জ্যামিতি

PrepBank · পাতা ২৭ / ১০৭ · ২,৬০১–২,৭০০ / ১০,৭৫২

২,৬০১.

একটি সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ১০ হলে প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ কত?

ক
ক) ১৪৫°
খ
খ) ১৪৪°
গ
গ) ১৩৫°
ঘ
ঘ) ১৩৫.৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ১০ হলে প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা, n = ১০
∴ অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ θ হলে,
θ = {১৮০° × (n - ২)}/n
= {১৮০° × (১০ - ২)}/১০
= (১৮০° × ৮)/১০
= ১৪৪°

∴ অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ = ১৪৪°

২,৬০২.

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের-

ক
দ্বিগুণ
খ
সমান
গ
এক-চতুর্থাংশ
ঘ
অসমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা একে অপরের-

সমাধান:
বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর ওপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্ব-দ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

২,৬০৩.

4 সে.মি., 5 সে.মি. ও 9 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক ?

ক
0
খ
60
গ
80
ঘ
120

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 সে.মি., 5 সে.মি. ও 9 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক ?

সমাধান:
মনে করি,
ত্রিভুজটির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = 4 সে.মি., b = 5 সে.মি. ও c = 9 সে.মি.।
অর্ধ -পরিসীমা s = (a + b + c)/2
= (4 + 5 + 9)/2
= 18/2 সে.মি.
= 9 সে.মি.

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s( s - a)( s - b) (s - c)}
= √{9(9 - 4)(9 - 5)(9 - 9)} বর্গ সে.মি.
= √(9 × 5 × 4 × 0) বর্গ সে.মি.
= 0 বর্গ সে.মি.

২,৬০৪.

একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ৪৬ সেন্টিমিটার ও ৩৬ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার হবে?

ক
১৬৫৬ বর্গ সেন্টিমিটার
খ
৮২৮ বর্গ সেন্টিমিটার
গ
১৬২৬ বর্গ সেন্টিমিটার
ঘ
৮১৮ বর্গ সেন্টিমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ৪৬ সেন্টিমিটার ও ৩৬ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের একটি কর্ণ = ৪৬ সেন্টিমিটার
এবং অপর কর্ণটি = ৩৬ সেন্টিমিটার

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৪৬ × ৩৬
= ৮২৮ বর্গ সেন্টিমিটার

২,৬০৫.

θ = 60° হলে sec²θ−tan²θ= ?

ক
ক) 0
খ
খ) 14
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
1 + tan²θ = sec²θ
1 − sec²θ = -tan²θ
sec²θ − 1 = tan²θ
sec²θ − tan²θ = 1

২,৬০৬.

একটি ত্রিভুজাকার প্রিজমের ভূমির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3, 4 ও 5 সে.মি. এবং উচ্চতা 8 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

ক
48 ঘন সে.মি
খ
108 ঘন সে.মি
গ
60 ঘন সে.মি
ঘ
96 ঘন সে.মি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকার প্রিজমের ভূমির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3, 4 ও 5 সে.মি. এবং উচ্চতা 8 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

সমাধান:

প্রিজমের ভূমির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3, 4 ও 5 সে.মি.
যেহেতু 3² + 4² = 5²,
ইহার ভূমি একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ক্ষেত্রফল = (1/2) × 4 × 3 = 6 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, প্রিজমটির আয়তন = 6 × 8 = 48 ঘন সে.মি.

২,৬০৭.

দেয়ালের সাথে একটি মইয়ের উন্নতি কোণ 60° এবং মইটির পাদদেশ দেয়াল থেকে 4.6 মিটার দূরে। মইয়ের দৈর্ঘ্য কত?

ক
8.25 মিটার
খ
9.20 মিটার
গ
7.50 মিটার
ঘ
6.50 মিটার

ব্যাখ্যা

মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = ?
মইটির পাদদেশ থেকে দেয়ালের দূরত্ব BC= 4.6 মিটার
এখন,
Cos ∠ACB = BC/AC
Cos 60° = 4.6/AC
1/2 = 4.6/AC
AC = 4.6 × 2 = 9.20 মিটার

২,৬০৮.

একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের এক-পঞ্চমাংশ হলে, কোণটির মান বের করুন।

ক
15°
খ
30°
গ
66°
ঘ
85°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের এক পঞ্চমাংশ হলে কোণটির মান বের করুন।

সমাধান:
দুটি কোণের সমষ্টি 180° হলে, একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

ধরি, কোণটি = x
∴ অপর কোণটি = 180° - x

প্রশ্নমতে,
x = (1/5) × (180° - x)
⇒ 5x = 180° - x
⇒ 6x = 180°
⇒ x = 180°/6
∴ x = 30°

২,৬০৯.

একটি বৃত্তে একই চাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ 150° হলে, উক্ত চাপের উপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণের মান কত?

ক
80°
খ
60°
গ
30°
ঘ
75°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তে একই চাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ 150° হলে, উক্ত চাপের উপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

তাই একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ 150° হলে বৃত্তস্থ কোণের মান হবে 75°

২,৬১০.

একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 8 সে. মি. ও ক্ষেত্রফল 44 বর্গ সে. মি. হলে, রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে. মি.?

ক
ক) 6 সে. মি.
খ
খ) 9 সে. মি.
গ
গ) 11 সে. মি.
ঘ
ঘ) 13 সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 8 সে. মি. ও ক্ষেত্রফল 44 বর্গ সে. মি. হলে, রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে. মি.?

সমাধান:
ধরি,
অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = a সে. মি.

আমরা জানি,
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, 44 = 1/2 × a × 8
বা, 44 = 4a
∴ a = 11

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = 11 সে. মি.

২,৬১১.

একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৯ : ৭ হলে এবং এর পরিসীমা ৬৪ মিটার হলে, ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে-

ক
১৮, ১৪ মিটার
খ
১৬, ১২ মিটার
গ
২৭, ১৯ মিটার
ঘ
৩২, ২৩ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৯ : ৭ হলে এবং এর পরিসীমা ৬৪ মিটার হলে, ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে-

সমাধান:
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৯ক , প্রস্থ ৭ক
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ ( দৈর্ঘ্য + প্রস্থ )
= ২ (৯ক + ৭ক )
= ৩২ক

প্রশ্নমতে,
৩২ক = ৬৪
⇒ ক = ৬৪/৩২
∴ ক = ২ মিটার

আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৯ × ২ = ১৮ মিটার ,
এবং, প্রস্থ = ৭ × ২ মিটার = ১৪ মিটার

২,৬১২.

একটি সমকোণী ত্রিভূজের অতিভূজ 25 মিঃ। অপর বাহুদ্বয়ের একটি অপরটির 3/4 অংশ হলে বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত -

ক
ক) 3 : 4 : 5
খ
খ) 2 : 3 : 4
গ
গ) 8 : 15 : 17
ঘ
ঘ) 12 : 13 : 5

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
অপর বাহুদ্বয় 3a, 4a
∴ (3a)² + (4a)² = 25²
বা, 25a² = 25²
বা, a² = 25
∴ a = 5
∴ অপর বাহুদ্বয় = 15, 20
∴ অনুপাত = 15:20:25
= 3 : 4 : 5

২,৬১৩.

একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 2√2 একক হলে এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত একক?

ক
ক) 2√2 একক
খ
খ) 4√2 একক
গ
গ) 4 একক
ঘ
ঘ) 2 একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 2√2 একক হলে এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত একক?

সমাধান:

ABCD বর্গের বাহু AB = 2√2 একক, বাহু AD = 2√2 একক
BD বর্গের কর্ণ।

ABD সমকোণী ত্রিভুজে,
BD = √(AB² + AD²)
= √{(2√2)² + (2√2)²}
= √(8 + 8)
= √16
= 4

∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য 4 একক

২,৬১৪.

নিচের কোন বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?

ক
৪, ৫, ৬
খ
৭, ৮, ১০
গ
৬, ৭, ৮
ঘ
৮, ১৫, ১৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?

