জ্যামিতি

PrepBank · পাতা ৪০ / ১০৭ · ৩,৯০১–৪,০০০ / ১০,৭৫২

৩,৯০১.

একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২০০ বর্গ মিটার। যদি আয়ত ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ হয়, তাহলে পরিসীমা কত হবে?

ক
৬০ মিটার
খ
৮০ মিটার
গ
১০০ মিটার
ঘ
১২০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রস্থ ক হলে, দৈর্ঘ্য ২ক মিটার
ক × ২ক = ২০০
২ক^২= ২০০
ক = ১০ মিটার
পরিসীমা = ২(২ × ১০ + ১০) মিটার = ৬০ মিটার

৩,৯০২.

একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাস 32 মিটার। মাঠটির বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া একটি রাস্তা রয়েছে। রাস্তাসহ মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
256π বর্গ মিটার
খ
324π বর্গ মিটার
গ
162π বর্গ মিটার
ঘ
234π বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাস 32 মিটার। মাঠটির বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া একটি রাস্তা রয়েছে। রাস্তাসহ মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রাস্তাবাদে বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = 32/2 মিটার
= 16 মিটার

রাস্তাসহ মাঠের ব্যাসার্ধ = (16 + 2)মিটার
= 18 মিটার

অতএব, রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = πr² মিটার
= π(18)² মিটার
= 324π বর্গ মিটার

৩,৯০৩.

cos480° এর মান কত?

ক
- 1/2
খ
1/2
গ
- (√3/2)
ঘ
√3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cos480° এর মান কত?

সমাধান:
cos480°
= cos(450° + 30°)
= cos(5 × 90° + 30°) [৩য় চতুর্ভাগে অবস্থিত]
= - sin30°
= - 1/2

৩,৯০৪.

O কেন্দ্র বিশিষ্ট কোনো বৃত্তের A, P, B তিনটি পরিধিস্থ বিন্দু এবং ∠AOB = 60° হলে ∠APB সমান কত?

ক
ক) 30°
খ
খ) 60°
গ
গ) 45°
ঘ
ঘ) 90°

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
∠APB = (1/2)∠AOB
= (1/2) × 60° = 30°

৩,৯০৫.

নিচে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব?

ক
ক) 4, 8, 3
খ
খ) 3, 4, 7
গ
গ) 4, 7, 4
ঘ
ঘ) 3, 7, 3

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।
- এখানে একমাত্র 4 + 4 > 7 বাহু গুলো দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব।

৩,৯০৬.

দুইটি সমান্তরাল রেখা কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?

ক
একটি
খ
চারটি
গ
দুইটি
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সমান্তরাল রেখা কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
দুটি সরল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব যখন সর্বদা একই থাকে তখন একটিকে অপরটির সমান্তরাল রেখা বলা হয়।
দুটি সমান্তরাল রেখা কখনও পরস্পর ছেদ করে না।

৩,৯০৭.

A ও B কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে স্পর্শ করলে ∠AOB এর মান কত?

ক
ক) সমকোণ
খ
খ) প্রবৃদ্ধ কোণ
গ
গ) পূরক কোণ
ঘ
ঘ) সরলকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A ও B কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে স্পর্শ করলে ∠AOB এর মান কত?

সমাধান:
A ও B কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে স্পর্শ করলে ∠AOB = 180° বা সরলকোণ

৩,৯০৮.

একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৪ ইঞ্চি এবং প্রস্থ ৩ ইঞ্চি হলে, এর পরিসীমা কত?

ক
ক) ৭ ইঞ্চি
খ
খ) ১৪ বর্গ ইঞ্চি
গ
গ) ৭ বর্গ ইঞ্চি
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
∴ চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২ × (৪ + ৩) = ২ × ৭ = ১৪ ইঞ্চি। (বর্গ ইঞ্চি নয়)

৩,৯০৯.

ABCD বর্গের অভ্যন্তরে একটি অন্তঃবৃত্ত আছে। বৃত্তদ্বারা বর্গের অনধিকৃত অংশের (ছায়া ঘেরা) ক্ষেত্রফল 4 - π হলে বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r,
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2r
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = 4r²
∴ 4r² - πr² = 4 - π
বা, r²(4 - π) = 4 - π
বা, r² = 1
∴ r = 1

∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2r = 2×1 = 2

৩,৯১০.

একটি মাঠের দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার, প্রস্থ ১২ মিটার। মাঠের চারপাশে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল কত?

ক
১৮৪ বর্গমিটার
খ
২৩৮ বর্গমিটার
গ
৩০৪ বর্গমিটার
ঘ
৭২৯ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মাঠের দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার, প্রস্থ ১২ মিটার। মাঠের চারপাশে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য = ১৫ + (২ × ২) = ১৯ মিটার
রাস্তাসহ মাঠের প্রস্থ = ১২ + (২ × ২) = ১৬ মিটার
∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = ১৯ × ১৬ = ৩০৪ বর্গমিটার

৩,৯১১.

দুইটি বিন্দু দিয়ে সর্বোচ্চ কয়টি সরলরেখা আঁকা যাবে?

ক
একটিও না
খ
কেবলমাত্র একটি
গ
দুইটি
ঘ
অসংখ্য

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বিন্দু দিয়ে সর্বোচ্চ কয়টি সরলরেখা আঁকা যাবে?

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো:
স্বীকার্য-১: দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
স্বীকার্য-২: যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
স্বীকার্য-৩: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
স্বীকার্য-৪: সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
স্বীকার্য-৫: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম, সেদিকে মিলিত হয়।

৩,৯১২.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. এবং প্রস্থ ১৪ সে.মি. হলে আয়তক্ষেত্রটির সমান পরিসীমা বিশিষ্ট রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
১২ সে.মি.
খ
১৪ সে.মি.
গ
১৬ সে.মি.
ঘ
২৮ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. এবং প্রস্থ ১৪ সে.মি. হলে আয়তক্ষেত্রটির সমান পরিসীমা বিশিষ্ট রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১৮ সে.মি.
প্রস্থ = ১৪ সে.মি.

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
রম্বসের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য

ধরি,
রম্বসের বাহু = ক সে.মি.

প্রশ্নমতে,
৪ক = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
⇒ ক = {২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)}/৪
⇒ ক = {২ × (১৮ + ১৪)}/৪
⇒ ক = (২ × ৩২)/৪
⇒ ক = ১৬ সে.মি.

৩,৯১৩.

একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল কত?

ক
16 বর্গ একক
খ
24 বর্গ একক
গ
30 বর্গ একক
ঘ
36 বর্গ একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বর্গের বাহু a হলে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2

প্রশ্নমতে,
a√2 = 6√2
⇒ a = 6

∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = 6² = 36 বর্গ একক

৩,৯১৪.

৮ ফুট বর্গের একটি বর্গাকার জায়গা ঢাকতে ৮ বর্গ ফুট ক্ষেত্রবিশিষ্ট কয়টি পাথর লাগবে?

ক
৮ টি
খ
৬ টি
গ
৭ টি
ঘ
৪ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮ ফুট বর্গের একটি বর্গাকার জায়গা ঢাকতে ৮ বর্গ ফুট ক্ষেত্রবিশিষ্ট কয়টি পাথর লাগবে?

