জ্যামিতি

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৩৬ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩৬/৩ মিটার = ১২ মিটার

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × (বাহু)^২ বর্গমিটার
∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × (১২)^২ বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ১৪৪ বর্গমিটার
= ৩৬√৩ বর্গমিটার

ধরি,
ভূমি = x মি.
সুতরাং, অতিভুজ = x + 2 মি.
এখানে, লম্ব = 4 মি.

∴ সূত্রানুসারে,
(x + 2)² = x² + 4²
⇒ x² + 4x + 4 = x² + 16
⇒ 4x = 12
⇒ x = 3
∴ অতিভুজ = 3 + 2 = 5 মি.

প্রশ্ন: একটি কোণের দ্বিগুণ 60° হলে, তার পূরক কোণ কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি কোণ = x
অপর কোণ = 2x

প্রশ্নমতে,
2x = 60°
বা, x = 60°/2
∴ x = 30°

∴ 30° এর পূরক কোণ = (90 - 30)°
= 60° । 

প্রশ্ন: ΔABC এর ∠A = 40° এবং ∠B = 80°। ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = ?

সমাধান:



ΔABC এর ∠A = 40° এবং ∠B = 80°।
∠C = 180° - 40° - 80°
= 60°

∠C এর সমদ্বিখণ্ডক CD, AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে। 
∴ ∠ACD = ∠BCD = 30°

∴ ∠CDA = 180° - 30° - 40°
= 110°

প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা 20° কম হলে কোণটির মান কত?

সমাধান:
মনে করি,
কোণটির মান = ক 

প্রশ্নমতে,
(90 - ক) - ক = 20°
⇒ 90° - 2ক = 20°
⇒ 2ক = 90° - 20°
⇒ 2ক = 70°
⇒ ক = 70°/2
⇒ ক = 35°

প্রশ্ন: secθ + tanθ = x তাহলে, tanθ এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
secθ + tanθ = x .......(1)
আমরা জানি,
sec²θ - tan²θ = 1
⇒ (secθ + tanθ)(secθ - tanθ) = 1 
⇒ x(secθ - tanθ) = 1
⇒ secθ - tanθ = 1/x ........(2)

এখন, 
(1) নং হতে (2) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
⇒ secθ + tanθ - (secθ - tanθ) = x - (1/x)
⇒ 2tanθ = (x² - 1)/x
∴ tanθ = (x² - 1)/2x

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার ছাদের দৈর্ঘ্য ২০ মিটার। ছাদটি ঢাকতে ৫ মিটার বাহু বিশিষ্ট কতগুলো বর্গাকার টাইলস প্রয়োজন?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গাকার ছাদের দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার
∴ ছাদের ক্ষেত্রফল = (২০ × ২০) বর্গমিটার = ৪০০ বর্গমিটার

আবার,
টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৫ মিটার
∴ প্রতিটি টাইলসের ক্ষেত্রফল = (৫ × ৫) বর্গমিটার = ২৫ বর্গমিটার

সুতরাং, প্রয়োজনীয় টাইলসের সংখ্যা = ৪০০/২৫ টি
= ১৬ টি

∴ ১৬ টি টাইলস প্রয়োজন।

বর্গের একবাহু = a
কর্ন = √২ x বাহুর দৈর্ঘ্য
বাহু = a/√২
পরিসীমা = 4 x a/√2 = 2√2a

একটি তলের ক্ষেত্রফল = ২^২ = ৪ বর্গমিটার।
∴ ঘনকের ছয়টি তল থাকে এবং এদের সবগুলোর ক্ষেত্রফল একত্রে হবে = ৬✕৪ = ২৪ বর্গ মিটার।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সরল রেখার সমীকরণ নির্দেশ করে না?