সমাধান:
আমরা জানি,
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভুজের (বৃহত্তম বাহুর) বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।

অপশন (ক): ৪, ৫, ৬
বৃহত্তম বাহু = ৬^২ = ৩৬
অন্য দুই বাহু: ৪^২ + ৫^২ = ১৬ + ২৫ = ৪১
যেহেতু ৩৬ ≠ ৪১, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

অপশন (খ): ৭, ৮, ১০
বৃহত্তম বাহু = ১০^২ = ১০০
অন্য দুই বাহু: ৭^২ + ৮^২ = ৪৯ + ৬৪ = ১১৩
যেহেতু ১০০ ≠ ১১৩, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

অপশন (গ): ৬, ৭, ৮
বৃহত্তম বাহু = ৮^২ = ৬৪
অন্য দুই বাহু: ৬^২ + ৭^২ = ৩৬ + ৪৯ = ৮৫
যেহেতু ৬৪ ≠ ৮৫, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

অপশন (ঘ): ৮, ১৫, ১৭
বৃহত্তম বাহু = ১৭^২ = ২৮৯
অন্য দুই বাহু: ৮^২ + ১৫^২ = ৬৪ + ২২৫ = ২৮৯
যেহেতু ২৮৯ = ২৮৯, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব।

∴ সঠিক উত্তর : অপশন (ঘ)

২,৬১৫.

একটি ঘনবস্তুর মাত্রা কয়টি?

ক
ক) ১ টি
খ
খ) ২ টি
গ
গ) ৩ টি
ঘ
ঘ) ৪ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনবস্তুর মাত্রা কয়টি?

সমাধান:
ঘনবস্তু (Solid) কোনো জাগতিক বস্তু যে স্থান দখল করে থাকে, তা তিন দিকে বিস্তৃত।
- এ তিন দিকের বিস্তার বস্তুটির তিনটি মাত্রা (Three dimension) দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা নির্দেশ করে। সেজন্য প্রত্যেক ত্রিমাত্রিক (three-dimensional) বস্তুকে বলা হয় ঘনবস্তু (Solid)।
-যেমন, একটি ইট বা বাক্সের তিনটি মাত্রা দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা আছে। একটি বল বা গোলকেরও তিনটি মাত্রা আছে। এর তিন মাত্রার অভিন্নতা স্পষ্টভাবে বোঝা না গেলেও একে দৈর্ঘ্য-প্রস্থ-উচ্চতা বিশিষ্ট খণ্ডে বিভক্ত করা যায়। এগুলো ঘনবস্তু ।
উৎস: গণিত, এস এস সি প্রোগ্রাম, বাংলাদেশ উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়

২,৬১৬.

একটি বইয়ের পৃষ্ঠা সংখ্যা ১৫০ এবং প্রতি পাতার পুরুত্ব ০.২ মি. মি.। বইটির দৈর্ঘ্য ২৪ সে. মি. ও প্রস্থ ১৬ সে. মি. হলে বইটির আয়তন কত?

ক
৩৮২ ঘন সে. মি.
খ
৪৭.৪ ঘন সে. মি.
গ
৫৭৬ ঘন সে. মি.
ঘ
৫৭.৫ ঘন সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বইয়ের পৃষ্ঠা সংখ্যা ১৫০ এবং প্রতি পাতার পুরুত্ব ০.২ মি. মি.। বইটির দৈর্ঘ্য ২৪ সে. মি. ও প্রস্থ ১৬ সে. মি. হলে বইটির আয়তন কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বইয়ের ২ পৃষ্ঠা = ১ পাতা
∴ বইয়ের ১৫০ পৃষ্ঠা = ৭৫ পাতা

∴ ৭৫ পাতার পুরুত্ব = (৭৫ × ০.২) মি.মি. = ১৫ মি. মি. = ১.৫ সে. মি.

আমরা জানি,
বইটির আয়তন = (২৪ × ১৬ × ১.৫) ঘন সে. মি.
= ৫৭৬ ঘন সে. মি.

২,৬১৭.

ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G, ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৯৩ বর্গএকক হলে, BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক
১৮ বর্গএকক
খ
২৯ বর্গএকক
গ
৩১ বর্গএকক
ঘ
৪৫ বর্গএকক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G, ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৯৩ বর্গএকক হলে, BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র ত্রিভুজকে সমান তিন ভাগে ভাগ করে।
∴ BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/৩) × ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= (১/৩) × ৯৩
= ৩১ বর্গএকক।

২,৬১৮.

একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সে.মি. বেশি, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?

ক
ক) 27 সে.মি.
খ
খ) 28 সে.মি.
গ
গ) 25 সে.মি.
ঘ
ঘ) 24 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সে.মি. বেশি, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
মনে করি,
ত্রিভুজের উচ্চতা x মিটার
ভূমি = (2x + 6) মিটার

প্রশ্নমতে,
⇒ (1/2) × (2x + 6) × x = 810
⇒ x² + 3x = 810
⇒ x² + 3x - 810 = 0
⇒ x² + 30x - 27x - 810 = 0
⇒ x(x + 30) - 27(x + 30) = 0
⇒ (x + 30)(x - 27) = 0

হয়
x + 30 = 0
x = - 30 [ গ্রহণ যোগ্য নয়]

অথবা
x - 27 = 0
∴ x = 27

∴ ত্রিভুজের উচ্চতা 27 মিটার

২,৬১৯.

একটি বহুভুজের সকল অন্তঃকোণের সমষ্টি 1620° হলে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত?

ক
9
খ
11
গ
12
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের সকল অন্তঃকোণের সমষ্টি 1620° হলে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ= (n - 2) × 180°

প্রশ্নমতে,
(n - 2) × 180° = 1620°
⇒ n - 2 = 1620°/180°
⇒ n - 2 = 9
∴ n = 11

২,৬২০.

51° কোণের সম্পূরক কোণের এক-তৃতীয়াংশ কত?

ক
86°
খ
43°
গ
34°
ঘ
129°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 51° কোণের সম্পূরক কোণের এক-তৃতীয়াংশ কত?

সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
51° কোণের সম্পূরক কোণ = (180 - 51)° = 129°
129° এক-তৃতীয়াংশ = 129°/3 = 43°

২,৬২১.

একটি গাড়ীর চাকা মিনিটে ১২০ বার ঘোরে। চাকাটি এক সেকেন্ডে কত ডিগ্রি ঘুরবে?

ক
৩৬০°
খ
৪৫০°
গ
৫৪০°
ঘ
৭২০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাড়ীর চাকা মিনিটে ১২০ বার ঘোরে। চাকাটি এক সেকেন্ডে কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
চাকাটি ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ১২০ বার
∴ চাকাটি ১ সেকেন্ডে ঘুরে = ১২০/৬০ বার
= ২ বার

১ বার ঘুরলে চাকাটি উৎপন্ন করে = ৩৬০°
∴ ২ বার ঘুরলে চাকাটি উৎপন্ন করে = (৩৬০° × ২)
= ৭২০°

∴ চাকাটি এক সেকেন্ডে ঘুরবে = ৭২০°।

২,৬২২.

কোনো ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য 8√2 সে.মি. হলে এর আয়তন কত?

ক
ক) 256
খ
খ) 512
গ
গ) 128
ঘ
ঘ) 343

ব্যাখ্যা

মনে করি, ঘনকের ধার, a
সুতরাং ঘনকটির পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a এবং আয়তন = a³
প্রশ্নানুসারে, √2a = 8√2
বা, a = 8
আমরা জানি, ঘনকটির আয়তন = 8³
= 512
উৎসঃ গণিত, নবম-দশম শ্রেণি।

২,৬২৩.

একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ৪ : ৭ : ৮ এবং এর পরিসীমা ৩৮ সেমি হলে বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য কত?

ক
৬ সেমি ১২ সেমি ২০ সেমি
খ
৯ সেমি ১১ সেমি ১৮ সেমি
গ
৮ সেমি ১৪ সেমি ১৬ সেমি
ঘ
১০ সেমি ১৩ সেমি ১৫ সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ৪ : ৭ : ৮ এবং এর পরিসীমা ৩৮ সেমি হলে বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৪x সে.মি.; ৭x সে.মি. এবং ৮x সে.মি.

শর্তমতে,
৪x + ৭x + ৮x = ৩৮
বা, ১৯x = ৩৮
∴ x = ২

∴ বাহুগুলো যথাক্রমে ৮ সে. মি.; ১৪ সে. মি. ও ১৬ সে. মি.

