লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

জ্যামিতি

মোট প্রশ্ন১০,৭৫২এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

জ্যামিতি

PrepBank · পাতা ২৩ / ১০৭ · ২,২০১–২,৩০০ / ১০,৭৫২

২,২০১.
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য y একক হলে, ত্রিভুজটির মধ্যমাগুলোর যোগফল কত?
  1. ক
    3√3y
  2. খ
    3√3/2
  3. গ
    √3y/2
  4. ঘ
    3√3y/2
ব্যাখ্যা
মধ্যমা2 = y2 - y2/4 = 3y2/4
মধ্যমা = y√3/2
নির্ণেয় যোগফল = 3 × y√3/2 = 3√3y/2
২,২০২.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    ক) √৩ সে.মি
  2. খ
    খ) ২√৩ সে.মি
  3. গ
    গ) ৩√৩ সে.মি
  4. ঘ
    ঘ) ৪√৩ সে.মি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : একটি সমবাহু ত্রিভুুজের ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?

সমাধান :
আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)(বাহু)২
বা, বাহু২ = (৪ × ১৬√৩)/√৩ 
বা, বাহু = √৬৪
∴ বাহু = ৮ সেমি

আমরা জানি,
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
(১/২) × ৮ × উচ্চতা = ১৬√৩
৪ × উচ্চতা = ১৬√৩
উচ্চতা = ১৬√৩/৪
উচ্চতা = ৪√৩
২,২০৩.
বৃত্তের ক্ষেত্রফল 32π হলে এর পরিসীমা কত?
  1. ক
    4π√2
  2. খ
    3π√2
  3. গ
    8π√2
  4. ঘ
    6π√2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের ক্ষেত্রফল 32π হলে এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
প্রশ্নমতে
πr2 = 32π  [বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2]
⇒ r2 = 32
⇒ r = √32
= 4√2

∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
= 2π(4√2)
= 8π√2
২,২০৪.
কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 20% কমে গেলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল শতকরা কত ভাগ কমবে?
  1. ক
    ক) ১০%
  2. খ
    খ) ২০%
  3. গ
    গ) ৩৬%
  4. ঘ
    ঘ) ৪২%
ব্যাখ্যা

ধরি,
ব্যাসার্ধ = r,
∴ ক্ষেত্রফল = πr২
২০% কমে ব্যাসার্ধ = ৮০r/১০০
= ৪r/৫
ক্ষেত্রফল = π(৪r/৫)2
= (১৬πr2)/২৫
ক্ষেত্রফল হ্রাস পায় = πr২ - (১৬/২৫)πr২
= (৯/২৫)πr২
ক্ষেত্রফল হ্রাসের হার = ((৯/২৫)πr২ × ১০০)/πr২
= ৩৬%

২,২০৫.
এক সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় ৩ ও ৪ সে.মি. হলে এর অতিভুজের মান কত?
  1. ক
    ক) ৪ সে.মি.
  2. খ
    খ) ৫সে.মি.
  3. গ
    গ) ৭ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ৮ সে.মি.
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, অতিভুজ২ = লম্ব২ + ভূমি২
⇒ অতিভুজ২ = ৩২ + ৪২
⇒ অতিভুজ২ = ২৫
∴ অতিভুজ = ৫ সে.মি.
২,২০৬.
একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার 5/6 অংশ এবং উচ্চতা 18 মি. হলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    270 বর্গমিটার
  2. খ
    363 বর্গমিটার
  3. গ
    225 বর্গমিটার
  4. ঘ
    400 বর্গমিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার 5/6 অংশ এবং উচ্চতা 18 মিটার হলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের উচ্চতা = 18 মিটার
সামান্তরিকের ভূমি = 18 এর 5/6
= (18 × 5)/6
= 90/6
= 15 মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= 15 × 18
= 270 বর্গমিটার

২,২০৭.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এবং ৬ সে.মি.। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত? 
  1. ক
    ১০ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    ১২ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    ২৪ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ৪৮ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এবং ৬ সে.মি.। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৪ × ৬ বর্গ সে.মি.
= ১২ বর্গ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল = ১২ বর্গ সে.মি.।
২,২০৮.
যদি 3(sec2θ + tan2θ) = 5, 0° < θ < 90°, তাহলে cosecθ এর মান হল-
  1. ক
    1/2
  2. খ
    1/√3
  3. গ
    2
  4. ঘ
    (2√3)/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 3(sec2θ + tan2θ) = 5, 0° < θ < 90°, তাহলে cosecθ এর মান হল-

সমাধান:
3(sec2θ + tan2θ) = 5
⇒ 3(1 + tan2θ + tan2θ) = 5
⇒ 1 + 2tan2θ = 5/3
⇒ 2tan2θ = 2/3
⇒ tanθ = 1/√3
⇒ θ = 30°

∴ cosec30° = 2
২,২০৯.
cosec(90° - θ) = 3/2 হলে, tanθ এর মান কত?
  1. ক
    - √5/2
  2. খ
    √5/2
  3. গ
    √5/3
  4. ঘ
    √2/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosec(90° - θ) = 3/2 হলে, tanθ এর মান কত?

সমাধান: 
cosec(90° - θ) = 3/2
or, secθ = 3/2
or, sec2θ = 9/4
or, 1 + tan2θ = 9/4
or, tan2θ = 9/4 - 1
or, tan2θ = 5/4
∴ tanθ = √5/2
২,২১০.
কোনো রাশিকে বামপক্ষ হতে চিহ্নের ডানপক্ষে বা ডানপক্ষ থেকে বামপক্ষে আনতে হলে চিহ্নের পরিবর্তন করতে হয়। একে কী পদ্ধতি বলা হয়?
  1. ক
    ক) একান্তর
  2. খ
    খ) পক্ষান্তর
  3. গ
    গ) আড়গুণ
  4. ঘ
    ঘ) কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
কোন সমীকরণের যেকোনো পদকে একপক্ষ থেকে চিহ্ন পরিবর্তন করে অপরপক্ষে সরাসরি স্থানান্তর করা যায়। এই স্থানান্তরকে বলে পক্ষান্তর বিধি।
সুত্রঃ গণিত বোর্ড বই, সপ্তম শ্রেণী।
২,২১১.
কোনো ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটি অপরটির 3 গুণ এবং ছোটটির দৈর্ঘ্য ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতার সমান। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 128 বর্গসে.মি. হলে ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা কত?
  1. ক
    4 সে.মি.
  2. খ
    8 সে.মি.
  3. গ
    10 সে.মি.
  4. ঘ
    16 সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটি অপরটির 3 গুণ এবং ছোটটির দৈর্ঘ্য ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতার সমান। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 128 বর্গসে.মি. হলে ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে,
ছোটটির দৈর্ঘ্য = উচ্চতা = x সে.মি. 
এবং বড়টির দৈর্ঘ্য = 3x সে.মি.

প্রশ্নমতে,
 ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 128
⇒ (1/2) × উচ্চতা × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি = 128
⇒ (1/2) × x × (x + 3x) = 128
⇒ 4x2/2 = 128
⇒ 2x2 = 128
⇒ x2 = 64
⇒ x = 8

∴ ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা = 8 সে.মি.

২,২১২.
ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত যথাক্রমে ৫ঃ৬ঃ৭ হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?
  1. ক
    ক) ৭০°
  2. খ
    খ) ৬০°
  3. গ
    গ) ৬৫°
  4. ঘ
    ঘ) ৫৫°
ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ = (১৮০ × (৭/১৮))° = ৭০°

২,২১৩.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৩৬π বর্গ মিটার। বৃত্তটির ব্যাস কত?
  1. ক
    ক) ৬ মিটার
  2. খ
    খ) ১২ মিটার
  3. গ
    গ) ১৮ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ২৪ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৩৬π বর্গ মিটার। বৃত্তটির ব্যাস কত? 

