জ্যামিতি

PrepBank · পাতা ১০২ / ১০৭ · ১০,১০১–১০,২০০ / ১০,৭৫২

১০,১০১.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 23 cm এবং পরিসীমা 50 cm হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 35 বর্গ সে. মি.
খ
খ) 40 বর্গ সে. মি.
গ
গ) 45 বর্গ সে. মি.
ঘ
ঘ) 50 বর্গ সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 23 cm এবং পরিসীমা 50 cm হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ভূমি = a
লম্ব = b
অতিভুজ = c = 23 cm
পরিসীমা = a + b + c = 50 cm

প্রশ্নমতে,
a + b + c = 50
⇒ a + b = 50 - c
⇒ a + b = 50 - 23
⇒ a + b = 27
⇒ (a + b)² = 27²
⇒ a² + 2ab + b² = 729
⇒ c² + 2ab = 729 [a² + b² = c², পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২]
⇒ 2ab = 729 - c²
⇒ 2ab = 729 - (23)²
⇒ 2ab = 729 - 529
⇒ 2ab = 200
∴ ab = 100

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × ab
= (1/2) × 100
= 50

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 50 বর্গ সে. মি.

১০,১০২.

একটি কোণকের ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. এবং উচ্চতা 12 সে.মি. হলে কোণকের আয়তন কত?

ক
320.56 cm³
খ
100π cm³
গ
250.37 cm³
ঘ
300π cm³

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. এবং উচ্চতা 12 সে.মি. হলে কোণকের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 5 সে.মি.
কোণকের উচ্চতা, h = 12 সে.মি.

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h
(1/3)π × 5² × 12
= (1/3)π × 25 × 12
= π × 25 × 4
= 100π cm³

সুতরাং, কোণকের আয়তন 100π cm³

১০,১০৩.

ΔABC এর ∠C = 90°, BC = a একক, AC = b একক AB = c একক হলে cotA + cotB = কত?

ক
c²
খ
c²/ab
গ
a² + b²
ঘ
ab

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এর ∠C = 90°, BC = a একক, AC = b একক AB = c একক হলে cotA + cotB = কত?

সমাধান:

পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে,
AB² = BC² + AC²
c² = a² + b²

এখানে,
cotA = AC/BC = b/a
cotB = BC/AC = a/b

∴ cotA + cotB = b/a + a/b
= (b² + a²)/ab
= c²/ab

১০,১০৪.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৯ সে.মি. ও ১০ সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

ক
৪২ বর্গসে.মি.
খ
৪৪ বর্গসে.মি.
গ
৪৫ বর্গসে.মি.
ঘ
৪৮ বর্গসে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৯ সে.মি. ও ১০ সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৯ × ১০ বর্গসে.মি.
= ৪৫ বর্গসে.মি.

১০,১০৫.

বৃত্তস্থ চর্তুভুজের একটি কোণ ৮০° হলে তার বিপরীত কোণটির মান কত?

ক
২০°
খ
৯০°
গ
১০০°
ঘ
২০০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চর্তুভুজের একটি কোণ ৮০° হলে তার বিপরীত কোণটির মান কত?

সমাধান:
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের দুটি বিপরীত কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ একটি কোণ ৮০° হলে, অপরটি কোণটি হবে = (১৮০ - ৮০)°
= ১০০° ।

১০,১০৬.

চতুর্ভূজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণ সমদ্বিখন্ডিত করলে সেই চতুর্ভূজকে কী বলে?

ক
আয়তক্ষেত্র
খ
সামান্তরিক
গ
রম্বস
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চতুর্ভূজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণ সমদ্বিখন্ডিত করলে সেই চতুর্ভূজকে কী বলে?

সমাধান:
রম্বস: যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও বিপরীত কোণদ্বয় সমান, কিন্তু কোন কোণই সমকোন নয়, তাকে রম্বস বলে। রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।

আয়তক্ষেত্র: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।

সামান্তরিক: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।

১০,১০৭.

একটি বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি 1080° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?

ক
16
খ
8
গ
12
ঘ
10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি 1080° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = n

আমরা জানি,
n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (n - 2) × 180°

প্রশ্নমতে,
(n - 2) × 180° = 1080°
⇒ n - 2 = 1080°/180°
⇒ n - 2 = 6
⇒ n = 6 + 2
∴ n = 8

১০,১০৮.

একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণ ১৬২° হলে তার বাহুর সংখ্যা কত?

ক
১২টি
খ
২০টি
গ
১৮টি
ঘ
১৫টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণ ১৬২° হলে তার বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনে করি,
বাহুর সংখ্যা = ক

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজে মোট উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণ = {(ক - ২) × ১৮০}/ক

প্রশ্নমতে,
{(ক - ২) × ১৮০}/ক = ১৬২
বা, (ক - ২) × ১৮০ = ১৬২ক
বা, ১৮০ক - ২ × ১৮০ = ১৬২ক
বা, ১৮০ক - ১৬২ক = ৩৬০
বা, ১৮ক = ৩৬০
∴ ক = ২০

∴ বাহুর সংখ্যা = ২০টি

১০,১০৯.

১৩ মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে ১২ মিটার উচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত?

ক
৬ মিটার
খ
৭ মিটার
গ
৫ মিটার
ঘ
৪ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৩ মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে ১২ মিটার উচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত?

সমাধান:

মনে করি, দেয়ালের পাদদেশ হতে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব `ক' মিটার
দেয়াল মাটির সাথে সমকোণ উৎপন্ন করে।

সমকোণী ত্রিভুজের সূত্র হতে পাই,
(মইয়ের উচ্চতা)^২ = (দেয়ালের উচ্চতা)^২ + ক^২
(১৩)^২ = (১২)^২ + ক^২
বা, ১৬৯ - ১৪৪ = ক^২
বা, ক^২ = ২৫
∴ ক = ৫

∴ দেয়ালের পাদদেশ হতে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব ৫ মিটার।

১০,১১০.

r ব্যসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের পরিধি কোনটি?

ক
ক) 4πr²
খ
খ) πr²
গ
গ) 2πr
ঘ
ঘ) 2πr²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের পরিধি কোনটি?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের পরিধি =2πr

১০,১১১.

একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের দুই তৃতীয়াংশ। কোণটির সম্পূরক কোণ কত?

ক
60°
খ
78°
গ
108°
ঘ
120°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের দুই তৃতীয়াংশ। কোণটির সম্পূরক কোণ কত?

সমাধান:
মনে করি,
কোণটি = x
∴ কোণটির সম্পূরক কোণ = 180 - x

প্রশ্নমতে,
x = (2/3) × (180 - x)
⇒ 3x = 360 - 2x
⇒ 5x = 360
⇒ x = 72

∴ কোণটির সম্পূরক কোণ = 180 - 72 = 108°

১০,১১২.

বৃত্তের ব্যাস ৩ গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক
ক) ১৬
খ
খ) ১২
গ
গ) ৯
ঘ
ঘ) ৪

ব্যাখ্যা

বৃত্তের ব্যাস = 2r একক
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক
3 গুণ বৃদ্ধি করলে, নতুন ব্যাস = 3.2r একক
= 6r একক
নতুন ব্যাসার্ধ = 6r/2 একক
= 3r একক
সুতরাং নতুন ক্ষেত্রফল = π(3r)² বর্গ একক
= 9πr² বর্গ একক
= 9 × বৃত্তের ক্ষেত্রফল
অর্থ্যাৎ, বৃত্তের ক্ষেত্রফল 9 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

১০,১১৩.

