৪,৮০১.
(sin2)55° + (sin2)35° = ?
ব্যাখ্যা
(sin2)55° + (sin2)35°
= (sin2)55° + (sin2) (90°-55°)
= (sin2)55° + (cos2)55°
= 1
= (sin2)55° + (sin2) (90°-55°)
= (sin2)55° + (cos2)55°
= 1
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
জ্যামিতি
জ্যামিতি
PrepBank · পাতা ৪৯ / ১০৭ · ৪,৮০১–৪,৯০০ / ১০,৭৫২
৪,৮০২.
যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও তাদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে বলে-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও তাদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে বলে-
সমাধান:
সন্নিহিত কোণ (Adjacent Angle):
- যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও তাদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে। এরূপ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণও বলা হয় ।
- কোনো রশ্মি তার প্রান্তবিন্দুতে একটি সরলরেখার সাথে মিলিত হলে, যে দুইটি কোণ উৎপন্ন হয় তারাও সন্নিহিত কোণ।
সমাধান:
সন্নিহিত কোণ (Adjacent Angle):
- যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও তাদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে। এরূপ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণও বলা হয় ।
- কোনো রশ্মি তার প্রান্তবিন্দুতে একটি সরলরেখার সাথে মিলিত হলে, যে দুইটি কোণ উৎপন্ন হয় তারাও সন্নিহিত কোণ।
৪,৮০৩.
কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের পার্থক্য 20° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের পার্থক্য 20° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?
সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ x এবং
অপর ক্ষুদ্রতম কোণ x + 20°
এখন,
x + x + 20° + 90° = 180°
⇒ 2x = 180° - 110°
⇒ 2x = 70°
⇒ x = 70°/2
∴ x = 35°
∴ ক্ষুদ্রতম কোণ 35°
সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ x এবং
অপর ক্ষুদ্রতম কোণ x + 20°
এখন,
x + x + 20° + 90° = 180°
⇒ 2x = 180° - 110°
⇒ 2x = 70°
⇒ x = 70°/2
∴ x = 35°
∴ ক্ষুদ্রতম কোণ 35°
৪,৮০৪.
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের কত গুণ?
ব্যাখ্যা
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
বা বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
যেমন, যদি একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 40° হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 80°।
৪,৮০৫.
একটি সোনার বারের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা যথাক্রমে ৫ সে.মি., ৪ সে.মি. এবং ১.৫ সে.মি.। একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা যথাক্রমে ৫৫ সে.মি., ৪৮ সে.মি. এবং ৩০ সে.মি. হলে, বাক্সটিতে কয়টি সোনার বার রাখা যাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সোনার বারের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা যথাক্রমে ৫ সে.মি., ৪ সে.মি. এবং ১.৫ সে.মি.। একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা যথাক্রমে ৫৫ সে.মি., ৪৮ সে.মি. এবং ৩০ সে.মি. হলে, বাক্সটিতে কয়টি সোনার বার রাখা যাবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সোনার বারের দৈর্ঘ্য = ৫ সে.মি.
সোনার বারের প্রস্থ = ৪ সে.মি.
সোনার বারের উচ্চতা = ১.৫ সে.মি.
সোনার বারের আয়তন = ৫ × ৪ × ১.৫ ঘন সে.মি.
= ৩০ ঘন সে.মি.
আবার,
বাক্সের দৈর্ঘ্য = ৫৫ সে.মি.
বাক্সের প্রস্থ = ৪৮ সে.মি.
বাক্সের উচ্চতা = ৩০ সে.মি.
বাক্সের আয়তন = ৫৫ × ৪৮ × ৩০ ঘন সে.মি.
= ৭৯২০০ ঘন সে.মি.
সোনার বারের সংখ্যা = ৭৯২০০/ ৩০টি
= ২৬৪০টি
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সোনার বারের দৈর্ঘ্য = ৫ সে.মি.
সোনার বারের প্রস্থ = ৪ সে.মি.
সোনার বারের উচ্চতা = ১.৫ সে.মি.
সোনার বারের আয়তন = ৫ × ৪ × ১.৫ ঘন সে.মি.
= ৩০ ঘন সে.মি.
আবার,
বাক্সের দৈর্ঘ্য = ৫৫ সে.মি.
বাক্সের প্রস্থ = ৪৮ সে.মি.
বাক্সের উচ্চতা = ৩০ সে.মি.
বাক্সের আয়তন = ৫৫ × ৪৮ × ৩০ ঘন সে.মি.
= ৭৯২০০ ঘন সে.মি.
সোনার বারের সংখ্যা = ৭৯২০০/ ৩০টি
= ২৬৪০টি
৪,৮০৬.
O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তের P একটি বহিঃস্থ বিন্দু এবং PA ও PB রেখাংশদ্বয় বৃত্তের A ও B বিন্দুতে দুইটি স্পর্শক হলে নিচের কোনটি সত্য?
ব্যাখ্যা
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানলে, ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান ।
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তের P একটি বহিঃস্থ বিন্দু এবং PA ও PB রেখাংশদ্বয় বৃত্তের A ও B বিন্দুতে দুইটি স্পর্শক।
তাহলে PA = PB
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তের P একটি বহিঃস্থ বিন্দু এবং PA ও PB রেখাংশদ্বয় বৃত্তের A ও B বিন্দুতে দুইটি স্পর্শক।
তাহলে PA = PB
৪,৮০৭.
ত্রিভুজের দুই কোণের সমষ্টি -
ব্যাখ্যা
কোণ তিনটি যথাক্রমে, ∠A, ∠B ও ∠C হলে,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + B = 180° - ∠C
৪,৮০৮.
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 502 = 2500
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × r2
= 3.14 × 252 [r = 50/2 = 25 cm]
= 1962.5
∴ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল = 2500 - 1962.5
= 537.5 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 502 = 2500
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × r2
= 3.14 × 252 [r = 50/2 = 25 cm]
= 1962.5
∴ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল = 2500 - 1962.5
= 537.5 বর্গ সে.মি.
৪,৮০৯.
ABCD চতুর্ভুজের E, F, G, H যথাক্রমে AB, BC, CD, DA বাহুর মধ্যবিন্দু হলে EFGH একটি -
৪,৮১০.
একটি আয়তকার ঘন বস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতার অনুপাত 5:4:3 এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য 30√2 মিঃ হলে আয়তন কত?
ব্যাখ্যা
দৈর্ঘ্য = 5a,
প্রস্থ = 4a,
উচ্চতা = 3a
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য় = √{(5a)2 + (4a)2 + (3a)2} = 30√2
বা, √(25a2 + 16a2 + 9a2) = 30√2
বা, √50a2 = 30√2
বা, 5√2a = 30√2
∴ a = 6
∴ আয়তন = 5a × 4a × 3a
= 60a3
= 60(6)3
= 60 × 216
= 12,960 ঘনমিঃ
৪,৮১১.
একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 3 : 1 এবং উহার পরিসীমা 200 মিটার হলে আয়তাকার ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
দৈর্ঘ্য 3x এবং প্রস্থ x হলে,
2(3x + x) = 200
4x = 100
∴ x = 25
∴ আয়তকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 75 X 25 = 1875.
৪,৮১২.
চিত্রে xy এবং wz দুটো সমান্তরাল সরলরেখা, PQ তাদের ছেদক। সেক্ষেত্রে ∠a + ∠b এর মান নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্রে xy এবং wz দুটো সমান্তরাল সরলরেখা, PQ তাদের ছেদক। সেক্ষেত্রে ∠a + ∠b এর মান নিচের কোনটি?
সমাধান:
প্রদত্ত চিত্রে xy এবং wz দুটো সমান্তরাল সরলরেখা, PQ তাদের ছেদক।
∠a + ∠b = 180°
সমাধান:
প্রদত্ত চিত্রে xy এবং wz দুটো সমান্তরাল সরলরেখা, PQ তাদের ছেদক।
∠a + ∠b = 180°
৪,৮১৩.
y = x + 2, y = - x + 2 এবং y = 1 দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্র -
ব্যাখ্যা
y = - x + 2 এবং y = x + 2 সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দু (0, 2)
y = - x + 2 এবং y = 1 সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দু (1, 1)
y = x + 2 এবং y = 1 সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দু (-1, 1)
(0, 2) ও (1, 1) বিন্দু দুইটির দূরত্ব = √2
(1, 1) ও (-1, 1) বিন্দু দুইটির দূরত্ব = 2
(-1, 1) ও (0, 2) বিন্দু দুইটির দূরত্ব = √2
অতএব, y = x + 2, y = - x + 2 এবং y = 1 দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্র একটি সমকোণী ও সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
y = - x + 2 এবং y = 1 সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দু (1, 1)
y = x + 2 এবং y = 1 সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দু (-1, 1)
(0, 2) ও (1, 1) বিন্দু দুইটির দূরত্ব = √2
(1, 1) ও (-1, 1) বিন্দু দুইটির দূরত্ব = 2
(-1, 1) ও (0, 2) বিন্দু দুইটির দূরত্ব = √2
অতএব, y = x + 2, y = - x + 2 এবং y = 1 দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্র একটি সমকোণী ও সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
৪,৮১৪.