সমাধান:
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = ৩৬×π = π×৬২

আমরা জানি , বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π× ব্যাসার্ধ২

∴ব্যাসার্ধ = ৬ মিটার
অতএব, ব্যাস =৬ × ২ = ১২ মিটার

২,২১৪.
একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 8 সে. মি. ও ক্ষেত্রফল 44 বর্গ সে. মি. হলে, রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে. মি.?
  1. ক
    13 সে. মি.
  2. খ
    11 সে. মি.
  3. গ
    9 সে. মি.
  4. ঘ
    6 সে. মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 8 সে. মি. ও ক্ষেত্রফল 44 বর্গ সে. মি. হলে, রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে. মি.?

সমাধান: 
ধরি,
অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = a সে. মি.

আমরা জানি,
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, 44 = 1/2 × a × 8
বা, 44 = 4a
∴ a = 11

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = 11 সে. মি.
২,২১৫.
ত্রিভুজের দুই বাহুর লম্বকেন্দ্র যেখানে ছেদ করে তাকে কী বলে?
  1. ক
    অন্তঃকেন্দ্র
  2. খ
    পরিকেন্দ্র
  3. গ
    লম্বকেন্দ্র
  4. ঘ
    ভরকেন্দ্র
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে অংকিত বৃত্তটির কেন্দ্রকে কী বলে? 

সমাধান: 
অন্তঃকেন্দ্র: 
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে। 

পরিকেন্দ্র: 
- কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে অংকিত বৃত্তকে বলে পরিবৃত্ত এবং বৃত্তের কেন্দ্রকে বলে পরিকেন্দ্র। 
- ত্রিভুজের দুই বাহুর লম্বকেন্দ্র যেখানে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে। 

ভরকেন্দ্র: 
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
২,২১৬.
কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) ৯০°
  2. খ
    খ) ১৮০°
  3. গ
    গ) ২৭০°
  4. ঘ
    ঘ) ৩৬০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?

সমাধান:

আমরা জানি, যে কোন ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
চিত্র হতে, x + y + z = 180° = এক সরলকোণ

প্রাপ্ত বহি:স্থ কোণগুলো যথাক্রমে (180° - x), (180° - y), (180° - z)
∴ বহি:স্থ কোণ তিনটির যোগফল = (180° - x) + (180° - y) + (180° - z)
= 540° - (x + y +z)
= 540° - 180°
= 360°
২,২১৭.
বৃত্তের ব্যাস দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে এর পরিধি কতগুণ বৃদ্ধি পায়?
  1. ক
    ২ গুণ
  2. খ
    ৩ গুণ
  3. গ
    ৪ গুণ
  4. ঘ
    ৫ গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে এর পরিধি কতগুণ বৃদ্ধি পায়?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাস = 2r
তাহলে, বৃত্তের পরিধি = 2πr
ব্যাস দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে, নতুন ব্যাস = 2r + (2 × 2r) = 6r

∴ নতুন পরিধি = 2π × (6r/2) [ব্যাসার্ধ = ব্যাস/2]
= 2π × 3r
= 6πr
∴ পরিধি বৃদ্ধি পেয়েছে (6πr - 2πr) = 4πr
যা 2πr এর দ্বিগুণ।
২,২১৮.
একটি আয়তাকার মাঠের বাইরে চারদিকে একটি রাস্তা আছে। মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার, প্রস্থ ৪০ মিটার এবং রাস্তার চওড়া ২ মিটার। রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য কত মিটার?
  1. ক
    ৪৪
  2. খ
    ৫০
  3. গ
    ৪৬
  4. ঘ
    ৫৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের বাইরে চারদিকে একটি রাস্তা আছে। মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার, প্রস্থ ৪০ মিটার এবং রাস্তার চওড়া ২ মিটার। রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার
রাস্তার চওড়া ২ মিটার
রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য = ৫০ + (২ + ২) মিটার
= (৫০ + ৪) মিটার
= ৫৪ মিটার
২,২১৯.
xcos30° = ycosec45° হলে x2 : y2 =?
  1. ক
    1 : 3
  2. খ
    8 : 13
  3. গ
    8 : 3
  4. ঘ
    5 : 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: xcos30° = ycosec45° হলে x2 : y2 =?

সমাধান:
xcos30° = ycosec45° 
⇒ x/y = cosec45° / cos30°
⇒ x/y = √2 / (√3/2)
⇒  x/y = 2√2 / √3
⇒  x2/y2 = (2√2)2 / (√3)2 = 8/3
x2 : y2 = 8 : 3 
২,২২০.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 13 একক এবং ভূমি 10 একক হলে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    60 বর্গ একক
  2. খ
    72 বর্গ একক
  3. গ
    50 বর্গ একক
  4. ঘ
    36 বর্গ একক
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 13 একক এবং ভূমি 10 একক হলে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
সমান বাহু, a = 13 একক
ভূমি, b = 10 একক

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a2 - b2)
∴ ক্ষেত্রফল = (10/4) × √{4 × (13)2 - (10)2}
= (10/4) × √(4 × 169 - 100)
= (10/4) × √(676 - 100)
= (10/4) × √576
= (10/4) × 24
= 10 × 6
= 60 বর্গ একক।

অতএব, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 60 বর্গ একক।

২,২২১.
একটি ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 294 বর্গ সে.মি. হলে, এক ধারের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    5 সে.মি.
  2. খ
    7 সে.মি.
  3. গ
    8 সে.মি.
  4. ঘ
    12 সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 294 বর্গ সে.মি. হলে, এক ধারের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 294 বর্গ সে.মি.

ধরি, ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

আমরা জানি,
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a2 বর্গ সে.মি.
⇒ 6a2 = 294
⇒ a2 = 294/6
⇒ a2 = 49
⇒ a = √49 = 7 সে.মি.

∴ ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য = 7 সে.মি.

২,২২২.
একটি বৃত্তের ব্যাস ও পরিধির পার্থক্য 90 সে.মি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করুন।
  1. ক
    20 সে.মি.
  2. খ
    21.01 সে.মি.
  3. গ
    23.33 সে.মি.
  4. ঘ
    22.01 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ও পরিধির পার্থক্য 90 সে.মি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করুন।

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r
∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r 
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নানুসারে,
2πr - 2r = 90
বা, 2r(π - 1) = 90
বা, r = 90/{2(π - 1)}
বা, r = 45/(3.1416 - 1)
বা, r = 45/2.1416
∴ r = 21.01 সে.মি. (প্রায়)

∴ নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ 21.01 সে.মি. (প্রায়)
২,২২৩.
একটি বৃত্তের ব্যাস 8 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    π/3
  2. খ
    7π/2
  3. গ
    2π/3
  4. ঘ
    8π/3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 8 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 8/2 সে.মি. = 4 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr2θ)/360°
= (π × 42× 60°)/360°
= (π × 16× 60°)/360°
= 8π/3

২,২২৪.
নিহা ১৫ মিটার পথ যাওয়ার পরে ৯০° কোণে কত মিটার পথ অতিক্রম করলে তার প্রথম ও শেষ অবস্থানের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১৭ মিটার হবে?
  1. ক
    ৫ মিটার
  2. খ
    ৬ মিটার
  3. গ
    ১০ মিটার
  4. ঘ
    ৮ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিহা ১৫ মিটার পথ যাওয়ার পরে ৯০° কোণে কত মিটার পথ অতিক্রম করলে তার প্রথম ও শেষ অবস্থানের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১৭ মিটার হবে?

সমাধান: 
এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে,
যেখানে,
অবস্থানের মধ্যবর্তী দূরত্ব, অতিভুজ =  ১৭ মিটার
প্রথম চলার পথ, ভূমি = ১৫ মিটার

ধরি,
দ্বিতীয় চলার পথ, লম্ব = ”ক” মিটার

অতিভুজ২ = ভূমি২ + লম্ব২
⇒ ১৭২ = ১৫২ + ক২
⇒ ২৮৯ = ২২৫ + ক২
⇒ ২৮৯ - ২২৫ = ক২
⇒ ক২ = ৬৪
⇒ ক = √৬৪
∴ ক = ৮

অর্থাৎ ১৫ মিটার পথ যাওয়ার পরে ৯০° কোণে ৮ মিটার পথ অতিক্রম করলে প্রথম ও শেষ অবস্থানের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১৭ মিটার হবে
২,২২৫.
O কেন্দ্র বিশিষ্ট একটি বৃত্তে AB একটি ব্যাস ভিন্ন জ্যা। OD, AB - এর উপর লম্ব এবং AD এর দৈর্ঘ্য 2.5 সে.মি হলে AB = ?
  1. ক
    2.5 সে.মি
  2. খ
    3 সে.মি
  3. গ
    5 সে.মি
  4. ঘ
    7.5 সে.মি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট একটি বৃত্তে AB একটি ব্যাস ভিন্ন জ্যা। OD, AB - এর উপর লম্ব এবং AD এর দৈর্ঘ্য 2.5 সে.মি হলে AB = ?