সমাধান:
সরলরেখার সমীকরণ (মূল বিন্দুগামী) ⇒ y = mx
দুই অক্ষকে ছেদ করে এমন সরল রেখার সমীকরণ ⇒ x/a + y/b = 1

অপশন গুলোর মধ্যে (খ) অপশনটি সরল রেখা নয়।
কারণ, x² + y² = 25 ; এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ যার কেন্দ্র (0,0), ব্যাসার্ধ 5। এটি সরল রেখা নয়।

তাই উক্ত সমীকরণটি কোনো সরলরেখার সমীকরণ নয়।

সঠিক উত্তর খ) x² + y² = 25

প্রশ্ন: যদি secA = 13/5 এবং A সূক্ষ্মকোণ হয়, তাহলে sinA এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
secA = 13/5

আমরা জানি, 
cos A = 1/sec A = 1/(13/5)
∴ cos A = 5/13

আবার,
sin²A + cos²A = 1 
⇒ sin²A = 1 - cos²A
⇒ sin²A = 1 - (5/13)2 = 1 - (25/169) = (169 - 25)/169
⇒ sin²A = 144/169
⇒ sinA = √(144/169)
∴ sinA = 12/13 (যেহেতু A সূক্ষ্মকোণ, sin A ধনাত্মক)

সঠিক উত্তর sin A = 12/13

আমরা জানি,
যে কোন চতুর্ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি 360°।
ট্রাপিজিয়াম একটি চতুর্ভুজ। তাই এর অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি হবে 360°।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ২০ সে.মি. ও ১০ সে.মি। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = ২০ সে.মি. ও ১০ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ২০ × ১০
= ১০০ বর্গ সে.মি.

ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ক^২
⇒ ক^২ = ১০০
⇒ ক = √১০০
∴ ক = ১০ সে.মি.

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × ক
= ৪ × ১০
= ৪০ সে.মি.

ব্যাস = 2 মিটার
∴ ব্যাসার্ধ = 1 মিঃ
∴ ক্ষেত্রফল = 4π(r²)
= 4π বর্গমিঃ

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 20 সে.মি. এবং ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 150 বর্গ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য কত সে.মি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = 150 বর্গ সেমি
লম্ব = 20 সে.মি.

আমরা জানি,
(1/2) × ভূমি × উচ্চতা = ক্ষেত্রফল
⇒ (1/2) × ভূমি × 20 = 150
⇒ ভূমি = (150 × 2)/20
∴ ভূমি = 15

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = 15 সে.মি.

- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের তিন বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকগুলোর ছেদবিন্দুকে পরিকেন্দ্র বলে।

কোন বস্তু কণা বৃত্তাকার পথে ঘুরে আসলে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে পরিধি 2πr
অর্থাৎ, 3 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের পরিধি = 2.π.3 = 6π
অর্ধেক পথ ঘুরলে অর্ধ-পরিসীমা বা 6π/2 = 3π দূরত্ব অতিক্রম করে।

ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 6√3 মিঃ
∴ ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = 6 মিঃ
∴ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6(6)²
= 216

ΔABC এ, AB = AC
∴ ∠ABC = ∠ACB
বা, y = 4x

এখন, 4x + 8y = 180°
বা, 4x + 8.4x = 180°
বা, 4x + 32x = 180°
বা, 36x = 180°
∴ x = 5°
∴ y = 4x = 4.5° = 20°

প্রশ্ন: যদি sec⁡θ - tan⁡θ = √3 - √2​ হয়, তবে sec⁡θ + tan⁡θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
sec⁡θ - tan⁡θ = √3 - √2

আমরা জানি,
sec⁡²θ - tan⁡²θ = 1
⇒ (sec⁡θ - tan⁡θ)(sec⁡θ + tan⁡θ) = 1
⇒ (√3 - √2)(sec⁡θ + tan⁡θ) = 1
⇒ sec⁡θ + tan⁡θ = 1/(√3 - √2)
⇒ sec⁡θ + tan⁡θ = (√3 + √2)/(√3 - √2)(√3 + √2)
⇒ sec⁡θ + tan⁡θ = (√3 + √2)/{(√3)² - (√2)²}
⇒ sec⁡θ + tan⁡θ = (√3 + √2)/(3 - 2)
∴ sec⁡θ + tan⁡θ = (√3 + √2)

প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা ২৪ ডিগ্রি বেশি হলে কোণটির মান কত হবে? 