২,৬২৪.

২৪ মি. পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত আছে। বৃত্তের পরিসীমা কত?

ক
৫√২π
খ
৬√২π
গ
৮√২π
ঘ
৬π

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৪ মি. পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত আছে। বৃত্তের পরিসীমা কত?

সমাধান:

ধরি,
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r

∴ 4a = 24
a = 6

বৃত্তের ব্যাস = বর্গের কর্ণ = √2a = 6√2
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6√2/2 = 3√2

∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
= 2π(3√2)
= 6√2π মি.

২,৬২৫.

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বলে -

ক
ব্যাস
খ
বৃত্তচাপ
গ
ব্যাসার্ধ
ঘ
স্পর্শক

ব্যাখ্যা

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।
পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে।
বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে এবং বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

২,৬২৬.

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৪ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ২৮.৫ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?

ক
৫২৮ টাকা
খ
৩৮৯ টাকা
গ
৪১৭ টাকা
ঘ
৬৮৪ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৪ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ২৮.৫ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ ৪ মিটার

আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২ × (৮ + ৪) মিটার
= ২ × ১২ মিটার
= ২৪ মিটার

১ মিটারে খরচ হয় ২৮. ৫ টাকা
∴ ২৪ মিটারে খরচ হয় (২৪ × ২৮.৫) টাকা
= ৬৮৪ টাকা

২,৬২৭.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২√৩ সে.মি. এবং উচ্চতা h সে.মি. হলে, h এর মান কোনটি?

ক
√২ সে.মি.
খ
√৩ সে.মি.
গ
২ সে.মি.
ঘ
৩ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২√৩ সে.মি. এবং উচ্চতা h সে.মি. হলে, h এর মান কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)^২
= (√৩/৪) × (২√৩)^২ বর্গ সে.মি.
= (√৩/৪) × ১২ বর্গ সে.মি.
= ৩√৩ বর্গ সে.মি.

আবার,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) × ২√৩ × h বর্গ সে.মি.
= √৩h বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
√৩h = ৩√৩
∴ h = ৩

২,৬২৮.

একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 126 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 14 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

ক
18 গজ
খ
21 গজ
গ
16 গজ
ঘ
28 গজ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 126 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 14 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) × ভূমি × 14
= 7 × ভূমি

প্রশ্নমতে,
7 × ভূমি = 126
বা, ভূমি = 126/7
∴ ভূমি = 18 গজ

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = 18 গজ ।

২,৬২৯.

৩৬ বর্গমিটার ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি রম্বসের একটি কর্ণ অপর কর্ণটির দ্বিগুণ হলে বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
ক) ৬ মিটার
খ
খ) ২৪ মিটার
গ
গ) ১২ মিটার
ঘ
ঘ) ৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩৬ বর্গমিটার ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি রম্বসের একটি কর্ণ অপর কর্ণটির দ্বিগুণ হলে বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের দুটি কর্ণ d1 এবং d2 হলে এর ক্ষেত্রফল (1/2) × d1 × d2

ধরি,
রম্বসটির ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য x মিটার
বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য 2x মিটার

রম্বসটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × x × 2x = x²

শর্তমতে,
x² = 36
x = 6

তাহলে বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য 2 × 6 মিটার = 12 মিটার

২,৬৩০.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

ক
৪৫°
খ
৬০°
গ
৭৫°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত = ৩ : ৪ : ৫
ধরি, কোণগুলো যথাক্রমে ৩ক, ৪ক, ৫ক

আমরা জানি,
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°

∴ ৩ক + ৪ক + ৫ক = ১৮০°
⇒ ১২ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০/১২
= ১৫°

অতএব, বৃহত্তম কোণটির মান = ৫ক
= (৫ × ১৫°)
= ৭৫°

২,৬৩১.

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার এবং প্রস্থ ২৪ মিটার। এর ভিতরের চারদিকে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
২০০ বর্গমিটার
খ
২০৮ বর্গমিটার
গ
২৮০ বর্গমিটার
ঘ
২৫৬ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার এবং প্রস্থ ২৪ মিটার। এর ভিতরের চারদিকে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ৩২ মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ২৪ মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (৩২ × ২৪) বর্গমিটার
= ৭৬৮ বর্গমিটার

আবার,
রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = {৩২ - (২ × ২)} মিটার
=২৮ মিটার
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = {২৪ - (২ × ২)} মিটার
= ২০ মিটার
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৮ × ২০) বর্গমিটার
= ৫৬০ বর্গমিটার

∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৭৬৮ - ৫৬০) বর্গমিটার
= ২০৮ বর্গমিটার।

২,৬৩২.

নিচের কোন স্বীকার্যটি ভুল?

ক
দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
খ
যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
গ
যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন স্বীকার্যটি ভুল?

সমাধান:

ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো:

স্বীকার্য-১: দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।

স্বীকার্য-২: যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।

স্বীকার্য-৩: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।

স্বীকার্য-৪: সকল সমকোণ পরস্পর সমান।

স্বীকার্য-৫: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম, সেদিকে মিলিত হয়।

উৎস: গণিত, এস এস সি প্রোগ্রাম, বাংলাদেশ উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়

২,৬৩৩.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩৯২ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্যের পরিমাণ কত?

ক
২২ মিটার
খ
২৪ মিটার
গ
২৮ মিটার
ঘ
৩০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩৯২ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্যের পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = ক মিটার
তাহলে, দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
⇒ ৩৯২ = ক × ২ক
⇒ ২ক^২ = ৩৯২
⇒ ক^২ = ১৯৬
∴ ক = ১৪ মিটার

অতএব, প্রস্থ = ১৪ মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = (১৪ × ২) মিটার
= ২৮ মিটার

২,৬৩৪.

x + y - 1 = 0, x - y + 1 = 0 এবং y + 3 = 0 সরল রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি-

ক
সমবাহু
খ
সমকোণী
গ
বিষমবাহু
ঘ
সমদ্বিবাহু

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y - 1 = 0, x - y + 1 = 0 এবং y + 3 = 0 সরল রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি-

সমাধান:
x + y - 1 = 0
⇒ y = - x + 1
∴ সমীকরণটির ঢাল = -1

আবার,
x - y + 1 = 0
⇒ y = x + 1
∴ সমীকরণটির ঢাল = 1

এখন,
ঢালদ্বয়ের গুণফল = -1, তাই সমীকরণদ্বয় পরস্পর লম্ব।
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।

২,৬৩৫.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৪ সে.মি. এবং ৬ সে.মি. হলে, রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

ক
১০ বর্গ সে.মি.
খ
১৬ বর্গ সে.মি.
গ
১২ বর্গ সে.মি.
ঘ
২২ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৪ সে.মি. এবং ৬ সে.মি. হলে, রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৪ সে.মি. এবং ৬ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (৪ x ৬) বর্গ সে.মি.
= ১২ বর্গ সে.মি.

২,৬৩৬.

একটি ত্রিভূজের দু’টি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 24 সেঃমিঃ এবং 25 সেঃমিঃ ৩য় বাহুর দৈর্ঘ্য কত হলে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে?

ক
ক) 7 সে.মি
খ
খ) 8 সে.মি
গ
গ) 9 সে.মি
ঘ
ঘ) 10 সে.মি

ব্যাখ্যা

এখানে,
25² = 24² + 7²
∴ ৩য় বাহুর দৈর্ঘ্য হবে 7 সেমি.

২,৬৩৭.

নিচের প্রতিটি গুচ্ছে তিনটি করে সরলরেখার দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন গুচ্ছের সরলরেখাগুলোকে ‍দিয়ে ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়?

ক
৩, ৮, ৮ সে.মি.
খ
১২, ১৪, ২৮ সে.মি.
গ
৭, ৬, ১১ সে.মি.
ঘ
২০, ৮, ১৩ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের প্রতিটি গুচ্ছে তিনটি করে সরলরেখার দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন গুচ্ছের সরলরেখাগুলোকে ‍দিয়ে ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর যোগফল তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
এখানে,
৩ + ৮ = ১১ > ৮
৭ + ৬ = ১৩ > ১১
২০ + ৮ = ২৮ > ১৩
কিন্তু, ১২ + ১৪ = ২৬ < ২৮

∴ ১২, ১৪, ২৮ সে.মি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাগুলো দ্বারা ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়।

২,৬৩৮.

বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণগুলো পরস্পর _____ .

ক
ক) অর্ধেক
খ
খ) দুইগুণ
গ
গ) তিনগুণ
ঘ
ঘ) সমান

ব্যাখ্যা

বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান।

O বৃত্তের কেন্দ্র এবং বৃত্তের BCD চাপের ওপর দণ্ডায়মান ∠BAD ও ∠BED দুইটি বৃত্তস্থ কোণ ।
∠BAD =∠BED

২,৬৩৯.

আট বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কতটি কর্ণ আছে?

ক
20টি
খ
15টি
গ
18টি
ঘ
16টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আট বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কতটি কর্ণ আছে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা= n(n - 3)/2

∴ আট বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণ আছে = 8(8 - 3)/2 = 20

২,৬৪০.

দুটি পূরক কোণের একটি অপরটির 4/5 অংশ হলে বৃহত্তম কোণটির মান কত?

ক
ক) 40°
খ
খ) 80°
গ
গ) 60°
ঘ
ঘ) 50°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি পূরক কোণের একটি অপরটির 4/5 অংশ হলে বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 90°

∴ কোণদ্বয়ের অনুপাত 4/5 = 4 : 5
∴ বৃহত্তম কোণ = 90° × 5/9
= 50°

২,৬৪১.

১ বর্গ ফুট = কত বর্গ ইঞ্চি?

ক
ক) ৫২৮০ বর্গ ইঞ্চি
খ
খ) ৩০.৪৮ বর্গ ইঞ্চি
গ
গ) ১৪৪ বর্গ ইঞ্চি
ঘ
ঘ) ৩৯.৩৮ বর্গ ইঞ্চি

ব্যাখ্যা

১ বর্গ ফুট = ১ ফুট × ১ ফুট
= ১২ ইঞ্চি × ১২ ইঞ্চি
= ১৪৪ বর্গ ইঞ্চি
∴ ১৪৪ বর্গ ইঞ্চি = ১ বর্গ ফুট

২,৬৪২.

একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ হলে, বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত হবে?

ক
৫ সরলকোণ
খ
৬ সরলকোণ
গ
৭ সরলকোণ
ঘ
৮ সরলকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ হলে, বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ = (n - 2) × 180⁰
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ টি
∴ বহুভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি = (৯ - ২) × ১৮০⁰
= ৭ × ১৮০⁰
= ১২৬০⁰
= ১২৬০⁰/ ১৮০⁰ সরলকোণ
= ৭ সরলকোণ

২,৬৪৩.

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের OB ব্যাসার্ধ, AC স্পর্শক বৃত্তটিকে B বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। ∠ABO = কত ডিগ্রি?

ক
ক) ৮০°
খ
খ) ৮৫°
গ
গ) ৯০°
ঘ
ঘ) ৯৫°

ব্যাখ্যা

যে কোন বিন্দুতে অংকিত স্পর্শক ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।

২,৬৪৪.

আয়তাকার চতুর্ভুজের ভূমি ১২ একক ও উচ্চতা ৮ একক হলে ক্ষেত্রফল ও পরিধির অনুপাত কত?

ক
২ : ৫
খ
৫ : ৩
গ
৪ : ৫
ঘ
১২ : ৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আয়তাকার চতুর্ভুজের ভূমি ১২ একক ও উচ্চতা ৮ একক হলে ক্ষেত্রফল ও পরিধির অনুপাত কত?

সমাধান:
আয়তাকার চতুর্ভুজ বা আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ১২ × ৮
= ৯৬ বর্গ একক

পরিধি = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (১২ + ৮) = ৪০ একক

ক্ষেত্রফল : পরিধি = ৯৬ : ৪০
= ২৪ : ১০
= ১২ : ৫
∴ ক্ষেত্রফল ও পরিধির অনুপাত = ১২ : ৫

২,৬৪৫.

একটি বর্গের পরিসীমা 48 সে.মি.। একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বর্গটির ক্ষেত্রফলের চেয়ে 4 বর্গ সে.মি. কম। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 14 সে.মি. হলে, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

ক
24 সে.মি.
খ
48 সে.মি.
গ
50 সে.মি.
ঘ
42 সে.মি.

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
বর্গের পরিসীমা 48 সে.মি.
বর্গের একবাহুর দৈর্ঘ্য = 48/4 = 12
বর্গের ক্ষেত্রফল = 12² = 144 বর্গ সে.মি.

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (144 - 4) বর্গ সে.মি.
= 140 বর্গ সে.মি.

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য =14 সে.মি.
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 140/14 = 10 সে.মি.

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(14 + 10) সে.মি.
= 2 × 24
= 48 সে.মি.

২,৬৪৬.

বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ 60° হলে, বৃত্তস্থ কোণ কত?

ক
ক) 60°
খ
খ) 30°
গ
গ) 120°
ঘ
ঘ) 180°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ 60° হলে, বৃত্তস্থ কোণ কত?

সমাধান:
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ 60° হলে, বৃত্তস্থ কোণ 30°

২,৬৪৭.

A square is drawn inside of a circle with a perimeter of 38π. What is the perimeter of that square?

ক
76√3
খ
76π
গ
76√2
ঘ
152√2

ব্যাখ্যা

Question: A square is drawn inside of a circle with a perimeter of 38π. What is the perimeter of that square?

Solution:
Circumference of the circle 2πr = 38π
r = 38π / 2π
r = 19
So, Diameter of a circle d = 2r
= 2 × 19
= 38
If the square’s side is a, its diagonal distance
d = a√2
⇒a = d / √2
⇒a = 38/√2
a = 19√2

So, perimeter 4a = 19√2 × 4
= 76√2

∴ Perimeter of a that square is 76√2

২,৬৪৮.

একটি চাকা ৪৪ কি.মি. পথ অতিক্রম করতে ১০০০ বার ঘুরলে চাকাটির ব্যাসার্ধ কত?

ক
৬ মিটার
খ
৭ মিটার
গ
৯ মিটার
ঘ
৮ মিটার

ব্যাখ্যা

এখানে, ৪৪ = ৪৪ × ১০০০ মি.
আমরা জানি, পরিধি × ঘূর্ণন সংখ্যা = অতিক্রান্ত দূরত্ব
বা, 2πr × ১০০০ = ৪৪ ×১০০০
বা, 2πr = ৪৪
বা, r = ৪৪/2π
বা, r = ২২/π
বা, r = ২২/(২২/৭)
বা, r = ২২ × (৭/২২)
বা, r = ৭

২,৬৪৯.

যে সামন্তরিকের সকল বাহু সমান, কিন্তু কোণগুলো সমকোণ, তাকে বলে-

ক
ক) বর্গক্ষেত্র
খ
খ) ট্রাপিজিয়াম
গ
গ) আয়তক্ষেত্র
ঘ
ঘ) রম্বস

ব্যাখ্যা

সামান্তরিক: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোনগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।
আয়তক্ষেত্র: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
বর্গক্ষেত্র: যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুই পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোনগুলো সমকোণ তাকে বর্গক্ষেত্র বলে।

২,৬৫০.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 18 সে.মি. এবং প্রস্থ 10 সে.মি. । আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে 25 সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

ক
7.2 সে.মি.
খ
7.3 সে.মি.
গ
7.0 সে.মি.
ঘ
7.1 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 18 সে.মি. এবং প্রস্থ 10 সে.মি. । আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে 25 সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = 18 × 10 = 180 বর্গ সে.মি.
নতুন আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x সে.মি. হলে,
ক্ষেত্রফল = 25x বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
25x = 180
⇒ x = 180/25
∴ x = 7.2 সে.মি.

অতএব, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 7.2 সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।

২,৬৫১.

একটি ত্রিভুজাকার প্রিজমের সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং b = 2a। প্রিজমের উচ্চতা h = 10 সেমি এবং আয়তন 40 ঘন সেমি। a ও b এর মান কত?