সমাধান:

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোন জ্যা - এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা কে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ D, AB এর সমদ্বিখন্ডক বিন্দু অর্থ্যাৎ মধ্যবিন্দু।
∴ AB = 2 . AD
= 2 × 2.5 = 5 সে.মি
২,২২৬.
x = 3siny হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = 3siny হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
siny এর রেঞ্জ = [-1, 1]
অতএব, siny এর সর্বোচ্চ মান 1

x এর সর্বোচ্চ মান =3 × 1 = 3
২,২২৭.
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভূজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) 0°
  2. খ
    খ) 90°
  3. গ
    গ) 180°
  4. ঘ
    ঘ) 360°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভূজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি কত?

সমাধান:
বৃত্তে অন্তলিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
২,২২৮.
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 36 মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
  1. ক
    ক) 36 বর্গমিটার
  2. খ
    খ) 49 বর্গমিটার
  3. গ
    গ) 64 বর্গমিটার
  4. ঘ
    ঘ) 81 বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 36 মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ পরিসীমা = 4a

প্রশ্নমতে,
4a = 36
∴ a = 9

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)2
= 92
= 81 বর্গমিটার
২,২২৯.
বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন জ্যা এর দৈর্ঘ্য 8√2 সে.মি. এবং কেন্দ্র হতে ঐ জ্যা এর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য 2 সে.মি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 20
ব্যাখ্যা

বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন জ্যা এর দৈর্ঘ্য 8√2 সে.মি.
এবং কেন্দ্র হতে ঐ জ্যা এর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য 2 সে.মি. হলে
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r2 = (8√2 / 2)2 + 22
বা, r2 = 32 + 4
বা, r = 6
সুতরাং, ব্যাসার্ধ ৬ সে.মি.

২,২৩০.
1 মি. বাহু বিশিষ্ট একটি ঘনক আকৃতির বক্সে 10 সেমি বাহু বিশিষ্ট কতটি ঘনক রাখা যাবে?
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 100
  3. গ
    গ) 200
  4. ঘ
    ঘ) 1000
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ 1 মি. বাহু বিশিষ্ট একটি ঘনক আকৃতির বক্সে 10 সেমি বাহু বিশিষ্ট কতটি ঘনক রাখা যাবে?

সমাধানঃ
ঘনক সংখ্যা = বড় ঘনকের আয়তন / ছোট ঘনকের আয়তন
= (100 × 100 × 100)  / (10 × 10 × 10)
= 1000
 
২,২৩১.
একটি আয়তাকার বাক্সের ধারণক্ষমতা ১২ ঘনফুট। দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা দ্বিগুণ করে নতুন একটি বাক্স বানালে, তার ধারণক্ষমতা কত ঘনফুট হবে?
  1. ক
    ২৪
  2. খ
    ৫৪
  3. গ
    ৬০
  4. ঘ
    ৭২
  5. ঙ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাক্সের ধারণক্ষমতা ১২ ঘনফুট। দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা দ্বিগুণ করে নতুন একটি বাক্স বানালে, তার ধারণক্ষমতা কত ঘনফুট হবে?

সমাধান:
আয়তাকার বাক্সের দৈর্ঘ্য = ক ফুট
আয়তাকার বাক্সের প্রস্থ  = খ  ফুট
আয়তাকার বাক্সের উচ্চতা = গ ফুট

আয়তাকার বাক্সের আয়তন = কখগ ঘনফুট

প্রশ্নমতে
কখগ = ১২ ঘন ফুট

নতুন আয়তাকার বাক্সের দৈর্ঘ্য = ২ক ফুট
নতুন আয়তাকার বাক্সের প্রস্থ  = ২খ  ফুট
নতুন আয়তাকার বাক্সের উচ্চতা = ২গ ফুট

আয়তাকার বাক্সের আয়তন = ২ক × ২খ × ২গ ঘনফুট
= ৮ × কখগ ঘনফুট
= ৮ × ১২ ঘনফুট
= ৯৬ ঘনফুট
২,২৩২.
কোন বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১০৫° হলে, বৃত্তস্থ কোণ হবে -
  1. ক
    ৫২.৫°
  2. খ
    ৩৭.৫°
  3. গ
    ১২৭.৫°
  4. ঘ
    ৮৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১০৫° হলে, বৃত্তস্থ কোণ হবে -

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ তার কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

∴ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১০৫° হলে, বৃত্তস্থ কোণ হবে = ১০৫°/২
= ৫২.৫°
২,২৩৩.
একটি বর্গাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল ২৫০০ বর্গমিটার। মাঠের চারপাশে বেড়া দেওয়া আছে। বেড়ার দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ২০০ মিটার
  2. খ
    ৩০০ মিটার
  3. গ
    ৪০০ মিটার
  4. ঘ
    ৫০০ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল ২৫০০ বর্গমিটার। মাঠের চারপাশে বেড়া দেওয়া আছে। বেড়ার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাঠের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গমিটার

তাহলে,
মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √২৫০০ মিটার
= ৫০ মিটার

এখন,
মাঠটির পরিসীমাই হবে মাঠটির বেড়ার দৈর্ঘ্য।
∴ মাঠটির পরিসীমা = চার বাহুর সমষ্টি
= (৪ × ৫০) মিটার
= ২০০ মিটার
২,২৩৪.
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার অর্ধেক। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থের তিন গুণ এবং ক্ষেত্রফল 768 বর্গমিটার। প্রতিটি 40 সে.মি. বর্গাকার পাথর দিয়ে বর্গক্ষেত্রটি বাঁধাতে মোট কতটি পাথর লাগবে?
  1. ক
    2400 টি
  2. খ
    1600 টি
  3. গ
    1800 টি
  4. ঘ
    6400 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার অর্ধেক। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থের তিন গুণ এবং ক্ষেত্রফল 768 বর্গমিটার। প্রতিটি 40 সে.মি. বর্গাকার পাথর দিয়ে বর্গক্ষেত্রটি বাঁধাতে মোট কতটি পাথর লাগবে?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 3x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = x × 3x = 3x2
∴ 3x2 = 768 
বা, x2 = 256
বা, x = 16 মিটার

এখন,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 3x = 3 × 16 = 48 মিটার
আবার, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার অর্ধেক
এখন,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
= 2 (16 + 48) মিটার
= 2 × 64 মিটার
= 128 মিটার

অতএব, শর্তমতে বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = 128/2 = 64 মিটার।
এখন, বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 64/4 = 16 বর্গমটার

∴ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = 162 বর্গ মিটার= 256 বর্গ মিটার

প্রতিটি পাথরের ক্ষেত্রফল= 402 বর্গ সে.মি. =1600 বর্গ সে.মি. = 0.16 বর্গমিটার

∴ মোট পাথর লাগবে = 256 ÷ 0.16 = 1600 টি
২,২৩৫.
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ 8 সে.মি. হলে, পরিধির মান কত?
  1. ক
    25.13 সে.মি. 
  2. খ
    50.27 সে.মি. 
  3. গ
    48.16 সে.মি. 
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ 8 সে.মি. হলে, পরিধির মান কত?

সমাধান:
ব্যাসার্ধ, r = 8 সে.মি. হলে ব্যাস, 2r = 8 × 2 = 16 সে.মি. 