D, E, F যথাক্রমে ABC সমবাহু ত্রিভুজের তিন বাহু BC, AC, AB এর মধ্যবিন্দু হলে BDEF অবশ্যই একটি -

ক
ক) আয়তক্ষেত্র
খ
খ) বর্গক্ষেত্র
গ
গ) ট্রপিজিয়াম
ঘ
ঘ) সামান্তরিক

ব্যাখ্যা

চিত্রে,
EF||BC এবং
EF = 1/2BC = BD
আবার,
DE||AB এবং
DE = 1/2AB = BF
∴ BDEF চতুর্ভুজে বিপরীত বাহুগুলো সমান এবং সমান্তরাল
∴ ইহা একটি সামান্তরিক।

১০,১১৪.

দুটি বৃত্ত অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে এবং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব ৫ সে.মি.। বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১৪ সে.মি. হলে, ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

ক
৭ সে.মি.
খ
১০ সে.মি.
গ
৮ সে.মি.
ঘ
৯ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে এবং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব ৫ সে.মি.। বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১৪ সে.মি. হলে, ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দুটি বৃত্ত অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে, অর্থাৎ ছোট বৃত্তটি বড় বৃত্তের ভিতরে আছে এবং তারা একটি বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।

দেওয়া আছে,
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = ৫ সে.মি.
বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ, R = ১৪ সে.মি.
ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ? সে.মি.

অন্তঃস্থ স্পর্শের ক্ষেত্রে, কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হলো,
দূরত্ব = বড় ব্যাসার্ধ - ছোট ব্যাসার্ধ
৫ = R - r
⇒ ১৪ - r = ৫
⇒ r = ১৪ - ৫
∴ r = ৯ সে.মি.

সুতরাং, ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৯ সে.মি.।

১০,১১৫.

৪ সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ক
৭২ বর্গ সেমি
খ
৪৪ বর্গ সেমি
গ
৩২ বর্গ সেমি
ঘ
৫২ বর্গ সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪ সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস = ব্যাসার্ধ × ২ = (৪ × ২) = ৮ সেমি

আমরা জানি,
বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ বৃত্তের ব্যাসের সমান।

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২ × ক সে.মি.

প্রশ্নমতে,
√২ × ক = ৮
⇒ ক = ৮/√২

∴ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (৮/√২)^২বর্গ সেমি
= ৬৪/২ বর্গ সেমি
= ৩২ বর্গ সেমি

১০,১১৬.

cosecA - cotA = 4/5 হলে cosecA + cotA এর মান কত?

ক
ক) 1/4
খ
খ) 5/4
গ
গ) 1/5
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cosecA - cotA = 4/5 হলে cosecA + cotA এর মান কত?

সমাধান:
cosecA - cotA = 4/5
1/(cosecA - cotA) = 5/4
(cosec²A - cot²A)/(cosecA - cotA) = 5/4
(cosecA - cotA)(cosecA + cotA)/(cosecA - cotA) = 5/4
cosecA + cotA = 5/4

১০,১১৭.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ২০° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?

ক
৩৫°
খ
৪০°
গ
৫৫°
ঘ
৩০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ২০° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ = ক°
বৃহত্তর কোণ = (ক + ২০)°

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি = ৯০°

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ২০) = ৯০
বা, ২ক + ২০ = ৯০
বা, ২ক = ৯০ - ২০
বা, ২ক = ৭০
বা, ক = ৭০/২
∴ ক = ৩৫

অতএব, ক্ষুদ্রতম কোণটি হলো ৩৫°

১০,১১৮.

ABCD চতুর্ভুজের AB।। CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে চতুর্ভুজটি নিচের কোনটি?

ক
ক) রম্বস
খ
খ) ট্রাপিজিয়াম
গ
গ) আয়তক্ষেত্র
ঘ
ঘ) সামান্তরিক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABCD চতুর্ভুজের AB।। CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে চতুর্ভুজটি নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় সমান ও একটি কোণ সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
সুতরাং ABCD চতুর্ভুজে AB || CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে চতুর্ভুজ একটি আয়তক্ষেত্র হবে।

১০,১১৯.

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে -

ক
১০√৩ বর্গমিটার
খ
১৫ বর্গমিটার
গ
২০ বর্গমিটার
ঘ
২৫√৩ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে -

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,
ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২
= (√৩/৪) × (১০)^২
= (√৩/৪) × ১০ × ১০
= ২৫√৩

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ২৫√৩ বর্গমিটার

১০,১২০.

একটি রম্বসের ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক?

ক
ক) বিপরীত বাহু সমান
খ
খ) বিপরীত বাহু সমান্তরাল
গ
গ) বিপরীত কোণ সমান
ঘ
ঘ) উপরের সবগুলো

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক?

সমাধান:
রম্বস
- যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কর্ণ দুইটি অসমান তথা কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
- রম্বসের বিপরীত বাহু সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 90°

১০,১২১.

∠A ও ∠B পরস্পর পূরক এবং ∠A = ∠B হলে ∠B = কত?

ক
60°
খ
45°
গ
30°
ঘ
90°

ব্যাখ্যা

∠A ও ∠B পরস্পর পূরক হলে, ∠A + ∠B = 90°
বা, ∠B + ∠B = 90° [যেহেতু ∠A = ∠B]
বা, 2∠B = 90°
বা, ∠B = 45°

১০,১২২.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 2 : 3 এবং ক্ষেত্রফল 75 বর্গসেমি হলে, কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?

ক
12, 18
খ
8, 12
গ
6, 9
ঘ
10, 15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 2 : 3 এবং ক্ষেত্রফল 75 বর্গসেমি হলে, কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = 2 : 3
ধরি, কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 2a এবং 3a

প্রশ্নমতে,
(1/2) × 2a × 3a = 75
⇒ 6a²/2 = 75
⇒ 3a²= 75
⇒ a² = 75/3
⇒ a²= 25
∴ a = 5

∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য (2 × 5) = 10 সেমি এবং (3 × 5) = 15 সেমি।

১০,১২৩.

একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ৮৮ সে.মি. ও ৬১৬ বর্গসে.মি.। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

ক
১৪ সে.মি.
খ
২৪ সে.মি.
গ
২৮ সে.মি.
ঘ
৩২ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ৮৮ সে.মি. ও ৬১৬ বর্গসে.মি.। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = ২πr একক
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr² বর্গ একক

প্রশ্নমতে,
πr²/২πr = ৬১৬/৮৮
⇒ r/২ = ৬১৬/৮৮
⇒ r = (৬১৬ × ২)/৮৮ = ১৪

∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা (ব্যাস)-এর দৈর্ঘ্য = ২r
= (২ × ১৪)
= ২৮ সে.মি.

১০,১২৪.

কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব হবে?

ক
ক) ৩ : ৪ : ৫
খ
খ) ৪ : ৫ : ৬
গ
গ) ৪ : ৩ : ৭
ঘ
ঘ) ৬ : ৭ : ৮

ব্যাখ্যা

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ²= লম্ব²+ভূমি²
তাই একমাত্র ক অপশন ছাড়া অন্য কোনটা এটি সমর্থন করে না।
ক অপশনে ৫^২ = ৩^২ + ৪^২

১০,১২৫.