ক
ক) 3 সেমি; 5 সেমি
খ
খ) 6 সেমি; 7 সেমি
গ
গ) 2 সেমি; 4 সেমি
ঘ
ঘ) 1সেমি; 9 সেমি

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজাকার প্রিজমের আয়তন = (1/2)abh = 40
⇒a × b × 10 = 80
⇒ 2 a² = 8
⇒ a = 2 সেমি
∴ b = 4 সেমি

২,৬৫২.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. এবং প্রস্থ ১০ সে.মি., আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ৩০ সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

ক
৬ সে.মি.
খ
৮ সে.মি.
গ
৪ সে.মি.
ঘ
৫ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. এবং প্রস্থ ১০ সে.মি., আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ৩০ সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (১৮ × ১০) বর্গ সে.মি.
= ১৮০ বর্গ সে.মি.

এখন,
নতুন আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ক সে.মি. হলে,
∴ ক্ষেত্রফল = ৩০ক বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
৩০ক = ১৮০
⇒ ক = ১৮০/৩০
∴ ক = ৬ সে.মি.

২,৬৫৩.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ২৫√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

ক
৩০ সে.মি.
খ
২৫ সে.মি.
গ
৪০ সে.মি.
ঘ
৫০ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ২৫√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ২৫√৩ বর্গ সে.মি

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)(বাহু)^২
এখন, (√৩/৪)(বাহু)^২ = ২৫√৩
⇒ (১/৪)(বাহু)^২ = ২৫
⇒ (বাহু)^২ = ২৫ × ৪
⇒ (বাহু)^২ = ১০০
⇒ বাহু = ১০

∴ ত্রিভুজের পরিসীমা = ১০ + ১০ + ১০
= ৩০ সে.মি.

২,৬৫৪.

একটি ভবনের পাদদেশ থেকে 75 মিটার দূরে ভূতলস্থ কোনো বিন্দুতে ভবনের ছাদের উন্নতি কোণ 30° হলে, ভবনের উচ্চতা নির্ণয় করুন।

ক
43.60 মিটার (প্রায়)
খ
43.50 মিটার (প্রায়)
গ
42.29 মিটার (প্রায়)
ঘ
43.30 মিটার (প্রায়)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ভবনের পাদদেশ থেকে 75 মিটার দূরে ভূতলস্থ কোনো বিন্দুতে ভবনের ছাদের উন্নতি কোণ 30° হলে, ভবনের উচ্চতা নির্ণয় করুন।

সমাধান:

মনে করি,
ভবনের উচ্চতা AB = h মিটার,
ভবনের পাদদেশ থেকে BC = 75 মিটার দূরে ভূতলম্ব C বিন্দুতে ভবনের ছাদের A বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 30°
এখন
tan∠ACB = AB/BC
বা, tan30° =h/75
বা,1/√3 = h/75
বা, h = 75/√3
বা, h = (75 ×√3)/(√3 ×√3)
বা, h = (75 ×√3)/3
বা, h = 25√3

ভবনের উচ্চতা 25√3 = 43.30 মিটার

২,৬৫৫.

দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে বলে-

ক
সম্পূরক কোণ
খ
প্রবৃদ্ধ কোণ
গ
বিপ্রতীপ কোণ
ঘ
সূক্ষ্মকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে বলে-

সমাধান:
• এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ এবং এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়।
• দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
• দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি এক সমকোণ বা 90° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের পূরক কোণ বলা হয়।
• দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের সম্পূরক কোণ বলা হয়।
• যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

২,৬৫৬.

A বৃত্তের ব্যাসার্ধ r এবং B বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3r/4। A এবং B বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

ক
1 : 3
খ
3 : 4
গ
16 : 9
ঘ
1 : 4

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
A বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
A বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

B বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3r/4
B বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3r/4)²
= 9πr²/16

A এবং B বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = πr² : 9πr²/16
= 1 : 9/16
= 16 : 9

২,৬৫৭.

ABC এবং DEF ত্রিভুজে, ∠C = ∠F, AC = DF এবং BC = EF। যদি AB = 4x - 2 এবং DE = 3x - 1 হয়, তাহলে x এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC এবং DEF ত্রিভুজে, ∠C = ∠F, AC = DF এবং BC = EF। যদি AB = 4x - 2 এবং DE = 3x - 1 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ΔABC এবং ΔDEF এ, ∠C = ∠F, AC = DF এবং BC = EF।

যেহেতু দুটি ত্রিভুজের দুটি বাহু এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান, তাই বাহু-কোণ-বাহু (SAS) সর্বসমতার শর্ত অনুযায়ী, △ABC এবং △DEF সর্বসম।অর্থাৎ, △ABC≅△DEF

∴ AB = DE
⇒ (4x - 2) = (3x - 1)
∴ x = 1

২,৬৫৮.

৯০° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

ক
০°
খ
৯০°
গ
১০০°
ঘ
১৮০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৯০° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

সমাধান:
বিপ্রতীপ কোণ :
যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
অর্থাৎ
৯০°কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৯০°

২,৬৫৯.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 14 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

ক
18 সে.মি.
খ
20 সে.মি.
গ
21 সে.মি.
ঘ
24 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 14 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

সমাধান:

আমরা জানি
ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় সেই বিন্দুকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।
∴ EX : EF = 2 : 1
⇒ 14 : EF = 2 : 1
⇒ 14/EF = 2/1
⇒ 2EF = 14
⇒ EF = 14/2
⇒ EF = 7

∴ ত্রিভুজটির মধ্যমা = FX = EX + EF = 14 + 7 = 21 সে.মি.

২,৬৬০.

একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৬ হলে, বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত হবে?

ক
চার সমকোণ
খ
ছয় সমকোণ
গ
সাত সমকোণ
ঘ
আট সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৬ হলে, বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ = (n - 2) × 180⁰

বহুভুজের বাহুর সংখ্যা 6 টি
∴ বহুভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি = (6 - 2) × 180⁰
= 4 × 180⁰
= 720⁰/ 90⁰ সমকোণ
= 8 সমকোণ

২,৬৬১.

একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণ ১২০° হলে, তার বাহুর সংখ্যার বর্গের মান কত?

ক
১৬
খ
২৫
গ
৩৬
ঘ
৪৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণ ১২০° হলে, তার বাহুর সংখ্যার বর্গের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ = ১২০°
∴ সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = ১৮০° - ১২০°
= ৬০°

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°
∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/৬০°
= ৬ টি

সুতরাং, বাহু সংখ্যার বর্গ = ৬^২ = ৩৬

২,৬৬২.

ঘড়িতে ৮ টা বাজে তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত ডিগ্রি হবে?

ক
ক) ৯০°
খ
খ) ৯৫°
গ
গ) ১০৫°
ঘ
ঘ) ১২০°

ব্যাখ্যা

মধ্যবর্তী কোণ = ৩৬০° - {(৬০ x H - ১১ x M)/২}°
= ৩৬০° - {(৬০ x ৮ - ১১ x ০)/২}°
= ৩৬০°-২৪০°
= ১২০°

২,৬৬৩.

একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 2 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্বদূরত্ব 3 মিটার। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 60 বর্গমিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটি কত?

ক
13 মিটার
খ
15 মিটার
গ
19 মিটার
ঘ
21 মিটার

ব্যাখ্যা

মনে করি,
সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x + 2) মিটার
∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2)(x + x+ 2) × 3 বর্গ মিটার
= (3/2)(2x + 2)
= (3/2) 2(x +1)
= 3x + 3
প্রশ্নমতে,
3x + 3 = 60
বা, 3x = 57
বা, x = 19

বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 19 + 2 = 21 মিটার।

২,৬৬৪.

বৃত্তের স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত ডিগ্রি?

ক
45°
খ
90°
গ
120°
ঘ
180°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব।
মনে করি,
O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের উপরস্থ P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক এবং OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
PT ⊥ OP এবং ∠OPT = 90°

২,৬৬৫.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের ভূমির দৈর্ঘ্য 16মিঃ এবং ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিঃ হলে অপর দুইবাহুর প্রতিটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 12 মিঃ
খ
খ) 8 মিঃ
গ
গ) 9 মিঃ
ঘ
ঘ) 10 মিঃ

ব্যাখ্যা

খানে ভূমি b = 16 মিঃ
অপর বাহুর প্রতিটির দৈর্ঘ্য a = ?
∴ ক্ষেত্রফল = b/4.√(4a² - b²⁾ = 48
বা, 16/4√(4a² - 16²) = 48
বা, 4√(4a²- 256) = 48
√(4a²- 256) = 12
বা, 4a² - 256 = 144
বা, 4a² = 256 + 144 = 400
বা, a²= 100
∴ a = 10

২,৬৬৬.