∴ পরিধি = 2πr
= 16 × 3.1416
= 50.27 সে.মি.
২,২৩৬.
একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ২৮ মিটার ও প্রস্থ ১৭ মিটার। চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত?
  1. ক
    ৪৫ মিটার
  2. খ
    ২২.৫ মিটার
  3. গ
    ৯০ মিটার
  4. ঘ
    ১২০ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ২৮ মিটার ও প্রস্থ ১৭ মিটার। চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(২৮ + ১৭) মিটার
= ৯০ মিটার
২,২৩৭.
একটি চাকার ব্যাস 4.5 মি. হলে,চাকাটি 360 মি. পথ অতিক্রম করতে কত বার ঘুরবে?
  1. ক
    ক) 23
  2. খ
    খ) 25
  3. গ
    গ) 27
  4. ঘ
    ঘ) 29
ব্যাখ্যা

চাকাটি একবারে অতিক্রম করে তার পরিধির সমান দুরত্ব।
∴ পরিধি = 2πr = πD = π×4.5 = 14.14 মি.
∴ চাকাটি 360 মি. পথ অতিক্রম করতে ঘুরবে = 360/14.14 = 25.46 = 25 বার

২,২৩৮.
একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল 165 বর্গ সে.মি. বৃদ্ধি পায়। ঐ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    7√2 সে.মি.
  2. খ
    14√2 সে.মি.
  3. গ
    16√2 সে.মি.
  4. ঘ
    8√2 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল 165 বর্গ সে.মি. বৃদ্ধি পায়। ঐ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি 
 বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
বর্গের ক্ষেত্রফল = x2 সে.মি

প্রশ্নমতে 
(x + 5)2 - x2 = 165
বা, x2 + 2 . x . 5 + 52 - x2 = 165
বা, 10x + 25 = 165 
বা, 10x = 165 - 25
বা, 10x = 140
∴ x = 14

∴ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 14√2 সে.মি.
২,২৩৯.
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ৫ সে.মি. ও ভূমির দৈর্ঘ্য ৬ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ১২ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    ৬ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    ১৬ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ২৪ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ৫ সে.মি.
এবং ভূমির দৈর্ঘ্য, b = ৬ সে.মি.
সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a2 - b2) বর্গ একক
                                            = (৬/৪)√(৪ × ৫২ - ৬২) বর্গ সে.মি.
                                            = (৬/৪)√(৪ × ২৫ - ৩৬) বর্গ সে.মি.
                                            =  (৬/৪)√(৬৪) বর্গ সে.মি.
                                            = (৬/৪) × ৮ বর্গ সে.মি.
                                            = ১২ বর্গ সে.মি.

অন্যভাবে 
ক্ষেত্রফল = ১/২ × ৬ × √{৫২ - (৬/২)২} = ১/২ × ৬ × ৪ = ১২
[ ক্ষেত্রফল = ১/২ × সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি × উচ্চতা]
উচ্চতা = √{অতিভুজ২ - (ভূমি/২)২}
২,২৪০.
যদি sinA = 3/5, তাহলে cosA = কত? 
  1. ক
    1
  2. খ
    5/3
  3. গ
    4/5
  4. ঘ
    3/4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি sinA = 3/5, তাহলে cosA = কত? 

সমাধান: 
cosA = √(1 - sin2A)
= √{1 - (3/5)2}
= √(1 - 9/25)
= √{(25 - 9)/25}
= √(16/25)
= 4/5
২,২৪১.
কোন ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কী বলে?
  1. ক
    পরিকেন্দ্র
  2. খ
    অন্তঃকেন্দ্র
  3. গ
    ভরকেন্দ্র
  4. ঘ
    বহিঃকেন্দ্র
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কী বলে?
 
সমাধান:
ভরকেন্দ্র: কোন ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ভরকেন্দ্র বলে।
 
পরিকেন্দ্র: ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের লম্ব-সমদ্বিখন্ডকত্রয় সমবিন্দুগামী হয়, এই বিন্দুকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।  
 
অন্তঃকেন্দ্র: ত্রিভুজের কোণের সমদ্বিখন্ডকত্রয় একটি নির্দিষ্ট বিন্দগামী হয়, এই নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে অন্তঃকেন্দ্র বলে। 
 
বহিঃকেন্দ্র: ত্রিভুজের একটি কোণের অন্ত-সমদ্বিখন্ডক এবং অপর দুই কোণের বহি-সমদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে বহিঃকেন্দ্র বলে।
২,২৪২.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি কোণের সমষ্টি ১৭০ ডিগ্রি হলে অপর কোণটির মান কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ৯০
  2. খ
    ৭০
  3. গ
    ১০
  4. ঘ
    ২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি কোণের সমষ্টি ১৭০ ডিগ্রি হলে অপর কোণটির মান কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি। 
একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি কোণের সমষ্টি ১৭০ ডিগ্রি
∴ অপর কোণের মান = (১৮০ - ১৭০) = ১০°
২,২৪৩.
একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 150 বর্গমিটার। ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 
  1. ক
    ক) 2√3 মিটার
  2. খ
    খ) 3√3 মিটার
  3. গ
    গ) 3√3 মিটার
  4. ঘ
    ঘ) 5√3 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 150 বর্গমিটার। ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
মনে করি,
ঘনকটির এক ধার = a
ঘনকটির সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 6a2 
প্রশ্নানুসারে,
6a2 = 150
বা, a2 = 25
      a = 5

ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3 × 5 = 5√3 মিটার
২,২৪৪.
4 মিটার বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র একটি বৃত্তের ভিতরে সম্পূর্ণরূপে অন্তর্লিখিত আছে। বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত মিটার?
  1. ক
    8
  2. খ
    2π
  3. গ
    4π
  4. ঘ
    8π
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4 মিটার বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র একটি বৃত্তের ভিতরে সম্পূর্ণরূপে অন্তর্লিখিত আছে। বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 4
∴ বর্গের কর্ণ = √2 × বাহু = √2 × 4 = 4√2 মিটার

অর্থাৎ, বৃত্তের ব্যাস = 4√2
ব্যাসার্ধ = 2√2

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (2√2)2 = 8π
২,২৪৫.
ঘনকের ধার ‍7 একক হলে ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    49 বর্গ একক
  2. খ
    343 বর্গ একক
  3. গ
    147 বর্গ একক
  4. ঘ
    294 বর্গ একক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ঘনকের ধার ‍7 একক হলে ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য = a = 7 একক 
আমরা জানি,
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a2 বর্গ একক
= 6 × 72 বর্গ একক
= 294 বর্গ একক
২,২৪৬.
ΔABC -এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বাড়ানো হলো। ∠A = 60°, ∠B = 90° হলে, ∠ACD = কত?
  1. ক
    160°
  2. খ
    150°
  3. গ
    120°
  4. ঘ
    135°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC -এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বাড়ানো হলো। ∠A = 60°, ∠B = 90° হলে, ∠ACD = কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের এক বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহি:স্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∴ ∠ACD = ∠A + ∠B
= 60° + 90°
= 150°
২,২৪৭.
কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ -
  1. ক
    ক) সূক্ষ্মকোণ
  2. খ
    খ) সমকোণ
  3. গ
    গ) স্থূলকোণ
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
- কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ ।
- কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ।
২,২৪৮.
কোনো ত্রিভুজের ৩টি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি হবে কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ১৮০
  2. খ
    ৩৬০
  3. গ
    ২৭০
  4. ঘ
    ৩৩০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের ৩টি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি হবে কত ডিগ্রি?