রম্বসের কর্ণ দুটি ৭ সে.মি ও ৪ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ২৮ বর্গ সে.মি.
খ
খ) ১১ সে.মি.
গ
গ) ১৪ বর্গ সে.মি.
ঘ
ঘ) ১৪ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রম্বসের কর্ণ দুটি ৭ সে.মি ও ৪ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= ১/২ (৭ × ৪) বর্গ সে.মি.
= ২৮/২ বর্গ সে.মি.
= ১৪ বর্গ সে.মি.

১০,১২৬.

4 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক
12√3
খ
17√3
গ
27√3
ঘ
16√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের অন্তঃস্থ সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = √3 × বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 4√3

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) (বাহু)²
= (√3/4) × (4√3)²
= (√3/4) × 16 × 3
= 12√3

১০,১২৭.

একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ২.৫৬ মিটার, প্রস্থ ১.২৫ মিটার এবং গভীরতা ২.৫ মিটার। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরে?

ক
১০০০ লিটার
খ
৪০০০ লিটার
গ
৬০০০ লিটার
ঘ
৮০০০ লিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ২.৫৬ মিটার, প্রস্থ ১.২৫ মিটার এবং গভীরতা ২.৫ মিটার। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরে?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ২.৫৬ মিটার
প্রস্থ = ১.২৫ মিটার
গভীরতা = ২.৫ মিটার

চৌবাচ্চার আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা
= (২.৫৬ × ১.২৫ × ২.৫) ঘনমিটার
= ৮ ঘনমিটার

∴ চৌবাচ্চার পানি ধারণক্ষমতা = ৮ ঘনমিটার = (৮ × ১০০০) লিটার = ৮০০০ লিটার

১০,১২৮.

একটি সুষম অষ্টভুজের (Octagon) প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ কত?

ক
১২০°
খ
১৩৫°
গ
১৪৪°
ঘ
১৫০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম অষ্টভুজের (Octagon) প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, বহুভুজটি হলো সুষম অষ্টভুজ।
অর্থাৎ, বাহুর সংখ্যা (n) = ৮।

আমরা জানি, সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ:
বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০°/n
= ৩৬০°/৮
∴ বহিঃস্থ কোণ = ৪৫°

আবার, একটি অন্তঃস্থ কোণ ও তার সংশ্লিষ্ট বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি = ১৮০°।
অতএব, অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - বহিঃস্থ কোণ
= ১৮০° - ৪৫°
∴ অন্তঃস্থ কোণ = ১৩৫°

∴ সুষম অষ্টভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ হলো ১৩৫°।

১০,১২৯.

তিন লিটার পানির ওজন-

ক
ক) ২.৫ কি. গ্রা.
খ
খ) ৪ কি. গ্রা.
গ
গ) ২.৭৫ কি. গ্রা.
ঘ
ঘ) ৩ কি. গ্রা.

ব্যাখ্যা

এক লিটার পানির ওজন = ১০০০ গ্রাম বা ১ কেজি।
∴ তিন লিটার পানির ওজন = ৩ কেজি।

১০,১৩০.

একটি চতুর্ভুজের তিন কোণের সমষ্টি ২৯০° হলে চতুর্থ কোণটি কত?

ক
৬০°
খ
৬২°
গ
৭০°
ঘ
৭৮°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের তিন কোণের সমষ্টি ২৯০° হলে চতুর্থ কোণটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চতুর্ভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ২৯০°

আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°

∴ চতুর্থ কোণটি= (৩৬০ - ২৯০)°
= ৭০°

১০,১৩১.

ABCD সামান্তরিকের ∠BCD = 130° হলে, ∠ABC = কত?

ক
ক) 40°
খ
খ) 50°
গ
গ) 90°
ঘ
ঘ) 120°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকের ∠BCD = 130° হলে, ∠ABC = কত?

সমাধান:

সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান এবং যেহেতু চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি 360°।
দেওয়া আছে,
ABCD সামান্তরিকের ∠BCD = 130°
∠BAD + ∠BCD = 130° + 130° = 260°
∠ABC + ∠ADC = (360° - 260°) = 100°
2∠ABC = 100° [যেহেতু ∠ABC = ∠ADC]
∴ ∠ABC = 50°

তাহলে, ∠ABC = 50°

১০,১৩২.

একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত?

ক
১১০°
খ
৯০°
গ
৬০°
ঘ
১২০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের সমান বা ১৮০° হলে, একটি কোণকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

ধরি,
কোণটির মান = x°
তাহলে, কোণটির সম্পূরক কোণ = ১৮০° - x°

প্রশ্নমতে,
x° = (১৮০° - x°)/২
বা, ২x° = ১৮০° - x°
বা, ২x° + x° = ১৮০°
বা, ৩x° = ১৮০°
বা, x° = ১৮০°/৩
∴ x° = ৬০°

১০,১৩৩.

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৪ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ৩৬.৫ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?

ক
৯৭৬ টাকা
খ
৮৭৬ টাকা
গ
৮৯৬ টাকা
ঘ
৬৭৬ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৪ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ৩৬.৫ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ৮ মিটার
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ৪ মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২ × (৮ + ৪) মিটার
= ২ × ১২ মিটার
= ২৪ মিটার

এখন,
১ মিটারে খরচ হয় = ৩৬.৫ টাকা
∴ ২৪ মিটারে খরচ হয় = (২৪ × ৩৬.৫) টাকা
= ৮৭৬ টাকা।

১০,১৩৪.

দুটি ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 4 : 3 হলে, আয়তনের অনুপাত কত?

ক
8 : 3
খ
16 : 9
গ
2 : 1
ঘ
64 : 27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 4 : 3 হলে, আয়তনের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘনক দুটির বাহুর দৈঘ্যের অনুপাত যথাক্রমে 4a, 3a
∴ ঘনক দুটির আয়তনের অনুপাত = (4a)³ : (3a)³
= 64a³ : 27a³
= 64 : 27

১০,১৩৫.

সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৪৮ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
৬৪√৩
খ
৪৮√৩
গ
৫৬√৩
ঘ
২৪√৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৪৮ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৪৮ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪৮/৩ = ১৬ মিটার

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)^২বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ১৬^২বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ২৫৬ বর্গমিটার
= ৬৪√৩ বর্গমিটার

১০,১৩৬.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করলে দুটি বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি কত?

ক
120°
খ
240°
গ
180°
ঘ
340°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করলে দুটি বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি কত?

সমাধান:

চিত্রানুসারে,
∠ACF = ∠A + ∠B ................. (1)
∠ABE = ∠A + ∠C ................. (2)

(1) ও (2) নং যোগ করে পাই,
∠ACF + ∠ABE = ∠A + ∠B + ∠A + ∠C
= ∠A + 180° [তিন কোণের সমষ্টি = 180°]
= 60° + 180°
= 240°

১০,১৩৭.

3 cotA = 4 হলে sinA এর মান কত?

ক
ক) 4/5
খ
খ) 3/5
গ
গ) 3/4
ঘ
ঘ) 4/3

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
3 cotA = 4
বা, cot = 4/3
বা, cot²A = 16/9
বা, cosec²A - 1 = 16/9
বা, cosec²A = (16/9) + 1
বা, cosec²A = (16 + 9)/9
বা, cosec²A = 25/9
বা, cosecA = 5/3
বা, 1/sinA = 5/3
sinA = 3/5

১০,১৩৮.