সমাধান: 
ধরি,
কোণটির মান = ক
তাহলে, এর পূরক কোণ হবে = ৯০° - ক

প্রশ্নমতে, 
ক - ২৪° = ৯০° - ক
⇒ ক + ক = ৯০° + ২৪°
⇒ ২ক = ৯০° + ২৪°
⇒ ক = ১১৪°/২
∴ ক = ৫৭° 

∴ কোণটির মান = ৫৭° ।

প্রশ্ন: একটি 12 সেমি ব্যাস এবং 9 সেমি উচ্চতা বিশিষ্ট বেলন থেকে গলিত ধাতু দিয়ে 9টি অভিন্ন গোলক তৈরি করা হলে প্রতিটি গোলকের ব্যাস কত?

সমাধান:
মনে করি,
প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ = r সেমি।

দেয়া আছে,
বেলনের ব্যাস = 12 সেমি।
∴ বেলনের ব্যাসার্ধ, R = 12/2 = 6 সেমি।
বেলনের উচ্চতা, h = 9 সেমি।

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (4/3)πr³
বেলনের আয়তন = πR²h

প্রশ্নমতে,
9টি গোলকের মোট আয়তন = 1টি বেলনের আয়তন।
⇒ 9 × (4/3) × π × r³ = π × R² × h
⇒ 12 × π × r³ = π × 6² × 9
⇒ 12πr³ = π × 36 × 9
⇒ 12πr³ = 324 π
⇒ 12r³ = 324
⇒ r³ = 324/12
⇒ r³ = 27
⇒ r = 3 সেমি

∴ প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ = 3 সেমি।
∴ প্রতিটি গোলকের ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ = 2 × 3 = 6 সেমি।

প্রশ্ন: 28 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের পরিসীমার সমান পরিসীমা বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 28 সে.মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিসীমা (পরিধি) = 2πr 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × বাহুর দৈর্ঘ্য 

প্রশ্নমতে,
2πr = 4 × বাহুর দৈর্ঘ্য 
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = 2πr/4
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = πr/2
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = {(22/7) × 28}/2
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = 88/2
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = 44 সে.মি. 

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 4 : 5 হলে, ক্ষুদ্রতর কোনটি কত ডিগ্রী?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3 : 4 : 5
ধরি কোণগুলো হলো 3x, 4x, 5x

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের কোণগুলোর যোগফল = 180°

প্রশ্নমতে, 
3x + 4x + 5x = 180
⇒ 12x = 180
⇒ x = 180/12
∴ x = 15

তাহলে কোণগুলো হল,
3x = 3 × 15 = 45°
4x = 4 × 15 = 60°
5x = 5 × 15 = 75°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = 45°

প্রশ্ন: ২৬৯° কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
- তাই ২৬৯° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

প্রশ্ন: A = 60° হলে, 2sinAcosA/(sin²A + cos²A) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = 60°

প্রদত্ত রাশি, 
2sinAcosA/(sin²A + cos²A) 
= 2sinAcosA   ; [sin²A + cos²A = 1]
= 2 × sin60° × cos60°
= 2 × (√3/2) × (1/2)   ; [sin60° = √3/2, cos60° = 1/2]
= √3/2

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত মিটার? 

