০ মিটার ও ১০০ মিটার। বাগানটির দৈর্ঘ্য ২০% এবং প্রস্থ ১০% বৃদ্ধি করলে নতুন বাগানটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার হবে?

সমাধান:
২০% বৃদ্ধিতে, নতুন দৈর্ঘ্য = ১৫০ + ১৫০ এর ২০%
= ১৫০ + {১৫০ × (২০/১০০)}
= ১৮০ মিটার

১০% বৃদ্ধিতে, নতুন প্রস্থ = ১০০ + ১০০ এর ১০%
= ১০০ + {১০০ × (১০/১০০)
=১১০ মিটার

∴ নতুন বাগানের ক্ষেত্রফল = ১৮০ ×১১০ বর্গমিটার
= ১৯৮০০ বর্গমিটার

৫,৪১৪.

একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১২ বার ঘুরে। চাকাটি ৭২০° ঘুরতে কতক্ষণ লাগবে?

ক
ক) ৫ সেকেন্ড
খ
খ) ১০ সেকেন্ড
গ
গ) ১৫ সেকেন্ড
ঘ
ঘ) ২০ সেকেন্ড

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১২ বার ঘুরে। চাকাটি ৭২০° ঘুরতে কতক্ষণ লাগবে?

সমাধান:
৩৬০° যেতে ১ বার ঘোরে
৭২০° যেতে ২ বার ঘোরে

একটি গাড়ির চাকা,
৬০ সেকেন্ডে ঘুরে ১২ বার

১২ বার ঘোরতে সময় লাগে ৬০ সেকেন্ড
১ বার ঘোরতে সময় লাগে ৬০/১২ = ৫ সেকেন্ড
∴ ২ বার ঘোরতে সময় লাগে = (৫ × ২) সেকেন্ড
= ১০ সেকেন্ড

৫,৪১৫.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ১৮ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ৬৪√৩ বর্গমিটার
খ
খ) ৮১√৩ বর্গমিটার
গ
গ) ১৯২ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) ১৮২√৩ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ (বাহু)^২ বর্গমি.
= √৩/৪ (১৮)^২ বর্গমি.
= ৮১√৩ বর্গমি.

৫,৪১৬.

একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯ মিটার, ১০ মিটার এবং ১৭ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
২৫ বর্গমিটার
খ
২০ বর্গমিটার
গ
৩০ বর্গমিটার
ঘ
৩৬ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯ মিটার, ১০ মিটার এবং ১৭ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি বাহু,
a = ৯ মিটার
b = ১০ মিটার
c = ১৭ মিটার
এখন, অর্ধ-পরিসীমা s = (a + b + c)/২
s = (৯ + ১০ + ১৭)/২ = ৩৬/২ = ১৮ মিটার

আমরা জানি,
বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{১৮(১৮ - ৯)(১৮ - ১০)(১৮ - ১৭)}
= √(১৮ × ৯ × ৮ × ১)
= √১২৯৬
= ৩৬

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৩৬ বর্গমিটার।

৫,৪১৭.

ABCD সামান্তরিকের A কোণ ১১৫° হলে, D কোণের মান কত ডিগ্রী?

ক
ক) ১১৫°
খ
খ) ৯৫°
গ
গ) ৬৫°
ঘ
ঘ) ৬০°

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, সামান্তরিকের সন্নিহিত দুই কোণের যোগফল ১৮০° এবং কর্ণ বরাবর বিপরীত কোষগুলো পরস্পর সমান। অর্থাৎ ABCD সামন্তরিকে A ও B কোণের যোগফল ১৮০° এবং B ও D কোণ পরস্পর সমান।
এখানে A + B = ১৮০°
বা, ১১৫° + D = ১৮০° [যেহেতু B = D]
বা, D = ১৮০° - ১১৫° = ৬৫°

৫,৪১৮.

একটি তার-কে বাঁকিয়ে 22 সেন্টিমিটার বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র তৈরি করা হয়েছে। যদি তারটিকে একটি বৃত্ত গঠনের জন্য পুনরায় বাঁকানো হয়, তাহলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত হবে?

ক
22 সেন্টিমিটার
খ
14 সেন্টিমিটার
গ
11 সেন্টিমিটার
ঘ
7 সেন্টিমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি তার-কে বাঁকিয়ে 22 সেন্টিমিটার বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র তৈরি করা হয়েছে। যদি তারটিকে একটি বৃত্ত গঠনের জন্য পুনরায় বাঁকানো হয়, তাহলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত হবে?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × a (যেখানে a = বর্গক্ষেত্রের বাহু)
বৃত্তের পরিধি = 2 × π × r (যেখানে r = বৃত্তের ব্যাসার্ধ)

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × 22 = 88 সেন্টিমিটার

∴ বৃত্তের পরিধি = 2 × π × r = 88
⇒ 2 × (22/7) × r = 88
⇒ r = (88 × 7)/44
⇒ r = 14 সেন্টিমিটার

∴ নির্ণেয় ফলাফল 14 সেন্টিমিটার হবে।

৫,৪১৯.

৫৫° কোণের পূরক কোণ কত?

ক
ক) ৩৫°
খ
খ) ৪৫°
গ
গ) ১২৫°
ঘ
ঘ) ১৮০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫৫° কোণের পূরক কোণ কত?

সমাধান:
যখন দুটি কোণের সমষ্টি ৯০˚ বা এক সমকোণ হয়, তখন একটি কোণকে অপর কোণের পূরক কোণ বলা হয়।

অতএব, একটি কোণ ৫৫° হলে, পূরক কোণ = ৯০˚ - ৫৫° = ৩৫°

৫,৪২০.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গমিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ১৬√৩ বর্গমিটার
খ
খ) ৩৬√৩ বর্গমিটার
গ
গ) ৬৪√৩ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গমিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গমিটার
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু^২

বাহু^২ = ১৪৪
বাহু^২ = ১২^২
∴ বাহু = ১২ মিটার
অতএব, বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য ১২ মিটার
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = (১২ × ৪) = ৪৮ মিটার

প্রশ্নানুসারে, সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৪৮ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪৮/৩ = ১৬ মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩ × বাহু^২)/৪
= (√৩ × ১৬^২)/৪
= (√৩ × ১৬ × ১৬)/৪
= ৬৪√৩ বর্গমিটার

৫,৪২১.

২৬ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্নিহিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ক
৩৩৮ বর্গ সে.মি.
খ
২৪৮ বর্গ সে.মি.
গ
৫১৩ বর্গ সে.মি.
ঘ
৬৭৬ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৬ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্নিহিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস = ২৬ সে.মি. ; যা কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান

∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × (কর্ণ)^২
= (১/২) × ২৬ × ২৬
= ১৩ × ২৬
= ৩৩৮ বর্গ সে.মি.

৫,৪২২.

একই রেখায় অবস্থিত কয়েকটি বিন্দুকে কী বলা হয়?

ক
অননুক্রম বিন্দু
খ
সরল বিন্দু
গ
সমান্তরাল বিন্দু
ঘ
সমরেখ বিন্দু

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একই রেখায় অবস্থিত কয়েকটি বিন্দুকে কী বলা হয়?