কোন আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয়কেই দ্বিগুণ করা হলে, এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয়কেই দ্বিগুণ করা হলে, এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায়?
সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ক একক
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ খ একক
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কখ বর্গএকক
দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ দ্বিগুণ হলে ক্ষেত্রফল হবে = ২ক × ২খ বর্গএকক
= ৪কখ বর্গএকক
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = (৪কখ - কখ) বর্গএকক
= ৩কখ
কখ বর্গএকক এ বৃদ্ধি পায় ৩কখ বর্গএকক
∴ ১ বর্গএকক এ বৃদ্ধি পায় (৩কখ)/(কখ) = ৩ বর্গএকক
∴ ১০০ বর্গএকক এ বৃদ্ধি পায় ৩ × ১০০ বর্গএকক
= ৩০০ বর্গএকক
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩০০% বৃদ্ধি পাবে।
সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ক একক
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ খ একক
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কখ বর্গএকক
দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ দ্বিগুণ হলে ক্ষেত্রফল হবে = ২ক × ২খ বর্গএকক
= ৪কখ বর্গএকক
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = (৪কখ - কখ) বর্গএকক
= ৩কখ
কখ বর্গএকক এ বৃদ্ধি পায় ৩কখ বর্গএকক
∴ ১ বর্গএকক এ বৃদ্ধি পায় (৩কখ)/(কখ) = ৩ বর্গএকক
∴ ১০০ বর্গএকক এ বৃদ্ধি পায় ৩ × ১০০ বর্গএকক
= ৩০০ বর্গএকক
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩০০% বৃদ্ধি পাবে।
৪,৮১৫.
একটি আয়তকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৭০ মিটার এবং প্রস্থ ৫০ মিটার হলে, মাঠের পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৭০ মিটার এবং প্রস্থ ৫০ মিটার হলে, মাঠের পরিসীমা কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
আয়তকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
= ২(৭০ + ৫০) মিটার
= ২৪০ মিটার
∴ নির্ণেয় পরিসীমা = ২৪০ মিটার
সমাধান:
আমরা জানি,
আয়তকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
= ২(৭০ + ৫০) মিটার
= ২৪০ মিটার
∴ নির্ণেয় পরিসীমা = ২৪০ মিটার
৪,৮১৬.
একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সেন্টিমিটার এবং ৫ সেন্টিমিটার। সামান্তরিকটির পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সেন্টিমিটার এবং ৫ সেন্টিমিটার। সামান্তরিকটির পরিসীমা কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের এক বাহু = ১২সেন্টিমিটার
অপর বাহু = ৫ সেন্টিমিটার
সামান্তরিকের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
= ২(১২ + ৫) সেন্টিমিটার
= (২ × ১৭) সেন্টিমিটার
= ৩৪ সেন্টিমিটার
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের এক বাহু = ১২সেন্টিমিটার
অপর বাহু = ৫ সেন্টিমিটার
সামান্তরিকের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
= ২(১২ + ৫) সেন্টিমিটার
= (২ × ১৭) সেন্টিমিটার
= ৩৪ সেন্টিমিটার
৪,৮১৭.
একটি সুষম ষড়ভুজের পরিসীমা ৭২ সে.মি.। ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল প্রায় কত বর্গ সে.মি.?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের পরিসীমা ৭২ সে.মি.। ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল প্রায় কত বর্গ সে.মি.?
সমাধান:
সুষম ষড়ভুজের পরিসীমা ৭২ সে.মি.
∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৭২/৬ সে.মি.
= ১২ সে.মি.
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল = {(na2)/4} cot(180°/n)
এখানে, n = বাহুর সংখ্যা
a = বাহুর দৈর্ঘ্য
∴ ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = {(৬ × ১২২)/৪}cot(১৮০°/৬)
= ২১৬ × cot৩০°
= ২১৬ × √৩
= ৩৭৪.১২২
≈ ৩৭৪
৪,৮১৮.
১টি বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গমিটার হলে তার পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১টি বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গমিটার হলে তার পরিসীমা কত?
সমাধান:
বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = ৪০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের প্রতিবাহু = √৪০০ মিটার
= ২০ মিটার
∴ মাঠের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৪ × ২০) মিটার
= ৮০ মিটার
সমাধান:
বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = ৪০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের প্রতিবাহু = √৪০০ মিটার
= ২০ মিটার
∴ মাঠের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৪ × ২০) মিটার
= ৮০ মিটার
৪,৮১৯.
নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?
সমাধান:
বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ট্য:
(i) x, y এর সর্বোচ্চ ঘাত 2।
(ii) x2 ও y2 এর সহগ সমান।
(iii) xy সম্বলিত পদ না থাকা।
∴ বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী x2 + y2 = 5 বৃত্তের সমীকরণ
সমাধান:
বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ট্য:
(i) x, y এর সর্বোচ্চ ঘাত 2।
(ii) x2 ও y2 এর সহগ সমান।
(iii) xy সম্বলিত পদ না থাকা।
∴ বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী x2 + y2 = 5 বৃত্তের সমীকরণ
৪,৮২০.
যদি ১৮ ফুট দীর্ঘ এবং ১৫ ফুট প্রস্থ একটি কার্পেট দিয়ে একটি ঘরের মেঝের ৪০% জায়গা ঢেকে দেয়া যায় তবে ঐ মেঝের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি ১৮ ফুট দীর্ঘ এবং ১৫ ফুট প্রস্থ একটি কার্পেট দিয়ে একটি ঘরের মেঝের ৪০% জায়গা ঢেকে দেয়া যায় তবে ঐ মেঝের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
কার্পেটের ক্ষেত্রফল = ১৮ × ১৫
= ২৭০ বর্গফুট
৪০% মেঝে = ২৭০ বর্গফুট
⇒ ১% মেঝে = ২৭০/৪০ বর্গফুট
⇒ ১০০% বা সম্পূর্ণ মেঝে = (২৭০ × ১০০) /৪০ বর্গফুট = ৬৭৫ বর্গফুট
৪,৮২১.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান কোণদ্বয়ের একটি 50° হলে, বৃহত্তম কোনটির মান -
ব্যাখ্যা
বৃহত্তম কোণ = 180° - (সমান কোণদ্বয়ের সমষ্টি)
= 180° - (2 × 50)°
= 80°
৪,৮২২.
একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ ৩৭° ও ৫৩°। ত্রিভুজটি কোন ধরণের?
ব্যাখ্যা
ত্রিভুজের তিনকোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
ত্রিভুজটির তৃতীয় কোণের পরিমাপ = ১৮০°- (৫৩° + ৩৭°)
= ৯০°
অতএব, ত্রিভুজটি সমকোণী।
ত্রিভুজটির তৃতীয় কোণের পরিমাপ = ১৮০°- (৫৩° + ৩৭°)
= ৯০°
অতএব, ত্রিভুজটি সমকোণী।
৪,৮২৩.
অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে একটি অপরটির দ্বিগুণ হলে, বৃহত্তম সূক্ষ্মকোণটির পরিমাণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে একটি অপরটির দ্বিগুণ হলে, বৃহত্তম সূক্ষ্মকোণটির পরিমাণ কত?
সমাধান:
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হওয়ায় ত্রিভুজটি সমকোণী।
ত্রিভুজটির সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের ক্ষুদ্রতম কোণটি = x হলে বৃহত্তম কোণটি হবে = ২x
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ x + ২x + ৯০° = ১৮০°
বা, ৩x = ১৮০° - ৯০°
বা, ৩x = ৯০°
বা, x = ৯০°/৩
∴ x = ৩০°
অর্থাৎ, ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩০°
∴ বৃহত্তম সূক্ষ্মকোণ= ২x
= ২ × ৩০°
= ৬০°
৪,৮২৪.
কোনো ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 সে.মি. হলে ঘনকটির আয়তন কত?
ব্যাখ্যা
মনে করি,
ঘনকের ধার, a
আমরা জানি,
ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a এবং আয়তন = a3 ঘন একক।
প্রশ্নানুসারে, √2a = 4√2
বা, a = 4
সুতরাং ঘনকটির আয়তন = 43
= 64
উৎসঃ গণিত, নবম-দশম শ্রেণি।
৪,৮২৫.
দুটি বৃত্ত যদি পরস্পর স্পর্শ করে তবে কেন্দ্র হতে স্পর্শ বিন্দুগামী সরলরেখা দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত যদি পরস্পর স্পর্শ করে তবে কেন্দ্র হতে স্পর্শ বিন্দুগামী সরলরেখা দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?
