১০,৫০১.
∠DCE এর মান কত?
ব্যাখ্যা
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
∠BAD + ∠BCD = 180°
80° + ∠BCD = 180°
∠BCD = 180° - 80°
∠BCD =100°
আবার,
∠BCD + ∠DCE = 180°
100° + ∠DCE = 180°
∠DCE = 180° - 100°
∠DCE = 80°
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
জ্যামিতি
জ্যামিতি
PrepBank · পাতা ১০৬ / ১০৭ · ১০,৫০১–১০,৬০০ / ১০,৭৫২
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
∠BAD + ∠BCD = 180°
80° + ∠BCD = 180°
∠BCD = 180° - 80°
∠BCD =100°
আবার,
∠BCD + ∠DCE = 180°
100° + ∠DCE = 180°
∠DCE = 180° - 100°
∠DCE = 80°
১০,৫০২.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১৩ সে.মি. এবং পরিসীমা ৩০ সে.মি.। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর?
ব্যাখ্যা
ধরি, অপর দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি. এবং b সে.মি.
আমরা জানি,
পরিসীমা= a+b+c
⇒ 30 = a+b 13
∴ a+b = 17 ........... (1)
আবার,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
বা, 13² = a² + b²
বা, (a + b)² - 2ab = 169
বা, 17² - 2ab = 169
বা, 2ab = 289 - 169
বা, ab = 120/2 = 60
সুতরাং ক্ষেত্রফল = (1/2)×a×b = (1/2)×60 = 30 বর্গ সে.মি.
১০,৫০৩.
ABCD বৃত্তস্থ চতুভূর্জের 1/2 ∠C = 55° হলে, ∠A = ?
ব্যাখ্যা
1/2 ∠C = 55°
∴ ∠C = 110°
∴ ∠A = 180° - 110°
= 70°
১০,৫০৪.
If the number of sides of a regular polygon is 12. What is the, what is the measure of each exterior angle?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
বহিঃস্থ কোণের ক্ষেত্রে বাহু সংখ্যা = 360°/বহিঃস্থ কোণ
বা, 12 = 360/বহিঃস্থ কোণ
∴ বহিঃস্থ কোণ = 360/12 = 30°
১০,৫০৫.
বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে নতুন ব্যাস = (3 × 2r) = 6r
∴ নতুন ব্যাসার্ধ = 6r/2 = 3r
নতুন ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3r)2 = 9πr2
∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = 9πr2 - πr2
= 8πr2
= 8 × পূর্বের ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল
অর্থাৎ বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল 8 গুণ বৃদ্ধি পাবে।
১০,৫০৬.
একটি রম্বসক্ষেত্রের কর্ণ যথাক্রমে ৫.৪ সে.মি. ও ৪.৫ সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৫.৪ সে.মি. ও ৪.৫ সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৫.৪ সে.মি. ও ৪.৫ সে.মি.
আমরা জানি,
রম্বসক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (কর্ণদ্বয়ের গুণফল) বর্গ একক
= (১/২) × (৫.৪ × ৪.৫)
= ২৪.৩/২
= ১২.১৫ বর্গ সে.মি.
সুতরাং, রম্বসক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১২.১৫ বর্গ সে.মি.।
১০,৫০৭.
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন যেকোন একটি বাহুকে স্থির রেখে ঐ বাহুর চতুর্দিকে ত্রিভুজকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তাকে কি বলে?
ব্যাখ্যা
কোণকের সংজ্ঞার মধ্যেই আছে যে, সমকোনী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন যেকোন একটি বাহুকে স্থির রেখে ঐ বাহুর চতুর্দিকে ত্রিভুজকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তাকে কোণক বলে।
১০,৫০৮.
একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্যে প্রস্থের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৩৩৮ বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্যে প্রস্থের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৩৩৮ বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?
সমাধান:
ঘরের প্রস্থ = ক মি. এবং ঘরের দৈর্ঘ্য = ২ক মি.
∴ ক্ষেত্রফল = (ক × ২ক) = ২ক২ বর্গমিটার।
প্রশ্নমতে,
২ক২ = ৩৩৮
⇒ ক২ = ১৬৯
∴ ক = ১৩
ঘরের প্রস্থ = ক মি.
∴ ঘরের দৈর্ঘ্য = ২ক = ২ × ১৩ = ২৬ মি.
∴ ঘরটির পরিসীমা = ২(২৬ + ১৩) মিটার
= ৭৮ মিটার
সমাধান:
ঘরের প্রস্থ = ক মি. এবং ঘরের দৈর্ঘ্য = ২ক মি.
∴ ক্ষেত্রফল = (ক × ২ক) = ২ক২ বর্গমিটার।
প্রশ্নমতে,
২ক২ = ৩৩৮
⇒ ক২ = ১৬৯
∴ ক = ১৩
ঘরের প্রস্থ = ক মি.
∴ ঘরের দৈর্ঘ্য = ২ক = ২ × ১৩ = ২৬ মি.
∴ ঘরটির পরিসীমা = ২(২৬ + ১৩) মিটার
= ৭৮ মিটার
১০,৫০৯.
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 24 একক হলে তার কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 24 একক হলে তার কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
দেয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 24 একক
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা হলো এর চারটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি।
∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = 24/4
= 6 একক
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a × √2 একক
= 6 × √2
= 6√2 একক
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 6√2 একক
১০,৫১০.
একটি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের ৪ গুণ। প্রতি বর্গমিটারে ৬ টাকা দরে ঘরের মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ৬০০ টাকা ব্যয় হয়। ঘরটির পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের ৪ গুণ। প্রতি বর্গমিটারে ৬ টাকা দরে ঘরের মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ৬০০ টাকা ব্যয় হয়। ঘরটির পরিসীমা কত?
সমাধান:
মনেকরি,
ঘরের প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ৪ক মিটার
∴ ঘরের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= (৪ক × ক)
= ৪ক২ বর্গমিটার
প্রতি বর্গমিটারে খরচ = ৬ টাকা
সুতরাং, মোট খরচ = ৪ক২ × ৬ = ২৪ক২ টাকা
প্রশ্নমতে,
২৪ক২ = ৬০০
⇒ ক২ = ৬০০/২৪
⇒ ক২ = ২৫
⇒ ক = √২৫
⇒ ক = ৫
সুতরাং, প্রস্থ = ৫ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = ৪ × ৫ = ২০ মিটার
এখন, ঘরের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (২০ + ৫)
= ২ × ২৫
= ৫০ মিটার
∴ ঘরটির পরিসীমা ৫০ মিটার।
১০,৫১১.
একই উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বেলনাকার লোহার দন্ডকে (Cylindrical rod) গলিয়ে দন্ডটির ব্যাসার্ধের অর্ধেক ব্যাসার্ধের গোলক আকৃতির বলতৈরি করা হলো তবে কয়টি বল তৈরি করা যাবে?
ব্যাখ্যা
ধরি, রডের ব্যাসার্ধ = r
∴ উচ্চতা = r
∴ আয়তন = πr2.r = πr3
এখন, বলের ব্যাসার্ধ = r/2
∴ আয়তন = 4/3π(r/2)3
= 4/3.π.r3/8
= πr3/6
∴ বলের সংখ্যা = πr3/(πr3/6)
= 6
১০,৫১২.
বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি -
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি -
সমাধান:
বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র।
কারণ বৃত্তের ভেতর সামান্তরিক আকলে এর বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ হয়ে যায়।
সমাধান:
বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র।
কারণ বৃত্তের ভেতর সামান্তরিক আকলে এর বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ হয়ে যায়।
১০,৫১৩.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 27 সে.মি. হলে এর পরিধি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 27 সে.মি. হলে এর পরিধি কত?
সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 27 সে.মি.
বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2 × π × 27 সে. মি.
= 54π সে. মি.
সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 27 সে.মি.
বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2 × π × 27 সে. মি.
= 54π সে. মি.
১০,৫১৪.
একটি আয়তাকার ট্যাংকের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার, প্রস্থ ৫ মিটার, এবং গভীরতা ৪ মিটার হলে, তার ধারণক্ষমতা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ট্যাংকের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার, প্রস্থ ৫ মিটার, এবং গভীরতা ৪ মিটার হলে, তার ধারণক্ষমতা কত?
সমাধান:
আয়তাকার ট্যাংকের ধারণক্ষমতা বলতে তার আয়তনকে বুঝানো হয়েছে।
আয়তাকার ট্যাংকের আয়তন = ১০ × ৫ × ৪ ঘনমিটার
= ২০০ ঘনমিটার
সমাধান:
আয়তাকার ট্যাংকের ধারণক্ষমতা বলতে তার আয়তনকে বুঝানো হয়েছে।
আয়তাকার ট্যাংকের আয়তন = ১০ × ৫ × ৪ ঘনমিটার
= ২০০ ঘনমিটার
১০,৫১৫.
নিচের কোন দুইটি পরস্পর পূরক কোণ?
ব্যাখ্যা
নিচের কোন দুইটি পরস্পর পূরক কোণ?
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি 90° হলে, কোণ দুইটি একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
43° ও 47° পরস্পর পূরক কোণ
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি 90° হলে, কোণ দুইটি একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
43° ও 47° পরস্পর পূরক কোণ
১০,৫১৬.
