পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং অন্যান্য বহুভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ১ / ৮ · ১–১০০ / ৭৮৩

১.

একটি ষড়ভুজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত?

ক
৬৭০°
খ
৭২০°
গ
৮৪০°
ঘ
৯৬০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি = (2n - 4) সমকোণ।
একটি সুষম ষড়ভুজের বাহুর সংখ্যা = ৬ টি

∴ সুষম ষড়ভুজের ছয় কোণের সমষ্টি = (২ × ৬) - ৪ সমকোণ
= (১২ - ৪) × ৯০°
= ৮ × ৯০°
= ৭২০°

∴ সুষম ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি = ৭২০°

২.

দশভুজের (Decagon) অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত?

ক
1140°
খ
1240°
গ
1440°
ঘ
1000°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দশভুজের (Decagon) অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (2n − 4) × 90° (যেখানে n = বহুভুজের বাহুর সংখ্যা)

∴ দশভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = {(2 × 10) − 4} × 90°
= (20 − 4) × 90°
= 16 × 90°
= 1440°

∴ দশভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি 1440°

৩.

যদি ∠С = 90°, ∠B = 30°, AB = 6, AC = АВ/2 হয়, তাহলে BC এর দৈর্ঘ্য কত?

ক
4
খ
√3
গ
2√3
ঘ
3√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি ∠С = 90°, ∠B = 30°, AB = 6, AC = АВ/2 হয়, তাহলে BC এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
এখানে,
AC = АВ/2
AC = 6/2 = 3

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
АВ² = ВС² + АС²
বা, 6² = ВС² + 3²
বা, ВС² = 6² - 3²
বা, ВС² = 36 - 9
বা, BC² = 27
বা, BC = ± √27
- √ 27 গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হয় না।
∴ BC = √27
⇒ BC = 3√3

৪.

একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ সেন্টিমিটার এবং ৭ সেন্টিমিটার হলে, নিচের কোনটি তৃতীয় বাহু হতে পারে না?

ক
ক) ৫ সে.মি.
খ
খ) ৮ সে.মি.
গ
গ) ৯ সে.মি.
ঘ
ঘ) ১৩ সে.মি.

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি এর তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

৫.

একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গ সেমি, একটি কর্ণ ২৪ সেমি হলে, অপর কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু হতে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ১৫
খ
খ) ১০
গ
গ) ৫
ঘ
ঘ) ২৫

ব্যাখ্যা

যেহেতু, লম্ব তৈরি করেছে তারমানে ঐ সামান্তরিকটা একটা রম্বস।

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2)× কর্ণদ্বয়ের গুনফল
বা, 120 = (1/2)× ২য় কর্ণ × 24
বা, 120/24 =(1/2)× ২য় কর্ণ = অপর কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু হতে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য
বা, অপর কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু হতে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য = 5 cm.

৬.

কোন সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৭২° হলে বহুভূজটির বাহুর সংখ্যা কত?

ক
7টি
খ
4টি
গ
5টি
ঘ
6টি

ব্যাখ্যা

কোন সুষম বহুভূজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৭২° হলে বহুভূজটির বাহুর সংখ্যা কত?

প্রশ্ন অনুসারে,
সুষম বহুভূজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ,
360°/n = 72°
⇒ n = 360°/72° = 5
অর্থ্যাৎ, বহুভূজটির বাহুর সংখ্যা = 5টি।

৭.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৫০ মিটার এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৭০ মিটার হলে, এর প্রস্থ কত?

ক
৬০ মিটার
খ
৭০ মিটার
গ
৮০ মিটার
ঘ
৯০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৫০ মিটার এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৭০ মিটার হলে, এর প্রস্থ কত?

সমাধান:

আয়তের প্রতিটি কোণ 90°.
∴ PSR একটি সমকোণী ত্রিভুজ যেখানে S একটি সমকোণ
⇒ PS² + SR² = PR²
⇒ PS² + 150² = 170²
⇒ PS² = 170² - 150²
⇒ PS² = (170 + 150) (170 - 150)
⇒ PS² = 320 × 20
⇒ PS² = 6400
⇒ PS = √6400
⇒ PS = 80

∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 80 মিটার

৮.

একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃকোণ ১৬০°। এর বাহু সংখ্যা কতগুলো হবে?

ক
১০টি
খ
১২টি
গ
১৬টি
ঘ
১৮টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃকোণ ১৬০°। এর বাহু সংখ্যা কতগুলো হবে?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ = ১৬০°।
সুতরাং সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = (১৮০° - ১৬০°)
= ২০°

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°
সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/২০°
= ১৮টি

৯.

কোনো অষ্টভুজের প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪√২ সে.মি. হলে অষ্টভুজটির ক্ষেত্রফল কত? (যেখানে √২ = ১.৪১)

ক
১২৭.৩০ বর্গসে.মি.
খ
১৫৪.২৪ বর্গসে.মি.
গ
১৬৫.৭৮ বর্গসে.মি.
ঘ
২১০.৭৮ বর্গসে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো অষ্টভুজের প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪√২ সে.মি. হলে অষ্টভুজটির ক্ষেত্রফল কত? (যেখানে √২ = ১.৪১)

সমাধান:
অষ্টভুজের প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪√২ সে.মি.

∴ অষ্টভুজটির ক্ষেত্রফল = ২a^২(১ + √২) বর্গসে.মি.
= ২ × (৪√২)^২ × (১ + √২)
= ২ × (১৬ × ২) × (১ + √২)
= ৬৪(১ + √২)
= ৬৪(১ + ১.৪১)
= ৬৪ × ২.৪১
= ১৫৪.২৪ বর্গসে.মি.

১০.

কোনো একটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম বাহু যথাক্রমে 7 সে.মি. এবং 25 সে.মি. অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য কত সে.মি. হলে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে?

ক
12 সে.মি.
খ
18 সে.মি.
গ
20 সে.মি.
ঘ
24 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো একটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম বাহু যথাক্রমে 7 সে.মি. এবং 25 সে.মি. অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য কত সে.মি. হলে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে?

সমাধান:
তৃতীয় বাহুটির দৈর্ঘ্য = x সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে আমরা পাই,
7² + x² = 25²
বা, 49 + x² = 625
বা, x² = 625 - 49
বা, x² = 576
বা, x² = 24²
∴ x = 24

১১.

একটি বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল 616 বর্গমিটার, পার্কের ব্যাস কত?

ক
20 মিটার
খ
21 মিটার
গ
24 মিটার
ঘ
28 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল 616 বর্গমিটার, পার্কের ব্যাস কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = 616 বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
πr² = 616
⇒ (22/7) × r² = 616
⇒ r² = 616 × (7/22)
⇒ r² = (28 × 7)
⇒ r = √(7 × 7 × 2 × 2)
⇒ r = 7 × 2
∴ r = 14

∴ বৃত্তাকার পার্কের ব্যাস = 2 × 14 = 28 মিটার

১২.

একটি সুষম ১৫ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

ক
১৫৬°
খ
১৬০°
গ
১৬২°
ঘ
১৬৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম ১৫ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা n = ১৫

∴ অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - (৩৬০°/n)
= ১৮০° - (৩৬০°/১৫)
= ১৮০° - ২৪°
= ১৫৬°

১৩.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও পরিসীমার অনুপাত ১ঃ৪ হলে,এর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ এর অনুপাত কত হবে?

ক
ক) 1:2
খ
খ) 2:1
গ
গ) 1:1
ঘ
ঘ) None of them

ব্যাখ্যা

ধরি, দৈর্ঘ্য ও পরিসীমা যথাক্রমে x ও 4x এবং প্রস্থ y
প্রশ্নমতে,
2(x + y) = 4x
বা, 2x + 2y = 4x
বা, 2y = 4x - 2x
বা, 2y = 2x
বা, y = x
সুতরাং দৈর্ঘ্য;প্রস্থ = x:y = x:x = 1:1

মনে রাখতে হবে, সকল বর্গক্ষেত্রই এক ধরণের আয়তক্ষেত্র।

১৪.