সমাধান:
- একই সরলরেখার ওপর অবস্থিত একাধিক বিন্দুকে সমরেখ বিন্দু বলা হয়।
- তারা একই সরলরেখায় অবস্থান করে এবং তাদের মধ্যে রেখা আঁকার জন্য প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে।

চিত্রে P, Q, R সমরেখ বিন্দু।

৫,৪২৩.

কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি-

ক
360°
খ
270°
গ
180°
ঘ
540°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি-

সমাধান:

ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∴ x + y + z = b + c + a + c + a + b
= 2 (a + b + c)
= 2 × 180°
= 360°

∴ কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি ৩৬০ ডিগ্রী

৫,৪২৪.

5 সে. মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ক
12.5 বর্গ সে. মি.
খ
25 বর্গ সে. মি.
গ
50 বর্গ সে. মি.
ঘ
75 বর্গ সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 সে. মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সে. মি.
ব্যাস = 2 × 5 = 10 সে. মি.

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = a√2

∴ a√2 = 10
⇒ a = 10/√2
⇒ a² = 100/2 = 50

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 50 বর্গ সে. মি.

৫,৪২৫.

একজন ব্যক্তি তার বাসা থেকে ৮ কি.মি. পশ্চিমে যায় এবং পরবর্তীতে ১৫ কি.মি. দক্ষিণে যায়। সর্বশেষ অবস্থান থেকে তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব কত?

ক
১৫ কি.মি.
খ
১৭ কি.মি.
গ
৬ কি.মি.
ঘ
২৩ কি.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি তার বাসা থেকে ৮ কি.মি. পশ্চিমে যায় এবং পরবর্তীতে ১৫ কি.মি. দক্ষিণে যায়। সর্বশেষ অবস্থান থেকে তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব কত?

সমাধান:

ব্যক্তির হাঁটার পথটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করেছে।

পশ্চিম দিকে যাওয়া ৮ কি.মি. হলো ত্রিভুজের একটি লম্ব। দক্ষিণ দিকে যাওয়া ১৫ কি.মি. হলো ত্রিভুজের ভূমি। সর্বশেষ অবস্থান থেকে বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো অতিভুজ।

আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
⇒ অতিভুজ^২ = ৮^২ + ১৫^২
⇒ অতিভুজ^২ = ৬৪ + ২২৫
⇒ অতিভুজ^২ = ২৮৯
⇒ অতিভুজ = √২৮৯
⇒ অতিভুজ = ১৭ কি.মি.

সুতরাং, সর্বশেষ অবস্থান থেকে তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো ১৭ কি.মি.।

৫,৪২৬.

একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 5.0 ইঞ্চি এবং আয়তন 150π ঘন ইঞ্চি হলে সিলিন্ডারের উচ্চতা কত?

ক
6 ইঞ্চি
খ
8 ইঞ্চি
গ
10 ইঞ্চি
ঘ
12 ইঞ্চি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 5.0 ইঞ্চি এবং আয়তন 150π ঘন ইঞ্চি হলে সিলিন্ডারের উচ্চতা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h

প্রশ্নমতে,
πr²h = 150π
বা, π.(5)².h = 150π
বা, 25πh = 150π
বা, h =150π/25π
∴ h = 6

∴ সিলিন্ডারের উচ্চতা = 6 ইঞ্চি।

৫,৪২৭.

40a পরিসীমা বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 8a + 6 হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
10a - 6
খ
8a - 6
গ
12a - 6
ঘ
12a + 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 40a পরিসীমা বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 8a + 6 হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = b

প্রশ্নমতে,
2(8a + 6 + b) = 40a
⇒ 8a + 6 + b = 20a
⇒ b = 20a - 8a - 6
⇒ b = 12a - 6
∴ b = 12a - 6

৫,৪২৮.

(1/sin²A) - (1/tan²A) এর সমাধান কত?

ক
0
খ
1
গ
1/2
ঘ
1/√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/sin²A) - (1/tan²A) এর সমাধান কত?

সমাধান:
(1/sin²A) - (1/tan²A)
= (1/sin²A) - {1/(sin²A/cos²A)}
= (1/sin²A) - (cos²A/sin²A)
= (1 - cos²A)/sin²A
= sin²A/sin²A
= 1

৫,৪২৯.

ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য মিটারে দেওয়া আছে, কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব নয়?

ক
৬, ৪, ৫
খ
৮, ৬, ১০
গ
৪, ৭, ৩
ঘ
১২, ৬, ১৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য মিটারে দেওয়া আছে, কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব নয়?

সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।

অপশনে উল্লিখিত প্রত্যেকটি অপশনের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর সাথে তৃতীয় বাহুর সাথে তুলনা করে পাই,
৪ + ৫ > ৬
৬ + ৮ > ১০
৩ + ৪ = ৭ [দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর নয়, সুতরাং ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়]
১২ + ৬ > ১৫

৫,৪৩০.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ। আয়তক্ষেত্রে ক্ষেত্রফল ১৯২ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

ক
৫০ মিটার
খ
৫৬ মিটার
গ
৬০ মিটার
ঘ
৬৪ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ। আয়তক্ষেত্রে ক্ষেত্রফল ১৯২ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ”ক” মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (ক × ৩) মিটার
= ৩ক মিটার

প্রশ্নমতে,
৩ক × ক = ১৯২
⇒ ৩ক^২ = ১৯২
⇒ ক^২ = ১৯২ ÷ ৩
⇒ ক^২ = ৬৪
∴ ক = ৮

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৮ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (৮ × ৩) মিটার
= ২৪ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) মিটার
= ২(২৪ + ৮) মিটার
= (২ × ৩২) মিটার
= ৬৪ মিটার

৫,৪৩১.

৪৮ বর্গমিটার একটি ত্রিভুজাকৃতির ভূমির উচ্চতা ৮ মিটার হলে তার দৈর্ঘ্য কত হবে?

ক
১০ মিটার
খ
১২ মিটার
গ
১৬ মিটার
ঘ
১৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪৮ বর্গমিটার একটি ত্রিভুজাকৃতির ভূমির উচ্চতা ৮ মিটার হলে তার দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
ত্রিভুজাকৃতির ভূমির ক্ষেত্রফল = ৪৮ বর্গমিটার
ত্রিভুজাকৃতির ভূমির উচ্চতা ৮ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজাকৃতির ভূমির ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
∴ ত্রিভুজাকৃতির ভূমির দৈর্ঘ্য = (২ × ত্রিভুজাকৃতির ভূমির ক্ষেত্রফল)/উচ্চতা
= (২ × ৪৮)/৮ মিটার
= ৯৬/৮ মিটার
= ১২ মিটার

৫,৪৩২.

একটি কোণকের বক্রতলের ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. এবং উচ্চতা 27 সে.মি. হলে কোণকের আয়তন কত?