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং রম্বসের একটি কর্ণ 16 সে.মি. হলে রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং রম্বসের একটি কর্ণ 16 সে.মি. হলে রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
মনেকরি
রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 144 বর্গ সে.মি.
রম্বসের ক্ষেত্রফল= 144 বর্গ সে.মি.
রম্বসের একটি কর্ণ = 16 সে.মি.
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (কর্ণদ্বয়ের গুণফল)
⇒ 144 = (1/2)(x × 16)
⇒ 8x = 144
∴ x = 18
∴ রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য 18 সে.মি.
১০,৫১৭.
১০০ লিংক বিশিষ্ট একটি চেইনের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০০ লিংক বিশিষ্ট একটি চেইনের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
১ লিংক = ০.৬৬ ফুট
∴ ১০০ লিংক = (০.৬৬ × ১০০) ফুট = ৬৬ ফুট
সমাধান:
আমরা জানি,
১ লিংক = ০.৬৬ ফুট
∴ ১০০ লিংক = (০.৬৬ × ১০০) ফুট = ৬৬ ফুট
১০,৫১৮.
পরিধির একপ্রান্ত থেকে অপর প্রান্ত পর্যন্ত বৃত্তের কেন্দ্রগামী সরল রেখাটিকে কি বলে?
ব্যাখ্যা
ব্যাসের সংজ্ঞা অনুসারে প্রশ্নটি প্রণীত।
১০,৫১৯.
একটি খাড়া খুঁটি মাটি থেকে ৩ মিটার উপরে ভেঙে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত ভূমিতে ৪ মিটার দূরত্বে স্পর্শ করলে খুঁটির উচ্চতা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি খাড়া খুঁটি মাটি থেকে ৩ মিটার উপরে ভেঙে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত ভূমিতে ৪ মিটার দূরত্বে স্পর্শ করলে খুঁটির উচ্চতা কত?
সমাধান:
ধরি,
খুঁটির উচ্চতা AE = x মি.
3 মি. উঁচুতে ভেঙে যাওয়ায় খুঁটির ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য = x - 3. মি.
Δ ABD এ
(x - 3)2 = 32 + 42
x2 - 6x + 9 = 9 + 16
x2 - 6x = 16
x2 - 6x - 16 = 0
x2 - 8x + 2x - 16 =0
x(x - 8) + 2(x - 8) = 0
(x - 8)(x - 2) = 0
হয়
x - 8 =0
x = 8
অথবা
x + 2 = 0
x = - 2 [গ্রহণযোগ্য নয় ]
সমাধান:
ধরি,
খুঁটির উচ্চতা AE = x মি.
3 মি. উঁচুতে ভেঙে যাওয়ায় খুঁটির ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য = x - 3. মি.
Δ ABD এ
(x - 3)2 = 32 + 42
x2 - 6x + 9 = 9 + 16
x2 - 6x = 16
x2 - 6x - 16 = 0
x2 - 8x + 2x - 16 =0
x(x - 8) + 2(x - 8) = 0
(x - 8)(x - 2) = 0
হয়
x - 8 =0
x = 8
অথবা
x + 2 = 0
x = - 2 [গ্রহণযোগ্য নয় ]
১০,৫২০.
দু'টি গোলকের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৪ঃ৯ হলে আয়তনের অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
ধরি, গোলকদ্বয়ের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ক, খ
∴ ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৪Πক২/৪Πখ২ = ৪/৯
বা, ক২/খ২ = ৪/৯
বা, ক/খ = ২/৩
বা, ক৩/খ৩ = ৮/২৭
বা, (৪/৩ Πক৩)/(৪/৩ Πখ৩) = ৮/২৭
∴ আয়তনের অনুপাত = ৮ঃ২৭
১০,৫২১.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি যথাক্রমে 12 সে.মি. ও 9 সে.মি. এবং লম্ব দূরত্ব 4 সে.মি.। ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি যথাক্রমে 12 সে.মি. ও 9 সে.মি. এবং লম্ব দূরত্ব 4 সে.মি.। ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল দুই বাহু 12 সে.মি. ও 9 সে.মি.
লম্ব দূরত্ব = 4 সে.মি.
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমান্তরাল বাহু দুইটির সমষ্টি × উচ্চতা
= (1/2) × (12 + 9) × 4 বর্গ সে.মি.
= (1/2) × 21 × 4 বর্গ সে.মি.
= 42 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল দুই বাহু 12 সে.মি. ও 9 সে.মি.
লম্ব দূরত্ব = 4 সে.মি.
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমান্তরাল বাহু দুইটির সমষ্টি × উচ্চতা
= (1/2) × (12 + 9) × 4 বর্গ সে.মি.
= (1/2) × 21 × 4 বর্গ সে.মি.
= 42 বর্গ সে.মি.
১০,৫২২.
একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 2 : 3 : 4 : 5 : 6 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 2 : 3 : 4 : 5 : 6 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?
সমাধান:
পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাতের যোগফল = (2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 20
পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (5 - 2) × 180°
= 540°
সুতরাং, বৃহত্তর কোণের মান = 540°× (6/20) = 162°
সমাধান:
পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাতের যোগফল = (2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 20
পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (5 - 2) × 180°
= 540°
সুতরাং, বৃহত্তর কোণের মান = 540°× (6/20) = 162°
১০,৫২৩.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 18 সে.মি এবং বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য 10π। বৃত্তচাপটি কেন্দ্রে কত কোণ উৎপন্ন করে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 18 সে.মি এবং বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য 10π। বৃত্তচাপটি কেন্দ্রে কত কোণ উৎপন্ন করে?
সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ , r = 18 সে.মি.
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, S = 10π সে.মি.
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ = θ
আমরা জানি,
S = πrθ/180°
বা, πrθ = 180° . S
বা, θ = (180° . 10π)/ πr
বা, θ = (180° . 10π)/( π.18)
∴ θ = 100°
∴ বৃত্তচাপটি কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ 100°।
সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ , r = 18 সে.মি.
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, S = 10π সে.মি.
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ = θ
আমরা জানি,
S = πrθ/180°
বা, πrθ = 180° . S
বা, θ = (180° . 10π)/ πr
বা, θ = (180° . 10π)/( π.18)
∴ θ = 100°
∴ বৃত্তচাপটি কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ 100°।
১০,৫২৪.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 2√3 বর্গমিটার হলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য কত মিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 2√3 বর্গমিটার হলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য কত মিটার?
সমাধান:
ধরি,
বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (√3/4)a2
প্রশ্নমতে,
(√3/4)a2 = 2√3
বা, a2 = 2√3 × (4/√3)
বা, a2 = 8
∴ a = 2√2
∴ বাহুর দৈর্ঘ্য 2√2 মিটার।
সমাধান:
ধরি,
বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (√3/4)a2
প্রশ্নমতে,
(√3/4)a2 = 2√3
বা, a2 = 2√3 × (4/√3)
বা, a2 = 8
∴ a = 2√2
∴ বাহুর দৈর্ঘ্য 2√2 মিটার।
১০,৫২৫.
একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ কত?
সমাধান:
- ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
এখন
∠P = ∠X + ∠Z
∠Q = ∠X + ∠Y
∠R = ∠Y + ∠Z
∠P + ∠Q + ∠R = 2(∠X + ∠Y + ∠Z) = 2 × 180°
= 360°
সমাধান:
- ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
এখন
∠P = ∠X + ∠Z
∠Q = ∠X + ∠Y
∠R = ∠Y + ∠Z
∠P + ∠Q + ∠R = 2(∠X + ∠Y + ∠Z) = 2 × 180°
= 360°
১০,৫২৬.
একটি অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ 21 সে.মি. হলে, অর্ধবৃত্তটির পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ 21 সে.মি. হলে, অর্ধবৃত্তটির পরিসীমা কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = r (2 + π) সে.মি.
= 21 (2 + 3.1416) সে.মি.
= 107.97 সে.মি.
= প্রায় 108 সে.মি.
∴ অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = 108 সে.মি.।
সমাধান:
আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = r (2 + π) সে.মি.
= 21 (2 + 3.1416) সে.মি.
= 107.97 সে.মি.
= প্রায় 108 সে.মি.
∴ অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = 108 সে.মি.।
১০,৫২৭.
নিচের কোন বৈশিষ্ট্যটি অনুরূপ কোণের?
ব্যাখ্যা
অনুরূপ কোণগুলাের বৈশিষ্ট্য:
ক. কোণের কৌণিক বিন্দু আলাদা
খ. ছেদকের একই পাশে অবস্থিত।
একান্তর কোণগুলাের বৈশিষ্ট:
ক. কোণের কৌণিক বিন্দু আলাদা
খ. ছেদকের বিপরীত পাশে অবস্থিত
গ. সরলরেখা দুইটির মধ্যে অবস্থিত।
১০,৫২৮.
একটি বৃত্তের কোন বিন্দুতে কয়টি স্পর্শক আকা যায়?
ব্যাখ্যা
একটি বৃত্তের কোন একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ১ টি স্পর্শক আঁকা যায়।
১০,৫২৯.
একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 10 সে.মি. এবং উচ্চতা 12 সে.মি. হলে, কোণকটির তীর্যক উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 10 সে.মি. এবং উচ্চতা 12 সে.মি. হলে, কোণকটির তীর্যক উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 10/2= 5 সে.মি.
উচ্চতা, h = 12 সে.মি.