একটি চতুর্ভূজের তিন কোণের সমষ্টি ২৮০° হলে চতুর্থ কোনটি কত?

ক
ক) ৭০°
খ
খ) ৮০°
গ
গ) ৯০°
ঘ
ঘ) ১২০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভূজের তিন কোণের সমষ্টি ২৮০° হলে চতুর্থ কোনটি কত?

সমাধান:
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি ৩৬০°
চতুর্ভুজের তিন কোণের সমষ্টি ২৮০°

চতুর্থ কোণটি= (৩৬০ - ২৮০)° বা ৮০°

১০,১৩৯.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 6 ডিগ্রি হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

ক
39°
খ
40°
গ
41°
ঘ
42°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 6 ডিগ্রি হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ = x
এবং অপর ক্ষুদ্রতম কোণ = x + 6°

এখন,
x + x + 6° + 90° = 180°
⇒ 2x + 96° = 180°
⇒ 2x = 180° - 96°
⇒ x = 84°/2
∴ x = 42°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = 42° ।

১০,১৪০.

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ সংলগ্ন কোণ দুটির প্রত্যেকটি -

ক
সূক্ষ্মকোণ
খ
স্থূলকোণ
গ
সরলকোণ
ঘ
সম্পূরক কোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ সংলগ্ন কোণ দুটির প্রত্যেকটি -

সমাধান:
৯০ ডিগ্রি এর চেয়ে ছোটো কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অন্য দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০ ডিগ্রী অর্থাৎ, এরা সূক্ষ্মকোণ।

১০,১৪১.

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ৩০% কমে, তবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত কমে?

ক
৩৫%
খ
৪২%
গ
৫১%
ঘ
৫৫%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ৩০% কমে, তবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত কমে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
অর্থাৎ, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৩০% কমলে ২ বার ৩০% করে কমবে।
প্রথম বার কমে হবে = ১০০ - ৩০ = ৭০%

দ্বিতীয় বার কমবে = ৭০ এর ৩০%
= ৭০ × (৩০/১০০)
= ২১%

∴ ক্ষেত্রফল মোট কমবে = (৩০ + ২১) = ৫১%

১০,১৪২.

সামান্তরিকের যেকোনো বাহু সংলগ্ন কোণ দুইটির সমষ্টি কত?

ক
এক সমকোণ
খ
দুই সমকোণ
গ
তিন সমকোণ
ঘ
চার সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সামান্তরিকের যেকোনো বাহু সংলগ্ন কোণ দুইটির সমষ্টি কত?

- যে চতুর্ভূজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল তাকে সামান্তরিক বলে।
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান। তেমনিভাবে, সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলোও পরস্পর সমান।
- সামান্তরিকের যেকোনো বাহু সংলগ্ন কোণ দুইটির সমষ্টি ১৮০°।
- সামান্তরিকের কোণগুলো সমকোণ হলে তখন এটি আয়তক্ষেত্র হয়ে যায়।
- সামান্তরিকের বাহুগুলো সমান হলে তখন এটি রম্বস আকার ধারণ করে।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।

১০,১৪৩.

একটি গাড়ির চাকা ৩০ মিনিটে ২০০০ বার ঘুরে ১০ কি. মি. পথ অতিক্রম করে। চাকার পরিধি কত?

ক
২০ মিটার
খ
৫ মিটার
গ
১০ মিটার
ঘ
১৫ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা ৩০ মিনিটে ২০০০ বার ঘুরে ১০ কি. মি. পথ অতিক্রম করে। চাকার পরিধি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ কি. মি. = ১০০০ মিটার
তাহলে, ১০ কি. মি. = ১০০০০ মিটার

প্রশ্নমতে,
পরিধি × ২০০০ = ১০০০০ [পরিধি = ২πr]
⇒ ২πr × ২০০০ = ১০০০০
⇒ r = ১০০০০/(২π × ২০০০)
⇒ r = ৫/২π
∴ ২πr = ৫

অতএব, চাকার পরিধি ৫ মিটার।

১০,১৪৪.

কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে, একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব হবে?

ক
৬ : ৪ : ৩
খ
১২ : ৮ : ৪
গ
৩ : ৪ : ৫
ঘ
৬ : ৫ : ৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে, একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।
∴ ৫^২ = ৩^২ + ৪^২
সুতরাং, ৩ : ৪ : ৫ বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে।

১০,১৪৫.

বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত কত?

ক
π : 4
খ
2π : 1
গ
π : 2
ঘ
π : 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত-

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr এবং
ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত = পরিধি : ব্যাস
= 2πr : 2r
= 2πr/2r
= π/1
= π : 1

১০,১৪৬.

একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৫ সে.মি. ও ৩০ সে.মি. এবং এর ক্ষেত্রফল ২৭০ বর্গসে.মি. হলে, বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

ক
১২ সে.মি.
খ
১৪ সে.মি.
গ
১৫ সে.মি.
ঘ
১১ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৫ সে.মি. ও ৩০ সে.মি. এবং এর ক্ষেত্রফল ২৭০ বর্গসে.মি. হলে, বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা
২৭০ = (১/২) × (১৫ + ৩০) × উচ্চতা
⇒ ২৭০ = (১/২) × ৪৫ × উচ্চতা
⇒ ৪৫ × উচ্চতা = ৫৪০
∴ উচ্চতা = ১২ সে.মি.

১০,১৪৭.

একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৫% বাড়ানো হলে এবং প্রস্থ ১০% কমানো হলে, ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

ক
১২.৫% বৃদ্ধি পায়
খ
১০.৫% বৃদ্ধি পায়
গ
২০% বৃদ্ধি পায়
ঘ
১৫.৫% বৃদ্ধি পায়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৫% বাড়ানো হলে এবং প্রস্থ ১০% কমানো হলে, ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ক
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = খ
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = কখ

দৈর্ঘ্য ২৫% বৃদ্ধিতে
নতুন দৈর্ঘ্য = ক + ক এর ২৫%
= ক + ক এর ২৫/১০০
= ক + ক/৪
= ৫ক/৪

প্রস্থ ১০% হ্রাসে
নতুন প্রস্থ = ক - ক এর ১০%
= ক - ক এর ১০/১০০
= ক - ক/১০
= ৯ক/১০

নতুন ক্ষেত্রফল = (৫ক/৪) × (৯ক/১০)
= ৪৫কখ/৪০
= ৯কখ/৮

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = ৯কখ/৮ - কখ
= (৯কখ- ৮কখ)/৮
= কখ/৮
∴ শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = {(কখ/৮)/ কখ} × ১০০%
= ১২.৫%

১০,১৪৮.

ক
ক) 0
খ
খ) 4
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

একটির ব্যাস 8 সেমি হলে, ব্যাসার্ধ = 8/2 = 4 সেমি
অপরটির ব্যাসার্ধ = 4 সেমি
ব্যাসার্ধ দুইটির যোগফল = 4 + 4 = 8 সেমি
আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃ স্পর্শ করলে,
এদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ব্যাসার্ধদ্বয়ের যোগফল = 8 সেমি

১০,১৪৯.

secθ = 2 হলে, θ- এর মান কত?

ক
ক) 0°
খ
খ) 30°
গ
গ) 45°
ঘ
ঘ) 60°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: secθ = 2 হলে, θ- এর মান কত?

