লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

জ্যামিতি

মোট প্রশ্ন১০,৭৫২এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

জ্যামিতি

PrepBank · পাতা ১ / ১০৭ · ১–১০০ / ১০,৭৫২

১.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 2 : 3 : 5 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ?
  1. ক
    সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
  2. খ
    সমকোণী ত্রিভুজ
  3. গ
    স্থূলকোণী ত্রিভুজ
  4. ঘ
    সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 2 : 3 : 5 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ?

সমাধান:
ধরি, তিনটি কোণ = 2x, 3x এবং 5x
অতএব,
2x + 3x + 5x = 180°
⇒ 10x = 180°
⇒ x = 18°

∴ কোণগুলো হলো:
2x = 36°, 3x = 54°, 5x = 90°

যেহেতু ত্রিভুজটির একটি কোণ 90°, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

২.
বৃত্তের একটি জ্যা কয়টি চাপে বিভক্ত?
  1. ক
    ক) 1 টি
  2. খ
    খ) 2 টি
  3. গ
    গ) 3 টি
  4. ঘ
    ঘ) 4 টি
ব্যাখ্যা
বৃত্তের একটি জ্যা 2টি চাপে বিভক্ত।
৩.
একটি ষড়ভুজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত?
  1. ক
    ৬৭০°
  2. খ
    ৭২০°
  3. গ
    ৮৪০°
  4. ঘ
    ৯৬০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি = (2n - 4) সমকোণ।
একটি সুষম ষড়ভুজের বাহুর সংখ্যা = ৬ টি

∴ সুষম ষড়ভুজের ছয় কোণের সমষ্টি = (২ × ৬) - ৪ সমকোণ
= (১২ - ৪) × ৯০°
= ৮ × ৯০°
= ৭২০°

∴ সুষম ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি = ৭২০°
৪.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
  1. ক
    ৮১ বর্গমিটার
  2. খ
    ১২৮√৩ বর্গমিটার
  3. গ
    ১৪৪√৩ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ১৯২√৩ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ২৪ মিটার।
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)  ×  (a)২ বর্গমিটার।

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (২৪)২ বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ৫৭৬ বর্গমিটার
= ১৪৪√৩ বর্গমিটার।

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ১৪৪√৩ বর্গমিটার।

৫.
একটি সরলরেখার কয়টি প্রান্তবিন্দু আছে?
  1. ক
    ১
  2. খ
    ২
  3. গ
    অসংখ্য
  4. ঘ
    কোন প্রান্তবিন্দু নাই
ব্যাখ্যা
একটি সরলরেখার কোন প্রান্তবিন্দু নাই।
সরল রেখাংশের ২ টি প্রান্ত বিন্দু আছে।
রশ্মির ১ টি প্রান্তবিন্দু আছে।
৬.
বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি -
  1. ক
    ক) রম্বস
  2. খ
    খ) আয়তক্ষেত্র
  3. গ
    গ) ট্রাপিজিয়াম
  4. ঘ
    ঘ) বর্গক্ষেত্র
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি -

সমাধান:
বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র।
কারণ বৃত্তের ভেতর সামান্তরিক আকলে এর বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ হয়ে যায়।
৭.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় ১৫ সেমি ও ১২ সেমি হলে, ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৯০ বর্গ সেমি
  2. খ
    ১০০ বর্গ সেমি
  3. গ
    ১২০ বর্গ সেমি
  4. ঘ
    ১৮০ বর্গ সেমি
ব্যাখ্যা
রম্বসের ক্ষেত্রফল
= ১/২ × কর্ণ দুইটির গুণফল
= ১/২ × ১৫ × ১২
= ৯০ বর্গ সেমি
৮.
ABC -এ ∠B এক সমকোণ। যদি অতিভুজ AC, লম্ব AB এর 2/√3 গুণ হয় তবে, ∠C এর মান কত?
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    120°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC -এ ∠B এক সমকোণ। যদি অতিভুজ AC, লম্ব AB এর 2/√3 গুণ হয় তবে, ∠C এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, লম্ব AB = x
অতিভুজ AC = (2/√3)x

sin(C) = লম্ব/অতিভুজ 
⇒ sin(C) =  x/{(2/√3)x}
⇒ sin(C) = √3/2 
⇒ sin(C) = sin60° 
⇒ C = 60°  

∴ ∠C এর মান 60° 

৯.
কোনো সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 24 সেমি হলে, উক্ত ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত হবে?
  1. ক
    ক) 16√3 বর্গ সেমি 
  2. খ
    খ) 32√3 বর্গ সেমি 
  3. গ
    গ) 64√3 বর্গ সেমি 
  4. ঘ
    ঘ) 12√3 বর্গ সেমি 
ব্যাখ্যা
কোনো সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 24 সেমি হলে,
উক্ত ত্রিভুজটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= 24/3 সেমি
= 8 সেমি 
উক্ত ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
= (√3/4) × (এক বাহুর দৈর্ঘ্য)2 বর্গ একক
= (√3/4) × (8)2 বর্গ সেমি
= 16√3 বর্গ সেমি 
১০.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। অপর বাহুদ্বয়ের একটি অপরটির ¾ অংশ হলে, অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যর অনুপাত _____?
  1. ক
    ক) 3:2
  2. খ
    খ) 1:2
  3. গ
    গ) 3:4
  4. ঘ
    ঘ) 2:1
ব্যাখ্যা

ধরি, ভূমির দৈর্ঘ্য 4x মিটার
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য (4x × 3/4) = 3x মিটার
এখন, লম্ব2 + ভূমি 2= অতিভুজ2
⇒ (3x)2 + (4x)2 = (25)2
⇒ 25x2 = 625
⇒ x = 5
ভূমির দৈর্ঘ্য (4×5) = 20 মিটার
লম্বের দৈর্ঘ্য (4x × 3/4) = (3 × 5) = 15মিটার
∴অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যর অনুপাত = 15:20 = 3:4

১১.
= ?
  1. ক
    ক) secA
  2. খ
    খ) cosecA
  3. গ
    গ) cosA
  4. ঘ
    ঘ) sinA
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: = ? 

সমাধান:
এখন,
tanA√(1 - sin2A)
= tanA√(cos2A)
= (sinA/cosA) × cosA
=  sinA 

∴ 1/{tanA√(1 - sin2A)} = 1/sinA
= cosecA
১২.
দুইটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত ১ : ৪। এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?
  1. ক
    ক) ১ : ৮
  2. খ
    খ) ১ : ১২
  3. গ
    গ) ১ : ১৬
  4. ঘ
    ঘ) ১ : ১৮
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত ১ : ৪। এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
১ম বৃত্তের ব্যাস = 2r
২য় বৃত্তের ব্যাস = (2 × 4r) = 8r
∴ ১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(2r)2 = 4πr2
 ∴ ২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(8r)2 = 64πr2

এখন,
১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল/২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 4πr2/64πr2 = 1/16
১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল : ২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 1 : 16
১৩.
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের মান কেন্দ্রস্থ কোণের কত গুণ?
  1. ক
    অর্ধেক
  2. খ
    দ্বিগুন
  3. গ
    সমান
  4. ঘ
    তিনগুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের মান কেন্দ্রস্থ কোণের কত গুণ?

