লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং অন্যান্য বহুভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

মোট প্রশ্ন৭৮৩এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং অন্যান্য বহুভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ৪ / ৮ · ৩০১–৪০০ / ৭৮৩

৩০১.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও লম্ব যথাক্রমে ৪১ মি. এবং ৪০ মি. হলে ভূমির পরিমাণ কত?
  1. ক
    ৩৫ মিটার
  2. খ
    ২২ মিটার
  3. গ
    ৯ মিটার
  4. ঘ
    ৮ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও লম্ব যথাক্রমে ৪১ সে.মি. এবং ৪০ সে.মি হলে ভূমির পরিমাণ কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ AC = ৪১ মি.
সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব AB = ৪০ মি

পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে,
AC২ = BC২ + AB২
⇒ ৪১২= BC২ + ৪০২
⇒ BC২ = ১৬৮১ - ১৬০০
⇒ BC২ = ৮১
⇒ BC = √৮১
∴ BC = ৯

∴ ত্রিভুজটির ভূমি = ৯ মিটার
৩০২.
একটি সুষম অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত?
  1. ক
    1000°
  2. খ
    980°
  3. গ
    1208°
  4. ঘ
    1080°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
অন্তঃকোণের সমষ্টি = (2n - 4) × 90∘
সুতরাং,
সুষম অষ্টভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি = {(2 × 8) - 4} × 90∘ 
= 12 × 90∘
= 1080°
৩০৩.
সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪৫⁰ হলে বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কয়টি?
  1. ক
    ৪টি
  2. খ
    ৮টি
  3. গ
    ৬টি
  4. ঘ
    ৫টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪৫⁰ হলে বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
ধরি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা x টি

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর মোট পরিমাণ 360⁰

সুতরাং,
x টি কোণের পরিমাণ 360⁰
1 টি কোণের পরিমাণ 360⁰/x

প্রশ্নমতে,
360⁰/x = 45⁰
⇒ x = 360⁰/45⁰
∴ x = 8
৩০৪.
৬ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কতটি কর্ণ আছে?
  1. ক
    ক) ৬
  2. খ
    খ) ৯
  3. গ
    গ) ১২
  4. ঘ
    ঘ) ১৮
ব্যাখ্যা
বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা= n(n - 3)/2
∴ ছয় বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণ আছে = 6(6 - 3)/2 = 9
৩০৫.
যদি একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ 90° হয়, তাহলে সেই বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?
  1. ক
    4 টি
  2. খ
    8 টি
  3. গ
    12 টি
  4. ঘ
    2 টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ 90° হয়, তাহলে সেই বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহিঃস্থ কোণ = 90°
∴ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = 360°/90°
= 4

আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2
∴ বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = {4(4 - 3)}/2
= (4 × 1)/2
= 4/2
= 2 টি

৩০৬.
ABCD বর্গের AC এর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 100 বর্গ সে. মি. হলে AB =?
  1. ক
    ক) 5 সে. মি.
  2. খ
    খ) 5√2 সে. মি.
  3. গ
    গ) 10 সে. মি.
  4. ঘ
    ঘ) 10√2 সে. মি.
ব্যাখ্যা

এখানে, AC বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = AC2 = 100
∴ AC = 10
∴ AB = AC/√2
= 10/√2
= 10√2 /2
= 5√2

৩০৭.
সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪০⁰ হলে বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কয়টি?
  1. ক
    ক) ৫টি
  2. খ
    খ) ৬টি
  3. গ
    গ) ৮টি
  4. ঘ
    ঘ) ৯টি 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪০⁰ হলে বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:

ধরি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা x টি

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর মোট পরিমাণ ৩৬০⁰ 

সুতরাং,
x টি কোণের পরিমাণ ৩৬০⁰
১ টি কোণের পরিমাণ ৩৬০⁰/x

এখন,
৩৬০⁰/x = ৪০⁰
বা, x = ৩৬০⁰/৪০⁰
বা, x = ৯ টি

৩০৮.
ছোট্ট বালিকা মীম ৯ মি. উচু খাঁড়া মই বেয়ে স্লীপারে উঠে। ১৫ মি. দীর্ঘ স্লিপারটিতে চড়ে সে স্লীপারের পাদবিন্দুতে এসে সোজাসুজি দৌড়ে মইয়ের পাদবিন্দুতে চলে আসে। সে কত দূরত্ব দৌড়িয়েছে?
  1. ক
    ক) ১০ মি.
  2. খ
    খ) ১১ মি.
  3. গ
    গ) ১২ মি.
  4. ঘ
    ঘ) ১৩ মি.
ব্যাখ্যা


মইয়ের উচ্চতা AB = 9 মি.
স্লিপারের দৈর্ঘ্য BC = 15 মি.
দৌড়ে যাওয়া দূরত্ব AC = ?
চিত্রানুসারে,
AC = √(BC2 - AB2)
     = √(152 - 92)
     = √144
     = 12

৩০৯.
সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুইটির পরিমাণ দেওয়া নিচের কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?
  1. ক
    ক) ৬০ ডিগ্রি ও ৩৬ ডিগ্রি
  2. খ
    খ) ৩০ ডিগ্রি ও ৭০ ডিগ্রি
  3. গ
    গ) ৮০ ডিগ্রি ও ২০ ডিগ্রি
  4. ঘ
    ঘ) ৪০ ডিগ্রি ও ৫০ ডিগ্রি
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুইটি পরস্পরের পূরক কোণ অর্থাৎ কোণদ্বয়ের সমষ্টি ৯০ ডিগ্রি হবে।
৩১০.
একটি অষ্টভুজে কয়টি কর্ণ আছে?
  1. ক
    14 টি 
  2. খ
    18 টি 
  3. গ
    20 টি 
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজে কয়টি কর্ণ আছে?

সমাধান: 
একটি অষ্টভুজে 8 টি বাহু আছে।
বাহুগুলো অষ্টভুজের কর্ণ হতে পারেনা।
অতএব, মোট কর্ণের সংখ্যা = 8C2 - 8 = 28 - 8 = 20 টি 
৩১১.
একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত? 
  1. ক
    115°
  2. খ
    155°
  3. গ
    135°
  4. ঘ
    160°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত = 9 : 10 : 12 : 14 : 15
∴ পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাতের যোগফল = (9 + 10 + 12 + 14 + 15) 
= 60

একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (5 - 2) × 180°
= 540° 

∴  বৃহত্তম কোণের মান = 540° × (15/60) 
= 135°  ।
৩১২.
একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৩ : ১ হলে, বহুভুজটি হবে- 
  1. ক
    সপ্তভুজ
  2. খ
    ষড়ভুজ
  3. গ
    অষ্টভুজ
  4. ঘ
    পঞ্চভুজ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৩ : ১ হলে, বহুভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৩ক
বহিঃস্থ কোণ = ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ক = ১৮০°
⇒ ৪ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০°/৪ 
∴ ক = ৪৫°

এখানে,
বহিঃস্থ কোণ = ৪৫°

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা, n = ৩৬০°/বহিঃস্থ কোণ
= ৩৬০°/৪৫°
= ৮ টি

∴ বহুভুজটি হবে অষ্টভুজ।

৩১৩.
একটি ৫০ মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেওয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত মাটি হতে ৪০ মিটার উচ্চে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই-এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব (মিটারে)-
  1. ক
    ১০
  2. খ
    ৩০
  3. গ
    ২০
  4. ঘ
    ২৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ৫০ মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেওয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত মাটি হতে ৪০ মিটার উচ্চে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই-এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব (মিটারে)-

সমাধান
ধরি,
মই- এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব = ক মিটার

পীথাগোরাসের সূত্রানু্যায়ী,
৫০২ = ৪০২+ ক২
বা, ২৫০০ = ১৬০০ + ক২
বা, ক২ = ২৫০০ - ১৬০০
বা, ক২ = ৯০০
বা, ক২ = ৩০২
∴ ক = ৩০ মিটার
৩১৪.
একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ হলে, বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত হবে?
  1. ক
    ৭ সমকোণ
  2. খ
    ১১ সমকোণ
  3. গ
    ১৪ সমকোণ
  4. ঘ
    ১৮ সমকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ হলে, বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ = (n - 2) × 180⁰
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ টি
∴ বহুভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি = (৯ - ২) × ১৮০⁰
= ৭ × ১৮০⁰
= ১২৬০⁰
= ১২৬০⁰/ ৯০⁰ সমকোণ
= ১৪ সমকোণ
৩১৫.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ২ সে.মি. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল-
  1. ক
    √২ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    ১/√২ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    ১ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ২ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ২ সে.মি. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল-

সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের ২টি সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.
২২ = ক২ + ক২
বা, ৪ = ২ক২
বা, ক২ = ২
∴ ক = √২

∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × (√২) × (√২)
= (১/২) × ২
= ১ বর্গ সে.মি.
৩১৬.
একটি ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি কত হবে? 
  1. ক
    ক) ৭২০°
  2. খ
    খ) ৬৩০°
  3. গ
    গ) ৫৪০°
  4. ঘ
    ঘ) ৮১০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি কত হবে? 

