লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং অন্যান্য বহুভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

মোট প্রশ্ন৭৮৩এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং অন্যান্য বহুভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ৭ / ৮ · ৬০১–৭০০ / ৭৮৩

৬০১.
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১১০° হলে, উহার প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    ৩০°
  2. খ
    ৬০°
  3. গ
    ৭০°
  4. ঘ
    ১৫০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১১০° হলে, উহার প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১১০°।
সুষম বহুভুজের প্রতিটি  বহিস্থঃকোণ = ১৮০° - ১১০°
= ৭০°
৬০২.
একটি বাড়ি 12 ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়িটির দেয়াল থেকে 5 ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়িটির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা? 
  1. ক
    7 ফুট
  2. খ
    17 ফুট
  3. গ
    14 ফুট
  4. ঘ
    13 ফুট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাড়ি 12 ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়িটির দেয়াল থেকে 5 ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়িটির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা? 

সমাধান: 

আমরা জানি,
AC2 = AB2 + BC2
⇒ AC = √{(122) + (52)}
∴ AC = 13

∴ মইটি 13 ফুট লম্বা।
৬০৩.
সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৬০⁰ হলে বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কয়টি?
  1. ক
    ক) ৪টি
  2. খ
    খ) ৫টি
  3. গ
    গ) ৬টি
  4. ঘ
    ঘ) ৮টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৬০⁰ হলে বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:

ধরি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা x টি

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর মোট পরিমাণ ৩৬০⁰ 

সুতরাং,
x টি কোণের পরিমাণ ৩৬০⁰
১ টি কোণের পরিমাণ ৩৬০⁰/x

এখন,
৩৬০⁰/x = ৬০⁰
বা, x = ৩৬০⁰/৬০⁰
বা, x = ৬

৬০৪.
একটি সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ১৮০°
  2. খ
    ২৪০°
  3. গ
    ৩৬০°
  4. ঘ
    ৭২০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
বাহুর সংখ্যা = ৬ টি

আমরা জানি,
ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = ৬ - ২ = ৪ সরল কোণ
= ৪ × ১৮০°
= ৭২০°
৬০৫.
প্রদত্ত সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল √৩/২ বর্গমিটার হলে এর অতিভুজের মান কত?
  1. ক
    ক) ১ মিটার
  2. খ
    খ) ২ মিটার
  3. গ
    গ) √৩ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ৩√২ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল √৩/২ বর্গমিটার হলে এর অতিভুজের মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা 
এখানে,
(১/২) × AB × AC = √৩/২
বা, AB × AC = √৩
বা, AB × ১ = √৩
∴ AB = √৩

পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,
BC২ = AC২ + AB২ 
BC = √(AC২ + AB২)
= √(১২ + √৩২)
= √(১ + ৩)
= √৪
= ২
৬০৬.
ফাহিম তার বাসা থেকে ৯ কি.মি. পশ্চিমে যায় এবং পরবর্তীতে ১২ কি.মি. দক্ষিণে যায়। সর্বশেষ অবস্থান থেকে তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব কত?
  1. ক
    ৩ কি.মি.
  2. খ
    ১৩ কি.মি.
  3. গ
    ১৭ কি.মি.
  4. ঘ
    ১৫ কি.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ফাহিম তার বাসা থেকে ৯ কি.মি. পশ্চিমে যায় এবং পরবর্তীতে ১২ কি.মি. দক্ষিণে যায়। সর্বশেষ অবস্থান থেকে তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব কত?

সমাধান:

ফাহিমের হাঁটার পথটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করেছে।

পশ্চিম দিকে যাওয়া ৯ কি.মি. হলো ত্রিভুজের একটি লম্ব।
 দক্ষিণ দিকে যাওয়া ১২ কি.মি. হলো ত্রিভুজের ভূমি।
সর্বশেষ অবস্থান থেকে বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো অতিভুজ।

আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(অতিভুজ)২ = (লম্ব)২ + (ভূমি)২
⇒ (দূরত্ব)২ = ৯২ + ১২২
⇒ (দূরত্ব)২ = ৮১ + ১৪৪
⇒ (দূরত্ব)২ = ২২৫
⇒ দূরত্ব = √২২৫
⇒ দূরত্ব = ১৫ কি.মি.

∴ তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো ১৫ কি.মি.।

৬০৭.
করিম ও রহিম একই বিন্দু থেকে যাত্রা করল। করিম যখন পশ্চিমদিকে ৪০০ মিটার গেল। রহিম তখন দক্ষিণ দিকে ৩০০ মিটার যায়। তারা একে অপরের থেকে কত দূরে অবস্থান করছে?
  1. ক
    ৭০০ মিটার
  2. খ
    ১০০ মিটার
  3. গ
    ৬০০ মিটার
  4. ঘ
    ৫০০ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: করিম ও রহিম একই বিন্দু থেকে যাত্রা করল। করিম যখন পশ্চিমদিকে ৪০০ মিটার গেল। রহিম তখন দক্ষিণ দিকে ৩০০ মিটার যায়। তারা একে অপরের থেকে কত দূরে অবস্থান করছে?

সমাধান:

ধরি,
রহিম ও করিমের মাঝে দূরত্ব = d
d২ = (৩০০)২ + (৪০০)২
⇒ d২ = ৯০০০০ + ১৬০০০০
⇒ d২ = ২৫০০০০
∴ d = ৫০০
৬০৮.
ABCD রম্বসের ∠ABC = 100° এবং কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু O। OE ⊥ AB হলে, ∠BOE = কত?
  1. ক
    60°
  2. খ
    50°
  3. গ
    40°
  4. ঘ
    30°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABCD রম্বসের ∠ABC = 100° এবং কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু O। OE ⊥ AB হলে, ∠BOE = কত?

সমাধান:

একটি রম্বসের কর্ণ প্রতিটি শীর্ষ কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ BD কর্ণ ∠ABC = 100° কে সমদ্বিখণ্ডিত করে
∴ ∠ABD = ∠EBO = 100°/2 = 50°

ΔΟΒΕ এ,
∠OEB+ ∠EBO+ ∠BOE = 180°
⇒ 90° + 50° + ∠BOE = 180°
⇒ ∠BOE = 180° - 140°
∴ ∠BOE = 40°
৬০৯.
কোন সুষম বহুভুজের অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের মানের অনুপাত ২ : ১ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?
  1. ক
    ৬ টি
  2. খ
    ৮ টি
  3. গ
    ৯ টি
  4. ঘ
    ১০ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সুষম বহুভুজের অন্তঃকোণ  ও বহিঃকোণের মানের অনুপাত ২ : ১ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ২ক
বহিঃস্থ কোণ = ক

প্রশ্নমতে,
২ক + ক = ১৮০°
⇒ ৩ক = ১৮০°
∴ ক = ৬০°

এখানে,
অন্তঃস্থ কোণ = ২ × ৬০° = ১২০°
বহিঃস্থ কোণ = ৬০° 

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৬০° = ৬ টি
৬১০.
একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থকোণ ১৪৪° হলে, এর বাহু সংখ্যা কত?
  1. ক
    ১০ টি
  2. খ
    ১৫ টি
  3. গ
    ৯ টি
  4. ঘ
    ১২ টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থকোণ ১৪৪° হলে, এর বাহু সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃস্থকোণের পরিমাণ = ১৪৪°

আমরা জানি, একটি অন্তঃস্থকোণ ও তার সংশ্লিষ্ট বহিঃস্থকোণের সমষ্টি ১৮০°।
সুতরাং, সুষম বহুভুজটির বহিঃস্থকোণ = (১৮০° - ১৪৪°) = ৩৬°

আবার, যেকোনো সুষম বহুভুজের বহিঃস্থকোণগুলোর সমষ্টি ৩৬০°।
অতএব, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = বহিঃস্থকোণগুলোর সমষ্টি/একটি বহিঃস্থকোণের পরিমাণ
= ৩৬০° ÷ ৩৬° = ১০ টি

৬১১.
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ 140° হলে এর বাহুর সংখ্যা কতটি?
  1. ক
    8 টি
  2. খ
    16 টি
  3. গ
    9 টি
  4. ঘ
    12 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ 140° হলে এর বাহুর সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
আমরা জানি, একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাণ যদি θ হয়, আর বাহুর সংখ্যা n তবে,
θ = {(n - 2) × 180°}​/n

এখন,
⇒ 140° = {(n - 2) × 180°}​/n  ;[θ = 140°]
⇒ 140°n = 180°n - 360°
⇒ 180°n - 140°n = 360°
⇒ 40°n = 360°
⇒ n = 360°/40°
∴ n = 9

∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = 9 টি
৬১২.
২৫ মিটার লম্বা একটি মই খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে ২০ মিটার উচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত?
  1. ক
    ১৫ মিটার
  2. খ
    ১৮ মিটার
  3. গ
    ২৩ মিটার
  4. ঘ
    ১৭ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২৫ মিটার লম্বা একটি মই খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে ২০ মিটার উচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
মই এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব = ক মিটার
তাহলে, পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
২৫২ = ২০২ + ক২
⇒ ক২ = ৬২৫ - ৪০০
⇒ ক২ = ১৫
∴ ক = ১৫ মিটার
৬১৩.
কোনো একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু যথাক্রমে 7 সে.মি. এবং 25 সে.মি. তৃতীয় বাহুটির দৈর্ঘ্য কত সে.মি. হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে?  
  1. ক
    ক) 12 সে.মি.
  2. খ
    খ) 24 সে.মি.
  3. গ
    গ) 36 সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 48 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু যথাক্রমে 7 সে.মি. এবং 25 সে.মি. তৃতীয় বাহুটির দৈর্ঘ্য কত সে.মি. হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে?  