সমাধান:
বর্গাকার জায়গার ক্ষেত্রফল = (৮)^২ বর্গ ফুট
= ৬৪ বর্গ ফুট

∴ নির্ণেয় পাথর সংখ্যা = ৬৪/৮ টি
= ৮ টি ।

৩,৯১৫.

দুটি বৃত্তের ব্যাস যথাক্রমে 8 সে.মি. ও 6 সে.মি. যদি বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তবে তাদের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত হবে?

ক
ক) 14 সে.মি
খ
খ) 7 সে.মি
গ
গ) 8 সে.মি
ঘ
ঘ) 10 সে.মি

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।

এখানে ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8/2 = 4 সে.মি.
এবং ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6/2 = 3 সে.মি.

সুতরাং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 4 + 3 = 7 সে.মি

৩,৯১৬.

নিচে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া হল। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?

ক
ক) ৭, ৮, ৯
খ
খ) ৩, ৪, ৭
গ
গ) ৫, ৬, ১২
ঘ
ঘ) ৭, ১০, ২

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, যে কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি ৩য় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
অপশন ক) এর ক্ষেত্রে, উপরের বিবৃতিটি সত্য।

৩,৯১৭.

যদি tan⁴θ + tan²θ = 1, তবে cos⁴θ + cos²θ এর মান কত?

ক
ক) -1
খ
খ) 0
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি tan⁴θ + tan²θ = 1, তবে cos⁴θ + cos²θ এর মান কত?

সমাধান:
tan⁴θ + tan²θ = 1
⇒ tan²θ (tan²θ + 1) = 1
⇒ (sec²θ - 1) sec²θ = 1 [sec²θ - tan²θ = 1]
⇒ sec⁴θ - sec²θ = 1
⇒ (1/cos⁴θ) - (1/cos²θ) = 1
⇒ (1 - cos²θ) / cos⁴θ = 1
⇒ 1 - cos²θ = cos⁴θ
⇒ cos⁴θ + cos²θ = 1

৩,৯১৮.

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

ক
π বর্গসে.মি.
খ
4π বর্গসে.মি.
গ
6π বর্গসে.মি.
ঘ
10π বর্গসে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr²θ)/360°
= (π × 6² × 60°)/360°
= (π × 36 × 60°)/360°
= (π × 2160°)/360°
= 6π

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = 6π বর্গসে.মি.

৩,৯১৯.

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোন ৭০° হলে, বিপরীত কোনটির মান কত?

ক
ক) ৭০°
খ
খ) ২৯০°
গ
গ) ৯০°
ঘ
ঘ) ১১০°

ব্যাখ্যা

বৃত্তস্থ চতুর্তুজের দুটি বিপরীত কোনের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোন ৭০° হলে, অপরটি = (১৮০ - ৭০) বা ১১০°

৩,৯২০.

কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখণ্ডক তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে-

ক
ক) ভরকেন্দ্র
খ
খ) পরিকেন্দ্র
গ
গ) অন্তঃকেন্দ্র
ঘ
ঘ) লম্ববিন্দু

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখণ্ডক তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে-

সমাধান:

ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র:
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।
তৃতীয় বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকও ঐ বিন্দুগামী।

ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র:
ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুকে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র বলা হয়।
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রে মধ্যমাগুলো 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত হয়।

৩,৯২১.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ a হয়, তবে আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) a√5
খ
খ) a√10
গ
গ) a√6
ঘ
ঘ) a√8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ a হয়, তবে আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = a
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 3a

আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{a² + (3a)²}
= √(a² + 9a²)
= √(10a²)
= a√10

৩,৯২২.

cot60° + tan45° + cosec60° = কত?

ক
√3 + 2
খ
4
গ
√3 + 1
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cot60° + tan45° + cosec60° = কত?

সমাধান:
cosec60° + tan45° + cot60°
= 1/√3 + 1 + 2/√3
= (2 + √3 + 1)/√3
= (3 + √3)/√3
= {√3(√3 + 1)}/√3
= √3 + 1

৩,৯২৩.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৪০ সে.মি. ও ৬০ সে.মি. । রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

ক
৬০০ বর্গ সে.মি.
খ
২৪০০ বর্গ সে.মি.
গ
৪৮০০ বর্গ সে.মি.
ঘ
১২০০ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৪০ সে.মি. ও ৬০ সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (1/2) × 40 × 60
= 1200 বর্গ সে.মি.

৩,৯২৪.

দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ হলে একটিকে অপরটির কি বলে?

ক
ক) সরল কোণ
খ
খ) পূরক কোণ
গ
গ) সম্পূরক কোণ
ঘ
ঘ) সমকোণ

ব্যাখ্যা

দুইটি কোণের পরিমাপ এর যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ, দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°

৩,৯২৫.

একটি সমবৃত্তক বেলনের উচ্চতা 14 সে.মি.এবং ভূমির ব্যাস 16 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?

ক
2826 ঘন সে.মি.
খ
2316 ঘন সে.মি.
গ
2816 ঘন সে.মি.
ঘ
1816 ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবৃত্তক বেলনের উচ্চতা 14 সে.মি.এবং ভূমির ব্যাস 16 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
সমবৃত্তক বেলনের উচ্চতা h = 14 সে.মি.
ভূমির ব্যাস 16 সে.মি.
ভূমির ব্যাসার্ধ r = 16/2 = 8 সে.মি.

সমবৃত্তক বেলনের আয়তন = πr²h
= (22/7) × 8² × 14
= (22/7) × 64 × 14
= 2816 ঘন সে.মি.

৩,৯২৬.

চর্তুভুজের চার কোণের সমষ্টি কত সমকোণ?

ক
এক সমকোণ
খ
দুই সমকোণ
গ
তিন সমকোণ
ঘ
চার সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চর্তুভুজের চার কোণের সমষ্টি কত সমকোণ?

সমাধান:
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
- চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি ৩৬০° বা চার সমকোণ।

৩,৯২৭.

দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে কয়টি বৃত্ত আঁকা যাবে?

ক
ক) ১ টি
খ
খ) ২ টি
গ
গ) ৪ টি
ঘ
ঘ) অসংখ্য

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে কয়টি বৃত্ত আঁকা যাবে?

সমাধান:
দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত আঁকা যাবে, কারণ নির্দিষ্ট বৃত্ত আঁকতে হলে তিনটি বিন্দু লাগবে।

৩,৯২৮.

দুটি গোলকের আয়তনের অনুপাত 64 : 27। তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

ক
ক) 25 : 36
খ
খ) 16 : 9
গ
গ) 3 : 4
ঘ
ঘ) 7 : 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি গোলকের আয়তনের অনুপাত 64 : 27। তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
১ম গোলকের ব্যাসার্ধ r₁
২য় গোলকের ব্যাসার্ধ r₂

আমরা জানি
গোলকের আয়তনের = (4/3)πr³

প্রশ্নমতে,
(4/3)πr₁³/(4/3)πr₂³ = 64/27
r₁/r₂ = 4/3
r₁²/r₂² = 16/9
4πr₁²/4πr₂² = 16/9

৩,৯২৯.

secA = (2/7) + tanA হলে, secA + tanA =?