সমাধান: 
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।

সুতরাং সুষম ষড়ভুজের ছয় কোণের সমষ্টি = (2 × 6 - 4) সমকোণ
                                                                = (12 - 4) × 90°
                                                                = 8 × 90°
                                                                = 720°

ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি = আট সমকোণ
৩১৭.
একটি Heptagon- এর অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত?
  1. ক
    1220°
  2. খ
    700°
  3. গ
    900°
  4. ঘ
    1240°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি Heptagon- এর অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
বাহুর সংখ্যা n = 7
বহুভুজের অন্তকোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (7 - 2) × 180°
= 5 × 180°
= 900°

∴ একটি  Heptagon -এর অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি = 900°

এখানে,
Monogon (1 side)
Digon (2 sides)
Triangle (3 sides)
Quadrilateral (4 sides)
Pentagon (5 sides)
Hexagon (6 sides)

Heptagon (7 sides)
Octagon (8 sides)
Nonagon (9 sides)
Decagon (10 sides)
৩১৮.
একটি সুষম অষ্টভুজের একটি অন্ত:কোণের পরিমান হবে- 
  1. ক
    ১৩৫°
  2. খ
    ১২৫°
  3. গ
    ১৪৫°
  4. ঘ
    ১৫৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম অষ্টভুজের একটি অন্ত:কোণের পরিমান হবে- 

সমাধান: 
সুষম  অষ্টভুজের
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ = ৩৬০°/৮ = ৪৫°

প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ = (১৮০ - ৪৫)° = ১৩৫°
৩১৯.
কোন শর্তে একটি ত্রিভুজ অংকন করা সম্ভব?
  1. ক
    ক) তিনটি কোণ
  2. খ
    খ) একটি বাহু ও একটি কোণ
  3. গ
    গ) তিনটি বাহু
  4. ঘ
    ঘ) কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
একটি ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব –
দুটি বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ; দুই কোণ ও একবাহু; দুই বাহু ও একটি বিপরীত কোণ; তিনটি বাহু।
৩২০.
দেয়ালের উচ্চতা ৩৫ মিটার। মইয়ের তলদেশ দেয়াল থেকে ১২ মিটার দূরে রাখা হলে, মইটির দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ৪৭ মিটার
  2. খ
    ৩৭ মিটার
  3. গ
    ৩২ মিটার
  4. ঘ
    ৫২ মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দেয়ালের উচ্চতা ৩৫ মিটার। মইয়ের তলদেশ দেয়াল থেকে ১২ মিটার দূরে রাখা হলে, মইটির দৈর্ঘ্য কত?
 
সমাধান:
দেওয়া আছে, 
দেয়ালের উচ্চতা ৩৫ মিটার, মইয়ের তলদেশ দেয়াল থেকে ১২ মিটার দূরে।
এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।  যেখানে,
লম্ব দিক = ৩৫ মিটার
ভূমি = ১২ মিটার
কর্ণ = মইয়ের দৈর্ঘ্য

আমরা জানি, 
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = √(৩৫২ + ১২২)
= √(১২২৫ + ১৪৪)
= √১৩৬৯
= ৩৭ মিটার 

∴ মইয়ের দৈর্ঘ্য = ৩৭ মিটার 

৩২১.
একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৩ : ১ হলে, বহুভুজটি হবে-
  1. ক
    অষ্টভুজ
  2. খ
    সপ্তভুজ
  3. গ
    ষড়ভুজ
  4. ঘ
    পঞ্চভুজ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৩ : ১ হলে, বহুভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৩ক
বহিঃস্থ কোণ = ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ক = ১৮০°
⇒ ৪ক = ১৮০°

এখানে,
অন্তঃস্থ কোণ = (৩ × ৪৫°) = ১৩৫°
বহিঃস্থ কোণ = ৪৫°

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৪৫°
= ৮ টি
৩২২.
একটি নৌকা পানির লেভেলে বাঁধা দড়ি দ্বারা একটি ডকের দিকে টানা হয়। নৌকাটি যখন ডক থেকে ৪ ফুট দূরে থাকে, তখন নৌকা থেকে ডক পর্যন্ত দড়ির দৈর্ঘ্য পানির উপর ডকের উচ্চতার দ্বিগুণের চেয়ে ১ ফুট কম হয়। তাহলে ডকের উচ্চতা কত?
  1. ক
    ৩ ফুট
  2. খ
    ৫ ফুট
  3. গ
    ৭ ফুট
  4. ঘ
    ১২ ফুট
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি নৌকা পানির লেভেলে বাঁধা দড়ি দ্বারা একটি ডকের দিকে টানা হয়। নৌকাটি যখন ডক থেকে ৪ ফুট দূরে থাকে, তখন নৌকা থেকে ডক পর্যন্ত দড়ির দৈর্ঘ্য পানির উপর ডকের উচ্চতার দ্বিগুণের চেয়ে ১ ফুট কম হয়। তাহলে ডকের উচ্চতা কত?

সমাধান:
মনে করি, ডকের উচ্চতা = ক ফুট
∴ নৌকা থেকে ডক পর্যন্ত দড়ির দৈর্ঘ্য = (২ক - ১) ফুট
নৌকা থেকে ডকের দূরত্ব = ৪ ফুট


যেহেতু এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে, তাই পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(দড়ির দৈর্ঘ্য)২ = (ডকের উচ্চতা)২ + (নৌকা থেকে ডকের দূরত্ব)২
⇒ (২ক - ১)২ = ক২ + ৪২
⇒ ৪ক২ - ৪ক + ১ = ক২ + ১৬
⇒ ৪ক২ - ক২ - ৪ক + ১ - ১৬ = ০
⇒ ৩ক২ - ৪ক - ১৫ = ০
⇒ ৩ক২ - ৯ক + ৫ক - ১৫ = ০
⇒ ৩ক(ক - ৩) + ৫(ক - ৩) = ০
⇒ (৩ক + ৫)(ক - ৩) = ০

সুতরাং, ৩ক + ৫ = ০ অথবা ক - ৩ = ০
⇒ ক = - ৫/৩ অথবা ক = ৩
যেহেতু উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, 
∴ ক = ৩

∴ ডকের উচ্চতা ৩ ফুট।

৩২৩.
এক ব্যক্তি একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে যাত্রা শুরু করে ঠিক দক্ষিণে 4 কিলোমিটার যাওয়ার পর সেখান থেকে ঠিক পশ্চিম দিকে 3 কিলোমিটার গেল। যাত্রা শেষে সে যাত্রা শুরুর স্থান থেকে কত দূরে থাকবে? 
  1. ক
    5 কিলোমিটার
  2. খ
    6 কিলোমিটার
  3. গ
    7 কিলোমিটার
  4. ঘ
    8 কিলোমিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে যাত্রা শুরু করে ঠিক দক্ষিণে 4 কিলোমিটার যাওয়ার পর সেখান থেকে ঠিক পশ্চিম দিকে 3 কিলোমিটার গেল। যাত্রা শেষে সে যাত্রা শুরুর স্থান থেকে কত দূরে থাকবে? 

সমাধান: 

মনে করি,
লোকটি A স্থান থেকে যাত্রা শুরু করে দক্ষিণ দিকে 4 কিলোমিটার যাওয়ার পর B স্থানে পৌঁছাল এবং B থেকে পশ্চিম দিকে গমন করে 3 কিলোমিটার যাওয়ার পর C বিন্দুতে পৌঁছাল। 
তাহলে, AB = 4 কি.মি.
BC = 3 কি.মি.
AC = কত?

এখন,
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, ABC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
AC2 = AB2 + BC2
বা, AC2 = (4)2 + (3)2
বা, AC2 = 16 + 9
বা, AC2 = 25
∴ AC = 5

∴ লোকটি যাত্রা শুরুর স্থান থেকে 5 কিলোমিটার দূরে থাকবে।

৩২৪.
একটি সুষম পেন্টাগনের প্রতিটি অন্তঃকোণের মান কত?
  1. ক
    ১০৮°
  2. খ
    ১১৮°
  3. গ
    ১২০°
  4. ঘ
    ১১৫°
ব্যাখ্যা
 
প্রশ্ন: একটি সুষম প্যান্টাগণের প্রতিটি অন্তঃকোণের মান কত?

সমাধান: 
প্যান্টাগণের বাহুর সংখ্যা ৫ টি 
প্যান্টাগণের একটি বহিঃস্থ কোণ ৩৬০°/৫ = ৭২° 

∴ প্রতিটি অন্তঃকোণের মান = ১৮০° - ৭২° 
= ১০৮° 
৩২৫.
ΔPQR- এর, ∠PQR সমকোণ এবং PR অতিভুজ হলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    PR = PQ + QR
  2. খ
    PR = √{(PQ)2 + (QR)2}
  3. গ
    (QR)2 = (PR)2 + (PQ)2
  4. ঘ
    উপরের সবগুলো
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔPQR- এর, ∠PQR সমকোণ এবং PR অতিভুজ হলে নিচের কোনটি সঠিক?