সমাধান:
বৃত্তের যে কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।
∴ ∠AOC = 90°, ∠BOC = 90°
∠AOC + ∠BOC = 90° + 90°
= 180°
= এক সরলকোণ।
∴ AO এবং BO এর মধ্যবর্তী কোণ সরলকোণ।
সমাধান:
বৃত্তের যে কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।
∴ ∠AOC = 90°, ∠BOC = 90°
∠AOC + ∠BOC = 90° + 90°
= 180°
= এক সরলকোণ।
∴ AO এবং BO এর মধ্যবর্তী কোণ সরলকোণ।
৪,৮২৬.
সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর________ .
ব্যাখ্যা
- ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত
অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
- ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত
কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর ।
- সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ 60°
অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
- ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত
কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর ।
- সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ 60°
৪,৮২৭.
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে, উহার ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে, উহার ক্ষেত্রফল = √3/4 × a2 বর্গ একক
৪,৮২৮.
১২ সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ৮ সেমি হলে, প্রস্থ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- ১২ সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ৮ সেমি হলে, প্রস্থ কত?
সমাধান-
বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ১২ × ৪ = ৪৮ সেমি
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৪৮ সেমি
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৪৮/৮ = ৬ সেমি
সমাধান-
বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ১২ × ৪ = ৪৮ সেমি
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৪৮ সেমি
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৪৮/৮ = ৬ সেমি
৪,৮২৯.
10 টা 45 মিনিটে ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত ডিগ্রী হবে?
ব্যাখ্যা
মধ্যবর্তী কোণ
= ।(11M - 60H)/2।°
= ।(11 × 45 - 60 × 10)/2।°
= ।(495 - 600)/2।°
= 52.5°
= ।(11M - 60H)/2।°
= ।(11 × 45 - 60 × 10)/2।°
= ।(495 - 600)/2।°
= 52.5°
৪,৮৩০.
একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ ৩৫° ও ৫৫°। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ ৩৫° ও ৫৫° । ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
বা, ৩৫° + ৫৫° + তৃতীয় কোণ = ১৮০°
বা, তৃতীয় কোণ = ১৮০° - ৯০°
∴ তৃতীয় কোণ = ৯০°
সুতরাং, ত্রিভুজটি সমকোণী।
সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
বা, ৩৫° + ৫৫° + তৃতীয় কোণ = ১৮০°
বা, তৃতীয় কোণ = ১৮০° - ৯০°
∴ তৃতীয় কোণ = ৯০°
সুতরাং, ত্রিভুজটি সমকোণী।
৪,৮৩১.
বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসার্ধের অনুপাত -
ব্যাখ্যা
পরিধিঃব্যাসার্ধ = 2πr:r
= 2π
= 2 × 22/7
= 44/7
= 2π
= 2 × 22/7
= 44/7
৪,৮৩২.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু ৮ একক এবং সন্নিহিত বাহু ১৫ একক হলে অতিভুজ কত একক হবে?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের, অতিভুজ২ = লম্ব২ + ভূমি২
⇒অতিভুজ২ = ৮২ + ১৫২
⇒অতিভুজ২ = ২৮৯
∴ অতিভুজ = ১৭
⇒অতিভুজ২ = ৮২ + ১৫২
⇒অতিভুজ২ = ২৮৯
∴ অতিভুজ = ১৭
৪,৮৩৩.
কোনো বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ৭২° হলে, বৃত্তস্থ কোণ কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ৭২° হলে, বৃত্তস্থ কোণ কত হবে?
সমাধান:
আমরা জানি,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক হয়।
দেওয়া আছে, কেন্দ্রস্থ কোণ = ৭২°
∴ বৃত্তস্থ কোণ = ৭২°/২
= ৩৬°
∴ বৃত্তস্থ কোণ ৩৬°
৪,৮৩৪.
সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ৬ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ৬ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × বাহু২
= (√৩/৪) × ৬২
= (√৩/৪) × ৩৬
= ৯√৩ বর্গমিটার
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৯√৩ বর্গমিটার।
৪,৮৩৫.
6 সেমি বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রে পরিলিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6 সেমি বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রে পরিলিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 6 সেমি
আমরা জানি, বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × বাহু = 6√2 সেমি
যেহেতু বৃত্তটি বর্গক্ষেত্রের বাইরে পরিলিখিত, তাই বর্গের কর্ণই হবে বৃত্তের ব্যাস।
∴ বৃত্তের ব্যাস = 6√2 সেমি
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = (6√2 / 2) সেমি = 3√2 সেমি
আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
= π(3√2)2
= π(9 × 2)
= 18π বর্গসেমি
∴ পরিলিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল 18π বর্গসেমি।
৪,৮৩৬.
একটি বেলনের ব্যাসার্ধ 20 সে.মি. এবং উচ্চতা 60 সে.মি. হলে ঐ বেলনের সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল এবং বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বেলনের ব্যাসার্ধ 20 সে.মি. এবং উচ্চতা 60 সে.মি. হলে ঐ বেলনের সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল এবং বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
সমাধান:
দেয়া আছে
বেলনের ব্যাসার্ধ h = 20 সে.মি.
বেলনের উচ্চতা r = 60 সে.মি.
সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
বেলনের সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল এবং বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= 2πr(r + h) : 2πrh
= r + h : h
= (60 + 20) : 60
= 80 : 60
= 4 : 3
সমাধান:
দেয়া আছে
বেলনের ব্যাসার্ধ h = 20 সে.মি.
বেলনের উচ্চতা r = 60 সে.মি.
সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
বেলনের সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল এবং বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= 2πr(r + h) : 2πrh
= r + h : h
= (60 + 20) : 60
= 80 : 60
= 4 : 3
৪,৮৩৭.
একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ১৩ মিটার এবং প্রস্থ ৮ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ৪১ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ১৩ মিটার এবং প্রস্থ ৮ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ৪১ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ১৩ মিটার
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ ৮ মিটার
আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২ × (১৩ + ৮) মিটার
= ২ × ২১ মিটার
= ৪২ মিটার
১ মিটারে খরচ হয় ৪১ টাকা
∴ ৪২ মিটারে খরচ হয় (৪২ × ৪১) টাকা
= ১৭২২ টাকা
সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ১৩ মিটার
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ ৮ মিটার
আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২ × (১৩ + ৮) মিটার
= ২ × ২১ মিটার
= ৪২ মিটার
১ মিটারে খরচ হয় ৪১ টাকা
∴ ৪২ মিটারে খরচ হয় (৪২ × ৪১) টাকা
= ১৭২২ টাকা
৪,৮৩৮.
72 সে.মি. পরিসীমা বিশিষ্ট একটি অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 72 সে.মি. পরিসীমা বিশিষ্ট একটি অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে
πr + 2r = 72
⇒ r(π + 2) = 72
⇒ r{(22/7) + 2} = 72
⇒ r {(22 + 14)/7} = 72
⇒ r (36/7) = 72
⇒ r/7 = 2
r =14
অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল = (1/2)πr2
= (1/2) × (22/7) × 14 × 14
= 308 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে
πr + 2r = 72
⇒ r(π + 2) = 72
⇒ r{(22/7) + 2} = 72
⇒ r {(22 + 14)/7} = 72
⇒ r (36/7) = 72
⇒ r/7 = 2
r =14
অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল = (1/2)πr2
= (1/2) × (22/7) × 14 × 14
= 308 বর্গ সে.মি.
৪,৮৩৯.
কোন বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা এর দৈর্ঘ্য ২০ সেমি, কেন্দ্র থেকে ৬ সেমি দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- কোন বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা এর দৈর্ঘ্য ২০ সেমি, কেন্দ্র থেকে ৬ সেমি দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত হবে?
সমাধান-
বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা হচ্ছে বৃত্তের ব্যাস।
∴ ব্যাসার্ধ = ২০/২ = ১০ সেমি
পিথাগোরাসের সূত্র মতে =√(১০২ - ৬২)
= ৮ সেমি
তাহলে জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ২× ৮ = ১৬ সেমি
সমাধান-
বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা হচ্ছে বৃত্তের ব্যাস।
∴ ব্যাসার্ধ = ২০/২ = ১০ সেমি
পিথাগোরাসের সূত্র মতে =√(১০২ - ৬২)
= ৮ সেমি
তাহলে জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ২× ৮ = ১৬ সেমি
৪,৮৪০.
দুটি বৃত্ত পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করল। বৃহত্তর বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 8 সে.মি. এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 3 সে.মি.। অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান।
বৃহত্তর বৃত্তটির ব্যাসার্ধ r1 = 8 সে. মি.
অন্তঃস্থ বৃত্তের ব্যাসার্ধ r2= ?
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব= (r1 - r2)
3 = 8 - r2
3 - 8 = - r2
r2 = 5 সে.মি.