একটি সুষম অষ্টভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

ক
১১৫°
খ
১৩০°
গ
১৩৫°
ঘ
১২০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম অষ্টভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
বাহু সংখ্যা, n = 8
অন্তঃস্থ কোণ = 180° - (360°/8)
= 135°

Alternative rule:
মোট অন্তঃস্থ কোণ = (n - 2) × 180°
= 1080°

∴ প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ = 1080°/8
= 135°

১৫.

একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ ১২০° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?

ক
৪টি
খ
৫টি
গ
৬টি
ঘ
৮টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ ১২০° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
বহিঃস্থ কোণ = ১৮০° - অন্তঃস্থ কোণ
= (১৮০° - ১২০°) = ৬০°

সুতরাং, বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/৬০°
= ৬টি

১৬.

পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 7 হলে অন্য সদস্যজোড় নিচের কোনটি?

ক
12, 13
খ
24, 25
গ
40, 41
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 7 হলে অন্য সদস্যজোড় নিচের কোনটি?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
পিথাগোরাস ত্রয়ী হলো তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সেট, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।

তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।

যেমন:
(3, 4, 5)
(5, 12, 13)
(7, 24, 25)
(8, 15, 17)
(9, 40, 41)

এখানে,
7² + 24² = 25²
49 + 576 = 625
625 = 625

১৭.

একটি সপ্তভুজের সাতটি কোণের সমষ্টি কত?

ক
ক) সাত সমকোণ
খ
খ) আট সমকোণ
গ
গ) দশ সমকোণ
ঘ
ঘ) কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।

সুতরাং সপ্তভুজের সাতটি কোণের সমষ্টি = (2 × 7 - 4) সমকোণ
= (14 - 4) × 90°
= 10 × 90°

একটি সপ্তভুজের সাতটি কোণের সমষ্টি = দশ সমকোণ

১৮.

একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 মিটার, প্রস্থ 5 মিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত সে. মি. হবে?

ক
1020
খ
120
গ
12
ঘ
1200

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 মিটার, প্রস্থ 5 মিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত সে. মি. হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 মিটার, প্রস্থ 5 মিটার
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য P মি.

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(দৈর্ঘ্য²+ (প্রস্থ)²}
বা, 13 = √{(P)²+ (5)²}
বা, 13 = √(P²+ 25)
বা, √(P²+ 25) =13
বা, P²+ 25 = 13²
বা, P²= 169 - 25
বা, P²= 144
বা, P = √144
∴ P = 12

∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 12 মি. = (12 × 100) বা 1200 সে. মি.

১৯.

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.।

ক
36 বর্গ সে.মি.
খ
48 বর্গ সে.মি.
গ
56 বর্গ সে.মি.
ঘ
72 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.।

সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,
a² + a² = 12²
বা, 2a² = 144
বা, a² = 72

এখন,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × a × a
= (1/2)a²
= (1/2) × 72
= 36 বর্গ সে.মি.

২০.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্বের দৈর্ঘ্য সমান হলে এর অতিভুজ হবে লম্বের-

ক
২ গুণ
খ
√২ গুণ
গ
√৩ গুণ
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্বের দৈর্ঘ্য সমান হলে এর অতিভুজ হবে লম্বের-

সমাধান:
দেয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = লম্ব
ধরি, ভূমি = লম্ব = a

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + লম্ব^২⇒ অতিভুজ^২ = a^২ + a^২⇒ অতিভুজ^২ = ২a^২
⇒ অতিভুজ = √(২a^২)
⇒ অতিভুজ = a√২
∴ অতিভুজ = √২ × লম্ব

অর্থাৎ, অতিভুজ হবে লম্বের √২ গুণ

২১.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব x, ভূমি y এবং অতিভুজ z। যদি অতিভুজ ভূমির দ্বিগুণ হয় এবং লম্ব 3 সে.মি. হয়, তবে অতিভুজ কত?

ক
√3 সে.মি.
খ
2√3 সে.মি.
গ
4√3 সে.মি.
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব x, ভূমি y এবং অতিভুজ z। যদি অতিভুজ ভূমির দ্বিগুণ হয় এবং লম্ব 3 সে.মি. হয়, তবে অতিভুজ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
z = 2y এবং x = 3
∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
z² = x² + y²
⇒ (2y)² = 3² + y²
⇒ 4y² - y² = 9
⇒ 3y² = 9
⇒ y² = 3
⇒ y = √3

∴ অতিভুজ z = 2y = 2√3

২২.

একটি সামান্তরিকের ভূমি 24 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 168 বর্গমিটার হলে, এর উচ্চতা কত?

ক
7 মিটার
খ
8 মিটার
গ
9 মিটার
ঘ
10 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি 24 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 168 বর্গমিটার হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ভূমি = 24 মিটার
এবং ক্ষেত্রফল = 168 বর্গমিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা)
⇒ 168 = 24 × উচ্চতা
⇒ উচ্চতা = 168/24
∴ উচ্চতা = 7

∴ সামান্তরিকটির উচ্চতা 7 মিটার

২৩.

একটি খাড়া খুটি 5 মিটার উপরে ভেঙ্গে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত ভূমিতে 3 মিটার দূরত্বে স্পর্শ করলে খুটির উচ্চতা কত?

ক
ক) 9
খ
খ) 8
গ
গ) 7.83
ঘ
ঘ) 10.83

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি খাড়া খুটি 5 মিটার উপরে ভেঙ্গে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত ভূমিতে 3 মিটার দূরত্বে স্পর্শ করলে খুটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

চিত্রানুযায়ী x² = 5² + 3²
x = √(5² + 3²)
x = √34
x = 5.83

∴ খুটির মোট দৈর্ঘ্য = 5 + 5.83 = 10.83

২৪.

একটি বহুভুজের প্রতিটি অন্তকোণের পরিমাণ 168° হলে বহুভুজের মোট বাহুর সংখ্যা কত?

ক
30 টি
খ
20 টি
গ
35 টি
ঘ
27 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের প্রতিটি অন্তকোণের পরিমাণ 168° হলে বহুভুজের মোট বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান,
আমরা জানি,
অন্তকোণ ও বহিস্থকোণের সমষ্টি =180°

অন্তকোণের পরিমাণ = 168°,
∴ বহিস্থ:কোণ = (180° - 168°)
= 12°

∴ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = 360°/12
= 30 টি

২৫.

একটি বাস 5 কিলোমিটার পূর্বদিকে যায় তারপর 12 কিলোমিটার উত্তরদিকে যায়। যাত্রাস্থান থেকে বাসটির সর্বশেষ অবস্থানের সরাসরি দূরত্ব কত?

ক
21.5 কি. মি.
খ
17 কি. মি.
গ
15.5 কি. মি.
ঘ
13 কি. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাস 5 কিলোমিটার পূর্বদিকে যায় তারপর 12 কিলোমিটার উত্তরদিকে যায়। যাত্রাস্থান থেকে বাসটির সর্বশেষ অবস্থানের সরাসরি দূরত্ব কত?

সমাধান:

যাত্রাস্থান থেকে বাসের সরাসরি দূরত্ব = √(5² + 12²)
= √(25 + 144)
= √169
= 13

∴ যাত্রাস্থান থেকে বাসের সরাসরি দূরত্ব = 13 কিলোমিটার

২৬.

একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সে.মি. ও ২৫ সে.মি. এবং এর ক্ষেত্রফল ১৮৫ বর্গসে.মি. হলে, বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

ক
১০ সে.মি.
খ
৮ সে.মি.
গ
১৫ সে.মি.
ঘ
১৭ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সে.মি. ও ২৫ সে.মি. এবং এর ক্ষেত্রফল ১৮৫ বর্গসে.মি. হলে, বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:

একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. , ২৫ সে.মি. এবং এর ক্ষেত্রফল ১৮৫ বর্গসে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা
১৮৫ = (১/২) × (১২ + ২৫) × উচ্চতা
বা, ১৮৫ = (১/২) × ৩৭ × উচ্চতা
বা, ৩৭ × উচ্চতা = ৩৭০
∴ উচ্চতা = ১০ সে.মি.