সমাধান:
এখানে, ΔPQR- এর, ∠PQR সমকোণ। সুতরাং PQR একটি সমকোণী ত্রিভুজ। 
PQR সমকোণী ত্রিভুজে, PR অতিভুজ, PQ লম্ব এবং QR ভূমি।


 
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। 

অর্থাৎ, (অতিভুজ)2 = (লম্ব)2 + (ভূমি)2 
⇒ (PR)2 = (PQ)2 + (QR)2
∴ PR = √{(PQ)2 + (QR)2}

৩২৬.
একটি আট বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত?
  1. ক
    ১৮ সমকোণ
  2. খ
    ১২ সমকোণ
  3. গ
    ৮ সমকোণ
  4. ঘ
    ১৬ সমকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আট বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।

সুতরাং অষ্টভুজের আটটি কোণের সমষ্টি = (২ × ৮) - ৪ সমকোণ
= ১৬ - ৪ সমকোণ
= ১২ সমকোণ

∴ অষ্টভুজের আটটি কোণের সমষ্টি = ১২ সমকোণ।
৩২৭.
একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য ১০৮° হলে বহুভুজটি কোন প্রকৃতির?
  1. ক
    ষড়ভুজ
  2. খ
    নবভুজ
  3. গ
    দশভুজ
  4. ঘ
    দ্বাদশভুজ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য ১০৮° হলে বহুভুজটি কোন প্রকৃতির?

সমাধান:
মনে করি, বহুভুজের বাহু সংখ্যা = n
আমরা জানি:
প্রতিটি অন্তঃকোণ = (n - ২) × ১৮০°/n
প্রতিটি বহিঃকোণ = ৩৬০°/n

প্রশ্নমতে,
অন্তঃকোণ - বহিঃকোণ = ১০৮°
বা, {(n - ২) × ১৮০°/n} - (৩৬০°/n) = ১০৮°
বা, {(n - ২) × ১৮০° - ৩৬০°}/n = ১০৮°
বা, (১৮০°n - ৩৬০° - ৩৬০°)/n = ১০৮°
বা, ১৮০°n - ৭২০° = ১০৮°n
বা, ১৮০°n - ১০৮°n = ৭২০°
বা, ৭২°n = ৭২০°
বা, n = ৭২০°/৭২°
∴ n = ১০

যেহেতু বহুভুজটির বাহু সংখ্যা ১০,
∴ এটি একটি দশভুজ (Decagon)।

৩২৮.
নিম্নের কোন বহুভুজকে সর্বদা বৃত্তে অন্তর্লিখিত করা যায়?
  1. ক
    ক) পঞ্চভুজ
  2. খ
    খ) ত্রিভুজ
  3. গ
    গ) ষড়ভুজ
  4. ঘ
    ঘ) উপরের সবগুলো
ব্যাখ্যা
সমরেখ নয় এমন তিনটি বিন্দু দিয়ে সবসময় একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়। সুতরাং প্রত্যেক ত্রিভুজকে বৃত্তে অন্তর্লিখিত করা যায়। 
কিন্তু ত্রিভুজ ব্যতীত অন্য কোনো বহুভুজকে সবসময় বৃত্তে অর্ন্তলিখিত করা যায় না।
--------------
তবে চতুর্ভুজগুলোর মধ্যে বর্গ ও আয়তক্ষেত্রকে বৃত্তে অন্তর্লিখিত করা যায়।
৩২৯.
সুষম অষ্টভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    ৩৬°
  2. খ
    ৪৫°
  3. গ
    ৬০°
  4. ঘ
    ৭২°
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, যেকোনো বহুভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি ৩৬০°
সুতরাং সুষম অষ্টভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৩৬০°/৮
= ৪৫°

৩৩০.
সূর্যের উন্নতি কোণ 60° হলে একটি গাছের ছায়া তার দৈর্ঘ্যের কত গুণ হবে?
  1. ক
    √3 গুণ
  2. খ
    1/√3 গুণ
  3. গ
    3/√2 গুণ
  4. ঘ
    2√3 গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সূর্যের উন্নতি কোণ 60° হলে একটি গাছের ছায়া তার দৈর্ঘ্যের কত গুণ হবে?

সমধান: 

ধরি সূর্যের উন্নতি কোণ,θ = 60°
গাছের দৈর্ঘ্য = x
ছায়ার দৈর্ঘ্য  = ?

আমরা জানি,
tanθ = লম্ব/ভূমি
tan60° = x/ছায়া
√3 = x/ছায়া
ছায়া =1/√3

ছায়া গাছের দৈর্ঘ্যের 1/√3 গুণ।
৩৩১.
একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 80 বর্গ সে. মি. এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 14 সে. মি. এবং 6 সে . মি. হলে, ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতার তিন চতুর্থাংশ কত সে. মি. হবে?
  1. ক
    5
  2. খ
    6
  3. গ
    8
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 80 বর্গ সে. মি. এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 14 সে. মি. এবং 6 সে . মি. হলে, ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতার তিন চতুর্থাংশ কত সে. মি. হবে?

সমাধান:
মনে করি,
ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা P সে. মি.
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 14 সে. মি. এবং 6 সে . মি


আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
⇒ 80 = (1/2) × (14 + 6) × P
⇒ 80 =(1/2) × 20 × P
⇒ 80 = 10P
∴ P = 80/10 = 8 সে. মি.

∴  ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা 8 সে. মি
তাহলে, ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতার তিন চতুর্থাংশ = 8 × (3/4) = 6  সে. মি.

৩৩২.
একটি ষড়ভুজের কোণের সমষ্টি -
  1. ক
    ক) চার সমকোণ
  2. খ
    খ) ছয় সমকোণ
  3. গ
    গ) আট সমকোণ
  4. ঘ
    ঘ) নয় সমকোণ
ব্যাখ্যা

বহুভুজের কোণের সমষ্টি = (n - ২)১৮০°
= (৬ - ২)১৮০°
= ৪×১৮০°
= ৮×৯০°

৩৩৩.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও লম্ব যথাক্রমে 17 সে.মি. এবং 15 সে.মি হলে ভূমির পরিমাণ কত?
  1. ক
    4 সে.মি.
  2. খ
    6 সে.মি.
  3. গ
    8 সে.মি.
  4. ঘ
    13 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও লম্ব যথাক্রমে 17 সে.মি. এবং 15 সে.মি হলে ভূমির পরিমাণ কত?

সমাধান:

পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে আমরা জানি,
অতিভূজ2 = ভূমি2 + লম্ব2
∴ 172 = ভূমি2 + 152
⇒ ভূমি2 = 289 - 225
⇒ ভূমি = √64
∴ ভূমি = 8 সে.মি.
৩৩৪.
একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ ১০ মিটার এবং এক বাহু ৬ মিটার হলে অন্য বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
  1. ক
    ৬ মিটার
  2. খ
    ৫ মিটার
  3. গ
    ১০ মিটার
  4. ঘ
    ৮ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ ১০ মিটার এবং এক বাহু ৬ মিটার হলে অন্য বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান:

ধরি,
ABCD আয়তক্ষেত্রের কর্ণ AC = ১০ মিটার এবং একবাহু AB = ৬ মিটার

আমরা জানি,
কর্ণ দ্বারা বিভক্ত আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি ত্রিভুজ এক একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

(ভূমি)২ + (লম্ব)২ = (অতিভুজ)২
⇒ (BC)2 + (AB)2 = (AC)2
⇒ (BC)2 + (৬)2 = (১০)2
⇒ (BC)2 + ৩৬ = ১০০
⇒ (BC)2  = ১০০ - ৩৬
⇒ (BC)2  = ৬৪
⇒ BC  = √৬৪
∴ BC  = ৮

∴ আয়তক্ষেত্রটির অন্য বাহুর দৈর্ঘ্য = ৮ মিটার
৩৩৫.
ঝড়ে একটি গাছ 40 ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন না হয়ে গোড়া থেকে 9 ফুট দূরে মাটি স্পর্শ করেছে। গাছটির উচ্চতা কত ফুট?
  1. ক
    61 ফুট
  2. খ
    71 ফুট
  3. গ
    81 ফুট
  4. ঘ
    91 ফুট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ঝড়ে একটি গাছ 40 ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন না হয়ে গোড়া থেকে 9 ফুট দূরে মাটি স্পর্শ করেছে। গাছটির উচ্চতা কত ফুট?