ক
5/7
খ
7/5
গ
2/7
ঘ
7/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: secA = (2/7) + tanA হলে, secA + tanA =?

সমাধান:
secA = (2/7) + tanA
⇒ secA - tanA = 2/7

আমরা জানি,
sec²A - tan²A = 1
⇒ (secA - tanA ) (secA + tanA) = 1
⇒ (2/7) (secA + tanA) = 1
⇒ secA + tanA = 7/2

৩,৯৩০.

একটি আয়তাকার মাঠের কর্ণ ১৫ মিটার। দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পার্থক্য ৩ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ৪৫ বর্গ মিটার
খ
খ) ৯৬ বর্গ মিটার
গ
গ) ১০৮ বর্গ মিটার
ঘ
ঘ) ১২৮ বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- একটি আয়তাকার মাঠের কর্ণ ১৫ মিটার। দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পার্থক্য ৩ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান-
মনে করি,
আয়াতাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে x এবং y মি.

শর্তমতে,
√(x² + y²) = 15
⇒ x² + y² = 225
⇒ (x - y)² + 2xy = 225
⇒ 3² + 2xy = 225 [ x - y = 3]
⇒ 2xy = 216
⇒ xy = 108

৩,৯৩১.

একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যূনতম কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?

ক
১ টি
খ
২ টি
গ
৩ টি
ঘ
৪ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যূনতম কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যূনতম ২টি ও সর্বোচ্চ ৬টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।

৩,৯৩২.

কোনো কুয়ার গভীরতা ২০ মিটার এবং ব্যাসার্ধ ৪ মিটার হলে ঐ কুয়ার আয়তন কত?

ক
৩৬০π ঘন মিটার
খ
১৬০π ঘন মিটার
গ
৩২০π ঘন মিটার
ঘ
২৬০ ঘন মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো কুয়ার গভীরতা ২০ মিটার এবং ব্যাসার্ধ ৪ মিটার হলে ঐ কুয়ার আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কুয়ার গভীরতা, h = ২০ মিটার
কুয়ার ব্যাসার্ধ, r = ৪ মিটার

আমরা জানি,
কুয়ার আয়তন = πr^২h
= (π × ৪^২ × ২০) ঘন মিটার
= ৩২০π ঘন মিটার

৩,৯৩৩.

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 49π বর্গমিটার। বৃত্তটির পরিধি কত?

ক
66 মিটার
খ
88 মিটার
গ
44 মিটার
ঘ
22 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 49π বর্গমিটার। বৃত্তটির পরিধি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 49π
⇒ r²= 49 = 7²
∴ r = 7

∴ পরিধি = 2πr = 2π × 7 = 14π = 14 × (22/7) = 44 মিটার

৩,৯৩৪.

একটি পঞ্চভুজের পাঁচটি কোণের সমষ্টি কত?

ক
ক) ছয় সমকোণ
খ
খ) আট সমকোণ
গ
গ) সাত সমকোণ
ঘ
ঘ) পাঁচ সমকোণ

ব্যাখ্যা

সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।
সুতরাং সুষম পঞ্চভুজের পাঁচটি কোণের সমষ্টি = (2 × 5 - 4) সমকোণ
= (10 - 4) × 90°
= 6 × 90°
= 540°

পঞ্চভুজের পাঁচটি কোণের সমষ্টি = ছয় সমকোণ

৩,৯৩৫.

একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা 12 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাস 10 সে.মি. হলে তার আয়তন কত?

ক
100π ঘন সে.মি.
খ
169π ঘন সে.মি.
গ
300π ঘন সে.মি.
ঘ
150π ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা 12 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাস 10 সে.মি. হলে তার আয়তন কত?

সমাধান:
প্রদত্ত আছে, কোণকের উচ্চতা, h = 12 সে.মি.
কোণকের ভূমির ব্যাস = 10 সে.মি.
∴ কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 10/2 = 5 সে.মি.

আমরা জানি, কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h
= 1/3 × π × (5)² × 12
= 1/3 × π × 25 × 12
= π × 25 × 4
= 100π

∴ কোণকটির আয়তন = 100π ঘন সে.মি.

৩,৯৩৬.

১ নটিক্যাল মাইল সমান-

ক
১.৮৫২ মাইল
খ
১.৬০৯ মাইল
গ
.৬২১ মাইল
ঘ
১.১৫ মাইল

ব্যাখ্যা

১ নটিক্যাল মাইল সমান ১.১৫ মাইল।
১ নটিক্যাল মাইল সমান ১.৮৫২ কিলোমিটার।

নটিক্যাল মাইল পৃথিবীর পরিধির সঙ্গে সম্পর্কিত।
ধরা যাক,
বিষুবরেখা একটি বৃত্ত। পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে এটা ৩৬০ ডিগ্রি কোণ তৈরি করে।

বিষুবরেখার দৈর্ঘ্যকে ৩৬০ দিয়ে ভাগ করলে প্রতি ডিগ্রি কৌণিক দূরত্ব পাওয়া যায়।
একে আবার ৬০ দিয়ে ভাগ করলে প্রতি মিনিটের কৌণিক দূরত্ব পাওয়া যায়। এটাই নটিক্যাল মাইল।
এটা এক মাইলের চেয়ে সামান্য বেশি।

উৎস: www.prothomalo.com.

৩,৯৩৭.

একটি চতুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?

ক
৪টি কোণ
খ
৩টি বাহু ও ২টি কোণ
গ
৩টি বাহু ও ১টি কোণ
ঘ
২টি বাহু ও ২টি কোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?

সমাধান:
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়।

নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ

উৎস: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি

৩,৯৩৮.

এক গ্রাম = কত?

ক
১০ ডেসিগ্রাম
খ
০.১ হেক্টোগ্রাম
গ
.০১ সেন্টিগ্রাম
ঘ
০.১ মিলিগ্রাম

ব্যাখ্যা

আমরা জানি
১ গ্রাম = ১০০০ মিলিগ্রাম
১ গ্রাম = ১০ ডেসিগ্রাম
১ গ্রাম = ১০০ সেন্টিগ্রাম
১ কিলোগ্রাম = ১০০০ গ্রাম

৩,৯৩৯.

সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত কোনটি?

ক
ক) 6 : 4 : 3
খ
খ) 6 : 5 : 4
গ
গ) 12 : 8 : 4
ঘ
ঘ) 13 : 12 : 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত কোনটি?

সমাধান:
আমর জনি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = লম্ব² + ভূমি² = অতিভুজ²
⇒ 12² + 5² = 13²
⇒ 144 + 25 = 169
⇒ 169 = 169

∴ 13 : 12 : 5 বাহুগুলির অনুপাত দিয়ে সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যায়।

৩,৯৪০.

একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
168 বর্গ সে.মি.
খ
96 বর্গ সে.মি.
গ
144 বর্গ সে.মি.
ঘ
48 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং ভূমির দৈর্ঘ্য b একক হলে,
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)

∴ ক্ষেত্রফল = (16/4) √{4(10)²} - (16)²
= 4{√(400 - 256)
= 4 √144
= 4 × 12
= 48

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে.মি.।

৩,৯৪১.