সমাধান:
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
বা বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
যেমন, যদি একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 40° হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 80°।
১৪.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৯ সে.মি. ও ১৫ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৯ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ১৪৭ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    ১৫৩ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    ১৬৮ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ১৮৬ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৯ সে.মি. ও ১৫ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৯ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৯ সে.মি. ও ১৫ সে.মি.
এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৯ সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) ×  (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব বা উচ্চতা
= (১/২) ×  (১৯ + ১৫) × ৯ বর্গ সে.মি.
= (১/২) × ৩৪ × ৯
= ১৫৩ বর্গ সে.মি.

১৫.
৫৬ ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে কোন এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?
  1. ক
    ক) ২৮.২৬ ফুট
  2. খ
    খ) ৪৯.৬৪ ফুট
  3. গ
    গ) ৩২.৪৫ ফুট
  4. ঘ
    ঘ) ৫২.৬৮ ফুট
ব্যাখ্যা

বৃত্তের ব্যাস 2r = 56 ফুট
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 28 ফুট
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = 22/7 × 28 × 28 = 2464 বর্গফুট
তাহলে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২৪৬৩ বর্গ
∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √২৪৬৩ = ৪৯.৬৪ ফুট

১৬.
একটি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের ৩ গুণ। প্রতি বর্গমিটারে ৭.৫০ টাকা দরে ঘরের মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ১১০২.৫০ টাকা ব্যয় হয়। ঘরটির পরিসীমা কত?
  1. ক
    ৫৬ মিটার
  2. খ
    ৭২ মিটার
  3. গ
    ২৮ মিটার
  4. ঘ
    ৬২ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের ৩ গুণ। প্রতি বর্গমিটারে ৭.৫০ টাকা দরে ঘরের মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ১১০২.৫০ টাকা ব্যয় হয়। ঘরটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
মনেকরি, ঘরে প্রস্থ = ক মি.
∴ দৈর্ঘ্য = ৩ক
∴ ক্ষেত্রফল = ৩ক × ক = ৩ক২

প্রশ্নমতে,
৩ক২ = ১১০২.৫০/৭.৫০
⇒ ৩ক২ = ১৪৭
⇒ ক২ = ১৪৭/৩ = ৪৯ 
⇒ ক = √৪৯ = ৭
∴ ক = ৭ মিটার

∴ প্রস্থ = ৭ মি. এবং দৈর্ঘ্য = ৩ × ৭ = ২১ মি.

∴ ঘরের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২ (২১ + ৭) = ৫৬ মিটার
১৭.
ΔABC -এ ∠A = 80° এবং AB = AC হলে 1/2∠ACD =?
  1. ক
    ক) 55°
  2. খ
    খ) 60°
  3. গ
    গ) 65°
  4. ঘ
    ঘ) 70°
ব্যাখ্যা

AB = AC ∴ ∠B = ∠C
এখন, ∠B + ∠C = 180° - 80°
বা, 2∠C = 100°   
∴ ∠C = 50°
বা, ∠ACD = 180° - 50° = 130° 
∴ 1/2∠ACD = 65°

১৮.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) ১৮০ ডিগ্রি
  2. খ
    খ) ৯০ ডিগ্রি
  3. গ
    গ) ১২০ ডিগ্রি
  4. ঘ
    ঘ) ১৯০ ডিগ্রি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ। 
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বলে সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অন্য দুই কোণের সমষ্টি = ৯০°
১৯.
দশভুজের (Decagon) অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত? 
  1. ক
    1140°
  2. খ
    1240°
  3. গ
    1440°
  4. ঘ
    1000°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দশভুজের (Decagon) অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (2n − 4) × 90° (যেখানে n = বহুভুজের বাহুর সংখ্যা)

∴ দশভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = {(2 × 10) − 4} × 90°
= (20 − 4) × 90°
= 16 × 90°
= 1440°

∴ দশভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি 1440°

২০.
নিচের কোনটি সঠিক নয়? 
  1. ক
    cosec(- θ) = - cosecθ
  2. খ
    cot( - θ) = - cotθ
  3. গ
    cos(- θ) = - cosθ
  4. ঘ
    sec(- θ) = secθ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান: 
বিভিন্ন কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের ক্ষেত্রে:
⇒ sin(- θ) = - sinθ
⇒ cos(- θ) = cosθ
⇒ tan(- θ) = - tanθ
⇒ cosec(- θ) = - cosecθ
⇒ sec(- θ) = secθ
⇒ cot( - θ) = - cotθ
২১.
দুটি রেখাকে সমান্তরাল বলা হবে কোন শর্তে?
  1. ক
    তারা যদি বক্ররেখা হয়
  2. খ
    তারা যদি বিভিন্ন সমতলে অবস্থান করে
  3. গ
    তারা যদি একে অপরকে ছেদ করে
  4. ঘ
    তারা যদি সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি রেখাকে সমান্তরাল বলা হবে কোন শর্তে?

সমাধান: 
• সমান্তরাল রেখা (Parallel Line): 
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে। 
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত: 
i. সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে। 
ii. এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না। 
iii. দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে। 

- দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল। 
- একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়। 
২২.
একটি আয়তাকার খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার এবং প্রস্থ ১৮ মিটার। মাঠটির চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ১০৫ টাকা খরচ হলে, পুরো মাঠটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা খরচ হবে?
  1. ক
    ৯০২০ টাকা
  2. খ
    ১০৩০ টাকা
  3. গ
    ৯০৬০ টাকা
  4. ঘ
    ৯০৩০ টাকা
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার এবং প্রস্থ ১৮ মিটার। মাঠটির চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ১০৫ টাকা খরচ হলে, পুরো মাঠটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার
আয়তাকার মাঠের প্রস্থ ১৮ মিটার

আয়তাকার মাঠের পরিসীমা = ২ × (২৫ + ১৮) মিটার
= (২ × ৪৩) মিটার
= ৮৬ মিটার

১ মিটারে খরচ হয় ১০৫ টাকা
∴ ৮৬ মিটারে খরচ হয় (৮৬ × ১০৫) টাকা
= ৯০৩০ টাকা

২৩.
একটি ঘোড়ার গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৩ মিটার। পিছনের চাকার পরিধি ৪ মিটার। গাড়িটি কত পথ গেলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ১০০ বার বেশি ঘুরবে?
  1. ক
    ক) ১.৬ কি.মি.
  2. খ
    খ) ১.৮ কি.মি.
  3. গ
    গ) ১ কি.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ১.২ কি.মি.
ব্যাখ্যা

৩ এবং ৪ এর ল.সা.গু = ১২
তাহলে, ১ বার বেশি ঘুরবে = ১২ মিটার গেলে
∴ ১০০ বার বেশি ঘুরবে = ১২ × ১০ = ১২০০ মিটার = ১.২ কি.মি. পথ গেলে

২৪.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৬ সে.মি. এবং প্রস্থ ১৪ সে.মি. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ৫২ সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?
  1. ক
    ১২ সে. মি.
  2. খ
    ১৬ সে. মি.
  3. গ
    ১০ সে. মি.
  4. ঘ
    ৭ সে. মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৬ সে.মি. এবং প্রস্থ ১৪ সে.মি. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ৫২ সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ২৬ × ১৪ = ৩৬৪ বর্গ সে.মি.