আমরা জানি,
কোণকের তীর্যক উচ্চতা, L = √(h2 + r2) সে.মি.
= √(122 + 52) সে.মি.
= √(144 + 25) সে.মি.
= √169 সে.মি.
= 13 সে.মি.
১০,৫৩০.
কোন বৃত্তের 18 সেমি দীর্ঘ একটি জ্যা কেন্দ্র হতে 12 সেমি দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত সেমি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃত্তের 18 সেমি দীর্ঘ একটি জ্যা কেন্দ্র হতে 12 সেমি দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত সেমি?
সমাধান:
বৃত্তটির জ্যা AC = 18 সে.মি.;
বৃত্তটির কেন্দ্র O হতে জ্যা AB এর উপর অঙ্কিত লম্ব OB = 12 সে.মি.;
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ OC = ?
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্র হতে যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ BC = 18/2 = 9 সেমি।
এখন OCB সমকোণী ত্রিভুজ হতে,
OC = √(OB2 + BC2)
= √(122 + 52)
= √(144 + 81)
= √(225)
= 15 সে.মি.
সমাধান:
বৃত্তটির জ্যা AC = 18 সে.মি.;
বৃত্তটির কেন্দ্র O হতে জ্যা AB এর উপর অঙ্কিত লম্ব OB = 12 সে.মি.;
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ OC = ?
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্র হতে যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ BC = 18/2 = 9 সেমি।
এখন OCB সমকোণী ত্রিভুজ হতে,
OC = √(OB2 + BC2)
= √(122 + 52)
= √(144 + 81)
= √(225)
= 15 সে.মি.
১০,৫৩১.
1/{tanA√(1 - sin2A)} = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1/{tanA√(1 - sin2A)} = ?
সমাধান:
tanA√(1 - sin2A)
= tanA√(cos2A)
= (sinA/cosA) × cosA
= sinA
অতএব,
1/{tanA√(1 - sin2A)} = 1/sinA
= cosecA
সমাধান:
tanA√(1 - sin2A)
= tanA√(cos2A)
= (sinA/cosA) × cosA
= sinA
অতএব,
1/{tanA√(1 - sin2A)} = 1/sinA
= cosecA
১০,৫৩২.
একটি বর্গাকার মাঠের বাইরে চারদিকে ৫ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল ১০০০ বর্গমিটার হলে, মাঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের বাইরে চারদিকে ৫ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল ১০০০ বর্গমিটার হলে, মাঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধরি
বর্গাকার মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (একবাহু)২ বর্গ একক
= (x)২ বর্গ মিটার
∴ রাস্তা সহ বর্গাকার মাঠ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = (x + ৫ + ৫) মিটার
= (x + ১০) মিটার
রাস্তা সহ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (x + ১০)২ বর্গ একক
প্রশ্নমতে,
(x + ১০)২ - (x)২ = ১০০০
⇒ x২ + ২০x + ১০০ - x২ = ১০০০
⇒ ২০x + ১০০ = ১০০০
⇒ ২০x = ৯০০
⇒ x = ৯০০/২০
∴ x = ৪৫
∴ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (৪৫)২ বর্গ একক
= ২০২৫ বর্গ মিটার
সমাধান:
ধরি
বর্গাকার মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (একবাহু)২ বর্গ একক
= (x)২ বর্গ মিটার
∴ রাস্তা সহ বর্গাকার মাঠ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = (x + ৫ + ৫) মিটার
= (x + ১০) মিটার
রাস্তা সহ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (x + ১০)২ বর্গ একক
প্রশ্নমতে,
(x + ১০)২ - (x)২ = ১০০০
⇒ x২ + ২০x + ১০০ - x২ = ১০০০
⇒ ২০x + ১০০ = ১০০০
⇒ ২০x = ৯০০
⇒ x = ৯০০/২০
∴ x = ৪৫
∴ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (৪৫)২ বর্গ একক
= ২০২৫ বর্গ মিটার
১০,৫৩৩.
(3, 4) এবং (5,8) বিন্দু দুটি দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার ঢাল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (3, 4) এবং (5,8) বিন্দু দুটি দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার ঢাল কত?
সমাধান:
(x1, y1) = (3, 4)
এবং (x2, y2) = (5, 8)
আমরা জানি,
(x1, y1) এবং (x2, y2) বিন্দুগামী সরল রেখার ঢাল,
m = (y2 - y1)/(x2 - x1)
= (8 - 4)/(5 - 3)
= 4/2
= 2
সুতরাং, সরলরেখাটির ঢাল 2।
১০,৫৩৪.
একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। মাঠের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার হলে মাঠটির পরিসীমা কত মিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্নমতে, দৈর্ঘ্য 2x মিটার = ১২ মিটার হলে, প্রস্থ x = ৬ মিটার।
∴ পরিসীমা = ২(৬ + ১২) = ৩৬ মিটার
∴ পরিসীমা = ২(৬ + ১২) = ৩৬ মিটার
১০,৫৩৫.
28 ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে কোনো এক দিকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 28 ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে কোনো এক দিকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?
সমাধান:
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ = 28/2 ফুট = 14 ফুট
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = πr2
= π × 14 × 14
= (22/7) × (14 × 14)
= 616 বর্গফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 616 বর্গফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √616 = 2√154 ফুট
সমাধান:
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ = 28/2 ফুট = 14 ফুট
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = πr2
= π × 14 × 14
= (22/7) × (14 × 14)
= 616 বর্গফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 616 বর্গফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √616 = 2√154 ফুট
১০,৫৩৬.
cos4x - sin4x = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cos4x - sin4x = কত?
সমাধান:
cos4x - sin4x
= (cos2x)2 - (sin2x)2
= (cos2x + sin2x)(cos2x - sin2x)
= 1 . (cos2x - sin2x)
= cos2x - sin2x
= cos2x - (1 - cos2x)
= 2cos2x - 1
= - 1 + 2cos2x
সমাধান:
cos4x - sin4x
= (cos2x)2 - (sin2x)2
= (cos2x + sin2x)(cos2x - sin2x)
= 1 . (cos2x - sin2x)
= cos2x - sin2x
= cos2x - (1 - cos2x)
= 2cos2x - 1
= - 1 + 2cos2x
১০,৫৩৭.
একটি রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 20 সেমি, একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 32 সেমি হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 20 সেমি, একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 32 সেমি হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
একটি কর্ণের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য = 32/2 = 16 সেন্টিমিটার
∴ অপর কর্ণের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য = √(202 - 162) = √144 = 12
∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = 12 × 2 = 24
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × দুই কর্ণের গুনফল
= (1/2) × 24 × 32
= 384 বর্গ সেন্টিমিটার
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
একটি কর্ণের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য = 32/2 = 16 সেন্টিমিটার
∴ অপর কর্ণের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য = √(202 - 162) = √144 = 12
∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = 12 × 2 = 24
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × দুই কর্ণের গুনফল
= (1/2) × 24 × 32
= 384 বর্গ সেন্টিমিটার
১০,৫৩৮.
একটি রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. ও ১০ সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. ও ১০ সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার হবে?
সমাধান:
রম্বসটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ১২ × ১০
= ৬০ বর্গ সেন্টিমিটার
১০,৫৩৯.
একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 14 সে.মি. ও উচ্চতা 28 সে.মি. হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 14 সে.মি. ও উচ্চতা 28 সে.মি. হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = 14 সে.মি.
উচ্চতা, h = 28 সে.মি.
আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr (r + h)
= 2π × 14(14 + 28)
= 1176π বর্গ সে.মি.
সমাধান:
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = 14 সে.মি.
উচ্চতা, h = 28 সে.মি.
আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr (r + h)
= 2π × 14(14 + 28)
= 1176π বর্গ সে.মি.
১০,৫৪০.
একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্ত:স্থ কোণ ১৫৬°। বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্ত:স্থ কোণ ১৫৬°। বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্ত:স্থ কোণ = ১৫৬°
∴ বহুভুজটির বহিঃস্থ কোণ = ১৮০° - ১৫৬° = ২৪°
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/২৪°
= ১৫ টি
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্ত:স্থ কোণ = ১৫৬°
∴ বহুভুজটির বহিঃস্থ কোণ = ১৮০° - ১৫৬° = ২৪°
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/২৪°
= ১৫ টি
১০,৫৪১.
৭৫° কোণের সম্পূরক কোণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭৫° কোণের সম্পূরক কোণ কত?
সমাধান:
দুটি কোণের সমষ্টি যদি ১৮০˚ হয় তখন একটি কোণকে অপর কোণের সম্পূরক কোণ বলে।
∴ ৭৫° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০˚ - ৭৫˚ = ১০৫˚
সমাধান:
দুটি কোণের সমষ্টি যদি ১৮০˚ হয় তখন একটি কোণকে অপর কোণের সম্পূরক কোণ বলে।
∴ ৭৫° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০˚ - ৭৫˚ = ১০৫˚
১০,৫৪২.
একটি বাড়ি ৪০ ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়িটির দেয়াল থেকে ৯ ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়িটির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাড়ি ৪০ ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়িটির দেয়াল থেকে ৯ ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়িটির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?