সমাধান:

আমরা জানি,
যে কোন ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
চিত্র হতে, x + y + z = 180° = এক সরলকোণ

প্রাপ্ত বহি:স্থ কোণগুলো যথাক্রমে (180° - x), (180° - y), (180° - z)
∴ বহি:স্থ কোণ তিনটির যোগফল = (180° - x) + (180° - y) + (180° - z)
= 540° - (x + y +z)
= 540° - 180°
= 360°
২,২৪৯.
চারটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য মিটারে নিম্নরূপ। কোনটি দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ অংকন সম্ভব?
  1. ক
    6, 12, 13
  2. খ
    2, 12, 14
  3. গ
    5, 12, 13
  4. ঘ
    4, 8, 9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চারটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য মিটারে নিম্নরূপ। কোনটি দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ অংকন সম্ভব?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজের এক বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের যোগফলের সমান হলে ত্রিভুজটি সমকোণী।
এখানে,

62 + 122 ≠  132
22 + 122 ≠  142
42 + 82 ≠  92

52 + 122 = 132  (সমকোণী ত্রিভুজ)
যেহেতু একবাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের যোগফলের সমান।
তাই, 52 + 122 = 132 দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ।
২,২৫০.
একটি কোণের দ্বিগুণ 50° হলে, তার পূরক কোণ কত?
  1. ক
    40°
  2. খ
    45°
  3. গ
    55°
  4. ঘ
    65°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণের দ্বিগুণ 50° হলে, তার পূরক কোণ কত?

সমাধান: 
ধরি,
একটি কোণ = x হলে, 
কোণটির দ্বিগুণ হবে = 2x

প্রশ্নমতে,
2x = 50°
বা, x = 50°/2
∴ x = 25° 

∴  25° এর পূরক কোণ = (90° - 25°)
= 65°  ।

২,২৫১.
6 সেমি ব্যাসার্ধ এবং 7 সেমি উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের আয়তন কত ঘনসেমি?
  1. ক
    ক) 252π ঘন সেমি
  2. খ
    খ) 260π ঘন সেমি
  3. গ
    গ) 282π ঘন সেমি
  4. ঘ
    ঘ) 256π ঘন সেমি
ব্যাখ্যা
6 সেমি ব্যাসার্ধ  এবং 7 সেমি  উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের আয়তন কত ঘনসেমি?
 
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ r = 6 সেমি এবং উচ্চতা h = 7 সেমি।

নির্ণেয় আয়তন =πr2h ঘন একক
                        = π × 62 × 7
                        = 252π ঘন সেমি
২,২৫২.
ABCD আয়তক্ষেত্রের AC কর্ণের উপর অংকিত বর্গের পরিসীমা কত?
  1. ক
    ক) ১০ মিঃ
  2. খ
    খ) ২০ মিঃ
  3. গ
    গ) ৩০ মিঃ
  4. ঘ
    ঘ) ৪০ মিঃ
ব্যাখ্যা
কর্ণ, AC = √(AB2 + BC2)
= √(৩৬ + ৬৪)
= ১০ মিঃ
∴ বর্গের পরিসীমা = ৪ × ১০
= ৪০ মিঃ
২,২৫৩.
কোনো সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি p এবং উচ্চতা q হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত হবে? 
  1. ক
    pq বর্গ একক
  2. খ
    pq/2 বর্গ একক
  3. গ
    p2 + q2 বর্গ একক
  4. ঘ
    (p2 + q2)/2 বর্গ একক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি p এবং উচ্চতা q হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = p
সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা = q

আমরা জানি, 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা  
= (1/2) × p × q বর্গ একক  
= (1/2) × pq বর্গ একক 
= pq/2 বর্গ একক  । 
২,২৫৪.
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার হলে এর পরিসীমা কত?
  1. ক
    ক) ৩০ মি
  2. খ
    খ) ৬০ মি
  3. গ
    গ) ১২০ মি
  4. ঘ
    ঘ) ৯০ মি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার হলে এর পরিসীমা কত?

সমাধান: 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৯০০ = ৩০ মিটার 

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = (৩০ × ৪) = ১২০ মিটার
২,২৫৫.
নিচের কোনটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল?
i. (1/2)(a + b)h
ii. (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টির গড়)×(উচ্চতা)
iii. (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × (উচ্চতা)
  1. ক
    ক) i
  2. খ
    খ) i, ii
  3. গ
    গ) iii
  4. ঘ
    ঘ) ii, iii
ব্যাখ্যা

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টির গড়)×(উচ্চতা)
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (½)(a + b)h

২,২৫৬.
105° কোনের সম্পূরক কোণ কত?
  1. ক
    ক) 55°
  2. খ
    খ) 65°
  3. গ
    গ) 75°
  4. ঘ
    ঘ) 255°
ব্যাখ্যা

দুইটি কোনের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

২,২৫৭.
সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৪৫ ডিগ্রি হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?
  1. ক
    ২২.৫০°
  2. খ
    ৬৭.৫০° 
  3. গ
    ৪১.৫০° 
  4. ঘ
     ৩৪°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৪৫ ডিগ্রি হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০° এবং বাকি দুটি কোণ সূক্ষ্মকোণ, যাদের সমষ্টি ৯০°।
ধরি, ক্ষুদ্রতম সূক্ষ্মকোণটি হলো ক।
তাহলে, বৃহত্তম সূক্ষ্মকোণটি হবে (ক + ৪৫)°।
শর্তমতে, সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি ৯০°।
ক + (ক + ৪৫) = ৯০°
⇒ ২ক + ৪৫ = ৯০°
⇒ ২ক = ৯০° - ৪৫°
⇒ ২ক = ৪৫°
⇒ ক = ৪৫°/২
∴ ক = ২২.৫০°
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণটির মান হলো ২২.৫০°।

২,২৫৮.
কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতটির মান অসংজ্ঞায়িত?
  1. ক
    ক) sin 90°
  2. খ
    খ) sec 90°
  3. গ
    গ) cos 90°
  4. ঘ
    ঘ) sec 0°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতটির মান অসংজ্ঞায়িত?

সমাধান:
sec 90° এর মান অসংজ্ঞায়িত।

অন্যদিকে, 
sec 0° এর মান 1
cos 90° এর মান 0 
sin 90° এর মান 1
২,২৫৯.
sinA = 1/2 হলে, sin3A এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    1/√2
  3. গ
    0
  4. ঘ
    √3/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sinA = 1/2 হলে, sin3A এর মান কত?

সমাধান:
[Sin0° = 0;  Sin30° = 1/2;  Sin45° = 1/√2;  Sin60° = √3/2;  Sin90° = 1]

দেওয়া আছে,
sinA = 1/2
⇒ sinA = sin30°
∴ A = 30°

এখন,
sin3A = sin(3 × 30°)
= sin 90°
= 1
২,২৬০.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২৫% বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কত কত শতাংশ বৃদ্ধি পাবে?
  1. ক
    ৪৮.২৫%
  2. খ
    ৬২.২৫%
  3. গ
    ৫৬.২৫%
  4. ঘ
    ২৫%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২৫% বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কত কত শতাংশ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান: 
ধরি,
পূর্বের ব্যাসার্ধ = r
∴ পূর্বের ক্ষেত্রফল, a = πr2

২৫% বৃদ্ধি পেলে ব্যাসার্ধ = r + (r এর 25%)
= 5r/4
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = π(5r/4)2
= 25πr2/16
= 25a/16

বৃদ্ধি = 25a/16 - a
= 9a/16

∴ শতকরা বৃদ্ধি = {(9a/16)/a} 100%
= 56.25%
২,২৬১.
একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 10 : 13 : 15 : 17 : 20 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?
  1. ক
    72°
  2. খ
    144°
  3. গ
    102°
  4. ঘ
    108°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 10 : 13 : 15 : 17 : 20 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
অনুপাতগুলোর যোগফল = 10 + 13 + 15 + 17 + 20 = 75

একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (5 - 2) × 180°
= 540°

∴ বৃহত্তম কোণের মান = 540° × (20/75)
= 144°
২,২৬২.
রেখা 3x - 4y = 12 এর ঢাল কত?
  1. ক
    3/4
  2. খ
    - 3/4
  3. গ
    4/3
  4. ঘ
    - 4/3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রেখা 3x - 4y = 12 এর ঢাল কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ:
3x - 4y = 12 এটিকে y = mx + c আকারে লিখলে,
⇒ - 4y = - 3x + 12
⇒ y = 3/4x - 3
এখানে x এর সহগ হলো রেখার ঢাল m = 3/4