আবার,
নতুন আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ক সে.মি. হলে,
ক্ষেত্রফল = ৫২ক বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
৫২ক = ৩৬৪
⇒ ক = ৩৬৪/৫২
∴ ক = ৭ সে. মি.
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ ৭ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।
২৫.
নিচের কোনটি মূলবিন্দুগামী সরলরেখা-
  1. ক
    ক) x + y + 5 = 0
  2. খ
    খ) (x - x1)/(x1 - x2) = (y - y1)/(y1 - y2)
  3. গ
    গ) 2x + 3y = 0
  4. ঘ
    ঘ) xcosα + ysinα = P
ব্যাখ্যা

মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, y = m x
2x + 3y = 0
3y = -2x
y= -2x/3 যা y = mx আকারের যেখানে m = -2/3
সুতরাং, 2x + 3y = 0 রেখাটি মূলবিন্দু দিয়ে সিদ্ধ হয়।
অর্থাৎ, এটি মূলবিন্দুগামী।

২৬.
বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত-
  1. ক
    ক) ৩
  2. খ
    খ) ২২/৭
  3. গ
    গ) ২৫/৯
  4. ঘ
    ঘ) প্রায় ৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত-

সমাধান: 
বৃত্তের পরিধি 2πr এবং ব্যাস 2r
∴ বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত = ব্যাস : পরিধি
= 2πr : 2r 
= 2πr/2r
= π/1
= (22/7)/1
= 22/7
২৭.
একটি বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 60 সে.মি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত সে.মি.?
  1. ক
    12 সে.মি.
  2. খ
    10 সে.মি.
  3. গ
    8 সে.মি.
  4. ঘ
    14 সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 60 সে.মি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত সে.মি.?  

সমাধান: 
মনে করি, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সে.মি. হলে 
বৃত্তের ব্যাস = 2r সে.মি. 
এবং
বৃত্তের পরিধি = 2πr সে.মি. 

প্রশ্নমতে, 
বা, 2πr - 2r = 60 
বা, 2r(π - 1) = 60 
বা 2r{(22/7) - 1} = 60 
বা, 2r(15/7) = 60 
বা, 30r/7 = 60 
বা, r = (60 × 7)/30 
∴ r = 14 

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 14 সে.মি. ।

২৮.
△ABC-এ, A = 40°, C = 80° এবং BC ∥ EF হলে, ∠BEF =? 
  1. ক
    120°
  2. খ
    90°
  3. গ
    80°
  4. ঘ
    60°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: △ABC-এ, A = 40°, C = 80° এবং BC ∥ EF হলে, ∠BEF =? 


সমাধান:
BC ∥ EF এবং AC ছেদক।
∴ ∠AFE = ∠C = 80°

∴ বহিস্থ কোণ অন্তঃস্থের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান 
∴ ∠BEF = ∠A + ∠AFE 
∴ ∠BEF = 80° + 40°
∴ ∠BEF = 120°
২৯.
যদি ∠С = 90°, ∠B = 30°, AB = 6, AC = АВ/2 হয়, তাহলে BC এর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    √3
  3. গ
    2√3
  4. ঘ
    3√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি ∠С = 90°, ∠B = 30°, AB = 6, AC = АВ/2 হয়, তাহলে BC এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
এখানে,
AC = АВ/2
AC = 6/2 = 3

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
АВ2 = ВС2 + АС2
বা, 62 = ВС2 + 32
বা, ВС2 = 62 - 32
বা, ВС2 = 36 - 9
বা, BC2 = 27
বা, BC = ± √27
- √ 27 গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হয় না।
∴ BC = √27
⇒ BC = 3√3
৩০.
ABC ত্রিভুজে ∠B = ∠C এবং BC বাহুর ওপর D একটি বিন্দু। কোন তথ্যটি সঠিক?
  1. ক
    AB > AC
  2. খ
    AB < AC
  3. গ
    AC < AD
  4. ঘ
    AC > AD
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে ∠B = ∠C এবং BC বাহুর ওপর D একটি বিন্দু। কোন তথ্যটি সঠিক?

সমাধান:


ABC ত্রিভুজে, BC মধ্যস্থিত D। A, D যোগ করি।
∴ এক্ষেত্রে, AC > AD শর্ত পূরণ করে।
৩১.
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 1 হেক্টর হলে, উহার কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?
  1. ক
    100√2
  2. খ
    200√2
  3. গ
    400√2
  4. ঘ
    300√2
ব্যাখ্যা

আমার জানি,
1 হেক্টর =10000 বর্গমিটার
সুতরাং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল a2 =10000
বা, a = 100
সুতরাং,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য √2a = √2 × 100
= 100√2

৩২.
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180° হলে একটিকে অপরটির কী কোণ বলে?
  1. ক
    ক) সন্নিহিত কোণ
  2. খ
    খ) সমকোণ
  3. গ
    গ) পূরক কোণ
  4. ঘ
    ঘ) সম্পূরক কোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180° হলে একটিকে অপরটির কী কোণ বলে?

সমাধান: 
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।
৩৩.
একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গমিটার। ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা ১০ মিটার এবং সমান্তরাল বাহু দুটির একটি ১৪ মিটার হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ২২ মিটার
  2. খ
    ১৮ মিটার
  3. গ
    ১৫ মিটার
  4. ঘ
    ১০ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গমিটার। ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা ১০ মিটার এবং সমান্তরাল বাহু দুটির একটি ১৪ মিটার হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সমান্তরাল বাহু দুটি a = ১৪ ও অপর বাহু, b =? এবং
উচ্চত, h = ১০ মিটার

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × h × (a + b)
১২০ = (১/২) × ১০ × (১৪ + b)
⇒ ১২০ = ৫ × (১৪ + b)
⇒ (১৪ + b) = ১২০/৫
⇒ (১৪ + b) = ২৪
⇒ b = ২৪ - ১৪ = ১০

সুতরাং, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার।
৩৪.
ΔABC এ AC > AB হলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) ∠ ABC = ∠ ACB
  2. খ
    খ) ∠ ABC < ∠ ACB
  3. গ
    গ) ∠ ABC > ∠ ACB
  4. ঘ
    ঘ) ∠ ABC ≤ ∠ ACB
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, 
কোনাে ত্রিভুজের একটি বাহু অপর একটি বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর।

মনে করি,
ΔABC এ AC > AB।
সুতরাং ∠ ABC > ∠ ACB

 
৩৫.
একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৩৬০ বর্গ সে.মি. এবং এর একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ৩০ সে.মি. হলে অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ১৮ সে.মি.
  2. খ
    ২০ সে.মি.
  3. গ
    ২৪ সে.মি.
  4. ঘ
    ২৮ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৩৬০ বর্গ সে.মি. এবং এর একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ৩০ সে.মি. হলে অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ৩৬০ বর্গ সে.মি.
এবং এর একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৩০ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × একটি কর্ণ অপর কর্ণ
⇒ ৩৬০ = (১/২) × ৩০ × অপর কর্ণ
⇒ অপর কর্ণ = ৩৬০/১৫
⇒ অপর কর্ণ = ২৪

সুতরাং, অপর কর্ণ = ২৪ সে.মি.
৩৬.
ΔPQR এর ∠P = 60° এবং ∠Q = 80°। ∠R এর সমদ্বিখন্ডক PQ বাহুকে S বিন্দুতে ছেদ করলে ∠RSP = কত?
  1. ক
    110°
  2. খ
    100°
  3. গ
    90°
  4. ঘ
    80°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔPQR এর ∠P = 60° এবং ∠Q = 80°। ∠R এর সমদ্বিখন্ডক PQ বাহুকে S বিন্দুতে ছেদ করলে ∠RSP = কত?