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান।
বৃহত্তর বৃত্তটির ব্যাসার্ধ r1 = 8 সে. মি.
অন্তঃস্থ বৃত্তের ব্যাসার্ধ r2= ?
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব= (r1 - r2)
3 = 8 - r2
3 - 8 = - r2
r2 = 5 সে.মি.
৪,৮৪১.
∠PRQ এর মান কত ডিগ্রী?
∠PRQ এর মান কত ডিগ্রী?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
∠PRQ এর মান কত ডিগ্রী?
সমাধান:
বহিঃস্থ কোণের মান থেকে একটি অন্তঃস্থ কোণের মান বিয়োগ করলে অপর কোণের মান পাওয়া যায়।
দেওয়া আছে,
একটি অন্তঃস্থ কোণ = 40°
বহিঃস্থ কোণ = 120°
∴ অপর কোণ বা ∠PRQ = 120° - 40°
= 80°
∠PRQ এর মান কত ডিগ্রী?
সমাধান:
বহিঃস্থ কোণের মান থেকে একটি অন্তঃস্থ কোণের মান বিয়োগ করলে অপর কোণের মান পাওয়া যায়।
দেওয়া আছে,
একটি অন্তঃস্থ কোণ = 40°
বহিঃস্থ কোণ = 120°
∴ অপর কোণ বা ∠PRQ = 120° - 40°
= 80°
৪,৮৪২.
একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ২৪২ বর্গ সে. মি. । যদি উচ্চতা ভূমির দ্বিগুণ হয়, তবে সামান্তরিকের উচ্চতা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ২৪২ বর্গ সে. মি. । যদি উচ্চতা ভূমির দ্বিগুণ হয়, তবে সামান্তরিকের উচ্চতা কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ২৪২ বর্গ সে. মি.
ধরি,
ভূমি = ক সে. মি.
উচ্চতা = ২ক সে. মি.
আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
⇒ ক × ২ক = ২৪২
⇒ ২ক২ = ২৪২
⇒ ক২ = ২৪২/২
⇒ ক = √১২১
⇒ ক = ১১
∴ ভূমি = ক = ১১ সে. মি.
∴ উচ্চতা = ২ক = ২ × ১১ = ২২ সে. মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ২৪২ বর্গ সে. মি.
ধরি,
ভূমি = ক সে. মি.
উচ্চতা = ২ক সে. মি.
আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
⇒ ক × ২ক = ২৪২
⇒ ২ক২ = ২৪২
⇒ ক২ = ২৪২/২
⇒ ক = √১২১
⇒ ক = ১১
∴ ভূমি = ক = ১১ সে. মি.
∴ উচ্চতা = ২ক = ২ × ১১ = ২২ সে. মি.
৪,৮৪৩.
একটি চতুর্ভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 1 cm, 2 cm, এবং 3 cm হলে চতুর্থ বাহুর দৈর্ঘ্য -
ব্যাখ্যা
চতুর্ভুজের যে কোন তিন বাহুর সমষ্টি ৪র্থ বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে। সুতরাং, প্রদত্ত অপশনগুলোতে সঠিক উত্তর - ৫ সে.মি।
৪,৮৪৪.
1 + tanx = √2 হলে cotx - 1 = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 + tanx = √2 হলে cotx - 1 = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
1 + tanx = √2
⇒ tanx = √2 - 1
⇒ cotx = 1/(√2 - 1)
⇒ cotx = (√2 + 1)/{(√2 - 1)(√2 + 1)}
⇒ cotx = (√2 + 1)/(2 - 1)
⇒ cotx = √2 + 1
∴ cotx - 1 = √2
সমাধান:
দেওয়া আছে,
1 + tanx = √2
⇒ tanx = √2 - 1
⇒ cotx = 1/(√2 - 1)
⇒ cotx = (√2 + 1)/{(√2 - 1)(√2 + 1)}
⇒ cotx = (√2 + 1)/(2 - 1)
⇒ cotx = √2 + 1
∴ cotx - 1 = √2
৪,৮৪৫.
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের OC, AB জ্যা এর উপর লম্ব এবং AC = 8 সে.মি. হলে AB এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের OC, AB জ্যা এর উপর লম্ব এবং AC = 8 সে.মি. হলে AB এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
AC = 8 সে.মি.
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং, AB = (8 × 2) = 16 সে.মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
AC = 8 সে.মি.
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং, AB = (8 × 2) = 16 সে.মি.
৪,৮৪৬.
রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ এবং ১৫ বর্গমিটার। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ এবং ১৫ বর্গমিটার। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
রম্বসটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ১২ × ১৫
= ৯০ বর্গমিটার
সমাধান:
রম্বসটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ১২ × ১৫
= ৯০ বর্গমিটার
৪,৮৪৭.
দুই সমকোণ অপেক্ষা বড় ও চার সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে বলে-
ব্যাখ্যা
দুই সমকোণ বা ১৮০° থেকে বড় এবং চার সমকোণ বা ৩৬০° থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধকোণ বলে।
৪,৮৪৮.
9 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 14 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 14 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?
সমাধান:
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × 9 × 9 × 14 ঘন সে.মি.
= 378 ঘন সে.মি.
সমাধান:
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × 9 × 9 × 14 ঘন সে.মি.
= 378 ঘন সে.মি.
৪,৮৪৯.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
ধরি,
সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a মি.
এখন,
a2 + a2 = 102
বা, 2a2 = 100
বা, a2 = 50
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × a × a
= (1/2) × a2
= (1/2) × 50
= 25 বর্গমিটার
সমাধান:
ধরি,
সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a মি.
এখন,
a2 + a2 = 102
বা, 2a2 = 100
বা, a2 = 50
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × a × a
= (1/2) × a2
= (1/2) × 50
= 25 বর্গমিটার
৪,৮৫০.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৫ মিটার ও ৯ মিটার এবং তাদের উচ্চতা ৭ মিটার। ঐ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৫ মিটার ও ৯ মিটার এবং তাদের উচ্চতা ৭ মিটার। ঐ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের যোগফল) × উচ্চতা
= (১/২) × (১৫ + ৯) × ৫
= (১/২) × ২৪ × ৭
= ৮৪ বর্গমিটার
সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের যোগফল) × উচ্চতা
= (১/২) × (১৫ + ৯) × ৫
= (১/২) × ২৪ × ৭
= ৮৪ বর্গমিটার
৪,৮৫১.
নিচের কোন তথ্যটি ভুল?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন তথ্যটি ভুল?
সমাধান:
রেখা: রেখা অসীম, রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই। রেখা উভয় দিকে অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত।
রশ্মি: একটি রেখার একটি দিকে যদি প্রান্তবিন্দু থাকে এবং অন্যদিকে অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত থাকে তাকে রশ্মি বলে।
রেখাংশ: কোন রেখার দুইটি বিন্দু চিহ্নিত করে সেই অংশ কেটে নিলে তাকে রেখাংশ বলে।
সমাধান:
রেখা: রেখা অসীম, রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই। রেখা উভয় দিকে অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত।
রশ্মি: একটি রেখার একটি দিকে যদি প্রান্তবিন্দু থাকে এবং অন্যদিকে অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত থাকে তাকে রশ্মি বলে।
রেখাংশ: কোন রেখার দুইটি বিন্দু চিহ্নিত করে সেই অংশ কেটে নিলে তাকে রেখাংশ বলে।
৪,৮৫২.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থকে দ্বিগুণ করলে ক্ষেত্রফল মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের কতগুণ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থকে দ্বিগুণ করলে ক্ষেত্রফল মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের কতগুণ হবে?
সমাধান:
ধরি,
মূল আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = a
মূল আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = b
মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ab
তাহলে,
২য় আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 2a
২য় আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 2b
২য় আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2a × 2b
= 4ab
= 4 × মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থকে দ্বিগুণ করলে ক্ষেত্রফল মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের 4 গুণ হবে।
সমাধান:
ধরি,
মূল আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = a
মূল আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = b
মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ab
তাহলে,
২য় আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 2a
২য় আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 2b
২য় আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2a × 2b
= 4ab
= 4 × মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থকে দ্বিগুণ করলে ক্ষেত্রফল মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের 4 গুণ হবে।
৪,৮৫৩.
একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 160 বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য 6 মিটার কম হয়, তবে ক্ষেত্রটি বর্গাকার হয়। আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 160 বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য 6 মিটার কম হয়, তবে ক্ষেত্রটি বর্গাকার হয়। আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x মিটার
প্রস্থ x - 6 মিটার
x (x - 6) = 160
⇒ x2 - 6x - 160 = 0
⇒ x2 - 16x + 10x - 160 = 0
⇒ x(x - 16) + 10 (x - 16) = 0
⇒ (x - 16) (x + 10) = 0
⇒ x = 16, x = -10
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 16 মিটার।
সমাধান:
ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x মিটার
প্রস্থ x - 6 মিটার
x (x - 6) = 160
⇒ x2 - 6x - 160 = 0
⇒ x2 - 16x + 10x - 160 = 0
⇒ x(x - 16) + 10 (x - 16) = 0
⇒ (x - 16) (x + 10) = 0
⇒ x = 16, x = -10
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 16 মিটার।
৪,৮৫৪.
একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 150 বর্গ সে. মি. এবং আয়তন 225 ঘন সে. মি.। বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 150 বর্গ সে. মি. এবং আয়তন 225 ঘন সে. মি.। বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ কত?
সমাধান :
মনেকরি,
বেলনটির উচ্চতা h এবং ভূমির ব্যাসার্ধ r
প্রশ্নমতে,
2πrh = 150 ........... (1)
πr2h = 225 ............ (2)
(2)নং কে (1) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
πr2h/2πrh = 225/150
r/2 =3/2
r= 3
সমাধান :
মনেকরি,
বেলনটির উচ্চতা h এবং ভূমির ব্যাসার্ধ r
প্রশ্নমতে,
2πrh = 150 ........... (1)
πr2h = 225 ............ (2)
(2)নং কে (1) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
πr2h/2πrh = 225/150
r/2 =3/2
r= 3
৪,৮৫৫.
কোন ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য 7√2 সে.মি. হলে, ঘনকটির আয়তন কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য 7√2 সে.মি. হলে, ঘনকটির আয়তন কত?
সমাধান:
মনে করি,
ঘনকের এক ধার = a
ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2
প্রশ্নমতে,
a√2 = 7√2
∴ a = 7
ঘনকটির আয়তন = a3
= 73
= 343 ঘন সে.মি.
সমাধান:
মনে করি,
ঘনকের এক ধার = a
ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2
প্রশ্নমতে,
a√2 = 7√2
∴ a = 7
ঘনকটির আয়তন = a3
= 73
= 343 ঘন সে.মি.
৪,৮৫৬.
একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য 2000 সে.মি., উচ্চতা 5 মি. এবং পুরুত্ব 40 সে.মি.। একটি ইটের দৈর্ঘ্য 20 সে.মি., প্রস্থ 5 সে.মি., উচ্চতা 4 সে.মি.। দেওয়ালটি ইট দিয়ে তৈরী করতে কয়টি ইট প্রয়োজন?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য 2000 সে.মি., উচ্চতা 5 মি. এবং পুরুত্ব 40 সে.মি.। একটি ইটের দৈর্ঘ্য 20 সে.মি., প্রস্থ 5 সে.মি., উচ্চতা 4 সে.মি.। দেওয়ালটি ইট দিয়ে তৈরী করতে কয়টি ইট প্রয়োজন?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দেওয়ালের দৈর্ঘ্য = 2000 সে.মি.
দেওয়ালের উচ্চতা = 5 মি. = 500 সে.মি.
দেওয়ালের পুরুত্ব = 40 সে.মি.
দেওয়ালটির আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা)
= (2000 × 500 × 40) ঘন সে.মি.
আবার, ইটের আয়তন = (20 × 5 × 4) ঘন সে.মি.
∴ দেওয়ালটি ইট দিয়ে তৈরী করতে ইট লাগবে = (2000 × 500 × 40)/(20× 5 × 4) টি
= 100000 টি
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দেওয়ালের দৈর্ঘ্য = 2000 সে.মি.
দেওয়ালের উচ্চতা = 5 মি. = 500 সে.মি.
দেওয়ালের পুরুত্ব = 40 সে.মি.
দেওয়ালটির আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা)
= (2000 × 500 × 40) ঘন সে.মি.
আবার, ইটের আয়তন = (20 × 5 × 4) ঘন সে.মি.
∴ দেওয়ালটি ইট দিয়ে তৈরী করতে ইট লাগবে = (2000 × 500 × 40)/(20× 5 × 4) টি
= 100000 টি
৪,৮৫৭.
দুই বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৩:২ হলে বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফল এর অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×32:π×22
= 9:4
দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×32:π×22
= 9:4
৪,৮৫৮.
দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 4 : 3 হলে তাদের পরিধির অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 4 : 3 হলে তাদের পরিধির অনুপাত কত?
সমাধান:
মনে করি,
বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 4r এবং 3r
সুতরাং, তাদের পরিধির অনুপাত = (2π × 4r) : (2π × 3π) = 4 : 3
সমাধান:
মনে করি,
বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 4r এবং 3r
সুতরাং, তাদের পরিধির অনুপাত = (2π × 4r) : (2π × 3π) = 4 : 3
৪,৮৫৯.
সমাধান করুন:
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
সমাধান:
৪,৮৬০.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে ক/৩, ক/৩ এবং ৪ক/৩ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণ দুটির সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে ক/৩, ক/৩ এবং ৪ক/৩ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণ দুটির সমষ্টি কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ ক/৩ + ক/৩ + ৪ক/৩ = ১৮০°
বা, (ক + ক + ৪ক)/৩ = ১৮০°
বা, ৬ক/৩ = ১৮০°
বা, ৬ক = ১৮০° × ৩
বা, ক = (১৮০° × ৩)/৬
∴ ক = ৯০°
∴ ক্ষুদ্রতম কোণ দুটির সমষ্টি = (ক/৩) + (ক/৩)
= (ক + ক)/৩
= ২ক/৩
= (২ × ৯০°)/৩
= ৬০° ।
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ ক/৩ + ক/৩ + ৪ক/৩ = ১৮০°
বা, (ক + ক + ৪ক)/৩ = ১৮০°
বা, ৬ক/৩ = ১৮০°
বা, ৬ক = ১৮০° × ৩
বা, ক = (১৮০° × ৩)/৬
∴ ক = ৯০°
∴ ক্ষুদ্রতম কোণ দুটির সমষ্টি = (ক/৩) + (ক/৩)
= (ক + ক)/৩
= ২ক/৩
= (২ × ৯০°)/৩
= ৬০° ।
৪,৮৬১.
একটি বাগানের পরিসীমা ৪৪ ফুট, ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গফুট, বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?
ব্যাখ্যা
ধরি, বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে x ও y.
প্রশ্নমতে,
2 (x+y) = 44
বা, x+y = 22 ...... (1)
এবং xy = 120 ....... (2)
এখন, সমীকরণ (!) এবং (!!) সমাধান করে পাই,
x = 12 এবং y = 10
সুতরাং, বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 12 ফুট ও 10 ফুট।
৪,৮৬২.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের অন্তর ৮ সে.মি. এবং এদের লম্ব দূরত্ব ১২ সে.মি.। যদি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ১৫৬ বর্গ সে.মি. হয় তবে সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের অন্তর ৮ সে.মি. এবং এদের লম্ব দূরত্ব ১২ সে.মি.। যদি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ১৫৬ বর্গ সে.মি. হয় তবে সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি কত?
সমাধান:
ধরি,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল একটি বাহু x সে.মি.
তাহলে, ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল অপর বাহু = x + ৮ সে.মি.
সমান্তরাল বাহু দুইটির লম্ব দূরত্ব, h = ১২ সে.মি.
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১৫৬ সে.মি.
প্রশ্নমতে,
(১/২) × (x + x + ৮) × ১২ = ১৫৬
⇒ ৬ × (২x + ৮) = ১৫৬
⇒ ১২x + ৪৮ = ১৫৬
⇒ ১২x = ১০৮
∴ x = ৯
∴ ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল একটি বাহু = ৯ সে.মি.
এবং ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল অপর বাহু ৯ + ৮ = ১৭ সে.মি.
∴ সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি = ৯ + ১৭ = ২৬ সে.মি.
সমাধান:
ধরি,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল একটি বাহু x সে.মি.
তাহলে, ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল অপর বাহু = x + ৮ সে.মি.
সমান্তরাল বাহু দুইটির লম্ব দূরত্ব, h = ১২ সে.মি.
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১৫৬ সে.মি.
প্রশ্নমতে,
(১/২) × (x + x + ৮) × ১২ = ১৫৬
⇒ ৬ × (২x + ৮) = ১৫৬
⇒ ১২x + ৪৮ = ১৫৬
⇒ ১২x = ১০৮
∴ x = ৯
∴ ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল একটি বাহু = ৯ সে.মি.
এবং ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল অপর বাহু ৯ + ৮ = ১৭ সে.মি.
∴ সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি = ৯ + ১৭ = ২৬ সে.মি.
৪,৮৬৩.
একটি বৃত্তের ব্যাস অপর একটি বৃত্তের ব্যাস এর দ্বিগুণ হলে প্রথমটির ক্ষেত্রফল দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রফলের কত গুণ হবে?