সমাধান:

ধরি, গাছটির মচকে যাওয়া অংশ = x ফুট
তাহলে, গাছটির উচ্চতা = 40 + x ফুট

∴ x2 = 402 + 92
⇒ x2 = 1600 + 81
⇒ x = √(1681)
∴ x = 41 মিটার

∴ গাছটির উচ্চতা = 40 + 41 = 81 ফুট
৩৩৬.
যদি x = 3 + 2√2 হয়, তবে (√x - 1/√x)2 = কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    2√2
  3. গ
    6
  4. ঘ
    সঠিক উত্তর নেই
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x = 3 + 2√2 হয়, তবে (√x - 1/√x)2 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 3 + 2√2
⇒ x = 2 + 2√2 + 1
⇒ x = (√2 + 1)2
⇒ √x = √2 + 1

আবার,
⇒ 1/√x =1/(√2 + 1)
⇒ 1/√x = {1 × (√2 - 1)}/{√2 +1)(√2 - 1)}
⇒ 1/√x = (√2 - 1){(√2)2 - 1}
⇒ 1/√x = (√2 - 1)(2 - 1)
⇒ 1/√x = √2 - 1

এখন,
√x - 1/√x = √2 + 1 - √2 + 1 = 2
(√x - 1/√x)2 = 22 = 4
৩৩৭.
কোন সুষম বহুভুজের অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের মানের অনুপাত ২ : ১ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?
  1. ক
    ৬ টি
  2. খ
    ৭ টি
  3. গ
    ৮ টি
  4. ঘ
    ৯ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সুষম বহুভুজের অন্তঃকোণ  ও বহিঃকোণের মানের অনুপাত ২ : ১ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?
 
সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ২ক
বহিঃস্থ কোণ = ক
 
প্রশ্নমতে,
২ক + ক = ১৮০°
⇒ ৩ক = ১৮০°
∴ ক = ৬০°
 
এখানে,
অন্তঃস্থ কোণ = ২ × ৬০° = ১২০°
বহিঃস্থ কোণ = ৬০° 
 
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৬০° = ৬ টি
৩৩৮.
একটি ২৫ মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত দেয়াল থেকে ৭ মিটার দূরে থাকলে, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের কত উচ্চতায় স্পর্শ করেছে?
  1. ক
    ২৪ মিটার
  2. খ
    ২০ মিটার
  3. গ
    ১৮ মিটার
  4. ঘ
    ২৫ মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ২৫ মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত দেয়াল থেকে ৭ মিটার দূরে থাকলে, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের কত উচ্চতায় স্পর্শ করেছে?

সমাধান:
ধরি,
মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের "ক" মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

দেওয়া আছে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = ২৫ মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব = ৭ মিটার

যেহেতু দেয়াল মাটির সাথে ৯০° কোণ উৎপন্ন করে।

∴ পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(দেয়ালের উচ্চতা)২ + (৭)২ = (২৫)২
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)২ + ৪৯ = ৬২৫
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)২ = ৬২৫ - ৪৯ = ৫৭৬
⇒ দেয়ালের উচ্চতা = √৫৭৬ = ২৪

সুতরাং, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের ২৪ মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

৩৩৯.
নিচের কোন বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?
  1. ক
    ২, ৩, ৪
  2. খ
    ৫, ১২, ১৩
  3. গ
    ৬, ৮, ১০
  4. ঘ
    (খ) ও (গ) উভয়ই
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?

সমাধান:
​আমরা জানি,
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের (বৃহত্তম বাহুর) বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।

অপশন (ক): ২, ৩, ৪
বৃহত্তম বাহু = ৪ ⇒ ৪২ = ১৬
অন্য দুই বাহু: ২২ + ৩২ = ৪ + ৯ = ১৩
যেহেতু ১৬ ≠ ১৩, তাই সমকোণী নয়।

অপশন (খ) ৫, ১২, ১৩
বৃহত্তম বাহু = ১৩ ⇒ ১৩২ = ১৬৯
অন্য দুই বাহু: ৫২ + ১২২ = ২৫ + ১৪৪ = ১৬৯
যেহেতু ১৬৯ = ১৬৯, তাই সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

অপশন (গ) ৬, ৮, ১০
বৃহত্তম বাহু = ১০ ⇒ ১০২ = ১০০
অন্য দুই বাহু: ৬২ + ৮২ = ৩৬ + ৬৪ = ১০০
যেহেতু ১০০ = ১০০, তাই সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।
​
​সুতরাং, (খ) ও (গ) উভয়ের ক্ষেত্রেই সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

৩৪০.
ΔABC এ AB = BC এবং AC অতিভুজ হলে ∠C এর মান কত? 
  1. ক
    ক) 35°
  2. খ
    খ) 45°
  3. গ
    গ) 55°
  4. ঘ
    ঘ) 90°
ব্যাখ্যা



ΔABC এ AB = BC হলে ∠C = ∠A 

 ∠ A + ∠B + ∠C = 180°
∠C + 90° +∠C =180°
2∠C =180° - 90°
2∠C =90°
∠C=45°
৩৪১.
একটি মইয়ের এক প্রান্ত ভূমি থেকে 12 মিটার উঁচু ঘরের শীর্ষবিন্দু বরাবর পৌঁছায় এবং অপর প্রান্ত ঘর থেকে 5 মিটার দূরে থাকে। মইটির দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    11 মিটার
  2. খ
    13 মিটার
  3. গ
    15 মিটার
  4. ঘ
    17 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মইয়ের এক প্রান্ত ভূমি থেকে 12 মিটার উঁচু ঘরের শীর্ষবিন্দু বরাবর পৌঁছায় এবং অপর প্রান্ত ঘর থেকে 5 মিটার দূরে থাকে। মইটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 

মনে করি, 
ঘরের শীর্ষবিন্দুর অবস্থান = A,
ঘরের উচ্চতা AB = 12 মিটার,
ঘর থেকে মইয়ের নিচের প্রান্তের দূরত্ব BC = 5 মিটার,
মইটির দৈর্ঘ্য = AC

ABC সমকোণী ত্রিভুজে,
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AC2 = AB2 + BC2
⇒ AC2 = 122 + 52
⇒ AC2 = 144 + 25
⇒ AC2 = 169
⇒ AC = √169
⇒ AC = 13

∴ মইটির দৈর্ঘ্য = 13 মিটার

৩৪২.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য লম্বের দৈর্ঘ্য অপেক্ষা 1 মিটার কম এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য লম্ব অপেক্ষা 1 মিটার বেশি। ত্রিভুজতির অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    5 মিটার
  2. খ
    12 মিটার
  3. গ
    17 মিটার
  4. ঘ
    21 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য লম্বের দৈর্ঘ্য অপেক্ষা 1 মিটার কম এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য লম্ব অপেক্ষা 1 মিটার বেশি। ত্রিভুজতির অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সমকোণী ত্রিভুজের লম্বের দৈর্ঘ্য = x
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য = x - 1
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য = x + 1

আমরা জানি,
অতিভুজ2 = লম্ব2 + ভূমি2
⇒ (x + 1)2 = (x - 1)2 + x2
⇒ x2 + 2x + 1 = x2 - 2x + 1 + x2
⇒ x2 - 4x = 0
⇒ x(x - 4) = 0
∴ x = 4 [যেহেতু, ত্রিভুজের লম্ব কখনো শূন্য হতে পারে না]

ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 4 + 1 = 5 মিটার
৩৪৩.
একটি সুষম ষড়ভুজের পরিসীমা ৭২ সে.মি.। ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল প্রায় কত বর্গ সে.মি.?
  1. ক
    ৪৩২ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    ৭৪৮ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    ৩৭৪ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ৮৬৪ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের পরিসীমা ৭২ সে.মি.। ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল প্রায় কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
সুষম ষড়ভুজের পরিসীমা ৭২ সে.মি.
∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৭২/৬ সে.মি.
= ১২ সে.মি.


আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল = {(na2)/4} cot(180°/n) 
এখানে, n = বাহুর সংখ্যা
a = বাহুর দৈর্ঘ্য

∴ ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = {(৬ × ১২২)/৪}cot(১৮০°/৬)
= ২১৬ × cot৩০°
= ২১৬ × √৩
= ৩৭৪.১২২
≈ ৩৭৪

৩৪৪.
কোন বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা এর দৈর্ঘ্য ২০ সেমি, কেন্দ্র থেকে ৬ সেমি দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত হবে?
  1. ক
    ক) ৮ সেমি
  2. খ
    খ) ১০ সেমি
  3. গ
    গ) ১২ সেমি
  4. ঘ
    ঘ) ১৬ সেমি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- কোন বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা এর দৈর্ঘ্য ২০ সেমি, কেন্দ্র থেকে ৬ সেমি দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান-
বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা হচ্ছে বৃত্তের ব্যাস।
∴ ব্যাসার্ধ = ২০/২ = ১০ সেমি
 

পিথাগোরাসের সূত্র মতে =√(১০২ - ৬২)
= ৮ সেমি

তাহলে জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ২× ৮ = ১৬ সেমি
৩৪৫.
একটি নোনাগনের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?
  1. ক
    115°
  2. খ
    135°
  3. গ
    140°
  4. ঘ
    150°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি নোনাগনের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা, n = 9
∴ অন্তঃস্থ কোণ, θ = 180° - (360°/9)
= 180° - (360°/9)
= 140°
৩৪৬.
ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত √2 : √2 : 2 হলে, ত্রিভুজের বাহুগুলোর বিপরীত কোণগুলোর অনুপাত কত?
  1. ক
    2 : 3 : 4
  2. খ
    1 : 1 : 2
  3. গ
    1 : 2 : 3
  4. ঘ
    1 : 1 : √3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত √2 : √2 : 2 হলে, ত্রিভুজের বাহুগুলোর বিপরীত কোণগুলোর অনুপাত কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত √2 : √2 : 2
এখানে,
(√2)2 + (√2)2
= 2 + 2
= 4
= √4
= 2
অর্থাৎ, বাহু তিনটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।

আমরা বলতে পারি ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ
তাহলে তার কোণগুলি হবে 45⁰ 45⁰ 90⁰

ত্রিভুজের বাহুগুলোর বিপরীত কোণগুলোর অনুপাত হবে = 45 : 45 : 90
= 1 : 1 : 2
৩৪৭.
একটি ঘনকের আয়তন ৬৪ ঘনসে.মি.। ঘনকটির একটি ধারের সমান ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত হবে?
  1. ক
    ক) ১৬π বর্গসে.মি.
  2. খ
    খ) ৪π বর্গসে.মি.
  3. গ
    গ) ৮π বর্গসে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) π বর্গসে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ৬৪ ঘনসে.মি.। ঘনকটির একটি ধারের সমান ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত হবে? 