২৭.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি অতিভুজ অপেক্ষা ২ মিটার কম। ত্রিভুজের লম্ব অতিভুজ অপেক্ষা ১ মিটার কম হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ২ মিটার
খ
খ) ৩মিটার
গ
গ) ৪ মিটার
ঘ
ঘ) ৫ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি অতিভুজ অপেক্ষা ২ মিটার কম। ত্রিভুজের লম্ব অতিভুজ অপেক্ষা ১ মিটার কম হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ, ক মিটার
∴ ভূমি, ক - ২ মিটার
∴ লম্ব, ক - ১ মিটার

আমরা জানি,
অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
বা, ক^২ = (ক - ১)^২ + (ক - ২)^২
বা, ক^২ = ক^২ - ২ক + ১ + ক^২ - ৪ক + ৪
বা, ক^২ = ২ক^২ - ৬ক + ৫
বা, ক^২ - ৬ক + ৫ = ০
বা, ক^২ - ৫ক - ক + ৫ = ০
বা, ক(ক - ৫) -১(ক - ৫) = ০
বা, (ক - ৫)(ক - ১) = ০
হয়, ক - ৫ = ০
∴ ক = ৫

আবার,
ক - ১ = ০
∴ ক = ১
যা গ্রহণযোগ্য নয়।

∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য ৫ মিটার।

২৮.

একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ১২ টি হলে অন্তঃকোণ সমূহের সমষ্টি কত?

ক
১০ সমকোণ
খ
২০ সমকোণ
গ
১৬ সমকোণ
ঘ
৬ সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ১২ টি হলে অন্তঃকোণ সমূহের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ = (n - 2) × 180⁰

বহুভুজটির অন্তঃকোণ সমূহের সমষ্টি = (১২ - ২) সরলকোণ
= ১০ সরলকোণ
= ২০ সমকোণ

২৯.

একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ১৫০° হলে, তার বাহুর সংখ্যা কত?

ক
১০
খ
১২
গ
১৪
ঘ
১৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ১৫০° হলে, তার বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনে করি,
বাহুর সংখ্যা = ক

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজে মোট উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণ = {(ক - ২)১৮০}/ক
∴ {(ক - ২)১৮০}/ক = ১৫০
বা, ১৮০ক - ৩৬০ = ১৫০ক
বা, ১৮০ক - ১৫০ক = ৩৬০
বা, ৩০ক = ৩৬০
বা, ক = ৩৬০/৩০
∴ ক = ১২

∴ বাহুর সংখ্যা = ১২ ।

৩০.

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ২০ সেমি হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
১০০ বর্গ সেমি
খ
৯০ বর্গ সেমি
গ
১৩০ বর্গ সেমি
ঘ
১৫০ বর্গ সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ২০ সেমি হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সেমি

∴ পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
ক^২ + ক^২ = (২০)^২
⇒ ২ক^২ = ৪০০
⇒ ক^২ = ২০০
⇒ ক = √২০০
∴ ক = ১০√২

∴ সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের, ভূমি = উচ্চতা = ১০√২ সেমি

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, = (১/২ × ১০√২ × ১০√২) বর্গ সেমি
= ১০০ বর্গ সেমি

৩১.

সমকোণী ত্রিভুজের ----- ⅰ) বৃহত্তম বাহুটি অতিভুজ, ⅱ) ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি বৃহত্তম বাহুর বর্গের সমান, ⅲ) সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পরের পূরক। নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ক) ⅰ ও ⅱ
খ
খ) ⅱ ও ⅲ
গ
গ) ⅰ ও ⅲ
ঘ
ঘ) ⅰ, ⅱ ও ⅲ

ব্যাখ্যা

কোন ব্যাখ্যা যোগ করা হয়নি।

৩২.

একটি বাড়ি ৪০ ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়িটির দেয়াল থেকে ৯ ফুট দুরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়িটির ছাদ ছুয়ে আছে। মইটি কত লম্বা?

ক
৪৮ ফুট
খ
৪৪ ফুট
গ
৪৩ ফুট
ঘ
৪১ ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাড়ি ৪০ ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়িটির দেয়াল থেকে ৯ ফুট দুরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়িটির ছাদ ছুয়ে আছে। মইটি কত লম্বা?

সমাধান:

ধরি,
মইটির দৈর্ঘ্য = AC
= √(40² + 9²) [পীথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে]
= √(1600 + 81)
= √1681
= 41 ফুট

৩৩.

যদি একটি সমকোণী ‍ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সে.মি. ও 12 সে.মি. হয়, তবে ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

ক
10 সে.মি.
খ
13 সে.মি.
গ
9 সে.মি.
ঘ
14 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি একটি সমকোণী ‍ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সে.মি. ও 12 সে.মি. হয়, তবে ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
সমকোণী ‍ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সে.মি. ও 12 সে.মি.
সমকোণী ‍ত্রিভুজের লম্ব = 5 সে.মি.
সমকোণী ‍ত্রিভুজের ভূমি = 12 সে.মি.

আমরা জানি,
(অতিভুজ)² = লম্ব² + ভূমি²
বা, (অতিভুজ)² = 5² + 12²
বা, (অতিভুজ)² = 25 + 144
বা, (অতিভুজ)² = 169
বা, (অতিভুজ)² = 13²
∴ অতিভুজ = 13

৩৪.

সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ 120° হলে এর বাহুর সংখ্যা কত?

ক
4
খ
6
গ
8
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ 120° হলে এর বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
{(n - 2) × 180}/n = 120
বা, {(n - 2) × 3}/n = 2
বা, 3n - 6 = 2n
বা, 3n - 2n = 6
∴ n = 6

∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = 6 টি।

৩৫.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও ভূমি যথাক্রমে 10 সে.মি. এবং 8 সে.মি. হলে, অতিভুজ ও উচ্চতার সমষ্টি কত?

ক
23 সে.মি.
খ
18 সে.মি.
গ
16 সে.মি.
ঘ
20 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও ভূমি যথাক্রমে 10 সে.মি. এবং 8 সে.মি. হলে, অতিভুজ ও উচ্চতার সমষ্টি কত?

সমাধান;
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
অতিভুজ² = ভুমি² + লম্ব²
⇒ 10² = 8² + লম্ব²
⇒ লম্ব² = 100 - 64
⇒ লম্ব² = 36
∴ লম্ব = 6 সে.মি.

∴ অতিভুজ ও উচ্চতার সমষ্টি = 10 + 6 = 16 সে.মি.

৩৬.

সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ 140° হলে কর্ণের সংখ্যা কত?

ক
22 টি
খ
24 টি
গ
27 টি
ঘ
30 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ 140° হলে কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = 360°/(180° - অন্তঃকোণ)
= 360°/(180° - 140°)
= 360°/40°
= 9 টি

∴ কর্ণের সংখ্যা = {9(9 - 3)}/2
= 54/2
= 27 টি

৩৭.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ৭ সে. মি. এবং অতিভুজ ২৫ সে. মি. হলে এর অর্ধপরিসীমা কত?

ক
২৮ সে. মি.
খ
৩৪ সে. মি.
গ
২৬ সে. মি.
ঘ
৫২ সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ৭ সে. মি. এবং অতিভুজ ২৫ সে. মি. হলে এর অর্ধপরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজে, ভূমি ৭ সে. মি. এবং অতিভুজ ২৫ সে. মি.

পাইথাগোরাসের সূত্র অনুসারে,
⇒ অতি^২ = ভূমি^২ + লম্ব^২
⇒ লম্ব^২ = ২৫^২ - ৭^২
⇒ লম্ব^২ = ৬২৫ − ৪৯
⇒ লম্ব^২ = ৫৭৬
⇒ লম্ব = √৫৭৬
∴ লম্ব = ২৪

∴ পরিসীমা = ৭ + ২৫ + ২৪ = ৫৬ সে. মি.
∴ অর্ধপরিসীমা = ৫৬/২ = ২৮ সে. মি.

৩৮.

একটি সিলিন্ডারের ব্যাস ১৪ মিটার এবং উচ্চতা ৭/২ মিটার। যদি ধাতুর মূল্য প্রতি ঘনমিটার ২৫ টাকা হয়, তবে সিলিন্ডারটির মূল্য কত?