একটি ট্রাপিজিয়ামের অন্তস্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত?

ক
ক) ৩৬০°
খ
খ) ৪৫০°
গ
গ) ৫৪০°
ঘ
ঘ) ২২০°

ব্যাখ্যা

চতুর্ভুজের অন্তস্থ কোনগুলোর সমষ্টি চার সমকোন। ট্রাপিজিয়াম একটি চতুর্ভুজে, সেহেতু ট্রাপিজিয়ামের অন্তস্থ কোনগুলোর সমষ্টি ৩৬০°।

৩,৯৪২.

একটি চাকার পরিধির অর্ধেক ৫ মিটার হলে ৩০০ মিটার যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

ক
ক) ৬০ বার
খ
খ) ১৫ বার
গ
গ) ২০ বার
ঘ
ঘ) ৩০ বার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চাকার পরিধির অর্ধেক ৫ মিটার হলে ৩০০ মিটার যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
চাকার পরিধির অর্ধেক ৫ মিটার হলে
চাকার পরিধি ৫ × ২ মিটার = ১০ মিটার

চাকা প্রতিবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।
৩০০ মিটার যেতে চাকাটি ঘুরবে (৩০০ ÷ ১০) বার
= ৩০ বার

৩,৯৪৩.

cotA√(1 - cos²A) = ?

ক
ক) sinA
খ
খ) cosA
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) sin²A

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cotA√(1 - cos²A) = ?

Solution:
cotA√(1 - cos²A)
= cotA√(sin²A)
= (cosA/sinA) × sinA
= cosA

৩,৯৪৪.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১৬ মিটার এবং অপর দুইটি বাহুর প্রতিটি ১০ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ৩৬ বর্গমিটার
খ
খ) ৪২ বর্গমিটার
গ
গ) ৫০ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) ৪৮ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, a = 16 মি. এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, b = 10 মি.
আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = a/4 √(4b²-a²)
= 16/4 √(4×10²-16²)
= 4√(400-256)
= 4×12
= 48 বর্গ মি.

৩,৯৪৫.

একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ হলে, বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি-

ক
৬ সরলকোণ
খ
৭ সরলকোণ
গ
৫ সরলকোণ
ঘ
৮ সরলকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ হলে, বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি-

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ = (n - 2) × 180⁰
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ টি
∴ বহুভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি = (৯ - ২) × ১৮০⁰
= ৭ × ১৮০⁰
= ১২৬০⁰
= ১২৬০⁰/১৮০⁰ সমকোণ
= ৭ সরলকোণ

৩,৯৪৬.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 2 : 3 : 4 হলে, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?

ক
60°
খ
70°
গ
80°
ঘ
90°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 2 : 3 : 4 হলে, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
তিনটি কোণের অনুপাত =2 : 3 : 4
অনুপাতের সমষ্টি = 2 + 3 + 4 = 9

বৃহত্তম কোণ = 180 × (4/9) = 80°

৩,৯৪৭.

একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ২০০ মিটার। প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ৩/৭ অংশ হলে, দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
৫০ মিটার
খ
৭০ মিটার
গ
৬০ মিটার
ঘ
৯০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ২০০ মিটার। প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ৩/৭ অংশ হলে, দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৭x মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = {৭x × (৩/৭)} মিটার = ৩x মিটার
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(৭x + ৩x) মিটার = ২০x মিটার

প্রশ্নমতে,
২০x = ২০০
বা, x = ২০০/২০
∴ x = ১০

∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৭x মিটার
= (৭ × ১০) মিটার
= ৭০ মিটার ।

৩,৯৪৮.

x - 2y - 10= 0 এবং 2x + y - 3 = 0 রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল কত?

ক
2
খ
1
গ
- 2
ঘ
- 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - 2y - 10= 0 এবং 2x + y - 3 = 0 রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 2y - 10 = 0 এবং 2x + y - 3 = 0

আমরা জানি,
সরল রেখার সাধারণ সমীকরণ, y = mx + c [যেখানে, m = ঢাল]

এখন,
প্রথম রেখার ঢাল:
x - 2y - 10 = 0 সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ 2y = x - 10
∴ y = (1/2)x - 5
সুতরাং, প্রথম রেখার ঢাল, m₁ = 1/2

আবার,
দ্বিতীয় রেখার ঢাল:
2x + y - 3 = 0 সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ y = - 2x + 3
সুতরাং, দ্বিতীয় রেখার ঢাল, m₂ = - 2

∴ ঢালদ্বয়ের গুণফল = m₁× m₂
= (1/2) × (- 2) = - 1
এই দুটি রেখা পরস্পর লম্ব, কারণ তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল - 1.

৩,৯৪৯.

cosθ√(sec²θ - 1) = ?

ক
tanθ
খ
secθ
গ
- sinθ
ঘ
sinθ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cosθ√(sec²θ - 1) = ?

সমাধান:
cosθ√(sec²θ - 1)
= cosθ√tan²θ
= cosθ (sinθ/cosθ)
= sinθ

৩,৯৫০.

কোনো বৃত্তের 10 সেমি দীর্ঘ একটি জ্যা কেন্দ্র হতে 12 সেমি ‍দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত সেন্টিমিটার?

ক
13
খ
14.5
গ
9
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের 10 সেমি দীর্ঘ একটি জ্যা কেন্দ্র হতে 12 সেমি দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত সেন্টিমিটার?

সমাধান:

বৃত্তটির জ্যা AB = 10 সে.মি.;
বৃত্তটির কেন্দ্র O হতে জ্যা AB এর উপর অঙ্কিত লম্ব OC = 12 সে.মি.;
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ OB = ?
বৃত্তের কেন্দ্র হতে যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং BC = 10/2 = 5 সেমি।
এখন OCB সমকোণী ত্রিভুজ হতে, OB = √(OC² + BC²)
= √(12² + 5²)
= √(144 + 25)
= √169
= 13 সে.মি.

৩,৯৫১.

কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অংকন করা যাবে?

ক
ক) ৫ঃ৬ঃ৭
খ
খ) ১৩ঃ১২ঃ৫
গ
গ) ১০ঃ১৫ঃ২০
ঘ
ঘ) ৪ঃ৫ঃ৬

ব্যাখ্যা

এখানে, ১৩^২ = ১২^২ + ৫^২; যা একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের ক্ষেত্রে সম্ভব।

৩,৯৫২.

একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ২০ হলে, বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

ক
১৭০ টি
খ
১৪০ টি
গ
১৫২ টি
ঘ
১৬৪ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ২০ হলে, বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২
= {২০(২০ - ৩)}/২
= (২০ × ১৭)/২
= ১৭০ টি

৩,৯৫৩.

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান কোণদ্বয়ের একটি 52° হলে, তৃতীয় কোণের পরিমাণ কত ?

ক
ক) 76°
খ
খ) 52°
গ
গ) 26°
ঘ
ঘ) 128°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান কোণদ্বয়ের একটি 52° হলে, তৃতীয় কোণের পরিমাণ কত ?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°

সমান কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 52° + 52°
= 104°

∴ অপর কোণ = 180° - 104°
= 76°

৩,৯৫৪.