সমাধান:
দেয়ালের উচ্চতা, AB = ৪০ ফুট
মইয়ের তলদেশ থেকে দেয়ালের দূরত্ব, BC = ৯ ফুট
মইয়ের দৈর্ঘ্য = AC
আমরা জানি,
AC2 = AB2 + BC2
বা, AC2 = 402 + 92
বা, AC2 = 1600 + 81
বা, AC = √1681
∴ AC = 41
∴ মইয়ের দৈর্ঘ্য 41 ফুট।
সমাধান:
দেয়ালের উচ্চতা, AB = ৪০ ফুট
মইয়ের তলদেশ থেকে দেয়ালের দূরত্ব, BC = ৯ ফুট
মইয়ের দৈর্ঘ্য = AC
আমরা জানি,
AC2 = AB2 + BC2
বা, AC2 = 402 + 92
বা, AC2 = 1600 + 81
বা, AC = √1681
∴ AC = 41
∴ মইয়ের দৈর্ঘ্য 41 ফুট।
১০,৫৪৩.
একটি খুটির দৈর্ঘ্য 24 মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে উন্নতি কোণ 45° হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি খুটির দৈর্ঘ্য 24 মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে উন্নতি কোণ 45° হবে?
সমাধান:
খুটির দৈর্ঘ্য AB = 24 মিটার
সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB =45°
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = ?
tan∠ACB = AB/BC
⇒ tan 45° = 24/BC
⇒ 1 = 24/BC
⇒ BC = 24
ছায়ার দৈর্ঘ্য = 24 মিটার
সমাধান:
খুটির দৈর্ঘ্য AB = 24 মিটার
সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB =45°
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = ?
tan∠ACB = AB/BC
⇒ tan 45° = 24/BC
⇒ 1 = 24/BC
⇒ BC = 24
ছায়ার দৈর্ঘ্য = 24 মিটার
১০,৫৪৪.
π/10 রেডিয়ান সমান কত ডিগ্রি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : π/10 রেডিয়ান সমান কত ডিগ্রি?
সমাধান:
আমরা জানি,
1 রেডিয়ান = 180/π ডিগ্রি
∴ π/10 রেডিয়ান = (180/π) × (π/10)
= 18 ডিগ্রি
সমাধান:
আমরা জানি,
1 রেডিয়ান = 180/π ডিগ্রি
∴ π/10 রেডিয়ান = (180/π) × (π/10)
= 18 ডিগ্রি
১০,৫৪৫.
3cotA = 4 হলে, cosecA এর মান নির্ণয় করুন।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3cotA = 4 হলে, cosecA এর মান নির্ণয় করুন।
সমাধান:
3 cotA = 4
⇒ cot = 4/3
⇒ cot2A = 16/9
⇒ cosec2A - 1 = 16/9
⇒ cosec2A = (16/9) + 1
⇒ cosec2A = (16 + 9)/9
⇒ cosec2A = 25/9
∴ cosecA = 5/3
সমাধান:
3 cotA = 4
⇒ cot = 4/3
⇒ cot2A = 16/9
⇒ cosec2A - 1 = 16/9
⇒ cosec2A = (16/9) + 1
⇒ cosec2A = (16 + 9)/9
⇒ cosec2A = 25/9
∴ cosecA = 5/3
১০,৫৪৬.
একটি বৃত্তের ব্যাস ১২ সেমি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ১২ সেমি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত ?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস d = ১২ সেমি
∴ বৃত্তের ব্যাষার্ধ r = ১২ ÷ ২ সেমি
= ৬ সেমি
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
= ৩.১৪১৬ × (৬)২
= ৩.১৪১৬ × ৩৬
= ১১৩.০৯৭৬ বর্গ সেমি
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস d = ১২ সেমি
∴ বৃত্তের ব্যাষার্ধ r = ১২ ÷ ২ সেমি
= ৬ সেমি
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
= ৩.১৪১৬ × (৬)২
= ৩.১৪১৬ × ৩৬
= ১১৩.০৯৭৬ বর্গ সেমি
১০,৫৪৭.
একটি বৃত্তের বৃহত্তম জ্যাটি ব্যাসার্ধের ______?
ব্যাখ্যা
ব্যাস হল বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা। আর ব্যাস, ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।
১০,৫৪৮.
একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত √2 : 4 : 3√2 হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত √2 : 4 : 3√2 হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?
সমাধান:
ধরি
১ম বাহু = √2x
২য় বাহু = 4x
৩য় বাহু = 3√2x
এখন,
(3√2x)2 = (√2x)2 + (4x)2
⇒ 18x2 = 2x2 + 16x2
∴ 18x2 = 18x2
∴ প্রদত্ত ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ সর্বদা 90°।
সমাধান:
ধরি
১ম বাহু = √2x
২য় বাহু = 4x
৩য় বাহু = 3√2x
এখন,
(3√2x)2 = (√2x)2 + (4x)2
⇒ 18x2 = 2x2 + 16x2
∴ 18x2 = 18x2
∴ প্রদত্ত ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ সর্বদা 90°।
১০,৫৪৯.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এবং ৬ সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এবং ৬ সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল= ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= ১/২ × ৪ × ৬ = ১২ বর্গ সে.মি.
সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল= ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= ১/২ × ৪ × ৬ = ১২ বর্গ সে.মি.
১০,৫৫০.
একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য ২ মি. উচ্চতা ৩ মি. পুরুত্ব ৩০ সে. মি.। একটি ইটের দৈর্ঘ্য ১০ সে. মি. প্রস্থ ৪ সে. মি. উচ্চতা ৩ সে. মি.। দেওয়ালটি ইট দিয়ে তৈরী করতে কতটি ইট লাগবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য ২ মি. উচ্চতা ৩ মি. পুরুত্ব ৩০ সে. মি.। একটি ইটের দৈর্ঘ্য ১০ সে. মি. প্রস্থ ৪ সে. মি. উচ্চতা ৩ সে. মি.। দেওয়ালটি ইট দিয়ে তৈরী করতে কতটি ইট লাগবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দেওয়ালের দৈর্ঘ্য = ২ মি. = ২০০ সে.মি.
উচ্চতা = ৩ মি. = ৩০০ সে.মি.
পুরুত্ব = ৩০ সে. মি.
এখন,
দেওয়ালের আয়তন = (২০০ × ৩০০ × ৩০) = ১৮০০০০০ সে. মি.
আবার, ইটের আয়তন = (১০ × ৪ × ৩) = ১২০ সে. মি.
আমরা জানি,
ইটের সংখ্যা = দেওয়ালের আয়তন/ইটের আয়তন
= ১৮০০০০০/১২০
= ১৫০০০ টি
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দেওয়ালের দৈর্ঘ্য = ২ মি. = ২০০ সে.মি.
উচ্চতা = ৩ মি. = ৩০০ সে.মি.
পুরুত্ব = ৩০ সে. মি.
এখন,
দেওয়ালের আয়তন = (২০০ × ৩০০ × ৩০) = ১৮০০০০০ সে. মি.
আবার, ইটের আয়তন = (১০ × ৪ × ৩) = ১২০ সে. মি.
আমরা জানি,
ইটের সংখ্যা = দেওয়ালের আয়তন/ইটের আয়তন
= ১৮০০০০০/১২০
= ১৫০০০ টি
১০,৫৫১.
বিন্দু P = (- 1, 4) এবং Q = (3, -2) -এর মধ্যবিন্দু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বিন্দু P = (- 1, 4) এবং Q = (3, - 2) -এর মধ্যবিন্দু কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = (- 1, 4) এবং Q = (3, - 2)
আমরা জানি,
দুটি বিন্দু (x1, y1) এবং (x2, y2)-এর জন্য মধ্যবিন্দু,
M = {(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2}
যেখানে, x1 = - 1, y1 = 4, x2 = 3, y2 = - 2
এখন,
Mx = (3 - 1)/2 = 2/2 = 1
এবং,
My = (- 2 + 4)/2 = 2/2 = 1
∴ মধ্যবিন্দু = (1, 1)
১০,৫৫২.
একটি বিন্দু দিয়ে কতগুলো সরলরেখা টানা যেতে পারে?
ব্যাখ্যা
সাধারণ বিন্দু:
- একটি সমতলে দুটি সরলরেখা যে নির্দিষ্ট বিন্দুটিতে ছেদ করে সেই বিন্দুটিকেই সাধারণ বিন্দু বলে।
- দুটি বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা টানা যায়, কিন্ত একাধিক বক্ররেখা টানা যায় না।
- একটি বিন্দু দিয়ে একাধিক বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়।
- সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করতে পারে।
- একটি সমতলে দুটি সরলরেখা যে নির্দিষ্ট বিন্দুটিতে ছেদ করে সেই বিন্দুটিকেই সাধারণ বিন্দু বলে।
- দুটি বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা টানা যায়, কিন্ত একাধিক বক্ররেখা টানা যায় না।
- একটি বিন্দু দিয়ে একাধিক বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়।
- সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করতে পারে।
১০,৫৫৩.