ক
1256 ঘন সে.মি.
খ
1266 ঘন সে.মি.
গ
1336 ঘন সে.মি.
ঘ
1386 ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণকের বক্রতলের ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. এবং উচ্চতা 27 সে.মি. হলে কোণকের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের বক্রতলের ব্যাসার্ধ, r = 7 সে.মি.
উচ্চতা, h = 27 সে.মি.

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন,
= (1/3)πr²h
= (1/3) × (22/7) × (7)² × 27 ঘন সে.মি.
= (22/7) × 49 × 9 ঘন সে.মি.
= 22 × 63 ঘন সে.মি.
= 1386 ঘন সে.মি.

৫,৪৩৩.

কোন বেলনের উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r হলে, বেলনটির বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

ক
πr²
খ
2πrh
গ
2πr(r + h)
ঘ
πr²h

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন বেলনের উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r হলে, বেলনটির বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

বেলন বা সিলিন্ডার:
কোনো আয়তক্ষেত্রের যে কোনো বাহুকে অক্ষ ধরে আয়তক্ষেত্রটিকে ঐ বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তুর সৃষ্টি হয়, তাকে সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডার বলা হয়।

সমবৃত্তভূমিক বেলনের দুই প্রান্তকে বৃত্তাকার তল, বক্রতলকে বক্রপৃষ্ঠ এবং সমগ্রতলকে পৃষ্ঠতল বলা হয়।
বেলনের উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r হলে -

- ভূমির ক্ষেত্রফল = πr²
- আয়তন (Volume) = πr²h
- বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
- সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল/পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল= 2πr(r + h)

৫,৪৩৪.

125° কোণের সম্পূরক কোণ কত?

ক
ক) 35°
খ
খ) 235°
গ
গ) 145°
ঘ
ঘ) 55°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 125° কোণের সম্পূরক কোণ কত?

সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে একটি অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
125° কোণের সম্পূরক কোণ = (180° - 125° ) = 55°

৫,৪৩৫.

একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ২ : ৪ : ৬। ত্রিভুজটি কী ধরণের?

ক
সুক্ষ্মকোণী
খ
সমকোণী
গ
সমদ্বিবাহু
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ২ : ৪ : ৬। ত্রিভুজটি কী ধরণের?

সমাধান:
২ক + ৪ক + ৬ক = ১৮০°
⇒ ১২ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৫°

৬ক = ৬ × ১৫° = ৯০° । সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী।

৫,৪৩৬.

যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোনগুলো সমকোণ নয় তাকে কী বলে?

ক
আয়তক্ষেত্র
খ
বর্গক্ষেত্র
গ
সামান্তরিক
ঘ
ট্রাপিজিয়াম

ব্যাখ্যা

সামান্তরিক:
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোনগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।

ট্রাপিজিয়াম:
- যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।

আয়তক্ষেত্র:
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।

বর্গক্ষেত্র:
- যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুই পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোনগুলো সমকোণ তাকে বর্গক্ষেত্র বলে।

৫,৪৩৭.

একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৪০ বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ ৩০ সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

ক
৮ সে.মি.
খ
৬ সে.মি.
গ
১২ সে.মি.
ঘ
১০ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৪০ বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ ৩০ সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি, সামান্তরিকক্ষেত্রের একটি কর্ণ = ৩০ সে. মি.
এবং এর বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য = h সে.মি.
∴ সামান্তরিকক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = কর্ণ × h বর্গ সে.মি

প্রশ্নমতে,
৩০ × h = ২৪০
⇒ h = ২৪০/৩০
∴ h = ৮

∴ নির্ণেয় লম্বের দৈর্ঘ্য ৮ সে.মি.

৫,৪৩৮.

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার। ত্রিভুজটির ভূমি ১০০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?

ক
৫০ মিটার
খ
৪০ মিটার
গ
৬০ মিটার
ঘ
৮০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার। ত্রিভুজটির ভূমি ১০০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৫০ মিটার
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৫০) বর্গ মিটার
= ২৫০০ বর্গ মিটার

যেহেতু, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গ মিটার
∴ ত্রিভুজটির ভূমি = ১০০ মিটার

আমরা জানি,
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
বা, (১/২) × ১০০ × উচ্চতা = ২৫০০
বা, উচ্চতা = (২৫০০ × ২)/১০০
∴ উচ্চতা = ৫০ মিটার

∴ ত্রিভুজটির উচ্চতা = ৫০ মিটার ।

৫,৪৩৯.

2 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তে অন্তঃস্থ একটি বর্গক্ষেত্র রয়েছে। বর্গক্ষেত্র দ্বারা বৃত্তের অনধিকৃত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল কত?

ক
π - 4
খ
4π + 8
গ
3π - 6
ঘ
4π - 8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তে অন্তঃস্থ একটি বর্গক্ষেত্র রয়েছে। বর্গক্ষেত্র দ্বারা বৃত্তের অনধিকৃত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

মনেকরি
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 2 সে.মি
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = π × 2² বর্গ সে.মি
=4π বর্গ সে.মি

আবার
ABCD এ AC = 4 সে.মি.

আমরা জানি
AC² = AB² + BC²
⇒ AB² + AB² = AC²
⇒ 2AB² = 4²
⇒ 2AB² = 16
∴ AB² = 8

∴ বর্গক্ষেত্রের বহিঃস্থ এবং বৃত্তটি দ্বারা আবৃদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল = 4π - 8 বর্গ সে.মি

৫,৪৪০.

What is the perimeter (পরিসীমা) of a square, if its area is 400 sq. m.

ক
ক) 40m
খ
খ) 80m
গ
গ) 20m
ঘ
ঘ) 20 sq. m.

ব্যাখ্যা

Question: What is the perimeter (পরিসীমা) of a square, if its area is 400 sq. m.

Solution:
ধরি
বর্গের একবাহুর দৈর্ঘ্য = x মিটার

প্রশ্নমতে
x² = 400
x² = 20²
x = 20

বর্গের পরিসীমা = 4x = 4 × 20 = 80 মিটার

৫,৪৪১.

একটি বর্গাকার বাগানের বাইরে চারদিকে ৫ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল ৫০০ বর্গমিটার হলে, বাগানের ক্ষেত্রফল কত?

ক
৪০০ বর্গমিটার
খ
৬০০ বর্গমিটার
গ
৩০০ বর্গমিটার
ঘ
৭০০ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের বাইরে চারদিকে ৫ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল ৫০০ বর্গমিটার হলে, বাগানের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ক মিটার
তাহলে বাগানের ক্ষেত্রফল = ক^২ বর্গমিটার

দেওয়া আছে,
রাস্তা ৫ মিটার চওড়া এবং বাগানের চারদিকে আছে।
রাস্তাসহ দৈর্ঘ্য = ক + ৫ + ৫ = ক + ১০ মিটার

রাস্তার ক্ষেত্রফল = বাইরের বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল - বাগানের ক্ষেত্রফল
= (ক + ১০)^২ - ক^২
= ক^২ + ২০ক + ১০০ - ক^২
= ২০ক + ১০০

প্রশ্নানুসারে রাস্তার ক্ষেত্রফল = ৫০০ বর্গমিটার
⇒ ২০ক + ১০০ = ৫০০
⇒ ২০ক = ৫০০ - ১০০
⇒ ২০ক = ৪০০
⇒ ক = ৪০০/২০
∴ ক = ২০ মিটার

∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = ক^২ = ২০ × ২০ = ৪০০ বর্গমিটার

৫,৪৪২.