P(A) = 1/2, P(B) = 2/5 হলে A ও B স্বাধীন হলে P(A ∪ B) এর মান কত?

ক
5/12
খ
7/11
গ
7/10
ঘ
5/9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P(A) = 1/2, P(B) = 2/5 হলে A ও B স্বাধীন হলে P(A ∪ B) এর মান কত?

সমাধান:
P(A) = 1/2, P(B) = 2/5

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
= P(A) + P(B) - P(A).P(B) [যেহেতু A ও B স্বাধীন]
= (1/2) + (2/5) - (1/2) × (2/5)
= 1/2 + 2/5 - 1/5
= (5 + 4 - 2)/10
= 7/10

৩,৯৫৫.

যদি A = 60° এবং B = 30° হয়, তাহলে sinAcosB + cosAsinB এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A = 60° এবং B = 30° হয়, তাহলে sinAcosB + cosAsinB এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = 60° এবং B = 30°

প্রদত্ত রাশি,
sinAcosB + cosAsinB
= sin(A + B)
= sin(60° + 30°)
= sin90°
= 1

৩,৯৫৬.

একটি চতুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?

ক
২টি বাহু ও ২টি কোণ
খ
৪টি বাহু
গ
২টি কর্ণের খণ্ডিত অংশসমূহ ও ১টি বাহু
ঘ
চারটি বাহু ও একটি কর্ণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?

সমাধান:
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়। নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ

উৎস: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি

৩,৯৫৭.

১টি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল বর্গ সে.মি. কত হবে?

ক
৪৮
খ
৫৬
গ
৭২
ঘ
৩৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১টি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল বর্গ সে.মি. কত হবে?

সমাধান:
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য সমান হয়।
ধরি, সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.
অতিভুজের দৈর্ঘ্য, h = 12 সে.মি.
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
(অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²
⇒ h²= a² + a²
⇒ 12²= a² + a²
⇒ 144 = 2a²
⇒ a² = 144/2
⇒ a² = 72

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র:
ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × উচ্চতা
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটিই ভূমি ও উচ্চতা।
ক্ষেত্রফল = 1/2 × a × a
= 1/2 a²
= 1/2 × 72
= 36 বর্গ সে.মি.

৩,৯৫৮.

নিচের কোনটি সঠিক নয়?

ক
ক) রেখার প্রান্ত বিন্দু আছে।
খ
খ) যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।
গ
গ) তলের প্রান্ত হলো রেখা।
ঘ
ঘ) যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাই তল।

ব্যাখ্যা

ইউক্লিডের স্বীকার্য (Euclid's Postulates)
১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।
২. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই।
৩. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা।
৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।
৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাই তল।
৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।
৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার ওপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল।

সূত্র- ৮ম শ্রেণির গণিত বই।

৩,৯৫৯.

কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক
24 গুণ
খ
18 গুণ
গ
20 গুণ
ঘ
25 গুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাসার্ধ 4 গুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = (4r + r) = 5r

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে = π(5r)² =25πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 25πr² - πr² = 24πr²

∴ 24 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

৩,৯৬০.

৩৭ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ কত?

ক
৩৭ ডিগ্রি
খ
৫৩ ডিগ্রি
গ
১২৭ ডিগ্রি
ঘ
১৪৩ ডিগ্রি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩৭ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
অর্থাৎ
৩৭ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৩৭ ডিগ্রি।

৩,৯৬১.

পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য ৪১ হলে অন্য দুটি সদস্য কী কী?

ক
৯, ৩৮
খ
৪০, ৯
গ
৪৩, ৯
ঘ
৩৫, ১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য ৪১ হলে অন্য দুটি সদস্য কী কী?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
পিথাগোরাস ত্রয়ী (Pythagorean triplet) হলো তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সেট, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করে

তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।

যেমন:
(3, 4, 5)
(5, 12, 13)
(7, 24, 25)
(8, 15, 17)
(9, 40, 41)

এখানে,
9² + 40² =41²
বা, 81 + 1600 = 1681
∴ 1681 = 1681

৩,৯৬২.

যদি দুইটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয় স্পর্শকের একই পার্শ্বে থাকে তখন বৃত্তদ্বয় ______ হয়।

ক
বহিঃস্পর্শ
খ
অন্তঃস্পর্শ
গ
উভয়টি
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি দুইটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয় স্পর্শকের একই পার্শ্বে থাকে তখন বৃত্তদ্বয় ______ হয়।

সমাধান:

দুইটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক যদি বৃত্ত দুইটিকে একই বিন্দুতে স্পর্শ করে তবে ঐ বিন্দুতে বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে স্পর্শ করে বলা হয়।
- বৃত্ত দুইটির অন্তঃস্পর্শ বলা হয় যদি কেন্দ্রদ্বয় স্পর্শকের একই পার্শ্বে থাকে
- বৃত্ত দুইটির বহিঃস্পর্শ বলা হয় যদি কেন্দ্রদ্বয় স্পর্শকের বিপরীত পার্শ্বে থাকে।

৩,৯৬৩.

একটি বেলনের ব্যাস 8 সে. মি. এবং উচ্চতা 21 সে. মি. হলে এর আয়তন কত?

ক
972 ঘন সে. মি.
খ
1056 ঘন সে. মি.
গ
1220 ঘন সে. মি.
ঘ
896 ঘন সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বেলনের ব্যাস 8 সে. মি. এবং উচ্চতা 21 সে. মি. হলে এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা = 21 সে. মি.
ব্যাস = 8 সে. মি.
∴ ব্যাসার্ধ = 8/2 = 4 সে. মি.

আমরা জানি,
বেলনের আয়তন = πr²h
= (22/7) × 4² × 21
= 22 × 16 × 3
= 22 × 48
= 1056 ঘন সে. মি.

সুতরাং, বেলনের আয়তন 1056 ঘন সে. মি.।

৩,৯৬৪.

sinA = 12/13 হলে cotA এর মান কত?

ক
12/5
খ
5/12
গ
7/12
ঘ
5/13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sinA = 12/13 হলে cotA এর মান কত?

সমাধান:
sinA = 12/13
বা, sin²A = 144/169
বা, 1 - cos²A = 144/169
বা, cos²A = 1 - 144/169
বা, cos²A = (169 - 144)/169
বা, cos²A = 25/169
বা, cos²A = (5/13)²
বা, cosA = 5/13

cotA = cosA/SinA
= (5/13)/(12/13)
= 5/12

৩,৯৬৫.

একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে, এর পরিসীমা কত?

ক
20 একক
খ
24 একক
গ
30 একক
ঘ
36 একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে, এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহু = a
কর্ণ = a√2

দেওয়া আছে,
a√2 = 6√2
∴ a = 6

সুতরাং, পরিসীমা = 4a = 4 × 6 = 24 একক

৩,৯৬৬.

একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের মান ৩√২ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ৩.৫ বর্গমিটার
খ
খ) ৪.৫ বর্গমিটার
গ
গ) ৫.৫ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) ৬.৫ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের মান ৩√২ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, সমান বাহুদ্বয় ক

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
ক^২ + ক^২ = (৩√২)^২২ক^২= ১৮
ক^২ = ৯
∴ক = ৩

∴ক্ষেত্রফল = ১/২ ×৩ × ৩
= ৪.৫ বর্গমিটার

৩,৯৬৭.