প্রদত্ত চিত্র অনুসারে ∠ n = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্র অনুসারে ∠ n = কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
1 সরল কোণ = 180°
∴ 30° + 100° + n° + 25° = 180°
⇒ 155° + n° = 180°
⇒ n° = 180° - 155°
∴ n° = 25°
সমাধান:
আমরা জানি,
1 সরল কোণ = 180°
∴ 30° + 100° + n° + 25° = 180°
⇒ 155° + n° = 180°
⇒ n° = 180° - 155°
∴ n° = 25°
১০,৫৫৪.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 17 সে.মি এবং পরিসীমা 40 সে.মি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
ধরি,
ভূমি = a, লম্ব = b এবং অতিঃ c = 17
∴ পরিসীমা = a + b + c = 40
বা, a + b = 40 - c = 40 - 17 = 23 cm
বা, (a + b)2 = 232
বা, (a2 + b2) + 2ab = 529
বা, c2 + 2ab = 529 (পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে a2 + b2 = c2)
বা, 2ab = 529 - c2 = 529 - 172 = 529 - 289 = 240
বা, ab = 120
∴ Δ = 1/2 ab = 120/2 = 60 বর্গ সে. মি.
১০,৫৫৫.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
সমাধান:
সমাধান:
১০,৫৫৬.
ΔABC এর AB=AC, BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলে যদি ∠ACD=120° হয়, তবে ∠BAC এর মান কত?
ব্যাখ্যা
BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলে যদি ∠ACD=120° হয় তবে ∠ACB=60°
AB=AC বলে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভূজ।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় সমান হয় বলে ∠ABC= 60°
আমরা জানি
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = 180°
বা, ∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°
60° + 60° + ∠BAC =180°
120°+ ∠BAC =180°
∴∠BAC=60°
১০,৫৫৭.
একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দেড় গুণ। এর ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গ মিটার হলে পরিসীমা কত মিটার?
ব্যাখ্যা
ধরি, আয়তাকার ঘরের প্রস্থ x মিটার এবং দৈর্ঘ্য ১.৫x মিটার বা ৩x/২ মিটার
প্রশ্নমতে,
x × ৩x/২ = ২১৬
⇒ ৩x2 = ৪৩২
⇒ x2 = ১৪৪
∴ x = ১২
অর্থাৎ প্রস্থ x = ১২ মিটার এবং দৈর্ঘ্য ৩x/২ = ৩×১২/২ = ১৮ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২(১২+১৮) = ৬০ মিটার
১০,৫৫৮.
একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 5√3 মিটার হলে এর আয়তন কত ঘনমিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 5√3 মিটার হলে এর আয়তন কত ঘনমিটার?
সমাধান:
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য, √3a = 5√3
∴ a = 5 মি.
∴ ঘনকের আয়তন = a3
= 53
= 125 ঘনমি.
সমাধান:
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য, √3a = 5√3
∴ a = 5 মি.
∴ ঘনকের আয়তন = a3
= 53
= 125 ঘনমি.
১০,৫৫৯.
x + y = 10 এবং x – y = 4 হলে x : y = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 10 এবং x – y = 4 হলে x : y = কত?
সমাধান:
দুইটি সমীকরণ:
x + y = 10.........(i)
x - y = 4..........(ii)
(i) ও (ii) যোগ করে:
x + y + x - y = 10 + 4
⇒ 2x = 14
⇒ x = 7
x এর মান (i) এ বসিয়ে পাই:
7 + y = 10
⇒ y = 10 - 7
⇒ y = 3
অনুপাত:
x : y = 7 : 3
১০,৫৬০.
দুই কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে, কোন দুইটি পরস্পর -
ব্যাখ্যা
দুই কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ বা ৯০ ডিগ্রী হলে, কোন দুইটি পরস্পর পূরক কোণ।
১০,৫৬১.
18 মিটার উঁচু খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 6√3 মিটার হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 18 মিটার উঁচু খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 6√3 মিটার হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ কত?
সমাধান:
খুঁটির দৈর্ঘ্য AB = 18 মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = 6√3
সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = θ?
ΔABC এ
tanθ = AB/BC
⇒ tanθ = 18/(6√3)
⇒ tanθ = 3/√3 = (√3 × √3)/√3
⇒ tanθ = √3
⇒ tanθ = tan60°
∴ θ = 60°
∴ সূর্যের উন্নতি কোণ হলো 60°
সমাধান:
খুঁটির দৈর্ঘ্য AB = 18 মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = 6√3
সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = θ?
ΔABC এ
tanθ = AB/BC
⇒ tanθ = 18/(6√3)
⇒ tanθ = 3/√3 = (√3 × √3)/√3
⇒ tanθ = √3
⇒ tanθ = tan60°
∴ θ = 60°
∴ সূর্যের উন্নতি কোণ হলো 60°
১০,৫৬২.
18 মিটার দীর্ঘ একটি মই ভূমির সাথে 45° কোণে হেলান দিয়ে একটি দেয়ালের ছাদ স্পর্শ করে। দেয়ালটির উচ্চতা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 18 মিটার দীর্ঘ একটি মই ভূমির সাথে 45° কোণে হেলান দিয়ে একটি দেয়ালের ছাদ স্পর্শ করে। দেয়ালটির উচ্চতা কত?
সমাধান:
এখানে, মইটির দৈর্ঘ্য (অতিভুজ), AC = 18 মিটার।
ভূমির সাথে উৎপন্ন কোণ, ∠ACB = 45°
দেয়ালের উচ্চতা (লম্ব), AB = ?
আমরা জানি,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ
বা, sin45° = AB/AC
বা, 1/√2 = AB/18
বা, √2AB = 18
বা, AB = 18/√2
বা, AB = (18 × √2)/(√2 × √2)
বা, AB = (18√2)/2
∴ AB = 9√2 মিটার
সুতরাং, দেয়ালটির উচ্চতা 9√2 মিটার।
১০,৫৬৩.
চতুর্ভুজের চারটি কোণ যথাক্রমে x°, (2x)°, (3x)°, (2x)° হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চারটি কোণ যথাক্রমে x°, (2x)°, (3x)°, (2x)° হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 360°।
ধরি,
চতুর্ভুজের ১ম কোণ x°
চতুর্ভুজের ২য় কোণ 2x°
চতুর্ভুজের ৩য় কোণ 3x°
চতুর্ভুজের ৪র্থ কোণ 2x°
শর্তমতে,
x° + 2x° + 3x° + 2x° = 360°
⇒ 8x° = 360°
⇒ x° = 360°/8
∴ x = 45°
∴ বৃহত্তম কোণের মান 3 × 45° = 135°
সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 360°।
ধরি,
চতুর্ভুজের ১ম কোণ x°
চতুর্ভুজের ২য় কোণ 2x°
চতুর্ভুজের ৩য় কোণ 3x°
চতুর্ভুজের ৪র্থ কোণ 2x°
শর্তমতে,
x° + 2x° + 3x° + 2x° = 360°
⇒ 8x° = 360°
⇒ x° = 360°/8
∴ x = 45°
∴ বৃহত্তম কোণের মান 3 × 45° = 135°
১০,৫৬৪.
একটি সামান্তরিক বিপরীত ২টি কোণের সমষ্টি ৬০° হলে অপর কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
সামান্তরিক বিপরীত ২টি কোণের সমষ্টি ৬০°
আমরা জানি
সামান্তরিকের ৪ কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
অপর বিপরীত ২টি কোণের সমষ্টি = ৩৬০° - ৬০° = ৩০০°
অপর ১টি কোণ = ৩০০°/২ = ১৫০°
আমরা জানি
সামান্তরিকের ৪ কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
অপর বিপরীত ২টি কোণের সমষ্টি = ৩৬০° - ৬০° = ৩০০°
অপর ১টি কোণ = ৩০০°/২ = ১৫০°
১০,৫৬৫.
একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ২ : ৪ : ৬ হলে, ত্রিভুজটি কি ধরণের?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ২ : ৪ : ৬ হলে, ত্রিভুজটি কি ধরণের?
সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজের কোণগুলো হল ২ক, ৪ক, ৬ক
প্রশ্নমতে,
২ক + ৪ক + ৬ক = ১৮০°
⇒ ১২ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৫°
∴৬ক = ৬ × ১৫° = ৯০°, সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী।
সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজের কোণগুলো হল ২ক, ৪ক, ৬ক
প্রশ্নমতে,
২ক + ৪ক + ৬ক = ১৮০°
⇒ ১২ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৫°
∴৬ক = ৬ × ১৫° = ৯০°, সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী।
১০,৫৬৬.
সামান্তরিকের যেকোনো দুইটি সন্নিহিত কোণের সমদ্বিখণ্ডক -
ব্যাখ্যা
- সামান্তরিকের যেকোনো দুইটি সন্নিহিত কোণের সমদ্বিখণ্ডক পরস্পর লম্ব।
এখানে, ABCD সামান্তরিকের ∠A এর সমদ্বিখণ্ডক AO এবং সন্নিহিত কোণ ∠B এর সমদ্বিখণ্ডক BO পরস্পর লম্ব।
সূত্র- ৮ম শ্রেণির গণিত বই।
এখানে, ABCD সামান্তরিকের ∠A এর সমদ্বিখণ্ডক AO এবং সন্নিহিত কোণ ∠B এর সমদ্বিখণ্ডক BO পরস্পর লম্ব।
সূত্র- ৮ম শ্রেণির গণিত বই।
১০,৫৬৭.
একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার ও প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের ভিতরে চারপাশে ৭.৫ মিটার চওড়া একটি গ্যালারি আছে? গ্যালারির প্রতি ৩ বর্গমিটার জায়গায় একটি চেয়ার বসানো গেলে, উক্ত গ্যালারিতে কয়টি চেয়ার বসানো যাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার ও প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের ভিতরে চারপাশে ৭.৫ মিটার চওড়া একটি গ্যালারি আছে? গ্যালারির প্রতি ৩ বর্গমিটার জায়গায় একটি চেয়ার বসানো গেলে, উক্ত গ্যালারিতে কয়টি চেয়ার বসানো যাবে?