সমাধান:

ΔPQR এ,
∠P + ∠Q + ∠R = 180°
⇒ 60° + 80° + ∠R = 180°
⇒ ∠R = 180° - 140°
∴ ∠R = 40°

∠R এর সমদ্বিখণ্ডক অর্থাৎ, 1/2 ∠R = 40º/2 = 20°

ΔPSR এ, ∠RPS + ∠RSP + ∠PRS = 180°
⇒ ∠P + ∠RSP + ∠R = 180°
⇒ 60° + ∠RSP + 20° = 180°
⇒ ∠RSP = 180° - 80°
∴ ∠RSP = 100°
৩৭.
সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে চক্রাকারে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ হবে -
  1. ক
    ক) ৯০°
  2. খ
    খ) ১০০°
  3. গ
    গ) ১২০°
  4. ঘ
    ঘ) ১৫০°
ব্যাখ্যা
সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে চক্রাকারে বর্ধিত করলে
উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ হবে = ১২০°
উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি ৩৬০°
৩৮.
ত্রিভুজের তিন বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রসমূহ কয়টি সমকোণ তৈরি করে?
  1. ক
    ক) ৮টি
  2. খ
    খ) ৯টি
  3. গ
    গ) ১২টি
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রসমূহ কয়টি সমকোণ তৈরি করে?

সমাধান: 


এখানে, ΔABC এর তিনবাহুর উপর তিনটি বর্গক্ষেত্র আঁকা যায়। 
এখন, 
১ বর্গক্ষেত্র = ৪টি সমকোণ 
∴ ৩ বর্গক্ষেত্র = (৪ × ৩)টি সমকোণ 
= ১২ টি সমকোণ।
৩৯.
নিচের কোনটি সরলরেখার সমীকরণ নির্দেশ করে না?
  1. ক
    x + y = 5
  2. খ
    x = 1/y
  3. গ
    3x - 3y = 0
  4. ঘ
    4x + 5y = 9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি সরল রেখার সমীকরণ নির্দেশ করে না? 

সমাধান: 
সরলরেখার সমীকরণ (মূল বিন্দুগামী) y = mx  
দুই অক্ষকে ছেদ করে এমন সরল রেখার সমীকরণ = x/a + y/b = 1 
সুতরাং, অপশনগুলোর মধ্যে (খ) অপশনটি সরল রেখা নয়, কারণ x = 1/y এই সমীকরণটির ঘাত হচ্ছে ২, তাই উক্ত সমীকরণটি কোনো সরলরেখার সমীকরণ নয়।
৪০.
একটি চতুুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?
  1. ক
    ক) চারটি বাহু ও একটি কোণ
  2. খ
    খ) তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
  3. গ
    গ) দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ
  4. ঘ
    ঘ) সবগুলোই
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চতুুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?

সমাধান: 
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়। নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ।

উৎস: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি। 
৪১.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 2√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 1.5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 2√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = a মি. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3/4 x a2 বর্গ মি.
বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মি. বাড়ালে নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = (a + 2) মি.
নতুন ক্ষেত্রফল = √3/4 x (a + 2)2 বর্গ মি.

প্রশ্নমতে, 
√3/4 x (a + 2)2 - √3/4 x a2 = 2√3
বা, √3/4 { (a + 2)2 - a2 } = 2√3
বা, √3/4 (a2 + 4a + 4 - a2) = 2√3
বা, √3/4 (4a + 4) = 2√3
বা, 4a + 4 = 2√3 × 4/√3
বা, 4a = 8 - 4
∴ a = 1

৪২.
ত্রিভুজের পরিসীমা দেয়া থাকলে কোন ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?
  1. ক
    সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
  2. খ
    বিষমবাহু ত্রিভুজ
  3. গ
    সমবাহু ত্রিভুজ
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিভুজের পরিসীমা দেয়া থাকলে কোন ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

সমাধান:
- সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহুর পরিমাণ সমান।
- সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পরিসীমা দেওয়া থাকলে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
৪৩.
চিত্রের বৃহত্তম কোণটির মান কত? 

  1. ক
    50°
  2. খ
    60°
  3. গ
    70°
  4. ঘ
    80°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্রের  বৃহত্তম কোণটির মান কত? 


সমাধান: 
3x + 5x + 52 = 180 
⇒ 8x = 180 - 52 = 128 
⇒ x = 128/8 = 16 

বৃহত্তম কোণটির মান  = 5x 
= 5 × 16
= 80°
৪৪.
x = siny হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) √3/2
  4. ঘ
    ঘ) 0.5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = siny হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
sinθ  এর সর্বোচ্চ মান 1
∴ x = 1
৪৫.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের অন্তর 10°, ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম কোণটি কত ডিগ্রি? 
  1. ক
    50°
  2. খ
    40°
  3. গ
    30°
  4. ঘ
    45°
ব্যাখ্যা
ধরি,
ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম কোণ x

এখন, সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 90° 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°।

∴ x + (x + 10°) + 90° = 180°
⇒ x + x = 180°- 100°
⇒ 2x = 80°
∴ x = 40°
৪৬.
চিত্রে, ∠ABC = 57°, ∠LCN = 90° এবং AB || MC হলে, ∠MCL এর মান নিচের কোনটি?
  1. ক
    67°
  2. খ
    33°
  3. গ
    57°
  4. ঘ
    63°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্রে, ∠ABC = 57°, ∠LCN = 90° এবং AB || MC হলে, ∠MCL এর মান নিচের কোনটি?


সমাধান:

∠ABC ও ∠MCL পরস্পর অনুরূপ কোণ। 
∴ ∠ABC = ∠MCL = 57°
৪৭.
দু'টি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৩ঃ২। বৃত্ত দু'টির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?
  1. ক
    ক) ২ঃ৩
  2. খ
    খ) ৩ঃ৪
  3. গ
    গ) ৪ঃ৯
  4. ঘ
    ঘ) ৯ঃ৪
ব্যাখ্যা

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2; এখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π × ৩২ : π × ২২
= ৯ : ৪

৪৮.
বৃত্তের কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পরের________?
  1. ক
    ক) দ্বিগুণ
  2. খ
    খ) অর্ধেক
  3. গ
    গ) অসমান
  4. ঘ
    ঘ) সমান
ব্যাখ্যা
বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত

- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর ওপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্ব-দ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
৪৯.
একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ সেন্টিমিটার এবং ৭ সেন্টিমিটার হলে, নিচের কোনটি তৃতীয় বাহু হতে পারে না?
  1. ক
    ক) ৫ সে.মি.
  2. খ
    খ) ৮ সে.মি.
  3. গ
    গ) ৯ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ১৩ সে.মি.
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি এর তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
৫০.
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র প্রত্যেক মধ্যমাকে কোন অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে?
  1. ক
    ২ : ১
  2. খ
    ৩ : ১
  3. গ
    ১ : ২
  4. ঘ
    ১ : ৩
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র প্রত্যেক মধ্যমাকে কোন অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের কোনো একটি শীর্ষবিন্দু এবং তার বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাকে মধ্যমা বলে। 
ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় সমবিন্দু যা ত্রিভুজের একটি ভরকেন্দ্র। 
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র প্রত্যেক মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। 
৫১.
প্রদত্ত চিত্রের আলোকে tanA = কত?
  1. ক
    11/61
  2. খ
    61/11
  3. গ
    60/11
  4. ঘ
    11/60
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রের আলোকে tanA = কত?