একটি চাকা ২.৬৪ কিলোমিটার পথ যেতে ৩০০ বার ঘুরে। চাকাটির ব্যাসার্ধ কত?

ক
১.৪ মিটার
খ
১.২ মিটার
গ
২ মিটার
ঘ
০.৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চাকা ২.৬৪ কিলোমিটার পথ যেতে ৩০০ বার ঘুরে। চাকাটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
২.৬৪ কিলোমিটার = ২.৬৪ × ১০০০ = ২৬৪০ মিটার

চাকাটি ১ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ২৬৪০/৩০০ মিটার
= ৮৮/১০ = ৪৪/৫ মিটার

∴ চাকাটির পরিধি = ৪৪/৫ মিটার

আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি = ২πr
⇒ ২πr = ৪৪/৫
⇒ r = ৪৪/(৫ × ২π)
⇒ r = ৪৪/{৫ × ২ × (২২/৭)}
⇒ r = ৪৪ × ৭/(৫ × ২ × ২২)
⇒ r = ৩০৮/(২২০)
⇒ r = ৭/৫
∴ r = ১.৪ মিটার

∴ চাকাটির ব্যাসার্ধ ১.৪ মিটার।

৩,৯৬৮.

একটি বর্গাকার বাগানের চার পাশ ঘিরে ২ মিটার প্রস্থবিশিষ্ট একটি রাস্তা আছে। রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল ২৫৬ বর্গমিটার হলে, রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ৯৪ বর্গমিটার
খ
খ) ৯৬ বর্গমিটার
গ
গ) ১১২ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) ১০৮ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
রাস্তাবাদে বর্গাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ক মিটার
রাস্তাবাদে বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ক^২ বর্গমিটার
রাস্তাসহ বর্গাকার বাগানের দৈর্ঘ্য (ক + ৪) মিটার
রাস্তাসহ বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (ক + ৪)^২ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
(ক + ৪)^২= ২৫৬
বা, ক + ৪ = √২৫৬
বা, ক + ৪ = ১৬
বা, ক = ১৬ - ৪
∴ ক = ১২

রাস্তার ক্ষেত্রফল = (ক + ৪)^২- ক^২
= (১২ + ৪)^২- ১২^২
= ১৬^২ - ১২^২
= ২৫৬ - ১৪৪
= ১১২ বর্গমিটার

৩,৯৬৯.

বৃত্তের জ্যাদ্বয় AB, CD যেখানে AB = CD তাহলে জ্যাদ্বয় -

ক
ক) সমান্তরাল
খ
খ) অসমদূরবর্তী
গ
গ) সমদূরবর্তী
ঘ
ঘ) ব্যাসের সমান দৈর্ঘ্যের

৩,৯৭০.

যদি sinA = tanA হয়, তাহলে A = কত?

ক
0°
খ
30°
গ
45°
ঘ
90°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি sinA = tanA হয়, তাহলে A = কত?

সমাধান:
sinA = tanA
⇒ sinA= sinA/cosA
⇒ 1 = 1/cosA
⇒ cosA = 1
⇒ cosA = cos0°
∴ A = 0°

৩,৯৭১.

একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি হবে-

ক
৯০°
খ
১২০°
গ
১৮০°
ঘ
২২০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি হবে-

সমাধান:

XY সরলরেখার সাথে OZ রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়ে ∠XOZ ও ∠YOZ দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়।
∠XOZ + ∠YOZ = ১৮০°

৩,৯৭২.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব 12 সে. মি. এবং পরিসীমা 30 সে. মি. ত্রিভুজটির অতিভুজ -

ক
ক) 13 সে.মি
খ
খ) 14 সে.মি
গ
গ) 15 সে.মি
ঘ
ঘ) 16 সে.মি

ব্যাখ্যা

ভূমি = a, লম্ব = b = 12, অতিভূজ = c
∴ পরিসীমা a + b + c = 30 বা, a + c = 30 - 6 = 18
∴ a + c = 18 = 13 + 5
যেখানে, 12² + 5² = 13²
∴ অতিভূজ = 13

৩,৯৭৩.

৭৮ ডিগ্রী কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রী?

ক
১০০
খ
৭৫
গ
১০২
ঘ
১০৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭৮ ডিগ্রী কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রী?

সমাধান:
যদি দুইটি কোণের মান ১৮০ ডিগ্রী হয়, তবে কোণদ্বয় পরস্পরের সম্পূরক কোণ হয়।
৭৮° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৭৮° = ১০২°

৩,৯৭৪.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩২ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিবৃত্তের ব্যাস কত?

ক
২√২ মিটার
খ
৪√২ মিটার
গ
৮ মিটার
ঘ
১৬ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩২ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিবৃত্তের ব্যাস কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩২ বর্গমিটার

বর্গক্ষেত্রের বাহু = √৩২
= √(১৬ ×২)
= ৪√২ মিটার

বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বাহু × √২
= (৪√২× √২) মিটার
= ৮ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিবৃত্তের ব্যাস = বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ৮ মিটার

৩,৯৭৫.

একটি আয়তাকার খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য ৮০ মিটার ও প্রস্থ ৫০ মিটার। মাঠের ভিতরে চারপাশে ৩ মিটার চওড়া একটি হাঁটার রাস্তা আছে, তবে রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

ক
৭৯৮ বর্গমিটার
খ
৯৪২ বর্গমিটার
গ
৭৪৪ বর্গমিটার
ঘ
৮৩২ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য ৮০ মিটার ও প্রস্থ ৫০ মিটার। মাঠের ভিতরে চারপাশে ৩ মিটার চওড়া একটি হাঁটার রাস্তা আছে, তবে রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল = (৮০ × ৫০) = ৪০০০ বর্গমিটার

রাস্তা বাদে মাঠের দৈর্ঘ্য = ৮০ - (২ × ৩) = ৭৪ মিটার
রাস্তা বাদে মাঠের প্রস্থ = ৫০ - (২ × ৩) = ৪৪ মিটার
রাস্তা বাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = (৭৪ × ৪৪) = ৩২৫৬ বর্গমিটার

রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৪০০০ - ৩২৫৬) = ৭৪৪ বর্গমিটার

৩,৯৭৬.

ক
24 বর্গ সে.মি.
খ
48 বর্গ সে.মি.
গ
72 বর্গ সে.মি.
ঘ
96 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং ভূমির দৈর্ঘ্য b একক হলে,
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)

∴ ক্ষেত্রফল = (16/4){√4(10)² - (16)²}
= 4 × {√(400 - 256)
= 4 × √144
= 4 × 12
= 48

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 48 বর্গ সে.মি.।

৩,৯৭৭.

একটি পঞ্চভুজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত?

ক
ক) 180°
খ
খ) 360°
গ
গ) 450°
ঘ
ঘ) 540°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
বাহুর সংখ্যা, n = 5

আমরা জানি,
অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2)180°
= (5 - 2) x 180°
= 540°

৩,৯৭৮.

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে কয়টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?