সমাধান:
মাঠের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৪০) = ২০০০ বর্গমিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের দৈর্ঘ্য = ৫০ - (২ × ৭.৫) = ৩৫ মিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের প্রস্থ = ৪০ - (২ × ৭.৫) = ২৫ মিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = (৩৫ × ২৫) = ৮৭৫ বর্গমিটার
গ্যালারির ক্ষেত্রফল =(২০০০ - ৮৭৫) = ১১২৫ বর্গমিটার
∴ মোট চেয়ার বসানো যাবে = ১১২৫/৩ টি
= ৩৭৫ টি
সমাধান:
মাঠের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৪০) = ২০০০ বর্গমিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের দৈর্ঘ্য = ৫০ - (২ × ৭.৫) = ৩৫ মিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের প্রস্থ = ৪০ - (২ × ৭.৫) = ২৫ মিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = (৩৫ × ২৫) = ৮৭৫ বর্গমিটার
গ্যালারির ক্ষেত্রফল =(২০০০ - ৮৭৫) = ১১২৫ বর্গমিটার
∴ মোট চেয়ার বসানো যাবে = ১১২৫/৩ টি
= ৩৭৫ টি
১০,৫৬৮.
একটি চতুর্ভুজের ৪ কোণের সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চর্তুভুজের ৪ কোণের সমষ্টি কত?
সমাধান:
একটি চর্তুভুজের ৪ কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
বৃত্তস্থ চতুর্তুজের দুটি বিপরীত কোনের সমষ্টি = ১৮০°
সমাধান:
একটি চর্তুভুজের ৪ কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
বৃত্তস্থ চতুর্তুজের দুটি বিপরীত কোনের সমষ্টি = ১৮০°
১০,৫৬৯.
একটি সুষম ষড়ভুজের কেন্দ্র থেকে কৌণিক বিন্দুর দূরত্ব 2 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের কেন্দ্র থেকে কৌণিক বিন্দুর দূরত্ব 2 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
মনে করি,
ABCDEF একটি সুষম ষড়ভুজ। এর কেন্দ্র O থেকে শীর্ষবিন্দুগুলো যোগ করা হলো। ফলে 6টি সমান ক্ষেত্রটিবিশিষ্ট ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়।
∴ ∠COD = 360°/6 = 60°
মনে করি,
কেন্দ্র O থেকে শীর্ষবিন্দুগুলোর দূরত্ব a মিটার।
∴ ত্রিভুজ ক্ষেত্র COD এর ক্ষেত্রফল = (1/2).a.a sin 60°
= (1/2) a2.(√3/2)
= (√3/4)a2
= (√3/4) × 22
= √3 বর্গমি.
∴ সুষম ষড়ভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 6 × √3
= 6√3 বর্গ মিটার
সমাধান:
মনে করি,
ABCDEF একটি সুষম ষড়ভুজ। এর কেন্দ্র O থেকে শীর্ষবিন্দুগুলো যোগ করা হলো। ফলে 6টি সমান ক্ষেত্রটিবিশিষ্ট ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়।
∴ ∠COD = 360°/6 = 60°
মনে করি,
কেন্দ্র O থেকে শীর্ষবিন্দুগুলোর দূরত্ব a মিটার।
∴ ত্রিভুজ ক্ষেত্র COD এর ক্ষেত্রফল = (1/2).a.a sin 60°
= (1/2) a2.(√3/2)
= (√3/4)a2
= (√3/4) × 22
= √3 বর্গমি.
∴ সুষম ষড়ভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 6 × √3
= 6√3 বর্গ মিটার
১০,৫৭০.
ΔABC এর ∠A = 45° ও ∠B = 30° হলে, ∠C এর মান কত ডিগ্রী?
ব্যাখ্যা
ΔABC এর
∠A = 45°
∠B = 30°
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°
∠A + ∠B + ∠C = 180°
45°+ 30° + ∠C = 180°
∠C = 180° - 75°
∠C =105°
∠A = 45°
∠B = 30°
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°
∠A + ∠B + ∠C = 180°
45°+ 30° + ∠C = 180°
∠C = 180° - 75°
∠C =105°
১০,৫৭১.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার ও প্রস্থ ২০ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার ও প্রস্থ ২০ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(২৫ + ২০) মিটার
= ৯০ মিটার
সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(২৫ + ২০) মিটার
= ৯০ মিটার
১০,৫৭২.
একটি সরলরেখার উপর লম্ব অংঙ্ক করলে কয়টি সমকোণ উৎপন্ন হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর লম্ব অংঙ্ক করলে কয়টি সমকোণ উৎপন্ন হবে?
সমাধান:
যখন একটি সরলরেখার উপর লম্ব অংক করা হয়, তখন দুটি সমকোণ উৎপন্ন হয়।
সমাধান:
যখন একটি সরলরেখার উপর লম্ব অংক করা হয়, তখন দুটি সমকোণ উৎপন্ন হয়।
১০,৫৭৩.
ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কি বলে?
ব্যাখ্যা
ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে। উল্লেখ্য, তৃতীয় বাহুর লম্বদ্বিখন্ডকও ঐ বিন্দুগামী।
১০,৫৭৪.
বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি করলে পরিধি কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি করলে পরিধি কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাস, d একক
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = d/2 একক
∴ বৃত্তের পরিধি, 2πr একক = 2π(d/2) একক = πd একক
ব্যাস চার গুণ হলে,
বৃত্তের ব্যাস, 4d একক
পরিধি, π(4d) একক = 4πd একক
∴ পরিধি চারগুণ বৃদ্ধি পাবে।
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাস, d একক
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = d/2 একক
∴ বৃত্তের পরিধি, 2πr একক = 2π(d/2) একক = πd একক
ব্যাস চার গুণ হলে,
বৃত্তের ব্যাস, 4d একক
পরিধি, π(4d) একক = 4πd একক
∴ পরিধি চারগুণ বৃদ্ধি পাবে।
১০,৫৭৫.
50 বর্গমিটার ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি রম্বসের একটি কর্ণ অপর কর্ণটির চারগুণ হলে ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 50 বর্গমিটার ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি রম্বসের একটি কর্ণ অপর কর্ণটির চারগুণ হলে ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?
সমাধান:
ধরি,
রম্বসটির ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য, d1 = x মিটার
বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য, d2 = 4x মিটার
আমরা জানি,
রম্বসের দুটি কর্ণ d1 এবং d2 হলে, এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × d1 × d2
প্রশ্নমতে,
(1/2) × x × 4x = 50
⇒ 2x2 = 50
⇒ x2 = 25 = 52
∴ x = 5
∴ ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য = 5 মিটার
সমাধান:
ধরি,
রম্বসটির ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য, d1 = x মিটার
বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য, d2 = 4x মিটার
আমরা জানি,
রম্বসের দুটি কর্ণ d1 এবং d2 হলে, এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × d1 × d2
প্রশ্নমতে,
(1/2) × x × 4x = 50
⇒ 2x2 = 50
⇒ x2 = 25 = 52
∴ x = 5
∴ ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য = 5 মিটার
১০,৫৭৬.
কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণ এর একটি ১২৫°। অপর কোণটি কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণ এর একটি ১২৫°। অপর কোণটি কত হবে?
সমাধান:
সামন্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি = ১৮০°
সুতরাং, ১২৫° + নির্ণেয় কোণ = ১৮০°
∴ নির্ণেয় কোণ = ১৮০° - ১২৫° = ৫৫°
সমাধান:
সামন্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি = ১৮০°
সুতরাং, ১২৫° + নির্ণেয় কোণ = ১৮০°
∴ নির্ণেয় কোণ = ১৮০° - ১২৫° = ৫৫°
১০,৫৭৭.
একটি গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৭ ফুট, পেছনের চাকার পরিধি ৯ ফুট। সামনের চাকা যখন পেছনের চাকার চেয়ে ১০ বার বেশি ঘুরে তখন গাড়িটি কত ফুট যায়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৭ ফুট, পেছনের চাকার পরিধি ৯ ফুট। সামনের চাকা যখন পেছনের চাকার চেয়ে ১০ বার বেশি ঘুরে তখন গাড়িটি কত ফুট যায়?