সমাধান: 
 তৃতীয় বাহুটির দৈর্ঘ্য = x সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে আমরা পাই,
72 + x2 = 252
49 +  x2 = 625
x2 = 625 - 49 
x2 = 576
x2 = 242
x = 24 
৬১৪.
যদি কোন সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ তার প্রতিটি বহিঃকোণের পাঁচগুণ হয়, তবে বহুভুজের বাহু সংখ্যা নির্ণয় করুন?
  1. ক
    ১৪ টি
  2. খ
    ১২ টি
  3. গ
    ১০ টি
  4. ঘ
    ৮ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি কোন সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ তার প্রতিটি বহিঃকোণের পাঁচগুণ হয়, তবে বহুভুজের বাহু সংখ্যা নির্ণয় করুন?

সমাধান:
ধরি,
বহিঃকোণের পরিমাণ = ক
অন্তঃকোণের পরিমাণ = ৫ক

∴ ক + ৫ক = ১৮০°
⇒ ৬ক = ১৮০°
∴ ক = ৩০°

∴ বাহু সংখ্যা = ৩৬০°/৩০° = ১২ টি
৬১৫.
যদি ∠С = 90°, ∠B = 30°, AB = 10, AC = АВ/2 হয়, তাহলে BC এর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    7√5
  2. খ
    5√3
  3. গ
    5
  4. ঘ
    3√2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি ∠С = 90°, ∠B = 30°, AB = 10, AC = АВ/2 হয়, তাহলে BC এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
এখানে,
AC = АВ/2
AC = 10/2 = 5

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
АВ2 = ВС2 + АС2
বা, 102 = ВС2 + 52
বা, ВС2 = 102 - 52
বা, ВС2 = 100 - 25
বা, BC2 = 75
বা, BC = ± √75
- √75 গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হয় না।
∴ BC = √75
⇒ BC = 5√3
৬১৬.
একটি আয়তাকার পার্কের একটি কোণ থেকে বিপরীত কোণে একটি সরাসরি পথ নির্মাণ করা হয়েছে। পার্কের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার এবং প্রস্থ ৩০ মিটার। নতুন পথের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ৬০ মিটার
  2. খ
    ৫৫.৬৭ মিটার
  3. গ
    ৮০ মিটার
  4. ঘ
    ৫৮.৩১ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পার্কের একটি কোণ থেকে বিপরীত কোণে একটি সরাসরি পথ নির্মাণ করা হয়েছে। পার্কের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার এবং প্রস্থ ৩০ মিটার। নতুন পথের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি,
পথটির দৈর্ঘ্য ক মিটার
পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী
ক২ = ৩০২ + ৫০২
বা, ক২ = ৯০০ + ২৫০০
বা, ক২ = ৩৪০০
∴ ক = ৫৮.৩১ মিটার
৬১৭.
একটি মইয়ের একপ্রান্ত, ভূমি হতে খাড়া দেয়ালের ১২ সে.মি উচুতে সংযুক্ত। মইয়ের অপরপ্রান্ত দেয়াল হতে ৫ সে.মি দূরে ভূমিতে অবস্থিত হলে। মইয়ের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) ১১ সে.মি
  2. খ
    খ) ১২ সে.মি
  3. গ
    গ) ১৩ সে.মি
  4. ঘ
    ঘ) ১৪ সে.মি
ব্যাখ্যা

দেয়ালের উচ্চতা OA = ১২cm
ভূমির দৈর্ঘ্য OB = ৫cm
∴ মইয়ের দৈর্ঘ্য AB = √(OA2 + OB2)
= √(১২2 + ৫2)
= √১৬৯
= ১৩cm

৬১৮.
একটি অষ্টভুজের কোণগুলোর সমষ্টি কত?
  1. ক
    720°
  2. খ
    810°
  3. গ
    1080°
  4. ঘ
    1350°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজের কোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে, তার কোণগুলোর সমষ্টি = (2n - 4) সমকোণ।

যেহেতু একটি অষ্টভুজের বাহুর সংখ্যা n = 8

সুতরাং, অষ্টভুজের কোণগুলোর সমষ্টি
= (2 × 8) - 4 সমকোণ
= (16 - 4) সমকোণ
= 12 সমকোণ
= 12 × 90°
= 1080°

অতএব, একটি অষ্টভুজের কোণগুলোর সমষ্টি হলো 1080°।

৬১৯.
একটি খুঁটির নিচের প্রান্ত থেকে আনুভূমিক তলে 4√3 মিটার দূরের একটি বিন্দুতে খুঁটিটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 60° হলে, খুঁটিটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    12√3 মিটার
  2. খ
    8√3 মিটার
  3. গ
    6 মিটার
  4. ঘ
    12 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি খুঁটির নিচের প্রান্ত থেকে আনুভূমিক তলে 4√3 মিটার দূরের একটি বিন্দুতে খুঁটিটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 60° হলে, খুঁটিটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

ধরি,
AB খুঁটির নিচের প্রান্ত B থেকে 4√3 মিটার দূরে C বিন্দুতে খুঁটিটির শীর্ষের অর্থাৎ A বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 60°

এখন সমকোণী ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রে,
tan∠ACB = AB/BC
⇒ tan60°= AB/4√3
⇒ √3 = AB/4√3
⇒ AB = 4√3 × √3
∴ AB = 12

∴ খুঁটিটির উচ্চতা 12 মিটার
৬২০.
একটি দালানের উচ্চতা ১৫ মিটার। একটি সিঁড়ির তলদেশ দালান থেকে √৪০০ মিটার দূরে রাখা আছে। দালানের ছাদে সিঁড়িটি ছুঁয়ে আছে। সিঁড়িটি কত মিটার লম্বা?
  1. ক
    ১৩ মিটার
  2. খ
    ১৭ মিটার
  3. গ
    ২০ মিটার
  4. ঘ
    ২৫ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দালানের উচ্চতা ১৫ মিটার। একটি সিঁড়ির তলদেশ দালান থেকে √৪০০ মিটার দূরে রাখা আছে। দালানের ছাদে সিঁড়িটি ছুঁয়ে আছে। সিঁড়িটি কত মিটার লম্বা?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভূমি = √৪০০ মিটার
লম্ব বা উচ্চতা = ১৫ মিটার
সিঁড়ির দৈর্ঘ্য বা অতিভুজ = ?

∴ সিঁড়ির দৈর্ঘ্য বা অতিভুজ = √{১৫২ + (√৪০০)২}
= √(২২৫ + ৪০০)
= √৬২৫
= ২৫ মিটার
৬২১.
একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৩৫ ডিগ্রী হলে বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে-
  1. ক
    ক) ৬
  2. খ
    খ) ৭
  3. গ
    গ) ৮
  4. ঘ
    ঘ) ১০
ব্যাখ্যা

ধরি, বাহুর সংখ্যা n
সুষম বহুভুজের মোট অন্তঃস্থ কোণ = (n-2) x 180
বা, 135 x n = (n-2) x 180
বা, 135n = 180n – 360
বা, 45n = 360
বা, n = 360/45
∴ n = 8

৬২২.
একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের  অনুপাত ৭ : ২ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?
  1. ক
    ১১ টি
  2. খ
    ১২ টি
  3. গ
    ৯ টি
  4. ঘ
    ২১ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের  অনুপাত ৭ : ২ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৭ক
বহিঃস্থ কোণ = ২ক

প্রশ্নমতে,
৭ক + ২ক = ১৮০°
⇒ ৯ক = ১৮০°
∴ ক = ২০°

এখানে,
অন্তঃস্থ কোণ = ৭ × ২০° = ১৪০°
বহিঃস্থ কোণ = ২ × ২০° = ৪০°

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৪০° = ৯ টি
৬২৩.
যদি কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ২৫ সে.মি. হয় এবং অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের ব্যবধান ৫ সে.মি. হয়, তবে ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ১১ সে.মি.
  2. খ
    ১৩ সে.মি.
  3. গ
    ১৫ সে.মি.
  4. ঘ
    ১২ সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ২৫ সে.মি. হয় এবং অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের ব্যবধান ৫ সে.মি. হয়, তবে ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের এক বাহু = ক
অপর বাহু = (ক + ৫)

শর্তমতে,
ক২ + (ক + ৫)২ = ২৫২
⇒ ক২ + ক২ + ১০ক + ২৫ = ৬২৫
⇒ ২ক২ + ১০ক - ৬০০ = ০
⇒ ক২ + ৫ক - ৩০০ = ০
⇒ ক২ + ২০ক - ১৫ক - ৩০০ = ০
⇒ ক(ক + ২০) - ১৫(ক + ২০) = ০
⇒ (ক + ২০)(ক - ১৫) = ০
হয়, ক = ১৫ অথবা, ক = - ২০  [দৈর্ঘ্য ঋনাত্নক হতে পারে না]

∴ সবেচেয়ে ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৫ সে.মি.