সমাধান: 
ধরি, 
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার  
∴ ক্ষেত্রফল = (√3/4)a² বর্গমিটার 

প্রশ্নমতে, 
(√3/4)a² = 9√3 
বা, a²/4 = 9
বা, a² = 36
বা, a² = 6²
∴ a = 6

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a মিটার 
= (3 × 6) মিটার 
= 18 মিটার । 

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ 10% বৃদ্ধি পায় তবে এর ক্ষেত্রফ শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 100 একক
 ∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (100)² বর্গএকক
= 10000 বর্গএকক 

আবার,
বাহুর দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি করা হলে,
 ∴ বাহুর নতুন দৈর্ঘ্য = (100 + 100 এর 10%) একক 
= (100 + 100 এর 10/100) একক 
= (100 + 10) একক 
= 110 একক 

∴ বর্গক্ষেত্রের নতুন ক্ষেত্রফল = (110)² = 12100 বর্গ একক

 ∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = (12100 - 10000) বর্গ একক = 2100 বর্গ একক 

এখন,
10000 বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = 2100 বর্গ একক
∴ 1 বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = 2100/10000 বর্গ একক
∴ 100 বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = {(2100 × 100)/10000} বর্গ একক
= 21 বর্গ একক 

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে = 21%

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের উচ্চতা 4 একক ও ভূমি 3 একক। অতিভুজের উপর বর্গ আঁকলে, বর্গ ও ত্রিভুজের মোট ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র:
A = 1/2 ​× ভূমি × উচ্চতা
A = 0.5 × 3 × 4
A = 6 বর্গ একক 

অতিভুজ নির্ণয়:
অতিভুজ = √(4²+3²)​
= √(16 + 9​)
= √(25) ​
= 5 একক 

অতিভুজের ওপর বর্গ আঁকলে বর্গের বাহু = 5 একক
বর্গের ক্ষেত্রফল: 
A = 5²
= 25 বর্গ একক 

মোট ক্ষেত্রফল:
25 + 6 = 31 বর্গ একক

∴ মোট ক্ষেত্রফল 31 বর্গ একক

প্রশ্ন: যদি sinθ = 3/5 এবং θ  সূক্ষ্মকোণ হয়, তবে cosθ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
sinθ = 3/5 

আমরা জানি,
sin²θ + cos²θ = 1
⇒ (3/5)² + cos²θ = 1
⇒ 9/25 + cos²θ = 1
⇒ cos²θ = 1 - 9/25
⇒ cos²θ = 16/25

∴ cosθ = 4/5 

প্রশ্ন: (sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7 হলে secθ এর মান কত?

সমাধান:
(sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7
⇒ (sinθ + cosθ + sinθ - cosθ)/(sinθ + cosθ - sinθ + cosθ) = (7 + 1)/(7 - 1) [যোজন-বিয়োজন করে]
⇒ 2sinθ/2cosθ = 8/6
⇒ sinθ/cosθ = 4/3
⇒ tanθ = 4/3
⇒ tan²θ = 16/9
⇒ ​​sec²θ - 1 = 16/9 [ sec²θ - tan²θ = 1]
⇒ sec²θ = 1 + 16/9
⇒ sec²θ = (9 + 16)/9
⇒ sec²θ = 25/9
⇒ secθ = 5/3

প্রশ্ন: রেখা'র ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান: 
ইউক্লিড প্রদত্ত কয়েকটি বর্ণনা নিম্নরূপ: 
১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।
২. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই ।
৩. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা।
৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।
৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাই তল।
৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।
৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার ওপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল।

আমরা জানি,
১০০০ মি.লি. = ১ লিটার।
৩৫০ মি.লি. = ৩৫০/১০০০ লিটার।
এখন,
১ টি বোতলে জুসের পরিমাণ = ৩৫০/১০০০ লিটার।
∴ ২৪ টি বোতলে জুসের পরিমাণ = ২৪ X (৩৫০/১০০০) লিটার।
= ৪২/৫ লিটার।
= ৮.৪ লিটার।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি 12 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 168 বর্গমিটার হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ভূমি = 12 মিটার
এবং ক্ষেত্রফল = 168 বর্গমিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা)
⇒ 168  = 12 × উচ্চতা
⇒ উচ্চতা = 168/12
∴ উচ্চতা = 14

∴ সামান্তরিকটির উচ্চতা 14 মিটার