চিত্র হতে b = কত?

ক
ক) 36°
খ
খ) 32°
গ
গ) 30°
ঘ
ঘ) 34°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চিত্র হতে b = কত?

সমাধান:
প্রদত্ত চিত্র হতে পাই,
সম্পূরক কোণের ক্ষেত্রে,
3a° + 2a° = 180°
⇒ 5a° = 180°
⇒ a° = 180°/5
∴ a° = 36°

আবার,
বিপ্রতীপ কোণের ক্ষেত্রে,
2a° = b + 40°
⇒ (2 × 36°) = b + 40°
⇒ b + 40° = 72°
⇒ b = 72° - 40°
∴ b = 32°

২,৬৬৭.

একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 35 বর্গসে.মি. এবং একটি কর্ণ 7 সে.মি. হলে অপর কর্ণের পরিমাণ কত?

ক
8 সে.মি.
খ
10 সে.মি.
গ
15 সে.মি.
ঘ
12 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 35 বর্গসে.মি. এবং একটি কর্ণ 7 সে.মি. হলে অপর কর্ণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 35 বর্গসে.মি.
একটি কর্ণ = 7 সে.মি.
ধরি, অপর কর্ণ = d

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × (প্রথম কর্ণ × দ্বিতীয় কর্ণ)

প্রশ্নমতে,
(1/2) × 7 × d = 35
বা, 7 × d = 35 × 2
বা, 7d = 70
বা, d = 70/7
∴ d = 10

∴ অপর কর্ণের পরিমাণ = 10 সে.মি.।

২,৬৬৮.

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২.৫ গুণ। বাগানের প্রস্থ ৩৬ মিটার হলে, বাগানের পরিসীমা কত?

ক
২৪৮ মিটার
খ
২৫৬ মিটার
গ
২৫২ মিটার
ঘ
২৬০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২.৫ গুণ। বাগানের প্রস্থ ৩৬ মিটার হলে, বাগানের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাগানের প্রস্থ = ৩৬ মিটার
∴ বাগানের দৈর্ঘ্য = (৩৬ × ২.৫) মিটার
= ৯০ মিটার

∴ বাগানের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (৯০ + ৩৬) মিটার
= (২ × ১২৬) মিটার
= ২৫২ মিটার

∴ বাগানের পরিসীমা = ২৫২ মিটার ।

২,৬৬৯.

একটি বর্গাকার বাগানের চারপাশ ঘিরে ৩ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট রাস্তা আছে। রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল ২৫৬ বর্গ মিটার হলে রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

ক
১৩৬ বর্গমিটার
খ
১৪৮ বর্গমিটার
গ
১৫৬ বর্গমিটার
ঘ
১৭২ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের চারপাশ ঘিরে ৩ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট রাস্তা আছে। রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল ২৫৬ বর্গ মিটার হলে রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
বর্গাকার বাগানের একবাহুর দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ ৩ মিটার রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = (x + ৩ + ৩) = (x + ৬) মিটার

প্রশ্নমতে,
(x + ৬)^২ = ২৫৬
⇒ (x + ৬)^২ = (১৬)^২
⇒ x + ৬ = ১৬
⇒ x = ১৬ - ৬
∴ x = ১০

রাস্তাসহ বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ২৫৬ বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (২৫৬ - ১০০) বর্গমিটার
= ১৫৬ বর্গমিটার।

২,৬৭০.

আয়তাকার একটি ক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ১২ মিটার বড় এবং ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৩৬ মিটার হলে ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?

ক
ক) ৪০ মি. ও ৫২মি.
খ
খ) ৪২ মি. ও ৩০মি.
গ
গ) ৪০ মি. ও ২৮ মি.
ঘ
ঘ) ৩৮ মি. ও ২৬ মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ১২ মিটার বড় এবং ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৩৬ মিটার হলে ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = x মিটার
দৈর্ঘ্য = (x + ১২) মিটার

শর্তমতে,
২(x + ১২ + x) = ১৩৬
বা, ২x + ১২ = ৬৮
বা, ২x = ৬৮ - ১২
বা, ২x = ৫৬
বা, x = ৫৬/২
∴ x = ২৮
অর্থাৎ প্রস্থ = ২৮ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = (২৮ + ১২) মিটার = ৪০ মিটার

২,৬৭১.

একটি আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 846 বর্গ সে.মি.। যদি ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 5 : 4 : 3 হয়, তবে এর দৈর্ঘ্য কত?

ক
12 সে.মি.
খ
15 সে.মি.
গ
18 সে.মি.
ঘ
21 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 846 বর্গ সে.মি.। যদি ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 5 : 4 : 3 হয়, তবে এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য(a), প্রস্থ(b) ও উচ্চতা(c) যথাক্রমে 5x, 4x ও 3x সে.মি.

আমরা জানি,
আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2 (ab + bc + ca)
⇒ 846 = 2(5x ⋅ 4x + 4x ⋅ 3x + 3x ⋅ 5x)
⇒ 2(20x² + 12x² + 15x²) = 846
⇒ 47x² = 846/2
⇒ 47x² = 423
⇒ x² = 9
∴ x = 3

অতএব, দৈর্ঘ্য = 5 × 3 = 15 সে.মি.

২,৬৭২.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গসে.মি. হলে ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

ক
22 সে.মি.
খ
18 সে.মি.
গ
15 সে.মি.
ঘ
12 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গসে.মি. হলে ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² বর্গসে.মি.

সুতরাং,
(√3/4) × a² = 9√3
⇒ a² = 9 × 4
⇒ a² = 36
∴ a = 6

পরিসীমা = 3a সে.মি. = (3 × 6) সে.মি. = 18 সে.মি.

২,৬৭৩.

যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ 10% বৃদ্ধি করা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

ক
10%
খ
21%
গ
20%
ঘ
50%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ 10% বৃদ্ধি পায় তবে এর ক্ষেত্রফ শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 100 একক
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (100)² বর্গ একক
= 10000 বর্গ একক

আবার,
বাহুর দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি করা হলে,
∴ বাহুর নতুন দৈর্ঘ্য = (100 + 100 এর 10%) একক
= (100 + 100 এর 10/100) একক
= (100 + 10) একক
= 110 একক

∴ বর্গক্ষেত্রের নতুন ক্ষেত্রফল = (110)² = 12100 বর্গ একক

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = (12100 - 10000) বর্গ একক = 2100 বর্গ একক

এখন,
10000 বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = 2100 বর্গ একক
∴ 1 বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = 2100/10000 বর্গ একক
∴ 100 বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = {(2100 × 100)/10000} বর্গ একক
= 21 বর্গ একক

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে = 21%

২,৬৭৪.

একটি অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ 16 সে.মি. হলে, অর্ধবৃত্তটির পরিসীমা কত?

ক
82.27 সে.মি.
খ
97.25সে.মি.
গ
90 সে.মি.
ঘ
72 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ 16 সে.মি. হলে, অর্ধবৃত্তটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = (2r + πr) সে.মি.
= r (2 + π) সে.মি.
= 16 (2 + 3.1416) সে.মি.
= 82.27 সে.মি.

∴ অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = 82.27 সে.মি.।

২,৬৭৫.

সাইকেলের চাকার পাশাপাশি দুইটি শলার মধ্য ১৫° কোণ হলে চাকাতে কয়টি শলা রয়েছে?

ক
২০ টি
খ
২৮ টি
গ
২৪ টি
ঘ
৩২ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সাইকেলের চাকার পাশাপাশি দুইটি শলার মধ্য ১৫° কোণ হলে চাকাতে কয়টি শলা রয়েছে?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি চাকা = ৩৬০°
∴ যেকোনো ২ টি শলার মধ্যে কোণ ১৫° হলে,
মোট শলা আছে = ৩৬০°/১৫°
= ২৪ টি।

২,৬৭৬.

চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে, ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম কোণের পার্থক্য কত?

ক
ক) ৪৫°
খ
খ) ৬০°
গ
গ) ১৩৫°
ঘ
ঘ) ৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে, ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
দেয়া আছে,
চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ১ + ২ + ২ + ৩ = ৮
ক্ষুদ্রতম কোণ = (৩৬০ এর ১/৮)° = ৪৫°
বৃহত্তম কোণ = (৩৬০ এর ৩/৮)° = ১৩৫°
ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম কোণের পার্থক্য = ১৩৫° - ৪৫° = ৯০°

২,৬৭৭.

২৭৫° কোণকে কী কোণ বলে?

ক
প্রবৃদ্ধ কোণ
খ
সমকোণ
গ
সূক্ষ্মকোণ
ঘ
স্থূলকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৭৫° কোণকে কী কোণ বলে?

সমাধান:
→ ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

→ যে কোণের পরিমাণ ৯০° তাকে সমকোণ বলে।

→ ৯০° অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।

→ ৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।

∴ ২৭৫° কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।

২,৬৭৮.

১ ফুট = কত সেন্টিমিটার?

ক
ক) ২.৫৪ সে.মি
খ
খ) ১২ সে.মি
গ
গ) ৩০.৪৮ সে.মি
ঘ
ঘ) কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

১ ফুট = ৩০.৪৭৯৯৯৯০২৪৬৪ সেন্টিমিটার
=৩০.৪৮ সে.মি

২,৬৭৯.

সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয় নিচের কোনটি দিয়ে?

ক
ক) ৫ঃ১২ঃ১৩
খ
খ) ৮ঃ১৫ঃ১৭
গ
গ) ২ঃ৩ঃ৫
ঘ
ঘ) ৯ঃ৪০ঃ৪১

ব্যাখ্যা

সমকোণী ত্রিভুজ আঁকতে হলে অবশ্যই অতিভুজ হবে অপর দুইটি বাহুর বর্গের সমষ্টির বর্গমূল। ২ঃ৩ঃ৫ দিয়ে যা সম্ভব নয়।

২,৬৮০.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 16√3 বর্গমিটার হলে, এর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 5 মিটার
খ
খ) 8 মিটার
গ
গ) 9 মিটার
ঘ
ঘ) 10 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 16√3 বর্গমিটার হলে, এর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমাবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3 × a²)/4
প্রশ্নমতে,
(√3 × a²)/4 = 16√3
⇒ a²/4 = 16
⇒ a² = 64
⇒ a = √64
a = 8
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = 8 মিটার

২,৬৮১.

মূল বিন্দু হতে (-5, 5) এবং (5, k) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান হলে, k এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 3
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

(0, 0) হতে (-5, 5) এর দূরত্ব = √{(০+5)²+(0-5)²}
= √50
আবার, (0, 0) হতে (5, k) এর দূরত্ব = √{(0-5)²+(0-k)²}
= √(k² + 25)

∴√(k² + 25) = √50
বা, k² = 25
বা, k = 5

২,৬৮২.

একটি বর্গাকার জমির ক্ষেত্রফল 98 বর্গ মিটার । বর্গাকার জমির পাশে একটি আয়তাকার জমি আছে যার দৈর্ঘ্য বর্গাকার জমির কর্ণের 150 %। আবার আয়তাকার জমির প্রস্থ ও দৈর্ঘ্যর এক তৃতীয়াংশ। আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল বর্গাকার জমির ক্ষেত্রফলের শতকরা কত অংশ —

ক
ক) 25%
খ
খ) 50%
গ
গ) 150%
ঘ
ঘ) 200%

ব্যাখ্যা

বর্গাকার জমির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৯৮ = ৭√২ মিটার
তাহলে, কর্ণ = ১৪ মিটার
সুতরাং, আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য = (১৪ X ১.৫) = ২১ মিটার
আয়তাকার জমির প্রস্থ = ৭ মিটার
আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল = ১৪৭ বর্গমিটার

১৪৭ বর্গমিটার ৯৮ বর্গমিটারের ১৫০%

২,৬৮৩.

বিষমবাহু ত্রিভুজের-

ক
তিনটি বাহু অসমান
খ
তিনটি বাহু সমান
গ
দুইটি বাহু সমান
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বিষমবাহু ত্রিভুজের-

সমাধান:
বিষমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহু অসমান ।
ত্রিভুজ হওয়ার শর্ত:
• ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
• ত্রিভুজের • ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর। যেকোনো দুই বাহুর অন্তর তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
• ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের সমান।
• ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান।

২,৬৮৪.

৩ সে.মি., ৪ সে.মি., ৫ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট তিনটি ঘনক গলিয়ে নতুন একটি ঘনক তৈরি করা হল। নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?

ক
৪ সে.মি.
খ
৫ সে.মি.
গ
৬ সে.মি.
ঘ
৮ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩ সে.মি., ৪ সে.মি., ৫ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট তিনটি ঘনক গলিয়ে নতুন একটি ঘনক তৈরি করা হল। নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের আয়তন = বাহু^৩
∴ নতুন ঘনকের আয়তন = ৩^৩ + ৪^৩ + ৫^৩ ঘন সে.মি.
= ২৭ + ৬৪ + ১২৫ ঘন সে.মি.
= ২১৬ ঘন সে.মি.

∴ নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = (২১৬)^১/৩ সে.মি.
= ৬ সে.মি.

২,৬৮৫.

একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ২১০ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ২/৫ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত মিটার?

ক
৩০ মিটার
খ
৩৫ মিটার
গ
২৫ মিটার
ঘ
৪২ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ২১০ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ২/৫ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ক মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ২ক/৫ মিটার

প্রশ্নমতে,
২(ক + ২ক/৫) = ২১০
বা, ২{(৫ক + ২ক)/৫} = ২১০
বা, ২ × ৭ক/৫ = ২১০
বা, ১৪ক/৫ = ২১০
বা, ১৪ক = ৫ × ২১০
বা, ১৪ক = ১০৫০
বা, ক = ১০৫০/১৪
∴ ক = ৭৫

∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = (২ × ৭৫)/৫ মিটার
= ১৫০/৫ মিটার
= ৩০ মিটার

২,৬৮৬.

কোনো ত্রিভুজের তিন কোণের দ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে-

ক
পরিকেন্দ্র
খ
অন্তঃকেন্দ্র
গ
ভরকেন্দ্র
ঘ
লম্ববিন্দু

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে-

সমাধান:
অন্তঃকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
পরিকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।
ভরকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।

২,৬৮৭.

নিচের কোনটি সঠিক?

ক
cot( - θ) = cotθ
খ
cos(- θ) = - cosθ
গ
sin(- θ) = sinθ
ঘ
cosec(- θ) = - cosecθ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
বিভিন্ন কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের ক্ষেত্রে:
⇒ sin(- θ) = - sinθ
⇒ cos(- θ) = cosθ
⇒ tan(- θ) = - tanθ
⇒ cosec(- θ) = - cosecθ
⇒ sec(- θ) = secθ
⇒ cot( - θ) = - cotθ

২,৬৮৮.

(2, - 5) বিন্দুটি নিচের কোন সরল রেখার উপর অবস্থিত?

ক
4x + 3y = 5
খ
2x - y + 1 = 0
গ
2x + y = 1
ঘ
4x - 3y = 23

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2, - 5) বিন্দুটি নিচের কোন সরল রেখার উপর অবস্থিত?

সমাধান:
x = 2, y = - 5 বসিয়ে,

অপশন (ক)- এ, 4x + 3y = 5
4(2) + 3(- 5) = 8 - 15 = - 7 ≠ 5

অপশন (খ)- এ, 2x - y + 1 = 0
2(2) - (- 5) + 1 = 4 + 5 + 1 = 10 ≠ 0

অপশন (গ)- এ, 2x + y = 1
2(2) + (- 5) = 4 - 5 = - 1 ≠ 1

অপশন (ঘ)- এ, 4x - 3y = 23
4(2) - 3(- 5) = 8 + 15 = 23
∴ 23 = 23 ;যা সত্য

অতএব, বিন্দুটি 4x - 3y = 23 রেখার উপর অবস্থিত।

২,৬৮৯.