সমাধান:
tanA = লম্ব/ভূমি = 11/60
৫২.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 16° হলে, সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণটি কত ডিগ্রি?
  1. ক
    52°
  2. খ
    53°
  3. গ
    55°
  4. ঘ
    62°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 16° হলে, সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষুদ্রত্তম কোণ = a
এবং বৃহত্তম কোণ = (a + 16°)

প্রশ্নমতে,
a + a + 16° + 90° = 180°
⇒ 2a = 180° - 106°
⇒ a = 74°/2
∴ a = 37°

∴ বৃহত্তম কোণ = (37 + 16)° = 53°
৫৩.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১৬সে. মি. ও ২৪.৫ সে. মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 
  1. ক
    ক) ১২√২ সে.মি
  2. খ
    খ) ১৬√২ সে.মি
  3. গ
    গ) ১৮√২ সে.মি
  4. ঘ
    ঘ) ১৪√২ সে.মি
ব্যাখ্যা
রম্বসের ক্ষেত্রফল= ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ১৬ × ২৪.৫ = ১৯৬বর্গ সে.মি.

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.
∴ ক২ = ১৯৬ বর্গ সে.মি.
∴ ক = ১৪ সে.মি.

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য= √২ ক = √২  × ১৪ = ১৪√২ সে.মি
৫৪.
1 + cot2θ = 4 এবং θ < 90° হলে, θ এর মান কত?
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 + cot2θ = 4 এবং θ < 90° হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
1 + cot2θ = 4
⇒ cosec2θ = 4
⇒ cosec2θ = 22
⇒ cosecθ = 2
⇒ 1/sinθ = 2
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
∴ θ = 30°
৫৫.
চিত্রে ∠ACD = ?
  1. ক
    ক) ∠ABD
  2. খ
    খ) ∠BAC
  3. গ
    গ) ∠BDC
  4. ঘ
    ঘ) ∠AOB
ব্যাখ্যা

একই চাপের উপর দন্ডায়মান সকল বৃত্তস্থ কোণ সমান।
AD চাপের উপর দন্ডায়মান ∠ACD ও ∠ABD পরস্পর সমান।

৫৬.
একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ৫ মিটার, প্রস্থ ৩ মিটার এবং উচ্চতা ২ মিটার হলে বস্তুটি কত লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হবে?
  1. ক
    ৩০০০ লিটার
  2. খ
    ৩০০০০ লিটার
  3. গ
    ৩০০০০০ লিটার
  4. ঘ
    ৩০০০০০০ লিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ৫ মিটার, প্রস্থ ৩ মিটার এবং উচ্চতা ২ মিটার হলে বস্তুটি কত লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হবে?

সমাধান:
এখানে, 
দৈর্ঘ্য = ৫ মিটার = ৫০০ সে.মি.
প্রস্থ = ৩ মিটার = ৩০০ সে.মি.
উচ্চতা = ২ মিটার = ২০০ সে.মি.

∴ আয়তন = (৫০০ × ৩০০ × ২০০) ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০ ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০/১০০০ লিটার 
= ৩০০০০ লিটার                                [যেহেতু, ১ লিটার = ১০০০ ঘন সে.মি.]

৫৭.
θ = 30° হলে, (2sinθ/tanθ) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 1/√2
  3. গ
    গ) √3
  4. ঘ
    ঘ) √3/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: θ = 30° হলে, (2sinθ/tanθ) এর মান কত? 

সমাধান: 
2sinθ/tanθ
= 2sinθ/(sinθ/cosθ)
= 2sinθ × (cosθ/sinθ)
= 2cosθ
= 2cos30°
= 2 × (√3/2)
= √3
৫৮.
একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গ সেমি, একটি কর্ণ ২৪ সেমি হলে, অপর কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু হতে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) ১৫
  2. খ
    খ) ১০
  3. গ
    গ) ৫
  4. ঘ
    ঘ) ২৫
ব্যাখ্যা
যেহেতু, লম্ব তৈরি করেছে তারমানে ঐ সামান্তরিকটা একটা রম্বস।

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2)× কর্ণদ্বয়ের গুনফল
বা, 120 = (1/2)× ২য় কর্ণ × 24
বা, 120/24 =(1/2)× ২য় কর্ণ = অপর কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু হতে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য
বা, অপর কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু হতে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য = 5 cm.

৫৯.
cosecθ + cotθ = 5/3 হলে cosecθ - cotθ এর মান কত?
  1. ক
    5/7
  2. খ
    3/7
  3. গ
    3/5
  4. ঘ
    1/8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosecθ + cotθ = 5/3 হলে cosecθ - cotθ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosec2θ - cot2θ = 1
⇒ (cosecθ + cotθ)(cosecθ - cotθ) = 1
⇒ (cosecθ - cotθ) = 1/(cosecθ + cotθ)
⇒ (cosecθ - cotθ) = 1/(5/3)
∴ cosecθ - cotθ = 3/5
৬০.
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন হবে?
  1. ক
    সূক্ষ্মকোণ
  2. খ
    স্থুলকোণ
  3. গ
    সমকোণ
  4. ঘ
    পূরক কোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন হবে? 

সমাধান: 
ত্রিভুজ সংক্রান্ত অনুসিদ্ধান্তসমূহ হলো- 
- ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান। 
- সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় স্থুলকোণ হবে। 
- সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হবে।
৬১.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 36π বর্গমিটার। বৃত্তটির ব্যাস কত? 
  1. ক
    6 মিটার
  2. খ
    8 মিটার
  3. গ
    12 মিটার
  4. ঘ
    24 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 36π বর্গমিটার। বৃত্তটির ব্যাস কত? 

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
বা, πr2 = 36π
বা, r2 = 36
∴ r = 6

∴ ব্যাসার্ধ = 6 মিটার
∴ ব্যাস = 6 × 2 মিটার
= 12 মিটার
৬২.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ১৬π বর্গমিটার, পরিধি ৮π মিটার। এর ব্যাসার্ধ কত মিটার?
  1. ক
    ৬ মিটার
  2. খ
    ২ মিটার
  3. গ
    ৮ মিটার
  4. ঘ
    ৪ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ১৬π বর্গমিটার, পরিধি ৮π মিটার। এর ব্যাসার্ধ কত মিটার?

সমাধান:
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr২ = ১৬π .........(১)
বৃত্তের পরিধি = ২πr = ৮π .........(২)
(২) নং / (১) নং
πr২/২πr = ১৬π/৮π
⇒ r/২ = ২
∴ r = ৪ 
অর্থাৎ, ব্যাসার্ধ = ৪ মিটার
৬৩.
নিচে ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন পরিমাপের জন্য একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?
  1. ক
    ক) 8,10,12
  2. খ
    খ) 4,4,5
  3. গ
    গ) 7, 24, 25
  4. ঘ
    ঘ) 2, 3, 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচে ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন পরিমাপের জন্য একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

সমাধান: 
অতিভুজ = 25 একক 
লম্ব = 24 একক 
ভূমি = 7 একক 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে আমরা পাই,
(অতিভুজ)2 = (লম্ব)2 + (ভূমি)2
252 = 242 + 72
625 = 576 + 49

7, 24, 25 বাহু তিনটি দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব
৬৪.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত মিটার? 
  1. ক
    ৬৮ মিটার 
  2. খ
    ৬৩ মিটার 
  3. গ
    ৪৮ মিটার 
  4. ঘ
    ৪০ মিটার 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত মিটার?

