গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন:

সমাধান:

১, ২, ৩ সংখ্যাগুলোর গড় = ২
∴ পরিমিতি ব্যবধান = √[{(২-১)^২ + (২-২)^২ + (২-৩)^২}/৩]
= √(২/৩)

প্রশ্ন: কাবিল মিষ্টির দোকান থেকে প্রতি কেজি ২৫০ টাকায় ৩ কেজি সন্দেশ ক্রয় করল। যদি ভ্যাটের হার ১২% হয়, তবে সন্দেশ ক্রয়ের জন্য সে মোট কত টাকা দেবে?

সমাধান: 
১ কেজি সন্দেশের দাম = ২৫০ টাকা
∴ ৩ কেজি সন্দেশের দাম = (২৫০ × ৩) টাকা
= ৭৫০ টাকা

১০০ টাকায় ভ্যাট দেয় = ১২ টাকা
∴ ১ টাকায় ভ্যাট দেয় = ১২/১০০ টাকা
∴ ৭৫০ টাকায় ভ্যাট দেয় = (১২ × ৭৫০)/১০০ টাকা
= ৯০ টাকা

∴ কাবিল সন্দেশ ক্রয় বাবদ দোকানিকে দেবে = (৭৫০ + ৯০) টাকা
= ৮৪০ টাকা।

২০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকায় ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৪০,০০০ টাকায় ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৪০,০০০)/৮০
= ৫০,০০০ টাকা
∴ ২০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকায় বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৫০,০০০ টাকায় বিক্রয়মূল্য = (১২০ × ৫০০০০)/১০০
= ৬০,০০০ টাকা

প্রশ্ন: ত্রিভুজ ABC-তে ভরকেন্দ্র G, এবং ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গ একক। BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র ত্রিভুজকে সমান তিন ভাগে ভাগ করে। 
∴ BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/৩) × ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
= (১/৩) × ১২০ 
= ৪০ বর্গ একক। 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ১০% কমে, তবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত কমে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r 
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২

১০% কমলে নতুন ব্যাসার্ধ হবে = r - r এর ১০%
= r - ০.১r
= ০.৯r

ক্ষেত্রফল হবে = π(০.৯r)^২ 
= ০.৮১πr^২

∴ ক্ষেত্রফল কমে = πr^২ - ০.৮১πr^২
= ০.১৯πr^২

∴ ক্ষেত্রফল ১৯% কমে।

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৭ : ২ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
অন্তঃস্থ কোণ = ৭ক
∴ বহিঃস্থ কোণ = ২ক

প্রশ্নমতে, 
৭ক + ২ক = ১৮০° 
⇒ ৯ক = ১৮০° 
∴ ক = ২০° 
∴ বহিঃস্থ কোণ = (২ × ২০)°
= ৪০° 

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৪০°
= ৯ টি ।

প্রশ্ন: কোনো গ্রামের ২৫,০০০ জনসংখ্যার মধ্যে ১,৫০০ জন শিক্ষিত। ঐ গ্রামে শিক্ষিতের হার কত? 

সমাধান: 
গ্রামের ২৫,০০০ জনসংখ্যার মধ্যে শিক্ষিত = ১,৫০০ জন 
∴ গ্রামের ১ জনসংখ্যার মধ্যে শিক্ষিত = ১,৫০০/২৫,০০০ জন
∴ গ্রামের ১০০ জনসংখ্যার মধ্যে শিক্ষিত = (১,৫০০ × ১০০)/২৫,০০০ জন 
= ৬ জন 
∴ ঐ গ্রামে শিক্ষিতের হার = ৬%।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে y/6, y/6 এবং 8y/6 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = দুই সমকোণ = 180°
বা, y/6 + y/6 + 8y/6 = 180°
বা, (y + y + 8y)/6 = 180°
বা, 10y/6 = 180°
বা, 5y/3 = 180°
বা, 5y = 180° × 3
বা, y = (180° × 3)/5
∴ y = 108° 

∴ বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ হবে = 8y/6
= {(8 × 108)/6}°
= 144°

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দুইটি নল আছে। ১ম নল দ্বারা ২০ মিনিটে পূর্ণ হয় ও ২য় নল দ্বারা ৩০ মিনিটে চৌবাচ্চাটি খালি হতে পারে। দুইটি নল খোলা থাকা অবস্থায় চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/২০ অংশ
২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে খালি হয় চৌবাচ্চার ১/৩০ অংশ

∴ উভয় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার (১/২০ - ১/৩০) অংশ
= (৩ - ২)/৬০ অংশ
= ১/৬০ অংশ

এখন,
১/৬০ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ পূর্ণ হয় (১ × ৬০) মিনিটে
= ৬০ মিনিটে

প্রশ্ন: x² + y² = 8 এবং xy =7 হলে (x + y)² এর মান কত?