ব্যাখ্যা
যুক্তিঃ ধরি, ২য় বৃত্তের ব্যাস = ২r
∴ ১ম বৃত্তের ব্যাস = ৪r
ফলে, ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r এবং ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ২r
∴ ২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(২r)২ = ৪πr২
∴ প্রথমটির ক্ষেত্রফল দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রফলের = (৪πr২ )/(πr২ ) = ৪
∴ ১ম বৃত্তের ব্যাস = ৪r
ফলে, ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r এবং ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ২r
∴ ২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(২r)২ = ৪πr২
∴ প্রথমটির ক্ষেত্রফল দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রফলের = (৪πr২ )/(πr২ ) = ৪
৪,৮৬৪.
একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩৬০ বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ ৪৫ সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩৬০ বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ ৪৫ সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি,
সামান্তরিকের বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য = h সে.মি.
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের একটি কর্ণ = ৪৫ সে. মি.
∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল,
= কর্ণ × কর্ণের বিপরীত বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য
= (৪৫ × h) বর্গ সে.মি
প্রশ্নমতে,
৪৫ × h = ৩৬০
⇒ h = ৩৬০/৪৫
⇒ h = ৮
∴ নির্ণেয় লম্বের দৈর্ঘ্য = ৮ সে.মি.
৪,৮৬৫.
বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর-
ব্যাখ্যা
বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর উপর লম্ব।
৪,৮৬৬.
একটি নোনাগনের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি নোনাগনের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা, n = 9
∴ অন্তঃস্থ কোণ, θ = 180° - (360°/9)
= 180° - (360°/9)
= 140°
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা, n = 9
∴ অন্তঃস্থ কোণ, θ = 180° - (360°/9)
= 180° - (360°/9)
= 140°
৪,৮৬৭.
একটি রেখা A(- 2, 3) বিন্দু দিয়ে যায় যার ঢাল 1/2 । রেখাটি যদি আবারও (3, k) বিন্দু দিয়ে যায় তবে k এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রেখা A(- 2, 3) বিন্দু দিয়ে যায় যার ঢাল 1/2 । রেখাটি যদি আবারও (3, k) বিন্দু দিয়ে যায় তবে k এর মান কত?
সমাধান:
(-2, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ-
(y - 3) = m(x + 2)
বা, y - 3 = 1/2 × (x + 2) [∴ ঢাল, m = 1/2]
বা, 2y - 6 = x + 2
বা, - 6 - 2 = x - 2y
বা, - 8 = x - 2y
বা, x - 2y + 8 = 0
আবার,
রেখাটি (3, k) বিন্দুগামী,
3 - 2k + 8 = 0
বা, - 2k + 11 = 0
বা, -2k = - 11
বা, k = -11/-2
∴ k = 11/2
সমাধান:
(-2, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ-
(y - 3) = m(x + 2)
বা, y - 3 = 1/2 × (x + 2) [∴ ঢাল, m = 1/2]
বা, 2y - 6 = x + 2
বা, - 6 - 2 = x - 2y
বা, - 8 = x - 2y
বা, x - 2y + 8 = 0
আবার,
রেখাটি (3, k) বিন্দুগামী,
3 - 2k + 8 = 0
বা, - 2k + 11 = 0
বা, -2k = - 11
বা, k = -11/-2
∴ k = 11/2
৪,৮৬৮.
∠A হলো ∠B এর দ্বিগুণ। ∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক হলে ∠A এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∠A হলো ∠B এর দ্বিগুণ। ∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক হলে ∠A এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠B = ∠A/2
শর্তমতে,
∠A + ∠B = 180°
বা, ∠A + (∠A/2) = 180°
বা, {(2∠A + ∠A)/2} = 180°
বা, (3∠A)/2 = 180°
বা, ∠A = (180° × 2)/3
∴ ∠A = 120°
৪,৮৬৯.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত?
সমাধান:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - ২৩) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২ {x + (x - ২৩)} মিটার
= ২ (২x - ২৩) মিটার
= (৪x - ৪৬) মিটার
প্রশ্নমতে,
৪x - ৪৬ = ২০৬
বা, ৪x = ২০৬ + ৪৬
বা, ৪x = ২৫২
বা, x = ২৫২/৪
∴ x = ৬৩
অর্থাৎ আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৬৩ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (৬৩ - ২৩) মিটার
= ৪০ মিটার।
৪,৮৭০.
আয়তাকার একটি বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় ৩২ বর্গমিটার। বাগানের প্রস্থ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: আয়তাকার একটি বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় ৩২ বর্গমিটার। বাগানের প্রস্থ কত?
সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য, ক মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের প্রস্থ, খ মিটার
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, কখ বর্গমিটার
৮ মিটার বৃদ্ধি করলে,
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, ক + ৮ মিটার
∴ ক্ষেত্রফল হবে, (ক + ৮) × খ বর্গমিটার
= কখ + ৮খ বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
কখ + ৮খ - কখ = ৩২
বা, ৮খ = ৩২
∴ খ = ৪
সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য, ক মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের প্রস্থ, খ মিটার
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, কখ বর্গমিটার
৮ মিটার বৃদ্ধি করলে,
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, ক + ৮ মিটার
∴ ক্ষেত্রফল হবে, (ক + ৮) × খ বর্গমিটার
= কখ + ৮খ বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
কখ + ৮খ - কখ = ৩২
বা, ৮খ = ৩২
∴ খ = ৪
৪,৮৭১.
ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত √2 : √2 : 2 হলে, ত্রিভুজের বাহুগুলোর বিপরীত কোণগুলোর অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত √2 : √2 : 2 হলে, ত্রিভুজের বাহুগুলোর বিপরীত কোণগুলোর অনুপাত কত?
সমাধান:
প্রদত্ত ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত √2 : √2 : 2
এখানে,
(√2)2 + (√2)2
= 2 + 2
= 4
= √4
= 2
অর্থাৎ, বাহু তিনটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।
আমরা বলতে পারি ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ
তাহলে তার কোণগুলি হবে 45⁰ 45⁰ 90⁰
ত্রিভুজের বাহুগুলোর বিপরীত কোণগুলোর অনুপাত হবে = 45 : 45 : 90
= 1 : 1 : 2
সমাধান:
প্রদত্ত ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত √2 : √2 : 2
এখানে,
(√2)2 + (√2)2
= 2 + 2
= 4
= √4
= 2
অর্থাৎ, বাহু তিনটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।
আমরা বলতে পারি ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ
তাহলে তার কোণগুলি হবে 45⁰ 45⁰ 90⁰
ত্রিভুজের বাহুগুলোর বিপরীত কোণগুলোর অনুপাত হবে = 45 : 45 : 90
= 1 : 1 : 2
৪,৮৭২.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল √৩ বর্গমিটার হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল √৩ বর্গমিটার হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?
সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² বর্গ মিটার
শর্তমতে,
(√3/4) × a2 = √3
বা, a2 = 4
বা, a = 2
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 3a = 3 × 2 মিটার = 6 মিটার
৪,৮৭৩.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ২৪ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ২৪ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = ২৪ মিটার।
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)a২
= (√৩/৪) × (২৪)২
= (√৩/৪) × ২৪ × ২৪
= √৩ × ৬ × ২৪
= ১৪৪√৩ বর্গমিটার
সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ১৪৪√৩ বর্গমিটার
৪,৮৭৪.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ x°, (3x/2)°, (5x/2)° হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ x°, (3x/2)°, (5x/2)° হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = 180°
শর্তমতে,
⇒ x + 3x/2 + 5x/2 = 180°
⇒ (2x + 3x + 5x)/2 = 180°
⇒ 10x/2 = 180°
⇒ 5x = 180°
⇒ x = 180°/5
∴ x = 36°
∴ প্রথম কোণ = x = 36°
দ্বিতীয় কোণ = 3x/2 = (3× 36°)/2= 54°
তৃতীয় কোণ = 5x/2 = (5×36°)/2 = 90°
∴ পার্থক্য = 90° − 36° = 54°
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = 180°
শর্তমতে,
⇒ x + 3x/2 + 5x/2 = 180°
⇒ (2x + 3x + 5x)/2 = 180°
⇒ 10x/2 = 180°
⇒ 5x = 180°
⇒ x = 180°/5
∴ x = 36°
∴ প্রথম কোণ = x = 36°
দ্বিতীয় কোণ = 3x/2 = (3× 36°)/2= 54°
তৃতীয় কোণ = 5x/2 = (5×36°)/2 = 90°
∴ পার্থক্য = 90° − 36° = 54°
৪,৮৭৫.