সমাধান:
secθ = 2
secθ = sec60°
θ = 60°

১০,১৫০.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও ভূমি যথাক্রমে 15 সে.মি. এবং 12 সে.মি. হলে, লম্ব কত সে.মি.?

ক
7 সে.মি.
খ
8 সে.মি.
গ
9 সে.মি.
ঘ
10 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও ভূমি যথাক্রমে 15 সে.মি. এবং 12 সে.মি. হলে, লম্ব কত সে.মি.?

সমাধান:
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
অতিভুজ² = ভুমি² + লম্ব²
⇒ 15² = 12² + লম্ব²
⇒ লম্ব² = 225 - 144
⇒ লম্ব² = 81
∴ লম্ব = 9 সে.মি.

১০,১৫১.

tanA × √(1 - sin²A) = ?

ক
secA
খ
cosecA
গ
sinA
ঘ
cotA

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tanA × √(1 - sin²A) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanA × √(1 - sin²A)
= tanA × √cos²A
= (sinA/cosA) × cosA
= sinA

১০,১৫২.

একটি বেলনের ক্ষেত্রফল 100π বর্গমিঃ এবং আয়তন 150π ঘনমিঃ হলে বেলনের উচ্চতা কত মিঃ

ক
ক) 17(2/3) m
খ
খ) 16(2/3) m
গ
গ) 15(2/3) m
ঘ
ঘ) 14(2/3) m

ব্যাখ্যা

ধরি,
ব্যাসার্ধ = r,
উচ্চতা = h
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh = 100π
আয়তন = πr²h = 150π
∴ πr²h/2πrh = 150π/100π
r/2 = 3/2
∴ r = 3
এখন,
2πrh = 100π
বা, h = 100π/2πr
= 50/3
= 16(2/3)

১০,১৫৩.

সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর হলো ___

ক
ক) একান্তর
খ
খ) সম্পূরক
গ
গ) অনুরূপ
ঘ
ঘ) পূরক

ব্যাখ্যা

১. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর।
৩. সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক।

১০,১৫৪.

একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ৮ সেন্টিমিটার ও ১০ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?

ক
৩২ বর্গ সেন্টিমিটার
খ
৩৬ বর্গ সেন্টিমিটার
গ
৪০ বর্গ সেন্টিমিটার
ঘ
২৮ বর্গ সেন্টিমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ৮ সেন্টিমিটার ও ১০ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের একটি কর্ণ = ৮ সেন্টিমিটার
অপর কর্ণটি = ১০ সেন্টিমিটার

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ১০
= ৪০ বর্গ সেন্টিমিটার।

১০,১৫৫.

একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?

ক
৬টি
খ
৪টি
গ
২টি
ঘ
৩টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত সর্বোচ্চ ৬টি ও ন্যূনতম ২টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।

১০,১৫৬.

tanθ + cotθ = কত?

ক
cosecθ . secθ
খ
secθ + cosecθ
গ
cosθ . sinθ
ঘ
secθ - cosecθ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tanθ + cotθ =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ + cotθ
= (sinθ/cosθ) + (cosθ/sinθ)
= (sin²θ + cos²θ)/(sinθ . cosθ)
= 1/(sinθ . cosθ) [∵ sin²θ + cos²θ = 1]
= (1/sinθ) . (1/cosθ)
= cosecθ . secθ

১০,১৫৭.

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক?
i. বৃহত্তম বাহুটি অতিভুজ
i. ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি বৃহত্তম বাহুর বর্গের সমান ।
iii. সূক্ষকোণদ্বয় পরস্পরের পূরক

ক
ক) i
খ
খ) ii ও iii
গ
গ) i, ও iii
ঘ
ঘ) i, ii ও iii

ব্যাখ্যা

সমকোণী ত্রিভুজের-
i. বৃহত্তম বাহুটি অতিভুজ
i. ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি বৃহত্তম বাহুর বর্গের সমান ।
iii. সূক্ষকোণদ্বয় পরস্পরের পূরক

প্রতিটি তথ্যই সঠিক। অপশন ঘ সঠিক উত্তর

১০,১৫৮.

সমান উচ্চতাবিশিষ্ট একটি সমবৃত্তভুমিক কোণক, একটি অর্ধগোলক ও একটি সিলিন্ডার সমান সমান ভূমির উপর অবস্থিত। তাদের আয়তনের অনুপাত কত?

ক
ক) 1 : 2 : 3
খ
খ) 2 : 3 : 4
গ
গ) 2 : 3 : 5
ঘ
ঘ) 4 : 5 : 1

ব্যাখ্যা

সাধারণ উচ্চতা ও ভূমির ব্যাসার্ধ h ও r একক হলে,
কোণকের আয়তন = 1/3 × π × r³ ঘন একক
অর্ধ গোলকের আয়তন = 1/2 × (4/3 × π × r³) ঘন একক
সিলিন্ডারের আয়তন = πr³ ঘন একক
নির্ণেয় অনুপাত
= 1/3 × π × r³ : 1/2 × (4/3 × π × r³) : πr³
= 1/3 : 2/3 : 1
= 1 : 2 : 3

১০,১৫৯.

দু’টি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 3:4 হলে, বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত -

ক
6:8
খ
9:4
গ
3:16
ঘ
9:16

ব্যাখ্যা

ধরি, বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 3r, 4r
∴ ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত = π(3r)² / π(4r)²
= 9r² / 16r²
= 9/16
= 9:16

১০,১৬০.

যদি sinA + sin²A = 1 হয়, তাহলে cos²A + cos⁴A এর মান কত?

ক
1/2
খ
1
গ
1/√3
ঘ
√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি sinA + sin²A = 1 হয়, তাহলে cos²A + cos⁴A এর মান কত?

সমাধান:
sinA + sin²A = 1
⇒ sinA + sin²A = sin²A + cos²A
⇒ sinA + sin²A - sin²A = cos²A
⇒ cos²A = sinA
⇒ cos⁴A = sin²A
⇒ cos⁴A = 1 - cos²A
∴ cos²A + cos⁴A = 1

১০,১৬১.

একটি সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরল রেখার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের কত গুণ?

ক
ক) দ্বিগুণ
খ
খ) তিনগুণ
গ
গ) চারগুণ
ঘ
ঘ) পাঁচগুণ

ব্যাখ্যা

ধরি,
সরলরেখার দৈর্ঘ্য x মি
প্রশ্নমতে,
x² / (x²/4)
= x² × (4/x²)
= 4

অর্থ্যাৎ, একটি সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরল রেখার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের ৪ গুণ।

১০,১৬২.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন দুইটি বাহু যথাক্রমে ২০ সে.মি. এবং ২১ সে.মি। তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ২২ সে.মি.
খ
খ) ১৯ সে.মি.
গ
গ) ২৫ সে.মি.
ঘ
ঘ) ২৯ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন দুইটি বাহু যথাক্রমে ২০ সে.মি এবং ২১ সে.মি। তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

প্রদত্ত ত্রিভূজটি একটি সমকোণী ত্রিভূজ।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে আমরা জানি,
কোন একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভূজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ ত্রিভুজের অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

অর্থাৎ,
অতিভূজ²= ভূমি² + লম্ব²
সুতরাং
q2 = 21²+ 20²
বা, q = √(21²+ 20²)
= √(441 + 400)
= √(841)
= 29

১০,১৬৩.