∴ রেখাটির ঢাল = 3/4

২,২৬৩.
নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?
  1. ক
    ক) x2 + y2 = 1
  2. খ
    খ) ax2 + bx + c = 0
  3. গ
    গ) y2 = 4x
  4. ঘ
    ঘ) x2 + 2y2 = 4
ব্যাখ্যা

বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ঠ্যঃ
১. x  ও y - এর দ্বিঘাত সমীকরণ।
২. x2  এর সহগ = y2 এর সহগ
৩. xy সম্বলিত পদ অনুপস্থিত।
প্রশ্নের অপশন ক) বৃত্তের সমীকরণের সবগুলো শর্ত পুরণ করে।
তাই অপশন ক) সঠিক উত্তর।

২,২৬৪.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 4 : 5 : 9 হলে, ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?
  1. ক
    40°
  2. খ
    70°
  3. গ
    55°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 4 : 5 : 9 হলে, ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
অনুপাতের যোগফল = (4 + 5 + 9)
= 18

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণের মান = (180° এর 4/18)
= 40°
২,২৬৫.
কত ডিগ্রী এর জন্য Cosecant এর মান সর্বোচ্চ হবে?
  1. ক
    ক) ৩০
  2. খ
    খ) ৪৫
  3. গ
    গ) ৬০
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
Cosec30 = 2, cosec45 =√2, cosec60 = 2/√3.
২,২৬৬.
কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির মোট পরিমাণ হবে—
  1. ক
    ক) ২৮০°
  2. খ
    খ) ২৯০°
  3. গ
    গ) ৩৬০°
  4. ঘ
    ঘ) ২৪০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির মোট পরিমাণ হবে—

সমাধান:
 
আমরা জানি, যে কোন ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
চিত্র হতে, x + y + z = 180° = এক সরলকোণ

প্রাপ্ত বহি:স্থ কোণগুলো যথাক্রমে (180° - x), (180° - y), (180° - z)
∴ বহি:স্থ কোণ তিনটির যোগফল = (180° - x) + (180° - y) + (180° - z)
= 540° - (x + y +z)
= 540° - 180°
= 360°
২,২৬৭.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ? 
  1. ক
    বিষমবাহু ত্রিভুজ
  2. খ
    স্থূলকোণী ত্রিভুজ
  3. গ
    সমবাহু ত্রিভুজ 
  4. ঘ
    সমকোণী ত্রিভুজ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ? 

সমাধান: 
ধরি, 
কোণ তিনটি যথাক্রমে x, x এবং 2x 

প্রশ্নমতে, 
x + x + 2x = 180° 
বা, 4x = 180°
∴ x = 45°
এবং 2x = 90°

সুতরাং, ত্রিভুজটি সমকোণী।
২,২৬৮.
cos 60°. cos 30° + sin 60°. sin 30° = কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    √3/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos 60°. cos 30° + sin 60°. sin 30° = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
cos(A - B) = cosA. cosB + sinA . sinB

এখন,
cos 60°. cos 30° + sin 60°. sin 30°
= cos(60° - 30°)
= cos 30°
= √3/2
২,২৬৯.
বৃত্তের কেন্দ্র হতে বৃহত্তম জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের কত গুণ?
  1. ক
    ১ গুণ
  2. খ
    ২ গুণ
  3. গ
    ১/২ গুণ
  4. ঘ
    ০ গুণ
ব্যাখ্যা
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা হলো ব্যাস। 
যেহেতু ব্যাস কেন্দ্রগামী, সেহেতু বৃত্তের কেন্দ্র হতে ব্যাসের এর লম্ব দূরত্ব ০
অর্থাৎ, বৃত্তের কেন্দ্র হতে বৃহত্তম জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের ০ গুণ 
 
২,২৭০.
একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক কয়টি ছেদবিন্দু থাকতে পারে?
  1. ক
    একটি
  2. খ
    দুইটি
  3. গ
    তিনটি
  4. ঘ
    একটিও না
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক কয়টি ছেদবিন্দু থাকতে পারে?

সমাধান:

একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক দুইটি ছেদবিন্দু থাকতে পারে।

২,২৭১.
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা  ও সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা সমান, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ৩ মিটার
  2. খ
    ৬ মিটার
  3. গ
    ৯ মিটার
  4. ঘ
    ১২ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা  ও সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা সমান, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে পরিসীমা 3a একক।

বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে পরিসীমা 4a একক।

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ মিটার
এর পরিসীমা ৩ × ১২ = ৩৬ মিটার

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৩৬ মিটার
এক বাহুর দৈর্ঘ্য = (৩৬/৪) = ৯ মিটার।
২,২৭২.
সমবাহু ত্রিভুজের একবাহু x মিটার হলে, তার ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার 
  1. ক
    ক) (3√3/4)x2
  2. খ
    খ) (√3/4)x2
  3. গ
    গ) (4/√3)x2
  4. ঘ
    ঘ) (√3/4)a2
ব্যাখ্যা
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার হলে তার ক্ষেত্রফল = (√3/4)x2
২,২৭৩.
sin(θ + 15°) = 3/√12 হলে 2cos2θ = কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 1/√2
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) √2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sin(θ + 15°) = 3/√12 হলে 2cos2θ = কত?

সমাধান:
sin(θ + 15°) = 3/√12
বা, sin(θ + 15°) = 3/(2√3)
বা, sin(θ + 15°) = √3/2
বা, sin(θ + 15°) = sin60°
বা, θ + 15° = 60°
∴ θ = 45°

এখন,
2cos2θ = 2(cos45°)2
= 2 . (1/√2)2
= 2 . (1/2)
= 1
২,২৭৪.
১ দিন = কত সেকেন্ড?
  1. ক
    ৩৬০০ সেকেন্ড
  2. খ
    ৮৬৪০০ সেকেন্ড
  3. গ
    ৮৬৪০ সেকেন্ড
  4. ঘ
    ১৪৪০০ সেকেন্ড
ব্যাখ্যা
১ দিন
= ২৪ ঘণ্টা
= ২৪ × ৬০ মিনিট
= ২৪ × ৬০ × ৬০ সেকেন্ড
= ৮৬৪০০ সেকেন্ড
২,২৭৫.
নিচের ত্রিভুজে বাহুর দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?
  1. ক
    ক) ৪, ৪, ৫
  2. খ
    খ) ৫, ১২, ১৩
  3. গ
    গ) ৮, ১০, ১২
  4. ঘ
    ঘ) ২, ৩, ৫
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের উপর অঙ্কিত বর্গ অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টির সমান।
∴ ১৩২ = ১২২ + ৫২

সুতরাং, ১৩ : ১২ : ৫ বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে।
২,২৭৬.
যদি cosec2θ + cot2θ = 5/3 হয় তাহলে cotθ এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    1/√2
  3. গ
    1/√3
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি cosec2θ + cot2θ = 5/3 হয় তাহলে cotθ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosec2θ = 1 + cot2θ

দেওয়া আছে,,
cosec2θ + cot2θ = 5/3
⇒ 1 + cot2θ + cot2θ = 5/3
⇒ 2 cot2θ = (5/3) -1
⇒ 2cot2θ = 2/3
⇒ cot2θ = 2/6
⇒ cot2θ = 1/3
∴ cotθ = 1/√3

২,২৭৭.
একটি গোলকের ব্যাস ১৮ সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?
  1. ক
    ৭৭৭৬π ঘনসে.মি.
  2. খ
    ৭৭৭৬ ঘনসে.মি.
  3. গ
    ৯৭২π ঘনসে.মি.
  4. ঘ
    ৯৭২ ঘনসে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গোলকের ব্যাস ১৮ সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
গোলকের ব্যাস = ১৮ সে.মি.
∴ ব্যাসার্ধ = ৯ সে.মি.
∴ আয়তন = (৪/৩)π(৯)৩
= (৪/৩) × π × ৯ × ৯ × ৯
= ৯৭২π ঘনসে.মি.
২,২৭৮.
বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা’কে কী বলা হয়? 
  1. ক
    বৃত্তচাপ
  2. খ
    পরিধি
  3. গ
    ব্যাস
  4. ঘ
    ব্যাসার্ধ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা’কে কী বলা হয়? 