সমাধান:
৯ ও ৭ এর ল.সা.গু ৬৩
৬৩ মিটার পথ চলতে সামনের চাকাকে ঘুরতে হয় ৬৩/৭ = ৯ বার
৬৩ মিটার পথ চলতে পিছনের চাকাকে ঘুরতে হয় ৬৩/৯ = ৭ বার
সামনের চাকা পিছনের চাকা থেকে ২ বার বেশি ঘুরে ৬৩ মিটারে
সামনের চাকা পিছনের চাকা থেকে ১ বার বেশি ঘুরে ৬৩/২ মিটারে
সামনের চাকা পিছনের চাকা থেকে ১০ বার বেশি ঘুরে (১০ × ৬৩)/২ মিটারে
= ৩১৫ মিটার
১০,৫৭৮.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ২৫ মিটার। অপর বাহুদ্বয়ের একটি অপরটির ৩/৪ অংশ হলে, ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ২৫ মিটার। অপর বাহুদ্বয়ের একটি অপরটির ৩/৪ অংশ হলে, ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি,
ভূমির দৈর্ঘ্য = ৪ক মিটার
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য = ৪ক × (৩/৪) = ৩ক মিটার
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
অতিভুজ২ = লম্ব২ + ভূমি২
⇒ ২৫২ = (৩ক)২ + (৪ক)২
⇒ ৬২৫ = ৯ক২ + ১৬ক২
⇒ ৬২৫ = ২৫ক২
⇒ ক২ = ৬২৫/২৫
⇒ ক২ = ২৫
⇒ ক = ৫
∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = (৪ × ৫) মিটার = ২০ মিটার
লম্বের দৈর্ঘ্য = (৩ × ৫) মিটার = ১৫ মিটার
∴ ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য = লম্ব = ১৫ মিটার
১০,৫৭৯.
কোন ত্রিভুজের দুটি কোণ 60° ও 70° হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
এখানে দুটি কোণের সমষ্টি = (60° + 70°) = 130°
সুতরাং তৃতীয় কোণের পরিমাণ = 180° - 130° = 50°
সুতরাং ত্রিভুজটি বিষমবাহু কারণ প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ ভিন্ন ভিন্ন।
১০,৫৮০.
একটি আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১৩৫০ বর্গমিটার এবং প্রস্থ ২৫ মিটার হলে, বাগানটির দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১৩৫০ বর্গমিটার এবং প্রস্থ ২৫ মিটার হলে, বাগানটির দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ১৩৫০ বর্গমিটার
এবং প্রস্থ = ২৫ মিটার
আমরা জানি,
দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল
⇒ দৈর্ঘ্য × ২৫ = ১৩৫০
⇒ দৈর্ঘ্য = ১৩৫০ ÷ ২৫
∴ দৈর্ঘ্য = ৫৪
সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ১৩৫০ বর্গমিটার
এবং প্রস্থ = ২৫ মিটার
আমরা জানি,
দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল
⇒ দৈর্ঘ্য × ২৫ = ১৩৫০
⇒ দৈর্ঘ্য = ১৩৫০ ÷ ২৫
∴ দৈর্ঘ্য = ৫৪
১০,৫৮১.
যদি একটি বৃত্তের ব্যাস 8π হয়, তাহলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ ও পরিধির অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের ব্যাস 8π হয়, তাহলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ ও পরিধির অনুপাত কত?
সমাধান:
এখানে,
বৃত্তের ব্যাস d = 8π
অতএব, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 8π/2 = 4π
∴ বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2π × 4π
= 8π2
অতএব, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ও পরিধির অনুপাত = 4π : 8π2
= 4π/8π2
= 1 : 2π
১০,৫৮২.
একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ৫ : ৭ : ৯ এবং এর পরিসীমা ৪২ সেমি হলে বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ৫ : ৭ : ৯ এবং এর পরিসীমা ৪২ সেমি হলে বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫x সে.মি.; ৭x সে.মি. এবং ৯x সে.মি.
শর্তমতে,
৫x + ৭x + ৯x = ৪২
বা, ২১x = ৪২
∴ x = ২
∴ বাহুগুলো যথাক্রমে ১০ সে. মি.; ১৪ সে. মি. ও ১৮ সে. মি.
সমাধান:
ধরি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫x সে.মি.; ৭x সে.মি. এবং ৯x সে.মি.
শর্তমতে,
৫x + ৭x + ৯x = ৪২
বা, ২১x = ৪২
∴ x = ২
∴ বাহুগুলো যথাক্রমে ১০ সে. মি.; ১৪ সে. মি. ও ১৮ সে. মি.
১০,৫৮৩.
বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত-
ব্যাখ্যা
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি : বৃত্তের ব্যাস
= 2πr/2r
= π
= ২২/৭
১০,৫৮৪.
কোন ত্রিভুজের যে কোন বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের যে কোন বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি কোনটি?
সমাধান:
ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
ΔABC এর BC বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করা হলো এবং বহিঃস্থ কোণ ∠ABD ও ∠ACE উৎপন্ন হলো।
বহিঃস্থ কোণ ∠ABD = ∠A + ∠C
বহিঃস্থ কোণ ∠ACE = ∠A + ∠B
এখন
∠ABD + ∠ACE = ∠A + ∠C + ∠A + ∠B
= (∠A + ∠C + ∠B) + ∠A
= 180° + ∠A
∴ত্রিভুজের যে কোন বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তর।
১০,৫৮৫.
একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 100 বর্গ সে.মি. এবং আয়তন 150 ঘন সে.মি.। বেলনের ব্যাসার্ধ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 100 বর্গ সে.মি. এবং আয়তন 150 ঘন সে.মি.। বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ কত?
সমাধান:
মনে করি,
বেলনের ব্যাসার্ধ r ও উচ্চতা h
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh = 100 ......... (1)
এবং আয়তন = πr2h = 150 ............ (2)
(2) নং ÷ (1) নং করে পাই,
πr2h/2πrh = 150/100
বা, r/2 = 150/100
বা, 100r = 300
বা, r = 300/100
∴ r = 3
∴ বেলনের ব্যাসার্ধ = 3 সে.মি.।
সমাধান:
মনে করি,
বেলনের ব্যাসার্ধ r ও উচ্চতা h
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh = 100 ......... (1)
এবং আয়তন = πr2h = 150 ............ (2)
(2) নং ÷ (1) নং করে পাই,
πr2h/2πrh = 150/100
বা, r/2 = 150/100
বা, 100r = 300
বা, r = 300/100
∴ r = 3
∴ বেলনের ব্যাসার্ধ = 3 সে.মি.।
১০,৫৮৬.
0° থেকে 90° এর মধ্যে যে কোণটি থাকে, তাকে কী বলা হয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 0° থেকে 90° এর মধ্যে যে কোণটি থাকে, তাকে কী বলা হয়?
সমাধান:
একটি সূক্ষ্ম কোণ হলো 0° -এর থেকে বড় এবং 90°-এর থেকে ছোট কোণ।
উদাহরণস্বরূপ, 45° একটি সূক্ষ্ম কোণ।
সমাধান:
একটি সূক্ষ্ম কোণ হলো 0° -এর থেকে বড় এবং 90°-এর থেকে ছোট কোণ।
উদাহরণস্বরূপ, 45° একটি সূক্ষ্ম কোণ।
১০,৫৮৭.
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৭০° হলে তার বিপরীত কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৭০° হলে তার বিপরীত কোণের মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলোর সমষ্টি ১৮০°।
দেওয়া আছে, একটি কোণ = ৭০°
সুতরাং, বিপরীত কোণটির মান হবে = (১৮০ - ৭০)°
= ১১০°
অতএব, বিপরীত কোণটির মান ১১০°।
১০,৫৮৮.
কোনো বৃত্তের ক্ষেত্রফল 36π বর্গ একক হলে, ঐ বৃত্তের পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ক্ষেত্রফল 36π বর্গ একক হলে, ঐ বৃত্তের পরিসীমা কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
প্রশ্নমতে,
πr2 = 36π
⇒ r2 = 36
⇒ r = √36
⇒ r = 6
∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
= 2π(6)
= 12π একক
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
প্রশ্নমতে,
πr2 = 36π
⇒ r2 = 36
⇒ r = √36
⇒ r = 6
∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
= 2π(6)
= 12π একক
১০,৫৮৯.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সে.মি। একটি বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 7 সে.মি
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 = (22/7) × 72
= (22/7) × 49
= 154 বর্গ সে.মি
বর্গের ক্ষেত্রফল = 154 বর্গ সে.মি
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √154 সে.মি
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 7 সে.মি
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 = (22/7) × 72
= (22/7) × 49
= 154 বর্গ সে.মি
বর্গের ক্ষেত্রফল = 154 বর্গ সে.মি
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √154 সে.মি
১০,৫৯০.
একটি বর্গের কর্ণের উপর একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলে অঙ্কিত ত্রিভুজ ও বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণের উপর একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলে অঙ্কিত ত্রিভুজ ও বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
সমাধান:
মনেকরি,
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য= a একক
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a একক
বর্গের ক্ষেত্রফল = a2
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √2a একক
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (√2a)2
= (√3/4) ×2a2
= √3a2/2
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ও বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত =√3a2/2 : a2
=√3/2 : 1
=√3 : 2
সমাধান:
মনেকরি,
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য= a একক
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a একক
বর্গের ক্ষেত্রফল = a2
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √2a একক
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (√2a)2
= (√3/4) ×2a2
= √3a2/2
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ও বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত =√3a2/2 : a2
=√3/2 : 1
=√3 : 2
১০,৫৯১.
একটি মোটর সাইকেলের চাকার ব্যাস ১৪০ সে.মি.। মোটর সাইকেলের গতিবেগ ঘণ্টায় ১৩২ কিলোমিটার হলে মোটর সাইকেলের একটি চাকা মিনিটে কতবার ঘুরবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি মোটর সাইকেলের চাকার ব্যাস ১৪০ সে.মি.। মোটর সাইকেলের গতিবেগ ঘণ্টায় ১৩২ কিলোমিটার হলে মোটর সাইকেলের একটি চাকা মিনিটে কতবার ঘুরবে?