ক
১টি
খ
২টি
গ
৪টি
ঘ
অসংখ্য

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে কয়টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?

সমাধান:

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে ৪টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যাবে।
চিত্রে AB, CD, EF ও GH চারটি স্পর্শক।

৩,৯৭৯.

চিত্রানুসারে O কেন্দ্র বিশিষ্ট একটি বৃত্তে ABC ত্রিভুজ অন্তর্লিখিত। ∠x = 112° হলে ∠y = ?

ক
ক) 30°
খ
খ) 34°
গ
গ) 37°
ঘ
ঘ) 35°

ব্যাখ্যা

BOC ত্রিভুজে বহিঃস্থ ∠AOB = ∠OBC + ∠OCB
∠AOB + x = 180°
∠OBC + ∠OCB + x = 180°
y + y = 180° - x
y = 68/2
y = 34°

৩,৯৮০.

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 16π বর্গ একক হলে, বৃত্তটির ব্যাস কত?

ক
6 একক
খ
8 একক
গ
10 একক
ঘ
12 একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 16π বর্গ একক হলে, বৃত্তটির ব্যাস কত?

সমাধান:

ধরি,

বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = r

তাহলে, ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,

πr² = 16π

⇒ r² = 16

∴ r = 4

এখন,

ব্যাস = ব্যাসার্ধ × 2 = 4 × 2 = 8 একক

৩,৯৮১.

২০ মিটার দীর্ঘ একটি কামরার মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে ৭৫০০ টাকা খরচ হয়। যদি ঐ কামরাটির প্রস্থ ৪ মিটার কম হত, তাহলে ৬০০০ টাকা খরচ হত। তাহলে কামরার পরিসীমা কত?

ক
ক) ৮০ মিটার
খ
খ) ১০০ মিটার
গ
গ) ১২০ মিটার
ঘ
ঘ) ১৪০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : ২০ মিটার দীর্ঘ একটি কামরার মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে ৭৫০০ টাকা খরচ হয়। যদি ঐ কামরাটির প্রস্থ ৪ মিটার কম হত, তাহলে ৬০০০ টাকা খরচ হত। তাহলে কামরার পরিসীমা কত?

সমাধানঃ

কামরার দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার।
প্রস্থ ৪ মিটার কমলে ক্ষেত্রফল কমে = ৪ × ২০ = ৮০ বর্গ মিটার।
ক্ষেত্রফল ৮০ বর্গ মিটার কমার জন্য খরচ কমে = ৭৫০০ - ৬০০০ = ১৫০০ টাকা

১৫০০ টাকা খরচ হয় ৮০ বর্গ মিটারে
৭৫০০ টাকা খরচ হয় ৮০ × ৭৫০০/১৫০০ = ৪০০ বর্গ মিটারে
সুতরাং কামরার প্রস্থ = ৪০০/২০ = ২০ মিটার

অতএব, কামরার পরিসীমা = ২ ( ২০ + ২০ ) = ২ × ৪০ = ৮০ মিটার

৩,৯৮২.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ । আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 1250 বর্গমিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 25
খ
খ) 40
গ
গ) 50
ঘ
ঘ) 100

ব্যাখ্যা

মনে করি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার এবং দৈর্ঘ্য = 2x মিটার।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2x × x
= 2x²
শর্তমতে, 2x² = 1250
বা, x² = 625
বা, x = 25
সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 25 মিটার এবং দৈর্ঘ্য 50 মিটার।

৩,৯৮৩.

যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় সেই চতুর্ভুজকে বলা হয় -

ক
ক) আয়তক্ষেত্র
খ
খ) রম্বস
গ
গ) সামান্তরিক
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় সেই চতুর্ভুজকে বলা হয় -

সমাধান:
আয়তক্ষেত্র : যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।

রম্বস: যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও বিপরীত কোণদ্বয় সমান, কিন্তু কোন কোণই সমকোন নয়, তাকে রম্বস বলে।
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
সামান্তরিক: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।

৩,৯৮৪.

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π বর্গমিটার, পরিধি 16πমিটার, বৃত্তটির ব্যাস কত?

ক
24 মিটার
খ
8 মিটার
গ
16 মিটার
ঘ
32 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π বর্গমিটার, পরিধি 16πমিটার, বৃত্তটির ব্যাস কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

শর্তমতে,
2πr = 16π মিটার
πr² = 64π বর্গমিটার‌।

এখন
πr²/2πr = 64π/16π
বা, r/2 = 4
∴ r = 8

∴ বৃত্তের ব্যাস = 2 × 8 = 16 মিটার

৩,৯৮৫.

একটি পূর্ণ কোণের মান কত ডিগ্রি?

ক
90°
খ
180°
গ
270°
ঘ
360°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পূর্ণ কোণের মান কত ডিগ্রি?

সমাধান:
- একটি পূর্ণ ঘূর্ণনের ফলে (৩৬০° বা 2π রেডিয়ান) যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে পূর্ণ কোণ বলে।
- একটি পূর্ণ কোণ হলো একটি সম্পূর্ণ বৃত্ত, যার মান 360°। এটি নির্দেশ করে যে যখন কোনো রেখা পুরো বৃত্ত ঘুরে আবার তার প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে আসে, তখন সেটি 360° কোণ তৈরি করে।

৩,৯৮৬.

y = ax² + bx + c (a≠0, b এবং c- এর যে কোন মানের জন্য) নির্দেশ করে একটি-

ক
বৃত্ত
খ
প্যারবোলা
গ
সরলরেখা
ঘ
ইলিপস

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: y = ax² + bx + c (a≠0, b এবং c- এর যে কোন মানের জন্য) নির্দেশ করে একটি-

সমাধান:
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (quadratic equation), যার সর্বোচ্চ ঘাত x²।
দ্বিঘাত সমীকরণের গ্রাফ সর্বদা প্যারাবোলার আকৃতি ধারণ করে।
• যদি a > 0, প্যারাবোলা উপরের দিকে খোলা।
• যদি a < 0, প্যারাবোলা নিচের দিকে খোলা।

অন্যান্য অপশন:
• বৃত্ত: বৃত্তের সমীকরণ সাধারণত x² + y² = r²-এর আকারে হয় (যেখানে বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
• সরলরেখা: সরলরেখার সমীকরণ y = mx + c এর আকারে হয় (যেখানে m হলো ঢাল বা gradient) I
• ইলিপস: ইলিপসের সমীকরণ সাধারণত (x²/a²) + (y²/b²)= 1-এর মতো হয়।

৩,৯৮৭.

চতুর্ভুজ ABCD এর ক্ষেত্রে ∠A + ∠C = 180° এবং ∠B = 80° হলে ∠D = ?

ক
ক) 90°
খ
খ) 100°
গ
গ) 110°
ঘ
ঘ) 120°

ব্যাখ্যা

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
বা, 180°+ 80° + ∠D = 360°
বা, ∠D = 360° - 260° = 100°

৩,৯৮৮.

একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার, ৪ মিটার ও ১২ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক
ক) ২২ বর্গমিটার
খ
খ) ২৪ বর্গমিটার
গ
গ) ১৪৪ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের যে কোন দুইবাহুর দৈর্ঘ্য তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
কিন্তু এখানে (৬+৪) = ১০ যা তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ অপেক্ষা বৃহত্তর নয়। তাই এ ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়।

৩,৯৮৯.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি হলে, যে কোন দুটি বাহুর অন্তর্গত কোণটি কত?