৬২৪.
একটি খাড়া খুটি 4 মিটার উপরে ভেঙ্গে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত ভূমিতে 3 মিটার দূরত্বে স্পর্শ করলে, সম্পূর্ণ খুটির দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    5 মিটার
  2. খ
    9 মিটার
  3. গ
    16 মিটার
  4. ঘ
    25 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি খাড়া খুটি 4 মিটার উপরে ভেঙ্গে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত ভূমিতে 3 মিটার দূরত্বে স্পর্শ করলে, সম্পূর্ণ খুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 

এখানে,
খুটিটি AB = 4 মিটার উচ্চতায় ভেঙ্গে গিয়ে, BC = 3 মিটার দূরত্বে ভূমিকে স্পর্শ করে।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,
AC2 = AB2 + BC2
⇒ x2 = 42 + 32
⇒ x = √(42 + 32)
⇒ x = √25
∴ x = 5

∴ সম্পূর্ণ খুটির দৈর্ঘ্য = (4 + 5) মিটার
= 9 মিটার
৬২৫.
একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৬ হলে বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত হবে?
  1. ক
    ক) সাত সমকোণ
  2. খ
    খ) আট সমকোণ
  3. গ
    গ) চার সমকোণ
  4. ঘ
    ঘ) ছয় সমকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৬ হলে বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
কোন বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ = (n - 2) × 180⁰

বহুভুজের বাহুর সংখ্যা 6 টি
∴ বহুভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি = (6 - 2) × 180⁰ 
= 4 × 180⁰
= 720⁰/ 90⁰ সমকোণ
= 8 সমকোণ
৬২৬.
একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৬৮° হলে বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত? 
  1. ক
    ক) ২০
  2. খ
    খ) ১৫
  3. গ
    গ) ৪০
  4. ঘ
    ঘ) ৩০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৬৮° হলে বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত? 

সমাধান:
সুষম বহুভুজটির- 
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ = (১৮০° - ১৬৮°) = ১২° 
∴ নির্ণেয় বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ
= ৩৬০°/১২°
= ৩০ 

∴ নির্ণেয় বাহুর সংখ্যা = ৩০
৬২৭.
যে বহুভুজের দুইজোড়া সন্নিহিত বাহু সমান তাকে কি বলে?
  1. ক
    ক) আয়ত
  2. খ
    খ) পঞ্চভুজ
  3. গ
    গ) ষড়ভুজ
  4. ঘ
    ঘ) ঘুড়ি
ব্যাখ্যা
যে বহুভুজের দুইজোড়া সন্নিহিত বাহু সমান তাকে ঘুড়ি বলে।
৬২৮.
১৮ ফুট লম্বা একটি খাড়া খুঁটি ভূমি থেকে ৫ ফুট উচ্চতায় ভেঙ্গে গেলে খুঁটির অগ্রভাগ কত দূরে গিয়ে ভূমি স্পর্শ করবে?
  1. ক
    ১৩ ফুট
  2. খ
    ১২ ফুট
  3. গ
    ১০ ফুট
  4. ঘ
    ৯ ফুট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৮ ফুট লম্বা একটি খাড়া খুঁটি ভূমি থেকে ৫ ফুট উচ্চতায় ভেঙ্গে গেলে খুঁটির অগ্রভাগ কত দূরে গিয়ে ভূমি স্পর্শ করবে?

সমাধান:

১৮ ফুট লম্বা খাড়া খুঁটি ভূমি থেকে ৫ ফুট উচ্চতায় ভেঙ্গে গেলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়; যেখানে,
লম্ব = ৫ ফুট
অতিভূজ = ১৮-৫ ফুট
= ১৩ ফুট

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
∴ ভূমি = √(১৩২-৫২)
= √(১৬৯-২৫)
= √১৪৪
= ১২

অর্থাৎ, খুঁটির অগ্রভাগ ১২ ফুট দূরে গিয়ে ভূমি স্পর্শ করবে।

উত্তর: ১২ ফুট
৬২৯.
কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ৩৭ মিটার এবং সমকোণ ধারক বাহুর একটির দৈর্ঘ্য ৩৫ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    420 বর্গ মিটার
  2. খ
    400 বর্গ মিটার
  3. গ
    200 বর্গ মিটার
  4. ঘ
    210 বর্গ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ৩৭ মিটার এবং সমকোণ ধারক বাহুর একটির দৈর্ঘ্য ৩৫ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
 
ধরি,
ABC সমকোণী ত্রিভুজের AB = 35 মিটার
অতিভুজ AC = 37 মিটার

∴ সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
AB2 + BC2 = AC2
বা, BC2 = AC2 - AB2
বা, BC2 = (372 - 352) বর্গ মিটার
বা, BC2 = (37 + 35) (37 - 35) বর্গ মিটার
বা, BC2 = 72 × 2 বর্গ মিটার
বা, BC2 = 144 বর্গ মিটার 
∴ BC = 12 মিটার

∴ ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × BC × AB বর্গ মিটার
= (1/2) × 12 × 35 বর্গ মিটার
= 210 বর্গ মিটার
৬৩০.
একটি ষড়ভুজের অভ্যন্তরীণ ছয়টি কোণের সমষ্টি-
  1. ক
    ৮ সমকোণ
  2. খ
    ১০ সমকোণ
  3. গ
    ১২ সমকোণ
  4. ঘ
    ১৬ সমকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের অভ্যন্তরীণ ছয়টি কোণের সমষ্টি-

সমাধান:
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি = (2n - 4) সমকোণ।

সুতরাং ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি = (২ × ৬ - ৪) সমকোণ
= ১২ - ৪ সমকোণ
= ৮ সমকোণ

অতএব, ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি = ৮ সমকোণ।
৬৩১.
সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ 120° হলে, কর্ণের সংখ্যা কত?
  1. ক
    7 টি
  2. খ
    8 টি
  3. গ
    9 টি
  4. ঘ
    6 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ 120° হলে, কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = 360°/(180° - অন্তঃকোণ)
= 360°/(180° - 120°)
= 360°/60°
= 6 টি

∴ কর্ণের সংখ্যা = {6(6 - 3)}/2
=18/2
= 9 টি
৬৩২.
একটি বর্গের কর্ণ √৩ মিটার হলে, বর্গের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) ৩ বর্গ মিটার
  2. খ
    খ) ১.৫ বর্গ মিটার
  3. গ
    গ) ২.৫ বর্গ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ৯ বর্গ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণ √৩ মিটার হলে, বর্গের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
বর্গের কর্ণ a = √৩
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (১/২) × √৩ × √৩ = ৩/২ = ১.৫
৬৩৩.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও ভূমি যথাক্রমে 17 সে.মি. এবং 15 সে.মি. হলে, অতিভুজ ও উচ্চতার পার্থক্য কত?
  1. ক
    7 সে.মি.
  2. খ
    9 সে.মি.
  3. গ
    10 সে.মি.
  4. ঘ
    8 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও ভূমি যথাক্রমে 17 সে.মি. এবং 15 সে.মি. হলে, অতিভুজ ও উচ্চতার পার্থক্য কত?

সমাধান;
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
অতিভুজ2 = ভুমি2 + লম্ব2
⇒ 172 = 152 + লম্ব2
⇒ লম্ব2 = 289 - 225
⇒ লম্ব2 = 64
∴ লম্ব = 8 সে.মি.

