জ্যামিতি

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর ৮ মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব ১০ মিটার। ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল ১৭০ বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম বাহু = ক মিটার
∴ বৃহত্তম বাহু = (ক + ৮) মিটার

আমরা জানি, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × উচ্চতা
∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × ১০ × (ক + ক + ৮)
= ৫(২ক + ৮)

প্রশ্নমতে,
৫(২ক + ৮) = ১৭০
⇒ ২ক + ৮ = ১৭০/৫
⇒ ২ক + ৮ = ৩৪
⇒ ২ক = ৩৪ - ৮
⇒ ২ক = ২৬
⇒ ক = ১৩

∴ বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = ১৩ + ৮ = ২১ মিটার

ত্রিভূজের তিনটি কোণ পরস্পর সমান।
ফলে প্রতিটি কোণের পরিমাণ 60° যা সুক্ষকোণ।
সুতরাং ত্রিভূজটি সুক্ষকোণী।

ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমান্তরাল দুই বাহুর সমষ্টি) × h
বা, ১৫০ = ১/২ × (১২ + ১৮) × h
বা, ১৫h = ১৫০
∴ h = ১০ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্র ও একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা পরস্পর সমান। যদি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের অর্ধেক হয়, তবে বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অনুপাত কত? 

সমাধান: 
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২ক একক
∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক একক
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (২ক + ক) একক
= ৬ক একক

আবার,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৬ক
∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহু = ৬ক/৪
= ৩ক/২

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৩ক/২)^২ = (৯ক^২)/৪
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (২ক × ক) = ২ক^২

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৯ক^২)/৪ : (২ক^২)
= (৯/৪) : ২
= (৯/৪) × ৪ : ২ × ৪
= ৯ : ৮ 

রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৩০ = ১৫ বর্গমিটার

সম্পূরক কোনদ্বয়ের সমষ্টি = ১৮০°
৯০° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০°-৮৫° = ৯৫°

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা কে বলা হয়?

সমাধান:
• যদি জ্যা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়, তাকে ব্যাস (Diameter) বলা হয়। 
- বৃত্তের সর্ববৃহৎ জ্যা কে ব্যাস বলা হয়। 
- বৃত্তের জ্যা (Chord) হলো একটি রেখাংশ যা বৃত্তের দুটি বিন্দু সংযুক্ত করে।
- ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ

অন্যান্য অপশনগুলো:
- বৃত্তচাপ (Arc) = বৃত্তের অংশ। 
- ব্যাসার্ধ (Radius) = কেন্দ্র থেকে বৃত্তের যে কোনো বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব।
- পরিধি (Circumference) = বৃত্তের চারপাশের দৈর্ঘ্য। 

উৎস: NCTB, সাধারণ গনিত, নবম-দশম শ্রেনি। 

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অণুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°

দেওয়া আছে,
চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩
∴ অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ১ + ২ + ২ + ৩ = ৮

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = (৩৬০ এর ১/৮)°
= ৪৫°

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ক্ষেত্রের পরিসীমা ১৮ মিটার ক্ষেত্রফল ২০ বর্গমিটার হলে, এর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = x মিটার
আয়তাকার ক্ষেত্রের  প্রস্থ = y মিটার

প্রশ্নমতে
2(x +  y) =18
x + y = 9 
x = 9 - y.................(1)

আবার
xy = 20
বা, y(9 - y) = 20
বা, 9y - y² = 20
বা, - y² + 9y - 20 = 0
বা, -1(y² - 9y + 20) = 0
বা, y² - 9y + 20 = 0
বা, y² - 4y - 5y + 20 = 0
বা, y(y - 4) - 5(y - 4) = 0
(y - 5)(y - 4) = 0

হয় 
y - 5 = 0
y = 5

অথবা
y - 4 = 0
y = 4

যখন y = 5 তখন x = 9 - 5 = 4 
যখন y = 4 তখন x = 9 - 4 = 5

অতএব
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 5 মিটার 
আয়তাকার ক্ষেত্রের  প্রস্থ = 4 মিটার

প্রশ্ন: কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতটির মান অসংজ্ঞায়িত?

সমাধান: 
cot0° এর মান = অসংজ্ঞায়িত।

অন্যদিকে, 
sin0° এর মান = 0
cos0° এর মান = 1
এবং tan0° এর মান = 0

প্রশ্ন: নিচের কোনটি একটি সরলরেখার সমীকরণ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x/y = 3
⇒ x = 3y
⇒ x - 3y = 0

এটি ax + by + c = 0 অথবা y = mx আকারের একটি সমীকরণ, যা একটি সরলরেখা নির্দেশ করে। এখানে ধ্রুবক পদ c = 0 হওয়ায় এটি একটি মূলবিন্দুগামী সরলরেখা।

অন্যান্য অপশন:
x² + y² = 9 ; চলকের ঘাত 2 হওয়ায় এটি একটি বৃত্তের (Circle) সমীকরণ।
xy = 5 ; চলকদ্বয় গুণফল আকারে থাকায় এটি একটি আয়তাকার অধিবৃত্ত (Rectangular Hyperbola)।
y = 2/x ; চলক হরে থাকায় এর ঘাত ঋণাত্মক (- 1) হয়ে যায়, যা একটি অধিবৃত্ত বা বক্ররেখা নির্দেশ করে।

প্রশ্ন: একটি বর্গের পরিসীমা 20 মিটার। যদি বর্গের বাহু দ্বিগুণ করা হয়, নতুন বর্গের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
 বর্গের পরিসীমা, P = 4a [যেখানে a হল বাহু]
∴ 4a = 20
⇒ a = 5 মিটার