নিচের কোন তথ্যের ভিত্তিতে চতুর্ভুজ অঙ্কন সম্ভব নয় ?

ক
তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
খ
চারটি বাহু ও একটি কোণ
গ
চারটি বাহু ও দুইটি কোণ
ঘ
দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন তথ্যের ভিত্তিতে চতুর্ভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়?

সমাধান:
নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়।
নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ।
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ।
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ।
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ।
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ।

৫,৪৪৩.

একটি বৃত্তে একই চাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ 120° হলে, উক্ত চাপের উপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণের মান কত?

ক
70°
খ
80°
গ
75°
ঘ
60°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তে একই চাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ 120° হলে, উক্ত চাপের উপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক হয়।

∴ কেন্দ্রস্থ কোণ = 120° হলে,
বৃত্তস্থ কোণ = 120°/2 = 60°

৫,৪৪৪.

বৃত্তের যে কোন সংযোজক রেখাংশকে বৃত্তের কি বলে?

ক
ক) পরিধি
খ
খ) বৃত্তচাপ
গ
গ) ব্যাসার্ধ
ঘ
ঘ) জ্যা

ব্যাখ্যা

বৃত্তের জ্যা - এর সংজ্ঞা থেকে প্রশ্নটি প্রণীত।

৫,৪৪৫.

একটি চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান এবং সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ চতুর্ভূজটি কোন আকৃতির?

ক
ক) সামান্তরিক
খ
খ) আয়তক্ষেত্র
গ
গ) বর্গক্ষেত্র
ঘ
ঘ) রম্বস

ব্যাখ্যা

আয়তক্ষেত্রের সংজ্ঞানুসারে।

৫,৪৪৬.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ১০√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
৯ মিটার
খ
১৫ মিটার
গ
১৬ মিটার
ঘ
২১ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ১০√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি, ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
∴ এর ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)a^২ বর্গ মিটার

বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে, নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = (a + ২) মিটার
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (a + ২)^২ বর্গ মিটার

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪) × (a + ২)^২ - (√৩/৪)a^২ = ১০√৩
⇒ (√৩/৪) × {(a + ২)^২ - a^২} = ১০√৩
⇒ (a + ২)^২ - a^২ = ১০√৩ × (৪/√৩)
⇒ (a^২ + ৪a + ৪) - a^২ = ৪০
⇒ ৪a + ৪ = ৪০
⇒ ৪a = ৪০ - ৪
⇒ ৪a = ৩৬
⇒ a = ৩৬/৪
⇒ a = ৯

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ৯ মিটার।

৫,৪৪৭.

৩৭ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

ক
ক) ৫৩ ডিগ্রি
খ
খ) ৩৭ ডিগ্রি
গ
গ) ১২৭ ডিগ্রি
ঘ
ঘ) ১৪৩ ডিগ্রি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩৭ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
অর্থাৎ
৩৭ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৩৭ ডিগ্রি।

৫,৪৪৮.

cosec(90° - θ) = 2 হলে, cosθ = কত?

ক
ক) 2
খ
খ) √3/2
গ
গ) 1/2
ঘ
ঘ) 1/√3

ব্যাখ্যা

cosec(90° - θ) = 2
বা, secθ = 2
বা, 1/cosθ = 2
বা, cosθ = 1/2

৫,৪৪৯.

DEFG রম্বসের D কোণের মান 70° হলে G কোণের মান কত?

ক
ক) 120°
খ
খ) 140°
গ
গ) 110°
ঘ
ঘ) 130°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: DEFG রম্বসের D কোণের মান 70° হলে G কোণের মান কত?

সমাধান:

DEFG রম্বসের ∠D = ∠F = 70°
∠G = ∠E = ?
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°

∠D + ∠F + ∠G + ∠E = 360°
70° + 70° + 2∠G = 360°
140° + 2∠G = 360°
2∠G = 360° - 140°
2∠G = 220°
∠G = 110°

৫,৪৫০.

৪৫° কোণের পূরক কোণ কত ডিগ্রি?

ক
৪৫°
খ
৯০°
গ
৫৫°
ঘ
১৩৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪৫° কোণের পূরক কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ (৯০°) হলে , ঐ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

∴ ৪৫° এর পূরক কোণ = ৯০° - ৪৫°
= ৪৫°

৫,৪৫১.

বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫০% হ্রাস পেলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত হ্রাস পাবে?

ক
ক) ২৫%
খ
খ) ৫০%
গ
গ) ৭৫%
ঘ
ঘ) ১২.৫%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫০% হ্রাস পেলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত হ্রাস পাবে?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = ১০০ একক
বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π (১০০)^২ = ১০০০০π

ব্যাসার্ধ ৫০% কমানো হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = (১০০ - ৫০) একক = ৫০ একক
নতুন বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π (৫০)^২ = ২৫০০π

ক্ষেত্রফল হ্রাস পেয়েছে = ১০০০০π - ২৫০০π = ৭৫০০π

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা হ্রাস পেয়েছে = (৭৫০০π × ১০০) / ১০০০০π = ৭৫%

৫,৪৫২.

সামন্তরিকের ক্ষেত্রে কোনটি সত্য?

ক
বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর অসমান
খ
বিপরীত কোণগুলো পরস্পর অসমান
গ
কর্ণদ্বয় পস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
ঘ
কর্ণদ্বয় সমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সামন্তরিকের ক্ষেত্রে কোনটি সত্য?

সমাধান:
সামন্তরিক: যে চতুর্ভুজের বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামন্তরিক বলে।
- সামন্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান।
- সামন্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
- সামন্তরিকের যেকোনো দুইটি সন্নিহিত কোণ পরস্পরের সম্পূরক।
- সামন্তরিকের কর্ণদ্বয় পস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- সামন্তরিকের কর্ণদ্বয় অসমান।
- সামন্তরিকের প্রত্যেক কর্ণ সামন্তরিকটিকে দুইটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

৫,৪৫৩.

রশ্মির প্রান্তবিন্দু কয়টি?

ক
প্রান্তবিন্দু নেই
খ
একটি
গ
দুইটি
ঘ
অসংখ্য

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রশ্মির প্রান্তবিন্দু কয়টি?

সমাধান:
• রেখা সম্পর্কিত কিছু গুরুত্বপূর্ণ তত্ত্ব:
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই।
- রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে।

রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
- অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ। তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।

৫,৪৫৪.

2x - 3y + 4 = 0 সরলরেখাটির ঢাল কত?

ক
2
খ
2/3
গ
- 3
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x - 3y + 4 = 0 সরলরেখাটির ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায়। যার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.

এখন,
2x - 3y + 4 = 0
বা, 3y = 2x + 4
বা, y = (2/3)x + 4/3

সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = 2/3
∴ প্রদত্ত রেখার ঢাল 2/3

৫,৪৫৫.

ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের সমষ্টি তার পরিসীমার ______।

ক
তুলনায় ক্ষুদ্রতর
খ
তুলনায় বৃহত্তর
গ
সমান
ঘ
অসমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের সমষ্টি ত্রিভুজের-

সমাধান:
- ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলে।
- ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
- যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা।
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের সমষ্টি ত্রিভুজের পরিসীমা অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।

৫,৪৫৬.

যদি কোন বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের মানের অনুপাত ৩ : ১ হয়, তবে বহুভুজটিতে মোট কতটি বাহু আছে?

ক
৬ টি
খ
৮ টি
গ
১০ টি
ঘ
১২ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি কোন বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের মানের অনুপাত ৩ : ১ হয়, তবে বহুভুজটিতে মোট কতটি বাহু আছে?

সমাধান:
ধরি, বহুভুজটির প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = ক
∴ বহুভুজটির প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৩ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ক = ১৮০°
⇒ ৪ক = ১৮০°
∴ ক = ৪৫°

∴ বহুভুজটির প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৪৫°

আমরা জানি,
বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/বহিঃস্থ কোণ
= ৩৬০°/৪৫°
= ৮ টি

৫,৪৫৭.

যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হয় তবে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বাড়বে?

ক
ক) 100%
খ
খ) 200%
গ
গ) 300%
ঘ
ঘ) 400%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হয় তবে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বাড়বে?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
নতুন বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2r

প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
নতুন বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(2r)² = 4πr²

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়েছে = 4πr² - πr² = 3πr²

শতকরা বৃদ্ধি পেয়েছে = (3πr²/πr²) × 100 = 300%

৫,৪৫৮.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ D% হ্রাস করার ফলে এর ক্ষেত্রফল 12% হ্রাস পেলে D এর মান কত?

ক
ক) 20%
খ
খ) 30%
গ
গ) 40%
ঘ
ঘ) 25%

ব্যাখ্যা

মনে করি,
দৈর্ঘ্য x
এবং প্রস্থ y
ক্ষেত্রফল = xy
প্রশ্নমতে,
1.1x (1 - D)y = .88xy
=> 1.1xy -1.1Dxy = .88xy
=> 1.1Dxy = .22xy
=> D = .22xy / 1.1xy
=> D = 0.2 = 0.2 × 100% = 20%
অর্থাৎ, D = 20%

৫,৪৫৯.

দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ২ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলে যাচ্ছে। তারা একে অন্যের সাথে মিলিত হবে কত মিটার দূরে?

ক
১০০ মিটার
খ
২০০ মিটার
গ
৩০০ মিটার
ঘ
কখনোই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ২ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলে যাচ্ছে। তারা একে অন্যের সাথে মিলিত হবে কত মিটার দূরে?

সমাধান:
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না।

সমান্তরাল রেখা (Parallel Line):
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে।
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত:
• সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে।
• এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না।
• দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে।
- দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল।
- একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়।

৫,৪৬০.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩৬০০ বর্গমিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

ক
২৪০ মিটার
খ
২২০ মিটার
গ
১৯০ মিটার
ঘ
২৬০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩৬০০ বর্গমিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩৬০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৩৬০০ মিটার
= ৬০ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৬০ × ৪) মিটার
= ২৪০ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২৪০ মিটার।

৫,৪৬১.

বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৬১৬ বর্গ সে.মি. হলে, তার ব্যাস কত?

ক
৩২ সে.মি.
খ
২৮ সে.মি.
গ
৩০ সে.মি.
ঘ
১৪ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৬১৬ বর্গ সে.মি. হলে, তার ব্যাস কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = ৬১৬ বর্গ সে.মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২
⇒ ৬১৬ = πr^২
⇒ r^২ = ৬১৬/ π
⇒ r^২ = ৬১৬/(২২/৭) [যেহেতু, π = ২২/৭]
⇒ r^২ = (৬১৬ × ৭)/২২ = ১৯৬
⇒ r^২ = ১৯৬
⇒ r = √১৯৬ = ১৪
∴ r = ১৪ সে.মি.
অর্থাৎ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১৪ সে.মি.

∴ ব্যাস = ২r = ২ × ১৪ = ২৮ সে.মি.

৫,৪৬২.

একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৮ মিটার ও ৯ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

ক
৬ মিটার
খ
১২ মিটার
গ
২৪ মিটার
ঘ
৩৬ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৮ মিটার ও ৯ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ৯
= ৩৬ বর্গমিটার

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গমিটার
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৩৬ মিটার
= ৬ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৬ × ৪ মিটার
= ২৪ মিটার

৫,৪৬৩.

একটি বর্গের ক্ষেত্রফল একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের পরিসীমা ২৪ সে.মি. এবং আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৪ সে.মি. হলে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত?

ক
৬ সে.মি.
খ
১২ সে.মি.
গ
৯ সে.মি.
ঘ
১৫ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গের ক্ষেত্রফল একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের পরিসীমা ২৪ সে.মি. এবং আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৪ সে.মি. হলে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গের পরিসীমা = ২৪ সে.মি.
∴ বর্গের একবাহুর দৈর্ঘ্য = ২৪/৪ সে.মি.
= ৬ সে.মি.
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (এক বাহু)২ বর্গ সে.মি.
= (৬)২ বর্গ সে.মি.
= ৩৬ বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান।
∴ দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ৩৬
বা, দৈর্ঘ্য × ৪ = ৩৬
বা, দৈর্ঘ্য = ৩৬/৪
∴ দৈর্ঘ্য = ৯ সে.মি.

৫,৪৬৪.

একটি সামান্তরিকের ভূমি 36 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 144 বর্গমিটার হলে, এর উচ্চতা কত?

ক
ক) 4 মিটার
খ
খ) 8 মিটার
গ
গ) 12 মিটার
ঘ
ঘ) 10 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি 36 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 144 বর্গমিটার হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা)
144 = 36 × উচ্চতা
উচ্চতা = 144/36
উচ্চতা = 4

৫,৪৬৫.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 20 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির 3/4 হলে, ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 8 সে.মি.
খ
খ) 6 সে.মি.
গ
গ) 10 সে.মি.
ঘ
ঘ) 4 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 20 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির 3/4 হলে, ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি = x সে.মি.
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = 3x/4

প্রশ্নমতে,
x + (3x/4) + (3x/4) = 20
(4x + 3x + 3x)/4 = 20
10x/4 = 20
x = (20 × 4)/10
x = 8 সে.মি.

৫,৪৬৬.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 64√3 বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

ক
42 সে.মি.
খ
48 সে.মি.
গ
52 সে.মি.
ঘ
58 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 64√3 বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4)(বাহু)²
এখন, (√3/4)(বাহু)² = 64√3
⇒ (1/4)(বাহু)² = 64
⇒ (বাহু)² = 64 × 4
⇒ (বাহু)² = 256
⇒ বাহু = 16

∴ ত্রিভুজের পরিসীমা = 16 + 16 + 16
= 48 সে.মি.