যদি ABC সূক্ষকোণী ত্রিভুজ হয়, sin 2(B + A - C) = 1 এবং tan (A + C - B) = √3 হয়, তাহলে ∠A এর মান -
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : যদি ABC সূক্ষকোণী ত্রিভুজ হয়, sin 2(B + A - C) = 1 এবং tan (A + C - B) = √3 হয়, তাহলে ∠A এর মান -
সমাধান :
দেওয়া আছে,
sin 2(B + A - C) = 1
sin 2(B + A - C) = Sin 90°
2(B + A - C) = 90°
B + A - C = 45°................. (1)
tan (A + C - B) = √3
A + C - B = tan 60°
A + C - B = 60°....................(2)
(1) + (2) ⇒
B + A - C + A + C - B = 45° + 60°
2A = 105°
A = 105°/2
সমাধান :
দেওয়া আছে,
sin 2(B + A - C) = 1
sin 2(B + A - C) = Sin 90°
2(B + A - C) = 90°
B + A - C = 45°................. (1)
tan (A + C - B) = √3
A + C - B = tan 60°
A + C - B = 60°....................(2)
(1) + (2) ⇒
B + A - C + A + C - B = 45° + 60°
2A = 105°
A = 105°/2
৪,৮৭৬.
180° - x° কোণের সম্পূরক কোণ কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 180° - x° কোণের সম্পূরক কোণ কোনটি?
সমাধান:
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180° হলে তারা পরস্পরের সম্পূরক কোণ।
∴ 180° - x°কোণের সম্পূরক কোণ = 180° - (180° - x°)
= 180° - 180° + x
= x°
সমাধান:
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180° হলে তারা পরস্পরের সম্পূরক কোণ।
∴ 180° - x°কোণের সম্পূরক কোণ = 180° - (180° - x°)
= 180° - 180° + x
= x°
৪,৮৭৭.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল-
সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের ২টি সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.
১০২ = ক২ + ক২
বা, ১০০= ২ক২
বা, ক২ = ৫০
∴ ক = √৫০
∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × (√৫০) × (√৫০)
= (১/২) × ৫০
= ২৫ বর্গ সে.মি.
সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের ২টি সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.
১০২ = ক২ + ক২
বা, ১০০= ২ক২
বা, ক২ = ৫০
∴ ক = √৫০
∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × (√৫০) × (√৫০)
= (১/২) × ৫০
= ২৫ বর্গ সে.মি.
৪,৮৭৮.
একটি ঘনকের সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 54 হলে ঘনকের আয়তন কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনকের সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 54 হলে ঘনকের আয়তন কত?
সমাধান:
ধরি,
ঘনকের প্রতি বাহু = a
∴ সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল, 6a2 = 54
⇒ a2 = 9
∴ a = 3
∴ ঘনকটির আয়তন = a3 = 33 = 27 ঘন একক
সমাধান:
ধরি,
ঘনকের প্রতি বাহু = a
∴ সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল, 6a2 = 54
⇒ a2 = 9
∴ a = 3
∴ ঘনকটির আয়তন = a3 = 33 = 27 ঘন একক
৪,৮৭৯.
ΔABC ত্রিভুজের AB = AC, ∠A = 40° হলে, ∠C = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC ত্রিভুজের AB = AC, ∠A = 40° হলে, ∠C = কত?
সমাধান:
যদি কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হয়, তবে এদের বিপরীত কোণ দুইটিও পরস্পর সমান হবে।
ΔABC ত্রিভুজে AB = AC
তাহলে, ∠C = ∠B
∠A + ∠B + ∠C = 180°
40° + ∠C + ∠C = 180°
2∠C = 140°
∠C = 70°
সমাধান:
যদি কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হয়, তবে এদের বিপরীত কোণ দুইটিও পরস্পর সমান হবে।
ΔABC ত্রিভুজে AB = AC
তাহলে, ∠C = ∠B
∠A + ∠B + ∠C = 180°
40° + ∠C + ∠C = 180°
2∠C = 140°
∠C = 70°
৪,৮৮০.
sinA + sin2A = 1 হলে cos2A + cos4A = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sinA + sin2A = 1 হলে cos2A + cos4A = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinA + sin2A = 1
বা, sinA = 1 - sin2A
∴ sinA = cos2A
এখন,
cos2A + cos4A
= cos2A + (cos2A)2
= cos2A + (sinA)2
= cos2A + sin2A
= sin2A + cos2A
= 1
৪,৮৮১.
একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজ 5 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
ধরি,
সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বাহু a সে.মি.
এখন
a2 +a2 = 52
2a2 =25
a2 = 25/2
a = √(25/2)
a = 5/√2
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ( 1/2) × (5/√2) × (5/√2)
= 25/4
= 6.25 বর্গ সে.মি.
সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বাহু a সে.মি.
এখন
a2 +a2 = 52
2a2 =25
a2 = 25/2
a = √(25/2)
a = 5/√2
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ( 1/2) × (5/√2) × (5/√2)
= 25/4
= 6.25 বর্গ সে.মি.
৪,৮৮২.
কোনো ঘনকের ধার 10 সে. মি. হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ঘনকের ধার 10 সে. মি. হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
একটি ঘনকের ধার a = 10 সে. মি.
ঘনকের সমগ্রতল হলে = 6a2
= 6 × 102
= 6 × 100
= 600 বর্গ সে. মি.
সমাধান:
একটি ঘনকের ধার a = 10 সে. মি.
ঘনকের সমগ্রতল হলে = 6a2
= 6 × 102
= 6 × 100
= 600 বর্গ সে. মি.
৪,৮৮৩.
60° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 60° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে-
সমাধান:
• রেডিয়ান: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে।
ডিগ্রিকে রেডিয়ানে রূপান্তর করার সূত্র হলো: রেডিয়ান = ডিগ্রি × (π/180)
∴ 60° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে = 60° × (π/180)
= π/3 রেডিয়ান।
৪,৮৮৪.
একটি গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং আয়তনের অনুপাত 1 : 1 হলে ব্যাসার্ধ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং আয়তনের অনুপাত 1 : 1 হলে ব্যাসার্ধ কত?
সমাধান:
মনে করি,
গোলকের ব্যাসার্ধ = r
আমরা জানি,
গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গ একক
এবং গোলকের আয়তন= (4/3)πr3 ঘন একক
প্রশ্নমতে,
4πr2 : (4/3)πr3 = 1 : 1
⇒ 4πr2/(4/3)πr3 = 1
⇒ 3/r = 1
⇒ r = 3
∴ r = 3
∴ ব্যাসার্ধ = 3 একক।
৪,৮৮৫.
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ কত ডিগ্রী?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ কত ডিগ্রী?
সমাধান:
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০°।
- ত্রিভুজের যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
- সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা পরস্পর সমান।
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।
সমাধান:
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০°।
- ত্রিভুজের যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
- সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা পরস্পর সমান।
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।
৪,৮৮৬.
∠RPS এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∠RPS এর মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
তাহলে, ∠P + ∠PRQ ∠RQP = 180°
⇒ ∠QPR = 180° - 30° - 40°
= 110°
আবার, ∠QPR + ∠RPS = 180°
⇒ ∠RPS = 180° - 110°
= 70°
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
তাহলে, ∠P + ∠PRQ ∠RQP = 180°
⇒ ∠QPR = 180° - 30° - 40°
= 110°
আবার, ∠QPR + ∠RPS = 180°
⇒ ∠RPS = 180° - 110°
= 70°
৪,৮৮৭.
একটি সাবানের দৈর্ঘ্য ৫ সে. মি. প্রস্থ ৪ সে . মি. এবং উচ্চতা ৩ সে. মি. হলে, ৮০ সে. মি. দৈর্ঘ্য, ৫০ সে. মি. প্রস্থ এবং ৩০ সে. মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি বাক্সের মধ্যে কতটি সাবান রাখা যাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সাবানের দৈর্ঘ্য ৫ সে. মি. প্রস্থ ৪ সে . মি. এবং উচ্চতা ৩ সে. মি. হলে, ৮০ সে. মি. দৈর্ঘ্য, ৫০ সে. মি. প্রস্থ এবং ৩০ সে. মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি বাক্সের মধ্যে কতটি সাবান রাখা যাবে?
সমাধান:
একটি সাবানের আয়তন = (৫ × ৪ × ৩) ঘন সে. মি.
= ৬০ ঘন সে. মি.
একটি বাক্সের আয়তন = (৮০ × ৫০ × ৩০) ঘন সে. মি.
= ১,২০,০০০ ঘন সে. মি.
তাহলে, একটি বাক্সে সর্বমোট সাবান ধরবে = বাক্সের আয়তন/সাবানের আয়তন
= ১,২০,০০০/৬০ টি
= ২০০০ টি
৪,৮৮৮.
একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৫২ বর্গ সে. মি. হলে, এর কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৫২ বর্গ সে. মি. হলে, এর কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ৫২ = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ৫২ × ২
∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ১০৪ বর্গ সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ৫২ = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ৫২ × ২
∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ১০৪ বর্গ সে.মি.
৪,৮৮৯.