সমাধান:
x² + y² = 8
xy = 7

এখন
(x + y)² = x² + y² + 2xy 
= 8 + 2 × 7
= 8 + 14 
= 22

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 2a একক। উক্ত আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
এখানে, এক বাহু = a এবং অপর বাহু = 2a
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২)
∴ কর্ণ = √{a² + (2a)²}
⇒ কর্ণ = √(a² + 4a²)
⇒ কর্ণ = √(5a²)
⇒ কর্ণ = √5a

∴ আয়তক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য √5a একক।

প্রশ্ন: 18 বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কতটি কর্ণ আছে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র:
কর্ণের সংখ্যা = ⁿC₂ - n

এখানে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n = 18

∴ কর্ণের সংখ্যা = ¹⁸C₂ - 18
= {18!/2! × (18 - 2)!} - 18
= {18!/(2! × 16!)} - 18
= {(18 × 17 × 16!)/(2 × 1 × 16!)} - 18
= {(18 × 17)/2} − 18
= 153 - 18
= 135

a = ৫,
d = ৪
∴ n তম পদ = a + (n - ১)d
বা, ৮১ = ৫ + (n - ১)৪
বা, (n - ১)৪ = ৭৬
বা, (n - ১) = ১৯
∴ n = ২০
∴ সমষ্টি = n/২{২a + (n - ১)d}
= ২০/২ × {২ × ৫ + (২০ - ১)৪}
= ১০ × ৮৬
= ৮৬০

প্রশ্ন: ভাজক ভাগফলের চেয়ে ৫ বেশি এবং ভাগশেষ ভাজকের এক-দশমাংশ। ভাগফল ৪৫ হলে ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ভাগফল = ৪৫

প্রশ্নমতে,
ভাজক = ৪৫ + ৫ = ৫০
ভাগশেষ = ৫০ × (১/১০) = ৫

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাগফল × ভাজক) + ভাগশেষ
ভাজ্য = (৪৫ × ৫০) + ৫ = ২২৫০ + ৫
∴ ভাজ্য = ২২৫৫

প্রশ্ন: দুইটি নৌকা একই গতিবেগে একই দিকে স্রোতের অনুকূলে যাচ্ছে। শুরুতে তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ছিল ৭০ মিটার। ১ ঘণ্টা পর তাদের মধ্যকার দূরত্ব কত হবে?

সমাধান:
দুটি নৌকার গতিবেগ একই এবং দিকও একই।
∴ একটি নৌকার তুলনায় অন্য নৌকার আপেক্ষিক গতিবেগ = ০

অর্থাৎ, যত সময়ই যাক না কেন, দুটি নৌকার মধ্যবর্তী দূরত্ব কখনোই পরিবর্তন হবে না।
শুরুতে দূরত্ব ছিল ৭০ মিটার
∴ ১ ঘণ্টা পরেও দূরত্ব = ৭০ মিটার

ব্যাসার্ধ r = ৭ সেমিঃ
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোন = ৪৫°
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = S
আমরা জানি,
S = πr(বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোন)/180°
= (২২/৭ x ৭ x ৪৫) / ১৮০°
= ৫.৫ সেমিঃ

কোনটির মান x হলে,
x+(x-26) = 90
⇒ 2x = 116
∴ x = 58°

x² + 1/x² 
= (x + 1/x)² - 2.x.1/x
= (√2)² - 2
= 0

প্রশ্ন: ২৪৩, ৮১, ......, ৯, ৩, ১ অনুক্রমের বিলুপ্ত সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
প্রথম পদ = ৩^৫ = ৩৪৩
দ্বিতীয় পদ = ৩^৪ = ৮১
তৃতীয় পদ = ৩^৩ = ২৭
চতুর্থ পদ = ৩^২ = ৯
পঞ্চম পদ = ৩^১ = ৩
ষষ্ঠ পদ = ৩^০ = ১

∴ অনুক্রমের বিলুপ্ত সংখ্যাটি = ২৭ ।

ধরি,
দৈর্ঘ্য = ৩a মি.
∴ প্রস্থ = ২a মি.
∴ ক্ষেত্রফল ৩a × ২a = ৯৬
বা, ৬a^২ = ৯৬
বা, a^২ = ১৬
∴ a = ৪
∴ দৈর্ঘ্য = ৩a = ১২ মি.
∴ প্রস্থ = ২a = ৮ মি.
∴ কর্নের দৈর্ঘ্য = √(১২^২ + ৮^২)মি.
= √২০৮
= ১৪.৪২ মি.