ক
১৩,৪৭৫ টাকা
খ
১৩,৮৫৫ টাকা
গ
১৪,২৩৫ টাকা
ঘ
১৫,৭৭৫ টাকা
ঙ
কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাস ১৪ মিটার এবং উচ্চতা ৭/২ মিটার। যদি ধাতুর মূল্য প্রতি ঘনমিটার ২৫ টাকা হয়, তবে সিলিন্ডারটির মূল্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাস = ১৪ মিটার
∴ সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ = ১৪/২ = ৭ মিটার
সিলিন্ডারের উচ্চতা, h = ৭/২ মিটার
প্রতি ঘনমিটারে খরচ = ২৫ টাকা

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন, V = πr²h ঘনমিটার
= (২২/৭) × (৭)^২ × (৭/২)
= (২২/৭) × ৪৯ × (৭/২)
= ১১ × ৭ × ৭
= ৫৩৯ ঘনমিটার

∴ মোট খরচ = আয়তন × প্রতি ঘনমিটারে খরচ = ৫৩৯ × ২৫ = ১৩,৪৭৫ টাকা

∴ সিলিন্ডারটির মূল্য ১৩,৪৭৫ টাকা

৩৯.

সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তকোণ ১৬০° হলে কর্ণের সংখ্যা কত?

ক
২০ টি
খ
৬৫ টি
গ
৯৬ টি
ঘ
১৩৫ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তকোণ ১৬০° হলে কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/(১৮০° - অন্তঃকোণ)
= ৩৬০°/(১৮০° - ১৬০°)
= ৩৬০°/২০°
= ১৮ টি

∴ কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২
= {১৮(১৮ - ৩)}/২
= ২৭০/২
= ১৩৫ টি

৪০.

একটি ঘনকের ধার ৫ সে.মি হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক কত?

ক
ক) ১৫০ বর্গসে.মি.
খ
খ) ২৫ বর্গসে.মি.
গ
গ) ৭৫ বর্গসে.মি.
ঘ
ঘ) ৬২.৫ বর্গসে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের ধার ৫ সে.মি হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ঘনকের ধার a একক হলে তাহলে তার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গএকক

তাহলে,
ঘনকের ধার ৫ সে.মি হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = ৬ × ৫² বর্গসে.মি.
= ৬ × ২৫ বর্গসে.মি.
= ১৫০ বর্গসে.মি.

সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক = ১৫০/২
= ৭৫ বর্গসে.মি.

৪১.

সুষম পঞ্চভুজের কোণগুলোর সমষ্টি সমান কত সমকোণ?

ক
৪ সমকোণ
খ
৫ সমকোণ
গ
৮ সমকোণ
ঘ
৬ সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সুষম পঞ্চভুজের কোণগুলোর সমষ্টি সমান কত সমকোণ?

সমাধান:
পঞ্চভূজের কোণগুলোর সমষ্টি = (৫ - ২) × ১৮০°
= ৫৪০°
= ৫৪০°/৯০°
= ৬ সমকোণ ।

৪২.

অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা কয়টি?

ক
৯টি
খ
১৬টি
গ
২০টি
ঘ
২৪টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2

∴ অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা হবে = {8(8 - 3)}/2
= (8 × 5)/2
= 20

৪৩.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ আঁকা হলো যার সমান সমান বাহুর অন্তর্ভুক্ত কোণ হলো একটি সুষম বহুভুজের বহিঃস্থ কোণের সমষ্টির এক চতুর্থাংশের সমান। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 128 বর্গ মিটার হলে, এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 8 মিটার
খ
খ) 16 মিটার
গ
গ) 24 মিটার
ঘ
ঘ) 18.85 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ আঁকা হলো যার সমান সমান বাহুর অন্তর্ভুক্ত কোণ হলো একটি সুষম বহুভুজের বহিঃস্থ কোণের সমষ্টির এক চতুর্থাংশের সমান। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 128 বর্গ মিটার হলে, এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
সুষম বহুভূজের বহিঃস্থ কোণের সমষ্টির এক চতুর্থাংশ = 360°/4 = 90°
অর্থাৎ ত্রিভূজটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজ

∴ ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমান বাহু²
সমান বাহু = √(2 × ক্ষেত্রফল)
= √(2 × 128)
= 16

৪৪.

একটি সুষম ষড়ভুজের একটি বহিঃস্থ কোণ কত?

ক
40°
খ
30°
গ
45°
ঘ
60°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের একটি বহিঃস্থ কোণ কত?

সমাধান:
এখানে, বাহু সংখ্যা, n = 6
বহিঃস্থ কোণ = 360°/6
= 60°

∴ একটি সুষম অষ্টভুজের বহিঃস্থ কোণ 60°।

৪৫.

তানভীর গাছ থেকে কাঁঠাল পাড়ার জন্য ১৩ ফুট লম্বা একটি মই ব্যবহার করছে। সে মইটিকে গাছের গোড়া থেকে ৫ ফুট দূরে স্থাপন করল। মইটি গাছের কত উচ্চতা পর্যন্ত পৌঁছাবে?

ক
ক) ১০ ফুট
খ
খ) ১১ ফুট
গ
গ) ১২ ফুট
ঘ
ঘ) ১৩ ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তানভীর গাছ থেকে কাঁঠাল পাড়ার জন্য ১৩ ফুট লম্বা একটি মই ব্যবহার করছে। সে মইটিকে গাছের গোড়া থেকে ৫ ফুট দূরে স্থাপন করল। মইটি গাছের কত উচ্চতা পর্যন্ত পৌঁছাবে?

সমাধান:

উচ্চতা h = √(১৩^২ - ৫^২) ফুট
= √(১৬৯ - ২৫) ফুট
= √(১৪৪) ফুট
= ১২ ফুট

৪৬.

একটি গুদামঘরকে নবায়ন করার সময় এর দৈর্ঘ্য ৩০% ও প্রস্থ ৫০% বাড়ানো হলো কিন্তু উচ্চতা ২০% কমানো হলো। নবায়নকৃত গুদামঘরের আয়তন পুরনো গুদামঘরের আয়তন থেকে শতকরা কত অংশ বেশি?

ক
ক) ৪৪%
খ
খ) ৪৫%
গ
গ) ৫০%
ঘ
ঘ) ৫৬%

ব্যাখ্যা

ধরি, গুদাম ঘরের দৈর্ঘ্য x একক, প্রস্থ y একক এবং উচ্চতা z একক।
∴ গুদাম ঘরের আয়তন = xyz ঘন একক
৩০% বৃদ্ধিতে দৈর্ঘ্য (x + x এর ৩০/১০০) = (x + ৩x/10) = ১৩x/১০ একক
৫০% বৃদ্ধিতে প্রস্থ (y + y এর ৫০/১০০) = (y + y/২) = ৩y/২ একক
২০% হ্রাসে উচ্চতা (z - z এর ২০/১০০) = (z - z/৫) = ৪z/৫ একক
∴ গুদাম ঘরের নতুন আয়তন = (১৩x/১০ × ৩y/২ × ৪z/৫) ঘন একক
= ৩৯xyz/২৫ ঘন একক
∴আয়তন বৃদ্ধি পায় (৩৯xyz/২৫ - xyz) ঘন একক
= ১৪xyz/২৫ ঘন একক
∴ নতুন গুদাম ঘরের আয়তন পুরনো গুদাম ঘরের আয়তনের
{(১৪xyz/২৫)/xyz} × ১০০
= ৫৬%

৪৭.

১৩ মিটার লম্বা একটি মই খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে ১২ মিটার উচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত?

ক
৫ মিটার
খ
৭ মিটার
গ
৮ মিটার
ঘ
৬ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৩ মিটার লম্বা একটি মই খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে ১২ মিটার উচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
মই এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব = ক মিটার
তাহলে, পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
১৩^২ = ১২^২ + ক^২
⇒ ক^২ = ১৬৯ - ১৪৪
⇒ ক^২ = ২৫
∴ ক = ৫ মিটার

৪৮.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্ব যথাক্রমে ১২ সে.মি. ও ৫ সে.মি.। উহার অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ক
125 বর্গসে.মি.
খ
136 বর্গসে.মি.
গ
144 বর্গসে.মি.
ঘ
169 বর্গসে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্ব যথাক্রমে ১২ সে.মি. ও ৫ সে.মি.। উহার অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব = 5 সে.মি.
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = 12 সে.মি.

আমরা জানি,
(অতিভুজ)² = লম্ব² + ভূমি²
⇒ (অতিভুজ)² = 5² + 12²
⇒ (অতিভুজ)² = 25 + 144
⇒ (অতিভুজ)² = 169
⇒ অতিভুজ = √169
∴ অতিভুজ = 13

∴ অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (13)²
= 169 বর্গসে.মি.