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ঘনকের আয়তন ৬৪ ঘনসে.মি.।
ঘনকের ধার = 


বৃত্তটির ব্যাস ৪ সে.মি.
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ ২ সে.মি.

বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π ২২ বর্গসে.মি.
= ৪π বর্গসে.মি.
৩৪৮.
1/cosecθ এর সর্বনিম্ন মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    - 1
  3. গ
    0
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1/cosecθ এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
এখানে, sinθ = 1/cosecθ

- 1 < 1/cosecθ < 1
- 1 < sinθ < 1  

1/cosecθ এর সর্বনিম্ন মান হল sin⁡θ এর সর্বনিম্ন মান।
সুতরাং sinθ এর সর্বনিম্ন মান -1 এবং সর্বোচ্চ মান 1
৩৪৯.
একটি Nonagon- এর প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?
  1. ক
    ১৪০°
  2. খ
    ১৩৫°
  3. গ
    ১৪৫°
  4. ঘ
    ১২০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি Nonagon- এর প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:

বাহুর সংখ্যা n = ৯
অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - (৩৬০°/n) = ১৮০° - (৩৬০°/৯)
= ১৮০° - ৪০°
= ১৪০°
৩৫০.
একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?
  1. ক
    108°
  2. খ
    135°
  3. গ
    145°
  4. ঘ
    155°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
অনুপাতগুলোর যোগফল = 9 + 10 + 12 + 14 + 15 = 60
একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (5 - 2) × 180°
= 540°

∴  বৃহত্তম কোণের মান = 540° × (15/60) = 135°
৩৫১.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ৭ সে.মি. ছোট, কিন্তু অতিভুজ, ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. বড়। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ১৬ সে.মি.
  2. খ
    ১৭ সে.মি.
  3. গ
    ১৮ সে.মি.
  4. ঘ
    ১৯ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ৭ সে.মি. ছোট, কিন্তু অতিভুজ, ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. বড়। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজটির ভূমি = ক সে.মি.
∴ ত্রিভুজটির লম্ব = (ক - ৭) সে.মি.
এবং ত্রিভুজটির অতিভুজ = (ক + ২) সে.মি.

পীথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,
ক২ + (ক - ৭)২ = (ক + ২)২
⇒ ক২ + ক২ - ১৪x + ৪৯ = ক২ + ৪ক + ৪
⇒ ২ক২ - ১৪ক + ৪৯ - ক২ - ৪ক - ৪ = ০
⇒ ক২ - ১৮ক + ৪৫ = ০
⇒ ক২ - ১৫ক - ৩ক + ৪৫ = ০
⇒ ক(ক - ১৫) - ৩(ক - ৪৫) = ০
⇒ (ক - ১৫)(ক - ৩) = ০
∴ ক = ১৫ অথবা ৩

কিন্তু ক = ৩ গ্রহণযোগ্য নয় [কারণ লম্ব = (৩ - ৭) = - ৪ গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ ত্রিভুজটির ভূমি = ১৫ সে.মি.
∴ ত্রিভুজটির অতিভুজ = (১৫ + ২) = ১৭ সে.মি.
৩৫২.
একটি মইয়ের এক প্রান্ত ভূমি থেকে ১৫ মিটার উঁচু ঘরের শীর্ষবিন্দু বরাবর পৌছায় এবং অপর প্রান্ত ঘর থেকে ৮ মিটার দূরে থাকে। মইটির দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ১৩ মিটার 
  2. খ
    ১৪ মিটার 
  3. গ
    ১৫ মিটার 
  4. ঘ
    ১৭ মিটার 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মইয়ের এক প্রান্ত ভূমি থেকে ১৫ মিটার উঁচু ঘরের শীর্ষবিন্দু বরাবর পৌছায় এবং অপর প্রান্ত ঘর থেকে ৮ মিটার দূরে থাকে। মইটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
​
মনে করি,
দেয়ালের শীর্ষবিন্দুর অবস্থান = A
​দেয়ালের উচ্চতা, AB = ১৫ মিটার 
​ঘর থেকে মইয়ের নিচের প্রান্তের দূরত্ব, BC = ৮ মিটার 
মইটির দৈর্ঘ্য = AC
​
​ABC সমকোণী ত্রিভুজে,
​AC২ = AB২ + BC২
​⇒ AC২ ​= (১৫)২ + (৮)২
​⇒ ​AC২ ​= ২২৫ + ৬৪
⇒ ​AC২ ​= ২৮৯
​⇒ ​AC = ​১৭
​
∴ ​​মই এর দৈর্ঘ্য = ১৭ মিটার 

৩৫৩.
একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণ ১৬২° হলে তার বাহুর সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) ১২টি
  2. খ
    খ) ২০টি
  3. গ
    গ) ১৫টি
  4. ঘ
    ঘ) ১৮টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণ ১৬২° হলে তার বাহুর সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
বাহুর সংখ্যা = ক 
আমরা জানি, 
সুষম বহুভুজে মোট উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণ = {(ক - ২)১৮০}/ক

প্রশ্নমতে,
{(ক - ২)১৮০}/ক = ১৬২
বা, (ক - ২)১৮০ = ১৬২ক 
বা, ১৮০ক - ২ × ১৮০ = ১৬২ক
বা, ১৮০ক - ১৬২ক = ৩৬০
বা, ১৮ক = ৩৬০
∴ ক = ২০

∴ বাহুর সংখ্যা = ২০
৩৫৪.
একটি অষ্টভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত? 
  1. ক
    135°
  2. খ
    190°
  3. গ
    120°
  4. ঘ
    145°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বাহুর সংখ্যা, n = 8 

∴ অন্তঃস্থ কোণ, θ = 180° - (360°/8) 
= 180° - 45° 
= 135° ।

৩৫৫.
দশ বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ কত? 
  1. ক
    144° 
  2. খ
    120° 
  3. গ
    135° 
  4. ঘ
    128° 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দশ বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
একটি n বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের = [(n - 2) × ১৮০°] / n
= [(10 - 2) × 180°] / 10
= (8 × 180°)/10
= 144°

∴ দশ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ 144° 

৩৫৬.
সুষম পঞ্চভুজের বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে -
  1. ক
    72°
  2. খ
    108°
  3. গ
    96°
  4. ঘ
    84°
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, সুষম পঞ্চভুজের অন্তস্থ কোণের পরিমাণ = {(৫ - ২)/৫} × ১৮০° = ১০৮°
অতএব, বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = ১৮০° - ১০৮° = ৭২°
৩৫৭.
একটি সুষম ১২ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত? 
  1. ক
    ১২০°
  2. খ
    ১৩০°
  3. গ
    ১৪০°
  4. ঘ
    ১৫০°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম ১২ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা n = ১২

∴ অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - (৩৬০°/n)
= ১৮০° - (৩৬০°/১২)
= ১৮০° - ৩০°
= ১৫০°

৩৫৮.
একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের মানের অনুপাত ৩ : ২ হলে, বহুভুজটি হবে-
  1. ক
    পঞ্চভুজ
  2. খ
    ষড়ভুজ
  3. গ
    সপ্তভুজ
  4. ঘ
    অষ্টভুজ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের মানের অনুপাত ৩ : ২ হলে, বহুভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণ যথাক্রমে ৩ক ও ২ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ২ক = ১৮০°
⇒ ৫ক = ১৮০°
∴ ক = ৩৬°

তাহলে, অন্তঃস্থ কোণ = ৩ × ৩৬° = ১০৮°
বহিঃস্থ কোণ = ৭২°
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৭২° = ৫ টি [অতএব, বহুভুজটি হবে একটি পঞ্চভুজ]
৩৫৯.
একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃকোণ ১৬৮°। এর বাহু সংখ্যা কতগুলো হবে?
  1. ক
    ২০
  2. খ
    ২৫
  3. গ
    ৩০
  4. ঘ
    ৩২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃকোণ ১৬৮°। এর বাহু সংখ্যা কতগুলো হবে?