ক
ক) ৬০ ডিগ্রি
খ
খ) ১২০ ডিগ্রি
গ
গ) ১৮০ ডিগ্রি
ঘ
ঘ) ৩০ ডিগ্রি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি হলে, যে কোন দুটি বাহুর অন্তর্গত কোণটি কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাণ = ৬০ ডিগ্রি
যে কোন দুটি বাহুর অন্তর্গত কোণ = ৬০ ডিগ্রি

৩,৯৯০.

কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতটির মান অসংজ্ঞায়িত?

ক
ক) cos90°
খ
খ) sin90°
গ
গ) sec0°
ঘ
ঘ) cosec0°

ব্যাখ্যা

cosec0° এর মান অসংজ্ঞায়িত।

৩,৯৯১.

sinθ এর সর্বনিম্ন মান কত?

ক
1
খ
0
গ
- 1
ঘ
90°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sinθ এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:

- 1 < sinθ < 1 ; সুতরাং sinθ এর সর্বনিম্ন মান -1 এবং সর্বোচ্চ মান 1 ।

৩,৯৯২.

একটি ত্রিভুজাকৃতি কক্ষের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 মি. 20 মি. 25 মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 140 বর্গমিটার
খ
খ) 150 বর্গমিটার
গ
গ) 160 বর্গমিটার
ঘ
ঘ) 170 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি কক্ষের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 মি. 20 মি. 25 মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য a = 15 মি. B = 20 মি. C = 25 মি.
পরিসীমা, 2s = (15 + 20 + 25) মি.
বা, s = 60/2 মি. = 30 মি.

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = √{s(s - a) (s - b) (s - c)}
= √{30 (30 - 15) (30 - 20) (30 - 25)} বর্গমিটার
= √(30 x 15 x 10 x 5) বর্গমিটার
= √22500 বর্গমিটার
= 150 বর্গমিটার

৩,৯৯৩.

tanθ = a/b হলে cosθ = ?

ক
a/√(a² + b²)
খ
√(a² + b²)
গ
b/√(a² + b²)
ঘ
(a² + b²)/a

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tanθ = a/b হলে cosθ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = লম্ব
b = ভূমি

∴ অতিভুজ = √( লম্ব^২ + ভুমি^২)
= √(a² + b²)

∴ cosθ = ভূমি/অতিভুজ
= b/√(a² + b²)

৩,৯৯৪.

ত্রিভুজের তিন কোণের অনুপাত 9 : 4 : 5 হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?

ক
120°
খ
90°
গ
75°
ঘ
55°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন কোণের অনুপাত 9 : 4 : 5 হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 9x + 4x + 5x = 18x

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°

∴ 18x = 180°
বা, x = 180°/18
বা, x = 10°

∴ বৃহত্তম কোণের পরিমাণ = 9 × 10°
= 90°

৩,৯৯৫.

প্রদত্ত চিত্রে PQ ।। SR, PQ = PR এবং ∠PRQ = 55° হলে ∠LRS এর মান নিচের কোনটি?

ক
ক) 70°
খ
খ) 125°
গ
গ) 55°
ঘ
ঘ) 110°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে PQ ।। SR, PQ = PR এবং ∠PRQ = 55° হলে ∠LRS এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:

PQ = PR হলে
∠PRQ = ∠PQR = 55°
আবার,
PQ ।। SR, QL এদের ছেদক
∠PQR = ∠LRS পরস্পর অনুরূপ কোণ
∠PQR = ∠LRS = 55°

৩,৯৯৬.

r বছর পূর্বে একজন লোকের বয়স ছিল s বছর। t বছর পর তার বয়স কত হবে?

ক
s - r + t
খ
r - s + t
গ
rs + t
ঘ
r + s + t

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: r বছর পূর্বে একজন লোকের বয়স ছিল s বছর। t বছর পর তার বয়স কত হবে?

সমাধান:
r বছর পূর্বে লোকটির বয়স ছিল s বছর।
∴ লোকটির বর্তমান বয়স (r + s) বছর।

অতএব,
t বছর পর লোকটির বয়স হবে (r + s + t) বছর। r বছর পূর্বে একজন লোকের বয়স ছিল s বছর। t বছর পর তার বয়স কত হবে?

সমাধান:
r বছর পূর্বে লোকটির বয়স ছিল s বছর।
∴ লোকটির বর্তমান বয়স (r + s) বছর।

অতএব,
t বছর পর লোকটির বয়স হবে (r + s + t) বছর।

৩,৯৯৭.

16 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের অঙ্কিত অপর আরেকটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 128 বর্গসেমি
খ
খ) 196 বর্গসেমি
গ
গ) 256 বর্গসেমি
ঘ
ঘ) 512 বর্গসেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের অঙ্কিত অপর আরেকটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
প্রথম বর্গের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
সুতরাং, প্রথম বর্গের কর্ণ = 16√2 সেমি

এখানে,
প্রথম বর্গের কর্ণ = অপর বর্গের বাহু

∴ অপর বর্গের বাহু = 16√2 সেমি
∴ অপর বর্গের ক্ষেত্রফল = (16√2)² = 512 বর্গসেমি

৩,৯৯৮.

৫০ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৭ সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

ক
৪২ সে.মি.
খ
৪৮ সে.মি.
গ
৩৬ সে.মি.
ঘ
৪৪ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫০ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৭ সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব OC = ৭ সে.মি.
ব্যাস = ৫০ সে.মি.
ব্যাসার্ধ OB = ৫০/২ = ২৫ সে.মি.

AB জ্যা এর অর্ধাংশ = BC
কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব = OC

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
OB² = OC² + BC²
⇒ BC² = OB² - OC²
⇒ BC = √(OB² - OC²)
⇒ BC = √{(২৫)^২ - (৭)^২}
⇒ BC = √(৬২৫ - ৪৯)
⇒ BC = √৫৭৬
⇒ BC = ২৪

∴ জ্যা AB এর দৈর্ঘ্য = BC × ২ = ২৪ × ২ = ৪৮ সে.মি.

৩,৯৯৯.

কোনো ত্রিভুজের তিন কোণের দ্বি-খন্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কি বলে?

ক
ক) বহিঃকেন্দ্র
খ
খ) ভরকেন্দ্র
গ
গ) পরিকেন্দ্র
ঘ
ঘ) অন্তঃকেন্দ্র

ব্যাখ্যা

- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের তিন বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকগুলোর ছেদবিন্দুকে পরিকেন্দ্র বলে।

৪,০০০.

একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি., ১৮ সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল ১৫০ বর্গ সে.মি. হলে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

ক
১৫ সে.মি.
খ
১০ সে.মি.
গ
১৩ সে.মি.
ঘ
৯ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি., ১৮ সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল ১৫০ বর্গ সে.মি. হলে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
বা, ১৫০ = (১/২) × (১২ + ১৮) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
বা, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (১৫০ × ২)/৩০
∴ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ১০

∴ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১০ সে.মি.।