∆ABC এ ∠A = 55° এবং ∠B = 75°। ∠C এর সমদ্বিখন্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = ?

ক
80°
খ
90°
গ
100°
ঘ
110°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ∆ABC এ ∠A = 55° এবং ∠B = 75°। ∠C এর সমদ্বিখন্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = ?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
∆ABC এ ∠A = 55° এবং ∠B = 75°
∠C = 180° - 55° - 75°
= 50°

∠C এর সমদ্বিখণ্ডক CD, AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
∴ ∠ACD= ∠BCD = 25°

এখন,
∆ACD এ ∠CAD = 55° এবং ∠ACD = 25°
∴ ∠CDA = 180° - 25° - 55° = 100°

১০,১৬৪.

tanA = √3 হলে, sinA এর মান কত?

ক
1/√3
খ
2/√3
গ
√3/2
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tanA = √3 হলে, sinA এর মান কত?

সমাধান:
tanA = √3
⇒ tanA = √3/1
⇒ লম্ব/ভূমি = √3/1

∴ অতিভুজ = √{(√3)²+ 1²}
= √(3 + 1)
= √4
= 2

∴ sinA = লম্ব/অতিভুজ = √3/2

১০,১৬৫.

কতটি স্বতন্ত্র উপাত্ত জানা থাকলে নিদিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায়?

ক
ক) 2 টি
খ
খ) 3 টি
গ
গ) 4 টি
ঘ
ঘ) 5 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কতটি স্বতন্ত্র উপাত্ত জানা থাকলে নিদিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায়?

সমাধান:
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়। নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ।

১০,১৬৬.

২৫৯° কোণকে কী কোণ বলে?

ক
প্রবৃদ্ধ কোণ
খ
সূক্ষ্মকোণ
গ
স্থূলকোণ
ঘ
পূরক কোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৫৯° কোণকে কী কোণ বলে?

সমাধান:
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- তাই ২৫৯° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

১০,১৬৭.

বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সংখ্যা কতটি?

ক
ক) ১ টি
খ
খ) ২ টি
গ
গ) ৩ টি
ঘ
ঘ) ৪ টি

ব্যাখ্যা

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে P একটি বহিঃস্থ বিন্দু।
P থেকে বৃত্তে PA ও PB ২টি অঙ্কিত স্পর্শক।

১০,১৬৮.

একটি বৃত্তের অর্ন্তলিখিত বর্গের ক্ষেত্রফল ৯৮ বর্গমিঃ হলে বৃত্তের ব্যাস-

ক
ক) ৭ মিঃ
খ
খ) ৭√২ মিঃ
গ
গ) ১৪ মিঃ
ঘ
ঘ) ১৪√২ মিঃ

ব্যাখ্যা

বর্গের ক্ষেত্রফল = ৯৮ বর্গমিঃ
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = √৯৮
= ৭√২
∴ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৭√২ × √২
= ১৪ মিঃ
= বৃত্তের ব্যাস

১০,১৬৯.

নিচের চিত্রে ∠POR = 150° যেখানে O বৃত্তের কেন্দ্র, তাহলে ∠PQR কত?

ক
105°
খ
100°
গ
75°
ঘ
180°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে ∠POR = 150° যেখানে O বৃত্তের কেন্দ্র, তাহলে ∠PQR কত?

সমাধান:
কেন্দ্রীয় কোণ প্রধান বৃত্তীয় কোণের দ্বিগুণ।
এবং বৃত্তীয় চতুর্ভুজে বিপরীত কোণগুলির সমষ্টি 180°

এখন,
∠POR = 2 × ∠PSR
⇒ ∠PSR = 150°/2 = 75°

আবার,
∠PQR + ∠PSR = 180°
⇒ ∠PQR + 75° = 180°
⇒ ∠PQR = 180° - 75°
∴ ∠PQR = 105°

∴ সঠিক উত্তর 105°

১০,১৭০.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 3 সে.মি. ও ভূমি 2 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির লম্ব কত?

ক
1 সে.মি.
খ
5 সে.মি.
গ
√5 সে.মি.
ঘ
√13 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 3 সে.মি. ও ভূমি 2 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির লম্ব কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 3 সেমি. ও ভূমি 2 সেমি.

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
(অতিভুজ)² = (ভূমি)² + (লম্ব)²
⇒ (লম্ব)² = 3² - 2²
⇒ (লম্ব)² = 9 - 4
∴ লম্ব = √5

১০,১৭১.

একটি চতুর্ভুজের কোণগুলোর অনুপাত 3:4:8:9 হলে বৃহত্তম কোণটি কত ডিগ্রি?

ক
ক) 45°
খ
খ) 135°
গ
গ) 120°
ঘ
ঘ) 145°

ব্যাখ্যা

মনেকরি, কোণগুলো 3x, 4x, 8x, 9x ডিগ্রি
∴ 3x + 4x + 8x + 9x = 360°
বা, 24x = 360°
∴ x = 15°
বৃহত্তম কোণ = 9x = 135°

১০,১৭২.

একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হয়, তবে কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
৭√২ মিটার
খ
৬√৩ মিটার
গ
৪√৫ মিটার
ঘ
২√২ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হয়, তবে কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৮ মিটার
∴ বিস্তার বা প্রস্থ = ৮/২ = ৪ মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = √{৪²+ (৮)²}
= √(১৬ + ৬৪)
= √(৮০)
= ৪√৫ মিটার

১০,১৭৩.

একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 4 মিটার বেশি। ঘরটির পরিসীমা 56 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
136 বর্গ মিটার
খ
162 বর্গ মিটার
গ
148 বর্গ মিটার
ঘ
192 বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 4 মিটার বেশি। ঘরটির পরিসীমা 56 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ ক মিটার
দৈর্ঘ্য (ক + ৪) মিটার

∴ পরিসীমা = ২(ক + ক + ৪) = ৪ক + ৮ মিটার

প্রশ্নমতে,
৪ক + ৮ = ৫৬
বা, ৪ক = ৫৬ - ৮
বা, ৪ক = ৪৮
বা, ক = ৪৮/৪
বা, ক = ১২
∴ দৈর্ঘ্য = (১২ + ৪) = ১৬ মিটার।

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = ১২ × ১৬ = ১৯২ বর্গ মিটার।

১০,১৭৪.

tan60° - 1 = কত?

ক
ক) 1.732
খ
খ) 0.414
গ
গ) 1.414
ঘ
ঘ) 0.732

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tan60° - 1 = কত?

সমাধান:
tan60° - 1 = √3 - 1 = 1.732 - 1 = 0.732

১০,১৭৫.

দুটি সম্পূরক কোণের পার্থক্য 30° হলে তাদের মান কত?

ক
60°, 120°
খ
80°, 110°
গ
75°, 105°
ঘ
150°, 30°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের পার্থক্য 30° হলে তাদের মান কত?

সমাধান:
দুটি কোণ সম্পূরক হলে তাদের যোগফল হয় 180°।
ধরা যাক, কোণ দুটি x এবং y এবং x < y।

তাহলে,
x + y = 180°
আবার,
y - x = 30°
⇒ y = x + 30°

প্রথম সমীকরণে y = x + 30° বসিয়ে পাই:
x + (x + 30°) = 180°
⇒ 2x + 30° = 180°
⇒ 2x = 150°
⇒ x = 75°

অতএব,
y = x + 30° = 75° + 30° = 105°

∴ (x, y) = (75°, 105°)

১০,১৭৬.