দুইটি পূরক কোণের সমষ্টি কত ডিগ্রি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি পূরক কোণের সমষ্টি কত ডিগ্রি?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ, দুইটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০° ।
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ, দুইটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০° ।
৪,৮৯০.
বেলনের ভূমির ব্যাস ৮ মিটার, উচ্চতা ৩৫ মিটার হলে, বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাস ৮ মিটার, উচ্চতা ৩৫ মিটার হলে, বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ভূমির ব্যাস = ৮ মিটার
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ r = ৪ মিটার
বেলনের উচ্চতা h = ৩৫ মিটার
আমরা জানি,
বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= ২ × (২২/৭) × ৪ × ৩৫ বর্গ মিটার
= ৮৮০ বর্গমিটার
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ভূমির ব্যাস = ৮ মিটার
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ r = ৪ মিটার
বেলনের উচ্চতা h = ৩৫ মিটার
আমরা জানি,
বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= ২ × (২২/৭) × ৪ × ৩৫ বর্গ মিটার
= ৮৮০ বর্গমিটার
৪,৮৯১.
একটি ঘনকের আয়তন ৬৪ ঘনসে.মি.। ঘনকটির একটি ধারের সমান ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ৬৪ ঘনসে.মি.। ঘনকটির একটি ধারের সমান ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের আয়তন ৬৪ ঘনসে.মি.।
ঘনকের ধার =
বৃত্তটির ব্যাস ৪ সে.মি.
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ ২ সে.মি.
বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π ২২ বর্গসে.মি.
= ৪π বর্গসে.মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের আয়তন ৬৪ ঘনসে.মি.।
ঘনকের ধার =
বৃত্তটির ব্যাস ৪ সে.মি.
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ ২ সে.মি.
বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π ২২ বর্গসে.মি.
= ৪π বর্গসে.মি.
৪,৮৯২.
1/cosecθ এর সর্বনিম্ন মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1/cosecθ এর সর্বনিম্ন মান কত?
সমাধান:
এখানে, sinθ = 1/cosecθ
- 1 < 1/cosecθ < 1
- 1 < sinθ < 1
1/cosecθ এর সর্বনিম্ন মান হল sinθ এর সর্বনিম্ন মান।
সুতরাং sinθ এর সর্বনিম্ন মান -1 এবং সর্বোচ্চ মান 1
সমাধান:
এখানে, sinθ = 1/cosecθ
- 1 < 1/cosecθ < 1
- 1 < sinθ < 1
1/cosecθ এর সর্বনিম্ন মান হল sinθ এর সর্বনিম্ন মান।
সুতরাং sinθ এর সর্বনিম্ন মান -1 এবং সর্বোচ্চ মান 1
৪,৮৯৩.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি যথাক্রমে ১৭ ও ১৩ সে মি এবং তাদের দূরত্ব ৫ সে মি হলে, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি যথাক্রমে ১৭ ও ১৩ সে মি এবং তাদের দূরত্ব ৫ সে মি হলে, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি যথাক্রমে ১৭ ও ১৩ সে মি
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি = ১৭ + ১৩ = ৩০ সে মি
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ৫ সে মি
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
= (১/২) × ৩০ × ৫ বর্গ সে মি
= ১৫ × ৫ বর্গ সে মি
= ৭৫ বর্গ সে.মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি যথাক্রমে ১৭ ও ১৩ সে মি
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি = ১৭ + ১৩ = ৩০ সে মি
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ৫ সে মি
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
= (১/২) × ৩০ × ৫ বর্গ সে মি
= ১৫ × ৫ বর্গ সে মি
= ৭৫ বর্গ সে.মি.
৪,৮৯৪.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা √3 সেমি হলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা √3 সেমি হলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজ ABC এর মধ্যমা AD ⊥ BC
এখানে,
AB = BC = AC = 2BD
পিথাগোরাসের সূত্র মতে,
AB2 = AD2 + BD2
⇒ x2 = (√3)2 +(x/2)2
⇒ x2 - x2/4 = 3
⇒ 3x2/4 = 3
⇒ x2 = 4
⇒ x = 2
সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজ ABC এর মধ্যমা AD ⊥ BC
এখানে,
AB = BC = AC = 2BD
পিথাগোরাসের সূত্র মতে,
AB2 = AD2 + BD2
⇒ x2 = (√3)2 +(x/2)2
⇒ x2 - x2/4 = 3
⇒ 3x2/4 = 3
⇒ x2 = 4
⇒ x = 2
৪,৮৯৫.
একটি পাইপের বহির্ব্যাস 18.5 ইঞ্চি এবং অন্তর্ব্যাস 8.5 ইঞ্চি। পাইপটির পুরুত্ব কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পাইপের বহির্ব্যাস 18.5 ইঞ্চি এবং অন্তর্ব্যাস 8.5 ইঞ্চি। পাইপটির পুরুত্ব কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
পাইপের বহির্ব্যাস = 18.5 ইঞ্চি
পাইপের অন্তর্ব্যাস = 8.5 ইঞ্চি
∴ পাইপটির পুরুত্ব = (18.5 - 8.5)/2 ইঞ্চি
= 10/2 ইঞ্চি
= 5.0 ইঞ্চি ।
৪,৮৯৬.
যদি tanθ = 1/√3 হয়, তবে cosecθ এর মান নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি tan θ = 1/√3 হয়, তবে cosec θ এর মান নিচের কোনটি?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ = 1/√3
বা, tanθ = tan30°
∴ θ = 30°
এখন,
cosec θ
= cosec30°
= 1/sin30°
= 1/(1/2)
= 2
৪,৮৯৭.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.
সমাধান:
ধরি
সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য x সে.মি.
এখানে,
x2 + x2 = 122
2x2 =144
x2 = 144/2
x2 = 72
x = √72
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল= (1/2)(√72)(√72) বর্গ সে.মি.
= 36 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
ধরি
সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য x সে.মি.
এখানে,
x2 + x2 = 122
2x2 =144
x2 = 144/2
x2 = 72
x = √72
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল= (1/2)(√72)(√72) বর্গ সে.মি.
= 36 বর্গ সে.মি.
৪,৮৯৮.
3 cm, 4 cm এবং 5 cm ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট ৩টি গোলক গলিয়ে একটি গোলক তৈরি করা হলে গোলকের ব্যাস কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 cm, 4 cm এবং 5 cm ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট ৩টি গোলক গলিয়ে একটি গোলক তৈরি করা হলে গোলকের ব্যাস কত হবে?
সমাধান:
3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তিনটির আয়তন যথাক্রমে, {(4/3)π33}, {(4/3)π43}, {(4/3)π53}।
সুতরাং নতুন গোলকটির আয়তন ={(4/3)π33} + {(4/3)π43} + {(4/3)π53}
= (4/3)π(33 + 43 + 53)
= (4/3) π × 216
= (4/3)π × 63
নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধ = 6 সে.মি.
∴ নতুন গোলকটির ব্যাস = 6 × 2 সে.মি.
= 12 সে.মি.
সমাধান:
3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তিনটির আয়তন যথাক্রমে, {(4/3)π33}, {(4/3)π43}, {(4/3)π53}।
সুতরাং নতুন গোলকটির আয়তন ={(4/3)π33} + {(4/3)π43} + {(4/3)π53}
= (4/3)π(33 + 43 + 53)
= (4/3) π × 216
= (4/3)π × 63
নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধ = 6 সে.মি.
∴ নতুন গোলকটির ব্যাস = 6 × 2 সে.মি.
= 12 সে.মি.
৪,৮৯৯.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 2 সে.মি. এবং অপর বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য 3 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 2 সে.মি. এবং অপর বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য 3 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু a এবং ভূমি b হলে,
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a2 - b2)
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের ভূমি b = 2 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য a = 3 সে.মি
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/4 {√(4a2 - b2)}
= 2/4 [√{(4 × 32) - 22}]
= (1/2) × √(32)
= (1/2) × √(4 × 8)
= (1/2) × 2√8
= √8 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু a এবং ভূমি b হলে,
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a2 - b2)
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের ভূমি b = 2 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য a = 3 সে.মি
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/4 {√(4a2 - b2)}
= 2/4 [√{(4 × 32) - 22}]
= (1/2) × √(32)
= (1/2) × √(4 × 8)
= (1/2) × 2√8
= √8 বর্গ সে.মি.
৪,৯০০.
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২৮ সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২৮ সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২৮ সে.মি.
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহু
প্রশ্নমতে,
৪ × এক বাহু = ২৮
⇒ এক বাহু = ২৮/৪
∴ এক বাহু = ৭
অর্থাৎ বর্গক্ষেত্রটির একবাহু = ৭ সে.মি.
আবার,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ( একবাহু × একবাহু ) বর্গ একক
= (৭ × ৭ ) বর্গ সে.মি.
= ৪৯ বর্গ সে.মি.