সমাধান: 
মনে করি, 
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার 
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - ২৩) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২{x + (x - ২৩)} মিটার
= ২(২x - ২৩) মিটার
= (৪x - ৪৬) মিটার

প্রশ্নমতে,
৪x - ৪৬ = ২০৬
বা, ৪x = ২০৬ + ৪৬ 
বা, ৪x = ২৫২ 
বা, x = ২৫২/৪ 
∴ x = ৬৩
 আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৬৩ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (৬৩ - ২৩) মিটার
= ৪০ মিটার। 

৬৫.
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৬৪ মিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৮ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত?
  1. ক
    ২৮ মিটার
  2. খ
    ২২ মিটার
  3. গ
    ৩২ মিটার
  4. ঘ
    ১৮ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৬৪ মিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৮ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৬৪ মিটার
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৬৪/৪ = ১৬ মিটার 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)২ = (১৬)২ = ২৫৬ বর্গমিটার 

এখন,
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান।
∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ২৫৬ বর্গমিটার 
সামান্তরিকের উচ্চতা = ৮ মিটার

∴ সামান্তরিকের ভূমি = ক্ষেত্রফল/উচ্চতা = ২৫৬/৮
= ৩২ মিটার
৬৬.
সরল কোণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    ৯০°
  2. খ
    ১৯০°
  3. গ
    ১৮০°
  4. ঘ
    ৪৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সরল কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
- এক সরল কোণ ১৮০ ডিগ্রি।
- দুইটি বিপরীত রশ্মি এক বিন্দুতে মিলিত হলে, ঐ বিন্দুতে ১৮০ ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন হয়।
- ১৮০ ডিগ্রি কোণকে এক সরল কোণ বলে
৬৭.
একটি কোণের সম্পূরক কোণের এক তৃতীয়াংশের মান ৪০° হলে কোণটির মান কত?
  1. ক
    ৫০°
  2. খ
    ৬০°
  3. গ
    ৭০°
  4. ঘ
    ৪০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণের সম্পূরক কোণের এক তৃতীয়াংশের মান ৪০° হলে কোণটির মান কত?

সমাধান: 
সম্পূরক কোণের এক তৃতীয়াংশ = ৪০°
∴ সম্পূরক কোণ = (৪০° × ৩) = ১২০°

∴ কোণটি = (১৮০ - ১২০)° = ৬০°
৬৮.
একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 18 বর্গমিটার হলে এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) √3
  2. খ
    খ) 2√3
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 18 বর্গমিটার হলে এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি, ঘনকটির ধার a
আমরা জানি,
ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 6a2

প্রশ্নানুসারে,
6a2 = 18
বা, a2 = 18/6
বা, a2 = 3
∴ ‍a = √3

ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3 . ‍a একক
= (√3 . √3) মিটার।
= 3 মিটার।
∴ নির্ণেয় কর্ণের দৈর্ঘ্য 3 মিটার।
৬৯.
x = 5 এবং y = 4x - 6 সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?
  1. ক
    (5, 14)
  2. খ
    (4, 14)
  3. গ
    (5, - 12)
  4. ঘ
    (5, 5)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = 5 এবং y = 4x - 6 সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?

সমাধান:
x = 5 ...... (১)
y = 4x - 6 ........ (২)

২নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
y = (4 × 5) - 6
⇒ y = 20 - 6
⇒ y = 14

অতএব, সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো (5, 14)
 
৭০.
ইউক্লিড প্রদত্ত স্বীকার্য নয় কোনটি?
  1. ক
    দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র দুইটি সরলরেখা আঁকা যায়।
  2. খ
    যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
  3. গ
    যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
  4. ঘ
    সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ইউক্লিড প্রদত্ত স্বীকার্য নয় কোনটি?

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো:
স্বীকার্য-১: দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
স্বীকার্য-২: যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
স্বীকার্য-৩: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
স্বীকার্য-৪: সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
স্বীকার্য-৫: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম, সেদিকে মিলিত হয়।
৭১.
একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 14√2 মিটার ও 17 মিটার এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে, এর ক্ষেত্রফল কত? 
  1. ক
    ক) 90 বর্গমিটার 
  2. খ
    খ) 110 বর্গমিটার 
  3. গ
    গ) 119 বর্গমিটার 
  4. ঘ
    ঘ) 238 বর্গমিটার 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 14√2 মিটার ও 17 মিটার এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে, এর ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
ধরি,
a = 14√2 মিটার
b = 17 মিটার
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 45°
এখন,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × a × b × sinθ
= (1/2) × (14√2) × 17 × sin45° 
= (1/2) × (14√2) × 17 × (1/√2)
= 119 বর্গমিটার
৭২.
18 মিটার লম্বা একটি মই ভূমির সাথে 30° কোণ করে দেয়ালের শীর্ষ স্পর্শ করে। দেয়ালের উচ্চতা কত?
  1. ক
    8 মিটার
  2. খ
    9 মিটার
  3. গ
    10 মিটার
  4. ঘ
    7 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 18 মিটার লম্বা একটি মই ভূমির সাথে 30° কোণ করে দেয়ালের শীর্ষ স্পর্শ করে। দেয়ালের উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেয়ালটির উচ্চতা AB = ?
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = 18 

Sin ∠ACB = AB/AC
Sin 30° = AB/18
1/2 = AB/18
2AB = 18
AB = 18/2
AB = 9

৭৩.
একটি সমকোনী ত্রিভুজের লস্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সেমিঃ ছোট, কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২ সেমিঃ বড়। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) ১০ সেমিঃ
  2. খ
    খ) ৮ সেমিঃ
  3. গ
    গ) ৬ সেমিঃ
  4. ঘ
    ঘ) ৪ সেমিঃ
ব্যাখ্যা

ধরি, ভূমি = x
লম্ব = (x-২)
অতিভুজ = ( x+২)
(অতিভুজ)² = (লম্ব) ²+ (ভূমি)²
(x+২)² = (x-২)²+x²
-x²+৮x = ০
x = ৮
অতএব, অতিভুজ = (৮+২) = ১০ সেমিঃ

৭৪.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 4√3 বর্গ সেমি হলে, ঐ ত্রিভুজের পরিসীমা কত?
  1. ক
    12 সেমি
  2. খ
    18 সেমি
  3. গ
    9 সেমি
  4. ঘ
    6 সেমি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 4√3 বর্গ সেমি হলে, ঐ ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 4√3 বর্গ সে.মি

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) (বাহু)2

প্রশ্নমতে,
(√3/4) (বাহু)2 = 4√3
⇒ (1/4) (বাহু)2 = 4
⇒ (বাহু)2 = 4 × 4
⇒ (বাহু)2 = 16
∴ বাহু = 4

∴ ত্রিভুজটির পরিসীমা = (4 + 4 + 4) = 12 সেমি
৭৫.
1 + cot2A = 4 এবং A < 90° হলে, A এর মান কত?
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 + cot2A = 4 এবং A < 90° হলে, A এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1 + cot2A = 4
⇒ cosec2A = 4
⇒ cosec2A = 22
⇒ cosecA = 2
⇒ 1/sinA = 2
⇒ sinA = 1/2
⇒ sinA = sin30°
∴ A = 30°
৭৬.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫১ মিটার ও ৯১ মিটার। অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১৩ ও ৩৭ মিটার। ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৮৪০
  2. খ
    ৮৫২
  3. গ
    ৮৮০
  4. ঘ
    ৮৯৪
ব্যাখ্যা