সমাধান:
ধরি, বাহুর সংখ্যা n
সুষম বহুভুজের মোট অন্তঃস্থ কোণ = (n - 2) x 180

 168 x n = (n - 2) x 180
বা, 168n = 180n - 360
বা, 12n = 360
বা, n = 360/12 = 30
৩৬০.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 15 সে.মি. এবং অপর দুই বাহুর অন্তর 3 সে.মি. হলে, অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    9 সে.মি. ও 12 সে.মি.
  2. খ
    7 সে.মি. ও 10 সে.মি.
  3. গ
    6 সে.মি. ও 9 সে.মি.
  4. ঘ
    5 সে.মি. ও 8 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 15 সে.মি. এবং অপর দুই বাহুর অন্তর 3 সে.মি. হলে, অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি
ত্রিভুজের এক বাহু = x
অপর বাহু = x + 3

শর্তমতে,
x2 + (x + 3)2 = 152
⇒ x2 + x2 + 6x + 9 = 225
⇒ 2x2 + 6x - 216 = 0
⇒ x2 + 3x - 108 = 0
⇒ x2 + 12x - 9x - 108 = 0
⇒ x(x + 12) - 9(x + 12) = 0
⇒ (x + 12)(x - 9) = 0
∴ x = 9, - 12 [দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না]

সমকোণী ত্রিভুজটির অপর দুই বাহুর একটি বাহু 9 সে.মি.
এবং অন্য বাহু 12 সে.মি.
৩৬১.
একটি সুষম পঞ্চভূজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    ক) 70°
  2. খ
    খ) 72°
  3. গ
    গ) 75°
  4. ঘ
    ঘ) 78°
ব্যাখ্যা

সুষম পঞ্চভূজের মোট বাহু = 5 টি,
মোট বহিঃস্থ কোণ = 360°
∴ একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = 360°/5 = 72°

৩৬২.
আট বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে-
  1. ক
    ৪৫°
  2. খ
    ৬০°
  3. গ
    ৮০°
  4. ঘ
    ১০০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: আট বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে-

সমাধান:
সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ সমান।

আমরা জানি,
বহুভুজের বহিঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = ৩৬০°
∴ একটি বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০°/৮ = ৪৫°
৩৬৩.
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য দেয়া থাকলে- 
  1. ক
    দুটি মাত্র ত্রিভুজ আঁকা যায়
  2. খ
    একটি মাত্র ত্রিভুজ আঁকা যায়
  3. গ
    কোনো ত্রিভুজ আঁকা যায় না
  4. ঘ
    অনেকগুলো ত্রিভুজ আঁকা যায়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য দেয়া থাকলে- 

সমাধান:
যদি কেবলমাত্র অতিভুজের দৈর্ঘ্য দেয়া থাকে, তবে অসংখ্যক সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব। কারণ, অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্দিষ্ট থাকলেও, অন্যান্য দুই বাহুর মান বিভিন্ন হতে পারে, যা বিভিন্ন আকৃতির ত্রিভুজ তৈরি করবে।
যেমনঃ
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52
(√7)2 + (√18)2 = 7 + 18 = 25 = 52
এই ভাবে অনেকগুলো ত্রিভুজ আঁকা যাবে।
৩৬৪.
একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত 13 : 2 হলে, বহুভুজটির কর্ণের সংখ্যা কত?
  1. ক
    135 টি
  2. খ
    90 টি
  3. গ
    54 টি
  4. ঘ
    30 টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত 13 : 2 হলে, বহুভুজটির কর্ণের সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
অন্তঃস্থ কোণ = 13x
∴ বহিঃস্থ কোণ = 2x

প্রশ্নমতে, 
13x + 2x = 180° 
⇒ 15x = 180° 
⇒ x = 180°/15
⇒ x = 12 

∴ বহিঃস্থ কোণ = (2 × 12)°
= 24° 
এখন, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা, n = 360°/24°
= 15 টি

∴ বহুভুজটির কর্ণের সংখ্যা = [n(n - 3)]/2 
= [15(15 - 3)]/2
= 6 × 15
= 90 টি 

৩৬৫.
সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ কত?
  1. ক
    8 সমকোণ
  2. খ
    12 সমকোণ
  3. গ
    16 সমকোণ
  4. ঘ
    18 সমকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে,
অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
∴ সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (6 - 2) × 180°
= 4 × 180°

∴ অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ = 2(4 × 180°)
= 8 × 180°
= 8 × 2 সমকোণ
= 16 সমকোণ
৩৬৬.
পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 12 হলে অন্য দুটি সদস্য কী কী?
  1. ক
    3, 5
  2. খ
    7, 24
  3. গ
    5, 13
  4. ঘ
    8, 17
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 12 হলে অন্য দুটি সদস্য কী কী?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
পিথাগোরাস ত্রয়ী (Pythagorean triplet) হলো তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সেট, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করে

তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c2 = a2 + b2 শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।

যেমন:
(3, 4, 5)
(5, 12, 13)
(7, 24, 25)
(8, 15, 17)
(9, 40, 41)

এখানে,
52 + 122 =132
25 + 144 =169
169 = 169
৩৬৭.
একটি নৌকা নদীর এক তীর থেকে অপর তীরে যেতে চায়। নদীর প্রস্থ ৩০০ মিটার এবং নৌকাটি বরাবর অপর তীরে পৌঁছাতে পারে না, কারণ স্রোত নৌকাটিকে ৪০০ মিটার দূরে সরিয়ে অপর তীরে পৌঁছায়। নৌকাটি কতটুকু পথ অতিক্রম করেছে?
  1. ক
    ৭০০ মিটার
  2. খ
    ১২০০ মিটার
  3. গ
    ৬০০ মিটার
  4. ঘ
    ৫০০ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি নৌকা নদীর এক তীর থেকে অপর তীরে যেতে চায়। নদীর প্রস্থ ৩০০ মিটার এবং নৌকাটি বরাবর অপর তীরে পৌঁছাতে পারে না, কারণ স্রোত নৌকাটিকে ৪০০ মিটার দূরে সরিয়ে অপর তীরে পৌঁছায়। নৌকাটি কতটুকু পথ অতিক্রম করেছে?

সমাধান:

ধরি,
নৌকাটি ক মিটার পথ অতিক্রম করে।
পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী
ক২ = ৩০০২ + ৪০০২
বা, ক২ = ৯০০০০ + ১৬০০০০
বা, ক২ = ২৫০০০০
বা, ক২ = ৫০০২
∴ ক = ৫০০ মিটার
৩৬৮.
নিচে ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য সে. মি. এককে দেয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?
  1. ক
    6, 8, 10
  2. খ
    3, 4, 5
  3. গ
    2, 4, 8
  4. ঘ
    5, 12, 13
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচে ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য সে. মি. এককে দেয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ২ = ভূমি২ + লম্ব২

62 + 82 = 102 [যা সমকোণী ত্রিভুজ ]
32 + 42 = 52 [যা সমকোণী ত্রিভুজ ]
22 + 42 ≠ 82 [যা সমকোণী ত্রিভুজ নয়]
52 + 122 = 132 [যা সমকোণী ত্রিভুজ ]

∴ অপশন গ এর বাহুগুলোর দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
৩৬৯.
নিচের কোন তিনটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?
  1. ক
    ৩, ৫, ৬
  2. খ
    ৫, ৬, ৮
  3. গ
    ৬, ৮, ১০
  4. ঘ
    ৭, ১২, ১৩
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন তিনটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের উপর অঙ্কিত বর্গ অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টির সমান।
∴  ৬২ + ৮২
= ৩৬ + ৬৪
= ১০০
= ১০২

∴ ৬, ৮, ১০ বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে।
৩৭০.
একটি সুষম দশভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাপ হবে- 
  1. ক
    ক) ১২৪°
  2. খ
    খ) ১০৮°
  3. গ
    গ) ১৫৮°
  4. ঘ
    ঘ) ১৪৪°
ব্যাখ্যা
সুষম  সুষম দশভুজটির 
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ = ৩৬০°/১০ = ৩৬°

প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ = (১৮০ - ৩৬)° = ১৪৪°
৩৭১.
একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য ১০০° হলে বহুভুজটি কোন প্রকৃতির?
  1. ক
    ষড়ভুজ 
  2. খ
    অষ্টভুজ 
  3. গ
    নবভুজ 
  4. ঘ
    দশভুজ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য ১০০° হলে বহুভুজটি কোন প্রকৃতির?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য = ১০০° 

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৭২০°/(১৮০° - কোণদ্বয়ের পার্থক্য) 
= ৭২০°/(১৮০° - ১০০°) 
= ৭২০°/৮০° 
= ৯ টি  

∴ বহুভুজটি ৯ বাহু বিশিষ্ট অর্থাৎ নবভুজ(Nonagon)। 

৩৭২.
একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণ ১০৮ হলে তার বাহুর সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) ৫
  2. খ
    খ) ১০
  3. গ
    গ) ১২
  4. ঘ
    ঘ) ১৫
ব্যাখ্যা

ধরি, বাহুর সংখ্যা n
সুষম বহুভুজের মোট অন্তঃস্থ কোণ = (n-2) x 180
বা, 108 x n = (n-2) x 180
বা, 108n = 180n – 360
বা, n = 360/72 = 5