সমাধান:
মোটর সাইকেলের চাকার ব্যাস ১৪০ সে.মি.
∴ মোটর সাইকেলের চাকার ব্যাসার্ধ ৭০ সে.মি.
∴ চাকার পরিধি = ২ × (২২/৭) × ৭০ সে.মি.
= ৪৪০ সে.মি.
মোটর সাইকেলের গতিবেগ = ১৩২ কি.মি./ঘণ্টা
= (১৩২ × ১০০০ × ১০০)/৬০ সে.মি./মিনিট
= ২২০০০০ সে.মি./মিনিট
৪৪০ সে.মি. যেতে ঘুরে ১ বার
১ সে.মি. যেতে ঘুরে ১/৪৪০ বার
২২০০০০ সে.মি. যেতে ঘুরে ২২০০০০/৪৪০ বার
= ৫০০ বার
সমাধান:
মোটর সাইকেলের চাকার ব্যাস ১৪০ সে.মি.
∴ মোটর সাইকেলের চাকার ব্যাসার্ধ ৭০ সে.মি.
∴ চাকার পরিধি = ২ × (২২/৭) × ৭০ সে.মি.
= ৪৪০ সে.মি.
মোটর সাইকেলের গতিবেগ = ১৩২ কি.মি./ঘণ্টা
= (১৩২ × ১০০০ × ১০০)/৬০ সে.মি./মিনিট
= ২২০০০০ সে.মি./মিনিট
৪৪০ সে.মি. যেতে ঘুরে ১ বার
১ সে.মি. যেতে ঘুরে ১/৪৪০ বার
২২০০০০ সে.মি. যেতে ঘুরে ২২০০০০/৪৪০ বার
= ৫০০ বার
১০,৫৯২.
যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের-
ব্যাখ্যা
তিনটি রেখাংশ দ্বারা আবদ্ধ চিত্র একটি ত্রিভুজ।
রেখাংশগুলোকে ত্রিভুজের বাহু বলে।
যেকোনো দুইটি বাহুর সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়।
ত্রিভুজের যেকোনো দুইটি বাহু শীর্ষবিন্দুতে কোণ উৎপন্ন করে।
ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তিনটি কোণ রয়েছে।
ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলে।
ত্রিভুজের বাহুগুলো দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকেত্রিভুজক্ষেত্র বলে।
ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা।
রেখাংশগুলোকে ত্রিভুজের বাহু বলে।
যেকোনো দুইটি বাহুর সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়।
ত্রিভুজের যেকোনো দুইটি বাহু শীর্ষবিন্দুতে কোণ উৎপন্ন করে।
ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তিনটি কোণ রয়েছে।
ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলে।
ত্রিভুজের বাহুগুলো দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকেত্রিভুজক্ষেত্র বলে।
ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা।
১০,৫৯৩.
বেলনের ভূমির ব্যাস 4 মিটার, উচ্চতা 21 মিটার হলে, বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাস 4 মিটার, উচ্চতা 21 মিটার হলে, বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ভূমির ব্যাস 4 মিটার
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ r = 2 মিটার
বেলনের উচ্চতা h = 21 মিটার
আমরা জানি,
বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= 2 × (22/7) × 2 × 21 বর্গ মিটার
= 264 বর্গমিটার
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ভূমির ব্যাস 4 মিটার
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ r = 2 মিটার
বেলনের উচ্চতা h = 21 মিটার
আমরা জানি,
বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= 2 × (22/7) × 2 × 21 বর্গ মিটার
= 264 বর্গমিটার
১০,৫৯৪.
একটি ত্রিভুজের যেকোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি কোন ধরণের?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের যেকোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি কোন ধরণের?
সমাধান:
- সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ, অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ।
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।
- সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের যে কোন দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের তিনটি কোণই সূক্ষ্মকোণ।
সমাধান:
- সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ, অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ।
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।
- সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের যে কোন দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের তিনটি কোণই সূক্ষ্মকোণ।
১০,৫৯৫.
72 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 72 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
ABCD বর্গের পরিসীমা = 72 মিটার
∴ ABCD বর্গের বাহু = 72/4 = 18 মিটার
এখন,
কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √2 = 18√2
ব্যাসার্ধ = 18√2/2 = 9√2
∴ ক্ষেত্রফল = π(9√2)2
= 162π বর্গমিটার
সমাধান:
ABCD বর্গের পরিসীমা = 72 মিটার
∴ ABCD বর্গের বাহু = 72/4 = 18 মিটার
এখন,
কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √2 = 18√2
ব্যাসার্ধ = 18√2/2 = 9√2
∴ ক্ষেত্রফল = π(9√2)2
= 162π বর্গমিটার
১০,৫৯৬.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ১৮° হলে ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ১৮° হলে ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি ৯০°।
ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণটি ক।
∴ অপর কোণটি হবে (ক + ১৮)°
প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১৮)° = ৯০°
বা, ২ক + ১৮ = ৯০
বা, ২ক = ৯০ - ১৮
বা, ২ক = ৭২
বা, ক = ৭২/২
∴ ক = ৩৬
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণের মান হলো ৩৬°।
১০,৫৯৭.
নিচের চিত্রে ∠B = 75° এবং ∠ACE = 150° হলে ∠A কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের চিত্রে ∠B = 75° এবং ∠ACE = 150° হলে ∠A কোণের মান কত?
সমাধান:
∠ACB + ∠ACE = এক সরলকোণ = 180°
⇒ ∠ACB = 180° - ∠ACE
⇒ ∠ACB = 180° - 150°
⇒ ∠ACB = 30°
আবার, ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°
⇒ ∠A + 75° + 30° = 180°
⇒ ∠A + 105° = 180°
⇒ ∠A = 180° - 105° = 75°
সমাধান:
∠ACB + ∠ACE = এক সরলকোণ = 180°
⇒ ∠ACB = 180° - ∠ACE
⇒ ∠ACB = 180° - 150°
⇒ ∠ACB = 30°
আবার, ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°
⇒ ∠A + 75° + 30° = 180°
⇒ ∠A + 105° = 180°
⇒ ∠A = 180° - 105° = 75°
১০,৫৯৮.
একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৩৩৮ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৩৩৮ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?
সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = ক মিটার
তাহলে, দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার
প্রশ্নমতে,
২ক × ক = ৩৩৮
⇒ ২ক২ = ৩৩৮
⇒ ক২ = ১৬৯
∴ ক = ১৩
এখন, প্রস্থ = ১৩ মিটার
দৈর্ঘ্য = ১৩ × ২ = ২৬ মিটার
∴ পরিসীমা = ২(১৩ + ২৬)
= ৭৮ মিটার
সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = ক মিটার
তাহলে, দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার
প্রশ্নমতে,
২ক × ক = ৩৩৮
⇒ ২ক২ = ৩৩৮
⇒ ক২ = ১৬৯
∴ ক = ১৩
এখন, প্রস্থ = ১৩ মিটার
দৈর্ঘ্য = ১৩ × ২ = ২৬ মিটার
∴ পরিসীমা = ২(১৩ + ২৬)
= ৭৮ মিটার
১০,৫৯৯.
একটি বৃত্তের ব্যাস 4 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 4 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস 4 সে.মি.
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 2 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°
আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr2θ)/360°
= (π × 22 × 60°)/360°
= (2π)/3
∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (2π)/3 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস 4 সে.মি.
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 2 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°
আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr2θ)/360°
= (π × 22 × 60°)/360°
= (2π)/3
∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (2π)/3 বর্গ সে.মি.
১০,৬০০.
একটি পঞ্চভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর অনুপাত যথাক্রমে 4 : 6 : 7 : 9 : 10 হলে, পঞ্চভুজটির বৃহত্তম অন্তঃস্থ ও ক্ষুদ্রতম অন্তঃস্থ কোণের পার্থক্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর অনুপাত যথাক্রমে 4 : 6 : 7 : 9 : 10 হলে, পঞ্চভুজটির বৃহত্তম অন্তঃস্থ ও ক্ষুদ্রতম অন্তঃস্থ কোণের পার্থক্য কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
পঞ্চভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = 540°
প্রদত্ত অনুপাত = 4 : 6 : 7 : 9 : 10
অনুপাতের যোগফল = 4 + 6 + 7 + 9 + 10 = 36
∴ ক্ষুদ্রতম অন্তঃস্থ = {540° এর (4/36)} = 60°
∴ বৃহত্তম অন্তঃস্থ = {540° এর (10/36)} = 150°
∴ পঞ্চভুজটির বৃহত্তম অন্তঃস্থ ও ক্ষুদ্রতম অন্তঃস্থ কোণের পার্থক্য = (150° - 60°) = 90°
সমাধান:
আমরা জানি,
পঞ্চভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = 540°
প্রদত্ত অনুপাত = 4 : 6 : 7 : 9 : 10
অনুপাতের যোগফল = 4 + 6 + 7 + 9 + 10 = 36
∴ ক্ষুদ্রতম অন্তঃস্থ = {540° এর (4/36)} = 60°
∴ বৃহত্তম অন্তঃস্থ = {540° এর (10/36)} = 150°
∴ পঞ্চভুজটির বৃহত্তম অন্তঃস্থ ও ক্ষুদ্রতম অন্তঃস্থ কোণের পার্থক্য = (150° - 60°) = 90°