সমাধান: 
 - বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে। 
- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে। 
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে। 
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে। 
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

২,২৭৯.
কোন অনুসিদ্বান্তটি সঠিক?
  1. ক
    ক) ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত কেরলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা তার বিপরীত অন্তস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান
  2. খ
    খ) ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত কেরলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তস্থ বিপরীত কোণ দুটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর
  3. গ
    গ) দুটোই সঠিক
  4. ঘ
    ঘ) কোনটি সঠিক
ব্যাখ্যা
এ দুটোই সঠিক। প্রত্যেকটির আলাদা আলাদা উপপাদ্যের প্রমান আছে।
২,২৮০.
একটি সমান্তর চতুর্ভুজের ভিত্তি দ্বিগুণ এবং উচ্চতা অর্ধেক করলে ক্ষেত্রফলের কী পরিবর্তন হবে? 
  1. ক
    অপরিবর্তিত
  2. খ
    দ্বিগুণ
  3. গ
    অর্ধেক
  4. ঘ
    এক-চতুর্থাংশ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর চতুর্ভুজের ভিত্তি দ্বিগুণ এবং উচ্চতা অর্ধেক করলে ক্ষেত্রফলের কী পরিবর্তন হবে? 

সমাধান:
সমান্তর চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল সূত্র:
A = ভিত্তি × উচ্চতা
প্রাথমিক ভিত্তি b এবং উচ্চতা h

প্রাথমিক ক্ষেত্রফল: A1 = b × h

নতুন মান:
ভিত্তি দ্বিগুণ = 2b
উচ্চতা অর্ধেক = h/2
A2 = 2b × h/2 = b × h = A1

∴ ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।

২,২৮১.
5 মিটার ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি লোহার গোলক গলিয়ে 1 মিটার ব্যাসার্ধের কতটি গোলক তৈরি করা যাবে?
  1. ক
    25 টি
  2. খ
    100 টি
  3. গ
    125 টি
  4. ঘ
    150 টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 মিটার ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি লোহার গোলক গলিয়ে 1 মিটার ব্যাসার্ধের কতটি গোলক তৈরি করা যাবে?

সমাধান: 
মনে করি,
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ, R = 5 m
ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 1 m 

∴ গোলক বানানো যাবে = বড় গোলকের আয়তন/ছোট গোলকের আয়তন
= (4/3)πR3 / (4/3)πr3
= R3 / r3
= 53 / 13
= 125 / 1
= 125 

∴ গোলক তৈরি করা যাবে = 125 টি।

২,২৮২.
ABCD রম্বসের ∠ A = ৫৫° হলে ∠ D =?
  1. ক
    ১২৫°
  2. খ
    ১৫৫°
  3. গ
    ১৪৫°
  4. ঘ
    কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABCD রম্বসের ∠ A = ৫৫° হলে ∠ D =? 

সমাধান:
ABCD রম্বসে, ∠A + ∠D = ১৮০°
⇒ ৫৫° + ∠D = ১৮০°
⇒ ∠D = ১৮০° - ৫৫° 
⇒ ∠D = ১২৫°
∴  ∠D = ১২৫°
২,২৮৩.
AB || CD, AB = AC এবং ∠ABC = 50° হলে, ∠ECD এর মান নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) 80°
  2. খ
    খ) 45°
  3. গ
    গ) 50°
  4. ঘ
    ঘ) 40°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: AB || CD, AB = AC এবং ∠BAC = 80° হলে, ∠ECD এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান: 

∠BAC = 80°
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - 80°   [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°]
⇒ 2∠ABC = 100°  [AB = AC ∴ ∠ABC = ∠ACB]
∴ ∠ABC = 50°

AB || CD এবং BE এদের ছেদক, 
∴ ∠ABC = ∠ECD = 50°
২,২৮৪.
কোনো ষড়ভুজের একটি কোণের পরিমাণ ৯০° এবং বাকি ৫টি কোণ সমান। সমান কোণগুলোর একটির পরিমাণ কত?
  1. ক
    136°
  2. খ
    128°
  3. গ
    124°
  4. ঘ
    126°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ষড়ভুজের একটি কোণের পরিমাণ ৯০° এবং বাকি ৫টি কোণ সমান। সমান কোণগুলোর একটির পরিমাণ কত?

সমাধান:
বাহুর সংখ্যা = 6
অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (6 - 2) × 180°
= 4 × 180°
= 720°

৫টি কোণের সমষ্টি = 720° - 90° = 630°
∴ সমান কোণগুলোর একটির পরিমাণ = 630°/5 = 126°
২,২৮৫.
একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যের বিস্তারের ৪ গুণ। দৈর্ঘ্য ৬৪ মিটার হলে, ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?
  1. ক
    ৬৪ মিটার
  2. খ
    ৯০ মিটার
  3. গ
    ১৪৪ মিটার
  4. ঘ
    ১৬০ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যের বিস্তারের ৪ গুণ। দৈর্ঘ্য ৬৪ মিটার হলে, ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
মনে করি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের বিস্তার = a মিটার
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৪a মিটার

∴ প্রশ্নমতে,
৪a = ৬৪
⇒ a = ১৬ 

আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
= ২(৪a + a)
= (২ × ৫a) 
= ২ × (৫ × ১৬)
= ১৬০ মিটার
২,২৮৬.
একটি চাকার ব্যাসার্ধ 35 সে. মি. এবং এটি 1.1 কি. মি. পথ অতিক্রম করলে, মোট কতবার ঘুরবে?
  1. ক
    250
  2. খ
    550
  3. গ
    500
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাসার্ধ 35 সে. মি. এবং এটি 1.1 কি. মি. পথ অতিক্রম করলে, মোট কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চাকার ব্যাসার্ধ 35 সে. মি.

চাকার পরিধি = 2πr = 2 × (22/7) × 35 = 220 সে. মি.

∴ ঘূর্ণন সংখ্যা = 110000/220 = 500   [1 কি. মি. = 100000 সে. মি.]


∴ চাকাটি 1.1 কি. মি. পথ অতিক্রম করতে 500 বার ঘুরবে ।
২,২৮৭.
একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9m, 12m এবং 15m হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    48 sqm
  2. খ
    54 sqm
  3. গ
    62 sqm
  4. ঘ
    64 sqm
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9m, 12m এবং 15m হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
এখানে পরিসীমা, S = (9 + 12 + 15)/2
= 18

∴ ক্ষেত্রফল= √18(18 - 9) (18 - 12) (18 - 15)
= √(18 × 9 × 6 × 3)
= √2916
= 54 sqm
২,২৮৮.
একটি ত্রিভুজ এর দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 11মি. ও 12মি.। এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60°। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর?
  1. ক
    ক) 38.97 বর্গমি.
  2. খ
    খ) 57.157 বর্গমি.
  3. গ
    গ) 65.55 বর্গমি.
  4. ঘ
    ঘ) 55.57 বর্গমি.
ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
ত্রিভুজের দুই বাহু দেওয়া থাকলে এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া থাকলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2×বাহুদ্বয়ের গুনফল×sinθ = 1/2(11×12×sin60) = 57.157 বর্গমি.

২,২৮৯.
একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা ১২ সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি. হলে, কোণকটির আয়তন প্রায় কত ঘন সে.মি.?
  1. ক
    ২০০ ঘন সে.মি.
  2. খ
    ৩১৪ ঘন সে.মি.
  3. গ
    ৬২৮ ঘন সে.মি.
  4. ঘ
    ১৫৭ ঘন সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা ১২ সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি. হলে, কোণকটির আয়তন প্রায় কত ঘন সে.মি.?

সমাধান:
ধরি,
কোণকের ব্যাসার্ধ, r = ৫ সে.মি.
কোণকের উচ্চতা, h = ১২ সে.মি. 