একটি আট বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কয়টি?

ক
ক) ২০টি
খ
খ) ২৪টি
গ
গ) ৯টি
ঘ
ঘ) ১৬টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আট বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:

আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা =

আট বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা হবে =

১০,১৭৭.

উপরের চিত্রে, BC = 10 সে.মি, AC = 20 সে.মি এবং CD = 8 সে.মি হলে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য প্রায় কত সে.মি?

ক
20
খ
25
গ
30
ঘ
35

ব্যাখ্যা

ABC স্থূলকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB² = AC² + BC² + 2(BC × CD)
AB² = 20² + 10² + (2 × 10 × 8)
AB² = 400 + 100 + 160
AB² = 660
AB = 25 (প্রায়)

১০,১৭৮.

12 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি গোলককে গলানো হলো এবং 12 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সমবৃত্তভূমিক কোণক হিসেবে পুনর্গঠিত করা হলো। কোণকের ব্যাসার্ধ কত?

ক
36 সে.মি.
খ
32 সে.মি.
গ
21 সে.মি.
ঘ
24 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 12 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি গোলককে গলানো হলো এবং 12 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সমবৃত্তভূমিক কোণক হিসেবে পুনর্গঠিত করা হলো। কোণকের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
গোলকের ব্যাসার্ধ = 12 সে.মি.
কোণকের উচ্চতা = 12 সে.মি.

কোণকের আয়তন = (1/3) × πr²h
গোলকের আয়তন = (4/3) × πr³

ধরি,
কোণকের ব্যাসার্ধ হল r সে.মি.
প্রশ্নানুসারে,
(1/3) × π × r² × 12 = (4/3) × π × 12 × 12 × 12
⇒ r² = 12 × 12 × 4
⇒ r = 12 × 2
∴ r = 24 সে.মি.

১০,১৭৯.

যদি tan28° = m/n হয়, তাহলে tan62° এর মান কত?

ক
ক) 2n/m
খ
খ) n/2m
গ
গ) nm
ঘ
ঘ) n/m

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি tan28° = m/n হয়, তাহলে tan62° এর মান কত?

সমাধান:
tan28° = m/n
⇒ tan(90° - 62°) = m/n
⇒ cot62° = m/n
∴ tan62° = n/m

১০,১৮০.

ABCD চতুর্ভুজে AB ∥ CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে সঠিক চতুর্ভুজ কোনটি?

ক
রম্বস
খ
সামান্তরিক
গ
ট্রাপিজিয়াম
ঘ
আয়তক্ষেত্র

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : ABCD চতুর্ভুজে AB ∥ CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে সঠিক চতুর্ভুজ কোনটি?

সমাধান :
আমরা জানি,
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় সমান ও একটি কোণ সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
সুতরাং ABCD চতুর্ভুজে AB || CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে চতুর্ভুজ একটি আয়তক্ষেত্র হবে।

১০,১৮১.

সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 90° হলে, অপর দুটি কোণের সমষ্টির অর্ধেক কত?

ক
45°
খ
30°
গ
90°
ঘ
120°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 90° হলে, অপর দুটি কোণের সমষ্টির অর্ধেক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
বা, 90° + 2 কোণ = 180°
বা, 2 কোণ = 180° - 90°
বা, 2 কোণ = 90°
বা, কোণ = 90°/2
∴ কোণ = 45°

১০,১৮২.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু ৮৪ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির অন্তব্যাসার্ধ কত?

ক
২১ সে.মি.
খ
৭√৩ সে.মি.
গ
১৪√৩ সে.মি.
ঘ
২৮√৩ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু ৮৪ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির অন্তব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহু, a = ৮৪ সে.মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের অন্তব্যাসার্ধ= a/২√৩
= ৮৪/২√৩
= ৪২/√৩
= (১৪ × √৩ × √৩)/√৩
= ১৪√৩

∴ ত্রিভুজটির অন্তব্যাসার্ধ = ১৪√৩ সে.মি.।

১০,১৮৩.

একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ১৬০ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ৩/৫ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত মিটার?

ক
২০ মিটার
খ
৩০ মিটার
গ
৩৫ মিটার
ঘ
৪০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ১৬০ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ৩/৫ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ক মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৩ক/৫ মিটার

প্রশ্নমতে,
২(ক + ৩ক/৫) = ১৬০
বা, ২{(৫ক + ৩ক)/৫} = ১৬০
বা, ৮ক/৫ = ৮০
বা, ৮ক = ৫ × ৮০
বা, ক = (৫ × ৮০)/৮
∴ ক = ৫০

∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = (৩ × ৫০)/৫ মিটার
= ৩০ মিটার

১০,১৮৪.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩। বৃহত্তম কোণটি কত?

ক
৩০°
খ
৪৫°
গ
৬০°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩। বৃহত্তম কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি,
কোণ তিনটি যথাক্রমে x, ২x এবং ৩x

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ x + ২x + ৩x = ১৮০°
বা, ৬x = ১৮০°
∴ x = ৩০°

∴ বৃহত্তম কোণটি = ৩x
= ৩ × ৩০°
= ৯০° ।

১০,১৮৫.

একটি সুষম ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি কত?

ক
ক) 540°
খ
খ) 720°
গ
গ) 810°
ঘ
ঘ) 630°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : একটি সুষম ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি কত?

সমাধান :

সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।
সুতরাং সুষম ষড়ভুজের ছয় কোণের সমষ্টি = (2×6 - 4) সমকোণ
= (12 - 4) × 90°
= 8 × 90°
= 720°

সুতরাং, সুষম ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি = 720° = আট সমকোণ

১০,১৮৬.

একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 13 মিটার ও 14 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 91 বর্গমিটার। বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?

ক
60°
খ
90°
গ
120°
ঘ
150°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 13 মিটার ও 14 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 91 বর্গমিটার। বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?

সমাধান:

মনে করি,
ত্রিভুজ ABC এর AB = c = 13 মিটার, AC = b = 14 মিটার
△ ক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল = 91 বর্গমিটার,
AB ও BC বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় করতে হবে।

∴ △ ক্ষেত্র ABC ক্ষেত্রফল = (1/2) × c × b × sinθ
বা, 91 বর্গমিটার = (1/2) × 13 × 14 × sinθ বর্গমিটার
বা, 7 × 13 × sinθ = 91
বা, sinθ = 91/(7 × 13)
বা, sinθ = 91/91
বা, sinθ = 1
বা, sinθ = sin90°
∴ θ = 90°

∴ নির্ণেয় অন্তর্ভুক্ত কোণ = 90° ।

১০,১৮৭.

একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 126 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 14 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

ক
28 গজ
খ
16 গজ
গ
21 গজ
ঘ
18 গজ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 126 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 14 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) × ভূমি × 14
= 7 × ভূমি

প্রশ্নমতে,
7 × ভূমি = 126
বা, ভূমি = 126/7
∴ ভূমি = 18 গজ

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = 18 গজ ।

১০,১৮৮.

একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ হলে, বহুভুজের অন্তকোণ গুলোর সমষ্টি কত?