৫,৪৬৭.

একটি কোণের পরিমাণ ৩৪০° হলে, কোণটি হলো-

ক
ক) স্থূলকোণ
খ
খ) প্রবৃদ্ধ কোণ
গ
গ) সরল কোণ
ঘ
ঘ) সূক্ষ্মকোণ

ব্যাখ্যা

একটি কোণের পরিমাণ ৩৪০° হলে, কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।
প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle )
দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়। চিত্রে চিহ্নিত ∠AOC প্রবৃদ্ধ কোণ

৫,৪৬৮.

বৃত্তের কোনাে বিন্দুতে ______ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।

ক
ক) ১টি
খ
খ) ২টি
গ
গ) ৩টি
ঘ
ঘ) ৪টি

ব্যাখ্যা

1. বৃত্তের কোনাে বিন্দুতে একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
2. স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের ওপর অঙ্কিত লম্ব কেন্দ্রগামী।
3. বৃত্তের কোনাে বিন্দু দিয়ে ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত বিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক হয়।
4.. বৃত্তের বহিঃস্থ কোনাে বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানলে, ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান।

৫,৪৬৯.

অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি অপরটির দ্বিগুণ হলে বৃহত্তম সূক্ষ্মকোণের পরিমাণ কত?

ক
৬০°
খ
৩০°
গ
১২০°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি অপরটির দ্বিগুণ হলে বৃহত্তম সূক্ষ্মকোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হওয়ায় ত্রিভুজটি সমকোণী।
ত্রিভুজটির সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের ক্ষুদ্রতম কোণটি x হলে বৃহত্তম কোণটি হবে ২x

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ x + ২x + ৯০° = ১৮০°
বা, ৩x = ১৮০° - ৯০°
বা, ৩x = ৯০°
বা, x = ৯০°/৩
∴ x = ৩০°
অর্থাৎ, ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩০°

∴ বৃহত্তম কোণ= ২x
= ২ × ৩০°
= ৬০° ।

৫,৪৭০.

একটি 15 মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে খাড়া করে রাখা আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূরে সরালে এর উপরের অংশ 3 মিটার নিচে নেমে আসবে?

ক
20 মিটার
খ
15 মিটার
গ
45 মিটার
ঘ
9 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি 15 মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে খাড়া করে রাখা আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূরে সরালে এর উপরের অংশ 3 মিটার নিচে নেমে আসবে?

সমাধান:

এখানে, AC মইয়ের গোড়া C থেকে D বিন্দুতে সরালে উপরের প্রান্ত A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে 3 মিটার নামবে।
মইয়ের দৈর্ঘ্য, AC = BD = 15 মিটার
এবং AB = 3 মিটার
∴ BC = 15 - 3 = 12 মিটার

এখন, পীথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
BC² + CD² = BD²
⇒ CD² = BD² - BC²
⇒ CD² = 15² - 12²
⇒ CD² = 225 - 144
⇒ CD² = 81
⇒ CD = √81
∴ CD = 9

∴ মইটির গোড়া দেয়াল থেকে 9 মিটার দূরে সরালে উপরের প্রান্ত 3 মিটার নিচে নামবে।

৫,৪৭১.

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের কত গুণ?

ক
ক) 1/√2
খ
খ) √2
গ
গ) 2√2
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের কত গুণ?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের একবাহু = a একক
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a একক
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a একক

এখন,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা/বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = 4a/√2a
বা, পরিসীমা/কর্ণ = 4/√2
বা, পরিসীমা/কর্ণ = 2√2
∴ পরিসীমা = বর্গক্ষেত্রের কর্ণ × 2√2

∴ একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের 2√2 গুণ।

৫,৪৭২.

tanθ = a/b হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ক) secθ = a/(a² + b²)
খ
খ) cosecθ = (√(a²+ b²) )/ a
গ
গ) sinθ = b/(a² + b²)
ঘ
ঘ) cosθ = a/(a² + b²)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tanθ = a/b হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
tanθ = a/b
লম্ব/ভূমি = a/b

∴ লম্ব = a এবং ভূমি = b
∴ অতিভুজ = √(a² + b²)

cosecθ = (√(a²+ b²) )/ a

৫,৪৭৩.

একটি সমকোণী ত্রিভুজ এর অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২ সেমি বড় ও লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সেমি ছোট। অতিভুজ এর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ৮
খ
খ) ১০
গ
গ) ১৫
ঘ
ঘ) ১৮

ব্যাখ্যা

ধরি, ভূমি = x cm
∴ লম্ব = (x - 2) cm এবং অতিভুজ = (x + 2) cm
প্রশ্নমতে,
(x + 2)² = (x - 2)² + x²
বা, x² + 4x + 4 = x² - 4x + 4 + x²
বা, x² - 8x = 0
বা, x(x - 8) = 0
কিন্তু x ≠ 0, ∴ x - 8 = 0 বা, x = 8 cm
∴ অতিভুজ = (8 + 2) cm = 10 cm

৫,৪৭৪.

একটি সুষম অষ্টভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ কত?

ক
ক) 90°
খ
খ) 105°
গ
গ) 120°
ঘ
ঘ) 135°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম অষ্টভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
অন্তঃকোণের পরিমাণ = ((8 - 2) × 180°)/8
= (6 × 180°)/8
= 135°

৫,৪৭৫.

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 144π বর্গমিটার এবং পরিধি 24π মিটার। বৃত্তটির ব্যাস কত?

ক
12 মিটার
খ
24 মিটার
গ
18√3 মিটার
ঘ
48 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 144π বর্গমিটার এবং পরিধি 24π মিটার। বৃত্তটির ব্যাস কত?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 144π
⇒ r² = 144
⇒ r = 12

∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r = 2 × 12 = 24 মিটার

৫,৪৭৬.

tanθ = x হলে Sin2θ = ?

ক
ক) 2x/(1 - x²)
খ
খ) 2x/(1 + x²)
গ
গ) (1 - x²)/(1 + x²)
ঘ
ঘ) (1 + x²)/(1 - x²)

ব্যাখ্যা

Sin2θ
= 2tanθ/(1 + tan²θ)
= 2x/(1 + x²)

৫,৪৭৭.

বৃত্তস্থ চর্তুভুজের একটি কোণ ৮০° হলে তার বিপরীত কোণটির মান কত?

ক
৮০°
খ
৯০°
গ
১০০°
ঘ
১২০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চর্তুভুজের একটি কোণ ৮০° হলে তার বিপরীত কোণটির মান কত?

সমাধান:
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের দুটি বিপরীত কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ একটি কোণ ৮০° হলে, অপরটি কোণটি হবে = (১৮০ - ৮০)°
= ১০০° ।

৫,৪৭৮.

চিত্রে, ∠BEF + ∠EFD = ?

ক
360^°
খ
270^°
গ
180^°
ঘ
90^°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

চিত্রে, ∠BEF + ∠EFD = ?