∴ অতিভুজ ও উচ্চতার পার্থক্য = 17 - 8 = 9 সে.মি.
৬৩৪.
নিচের কোন ক্ষেত্রটির অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি, ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টির তিনগুণ?
  1. ক
    ক) চতুর্ভুজ
  2. খ
    খ) পঞ্চভুজ
  3. গ
    গ) ষড়ভুজ
  4. ঘ
    ঘ) সপ্তভুজ
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি = (2n - 4)×90°
∴ পঞ্চভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি = (2×5 - 4)×90° = 540° = 3×180° = 3× ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি।

৬৩৫.
একটি ত্রিভুজাকার প্রিজমের ভূমির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3, 4 ও 5 সে.মি. এবং উচ্চতা 8 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?
  1. ক
    480 ঘন সে.মি.
  2. খ
    144 ঘন সে.মি.
  3. গ
    96 ঘন সে.মি.
  4. ঘ
    48 ঘন সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকার প্রিজমের ভূমির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3, 4 ও 5 সে.মি. এবং উচ্চতা 8 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

সমাধান:
প্রিজমের ভূমির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3, 4 ও 5 সে.মি.
যেহেতু 32 + 42 = 52,
ইহার ভূমি একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ক্ষেত্রফল = (1/2) × 4 × 3 = 6 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, প্রিজমটির আয়তন = 6 × 8 = 48 ঘন সে.মি.
৬৩৬.
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন সন্নিহিত বাহু দুটির দৈর্ঘ্য ১২ মিটার ও ৫ মিটার হলে এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ১০ মিটার
  2. খ
    ১১ মিটার
  3. গ
    ১৩ মিটার
  4. ঘ
    ১৫ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন সন্নিহিত বাহু দুটির দৈর্ঘ্য ১২ মিটার ও ৫ মিটার হলে এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন সন্নিহিত বাহু দুটির দৈর্ঘ্য ৬ মিটার ও ৮ মিটার
∴ ভূমি = ১২ মিটার হলে লম্ব = ৫ মিটার
অথবা, ভূমি = ৫ মিটার হলে লম্ব = ১২ মিটার

পিথাগোরাসের সূত্র হতে পাই,
(অতিভুজ)২ = (ভূমি)২ + (লম্ব)২
⇒ (অতিভুজ)২ = (১২)২ + (৫)২
⇒ (অতিভুজ)২ = ১৪৪ + ২৫
⇒ (অতিভুজ)২ = ১৬৯
⇒ অতিভুজ = √(১৬৯)
∴ অতিভুজ = ১৩

∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১৩ মিটার
৬৩৭.
একটি সুষম সপ্তভুজের পরিসীমা ৫৬ সে.মি. হলে এর একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ৬ সে.মি.
  2. খ
    ৭ সে.মি.
  3. গ
    ৮ সে.মি.
  4. ঘ
    ১০ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম সপ্তভুজের পরিসীমা ৫৬ সে.মি. হলে এর একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা n = ৭ টি

আমরা জানি,
কোন সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n টি এবং বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে
পরিসীমা na একক

প্রশ্নমতে,
na = ৫৬
বা, ৭a = ৫৬ 
∴ a = ৮

∴ একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ সে.মি.
৬৩৮.
একটি খুঁটির উচ্চতা ২৪ মিটার। খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য ৭ মিটার। ছায়ার মুক্ত প্রান্ত এবং খুঁটির মাথার মধ্যে সরাসরি দূরত্ব কত?
  1. ক
    ২৫ মিটার
  2. খ
    ২৬ মিটার
  3. গ
    ১৮ মিটার
  4. ঘ
    ১৯ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি খুঁটির উচ্চতা ২৪ মিটার। খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য ৭ মিটার। ছায়ার মুক্ত প্রান্ত এবং খুঁটির মাথার মধ্যে সরাসরি দূরত্ব কত?

সমাধান:

পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী
ক২ = ২৪২ + ৭২
বা, ক২ = ৫৭৬ + ৪৯
বা, ক২ = ৬২৫
বা, ক২ = ২৫২
∴ ক = ২৫ মিটার
৬৩৯.
একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি কোণ ১৬৮°। এর বাহুসংখ্যা কতগুলো হবে?
  1. ক
    ৩০
  2. খ
    ২০
  3. গ
    ১৮
  4. ঘ
    ১০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি কোণ ১৬৮°। এর বাহুসংখ্যা কতগুলো হবে?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৬৮°।
সুতরাং সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = ১৮০° - ১৬৮° = ১২°

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°
সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/১২°
= ৩০টি
৬৪০.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১৬ সে.মি. হলে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
  1. ক
    ক) ৪৮
  2. খ
    খ) ৫৬
  3. গ
    গ) ৬৪
  4. ঘ
    ঘ) ৭২
ব্যাখ্যা

ধরি, অপর যে কোন বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.
আমরা জানি,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
বা, 16² = a² + a²
বা, 2a² = 256
বা, a² = 128
সুতরাং ক্ষেত্রফল = (1/2)×a×a = (1/2)×a² = (1/2)×128 = 64 বর্গ সে.মি.

৬৪১.
বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ 120° হলে, বহুভুজের বাহু সংখ্যা কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    7
  3. গ
    6
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ 120° হলে, বহুভুজের বাহু সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনে করি,
বাহুর সংখ্যা = x

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজে মোট উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণ = {(x - 2)180°}/x

প্রশ্নমতে,
{(x - 2)180°}/x = 120
বা, (x - 2)180° = 120x
বা, 180x - 2 × 180 = 120x
বা, 180x - 120x = 360
বা, 60x = 360
বা, x = 360/60
∴ x = 6

∴ বাহুর সংখ্যা = 6 ।

৬৪২.
একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৭ সেমি এবং একটি বাহু ৮ সেমি। অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 
  1. ক
    ৯ সেমি
  2. খ
    ১২ সেমি
  3. গ
    ১৩ সেমি
  4. ঘ
    ১৫ সেমি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৭ সেমি এবং একটি বাহু ৮ সেমি। অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রে কর্ণ দুটি সমান হয় এবং একে অপরকে ছেদ করে। কর্ণ, দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের মধ্যে সম্পর্ক হলো পাইথাগোরাস সূত্র দ্বারা প্রকাশিত।

কর্ণ২ = দৈর্ঘ্য২ + প্রস্থ২
এখানে,
কর্ণ = ১৭ সেমি
একটি বাহু (প্রস্থ) = ৮ সেমি

সুতরাং,
⇒ ১৭২ = ৮২ + অপরবাহু২
⇒ ২৮৯ = ৬৪ + অপরবাহু২
⇒ অপরবাহু২ = ২৮৯ - ৬৪
⇒ অপরবাহু২ = ২২৫ 
⇒ অপরবাহু =√২২৫
অপর বাহু = ১৫

∴ অপর বাহু = ১৫ সেমি

৬৪৩.
একটি অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?
  1. ক
    ৮ টি 
  2. খ
    ১৬ টি 
  3. গ
    ২০ টি 
  4. ঘ
    ২৪ টি 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহু সংখ্যা = ৮ টি [অষ্টভুজের বাহু সংখ্যা ৮ টি]

∴ অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২ 
= {৮ × (৮ - ৩)}/২ 
= ৪ × ৫ 
= ২০ টি 

৬৪৪.
একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ১৭০° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?
  1. ক
    ৩৬টি
  2. খ
    ৩২টি
  3. গ
    ৫২টি
  4. ঘ
    ৩৪টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ১৭০° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ = ১৭০°
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = (১৮০° - ১৭০°) = ১০°

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°
∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/১০°
= ৩৬ টি
৬৪৫.
একটি পঞ্চভুজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত ডিগ্রি?
  1. ক
    340°
  2. খ
    440°
  3. গ
    540°
  4. ঘ
    560°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত ডিগ্রি?

সমাধান:  
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে,

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°

∴ পঞ্চভূজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (5 - 2) × 180°
= 540°
৬৪৬.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ √12 সে.মি. ও লম্ব √3 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ভূমি কত?
  1. ক
    1 সে.মি.
  2. খ
    3 সে.মি.
  3. গ
    9 সে.মি.
  4. ঘ
    √6 সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ √12 সে.মি. ও লম্ব √3 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ভূমি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ √12 সে.মি. ও লম্ব √3 সে.মি.
 
∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, 
(অতিভুজ)2 = (ভূমি)2 + (লম্ব)2
⇒ (ভূমি)2 = (√12)2 - (√3)2
⇒ (ভূমি)2 = 12 - 3
⇒  (ভূমি)2 = 9
⇒ (ভূমি)2 = 32
∴ ভূমি = 3

৬৪৭.
একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ ৪৫° হলে, বহুভুজটির কর্ণের সংখ্যা কত?
  1. ক
    ২০টি
  2. খ
    ২২টি
  3. গ
    ২৪টি
  4. ঘ
    ১৮টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ ৪৫° হলে, বহুভুজটির কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহিঃস্থ কোণ 45°
∴ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = 360°/45° = 8

আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2
∴ বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = {8(8 - 3)}/2
= (8 × 5)/2
= 20
৬৪৮.
১৪ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কয়টি? 
  1. ক
    ৭ টি
  2. খ
    ৭৭ টি
  3. গ
    ৭২ টি
  4. ঘ
    ৭৫ টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৪ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2

∴ ১৪ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা হবে = {১৪(১৪ - ৩)}/২
= (১৪ × ১১)/২
= ৭৭

৬৪৯.
একটি সুষম পঞ্চভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ -
  1. ক
    ক) ৩৬°
  2. খ
    খ) ৭২°
  3. গ
    গ) ৪৫°
  4. ঘ
    ঘ) ৯০°
ব্যাখ্যা

বহিঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = ৩৬০°
∵ বাহুর সংখ্যা = ৫
∴ একটি বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০°/৫
= ৭২°

৬৫০.
সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪৫° হলে, এর বাহুর সংখ্যা কত?
  1. ক
    ৮
  2. খ
    ১০
  3. গ
    ১২
  4. ঘ
    ১৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪৫° হলে, এর বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান: 
অন্তঃস্থ কোণ = (১৮০° - ৪৫°)
= ১৩৫°

ধরি, 
বাহুর সংখ্যা = n 

∴ {(n - ২) × ১৮০°/n} = ১৩৫° 
বা, {(n - ২) × ৪/n} = ৩
বা, ৪n - ৮ = ৩n 
বা, ৪n - ৩n = ৮ 
∴ n = ৮ 

∴ বাহুর সংখ্যা = ৮। 
৬৫১.
একটি পঞ্চভুজের মধ্যে কতটি কর্ণ আঁকা যাবে?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 10
  3. গ
    গ) 12
  4. ঘ
    ঘ) 15
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের মধ্যে কতটি কর্ণ আঁকা যাবে?

সমাধান:
একটি পঞ্চভুজে বাহু আছে = 5 টি
2 টি বাহুর কৌণিক বিন্দু যোগ করে কর্ণ আঁকা যাবে।

তাহলে মোট বাহু এবং কর্ণ সংখ্যা = 5C2
= (5 × 4)/2!
= 20/2
= 10

∴ মোট কর্ণ সংখ্যা = 10 - 5 = 5
৬৫২.
একটি সুষম অষ্টভুজের বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ৪৫° 
  2. খ
    ৯০° 
  3. গ
    ৬০° 
  4. ঘ
    ৭৫° 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম অষ্টভুজের বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৩৬০°/৮
= ৪৫°
৬৫৩.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি ছোট; কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি বড়। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    10 সে.মি
  2. খ
    12 সে.মি
  3. গ
    16 সে.মি
  4. ঘ
    8 সে.মি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি ছোট; কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি বড়। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, ভূমি = x সে.মি
∴ লম্ব = x - 2 সে.মি
এবং অতিভুজ = x + 2 সে.মি

প্রশ্নমতে,
x2 + (x - 2)2 = (x + 2)2
⇒ x2 + x2 - 4x + 4 = x2 + 4x + 4
⇒ x2 - 8x = 0
⇒ x (x - 8) = 0
হয়, x = 0 (গ্রহনযোগ্য নয়)
অথবা,
x = 8

∴ অতিভুজ = 8 + 2 = 10 সে.মি

৬৫৪.
একটি বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল ০.০০৫ হেক্টর হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ৫০ মিটার
  2. খ
    ৩০ মিটার
  3. গ
    ২০ মিটার
  4. ঘ
    ১০ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল ০.০০৫ হেক্টর হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
০.০০৫ হেক্টর = ৫০ বর্গমিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু a মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল a2 বর্গমিটার

এখানে,
a2 = ৫০ বর্গমিটার

কর্ণ = √(a2 + a2)
= √(৫০ + ৫০)
= √১০০
= ১০ মিটার
৬৫৫.
In a right-angled triangle, the length of one leg is 15 units and the hypotenuse is 25 units. Find the length of the other leg.
  1. ক
    18
  2. খ
    20
  3. গ
    17
  4. ঘ
    22
ব্যাখ্যা

Question: In a right-angled triangle, the length of one leg is 15 units and the hypotenuse is 25 units. Find the length of the other leg.

Solution:
Given,
Right-angled triangle
One leg a = 15
Hypotenuse c = 25
Other leg = b

Applying the Pythagorean theorem,
Hypotenuse2 = leg a2 + leg b2
⇒ 252 = 152 + b2
⇒ b2 = 625 - 225
⇒ b2 = 400
⇒ b = √400
b = 20

∴ Other leg (b) is 20 units

৬৫৬.
যদি একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ ৪০° হয়, তাহলে সেই বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত? 
  1. ক
    ১৮ টি
  2. খ
    ২৪ টি
  3. গ
    ২৭ টি
  4. ঘ
    ৩২ টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ ৪০° হয়, তাহলে সেই বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বহিঃস্থ কোণ = ৪০° 
∴ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/৪০°
= ৯ 

আমরা জানি, 
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২ 
∴ বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = {৯(৯ - ৩)}/২ 
= (৯ × ৬)/২ 
= ২৭ টি । 

৬৫৭.
একটি বহুভুজে x সংখ্যক বাহু বিদ্যমান থাকলে, সমকোণের সংখ্যা নির্ণয় করার সূত্র নিচের কোনটি?
  1. ক
    2x + 4
  2. খ
    2x - 4
  3. গ
    2x
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বহুভুজে x সংখ্যক বাহু বিদ্যমান থাকলে, সমকোণের সংখ্যা নির্ণয় করার সূত্র নিচের কোনটি?

সমাধান:
একটি বহুভুজে x সংখ্যক বাহু বিদ্যমান থাকলে, সমকোণ সংখ্যা নির্ণয় করার সূত্র = 2x - 4.

যেমন:
চতুর্ভুজের বাহু 4টি। চতুর্ভুজের মোট সমকোণ সংখ্যা = 2 × 4 - 4 = 8 - 4 = 4টি সমকোণ বা ৩৬০°
৬৫৮.
অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত?
  1. ক
    540°
  2. খ
    720°
  3. গ
    1080°
  4. ঘ
    1440°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত?

সমাধান:
n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (n - 2) × 180°

∴ অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (8 - 2) × 180°
= 6 × 180°
= 1080°
৬৫৯.
একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 56 বর্গ সে.মি.। সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9 ও 7 সে. মি. হলে এর উচ্চতা কত?
  1. ক
    6 সে. মি.
  2. খ
    14 সে. মি.
  3. গ
    8 সে. মি.
  4. ঘ
    7 সে. মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 56 বর্গ সে.মি. । সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9 ও 7 সে. মি. হলে এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9 সে. মি. এবং 7 সে.মি.
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 56 বর্গ সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2)​ × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি​) × উচ্চতা
56 = (1/2)​ × (9 + 7) × h
56 = (1/2)​ ×16 × h
56 = 8 × h
h = 56/8​ = 7 সে. মি.

∴ উচ্চতা 7 সে. মি.
৬৬০.
নিচের চিত্রের জন্য কোন সম্পর্কটি মিথ্যা?
  1. ক
    ক) a² = b² + c²
  2. খ
    খ) b² = a² - c²
  3. গ
    গ) c² = a² - b²
  4. ঘ
    ঘ) c² = a² + b²
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের চিত্রের জন্য কোন সম্পর্কটি মিথ্যা?

a² = b² + c²
b² = a² - c²
c² = a² - b²
c² = a² + b²

সঠিক উত্তর: c² = a² + b²

সমাধান:

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে আমরা পাই,
a² = b² + c²
বা, b² = a² - c² অথবা c² = a² - b²

কিন্তু c² = a² + b² এই সম্পর্কটি পাওয়া যাবে না।
৬৬১.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা √6 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 
  1. ক
     √5/2 বর্গসে.মি.
  2. খ
     √3/2 বর্গসে.মি.
  3. গ
     2√3 বর্গসে.মি.
  4. ঘ
     √2 বর্গসে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা √6 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a সে.মি.

আমরা পাই,
(a/2)2 + (√6)2 = a2 [ পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে ]
⇒ a2 - (a/2)2 = (√6)2
⇒ a2 - a2/4 = 6
⇒ (4a2 - a2)/4 = 6
⇒ 3a2 = 24
⇒ a2 = 8
∴ a = 2√2

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a2
= (√3/4) × (2√2)2
= (√3/4) × 4 × 2
= 2√3
= 2√3 বর্গসে.মি.