(৯১ - ৫১) = ৪০ এবং
ট্রাপিজিয়ামের একটি ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা = (১৩ + ৩৭ + ৪০)/২ = ৪৫
সুতরাং, ১/২ × ৪০ × ক = √{৪৫(৪৫ -১৩)(৪৫ - ৩৭)(৪৫ - ৪০)}
বা, ১/২ × ৪০ × ক = √৫৭৬০০
বা, ১/২ × ৪০ × ক = ২৪০
বা, ক = ১২
ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল = ১/২(৫১ + ৯১) × ১২ = ৮৫২ বর্গমিটার।

৭৭.
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১০০ বর্গমিটার। এই ক্ষেত্রের প্রতিটি বাহু ১০% বৃদ্ধি করা হলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত ভাগ বৃদ্ধি পাবে?
  1. ক
    ১২১%
  2. খ
    ২১%
  3. গ
    ২০%
  4. ঘ
    ১০০%
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১০০ বর্গমিটার। এই ক্ষেত্রের প্রতিটি বাহু ১০% বৃদ্ধি করা হলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত ভাগ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = ১০০ বর্গমিটার
∴ প্রতিটি বাহু = √১০০ = ১০ মিটার

এখন প্রতিটি বাহু ১০% বৃদ্ধি করলে,
নতুন বাহু = ১০ + ১০ এর ১০% = ১০ + (১০০/১০০) = ১০ + ১ = ১১ মিটার

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = ১১ × ১১ = ১২১ বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়েছে = ১২১ - ১০০ = ২১ বর্গমিটার

শতকরা বৃদ্ধি = (বৃদ্ধি/মূল ক্ষেত্রফল) × ১০০
= (২১/১০০) × ১০০
= ২১%

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহু ১০% বৃদ্ধি করা হলে, এর ক্ষেত্রফল ২১% বৃদ্ধি পাবে। 

৭৮.
একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    a + a মিটার
  2. খ
    2a বর্গমিটার
  3. গ
    a2 বর্গমিটার
  4. ঘ
    a2 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু2
একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল হবে a2  বর্গমিটার
৭৯.
56 সে.মি. ব্যাসার্ধের একটি লোহার চাকাকে গলিয়ে একটি লোহার পাতে রূপান্তর করা হলে লোহার পাতটির দৈর্ঘ্য কত হবে?
  1. ক
    280 সে.মি.
  2. খ
    334 সে.মি.
  3. গ
    352 সে.মি.
  4. ঘ
    412 সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 56 সে.মি. ব্যাসার্ধের একটি লোহার চাকাকে গলিয়ে একটি লোহার পাতে রূপান্তর করা হলে লোহার পাতটির দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চাকার ব্যাসার্ধ, r = 56 সে.মি.
চাকার পরিধি = 2πr
= 2 × (22/7) × 56
= 352 সে.মি.

প্রশ্নমতে,
চাকার পরিধি = লোহার পাতের দৈর্ঘ্য

অর্থাৎ লোহার পাতটির দৈর্ঘ্য = 352 সে.মি.

৮০.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার এবং প্রস্থ ৫ মিটার হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে?
  1. ক
    ৮ মিটার
  2. খ
    ১৩ মিটার
  3. গ
    ১৮ মিটার
  4. ঘ
    ২৪ মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার এবং প্রস্থ ৫ মিটার হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৫ মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(দৈর্ঘ্য)২ + (প্রস্থ)২}
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(১২)২ + (৫)২}
= √(১৪৪ + ২৫)
= √১৬৯
= ১৩ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৩ মিটার।

৮১.
20 মিটার প্রস্থবিশিষ্ট নদীর তীরে অবস্থিত একটি টাওয়ারের উচ্চতা 20√3 মিটার হলে, অপর তীরে টাওয়ারের অবনতি কোণ কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ক) 30°
  2. খ
    খ) 40°
  3. গ
    গ) 60°
  4. ঘ
    ঘ) 80°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 20 মিটার প্রস্থবিশিষ্ট নদীর তীরে অবস্থিত একটি টাওয়ারের উচ্চতা 20√3 মিটার হলে, অপর তীরে টাওয়ারের অবনতি কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান: 
মনেকরি 
নদীর প্রস্থ AB =20 মিটার
টাওয়ারের উচ্চতা BC = 20√3 মিটার
ΔBAC এ 
tanθ = BC/AB 
tanθ = 20√3 /20
tanθ = √3
tanθ = tan60°
θ = 60°
৮২.
একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৬৫ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে? 
  1. ক
    ক) ৩২০°
  2. খ
    খ) ৩৯০°
  3. গ
    গ) ৩৪০°
  4. ঘ
    ঘ) ৩৬০°
ব্যাখ্যা
১ বার ঘুরলে অতিক্রম করে =৩৬০°
৬৫ বার ঘুরলে অতিক্রম করে =৩৬০° × ৬৫

৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে = (৩৬০° × ৬৫
১সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে = (৩৬০° × ৬৫)/৬০ = ৩৯০°
৮৩.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 3 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 6 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 75 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) 9 মিটার
  2. খ
    খ) 11 মিটার
  3. গ
    গ) 14 মিটার
  4. ঘ
    ঘ) 17 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 3 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 6 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 75 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x + 3) মিটার

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × 6 × (x + x + 3) বর্গ মিটার

প্রশমতে,
(1/2) × 6 × (x + x + 3) = 75
বা, 2x + 3 = 25
বা, 2x = 22
বা, x = 11

বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 11 + 3 = 14 মিটার
৮৪.
কোন সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৭২° হলে বহুভূজটির বাহুর সংখ্যা কত?
  1. ক
    7টি
  2. খ
    4টি
  3. গ
    5টি
  4. ঘ
    6টি
ব্যাখ্যা
কোন সুষম বহুভূজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৭২° হলে বহুভূজটির বাহুর সংখ্যা কত?

প্রশ্ন অনুসারে,
সুষম বহুভূজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ,
360°/n = 72°
⇒ n = 360°/72° = 5
অর্থ্যাৎ, বহুভূজটির বাহুর সংখ্যা = 5টি।
৮৫.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৫০ মিটার এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৭০ মিটার হলে, এর প্রস্থ কত?
  1. ক
    ৬০ মিটার
  2. খ
    ৭০ মিটার
  3. গ
    ৮০ মিটার
  4. ঘ
    ৯০ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৫০ মিটার এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৭০ মিটার হলে, এর প্রস্থ কত?

সমাধান:

আয়তের প্রতিটি কোণ 90°.
∴ PSR একটি সমকোণী ত্রিভুজ যেখানে S একটি সমকোণ
⇒ PS2 + SR2 = PR2
⇒ PS2 + 1502 = 1702
⇒ PS2 = 1702 - 1502
⇒ PS2 = (170 + 150) (170 - 150)
⇒ PS2 = 320 × 20
⇒ PS2 = 6400
⇒ PS = √6400
⇒ PS = 80

∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 80 মিটার
৮৬.
sin60°.cos30° + cos60°.sin30° = কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    - 1
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sin60°.cos30° + cos60°.sin30° = কত?

সমাধান: 
sin60°.cos30° + cos60°.sin30°
= (√3/2 × √3/2) + (1/2 × 1/2)
= 3/4 + 1/4
= (3 + 1)/4
= 4/4
= 1
৮৭.
নিচে ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি আঁকা সম্ভব নয়?
  1. ক
    ক) ২, ৩, ৫ সে.মি.
  2. খ
    খ) ৪, ৫, ৬ সে.মি.
  3. গ
    গ) ৫, ৬, ৮ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ৩, ৫, ৭ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচে ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি আঁকা সম্ভব নয়? 