প্রশ্ন: ১০ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১০ সে.মি।

∴ বৃত্তের অন্তঃস্থ সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = √৩ × বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= √৩ × ১০ = ১০√৩ সে.মি।

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)^২

∴ ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (১০√৩)^২
= (√৩/৪) × ১০০ × ৩
= (√৩/৪) × ৩০০
= ৭৫√৩ বর্গ সে.মি।

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের উচ্চতা 10 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. হলে সিলিন্ডারটির আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারটির উচ্চতা, h = 10 সে.মি.
এবং ভূমির ব্যাস = 14 সে.মি.

∴ ভূমির ব্যসার্ধ, r = (1/2) × ব্যাস
= (1/2) × 14 সে.মি.
= 7 সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h ঘন একক
= (22/7) × (7)² × 10 ঘন সে.মি.
= (22/7) × 49 × 10 ঘন সে.মি.
= 22 × 7 × 10 ঘন সে.মি.
= 1540 ঘন সে.মি.

সুতরাং, সিলিন্ডারটির আয়তন 1540 ঘন সে.মি.।

৯ জনে আয় করে ৭ দিনে
১ জনে আয় করে ৯ × ৭ দিনে
∴ ২১ জনে আয় করে (৯ × ৭) / ২১
= ৩ দিনে

ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ AC₁ = ৬ cm
বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ AC₂ = ১০ cm
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব C₁C₂ = AC₂ - AC₁
= ১০ - ৬ = ৪ cm

x মাইল যেতে সময় লাগে 1 ঘন্টা
y মাইল যেতে সময় লাগে y/x ঘন্টা
বিকল্প পদ্ধতিঃ
বেগ = দূরত্ব/সময়
∴ সময় = y/x

প্রশ্ন: x² - 5x + k রাশিটি (x - 2) দ্বারা বিভাজ্য হলে, k এর মান কত?

সমাধান: 
যদি কোনো দ্বিঘাত বহুপদী (x - 2) দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে x = 2 বসালে বহুপদীর মান শূন্য হবে।
এখন, x² - 5x + k = 0 যখন x = 2
অর্থাৎ, 
⇒ (2)² - 5(2) + k = 0
⇒ 4 - 10 + k = 0
⇒ - 6 + k = 0
∴ k = 6

সুতরাং, k এর মান 6

প্রশ্ন: b + 1/b = 2 হলে b⁵ - 1/b⁵ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
b + 1/b = 2
বা, b² + 1 = 2b
বা, b² - 2b + 1 = 0
বা, (b - 1)² = 0
বা, b - 1 = 0
∴ b = 1

∴ ‍b⁵ - 1/b⁵
= 1 - 1/1
= 1 - 1
= 0

প্রশ্ন: ০.০০৮১ এর বর্গমূল কত?

সমাধান:
০.০০৮১ এর বর্গমূল = √(০.০০৮১)
= √(৮১/১০০০০)
= ৯/১০০
= ০.০৯

ধরি, ছোট টুকরোর দৈর্ঘ্য x একক।
∴ বড় টুকরোর দৈর্ঘ্য ৩x একক।
তাহলে সংযুক্ত টুকরো দৈর্ঘ্য হবে (x + ৩x) = ৪x একক।
অর্থাৎ, সংযুক্ত টুকরোটির দৈর্ঘ্য ছোট টুকরোর চেয়ে ৪ গুণ বড় হবে।

প্রশ্ন: যদি x - y = 6 এবং xy = 91 হয়, তাহলে x + y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 6
xy = 91

আমরা জানি,
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
⇒ (x + y)² = (6)² + 4 × 91
⇒ (x + y)² = 36 + 364
⇒ (x + y)² = 400
⇒ x + y = √400
∴ x + y = 20

0.01/(0.1×0.1)
= 0.01/0.01
= 1

প্রশ্ন: log₃(27) + log₃(1/9) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:
log₃(27) + log₃(1/9)
= log₃(3³) + log₃(3^{- 2})
= 3 × log₃3 + (- 2) × log₃3   [∵ log_a(Mⁿ) = n.log_aM]
= 3 × 1 + (- 2) × 1   [∵ log_aa = 1]
= 3 - 2
= 1

ধরি, a^x = b
বা, log a^x = logb
বা, xloga = logb
বা, x = logb/loga
অনুরূপভাবে, y = logc/logb এবং z = loga/logc
তাহলে, xyz = logb/loga. logc/logb. loga/logc
xyz = 1
a^xyz = a¹