৩৭৩.
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৪০° বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) ৬
  2. খ
    খ) ৮
  3. গ
    গ) ৯
  4. ঘ
    ঘ) ১০
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৪০°
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = ১৮০° - ১৪০°
                                            = ৪০°
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°

বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/৪০°
                                           = ৯
৩৭৪.
নিচের কোনটি একটি সমকোণী ত্রিভূজের তিনবাহুর অনুপাত -
  1. ক
    ক) ১৩ : ১৫ : ৭
  2. খ
    খ) ১৫ : ১৭ : ৮
  3. গ
    গ) ১০ : ৪০ : ৪১
  4. ঘ
    ঘ) ৯ : ২৪ : ২৫
ব্যাখ্যা

এখান,
৮2 + ১৫2
= ৬৪ + ২২৫
= ২৮৯
= ১৭2

৩৭৫.
একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য ৯০° হলে বহুভুজটি কোন প্রকৃতির?
  1. ক
    ষড়ভুজ 
  2. খ
    অষ্টভুজ
  3. গ
    নবভুজ
  4. ঘ
    দশভুজ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য ৯০° হলে বহুভুজটি কোন প্রকৃতির?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য = ৯০° 

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৭২০°/(১৮০° - কোণদ্বয়ের পার্থক্য)
= ৭২০°/(১৮০° - ৯০°)
= ৭২০°/৯০°
= ৮ টি

∴ বহুভুজটি ৮ বাহু বিশিষ্ট অর্থাৎ অষ্টভুজ(Octagon)। 

৩৭৬.
একটি পঞ্চভুজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত ডিগ্রি?
  1. ক
    270°
  2. খ
    360°
  3. গ
    450°
  4. ঘ
    540°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত ডিগ্রি?

সমাধান:  
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে,

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°

∴ পঞ্চভূজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (5 - 2) × 180°
= 540°
 
৩৭৭.
একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৭টি হলে অন্তঃকোণ সমূহের সমষ্টি হবে-
  1. ক
    ১০ সমকোণ
  2. খ
    ১৪ সমকোণ
  3. গ
    ৮ সমকোণ
  4. ঘ
    ১৩ সমকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৭টি হলে অন্তঃকোণ সমূহের সমষ্টি হবে-

সমাধান: 
৭ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃকোণ সমূহের সমষ্টি = (৭ - ২) × এক সরলকোণ
= ৫ × এক সরলকোণ
= ৫ × ২ সমকোণ
= ১০ সমকোণ
৩৭৮.
সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪৫° হলে এর বাহুর সংখ্যা কয়টি? 
  1. ক
    ৫টি
  2. খ
    ৬টি
  3. গ
    ৮টি
  4. ঘ
    ৯টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪৫° হলে এর বাহুর সংখ্যা কয়টি? 

সমাধানঃ
সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪৫°

বাহুর সংখ্যা = ৩৬০/৪৫ = ৮টি
৩৭৯.
২৪ মিটার দীর্ঘ একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য ৭ মিটার হলে খুঁটির শীর্ষ হতে ছায়ার শেষ প্রান্ত পর্যন্ত দূরত্ব কত?
  1. ক
    ক) ৩২ মিটার
  2. খ
    খ) ২২ মিটার
  3. গ
    গ) ২৫ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ১৭ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২৪ মিটার দীর্ঘ একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য ৭ মিটার হলে খুঁটির শীর্ষ হতে ছায়ার শেষ প্রান্ত পর্যন্ত দূরত্ব কত?

সমাধান:


খুঁটি এবং এর ছায়া পরস্পর লম্ব। তাহলে এখানে একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়।
খুঁটির শীর্ষ হতে ছায়ার শেষ প্রান্ত পর্যন্ত দূরত্ব হবে ত্রিভুজটির অতিভুজ।

∴ খুঁটির শীর্ষ হতে ছায়ার শেষ প্রান্ত পর্যন্ত দূরত্ব = √(২৪২ + ৭২) মিটার
= √(৫৭৬ + ৪৯) মিটার
= √৬২৫ মিটার
= ২৫ মিটার
৩৮০.
একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ ১৩৫° হলে, ঐ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত হবে? 
  1. ক
    ক) ৫টি
  2. খ
    খ) ৪টি
  3. গ
    গ) ৭টি
  4. ঘ
    ঘ) ৮টি
ব্যাখ্যা
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ ১৩৫° 
সুতরাং সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিস্থঃ কোণ = ১৮০° - ১৩৫° 
                                                       = ৪৫°
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃ কোণের সমষ্টি = ৩৬০°

সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/৪৫°
                                                       = ৮
৩৮১.
একটি সুষম অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টির অর্ধেক কত?
  1. ক
    5 সমকোণ
  2. খ
    6 সমকোণ
  3. গ
    7 সমকোণ
  4. ঘ
    8 সমকোণ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টির অর্ধেক কত?

সমাধান:
এখানে,
অষ্টভুজের বাহুর সংখ্যা = 8

আমরা জানি,
যেকোনো বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ = (n - 2) × 180°

∴ অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি = (8 - 2) × 180° = 6 × 180° = 1080°
তাহলে, সুষম অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টির অর্ধেক = 1080°/2
= 540°
= 540°/90° সমকোণ
= 6 সমকোণ

৩৮২.
সুষম ষড়ভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার হলে ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ২৪ বর্গমিটার
  2. খ
    ৪৮ বর্গমিটার
  3. গ
    ৯৬ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ২৪√৩ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সুষম ষড়ভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার হলে ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
সুষম ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ৪ মিটার
বাহুর সংখ্যা, n = ৬ 

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল = {(n × a২)/৪} × cot(১৮০°/n)
∴ সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = {৬ × ৪২)/৪} × cot(১৮০°/৬) বর্গমিটার
= ২৪ × cot৩০° বর্গমিটার
= ২৪√৩ বর্গমিটার

∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল ২৪√৩  বর্গমিটার।
৩৮৩.
একটি ঘনকের আয়তন ও সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের সমান হয়, তাহলে ঘনকটির এক ধারের দৈর্ঘ্য কত? 
  1. ক
    ক) 4 একক 
  2. খ
    খ) 8 একক
  3. গ
    গ) 10 একক
  4. ঘ
    ঘ) 6 একক 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ও সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের সমান হয়, তাহলে ঘনকটির এক ধারের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য = a একক 
আমরা জানি,
ঘনকের এর আয়তন = a3 ঘন একক 
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a2 বর্গ একক 

প্রশ্নমতে,
a3 = 6a2
a = 6 
৩৮৪.
ABCD সামান্তরিকের A কোণ ১১৫° হলে, D কোণের মান কত ডিগ্রী?
  1. ক
    ক) ১১৫°
  2. খ
    খ) ৯৫°
  3. গ
    গ) ৬৫°
  4. ঘ
    ঘ) ৬০°
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, সামান্তরিকের সন্নিহিত দুই কোণের যোগফল ১৮০° এবং কর্ণ বরাবর বিপরীত কোষগুলো পরস্পর সমান। অর্থাৎ ABCD সামন্তরিকে A ও B কোণের যোগফল ১৮০° এবং B ও D কোণ পরস্পর সমান।
এখানে A + B = ১৮০°
বা, ১১৫° + D = ১৮০° [যেহেতু B = D]
বা, D = ১৮০° - ১১৫° = ৬৫°

৩৮৫.
একজন ব্যক্তি তার বাসা থেকে ৮ কি.মি. পশ্চিমে যায় এবং পরবর্তীতে ১৫ কি.মি. দক্ষিণে যায়। সর্বশেষ অবস্থান থেকে তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব কত?
  1. ক
    ১৫ কি.মি.
  2. খ
    ১৭ কি.মি.
  3. গ
    ৬ কি.মি.
  4. ঘ
    ২৩ কি.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি তার বাসা থেকে ৮ কি.মি. পশ্চিমে যায় এবং পরবর্তীতে ১৫ কি.মি. দক্ষিণে যায়। সর্বশেষ অবস্থান থেকে তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব কত?

সমাধান:
​

ব্যক্তির হাঁটার পথটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করেছে।

পশ্চিম দিকে যাওয়া ৮ কি.মি. হলো ত্রিভুজের একটি লম্ব। দক্ষিণ দিকে যাওয়া ১৫ কি.মি. হলো ত্রিভুজের ভূমি। সর্বশেষ অবস্থান থেকে বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো অতিভুজ।

আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(অতিভুজ)২ = (লম্ব)২ + (ভূমি)২
⇒ অতিভুজ২ = ৮২ + ১৫২
⇒ অতিভুজ২ = ৬৪ + ২২৫
⇒ অতিভুজ২ = ২৮৯
⇒  অতিভুজ = √২৮৯
⇒  অতিভুজ = ১৭ কি.মি.

সুতরাং, সর্বশেষ অবস্থান থেকে তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো ১৭ কি.মি.।

৩৮৬.
যদি কোন বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের মানের অনুপাত ৩ : ১ হয়, তবে বহুভুজটিতে মোট কতটি বাহু আছে?
  1. ক
    ৬ টি
  2. খ
    ৮ টি
  3. গ
    ১০ টি
  4. ঘ
    ১২ টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি কোন বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের মানের অনুপাত ৩ : ১ হয়, তবে বহুভুজটিতে মোট কতটি বাহু আছে?