সমাধান: 
 ত্রিভুজের যে কোনো দুটি বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর
∴ ২ + ৩ = ৫
অর্থ্যাৎ ২, ৩ ও ৫ সে.মি দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব না।
৮৮.
একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হলে তার ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
  1. ক
    ক) ২
  2. খ
    খ) ৪
  3. গ
    গ) ৮
  4. ঘ
    ঘ) ৬
ব্যাখ্যা
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈঘ্য ক একক
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ক২ বর্গ একক

দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করা হলে নতুন দৈর্ঘ্য = ২ক একক
নতুন ক্ষেত্রফল = (২ক)২ = ৪ক২ বর্গ একক


একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হলে তার ক্ষেত্রফল ৪গুণ বৃদ্ধি পাবে।
৮৯.
tan75° + tan15° + tan105° + tan165° এর মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    1
  2. খ
    1/2
  3. গ
    0
  4. ঘ
    √3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: tan75° + tan15° + tan105° + tan165° এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
tan75° + tan15° + tan105° + tan165°
= tan(90 - 15)° + tan15° + tan(90 + 15)° + tan{(90 × 2) - 15}°
= cot15° + tan15° - cot15° - tan15°
= 0 
৯০.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ৮ মিটার এবং অপর দুই বাহু প্রতিটি ৫ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ১০ বর্গমিটার
  2. খ
    ১২ বর্গমিটার
  3. গ
    ১৫ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ২০ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ৮ মিটার এবং অপর দুই বাহু প্রতিটি ৫ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = ৫ মিটার
ভূমির দৈর্ঘ্য b = ৮ মিটার

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a2 - b2) বর্গএকক
= (৮/৪)√{(৪ × ৫২) - ৮২} বর্গমিটার
= ২√{(৪ × ২৫) - ৬৪} বর্গমিটার
= ২√(১০০ - ৬৪) বর্গমিটার
= ২√৩৬ বর্গমিটার
= ২ × ৬ বর্গমিটার
= ১২ বর্গমিটার
৯১.
নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    tan2θ = sec2θ + 1
  2. খ
    tan2θ = sec2θ - 1
  3. গ
    Sin2θ - cos2θ = 1
  4. ঘ
    tanθ = cosθ/sinθ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
sec2θ - tan2θ = 1
বা, - tan2θ = 1 - sec2θ 
∴ tan2θ = sec2θ - 1
৯২.
৩ সে.মি., ৪ সে.মি., ৫ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট তিনটি ঘনক গলিয়ে নতুন একটি ঘনক তৈরি করা হল। নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?
  1. ক
    ৭.৫ সে.মি.
  2. খ
    ৭ সে.মি.
  3. গ
    ৬.৫ সে.মি.
  4. ঘ
    ৬ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩ সে.মি., ৪ সে.মি., ৫ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট তিনটি ঘনক গলিয়ে নতুন একটি ঘনক তৈরি করা হল। নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের আয়তন = বাহু৩
∴ নতুন ঘনকের আয়তন = ৩৩ + ৪৩ + ৫৩ ঘন সে.মি.
= ২৭ + ৬৪ + ১২৫ ঘন সে.মি.
= ২১৬ ঘন সে.মি.

∴ নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = (২১৬)১/৩ সে.মি.
= ৬ সে.মি.
৯৩.
দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে বলা হয়-
  1. ক
    পূরক কোণ
  2. খ
    সম্পূরক কোণ
  3. গ
    বিপ্রতীপ কোণ
  4. ঘ
    প্রবৃদ্ধ কোণ
ব্যাখ্যা
প্রবৃদ্ধ কোণ: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়। 

পূরক কোণ: দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি এক সমকোণ বা 90° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের পূরক কোণ বলা হয়।

সম্পূরক কোণ: দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের সম্পূরক কোণ বলা হয়। 

বিপ্রতীপ কোণ: যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।
৯৪.
১২০ ডিগ্রি কোণের সম্পূরক কোণ কত?
  1. ক
    ২৪০ ডিগ্রি
  2. খ
    ৮০ ডিগ্রি
  3. গ
    ১০০ ডিগ্রি
  4. ঘ
    ৬০ ডিগ্রি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১২০ ডিগ্রি কোণের সম্পূরক কোণ কত?

সমাধান :
সম্পূরক কোণের ক্ষেত্রে কোণদ্বয়ের সমষ্টি ১৮০°
সুতরাং,  ১২৫° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ১২০° = ৬০°
৯৫.
একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃকোণ ১৬০°। এর বাহু সংখ্যা কতগুলো হবে?
  1. ক
    ১০টি
  2. খ
    ১২টি
  3. গ
    ১৬টি
  4. ঘ
    ১৮টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃকোণ ১৬০°। এর বাহু সংখ্যা কতগুলো হবে?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ = ১৬০°।
সুতরাং সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = (১৮০° - ১৬০°)
= ২০°

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°
সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/২০°
= ১৮টি
৯৬.
একটি আয়তাকার কামরার পরিসীমা 44 ফুট এবং ক্ষেত্রফল 120 বর্গ ফুট হলে, এর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    10
  2. খ
    16
  3. গ
    12
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার কামরার পরিসীমা 44 ফুট এবং ক্ষেত্রফল 120 বর্গ ফুট হলে, এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = x
প্রস্থ = y

∴ 2(x + y) = 44
⇒ x + y = 44/2 = 22
এবং,
xy = 120

আমরা জানি,
(x - y)2 = (x + y)2 - 4xy = (22)2 - 4 × 120
             = 484 - 480
             = 4
⇒ (x - y)2 = 4
⇒ x - y = 2

এখন,
⇒ x + y + x - y = 22 + 2
⇒ 2x = 24
⇒ x = 24/2
⇒ x = 12

∴ দৈর্ঘ্য = x = 12 ফুট
৯৭.
একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8 সে.মি. ও 6 সে.মি. হলে এর পরিসীমা কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    14
  3. গ
    24
  4. ঘ
    28
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, সামান্তরিকের পরিসীমা = 2(a+b)
= 2(8 + 6)
= 28 সে.মি.

৯৮.
একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 120 বর্গ মিটার এবং একটি কর্ণ 24 মিটার।কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) 10 মিটার
  2. খ
    খ) 15 মিটার
  3. গ
    গ) 3 মিটার
  4. ঘ
    ঘ) 5 মিটার
ব্যাখ্যা

একটি কর্ণ d = 24 মিটার
কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য h মিটার
∴ সামান্তরিকক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = dh 
⇒ dh = 120
⇒ h = 120/24 = 5
∴কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 5 মিটার

৯৯.
একটি বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য 14 মিটার হলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল -
  1. ক
    ক) 14π বর্গমিঃ
  2. খ
    খ) 49π বর্গমিঃ
  3. গ
    গ) 41π বর্গমিঃ
  4. ঘ
    ঘ) 45π বর্গমিঃ
ব্যাখ্যা
বৃত্তের ব্যাস = বৃহত্তম জ্যা = 14 মিঃ
∴ ব্যাসার্ধ = 7 মিঃ
∴ ক্ষেত্রফল = π × 72
= 49π বর্গমিঃ
১০০.
ΔPQR এ ∠P = 90° এবং PQ = √3 PR হলে, ∠Q = ?
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা
ΔPQR এ
∠P = 90° এবং
PQ = √3 PR 
∴ tan∠Q = PR/PQ
                = 1/√3
                = tan30°
⇒ ∠Q = 30°