সমাধান:
চিত্রে, AB || CD এবং PQ ছেদক এদের যথাক্রমে E ও F বিন্দুুতে ছেদ করেছে।
সুতরাং,
ক) ∠PEB = অনুরূপ ∠EFD [সংজ্ঞানুসারে]
খ) ∠AEF = একান্তর ∠EFD
গ) ∠BEF + ∠EFD = দুই সমকোণ বা 180°

৫,৪৭৯.

If θ is an acute angle, and cos θ =15/17, then find the value of cot(90- θ).

ক
ক) 17/15
খ
খ) 4/15
গ
গ) 5/17
ঘ
ঘ) 8/15

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
cos θ =15/17
⇒ secθ = 17/15
⇒ sec²θ = 289/225
⇒ 1 + tan²θ = 289/225
⇒tan²θ = 289/225 - 1
⇒tan²θ = 64/225
⇒tanθ = 8/15
⇒ cot(90 - θ) = 8/15

৫,৪৮০.

একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 200 বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ 25 সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

ক
8 সে.মি.
খ
12 সে.মি.
গ
6 সে.মি.
ঘ
4 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 200 বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ 25 সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি, সামান্তরিকক্ষেত্রের একটি কর্ণ d = 25 সে. মি. এবং এর বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য h সে.মি.।
∴ সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = dh বর্গ সে.মি.

প্রশানুসারে,
⇒ dh = 200
⇒ h = 200/25
∴ h = 8

∴ নির্ণেয় লম্বের দৈর্ঘ্য = 8 সে.মি.

৫,৪৮১.

কোন সমবৃত্ত ভূমিক কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ 1/3 মিটার উচ্চতা 1 মিটার হলে, কোণটির আয়তন কত?

ক
π ঘন মিটার
খ
π/3 ঘন মিটার
গ
π/9 ঘন মিটার
ঘ
π/27 ঘন মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সমবৃত্ত ভূমিক কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ 1/3 মিটার উচ্চতা 1 মিটার হলে, কোণটির আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
কোণকের উচ্চতা h = 1 মিটার
কোণকটির ভূমির ব্যাসার্ধ r = 1/3 মিটার
কোণকের আয়তন =(1/3)πr²h
= (1/3)π(1/3)²× 1 ঘন মিটার
= π/27 ঘন মিটার

৫,৪৮২.

sin³30° + 4cot²45°- sec²60° এর মান কত?

ক
2
খ
1/2
গ
1/4
ঘ
1/8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sin³30° + 4cot²45°- sec²60° এর মান কত?

সমাধান:
sin³30° + 4cot²45°- sec²60°
= (sin30°)³+ 4(cot45°)² - (sec60°)²
= (1/2)³ + 4 ⋅ (1)² - (2)²
= (1/8) + 4 - 4
= 1/8

৫,৪৮৩.

একটি চাকার ব্যাস ৮.৪ মিটার। চাকাটি ৬৬০ মিটার পথ অতিক্রম করতে কত বার ঘুরবে?

ক
১৫ বার
খ
২০ বার
গ
২৫ বার
ঘ
৩০ বার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাস ৮.৪ মিটার। চাকাটি ৬৬০ মিটার পথ অতিক্রম করতে কত বার ঘুরবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চাকার ব্যাস, ২r = ৮.৪ মিটার
∴ চাকার ব্যাসার্ধ, r = ৮.৪/২ = ৪.২ মিটার

∴ চাকার পরিধি = ২πr
= (২ × ৩.১৪১৬ × ৪.২) মিটার
= ২৬.৩৮৯৪ মিটার

∴ ৬৬০ মিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি ঘুরবে = ৬৬০/২৬.৩৮৯৪ বার
= ২৫.০১ বার (প্রায়) ।

৫,৪৮৪.

ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি কোনটি?

ক
ক) 90°
খ
খ) 180°
গ
গ) 270°
ঘ
ঘ) 360°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি কোনটি?

সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°

৫,৪৮৫.

অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি অপরটির পাঁচগুণ হলে, সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?

ক
15°
খ
55°
গ
75°
ঘ
65°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি অপরটির পাঁচগুণ হলে, সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হওয়ায় ত্রিভুজটি সমকোণী ।
ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি x হলে অপরটির 5x
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°

⇒ x + 5x + 90° = 180°
⇒ 6x = 180° - 90°
⇒ x = 90°/6
⇒ x = 15°

∴ বৃহত্তম কোণ = 5 × 15° = 75°

৫,৪৮৬.

বৃত্তের ব্যাস ‍দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে এর পরিধি কতগুণ বৃদ্ধি পায়?

ক
ক) ২ গুণ
খ
খ) ৩ গুণ
গ
গ) ৪ গুণ
ঘ
ঘ) ৬ গুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস ‍দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে এর পরিধি কতগুণ বৃদ্ধি পায়?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি = 2πr

ব্যাস ‍দ্বিগুণ বৃদ্ধি পাওয়ার পর নতুন ব্যাস = 2r + (2 × 2r) = 6r

∴ নতুন পরিধি = 2π × 6r/2
= 2π × 3r
= 2πr × 3
= 6πr

সুতরাং, পরিধি বৃদ্ধি পেয়েছে (6πr - 2πr) = 4πr
- যা 2πr এর দ্বিগুণ।

৫,৪৮৭.

চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB = 12 সে.মি এবং ∠OCB = 90° হলে BC = ?

ক
ক) 25 সে.মি
খ
খ) 6 সে.মি
গ
গ) 7 সে.মি
ঘ
ঘ) 24 সে.মি

ব্যাখ্যা

কেন্দ্র O হতে ব্যাস ভিন্ন জ্যা AB এর উপর অংকিত লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখন্ডিত করবে।
∴ BC = 1/2 × AB
= 1/2 × 12
= 6 cm.

৫,৪৮৮.

একটি ত্রিভুজের যেকোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি হবে-

ক
স্থূলকোণী
খ
সূক্ষ্মকোণী
গ
সমবাহু
ঘ
সমকোণী

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের যে কোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
একটি কোণ = x
∴ অপর দুই কোণের সমষ্টি = x

শর্তমতে,
x + x = 180°
বা, 2x = 180°
বা, x = 180°/2
∴ x = 90°
অর্থাৎ, ত্রিভুজটি সমকোণী।

৫,৪৮৯.

একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার দ্বিগুণ। সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল 72 বর্গ সে.মি. হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত?

ক
ক) 6 সে.মি.
খ
খ) 18 সে.মি.
গ
গ) 12 সে.মি.
ঘ
ঘ) 24 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার দ্বিগুণ। সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল 72 বর্গ সে.মি. হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত?

সমাধান:
মনে করি, সামান্তরিকের উচ্চতা, ক
সুতরাং, ভূমি 2ক
আমরা জানি, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
শর্তমতে,
ক × 2ক = 72
বা, 2ক² = 72
বা, ক² = 36
বা, ক = 6

সামান্তরিকের ভূমি 2 × 6 = 12 সে.মি.

৫,৪৯০.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা ১০ মিটার এবং ভূমি √২১ মিটার হলে, ত্রিভুজটির অতিভুজ কত?