৪৯.

সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তকোণ ১৪৪° হলে কর্ণের সংখ্যা কত?

ক
১২ টি
খ
২৪ টি
গ
৩৫ টি
ঘ
৩৬ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তকোণ ১৪৪° হলে কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/(১৮০° - অন্তঃকোণ)
= ৩৬০°/(১৮০° - ১৪৪°)
= ৩৬০°/৩৬°
= ১০ টি

∴ কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২
= {১০(১০ - ৩)}/২
= ৭০/২
= ৩৫ টি

৫০.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য লম্ব অপেক্ষা ১ মিটার কম এবং লম্ব অপেক্ষা অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১ মিটার বেশি হলো অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত মিটার।

ক
৪
খ
৫
গ
৬
ঘ
৭
ঙ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য লম্ব অপেক্ষা ১ মিটার কম এবং লম্ব অপেক্ষা অতিভুজ ১ মিটার বেশি হলে, ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
সমকোণী ত্রিভুজের লম্বের দৈর্ঘ্য = ক মিটার
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য = (ক - ১) মিটার
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য = (ক + ১) মিটার

আমরা জানি,
অতিভুজ^২= লম্ব^২ + ভূমি^২
⇒ (ক + ১)^২ = (ক - ১)^২ + ক^২
⇒ ক^২+ ২ক + ১ = ক^২ - ২ক + ১ + ক^২
⇒ ক^২ - ৪ক = ০
⇒ ক(ক - ৪) = ০

হয়
ক ≠ ০ [ত্রিভুজের লম্ব কখনো শূন্য হতে পারে না]

অথবা
ক - ৪ = ০
⇒ ক = ৪

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য = (৪ + ১)মিটার = ৫ মিটার

৫১.

কোন সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৩০ বর্গসে.মি., অতিভুজ ১৩ সে.মি. হলে পরিসীমা কত?

ক
১৭ সে.মি.
খ
২২ সে.মি.
গ
২৮ সে.মি.
ঘ
৩০ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৩০ বর্গসে.মি., অতিভুজ ১৩ সেমি হলে পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি, অপর দুটি বাহু a, b মিটার

(1/2)ab = 30
⇒ ab = 60

a² + b² = 13²
⇒ (a + b)² - 2ab = 169
⇒ (a + b)² = 169 + (2 × 60)
⇒ (a + b)² = 289
∴ a + b = 17

পরিসীমা = 17 + 13 সেমি = 30 সে.মি.

৫২.

একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

ক
135°
খ
115°
গ
155°
ঘ
160°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত = 9 : 10 : 12 : 14 : 15
∴ পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাতের যোগফল = (9 + 10 + 12 + 14 + 15)
= 60

আমরা জানি,
একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (5 - 2) × 180°
= 540°

∴ বৃহত্তম কোণের মান = 540° × (15/60)
= 135° ।

৫৩.

একটি পঞ্চভুজের কৌণিক বিন্দুগুলো সংযোগে উৎপন্ন ত্রিভুজের সংখ্যা কত?

ক
8 টি
খ
10 টি
গ
12 টি
ঘ
18 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের কৌণিক বিন্দুগুলো সংযোগে উৎপন্ন ত্রিভুজের সংখ্যা কত?

সমাধান:
পঞ্চভুজের শীর্ষবিন্দু = 5টি
আমরা জানি,
ত্রিভুজ গঠনের জন্য 3টি শীর্ষবিন্দু প্রয়োজন।

এখন,
পঞ্চভুজের 5টি বিন্দু থেকে 3টি বিন্দু নিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা = ⁵C₃
= 5!/3!(5 - 3)!
= 5!/(3! × 2!)
= (5 × 4 × 3!)/(3! × 2 × 1)
= 20/2
= 10

∴ উৎপন্ন ত্রিভুজের সংখ্যা 10টি।

৫৪.

সূর্যাস্তের সময় একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য 4 মিটার। গাছটির শীর্ষ ও ছায়ার শীর্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব 2√5 মিটার হলে, গাছটির উচ্চতা কত?

ক
4 মিটার
খ
5 মিটার
গ
3 মিটার
ঘ
2 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সূর্যাস্তের সময় একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য 4 মিটার। গাছটির শীর্ষ ও ছায়ার শীর্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব 2√5 মিটার হলে, গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
গাছটির উচ্চতা = √{(2√5)² - 4²} মিটার
= √(20 - 16) মিটার
= √4 মিটার
= 2 মিটার

৫৫.

যদি একটি পঞ্চভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩ সে.মি., ৩.৫ সে.মি., ৪ সে.মি., ৫ সে.মি., এবং ৬ সে.মি. হয়, তাহলে পঞ্চভুজটির পরিসীমা কত?

ক
২০ সে.মি.
খ
২০.৫ সে.মি.
গ
২১.৫ সে.মি.
ঘ
২২.৫ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি একটি পঞ্চভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩ সে.মি., ৩.৫ সে.মি., ৪ সে.মি., ৫ সে.মি., এবং ৬ সে.মি. হয়, তাহলে পঞ্চভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
পঞ্চভুজটির পরিসীমা = ৩ + ৩.৫ + ৪ + ৫ + ৬ সে.মি.
= ২১.৫ সে.মি.

৫৬.

দেয়ালে একটি মই এমনভাবে স্থাপন হলো যেন দেয়ালের নিচ হতে মইয়ের দূরত্ব ২.৫ মিটার। ভূমি হতে মইটি ৬ মিটার উঁচু একটি জানালাকে স্পর্শ। মইটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
৫.৬ মিটার
খ
৬.৫ মিটার
গ
৪২.২৫ মিটার
ঘ
৩৬ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দেয়ালে একটি মই এমনভাবে স্থাপন হলো যেন দেয়ালের নিচ হতে মইয়ের দূরত্ব ২.৫ মিটার। ভূমি হতে মইটি ৬ মিটার উঁচু একটি জানালাকে স্পর্শ। মইটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

মইটির দৈর্ঘ্য = √ {৬২ + (২.৫২)}
= √(৩৬ + ৬.২৫)
= √৪২.২৫
= ৬.৫ মিটার

৫৭.

কোন সুষম বহুভুজের অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের মানের অনুপাত ৭ : ২ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

ক
১৮টি
খ
৬টি
গ
১২টি
ঘ
৯টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সুষম বহুভুজের অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের মানের অনুপাত ৭ : ২ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৭ক
বহিঃস্থ কোণ = ২ক

প্রশ্নমতে,
৭ক + ২ক = ১৮০°
⇒ ৯ক = ১৮০°
∴ ক = ২০°

∴ বহিঃস্থ কোণ = ২ক = ২ × ২০° = ৪০°
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৪০°
= ৯টি

৫৮.

ক
২২৫ বর্গসে.মি.
খ
১৪৪ বর্গসে.মি.
গ
১২১ বর্গসে.মি.
ঘ
১৬৯ বর্গসে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্ব যথাক্রমে ১২ সে.মি. ও ৫ সে.মি.। উহার অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সমকোণী ‍ত্রিভুজের লম্ব = 5 সে.মি.
সমকোণী ‍ত্রিভুজের ভূমি =12 সে.মি.

আমরা জানি,
(অতিভুজ)² = লম্ব² + ভূমি²
⇒ (অতিভুজ)² = 5² + 12²
⇒ (অতিভুজ)² = 25 + 144
⇒ (অতিভুজ)² =169
⇒ (অতিভুজ)² = 13²
⇒ (অতিভুজ) = 13

অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 13² = 169 বর্গ সে.মি.

৫৯.

একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্য 3 সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
7.5√3
খ
9√3
গ
13.5√3
ঘ
17√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্য 3 সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ষড়ভুজের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্য, a = 3 সে.মি.
বাহুর সংখ্যা, n = 6

আমরা জানি,
সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = {(na²)/4}cot(180°/n)
= {6 × 3²)/4}cot(180°/6)
= (54/4)cot30°
= 13.5√3

৬০.

একটি ঘনকের আয়তন ১৭২৮ ঘন সে.মি. হলে ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ১২ সে.মি.
খ
খ) ২৪√৩ সে.মি.
গ
গ) ৬√৩ সে.মি.
ঘ
ঘ) ১২√৩ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ১৭২৮ ঘনসে.মি. হলে ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে এর আয়তন a³ ঘনএকক

শর্তমতে,
a³ = ১৭২৮
∴ a = ১২

ঘনকটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি.

ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে ১২√৩ সে.মি.

৬১.

যদি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সন্নিহিত বাহু দুটির দৈর্ঘ্য ৬ ফুট ও ৮ ফুট হলে এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ৭ফুট
খ
খ) ১০ফুট
গ
গ) ৯ফুট
ঘ
ঘ) ১৩ফুট
ঙ
ঙ) ১৫ফুট

ব্যাখ্যা

অতিভুজ = √(ভূমি^২ + লম্ব^২)
= √(৮^২ + ৬^২)
= √(৬৪ + ৩৬)
= ১০

৬২.

একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ হলে, বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত হবে?

ক
১৪ সমকোণ
খ
১২ সমকোণ
গ
১৫ সমকোণ
ঘ
১৬ সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ হলে, বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ = (n - 2) × 180⁰
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ টি
∴ বহুভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি = (৯ - ২) × ১৮০⁰
= ৭ × ১৮০⁰
= ১২৬০⁰
= ১২৬০⁰/ ৯০⁰ সমকোণ
= ১৪ সমকোণ

৬৩.

একটি সুষম ষড়ভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
18√3 বর্গ সে.মি.
খ
32√3 বর্গ সে.মি.
গ
42√3 বর্গ সে.মি.
ঘ
24√3 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
মনে করি,
সুষম ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 4 সে.মি.
এবং
বাহুর সংখ্যা, n = 6

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল = (na²/4)cot(180°/n)
= {(6 × 4²)/4}Cot(180°/6) বর্গ সে.মি.
= {(6 × 16)/4}Cot30° বর্গ সে.মি.
= (6 × 4)Cot30° বর্গ সে.মি.
= 24Cot30° বর্গ সে.মি.
= 24√3 বর্গ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল = 24√3 বর্গ সে.মি.।

৬৪.

একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

ক
৯০°
খ
১০৫°
গ
১২০°
ঘ
১৪৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
এখানে,
বাহুর সংখ্যা n = ৬

আমরা জানি,
অন্তস্থ কোণ θ = ১৮০° - (৩৬০°/n)
= ১৮০° - (৩৬০°/৬)
= ১৮০° - ৬০°
= ১২০°

৬৫.

সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ কত?

ক
8 সমকোণ
খ
12 সমকোণ
গ
16 সমকোণ
ঘ
18 সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে,
অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
∴ সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (6 - 2) × 180°
= 4 × 180°

∴ অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ = 2 (4 × 180)°
= 8 × 180°
= 8 × 2 সমকোণ
= 16 সমকোণ ।

৬৬.

একটি মই ৫ মিটার লম্বা। একটি দেয়াল থেকে ৩ মিটার দূরে মইয়ের গোড়াটি রাখলে মইটি দেয়ালের কত উচ্চতায় পৌছাবে?

ক
৮ মিটার
খ
৫.৮৩ মিটার
গ
৪ মিটার
ঘ
১৬ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মই ৫ মিটার লম্বা। একটি দেয়াল থেকে ৩ মিটার দূরে মইয়ের গোড়াটি রাখলে মইটি দেয়ালের কত উচ্চতায় পৌছাবে?

সমাধান:

দেয়ালের উচ্চতা = √(৫^২ - ৩^২) = √(২৫ - ৯) = √১৬ = ৪ মিটার

৬৭.

একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা নির্ণয় করুন যার সকল অন্তঃকোণের সমষ্টি 2160°।

ক
12
খ
13
গ
14
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা নির্ণয় করুন যার সকল অন্তঃকোণের সমষ্টি 2160°।

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ = (n - 2) × 180°

প্রশ্নমতে,
(n - 2) × 180° = 2160°
⇒ n - 2 = 2160°/180°
⇒ n - 2 = 12
∴ n = 14

৬৮.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১০ ফুট এবং লম্ব ৬ ফুট হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত হবে?

ক
৮ মিটার
খ
১৬ ফুট
গ
৮ ফুট
ঘ
১২ ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১০ ফুট এবং লম্ব ৬ ফুট হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১০ ফুট
এবং লম্ব ৬ ফুট

আমরা জানি,
লম্ব^২+ ভূমি^২ = অতিভুজ^২
বা, ৬^২+ভূমি^২= ১০^২
বা, ৩৬ + ভূমি^২ = ১০০
বা, ভূমি^২ = ১০০ - ৩৬
বা, ভূমি = √৬৪
∴ ভূমি = ৮

তাহলে, ভূমির দৈর্ঘ্য ৮ ফুট

৬৯.

সুষম অষ্টভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

ক
80°
খ
75°
গ
60°
ঘ
45°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সুষম অষ্টভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
সুষম অষ্টভুজের বহিঃস্থকোণের সমষ্টি =360°
সুষম অষ্টভুজের প্রতিটি বহিঃস্থকোণ = 360°/8
= 60°

৭০.

একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ হলে, বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

ক
২৭ টি
খ
১৪ টি
গ
১৬ টি
ঘ
২০ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ হলে, বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

^{সমাধান:}
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে, কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২
= ৯(৯ - ৩)/২
= ২৭ টি

৭১.

সুষম ষড়ভুজের একটি বহিঃস্থ কোণ কত?

ক
৫৫°
খ
৮০°
গ
৬০°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সুষম ষড়ভুজের একটি বহিঃস্থ কোণ কত?

সমাধান:
এখানে,
বাহু সংখ্যা, n = 6

∴ বহিঃস্থ কোণ = 360°/6
= 60°

৭২.

একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার হলে ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
২√৩ বর্গমিটার
খ
৬√৩ বর্গমিটার
গ
১২√৩ বর্গমিটার
ঘ
২৪√৩ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার হলে ষড়ভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
সুষম ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ২ মিটার
বাহুর সংখ্যা, n = ৬

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল = {(n × a^২)/৪} × cot(১৮০°/n)
∴ সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = {৬ × ২^২)/৪} × cot(১৮০°/৬) বর্গমিটার
= ৬ × cot৩০° বর্গমিটার
= ৬√৩ বর্গমিটার

∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল ৬√৩ বর্গমিটার।

৭৩.

একটি 10 মিটার দীর্ঘ মই একটি প্রাচীরের উপর রাখা হয় যাতে মাটির উপর থেকে ঠিক 6 মিটার উঁচু একটি জানালায় পৌঁছানো যায়। প্রাচীর থেকে মই এর গোড়ার দূরত্ব কত?

ক
9 মিটার
খ
7 মিটার
গ
8 মিটার
ঘ
6 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি 10 মিটার দীর্ঘ মই একটি প্রাচীরের উপর রাখা হয় যাতে মাটির উপর থেকে ঠিক 6 মিটার উঁচু একটি জানালায় পৌঁছানো যায়। প্রাচীর থেকে মই এর গোড়ার দূরত্ব কত?

সমাধান:
প্রাচীর থেকে মই এর গোড়ার দূরত্ব = √(10² - 6²) মিটার
= √(100 - 36) মিটার
= √64 মিটার
= 8 মিটার

৭৪.

ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B এক সমকোণ। BC : AB = 4 : 3 এবং AC = 25 সে.মি. হলে BC = কত?

ক
ক) 15 সে.মি.
খ
খ) 20 সে.মি.
গ
গ) 18 সে.মি.
ঘ
ঘ) 22 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B এক সমকোণ। BC : AB = 4 : 3 এবং AC = 25 সে.মি. হলে BC = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
BC : AB = 4 : 3

ধরি,
BC = 4x সে.মি. এবং AB = 3x সে.মি.
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে পাই,

BC = 4 × 5 সে.মি. = 20 সে.মি.

৭৫.

একটি সমকোণী ত্রিভুজাকৃতি জমির অতিভুজ ১০ মিটার এবং এক বাহু ৮ মিটার হলে, ঐ জমির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ২৪ বর্গ মিটার
খ
খ) ২৮ বর্গ মিটার
গ
গ) ৩৬ বর্গ মিটার
ঘ
ঘ) ২০ বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
বা, 10² = 8² + ভূমি²
∴ ভূমি = 6 মিটার
সুতরাং ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা = (1/2) × 8 × 6 = 24 বর্গ মিটার

৭৬.