কোন বৃত্তের 8 ইঞ্চি দীর্ঘ একটি জ্যা কেন্দ্র হতে 3 ইঞ্চি দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাস কত ইঞ্চি?

ক
ক) 10 ইঞ্চি
খ
খ) 6 ইঞ্চি
গ
গ) 5 ইঞ্চি
ঘ
ঘ) 12 ইঞ্চি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : কোন বৃত্তের 8 ইঞ্চি দীর্ঘ একটি জ্যা কেন্দ্র হতে 3 ইঞ্চি দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাস কত ইঞ্চি?
সমাধান :

বৃত্তটির জ্যা AB = 8 ইঞ্চি; বৃত্তটির কেন্দ্র O হতে জ্যা AB এর উপর অঙ্কিত লম্ব OC = 3 ইঞ্চি; বৃত্তটির ব্যাসার্ধ OB = ?

বৃত্তের কেন্দ্র হতে যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং BC = 8/2 = 4 ইঞ্চি।
এখন OCB সমকোণী ত্রিভুজ হতে, OB = √(OC² + BC²)
= √(32 + 42)
= √(9 + 16)
= √25
= 5 ইঞ্চি

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাস = ২× ৫ = ১০ ইঞ্চি

২,৬৯০.

আয়তাকার একটি ক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ১২ মিটার বড় এবং ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৩৬ মিটার হলে ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ২৮ মিটার
খ
খ) ৪০ মিটার
গ
গ) ৪৮ মিটার
ঘ
ঘ) ৩২ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ১২ মিটার বড় এবং ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৩৬ মিটার হলে ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = x মিটার
দৈর্ঘ্য = (x + ১২) মিটার

শর্তমতে,
২(x + ১২ + x) = ১৩৬
বা, ২x + ১২ = ৬৮
বা, ২x = ৬৮ - ১২
বা, ২x = ৫৬
বা, x = ৫৬/২
∴ x = ২৮
অর্থাৎ প্রস্থ = ২৮ মিটার

∴ দৈর্ঘ্য = (২৮ + ১২) মিটার
= ৪০ মিটার

২,৬৯১.

2r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের -
i. পরিধি 4πr একক
ii. ব্যাস 4r একক
iii. ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক

ক
ক) i
খ
খ) ii, iii
গ
গ) i. ii
ঘ
ঘ) i, ii ও iii

ব্যাখ্যা

এখানে, r₁ = 2r
পরিধি = 2πr₁ = 4πr
ব্যাস = 2r₁ = 4r
ক্ষেত্রফল =πr²₁= 4πr²

২,৬৯২.

একটি বর্গেক্ষেত্রের এক বাহু ১২ সে.মি হলে ঐ বর্গেক্ষেত্রের কর্ণের এক-চতুর্থাংশের উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ক
১৪৪ বর্গ সে.মি
খ
১০৮ বর্গ সে.মি
গ
৫৪ বর্গ সে.মি
ঘ
১৮ বর্গ সে.মি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গেক্ষেত্রের এক বাহু ১২ সে.মি হলে ঐ বর্গেক্ষেত্রের কর্ণের এক-চতুর্থাংশের উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গেক্ষেত্রের এক বাহু = ১২ সে.মি

∴ বর্গেক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = (√২ × এক বাহু) একক
= (√২ × ১২) সে.মি
= ১২√২ সে.মি

∴ কর্ণের এক-চতুর্থাংশ = (১২√২ × ১/৪) সে.মি
= ৩√২ সে.মি

অর্থাৎ অংকিত নতুন বর্গক্ষেত্রে এক বাহু = ৩√২ সে.মি

∴ অংকিত নতুন বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৩√২)^২ বর্গ সে.মি
= (৯ × ২) বর্গ সে.মি
= ১৮ বর্গ সে.মি

২,৬৯৩.

cot(π + x) = কত?

ক
tanx
খ
cot2x
গ
- cotx
ঘ
cotx

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cot(π + x) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছ,
cot(π + x)

আমরা জানি,
তৃতীয় চতুর্ভাগে tan, cot ধনাত্মক

এখানে,
cot(π + x) = cot(180° + x) [যার অবস্থান তৃতীয় চতুর্ভাগে]
= cotx

২,৬৯৪.

একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৬ টি হলে, অন্ত:কোণ সমূহের সমষ্টি হবে -

ক
ক) ৭ সমকোণ
খ
খ) ৬ সমকোণ
গ
গ) ৮ সমকোণ
ঘ
ঘ) ৯ সমকোণ

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n-২)×180° [এখানে n = সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা]
(6-2)×180° = 720°
= 720°/90° = 8 সমকোণ [যেহেতু 90° = 1 সমকোণ]

২,৬৯৫.

একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ১৫০ বর্গমিটার হলে, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ৩√৩
খ
খ) ৬√৩
গ
গ) ৩√৫
ঘ
ঘ) ৫√৩

ব্যাখ্যা

ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক মিটার হলে,
ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ৬ক^২ বর্গমিটার.

সুতরাং ৬ক^২ =১৫০
বা, ক^২ = ২৫
বা, ক = ৫

সুতরাং ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫ মিটার।
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য= ক√৩ মিটার
= ৫√৩ মিটার।

২,৬৯৬.

cosθ = 1/2 হলে cotθ এর মান কত?

ক
1
খ
1/2
গ
√3
ঘ
1/√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cosθ = 1/2 হলে cotθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosθ = 1/2
বা, cosθ = cos60°
∴ θ =60°

এখন,
cotθ
= cot60°
= 1/√3

২,৬৯৭.

নিচের কোন ক্ষেত্রে দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হয় না?

ক
ক) উভয় ত্রিভুজের দুই বাহু এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান হলে
খ
খ) উভয় ত্রিভুজের তিনটি কোণ সমান হলে
গ
গ) উভয় ত্রিভুজের তিন বাহু পরস্পর সমান হলে
ঘ
ঘ) খ ও গ

ব্যাখ্যা

দুইটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে সমান হলেও ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম নাও হতে পারে।

দুটি ত্রিভুজ পরস্পর সর্বসম হওয়ার জন্য শর্তসমূহ:
একটির তিন বাহু অপরটির তিন বাহুর সমান।
একটির দুই কোণ ও এক বাহু অপরটির দুই বাহু ও অনুরূপ বাহুর সমান।
একটির দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ অপরটির দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণের সমান।

২,৬৯৮.

একটি কোণের 4 গুণ 180° হলে কোণটির সম্পূরক কোণের মান কত?

ক
45°
খ
0
গ
135°
ঘ
140°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণের 4 গুণ 180° হলে কোণটির সম্পূরক কোণের মান কত?

সমাধান:
দেওয়াআছে,
একটি কোণের 4 গুণ = 180°

এখন,
ধরি, কোণটি = x°

প্রশ্নমতে,
⇒ 4x = 180°
⇒ x = 180°/4
∴ x = 45°

আমরা জানি,
দুটি কোণের যোগফল যদি 180° হয়, তবে একটি কোণকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলা হয়।

সুতরাং, সম্পূরক কোণ = 180° - 45° = 135°

২,৬৯৯.

কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে?

ক
ক) ৬ : ৫ : ৪
খ
খ) ১২ : ৮ : ৪
গ
গ) ৯ : ১২ : ১৫
ঘ
ঘ) ৬ : ৪ : ৩

ব্যাখ্যা

কোনো ত্রিভুজের এক বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের যোগফলের সমান হলে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হয়।
৫^২ + ৪^২ ≠ ৬^২
৮^২ + ৪^২ ≠ ১২^২
৯^২ + ১২^২ = ১৫^২
৪^২ + ৩^২ ≠ ৬^২

২,৭০০.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 10 মিটার এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 16 মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 36 বর্গ মিটার
খ
খ) 42 বর্গ মিটার
গ
গ) 48 বর্গ মিটার
ঘ
ঘ) 52 বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি,b = 16 মি.
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 10 মি.

আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)
=(16/4)√(4 × 10² - 16²)
=4√(400 - 256)
=4√144
= 4 × 12
= 48 বর্গ মিটার