ক
৮ সমকোণ
খ
৯ সমকোণ
গ
১২ সমকোণ
ঘ
১৪ সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ হলে, বহুভুজের অন্তকোণ গুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ= (n-2) × 180°

বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ টি
∴ বহুভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি = (৯- ২) × ১৮০°
= ৭ × ১৮০°
= ১২৬০°
= ১২৬০°/ ৯০° সমকোণ
= ১৪ সমকোণ

১০,১৮৯.

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 400 মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ কি.মি.?

ক
1000 বর্গ কি.মি.
খ
100 বর্গ কি.মি.
গ
0.01 বর্গ কি.মি.
ঘ
10000 বর্গ কি.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 400 মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ কি.মি.?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ পরিসীমা = 4a

প্রশ্নমতে,
4a = 400
∴ a = 100

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)²
= (100)²
= 10000 বর্গমিটার
= 10000/(1000 × 1000) বর্গ কি.মি.
= 0.01 বর্গ কি.মি.

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 0.01 বর্গ কি.মি. ।

১০,১৯০.

cosecA - cotA = 3/4 হলে, cosecA + cotA = ?

ক
3/5
খ
5/4
গ
7/4
ঘ
4/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cosecA - cotA = 3/4 হলে, cosecA + cotA = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosecA - cotA = 3/4

আমরা জানি,
cosec²A - cot²A = 1
⇒ (cosecA + cotA)(cosecA - cotA) = 1
⇒ (cosecA + cotA)(3/4) = 1
⇒ cosecA + cotA = 1 × (4/3)
∴ cosecA + cotA = 4/3

১০,১৯১.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গ মিটার হলে, পরিসীমা কত মিটার?

ক
৪০
খ
৬০
গ
৭০
ঘ
৮০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গ মিটার হলে, পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩ক × ক = ৩ক^২

শর্তমতে,
৩ক^২ = ৩০০
বা, ক^২ = ১০০
বা, ক^২ = ১০^২
∴ ক = ১০

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ১০ মিটার
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (৩ × ১০) মিটার = ৩০ মিটার
আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২(৩০ + ১০) = ২ × ৪০ = ৮০ মিটার

১০,১৯২.

Cosecθ + Cotθ = 5/2 হলে Cosecθ - cotθ = ?

ক
ক) -(5/2
খ
খ) -(2/5)
গ
গ) 2/5
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

Cosec²θ - Cot²θ = 1
বা, (Cosecθ + Cotθ)(Cosecθ - Cotθ) = 1
বা, Cosecθ - Cotθ = 1/(Cosecθ + Cotθ)
= 1/(5/2)
= 2/5
∴ Cosecθ - Cotθ = 2/5

১০,১৯৩.

একটি বহুভুজে বাহুর সংখ্যা ৫ হলে, বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত হবে?

ক
ক) ৬ সমকোণ
খ
খ) ৭ সমকোণ
গ
গ) ৮ সমকোণ
ঘ
ঘ) ৯ সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বহুভুজে বাহুর সংখ্যা ৫ হলে, বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত হবে?

সমাধান:

চিত্রের পঞ্চভুজে, ত্রিভুজ আছে তিনটি।
ত্রিভুজের কোণগুলোর সমষ্টি = ১৮০° = ২ সমকোণ

∴একটি বহুভুজে বাহুর সংখ্যা ৫ হলে, বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি = (৩ × ২)
= ৬ সমকোণ

১০,১৯৪.

বৃত্তের যে কোন দুইটি বিন্দুর সংযোজন রেখাংশকে কী বলা হয়?

ক
ক) ব্যাসার্ধ
খ
খ) জ্যা
গ
গ) ব্যাস
ঘ
ঘ) পরিধি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের যে কোন দুইটি বিন্দুর সংযোজন রেখাংশকে কী বলা হয়?

সমাধান:
- একটি বৃত্তের যেকোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাকে জ্যা বলে।
- জ্যা যদি বৃত্তের কেন্দ্রগামি হয় তবে তাকে ব্যাস বলে।
- ব্যাসের অর্ধেক ব্যাসার্ধ।
- বৃত্তের পরিধির অংশকে চাপ বলে।

১০,১৯৫.

নিচের কোনটি সামান্তরিক নয়?

ক
বর্গক্ষেত্র
খ
আয়তক্ষেত্র
গ
ট্রাপিজিয়াম
ঘ
রম্বস

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সামান্তরিক নয়?

সমাধান:
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরষ্পর অসমান।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয় তবে সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র হবে।

সামন্তরিকের সংজ্ঞা অনুসারে,
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল তাকে সামন্তরিক বলে তাই ট্রাপিজিয়াম সামান্তরিক নয়।

১০,১৯৬.

একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে12 ফুট উঁচু বাড়ির দেওয়াল থেকে 5 ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়ির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?

ক
ক) 13 ফুট
খ
খ) 14 ফুট
গ
গ) 15 ফুট
ঘ
ঘ) 17 ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে12 ফুট উঁচু বাড়ির দেওয়াল থেকে 5 ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়ির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?

সমাধান-
এখানে, বাড়ির উচ্চতা (লম্ব) = 12 ফুট ও
দেওয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব (ভূমি) = 5 ফুট।
মইয়ের দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) = ?

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, অতিভুজ² = লম্ব²+ ভূমি²
⇒ অতিভুজ² = 12² + 5² = ৬২৫
⇒ অতিভুজ² = 169
⇒ অতিভুজ = 13

অর্থাৎ, মইয়ের দৈর্ঘ্য = 13 ফুট।

১০,১৯৭.

ΔABC এ AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

ক
BC = 2DE
খ
DE = BC
গ
DE = AB
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এ AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
ABC একটি ত্রিভুজ। D ও E যথাক্রমে ত্রিভুজটির AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু।
DE = BC/2

১০,১৯৮.

ΔXYZ এর ∠X= 38°, ∠Y= 71° হলে, ΔXYZ কী ধরণের ত্রিভুজ?

ক
ক) সমবাহু ত্রিভুজ
খ
খ) বিষমবাহু ত্রিভুজ
গ
গ) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
ঘ
ঘ) কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

ΔXYZ - এ ,
∠X + ∠Y + ∠Z = 180°
38° + 71° + ∠Z = 180°
∠Z = 180° - 109°
∠Z = 71°
কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ সমান হলে ত্রিভুজটির দুইটি বাহুও সমান হবে।

∴ ΔXYZ - ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

১০,১৯৯.

‍একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গমিঃ। এর কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন?

ক
ক) ৬.৯২ মিঃ
খ
খ) ৬ মিঃ
গ
গ) ৭ মিঃ
ঘ
ঘ) ৫.৯২ মিঃ

ব্যাখ্যা

ঘনকের সম্পূর্ন পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ৬a² এবং কর্নের দৈর্ঘ্য = (√৩)a
প্রশ্নানুসারে,
৬a² = ৯৬
a = ৪
কর্নের দৈর্ঘ্য = ((√৩) x ৪ = 6.92 মিঃ

১০,২০০.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 1 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

ক
ক) 18.5 মিটার
খ
খ) 16.5 মিটার
গ
গ) 17.5 মিটার
ঘ
ঘ) 20.5 মিটার

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
তাহলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a²/4
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 1মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল=
প্রশ্নমতে,
√3(a+1)²/4 - √3a²/4= 3√3
a² + 2a + 1 - a² = 12
2a = 11
a = 5.5

সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3 × 5.5 = 16.5 মিটার