সমাধান:
ধরি, বহুভুজটির প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = ক
∴ বহুভুজটির প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৩ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ক = ১৮০°
⇒ ৪ক = ১৮০°
∴ ক = ৪৫°

∴ বহুভুজটির প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৪৫°

আমরা জানি,
বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/বহিঃস্থ কোণ
= ৩৬০°/৪৫°
= ৮ টি

৩৮৭.
একটি সামান্তরিকের ভূমি 36 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 144 বর্গমিটার হলে, এর উচ্চতা কত?
  1. ক
    ক) 4 মিটার
  2. খ
    খ) 8 মিটার
  3. গ
    গ) 12 মিটার
  4. ঘ
    ঘ) 10 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি 36 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 144 বর্গমিটার হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা)
144  = 36 × উচ্চতা
 উচ্চতা = 144/36
উচ্চতা = 4 
৩৮৮.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা ১০ মিটার এবং ভূমি √২১ মিটার হলে, ত্রিভুজটির অতিভুজ কত? 
  1. ক
    ১২ মিটার
  2. খ
    ১১ মিটার
  3. গ
    ১৩ মিটার
  4. ঘ
    ১০ মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা ১০ মিটার এবং ভূমি √২১ মিটার হলে, ত্রিভুজটির অতিভুজ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা = ১০ মিটার 
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = √২১  মিটার

আমরা জানি,
(অতিভুজ)২ = (১০)২ + (√২১ )২
⇒ (অতিভুজ)২ = (১০)২ + (√২১ )২
⇒ (অতিভুজ)২ = ১০০ + ২১
⇒ (অতিভুজ)২ = ১২১
∴ অতিভুজ = ১১

∴ ত্রিভুজটির অতিভুজ = ১১ মিটার

৩৮৯.
সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ 150° হলে কর্ণের সংখ্যা কত?
  1. ক
    48 টি
  2. খ
    42 টি
  3. গ
    54 টি
  4. ঘ
    52 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ 150° হলে কর্ণের সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = 360°/(180° - অন্তঃকোণ) 
= 360°/(180° - 150°)
= 360°/30°
= 12 টি 

∴ কর্ণের সংখ্যা = {n × (n - 3)}/2
= {12 × (12 - 3)}/2
= (12 × 9)/2 
= 108/2 
= 54 টি।
৩৯০.
একটি বাড়ি 15 ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়ির দেওয়াল থেকে 8 ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়ির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?
  1. ক
    12 ফুট
  2. খ
    14 ফুট
  3. গ
    17 ফুট
  4. ঘ
    21 ফুট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাড়ি 15 ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়ির দেওয়াল থেকে 8 ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়ির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?

সমাধান:
ধরি,
মইটি y ফুট লম্বা।

সমকোণী ত্রিভুজের সূত্রানুযায়ী,
(অতিভুজ)২ = (লম্ব)২ + (ভূমি)২
বা, AC2 = AB2 + BC2
বা, y2 = (15)2 + (8)2
বা, y2 = 225 + 64
বা, y2 = 289
বা, y2 = 172
∴ y = 17 ফুট

∴ মইটি  17 ফুট লম্বা।
৩৯১.
একটি ঘনক আকৃতিবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 1944 বর্গ সে.মি. হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    16√3 সে.মি.
  2. খ
    17√3 সে.মি.
  3. গ
    18√3 সে.মি.
  4. ঘ
    22√3 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনক আকৃতিবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 1944 বর্গ সে.মি. হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ঘনকের ধার a হলে,
ঘনক আকৃতির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল= 6a2

প্রশ্নানুসারে,
6a2 = 1944
⇒ a2 = 1944/6
⇒ a2= 324
⇒ a = 18

∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3a
= 18√3 সে.মি.
৩৯২.
একটি ষড়ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 8 : 10 : 12 : 12 : 14 : 16 হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?
  1. ক
    60°
  2. খ
    70°
  3. গ
    80°
  4. ঘ
    110°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 8 : 10 : 12 : 12 : 14 : 16 হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
অনুপাতগুলোর যোগফল = 8 + 10 + 12 + 12 + 14 + 16 = 72

একটি ষড়ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (6 - 2) × 180°
= 4 × 180°
= 720°


∴ ক্ষুদ্রতম কোণের মান = 720° × (8/72)
= 80°
৩৯৩.
একটি সুষম ষড়ভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ কত?  
  1. ক
    90°
  2. খ
    100°
  3. গ
    120°
  4. ঘ
    80°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ কত? 

সমাধান: 
সুষম ষড়ভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে, 
অন্তঃকোণ = {(n - 2) × 180°}/n 
= {(6 - 2) ×180°}/6 
= (4 ×180°)/6 
= 120°

৩৯৪.
ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B এক সমকোণ। BC : AB = 3 : 4 এবং AC = 25 সে.মি. হলে AB = কত?
  1. ক
    20 সে.মি.
  2. খ
    21 সে.মি.
  3. গ
    18 সে.মি.
  4. ঘ
    16 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B এক সমকোণ। BC : AB = 3 : 4 এবং AC = 25 সে.মি. হলে AB = কত?

সমাধান: 

দেওয়া আছে,
 BC : AB = 3 : 4

ধরি,
BC = 3x সে.মি. এবং AB = 4x সে.মি.

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে পাই,
AC2 = AB2 + BC2
⇒ 252 = (4x)2 + (3x)2
⇒ 625 = 16x2 + 9x2
⇒ 625 = 25x2
⇒ 25 = x2
∴ x = 5

∴ AB = 4 × 5 সে.মি. = 20 সে.মি.
৩৯৫.
একটি ত্রিভুজের অতিভুজ = 13, লম্ব = 5, এবং ভূমি = 12 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ত্রিভুজটি সূক্ষ্মকোণী 
  2. খ
    ত্রিভুজটি সমকোণী 
  3. গ
    ত্রিভুজটি স্থুলকোণী
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের অতিভুজ = 13, লম্ব = 5, এবং ভূমি = 12 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি ত্রিভুজের অতিভুজ = 13, লম্ব = 5, এবং ভূমি = 12
 
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

∴ (লম্ব)2 + (ভূূমি)2
= 52 + 122
= 25 + 144
= 169
= 132
= (অতিভুজ)2

∴ ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

৩৯৬.
কোন সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হলে বাহুর সংখ্যা আটটি হবে?
  1. ক
    120°
  2. খ
    45°
  3. গ
    80°
  4. ঘ
    135°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হলে বাহুর সংখ্যা ৮টি হবে?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে, অন্তঃকোণ = {(2n - 4) × 90°}/n

∴ বাহুর সংখ্যা ৮টি হলে, অন্তঃকোণ = {(2 · 8 - 4) × 90°}/8
= 1080/8
= 135°
৩৯৭.
১৪ সে.মি., ৮ সে.মি. এবং ১৭ সে.মি. বাহুগুলো দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা যাবে কি?
  1. ক
    হ্যাঁ
  2. খ
    না
  3. গ
    পর্যাপ্ত তথ্য নেই
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৪ সে.মি., ৮ সে.মি. এবং ১৭ সে.মি. বাহুগুলো দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা যাবে কি?

সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত প্রতিক্রিয়া হতে পাই,
কোন ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের যোগফলের সমান হলে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হয়।

এখানে,
১৪২ + ৮২
= ১৯৬ + ৬৪
= ২৬০
≠ ১৭২

∴ বাহু তিনটি দিয়ে সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না।
৩৯৮.
একটি ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) পাঁচ সমকোণ
  2. খ
    খ) ছয় সমকোণ
  3. গ
    গ) সাত সমকোণ
  4. ঘ
    ঘ) আট সমকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি কত?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।
সুতরাং সুষম পঞ্চভুজের পাঁচটি কোণের সমষ্টি   = (2 × 6 - 4) সমকোণ
                                                                        = (12 - 4) × 90°
                                                                         = 8 × 90°
                                                                          = 720°
ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি = আট সমকোণ
৩৯৯.
সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ কত? 
  1. ক
    8 সমকোণ
  2. খ
    16 সমকোণ
  3. গ
    12 সমকোণ
  4. ঘ
    18 সমকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে, 
অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180° 
∴ সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (6 - 2) × 180°
= 4 × 180°

∴ অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ = 2(4 × 180°) 
= 8 × 180° 
= 8 × 2 সমকোণ 
= 16 সমকোণ ।
৪০০.
একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ ১৫° হলে, বাহুর সংখ্যা কয়টি?
  1. ক
    ২৪টি
  2. খ
    ২২টি
  3. গ
    ১৬টি
  4. ঘ
    ২৮টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ ১৫° হলে, বাহুর সংখ্যা কয়টি?

সমাধান: 
ধরি,
বাহুর সংখ্যা = n 

আমরা জানি,
বাহুর সংখ্যা = 360/ বহিঃস্থ কোণ
∴ n = 360/15
= 24