৬৬২.
একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?
  1. ক
    58°
  2. খ
    66°
  3. গ
    72°
  4. ঘ
    81°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাতের যোগফল =  (9 + 10 + 12 + 14 + 15)
= 60

পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (5 - 2) × 180°
= 540°

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণের মান = 540°× (9/60)
= 81°
৬৬৩.
একটি ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ক) ৩৬০
  2. খ
    খ) ৭২০
  3. গ
    গ) ১০৮০
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
বহুভুজের সমষ্টি = (2n-4)×90 = ((2×6)-4)×90 = 720 ডিগ্রি।
৬৬৪.
সপ্তভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত? 
  1. ক
    ১৬ সমকোণ
  2. খ
    ১২ সমকোণ
  3. গ
    ১৪ সমকোণ
  4. ঘ
    ১০ সমকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সপ্তভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (২n - ৪) × ৯০° (সমকোণ) 
(যেখানে, n = বহুভুজের বাহুর সংখ্যা) 

∴ সপ্তভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = {(২ × ৭)  - ৪} × সমকোণ 
= (১৪ - ৪) × সমকোণ 
= ১০ সমকোণ।
৬৬৫.
তিনটি ঘনকের ধার যথাক্রমে 3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি.। ঘনক তিনটিকে গলিয়ে একটি নতুন ঘনক বানানো হলো। নতুন ঘনকের  কর্ণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    4√3 সে. মি
  2. খ
    6√3 সে. মি
  3. গ
    √3 সে. মি.
  4. ঘ
    8 সে. মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তিনটি ঘনকের ধার যথাক্রমে 3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি.। ঘনক তিনটিকে গলিয়ে একটি নতুন ঘনক বানানো হলো। নতুন ঘনকের  কর্ণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের ধার a হলে,
ঘনকের আয়তন = a³ ঘন একক
এবং ঘনকের কর্ণ = a√3 একক

এখানে,
নতুন ঘনকের আয়তন = (33+ 43 + 53) ঘন সে. মি.
= (27+ 64 +125) ঘন সে.মি.
= 216 ঘন সে.মি.
∴ নতুন ঘনকের ধার =  সে. মি. = 6 সে.মি.

অতএব, নতুন ঘনকের কর্ণ = a√3= 6√3 সে. মি
৬৬৬.
একটি সুষম অষ্টভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    125°
  2. খ
    130°
  3. গ
    135°
  4. ঘ
    145°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম অষ্টভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ কত? 

সমাধান:
অন্তঃকোণের পরিমাণ = ((8 - 2) × 180°)/8
= (6 × 180°)/8
= 135°
৬৬৭.
নিম্নের কোন বহুভুজকে সর্বদা বৃত্তে অন্তর্লিখিত করা যায়?
  1. ক
    বর্গ
  2. খ
    ত্রিভুজ
  3. গ
    আয়ত
  4. ঘ
    উপরের সবগুলো
ব্যাখ্যা
সমরেখ নয় এমন তিনটি বিন্দু দিয়ে সবসময় একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়। 
সুতরাং প্রত্যেক ত্রিভুজকে বৃত্তে অন্তর্লিখিত করা যায়। 
কিন্তু ত্রিভুজ ব্যতীত অন্য কোনো বহুভুজকে সবসময় বৃত্তে অর্ন্তলিখিত করা যায় না।
--------------
তবে চতুর্ভুজগুলোর মধ্যে বর্গ ও আয়ত -ক্ষেত্রকে বৃত্তের অন্তর্লিখিত করা যায়।
তাই এক্ষেত্রে সঠিক উত্তর - ঘ) উপরের সবগুলো হবে।
৬৬৮.
পাঁচ বাহু বিশিষ্ট বহুভূজের কতটি কর্ণ আছে?
  1. ক
    ক) ৭টি
  2. খ
    খ) ১০টি
  3. গ
    গ) ৫টি
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
সমাধান: 
বহুভূজের বাহু n = 5

কর্ণের সংখ্যা = 5c2 - 5
= 10 - 5
= 5
৬৬৯.
একটি সুষম পঞ্চভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    ৯০°  
  2. খ
    ১০৮°  
  3. গ
    ৭২°  
  4. ঘ
    ১১০°  
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম পঞ্চভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
পঞ্চভুজের একটি অন্তঃকোণের সমষ্টি = (৫ - ২) × ১৮০°
= ৩ × ১৮০°
= ৫৪০° 

∴ একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ = ৫৪০°/৫
= ১০৮°  
৬৭০.
একজন লোক একটি নির্দিষ্ট স্থান A থেকে যাত্রা শুরু করে 15 কিলোমিটার উত্তর দিকে গেল এবং সেখান থেকে 8 কিলোমিটার পূর্ব দিকে গেল। যাত্রা শেষে সে A থেকে কত দূরে থাকবে?
  1. ক
    ক) 13 কিমি
  2. খ
    খ) 15 কিমি
  3. গ
    গ) 17 কিমি
  4. ঘ
    ঘ) 21 কিমি
ব্যাখ্যা

দূরত্ব = √(15)2+(8)2 = 17

৬৭১.
ক এর মান কত?
  1. ক
    37 মিটার
  2. খ
    35 মিটার
  3. গ
    40 মিটার
  4. ঘ
    41 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  ক এর মান কত?

সমাধান:
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
অতিভুজ২ = লম্ব২ + ভূমি২
⇒ ভুমি২ = অতিভুজ২ - লম্ব২
⇒ ক২ = 502 - 302
⇒ ক২ = 2500 - 900
⇒ ক২ = 1600
∴ ক = 40 মিটার
৬৭২.
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির -
  1. ক
    ক) অর্ধেক
  2. খ
    খ) দ্বিগুণ
  3. গ
    গ) সমান
  4. ঘ
    ঘ) চারগুণ
ব্যাখ্যা
পিথাগোরাসের উপপাদ্য
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।
৬৭৩.
একটি সুষম ১৮-বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?
  1. ক
    ১২০°
  2. খ
    ১৪০°
  3. গ
    ১৫৬°
  4. ঘ
    ১৬০°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম ১৮-বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, বাহুর সংখ্যা n = ১৮

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০°/n
= ৩৬০°/১৮ = ২০°

∴ প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - বহিঃস্থ কোণ
= ১৮০° - ২০°
= ১৬০°

৬৭৪.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৭ ও ২৪ সেন্টিমিটার হলে এর অতিভুজের মান কত?
  1. ক
    ১৭ সেন্টিমিটার
  2. খ
    ২২ সেন্টিমিটার
  3. গ
    ২৫ সেন্টিমিটার
  4. ঘ
    ৩০ সেন্টিমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৭ ও ২৪ সেন্টিমিটার হলে এর অতিভুজের মান কত?

সমাধান:
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
(অতিভুজ)২ = (ভূমি)২ + (লম্ব)২
⇒ অতিভুজ = √(৭২ + ২৪২)
= √(৪৯ + ৫৭৬)
= √(৬২৫)
= ২৫ সেন্টিমিটার
৬৭৫.
একটি সুষম বহুভূজের প্রত্যেকটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ 30° হলে বহুভূজটির বাহুর সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 10
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা

সুষম বহুভূজের মোট বহিঃস্থ কোণ 360°
∴ একটি বহিঃস্থ কোণ 30° হলে বাহুর সংখ্যা = 360°/30°
= 12

৬৭৬.
একটি সুষম ষড়ভুজের পরিসীমা ৫৪ সে.মি. হলে এর একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) ৬ সে.মি.
  2. খ
    খ) ২৭ সে.মি.
  3. গ
    গ) ৯ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ৩৬ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের পরিসীমা ৫৪ সে.মি. হলে এর একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 

আমরা জানি,
কোন সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n টি এবং বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে
পরিসীমা na একক

শর্তমতে,
na = ৫৪
বা, ৬a = ৫৪ 
বা, a = ৯

∴ একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৯ সে.মি.
৬৭৭.
একটি সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত?
  1. ক
    ৫৪০°
  2. খ
    ৬৩০°
  3. গ
    ৭২০°
  4. ঘ
    ৬৬০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান: 
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।
সুতরাং সুষম ষড়ভুজের ছয় কোণের সমষ্টি = (2 × 6 - 4) সমকোণ
= (12 - 4) সমকোণ
= 8 সমকোণ
= 720°
৬৭৮.
একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থকোণ ১৩৫° হলে ঐ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত হবে? 
  1. ক
    ক) ৬টি
  2. খ
    খ) ৮টি
  3. গ
    গ) ৪টি
  4. ঘ
    ঘ) ৫টি
ব্যাখ্যা
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃস্থকোণের পরিমাণ ১৩৫° 
সুতরাং সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = ১৮০° - ১৩৫° 
                                                       = ৪৫°
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°

সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/৪৫°
                                                       = ৮
৬৭৯.
একটি বাড়ি ২৪ ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়িটির দেয়াল থেকে ৭ ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়িটির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা? 
  1. ক
    ক) ৪৮ ফুট
  2. খ
    খ) ২৫ ফুট
  3. গ
    গ) ২৭ফুট
  4. ঘ
    ঘ) ৪১ ফুট
ব্যাখ্যা
মইটি বাড়ির দেয়াল মাটির সাথে সমকোণ তৈরী করেছে
সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রে
অতিভূজ2 = লম্ব2 + ভূমি2
= ২৪2+৭2
= ৫৭৬ + ৪৯ 
= ৬২৫

∴ অতিভূজ = √৬২৫ = ২৫ ফুট

∴ মইয়ের উচ্চতা = ২৫ফুট
৬৮০.
নিচের কোন তিনটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?
  1. ক
    ৬, ৯, ১০
  2. খ
    ৬, ৮, ১০
  3. গ
    ৭, ৮, ১১
  4. ঘ
    ৭, ৮, ১২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন তিনটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের উপর অঙ্কিত বর্গ অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টির সমান।
∴  ৬২ + ৮২ = ৩৬ + ৬৪ = ১০০ = ১০২

∴ ৬, ৮, ১০ বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে।
৬৮১.
কোন তিনটি বাহু দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?
  1. ক
    √2, √3, 5
  2. খ
    2, 3, 13
  3. গ
    √2, √3, √5
  4. ঘ
    1, 2, 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

সমাধান:
অপশন ক,
√2, √3, 5
⇒ (√2)2 + (√3)2 ≠ 52
⇒ 2 + 3 ≠  25
∴ সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।

অপশন খ,
2, 3, 13
⇒ (2)2 + (3)2 ≠ 132
⇒ 4 + 9 ≠  169
⇒ 13 ≠ 169
∴ সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।

অপশন গ,
√2, √3, √5
⇒ (√2)2 + (√3)2 = (√5)2
⇒ 2 + 3 = 5
⇒ 5 = 5
∴ সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।

অপশন ঘ,
1, 2, 5
⇒ (1)2 + (2)2 ≠ 52
⇒ 1 + 2 ≠  25
⇒ 3 ≠  25
∴ সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
৬৮২.
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে 3 ও 4 সে.মি. হলে এর অতিভুজের মান কত?
  1. ক
    6 সে.মি.
  2. খ
    8 সে.মি.
  3. গ
    5 সে.মি.
  4. ঘ
    7 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে 3 ও 4 সে.মি. হলে, তার অতিভুজের মান কত?

সমাধান: 
অতিভুজ = √(32 + 42) সে.মি.
= √(9 + 16) সে.মি.
= √25 সে.মি. 
= 5 সে.মি.
৬৮৩.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় 4 সে. মি. ও 3 সে. মি. । অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    2.5 বর্গ সে. মি.
  2. খ
    25 বর্গ সে. মি.
  3. গ
    (2 + √3) বর্গ সে. মি. 
  4. ঘ
    49 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় 4 সে. মি. ও 3 সে. মি. । অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য 4 সে. মি.  ও 3 সে. মি. 
ধরি 
ভূমি = 4 সে. মি.
লম্ব = 3 সে. মি. 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে 
(অতিভুজ)2 = ভূমি2 + লম্ব2
বা, (অতিভুজ)2 = 42 + 32
বা, (অতিভুজ)2 = 16 + 9 
বা, (অতিভুজ)2 = 25
বা, (অতিভুজ)2 = 52
∴ অতিভুজ = 5

 ∴ অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 52 = 25 বর্গ সে. মি.
৬৮৪.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১২ মিটার এবং অতিভুজ ১৩ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত মিটার?
  1. ক
    ১৫ বর্গমিটার
  2. খ
    ২০ বর্গমিটার
  3. গ
    ৩০ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ৪০ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১২ মিটার এবং অতিভুজ ১৩ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
​উচ্চতা = ক মিটার 
​
​পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
​অতিভুজ২ = ভুমি২ + উচ্চতা২ 
⇒ ​(১৩)২ = (১২)২ + ক২
⇒ ​​১৬৯ = ১৪৪ + ক২
⇒ ​​ক২ = ১৬৯ - ১৪৪
​⇒ ​ক২ = ২৫
​⇒ ​ক = ৫
​
​সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা 
​= (১/২) × ১২ × ৫ 
​= ৩০ বর্গমিটার 

৬৮৫.
সুষম পঞ্চভুজের বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে -
  1. ক
    ক) ৬০°
  2. খ
    খ) ৬৬°
  3. গ
    গ) ৭০°
  4. ঘ
    ঘ) ৭২°
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, সুষম পঞ্চভুজের অন্তস্থ কোণের পরিমাণ = {(৫ - ২)/৫} × ১৮০° = ১০৮°
অতএব, বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = ১৮০° - ১০৮° = ৭২°
৬৮৬.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য লম্ব অপেক্ষা 2 মিটার কম এবং লম্ব অপেক্ষা অতিভুজ 2 মিটার বেশি হলে, ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
  1. ক
    ক) 1200 সে.মি.    
  2. খ
    খ) 100 সে.মি.    
  3. গ
    গ) 1000 সে.মি.    
  4. ঘ
    ঘ) 1100 সে.মি.    
ব্যাখ্যা
ধরি,
লম্বের দৈর্ঘ্য = x
তাহলে, ভূমির দৈর্ঘ্য = x - 2
অতিভুজের দৈর্ঘ্য = x + 2
আমরা জানি,
অতিভুজ2 = লম্ব2 + ভূমি2
⇒ (x + 2)2 = (x - 2)2 + x2
⇒ x2 + 4x + 4 = x2 - 4x + 4 + x2
⇒ x2 - 8x = 0
⇒ x(x - 8) = 0
⇒ x = 8 [যেহেতু, ত্রিভুজের লম্ব কখনো শূন্য হতে পারে না]
তাহলে, ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 8 + 2 = 10 মিটার= 1000 সে.মি.    
৬৮৭.
পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য ২৪ হলে অন্য সদস্যজোড় নিচের কোনটি?
  1. ক
    ৮, ৩১
  2. খ
    ১১, ২৫
  3. গ
    ৭, ২৫
  4. ঘ
    ১৩, ২৯
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য ২৪ হলে অন্য সদস্যজোড় নিচের কোনটি?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
পিথাগোরাস ত্রয়ী হলো তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সেট, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।

তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c2 = a2 + b2
শর্ত মানে, তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।

উদাহরণ:
(৩, ৪, ৫)
(৫, ১২, ১৩)
(৭, ২৪, ২৫)
(৮, ১৫, ১৭)
(২০, ২১, ২৯)

এখানে,
৭২ + ২৪২ = ২৫২
⇒ ৪৯ + ৫৭৬ = ৬২৫
⇒ ৬২৫ = ৬২৫

∴ পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য ২৪ হলে অন্য সদস্যজোড় হলো (৭, ২৫)।

৬৮৮.
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সেন্টিমিটার হলে এর অতিভুজের মান কত? 
  1. ক
    ৬ সে.মি.
  2. খ
    ৫ সে.মি.
  3. গ
    ৮ সে.মি.
  4. ঘ
    ৭ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সেন্টিমিটার হলে ত্রিভুজের অতিভুজ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, (অতিভুজ)২ = (লম্ব)২ + (ভূমি)২
⇒ অতিভুজ = √{(৩)২ + (৪)২)}
⇒ অতিভুজ = √(৯ + ১৬)
⇒ অতিভুজ = √২৫
∴ অতিভুজ = ৫ সে.মি.
৬৮৯.
একটি সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল 30 বর্গসেঃমিঃ ভূমি ও লম্বের অন্তর 7 সেঃমিঃ হলে অতিভূজের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) 12 সেঃমিঃ
  2. খ
    খ) 13 সেঃমিঃ
  3. গ
    গ) 14 সেঃমিঃ
  4. ঘ
    ঘ) 15 সেঃমিঃ
ব্যাখ্যা

ধরি,
ভূমি = a,
লম্ব = b
∴ 1/2 × a × b = 30
বা, ab = 60
আবার,
a - b = 7
বা, (a - b)2 = 72 = 49
বা, a2 + b2 - 2ab = 49
বা, a2 + b2 = 49 + 2.60
                 = 169
∴ অতিভূজ = √(a2 + b2)
= √169
= 13 সেঃমিঃ

৬৯০.
একটি সমকোণী ত্রিভুজাকৃতির মাঠের অতিভুজ ১৩ সেমি এবং লম্ব ৫ সেমি হলে, মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৩০ বর্গসেমি
  2. খ
    ৩৬ বর্গসেমি
  3. গ
    ৪৯ বর্গসেমি
  4. ঘ
    ৬৪ বর্গসেমি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজাকৃতির মাঠের অতিভুজ ১৩ সেমি এবং লম্ব ৫ সেমি হলে, মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অতিভুজ = ১৩ সেমি
লম্ব = ৫ সেমি