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন = (১/৩)πr২h.
= (১/৩) × (২২/৭) × ৫২ × ১২
= ৩১৪.২৮ ঘন সে.মি.
২,২৯০.
ABC ত্রিভুজে AB = AC এবং ∠C = 50° হলে ∠A এর মান কত?
  1. ক
    30°
  2. খ
    80°
  3. গ
    90°
  4. ঘ
    120°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে AB = AC এবং ∠C = 50° হলে ∠A এর মান কত?

সমাধান:

ABC ত্রিভুজে AB = AC
∴ ∠B = ∠C = 50° [ যেহেতু সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণ দুটি সমান হয়]

আবার,
∠A + ∠B  + ∠C = 180° [যেহেতু ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°]
⇒ ∠A = 180° - 50° - 50°
∴ ∠A = 80°
২,২৯১.
একটি সুষম দশভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ -
  1. ক
    ক) ১৪৪°
  2. খ
    খ) ১২০°
  3. গ
    গ) ১৩৫°
  4. ঘ
    ঘ) ৯০°
ব্যাখ্যা

বাহু সংখ্যা n = ১০
∴ কোণের পরিমাণ = ((n - 2)/n) × ১৮০°
= ((১০ - ২)/১০) × ১৮০°
= ১৪৪°

২,২৯২.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সেন্টিমিটার ছোট, কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২ সেন্টিমিটার বড়। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ৬ সেন্টিমিটার
  2. খ
    ১০ সেন্টিমিটার
  3. গ
    ৮ সেন্টিমিটার
  4. ঘ
    ৪ সেন্টিমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সেন্টিমিটার ছোট, কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২ সেন্টিমিটার বড়। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
ধরি,
ভূমি = x সে.মি.
লম্ব = x - 2 সে.মি.
অতিভূজ = x + 2 সে.মি.

শর্তমতে
x2 + (x - 2)2 = (x + 2)2
বা, x2 + x2 - 4x + 4 = x2 + 4x + 4
বা, x2 + x2 - 4x + 4 - x2 - 4x - 4 = 0
বা, x2 - 8x = 0
বা, x - 8 = 0
∴ x = 8

∴ সমকোণী ত্রিভুজের লম্বের = x + 2 = 8 + 2 = 10 সে. মি.
২,২৯৩.
একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৪০ বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার কমানো এবং প্রস্থ ৪ মিটার বাড়ানো হয়, তবে এটি একটি বর্গক্ষেত্রে পরিণত হয়। বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ১৬ মিটার
  2. খ
    ১২ মিটার
  3. গ
    ১৮ মিটার
  4. ঘ
    ২২ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৪০ বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার কমানো এবং প্রস্থ ৪ মিটার বাড়ানো হয়, তবে এটি একটি বর্গক্ষেত্রে পরিণত হয়। বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, 
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 'ক' মিটার
তাহলে,
আয়তের দৈর্ঘ্য = (ক + ৪) মিটার
আয়তের প্রস্থ = (ক - ৪) মিটার

প্রশ্নমতে,
⇒ (ক + ৪)(ক - ৪) = ২৪০
⇒ ক২ - ১৬ = ২৪০
⇒ ক২ = ২৪০ + ১৬ = ২৫৬
⇒ ক = √২৫৬
∴ ক = ১৬

∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৬ মিটার
২,২৯৪.
tanθ = 3/4 হলে, cosθ এর মান কত?
  1. ক
    ক) 3/5
  2. খ
    খ) 4/5
  3. গ
    গ) 4/3
  4. ঘ
    ঘ) 3/4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tanθ = 3/4 হলে, cosθ এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
tanθ = 3/4

আমরা জানি, 
tanθ = লম্ব/ভূমি
ভূমি = 4 , লম্ব = 3

এখন,
(অতিভুজ)2 = (লম্ব)2 + (ভূমি)2
বা, (অতিভুজ)2 = 32 + 42
বা, (অতিভুজ)2 = 9 + 16 
বা, (অতিভুজ)2 = 25 
বা, (অতিভুজ)2 = 52 
∴ অতিভুজ = 5

cosθ = ভূমি/অতিভুজ
∴ cosθ = 4/5
২,২৯৫.
কেন্দ্র (- 2, 4) এবং ব্যাসার্ধ 5 বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ কোনটি?
  1. ক
    (x - 2)2 + (y + 4)2 = 25
  2. খ
    (x + 2)2 + (y - 4)2 = 25
  3. গ
    (x + 2)2 + (y - 4)2 = 5
  4. ঘ
    (x + 3)2 + (y - 5)2 = 25
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কেন্দ্র (- 2, 4) এবং ব্যাসার্ধ 5 বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের কেন্দ্র = (- 2, 4)
ব্যাসার্ধ = 5

আমরা জানি,  
বৃত্তের আদর্শ সমীকরণ,
(x - h)2 +(y - k)2 = r2
⇒ (x + 2)2 + {y - 4}2 = 52 ; [এখানে h = - 2, k = 4 এবং r = 5]
∴ (x + 2)2 + (y - 4)2 = 25

সুতরাং, বৃত্তের সমীকরণ (x + 2)2 + (y - 4)2 = 25

২,২৯৬.
একটি গাছের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 45° । গাছটি 15 মিটার উঁচু হলে ঐ স্থানটি গাছটি হতে কত দূরে অবস্থিত?
  1. ক
    10 মিটার
  2. খ
    15 মিটার
  3. গ
    20 মিটার
  4. ঘ
    25 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 45°। গাছটি 15 মিটার উঁচু হলে ঐ স্থানটি গাছটি হতে কত দূরে অবস্থিত? 

সমাধান: 

ধরি, 
গাছটি a মিটার দূরে অবস্থিত 
∴ tan 45° = AB/AC 
বা, 1 = 15/a 
∴ a = 15 মিটার 

∴ গাছটি 15 মিটার দূরে অবস্থিত ।

২,২৯৭.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১৫ সে.মি. এবং অপর দুই বাহুর অন্তর ৩ সে.মি. হলে, অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ১৩ সে.মি. ও ১৬ সে.মি.
  2. খ
    ৮ সে.মি. ও ৫ সে.মি.
  3. গ
    ৯ সে.মি. ও ১২ সে.মি.
  4. ঘ
    ১২ সে.মি. ও ১৫ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১৫ সে.মি. এবং অপর দুই বাহুর অন্তর ৩ সে.মি. হলে, অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি ত্রিভুজের এক বাহু = x
অপর বাহু = x + 3
শর্তমতে,
x2 + (x + 3)2 = 152
⇒ 2x2 + 6x - 216 =0
⇒ x2 + 3x - 108 =0
⇒ x2 + 12x - 9x -108 =0
⇒ x(x + 12) - 9(x + 12) =0
∴ x = 9, -12
দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না তাই দুই বাহু হবে 9 এবং 12
২,২৯৮.
৫৯° কোণের পূরক কোণ কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ৩১°
  2. খ
    ৫৯°
  3. গ
    ১২১°
  4. ঘ
    ২৯.৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫৯° কোণের পূরক কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ (৯০°) হলে , ঐ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

∴ ৫৯° এর পূরক কোণ = ৯০° - ৫৯°
= ৩১°
২,২৯৯.
3tan230° + (1/4)sec60° + 5cot245° - (2/3)sin260° এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    4
  3. গ
    5
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3tan230° + (1/4)sec60° + 5cot245° - (2/3)sin260° এর মান কত?

সমাধান: 
3tan230° + (1/4)sec60° + 5cot245° - (2/3)sin260°
= 3(tan30°)2 + (1/4)sec(60°) + 5(cot45°)2 - (2/3)(sin60°)2 
= 3 × (1/√3)2 + (1/4) × 2 + 5 × (1)2 - (2/3) × (√3/2)2 
= (3 × 1/3) + (1/2) + 5 - (2/3 × 3/4)
= 1 + 1/2 + 5 - 1/2
= (2 + 1 + 10 - 1)/2
= 12/2
= 6
২,৩০০.
P(2, 5) এবং Q(8, - 3) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাংক কত?
  1. ক
    (5, 1)
  2. খ
    (3, 4)
  3. গ
    (6, 2)
  4. ঘ
    (4, 3)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P(2, 5) এবং Q(8, - 3) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাংক কত?

সমাধান: