জ্যামিতি

প্রশ্ন: ΔABC এর ∠A = 37°, ∠C = 53° হলে এটি কি ধরনের ত্রিভুজ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ΔABC এর ∠A = 37°, ∠C = 53°

∴ অপর কোণটি, ∠B = 180° - (37° + 53°)
= 180° - 90°
= 90°

এখানে, ∠B কোণ 90° হওয়ায়,
তাই, ΔABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: কোনো অষ্টভুজের প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪√২ সে.মি. হলে অষ্টভুজটির ক্ষেত্রফল কত? (যেখানে √২ = ১.৪১)

সমাধান:
অষ্টভুজের প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪√২ সে.মি.

∴ অষ্টভুজটির ক্ষেত্রফল = ২a^২(১ + √২) বর্গসে.মি. 
= ২ × (৪√২)^২ × (১ + √২)
= ২ × (১৬ × ২) × (১ + √২) 
= ৬৪(১ + √২)
= ৬৪(১ + ১.৪১)
= ৬৪ × ২.৪১
= ১৫৪.২৪ বর্গসে.মি. 

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৩০ মিটার ও ২০ মিটার। বাগানের চারপাশে ৩ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা নির্মাণ করতে কত টাকা খরচ হবে, যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তা নির্মাণ ব্যয় ১৫০ টাকা হয়।

সমাধান:
দেয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার
বাগানের প্রস্থ = ২০ মিটার

∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = ৩০ × ২০ = ৬০০ বর্গমিটার

আবার,
রাস্তাসহ মোট দৈর্ঘ্য = ৩০ + ৩ + ৩ = ৩৬ মিটার
রাস্তাসহ মোট প্রস্থ = ২০ + ৩ + ৩ = ২৬ মিটার

∴ রাস্তাসহ মোট ক্ষেত্রফল = ৩৬ × ২৬ = ৯৩৬ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = মোট ক্ষেত্রফল - বাগানের ক্ষেত্রফল
= ৯৩৬ - ৬০০ = ৩৩৬ বর্গমিটার

১ বর্গমিটার রাস্তা নির্মাণে ব্যয় = ১৫০ টাকা
∴ ৩৩৬ বর্গমিটারে মোট ব্যয় = ৩৩৬ × ১৫০ টাকা
= ৫০৪০০ টাকা

∴ রাস্তা নির্মাণে মোট খরচ = ৫০৪০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকার ব্যাস ১.৪ মিটার। ২.২ কিলোমিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান: 
ব্যাস, ২r = ১.৪ মিটার
∴ পরিধি, ২πr = ১.৪ × (২২/৭)
= (১৪/১০) × (২২/৭)
= ২২/৫

এখানে, ২.২ কিলোমিটার = (২.২ × ১০০০) মিটার

∴ চাকাটি ঘুরবে = (২.২ × ১০০০)/(২২/৫) বার
= (২২ × ১০০) × (৫/২২)
= ১০০ × ৫
 = ৫০০ বার

প্রশ্ন: একটি বৈদ্যুতিক পাখার ব্লেড মিনিটে ১৮০ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে পাখাটি কত ডিগ্রি ঘুরে?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 মিনিট = 60 সেকেন্ড
সুতরাং, 60 সেকেন্ডে পাখাটি ঘুরে 180 বার
∴ 1 সেকেন্ডে পাখাটি ঘুরে = 180/60 = 3 বার

আবার, আমরা জানি,
পাখাটি 1 বার ঘুরলে 360° অতিক্রম করে।
∴ 3 বার ঘুরলে পাখাটি অতিক্রম করে = (3 × 360)°
= 1080°
সুতরাং, এক সেকেন্ডে পাখাটি 1080° ঘুরে।

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তের ব্যাস 28 সে.মি. হলে অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ব্যাস = 28 সে.মি.
∴ ব্যাসার্ধ, r = 28/2 = 14 সে.মি.

আমরা জানি, 
অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল  = (1/2)πr²
= (1/2) × (22/7) × 14²
= (11/7) × 14 × 14
= 11 × 2 × 14
= 22 × 14
= 308 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল 308 বর্গ সে.মি.। 

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফল (√3/4)a²
প্রশ্নমতে,
(√3/4)a² = 50
⇒ √3a² = 50 × 4
⇒ a² = (50 × 4)/√3
⇒ a² = 115.47
∴ a = 10.74

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ হলে বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের কোণগুলোর যোগফল = ১৮০°
ধরা যাক, কোণগুলো ৩ক, ৪ক, ৫ক 
প্রশ্নমতে, 
৩ক + ৪ক + ৫ক = ১২ক = ১৮০°
ক = ১৮০°/১২
ক = ১৫° 

তাহলে,
বৃহত্তম কোণ = ৫ক = ৫ × ১৫° = ৭৫°
 
∴বৃহত্তম কোণ = ৭৫°

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল ৯০ এবং পার্থক্য ৩০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, দুইটি সংখ্যা হলো ক ও খ, যেখানে ক > খ

দেওয়া আছে,
ক + খ = ৯০ ........(১)
ক - খ = ৩০ ........(২)

দুটি সমীকরণ যোগ করলে,
২ক = ৯০ + ৩০ = ১২০
⇒ ক = ১২০/২
∴ ক = ৬০

∴ বড় সংখ্যাটি = ৬০

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ 10% বৃদ্ধি পায়, তবে তার ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ক 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ক^২ বর্গ একক

১০% বৃদ্ধিতে,
প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য
= (ক + ক এর ১০%) একক
= ক + ১০ক/১০০
= ক + ক/১০
= ১১ক/১০ একক

ক্ষেত্রফল = ১২১ক^২/১০০

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি
= (১২১ক^২/১০০) - ক^২ = ২১ক^২/১০০

শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি
= [{(২১ক^২/১০০)/ক^২} × ১০০]%
= ২১%

প্রশ্ন: 130° কোণের সম্পূরক কোণের পূরক কোণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
সম্পূরক কোণ: দুটি কোণের যোগফল হল 180°
পূরক কোণ: দুটি কোণের যোগফল 90°

এখন,
130° এর সম্পূরক কোণ = 180° - 130° = 50°
এবং 50° এর পূরক কোণ = 90° - 50° = 40°

∴ 130° কোণের সম্পূরক কোণের পূরক কোণ হল 40°

(2 tan A)/(1 + tan² A)
= sin 2A
= sin 60°
= (√3)/2

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৫% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ২০% হ্রাস করলে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত পরিবর্তিত হয়?

সমাধান: 
ধরি,
মূল দৈর্ঘ্য = ক একক
মূল প্রস্থ = খ একক
মূল ক্ষেত্রফল = কখ বর্গ একক

আবার, 
দৈর্ঘ্য ২৫% বৃদ্ধি করলে নতুন দৈর্ঘ্য = ক + ক এর ২৫% = ক + ক এর ২৫/১০০ = ৫ক/৪ 
এবং প্রস্থ ২০% হ্রাস করলে নতুন প্রস্থ = খ - খ এর ২০% = খ - খ এর ২০/১০০ = ৪খ/৫ 

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (৫ক/৪) × (৪খ/৫) = কখ বর্গ একক

অর্থাৎ নতুন ক্ষেত্রফল = মূল ক্ষেত্রফলের সমান।
∴ ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন = ০% অর্থাৎ অপরিবর্তিত থাকে। 

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 2(16 + 12) সে.মি.
= 56 সে.মি.
শর্তমতে, 4a = 56 (যেহেতু আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা)
বা, a = 14
বা, a² = 196 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের পরিধির দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৩ : ৪ হলে, বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত? 

সমাধান: 
দুইটি বৃত্তের পরিধির দৈর্ঘ্যের অনুপাত ও ব্যাসার্ধের অনুপাত সমান। 

ধরি, বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৩r, ৪r
∴ ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত = π(৩r)^২ /π(৪r)^২ 
= ৯r^২/১৬r^২ 
= ৯/১৬ 
= ৯ : ১৬

সুতরাং, বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৯ : ১৬

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 24y হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা P = 3a
⇒ a = P/3 = 24y/3 = 8y মিটার

ক্ষেত্রফল সূত্র:
A = √3/4a²
⇒ A = (√3/4) × (8y)²
⇒ A = (√3/4) × 64y²
⇒ A = 16√3​y² বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফল = 16√3​y² বর্গমিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)²
সুতরাং বৃদ্ধিপ্রাপ্ত ক্ষেত্রফল/আদি ক্ষেত্রফল = ৬²/৩² = ৩৬/৯ = ৪ গুণ।

সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব a, ভূমি b এবং অতিভুজ c = 13 সেমি হলে,
a+b+13 = 30
⇒ a+b = 17 ------------ (i)
আবার,
a² + b² = 13²
⇒ (a+b)² - 2ab = 169
⇒ (17)² - 2ab = 169
⇒ 2ab = 289 - 169
⇒ ab = 120/2
∴ ab = 60 -------------- (ii)
এখন, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ab
= 1/2 × 60
= 30 বর্গসেমি

- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের তিন বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকগুলোর ছেদবিন্দুকে পরিকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: 1 সেমি, 6 সেমি এবং 8 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট 3টি গোলক গলিয়ে একটি বড় গোলক তৈরি করা হলে, নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = 
⇒ (4/3)πr³

∴ 1 সেমি, 6 সেমি এবং 8 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তিনটির আয়তন যথাক্রমে,
{(4/3)π1³}, {(4/3)π6³}, {(4/3)π8³}।

∴ নতুন গোলকটির আয়তন = {(4/3)π1³} + {(4/3)π6³} + {(4/3)π8³}
= (4/3)π(1³ + 6³ + 8³)
= (4/3)π(1 + 216 + 512)
= (4/3)π729

নতুন গোলকের ঘনফল = (4/3)πR³

অর্থাৎ,
(4/3)πR³ = (4/3)π729
⇒ R³ = 729
⇒ R = ∛729
∴ R = 9 সেমি

∴ নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ = 9 সেমি।

আমরা জানি, পূরক কোণ = 90°
প্রদত্ত চিত্রে, ∠QON = 90°
Or, ∠PON + ∠POQ = 90°
সুতরাং ∠PON এর পূরক কোণ ∠POQ।

দুইটি সমান্তরাল সরলরেখা এবং ছেদক দ্বারা উৎপন্ন--
অনুরূপ কোন জোড়া সমান
ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোন দুইটি পরষ্পর সম্পূরক
একান্তর কোন জোড়া সমান

cosθ = 1/2(a + (1/a))
∴ cos3θ
= 4cos³θ - 3cosθ
= 4{1/2(a + (1/a))}³ - 3{1/2(a + (1/a))}
= 4{1/8(a + (1/a))³} - 3/2(a + (1/a))
= 1/2{(a³ + (1/a³) + 3.a.1/a (a + 1/a)} - 3/2(a + (1/a))
= 1/2(a³ + (1/a³)) + 3/2(a + (1/a)) - 3/2(a + (1/a))
= 1/2(a³ + (1/a³))

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের AD একটি মধ্যমা এবং G ভরকেন্দ্র। যদি মধ্যমা AD-এর দৈর্ঘ্য 24 সে.মি. হয়, তাহলে AG-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র তার মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

এখানে, AD মধ্যমা এবং G ভরকেন্দ্র।
∴ AG : GD = 2 : 1

মোট অনুপাত = 2 + 1 = 3
মধ্যমা AD-এর দৈর্ঘ্য = 24 সে.মি.
ভরকেন্দ্র G, মধ্যমা AD-কে দুটি অংশে বিভক্ত করেছে: AG এবং GD।

∴ AG-এর দৈর্ঘ্য = 24 এর (2/3) অংশ
= 24 × (2/3) সে.মি.
= 8 × 2 সে.মি.
= 16 সে.মি.

সুতরাং, AG-এর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি.

প্রশ্ন: 
উপরের চিত্রে ∠PSR একটি ____

সমাধান:
প্রবৃদ্ধ কোণ: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
চিত্রে চিহ্নিত ∠PSR প্রবৃদ্ধ কোণ।

অন্যান্য অপশন: 
সম্পূরক কোণ: দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল দুই সমকোণ হলে কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক কোণ।

সূক্ষ্মকোণ: এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলা হয়। 

পূরক কোণ: দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটির একটি অপরটির পূরক কোণ।

ধরি, ভূমি = লম্ব = a
∴ ১/২ × a × a = ২৫ বা, a^২ = ৫০ বা, ২a^২ = ১০০
∴ √২a = ১০ সে. মি.
∴ অতিভূজ a√২ = ১০ সে. মি.

গোলকেটি ঠিক ভাবে এটে যায় বলে গোলকের ব্যাস হবে সিলিন্ডারের উচ্চতা এবং গোলকের ব্যাসার্ধ হবে সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ
গোলকোর ব্যাস ২ সেমিঃ এবং ব্যাসার্ধ ১ সেমিঃ
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h = 2π

AB = 60m.
যা C বিন্দুতে ভেঙে যায়
এবং ∠ADC = 30°
ধরি,
AC = x,
BC = 60 - x
∴ CD = 60 - x

Sin30° = AC/CD = x/(60 - x)
বা, 1/2 = x/(60 - x)
বা, 2x = 60 - x
বা, 3x = 60
∴ x = 20 মিঃ.
অর্থ্যাৎ, খুঁটিটি 20 মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছিলো।

ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১২a,
প্রস্থ = ৫a
∴ কর্ণ = √{(১২a)² + (৫a)²}
= ১৩a
∴ ১৩a = ৬৫
বা, a = ৫
∴ ক্ষেত্রফল = ৫a × ১২a
= ৬০ × ৫^২
= ১৫০০

এখানে,
∠ABC = ১৮০° - ∠ADC
আবার,
∠CDE = ১৮০° - ∠ADC
∴ ∠CDE = ∠ABC

ΔABC - এ সমবাহু
∴ ∠BAC = 60°
আবার,
AB||CE এবং AC ছেদক,
∴ ∠ACE = ∠BAC = 60°
∴ 1/2 ∠ACE = 30°

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৬ মিটার । চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য = ৮ মিটার 
চতুর্ভুজের প্রস্থ = ৬ মিটার 

আমরা জানি, 
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার 
= ২ (৮ + ৬) মিটার 
= ২ × ১৪ মিটার 
= ২৮ মিটার। 

ধরি, দৈর্ঘ্য ও পরিসীমা যথাক্রমে x ও 4x এবং প্রস্থ y
প্রশ্নমতে,
2(x + y) = 4x
বা, 2x + 2y = 4x
বা, 2y = 4x - 2x
বা, 2y = 2x
বা, y = x
সুতরাং দৈর্ঘ্য;প্রস্থ = x:y = x:x = 1:1

প্রশ্ন: cot(θ - 30°) = 1/√3 হলে, cosθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cot(θ - 30°) = 1/√3
⇒ cot(θ - 30°) = cot 60°
⇒ θ - 30° = 60°
⇒ θ = 30° + 60°
⇒ θ = 90°

∴ cosθ = cos 90° = 0

বলটির ব্যাস = ২ × ২ = ৪ মিটার = বাক্সের এক বাহুর দৈর্ঘ্য
∴ বাক্সের পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল = ৬ × ৪^২ = ৬ × ১৬ = ৯৬ বর্গ মি.