প্রাথমিক ক্ষেত্রফল, A = a²
= 5² = 25 বর্গমিটার

বাহু দ্বিগুণ করলে, a' = 2 × 5 = 10 মিটার
∴ নতুন ক্ষেত্রফল: A' = (a')² = 10² = 100 বর্গমিটার

ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি: = (A' - A)/A × 100
= (100 - 25)/25 × 100
= (75/25) × 100
= 3 × 100 = 300%

∴ ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি = 300%

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
এখানে একটি সমকোণী ত্রিভুজ = 90°
সুতরাং বাকি দুটি কোণের সমষ্টি = 2x + 3x = 90°
Or, 5x = 90°
Or, x = 18°

প্রশ্ন: একটি বর্গের পরিসীমা ২০ মিটার। যদি বর্গের বাহু দ্বিগুণ করা হয়, নতুন বর্গের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
 বর্গের পরিসীমা, P = 4a [যেখানে a হল বাহু]
∴ 4a = 20
⇒ a = 5 মিটার

প্রাথমিক ক্ষেত্রফল, A = a²
= 5² = 25 বর্গমিটার

বাহু দ্বিগুণ করলে, a' = 2 × 5 = 10 মিটার
∴ নতুন ক্ষেত্রফল: A' = (a')² = 10² = 100 বর্গমিটার

ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি: = (A' - A)/A × 100
= (100 - 25)/25 × 100
= 75/25 × 100
= 3 × 100 = 300%

∴ ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি = 300%

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দন্ডায়মান কোনো বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ৭২° হলে, ঐ বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃহস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
অর্থাৎ, বৃত্তস্থ কোণ = (১/২) × কেন্দ্রস্থ কোণ

এখানে,
কেন্দ্রস্থ কোণ = ৭২°
∴ বৃত্তস্থ কোণ = (১/২) × ৭২°
= ৩৬°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π বর্গমিটার ও পরিধি 16π মিটার হলে বৃত্তটির ব্যাস কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের পরিধি = 2πr = 16π মিটার 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = 64π বর্গমিটার‌ 

শর্তমতে, 
πr²/2πr = 64π/16π 
বা, r/2 = 4 
∴ r = 8 

∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r = (2 × 8) মিটার
= 16 মিটার। 

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাস 6 সে.মি. এবং উচ্চতা 14 সে.মি. হলে কোণকের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
কোণকের ব্যাস, 2r = 6 সে.মি.
কোণকের ব্যাসার্ধ, r = 6/2 = 3 সে.মি.
এবং কোণকের উচ্চতা, h = 14 সে.মি. 

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h.
= (1/3) × (22/7) × 3² × 14 
= (1/3) × 22 × 9 × 2
= 22 × 3 × 2
= 132 ঘন সে.মি.

দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত = ৪ : ৩ = ৪০ : ৩০
পরিসীমা = ৪০ + ৩০ = ৭০
∴ অর্ধপরিসীমা = ৭০/২ = ৩৫

দুটি সমান কোনের বাহু দু'টি সমান হবে ফলে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: 6 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস = ব্যাসার্ধ × 2 = (6 × 2) = 12 সে.মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ বৃত্তের ব্যাসের সমান।

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × x সে.মি.

প্রশ্নমতে,
√2 × x = 12
⇒ x = 12/√2

∴ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (12/√2)² বর্গ সে.মি.
= 144/2 বর্গ সে.মি.
= 72 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পার্থক্য 10 মি. এবং পরিসীমা 100 মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের,
দৈর্ঘ্য - প্রস্থ = 10 মিটার ......(1)
এবং আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 100 মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
∴ 100 = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
⇒ দৈর্ঘ্য + প্রস্থ = 100/2 মিটার
∴ দৈর্ঘ্য + প্রস্থ = 50 মিটার ...........(2)

এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(দৈর্ঘ্য - প্রস্থ) + (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 10 + 50
⇒ 2 × দৈর্ঘ্য = 60
⇒ দৈর্ঘ্য = 60/2 = 30 মিটার

এখন, (2) নং সমীকরণ থেকে পাই,
30 + প্রস্থ = 50
⇒ প্রস্থ = 50 - 30 = 20 মিটার

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= 30 × 20
= 600 বর্গ মিটার।

∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 600 বর্গ মিটার।

dy/dx = d/dx(x²) = 2x
∴ (2, 3) বিন্দুতে dy/dx = 2.2 = 4

1 UK gal =  4.55 L
1 USA gal = 3.78541 L

ধরি,
ঘরের দৈর্ঘ্য = ৪a,
প্রস্থ = a
∴ পরিসীমা ২(৪a + a) = ৩০
বা, ১০a = ৩০
∴ a = ৩
∴ দৈর্ঘ্য = ৪ × ৩ = ১২ মিঃ,
প্রস্থ = ৩ মিঃ
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(১২² + ৩²)
= √(১৪৪ + ৯)
= √১৫৩
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = √১৫৩ মিঃ
এবং বাহুর ক্ষেত্রফল = (√১৫৩)²
= ১৫৩ বর্গমিঃ

প্রশ্ন: যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং sin(θ + 20°) = 1/2 হয়, তবে θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sin(θ + 20°) = 1/2
⇒ sin(θ + 20°) = sin30°
⇒ θ + 20° = 30°
⇒ θ = 30° - 20°
∴ θ = 10°

∴ θ এর মান 10° হবে।

ΔABC সমবাহু ত্রিভূজ
∴ ∠A = 60°
∴ কেন্দ্রস্থ ∠BOC = বৃত্তস্থ 2 ∠A
= 2 × 60°
= 120°