একটি সুষম ষড়ভুজে কয়টি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ থাকে?

ক
ক) ৬ টি
খ
খ) ২ টি
গ
গ) ১ টি
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

একটি সুষম ষড়ভুজে কোনো সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ থাকে না। ষড়ভুজে ৬ টি সমবাহু ত্রিভুজ থাকে।

৭৭.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. ছোট, কিন্তু অতিভুজ, ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. বড়। ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 10 সে.মি.
খ
খ) 8 সে.মি.
গ
গ) 6 সে.মি.
ঘ
ঘ) 12 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. ছোট, কিন্তু অতিভুজ, ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. বড়। ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ভূমি = x = সে.মি.
লম্ব = x - 2 সে.মি.
অতিভুজ = x + 2 সে.মি.

সুতরাং,
(x + 2)² = x² + (x - 2)²
বা, x² + 4x + 4 = x² + x² - 4x + 4
বা, x² - 8x = 0
বা, x(x - 8) = 0
হয় x = 0 অথবা x - 8 = 0
যা অসম্ভব। ∴ x = 8

∴ ভূমি 8 সে.মি.

৭৮.

একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্ত:স্থ কোণ ১৭২°। বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

ক
৪০ টি
খ
৪২ টি
গ
৪৫ টি
ঘ
৪৮ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্ত:স্থ কোণ ১৭২°। বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্ত:স্থ কোণ = ১৭২°
∴ বহুভুজটির বহিঃস্থ কোণ = ১৮০° - ১৭২° = ৮°

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৮°
= ৪৫ টি

৭৯.

একটি 17 মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত দেয়াল থেকে 8 মিটার দূরে থাকলে, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের কত উচ্চতায় স্পর্শ করেছে?

ক
13 মিটার
খ
15 মিটার
গ
21 মিটার
ঘ
25 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি 17 মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত দেয়াল থেকে 8 মিটার দূরে থাকলে, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের কত উচ্চতায় স্পর্শ করেছে?

সমাধান:

ধরি, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের x মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।
দেওয়া আছে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = 17 মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব = 8 মিটার
দেয়ালের উচ্চতা, AB = x

যেহেতু দেয়াল মাটির সাথে 90° কোণ উৎপন্ন করে,
∴ পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(দেয়ালের উচ্চতা)² + (দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব)² = (মইয়ের দৈর্ঘ্য)²⇒ x² + 8² = 17²⇒ x² + 64 = 289
⇒ x² = 289 - 64
⇒ x² = 225
⇒ x = √225
⇒ x = 15

∴ মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের 15 মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

৮০.

একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৫০° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে-

ক
৯টি
খ
১০টি
গ
১৫টি
ঘ
১২টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৫০° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে-

সমাধান:
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৫০°।
সুতরাং সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = ১৮০° - ১৫০°
= ৩০°
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°
সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/৩০° = ১২টি

সুতরাং, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা ১২টি।

৮১.

একটি সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ১২ হলে, প্রত্যেকটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ কত?

ক
ক) ১৫°
খ
খ) ২০°
গ
গ) ২৫°
ঘ
ঘ) ৩০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ১২ হলে, প্রত্যেকটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের মোট বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৩৬০°

সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = মোট বহিঃস্থ কোণের সংখ্যা

তাহলে, মোট বহিঃস্থ কোণের সংখ্যা = ১২
প্রত্যেকটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৩৬০°/১২ = ৩০°

৮২.

একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৫ : ১ হলে, বহুভুজটি হবে-

ক
ষড়ভুজ
খ
অষ্টভুজ
গ
দশভুজ
ঘ
দ্বাদশভুজ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৫ : ১ হলে, বহুভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৫ক
বহিঃস্থ কোণ = ক

প্রশ্নমতে,
৫ক + ক = ১৮০°
⇒ ৬ক = ১৮০°
∴ ক = ৩০°

এখানে,
অন্তঃস্থ কোণ = (৫ × ৩০°) = ১৫০°
বহিঃস্থ কোণ = ৩০°
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৩০° = ১২ টি

সুতরাং, বহুভুজটি হবে দ্বাদশভুজ।

৮৩.

সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ কত?

ক
২ সমকোণ
খ
৪ সমকোণ
গ
৮ সমকোণ
ঘ
১৬ সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (6 - 2) × 180°
= 4 × 180°

অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ = 2(4 × 180°)
= 8 × 180°
= 8 × 2 সমকোণ
= 16 সমকোণ

৮৪.

'সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্ণক্ষেত্রের আয়তন অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র দুটির আয়তনের সমান'-এই সূত্রের উদ্ভাবক কে?

ক
নিউটন
খ
গালিলিও
গ
আইনস্টাইন
ঘ
পিথাগোরাস

ব্যাখ্যা

'সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্ণক্ষেত্রের আয়তন অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র দুটির আয়তনের সমান'-এই সূত্রের উদ্ভাবক কে?
এই প্রশ্নের ভাষাগত ত্রুটি আছে।
প্রশ্নটি হওয়ার কথা' সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্ণক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র দুটির ক্ষেত্রফলের সমান'

- এই সূত্রের উদ্ভাবক পিথাগোরাস।

কোনো সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি a, উচ্চতা ৮ এবং অতিভুজ c হলে
পিথাগোরাসে সূত্রানুসারে
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
c² = a² + b²

৮৫.

সপ্তভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত সমকোণ?

ক
৯ সমকোণ
খ
৮ সমকোণ
গ
১২ সমকোণ
ঘ
১০ সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সপ্তভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত সমকোণ?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (২n - ৪) সমকোণ।
সুতরাং সুষম সপ্তভুজের ৭ কোণের সমষ্টি = (২ × ৭ - ৪) সমকোণ
= (১৪ - ৪) × ৯০°
= ১০ × ৯০°

অর্থাৎ, সুষম সপ্তভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি ১০ সমকোণ।

৮৬.

17 মিটার লম্বা একটি মই দেয়ালের সাথে খাড়াভাবে আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূর সরালে উপরের প্রান্ত 2 মিটার নিচে নামবে?

ক
7 মিটার
খ
5 মিটার
গ
8 মিটার
ঘ
9 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 17 মিটার লম্বা একটি মই দেয়ালের সাথে খাড়াভাবে আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূর সরালে উপরের প্রান্ত 2 মিটার নিচে নামবে?

সমাধান:

ধরি,
AC মইয়ের গোড়া C থেকে D বিন্দুতে সরালে উপরের প্রান্ত A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে 2 মিটার নামবে।
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = BD = 17 মিটার
এবং AB = 2 মিটার
∴ BC = 17 - 2 = 15 মিটার

এখন,
BC² + CD² = BD² [যেহেতু ∠C = 90°]
⇒ CD² = BD² - BC²
⇒ CD² = (17)² - (15)²
⇒ CD² = 289 - 225
⇒ CD² = 64
∴ CD = 8 মিটার

∴ মইটির গোড়া দেয়াল থেকে 8 মিটার দূরে সরাতে হবে।

৮৭.

একটি মোটর সাইকেল ৯ কি.মি. পূর্বদিকে যায় তারপর ৪০ কি.মি. উত্তরদিকে যায়। যাত্রাস্থান থেকে মোটর সাইকেলটির সর্বশেষ অবস্থানের সরাসরি দূরত্ব কত?

ক
৪১ কি.মি.
খ
৪৯ কি.মি.
গ
২৮ কি.মি.
ঘ
৩৭ কি.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মোটর সাইকেল ৯ কি.মি. পূর্বদিকে যায় তারপর ৪০ কি.মি. উত্তরদিকে যায়। যাত্রাস্থান থেকে মোটর সাইকেলটির সর্বশেষ অবস্থানের সরাসরি দূরত্ব কত?

সমাধান:

যাত্রাস্থান থেকে মোটর সাইকেলের সরাসরি দূরত্ব = √(৯^২ + ৪০^২)
= √(৮১ + ১৬০০)
= √১৬৮১
= ৪১ কিলোমিটার

৮৮.

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ মিটার হলে অতিভুজের মান কত?

ক
ক) ৬ মিটার
খ
খ) ৫ মিটার
গ
গ) ৮ মিটার
ঘ
ঘ) ৭ মিটার

ব্যাখ্যা

অতিভুজ = √(৩²+৪²)
= √(৯+১৬)
= √২৫
= ৫ মিটার

৮৯.

একটি ত্রিভুজের একটি কোণ ৮০ ডিগ্রি। বাকি দুটি কোণের অনুপাত হচ্ছে ১ঃ৯ হলে, ত্রিভুজটি কি ধরণের ত্রিভুজ?

ক
ক) সমকোণী
খ
খ) স্থুলকোণী
গ
গ) সমবাহু
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

ধরি, বাকি দুটি কোণ x ও 9x
প্রশ্নমতে,
x + 9x + 80 = 180
বা, 10x = 180 - 80
বা, 10x = 100
বা, x = 10
যেহেতু অপর কোণদ্বয়ের একটি কোণ = ৯×১০ = ৯০ ডিগ্রি। সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।

৯০.

ABCD রম্বসের AB এবং CD কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে যেখানে AC = 6 সে.মি, BD = 8 সে.মি তবে, AB = ?

ক
ক) 6 সে.মি
খ
খ) 5 সে.মি
গ
গ) 4 সে.মি
ঘ
ঘ) 3 সে.মি

ব্যাখ্যা

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে
∴ < AOB = 90°

আবার,
OA = 1/2 AC
= 1/2 × 6 = 3cm,
OB = 1/2 BD
= 1/2 × 8 = 4

∴ AB = √(OA² + OB²)
= √(3² + 4²)
= √25
= 5cm

৯১.

বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 20 সে.মি হলে, বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

ক
20 গুণ
খ
1/4 গুণ
গ
5 গুণ
ঘ
10 গুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 20 সে.মি হলে, বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

সমাধান:
ব্যাসার্ধ r = 20 সে.মি,
উচ্চতা h হলে,
আমরা জানি,
বেলনের আয়তন, V = πr²h

এবং
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল, A = 2πrh

∴ আয়তন/বক্রতলের ক্ষেত্রফল = (πr²h)/(2πrh)
= r/2
= 20/2
= 10

∴ বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের 10 গুণ।

৯২.

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ a একক এবং অপর বাহুদ্বয়ের একটি b একক হলে, ৩য় বাহুটির দৈর্ঘ্য কত একক?

ক
2√(a² - b²)
খ
√(a² + b²)
গ
√(a² - b²)
ঘ
1/2√(a² - b²)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ a একক এবং অপর বাহুদ্বয়ের একটি b একক হলে, ৩য় বাহুটির দৈর্ঘ্য কত একক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ a একক
অপর বাহুদ্বয়ের একটি b একক

ধরি,
৩য় বাহুটির দৈর্ঘ্য = x

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে -
b² + x² = a²
বা, x² = a² - b²
∴ x = √(a² - b²)

৯৩.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 12 সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?

ক
3 সে.মি.
খ
2√3 সে.মি.
গ
1/√3 সে.মি.
ঘ
2 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 12 সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 12 সে.মি
ত্রিভুজটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 12/3 = 4 সে.মি

∴ উচ্চতা, AD = √(AB² - BD²)
= √(4² - 2²)
= √(16 - 4)
= √12
= √(3 × 4)
= 2√3

৯৪.

একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্ত:স্থ কোণ ১৫০°। বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

ক
১১ টি
খ
১২ টি
গ
১৩ টি
ঘ
১৫টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্ত:স্থ কোণ ১৫০°। বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্ত:স্থ কোণ = ১৫০°
∴ বহুভুজটির বহিঃস্থ কোণ = ১৮০° - ১৫০° = ৩০°

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৩০°
= ১২ টি

৯৫.

একটি সুষম হেক্সাগনের প্রতিটি অন্তঃকোণের মান কত?

ক
৬০°
খ
১০৮°
গ
৪৫°
ঘ
১২০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম হেক্সাগনের প্রতিটি অন্তঃকোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
হেক্সাগনের বাহুর সংখ্যা = ৬ টি
হেক্সাগনের একটি বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০°/৬
= ৬০°

∴ প্রতিটি অন্তঃকোণের মান = ১৮০° - ৬০°
= ১২০°

৯৬.

বৃত্তের কেন্দ্র হতে ২৪ সেঃমিঃ দীর্ঘ জ্যা এর উপর অংকিত লম্বের দৈর্ঘ্য ৫ সেঃমিঃ হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ-

ক
ক) ১৩
খ
খ) ১৪
গ
গ) ১৫
ঘ
ঘ) ১৬

ব্যাখ্যা

এখানে,
জ্যা AB = ২৪ সেঃমিঃ
∴ AC = ১/২ × AB
= ১/২ × ২৪
= ১২ সেঃমিঃ
কেন্দ্র O হতে অংকিত লম্ব OC = ৫
∴ ব্যাসার্ধ OA = √(AC)² + (OC)²
= √(১২² + ৫²)
= ১৩

৯৭.

একটি ষড়ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 3 : 4 : 5 : 6 : 8 : 10 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

ক
180°
খ
200°
গ
150°
ঘ
280°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 3 : 4 : 5 : 6 : 8 : 10 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
অনুপাতগুলোর যোগফল = 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 = 36

একটি ষড়ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (6 - 2) × 180°
= 720°

∴ বৃহত্তম কোণের মান = 720° × (10/36)
= 200°

৯৮.

একজন লোক একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে যাত্রা শুরু করে ৮ কিলোমিটার পশ্চিম দিকে গেল এবং সেখান থেকে ১৫ কিলোমিটার দক্ষিণ দিকে গেল। যাত্রা শেষে সে শুরুর স্থান থেকে কত দূরে থাকবে?

ক
১৩ কিলোমিটার
খ
৭ কিলোমিটার
গ
২৩ কিলোমিটার
ঘ
১৭ কিলোমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন লোক একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে যাত্রা শুরু করে ৮ কিলোমিটার পশ্চিম দিকে গেল এবং সেখান থেকে ১৫ কিলোমিটার দক্ষিণ দিকে গেল। যাত্রা শেষে সে শুরুর স্থান থেকে কত দূরে থাকবে?

সমাধান:

প্রদত্ত সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজের ধারণা ব্যবহার করতে পারি।

লোকটি প্রথমে ৮ কিলোমিটার পশ্চিম দিকে গেল। এটি ত্রিভুজের একটি বাহু।
এরপর ১৫ কিলোমিটার দক্ষিণ দিকে গেল। এটি ত্রিভুজের অপর বাহু।
যাত্রা শেষে তার শুরুর স্থান থেকে দূরত্ব হবে সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
অতিভূজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
বা, অতিভূজ^২ = ৮^২ + ১৫^২
বা, অতিভূজ^২ = ৬৪ + ২২৫
বা,অতিভূজ^২ = ২৮৯
বা,অতিভূজ = √২৮৯
বা, অতিভূজ = ১৭

∴ দূরত্ব = ১৭ কিমি

সুতরাং, যাত্রা শেষে লোকটি তার শুরুর স্থান থেকে ১৭ কিলোমিটার দূরে থাকবে।

৯৯.

একটি পঞ্চভুজের অন্তঃকোণগুলোর অনুপাত 4 : 5 : 6 : 7 : 8 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?

ক
90°
খ
144°
গ
72°
ঘ
180°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অন্তঃকোণগুলোর অনুপাত 4 : 5 : 6 : 7 : 8 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান:
কোণগুলোর সমষ্টি = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30
পঞ্চভুজের 5 কোণের সমষ্টি = (5 - 2) × 180° = 3 × 180° =540°

∴ বৃহত্তম কোণ = (8/30) × 540° = 144°
এবং, ছোট কোণ = (4/30) × 540° = 72°

সুতরাং, পার্থক্য = 144° - 72° = 72°

১০০.

একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৮ হলে বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত হবে?

ক
৮ সমকোণ
খ
১০ সমকোণ
গ
১২ সমকোণ
ঘ
১৬ সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৮ হলে বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ = (n - 2) × 180⁰

বহুভুজের বাহুর সংখ্যা 8 টি
∴ বহুভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি = (8 - 2) × 180⁰
= 6 × 180⁰
= 1080⁰/ 90⁰ সমকোণ
= 12 সমকোণ