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজে,
(অতিভুজ)২ = (লম্ব)২ + (ভূমি)২
⇒ (ভূমি)২ = (অতিভুজ)২ - (লম্ব)২
⇒ (ভূমি)২ = ১৩২ - ৫২ 
⇒ (ভূমি)২ = ১৬৯ - ২৫ 
⇒ (ভূমি)২ = ১৪৪
⇒ ভূমি = √১৪৪ = ১২ সেমি

এখন,
মাঠটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × লম্ব × ভূমি
= (১/২) × ৫ × ১২ = ৩০ বর্গসেমি

সুতরাং, মাঠটির ক্ষেত্রফল = ৩০ বর্গসেমি

৬৯১.
tanθ = 1/3 হলে, cosθ এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    3/√10
  3. গ
    1/√10
  4. ঘ
    √10
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tanθ = 1/3 হলে, cosθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
tanθ = 1/3 

আমরা জানি, tanθ = লম্ব/ভূমি
এখানে, লম্ব = 1 এবং ভূমি = 3 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, (লম্ব)2 + (ভূমি)2 = (অতিভুজ)2
(অতিভুজ)2 = 12 + 32 
⇒ (অতিভুজ)2 = 1 + 9
⇒ (অতিভুজ)2 = 10
⇒ অতিভুজ = √10

∴ cosθ = ভূমি/অতিভুজ = 3/√10

৬৯২.
20 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি মই এর এক প্রান্ত একটি মিনারের শীর্ষবিন্দু স্পর্শ করে এবং অপর প্রান্ত মিনারের পাদদেশ থেকে 12 মিটার দূরে অবস্থান করলে মিনারের উচ্চতা কত?
  1. ক
    10 মিটার 
  2. খ
    16 মিটার 
  3. গ
    18 মিটার 
  4. ঘ
    20 মিটার 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 20 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি মই এর এক প্রান্ত একটি মিনারের শীর্ষবিন্দু স্পর্শ করে এবং অপর প্রান্ত মিনারের পাদদেশ থেকে 12 মিটার দূরে অবস্থান করলে মিনারের উচ্চতা কত?

সমাধান:
মনে করি, A মিনারের শীর্ষবিন্দু এবং AB মিনারের উচ্চতা। 
ভূমি, BC = 12 মিটার এবং মই এর দৈর্ঘ্য, AC = 20 মিটার 

ABC সমকোণী ত্রিভুজে, 
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2
⇒ (AB)2 = (AC)2 - (BC)2
= (20)2 - (12)2
= 400 - 144
= 256
= 162
∴ AB = 16

∴ মিনারের উচ্চতা 16 মিটার 

৬৯৩.
কোন সুষম বহুভুজের অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের মানের অনুপাত ৩ : ২ হলে, বহুভুজটি হবে-
  1. ক
    সপ্তভুজ
  2. খ
    ষড়ভুজ
  3. গ
    পঞ্চভুজ
  4. ঘ
    অষ্টভুজ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সুষম বহুভুজের অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের মানের অনুপাত ৩ : ২ হলে, বহুভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৩ক
বহিঃস্থ কোণ = ২ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ২ক = ১৮০°
বা, ৫ক = ১৮০°
∴ ক = ৩৬°

এখানে,
অন্তঃস্থ কোণ = ৩ × ৩৬° = ১০৮°
বহিঃস্থ কোণ = ১৮০ - ১০৮ = ৭২°
বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৭২° = ৫ টি

∴ বহুভুজটি একটি পঞ্চভুজ।
৬৯৪.
কোনো ত্রিভুজের এক বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের যোগফলের সমান হলে ত্রিভুজটি হবে- 
  1. ক
    সূক্ষ্মকোণী
  2. খ
    সমকোণী
  3. গ
    স্থূলকোণী
  4. ঘ
    সমবাহু
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের এক বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের যোগফলের সমান হলে ত্রিভুজটি হবে- 

সমাধান:
"যদি কোনো ত্রিভুজে একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের যোগফলের সমান হয়, তবে সেই ত্রিভুজটি হবে সমকোণী।"
অর্থাৎ,
(অতিভুজ)২ = (ভূমি)২ +(লম্ব)২ ⇒ ত্রিভুজটি সমকোণী

অন্য অপশন গুলো-
ক) সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ:
ত্রিভুজের তিনটি কোণই যদি ৯০°-এর কম হয়, তাহলে সেটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।

গ) স্থূলকোণী ত্রিভুজ: 
ত্রিভুজের একটি কোণ যদি ৯০°-এর বেশি এবং ১৮০° থেকে ছোট হয়, তবে সেটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ।

ঘ) সমবাহু ত্রিভুজ:
যেসব ত্রিভুজের তিনটি বাহু সমান এবং তিনটি কোণই ৬০°, সেগুলো সমবাহু ত্রিভুজ।
৬৯৫.
১৫ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?
  1. ক
    ১৫৫°
  2. খ
    ১৫৬°
  3. গ
    ১৫৭°
  4. ঘ
    ১৫৮°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৫ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
বাহুর সংখ্যা= 15
অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি = (n - 2) × 180°
এখন,
(n - 2) × 180° = 13 × 180° = 2340°

∴ প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান = 2340° ÷ 15 = 156°.
৬৯৬.
একটি সুষম পঞ্চভুজের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    20cot36°
  2. খ
    30cot36°
  3. গ
    24cot36°
  4. ঘ
    32cot36°
ব্যাখ্যা

মনে করি, সুষম পঞ্চভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 4 সেমি
এবং বাহুর সংখ্যা, n = 5
আমরা জানি, সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল = (na2/4) cot(180°/n) 
সুষম পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফল = (5 × 42/4) cot(180°/5)
                                          = 20cot36°
৬৯৭.
একটি সুষম দশভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ হবে-
  1. ক
    প্রবৃদ্ধকোণ
  2. খ
    স্থুলকোণ
  3. গ
    সমকোণ
  4. ঘ
    সূক্ষ্মকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম দশভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ হবে-

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের একটি বহিস্থ কোণ = ৩৬০/বাহু সংখ্যা,
∴ বহিস্থ কোণ = ৩৬০/১০ = ৩৬°

∴ অন্তস্থ কোণ হবে = ১৮০° - ৩৬°
= ১৪৪° [যেহেতু ১টি অন্তস্থ কোণ ও ১টি বহিস্থ কোণ = ১৮০]

এখানে, ১৪৪° কোণ হলো স্থুলকোণ।

∴ একটি সুষম দশভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ হবে স্থুলকোণ।
৬৯৮.
একটি দ্বাদশভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?
  1. ক
    ২৭ টি
  2. খ
    ৩৫ টি
  3. গ
    ৫৪ টি
  4. ঘ
    ৬৬ টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি দ্বাদশভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = n(n - ৩)/২
এখানে, দ্বাদশভুজের বাহু সংখ্যা (n) = ১২

∴দ্বাদশভুজের কর্ণের সংখ্যা = ১২(১২ - ৩)/২
= ১২(৯)/২
= ১০৮/২
= ৫৪ টি।

∴ একটি দ্বাদশভুজের কর্ণের সংখ্যা হলো ৫৪ টি।

৬৯৯.
একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ ১৩৫° হলে, তার বাহুর সংখ্যা কত?
  1. ক
    ৬ 
  2. খ
    ৮ 
  3. গ
    ১০ 
  4. ঘ
    ১২ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ ১৩৫° হলে, তার বাহুর সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
বাহুর সংখ্যা = ক

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজে মোট উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণ = {(ক - ২)১৮০°}/ক

প্রশ্নমতে, 
{(ক - ২)১৮০°}/ক = ১৩৫°
বা, (ক - ২) × ১৮০ = ১৩৫ক
বা, ১৮০ক - ২ × ১৮০ = ১৩৫ক
বা, ১৮০ক - ৩৬০ = ১৩৫ক
বা, ১৮০ক - ১৩৫ক = ৩৬০
বা, ৪৫ক = ৩৬০
বা, ক = ৩৬০/৪৫ 
∴ ক = ৮

∴ বাহুর সংখ্যা = ৮ টি ।

৭০০.
৮ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা কত?
  1. ক
    ২৪√৩ সে.মি.
  2. খ
    ১৮√৩ সে.মি.
  3. গ
    ২৮√৩ সে.মি.
  4. ঘ
    ৩৬√৩ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৮ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

সমাধান: 

বৃত্তের অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = √3 × বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= 8√3 cm

পরিসীমা = 3a
= 3 × 8√3
= 24√3 cm