ক
১২ মিটার
খ
১১ মিটার
গ
১৩ মিটার
ঘ
১০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা ১০ মিটার এবং ভূমি √২১ মিটার হলে, ত্রিভুজটির অতিভুজ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা = ১০ মিটার
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = √২১ মিটার

আমরা জানি,
(অতিভুজ)^২ = (১০)^২+ (√২১ )^২
⇒ (অতিভুজ)^২ = (১০)^২ + (√২১ )^২
⇒ (অতিভুজ)^২ = ১০০ + ২১
⇒ (অতিভুজ)^২ = ১২১
∴ অতিভুজ = ১১

∴ ত্রিভুজটির অতিভুজ = ১১ মিটার

৫,৪৯১.

একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৫ মিটার। ১ কিলোমিটার ৫০০ মিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

ক
২০০
খ
২৫০
গ
৩০০
ঘ
৩৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৫ মিটার। ১ কিলোমিটার ৫০০ মিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
গাড়ীর চাকার পরিধি = ৫ মিটার

১ কিলোমিটার ৫০০ মিটার = (১০০০ + ৫০০) মিটার = ১৫০০ মিটার

৫ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১ বার
১ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১/৫ বার
১৫০০ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১৫০০/৫ বার
= ৩০০ বার

৫,৪৯২.

ΔABC এর ∠A = 50° এবং ∠B = 70°। ∠C এর সমদ্বিখন্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = কত?

ক
75°
খ
120°
গ
100°
ঘ
110°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এর ∠A = 50° এবং ∠B = 70°। ∠C এর সমদ্বিখন্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = কত?

সমাধান:

ΔABC এ,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ 50° + 70° + ∠C = 180°
⇒ ∠C = 180° - 120°
∴ ∠C = 60°

∠C এর সমদ্বিখণ্ডক অর্থাৎ, (1/2) ∠C= 60º/2 = 30°

ΔADC এ, ∠CAD + ∠CDA + ∠ACD = 180°
⇒ ∠A + ∠CDA + ∠C = 180°
⇒ 50° + ∠CDA + 30° = 180°
⇒ ∠CDA = 180° - 80°
∴ ∠CDA = 100°

৫,৪৯৩.

একটি অর্ধ-বৃত্ত আকারের জানালার ব্যাস 56 সে.মি. হলে তার পরিসীমা কত?

ক
144 সে.মি. (প্রায়)
খ
179 সে.মি. (প্রায়)
গ
272 সে.মি. (প্রায়)
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অর্ধ-বৃত্ত আকারের জানালার ব্যাস 56 সে.মি. হলে তার পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস
= πr + 2r
= (22/7) × (56/2) + 56
= (88 + 56)
= 144 সে.মি. (প্রায়)

৫,৪৯৪.

সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ 150° হলে কর্ণের সংখ্যা কত?

ক
48 টি
খ
42 টি
গ
54 টি
ঘ
52 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ 150° হলে কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = 360°/(180° - অন্তঃকোণ)
= 360°/(180° - 150°)
= 360°/30°
= 12 টি

∴ কর্ণের সংখ্যা = {n × (n - 3)}/2
= {12 × (12 - 3)}/2
= (12 × 9)/2
= 108/2
= 54 টি।

৫,৪৯৫.

৯০° কোণের সম্পূরক কোণের মান কত?

ক
৯০°
খ
০°
গ
১৮০°
ঘ
৩০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৯০° কোণের সম্পূরক কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

∴ ৯০° কোণের সম্পূরক কোণ (১৮০ - ৯০)° = ৯০°

৫,৪৯৬.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অসমান বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এর ক্ষেত্রফল ২√৫ বর্গসে.মি. হলে, সমান বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ৩ সে.মি.
খ
খ) ৬ সে.মি.
গ
গ) ৯ সে.মি.
ঘ
ঘ) ৫ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অসমান বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এর ক্ষেত্রফল ২√৫ বর্গসে.মি. হলে, সমান বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a সে.মি.
অসমান বাহুর দৈর্ঘ্য b = ৪ সে.মি.

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =

প্রশ্নমতে,

৫,৪৯৭.

একটি কোণের মান অপর কোণের মানের একতৃতীয়াংশের সমান ও পরস্পর সম্পূরক হলে, ছোট কোণটির মান কত?

ক
৬৭.৫°
খ
১৩৫°
গ
৪৫°
ঘ
১২৫.৫°

ব্যাখ্যা

অপর কোণ ক হলে,
একটি কোণ = ক/৩
∴ ক + ক/৩ = ১৮০°
বা, ৪ক/৩ = ১৮০°
বা, ৪ক = ৫৪০°
বা, ক = ৫৪০°/৪ = ১৩৫°
নির্ণেয় কোণ = ১৩৫°/৩ = ৪৫°

৫,৪৯৮.

একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুটি সমান্তরাল কিন্তু অসমান। একে বলে-

ক
ক) ট্রাপিজিয়াম
খ
খ) আয়তক্ষেত্র
গ
গ) সামান্তরিক
ঘ
ঘ) বর্গ ক্ষেত্র

ব্যাখ্যা

ট্রাপিজিয়ামের ছবিটির দিকে লক্ষ করুন। এর বিপরীত দুটি বাহু a এবং b সমান্তরাল কিন্তু অসমান।

৫,৪৯৯.

যদি tanθ + cotθ = √3 হয়, তবে tan⁶θ + cot⁶θ -এর মান কত হবে?

ক
- 2
খ
- 1
গ
3
ঘ
- 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি tanθ + cotθ = √3 হয়, তবে tan⁶θ + cot⁶θ -এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ + cotθ = √3
⇒ (tanθ + cotθ)³ = (√3)3 ; [উভয়দিকে ঘন করে]
⇒ tan³θ + cot³θ + 3 × tanθ × cotθ × (tanθ + cotθ) = 3√3 ; [a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)]
⇒ tan³θ + cot³θ + 3√3 = 3√3
⇒ tan³θ + cot³θ = 3√3 - 3√3 = 0
⇒ (tan³θ + cot³θ)2 = 0 ; [উভয় দিকে বর্গ করে]
⇒ tan⁶θ + cot⁶θ + 2 × tan³θ × cot³θ = 0 ; [a² + b² = (a + b)² - 2ab]
⇒ tan⁶θ + cot⁶θ + 2 = 0 ; [tanθ = 1/cotθ]
∴ tan⁶θ + cot⁶θ = - 2

৫,৫০০.

ঘনকের ধার ১২ একক হলে ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

ক
১৪৬ বর্গ একক
খ
৮৬৪ বর্গ একক
গ
৪৫৬ বর্গ একক
ঘ
১৩৬ বর্গ একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ঘনকের ধার ১২ একক হলে ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য, ক = ১২ একক

আমরা জানি,
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = ৬ক^২ বর্গ একক
= ৬ × ১২^২ বর্গ একক
= ৬ × ১৪৪ বর্গ একক
= ৮৬৪ বর্গ একক

∴ ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = ৮৬৪ বর্গ একক