গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: ৩৩ জনের ২৪ দিনের খাদ্য আছে। ৪ দিন পর ২৭ জন লোক আসলে ঐ খাদ্যে কতদিন চলবে?

সমাধান:
দিন বাকি আছে = (২৪ - ৪) = ২০ দিন
মোট লোক সংখ্যা হলো = (৩৩ + ২৭) = ৬০ জন

এখন,
৩৩ জন লোকের চলে ২০ দিন
১ জন লোকের চলে (৩৩ × ২০) দিন
∴ ৬০ জন লোকের চলে = (৩৩ × ২০)/৬০ দিন
= ১১ দিন

এখানে মোট বর্ণ 8 টি, ব্যাঞ্জনবর্ণ 3 টি এবং বিজোড় স্থান 4 টি ।
সুতরাং ব্যাঞ্জনবর্ণগুলো কেবল বিজোড় স্থানে রেখে EQUATIONS শব্দটিকে সাজানো যায়
= ⁴p₃ × ⁵p₅ = 24 × 120 = 2880

প্রশ্ন: 6 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!
6 জনকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (6 - 1)!
= 5!
= 120 উপায়ে

প্রশ্ন: টাকায় ৫টি করে লেবু ক্রয় করে টাকায় ৪টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে? 

সমাধান:
৫ টির ক্রয় মূল্য ১ টাকা
∴ ১ টির ক্রয় মূল্য ১/৫ টাকা

আবার, ৪টির বিক্রয় মূল্য ১ টাকা
∴ ১টির বিক্রয় মূল্য ১/৪ টাকা

∴ লাভ = {(১/৪) - (১/৫)} টাকা
= ১/২০ টাকা

১/৫ টাকায় লাভ হয় ১/২০ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় ৫/২০ টাকা 
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় {(১০০ × ৫)/২০} টাকা
= ২৫ টাকা

∴ লাভ = ২৫%

ক ও গ উভয়ই সঠিক হতে পারে।
তবে, ক) xy > -2 সব ক্ষেত্রে সঠিক নাও হতে পারে। যেমন, x = 10 এবং y = - 0.5
অন্যদিকে, গ) -x < 2y অপশনটি x এবং y এর সকল মানের জন্য সত্য হবে।
সঠিক উত্তরঃ গ) -x < 2y

১ম পদ (a) = ১২৮,
সাধারণ অনুপাত (r) = ৬৪/১২৮ = ১/২
∴ নবম পদ = a.r^{n - 1}
= ১২৮ × (১/২)^{৯ - ১}
= ১২৮ × (১/২)^৮
= ১২৮/২৫৬
= ১/২

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + .............. ধারাটির কততম পদের মান 512 হবে? 

সমাধান: 
2 + 4 + 8 + 16 +..............
এখানে, 
প্রথম পদ, a = 2 
সাধারণ অনুপাত, r = 4\2 = 2 
∴ n তম পদ = ar^{n- 1} 

প্রশ্নমতে, 
ar^{n- 1} = 512 
বা, 2 × 2^{n- 1} = 512 
বা, 2^{n - 1} = 256 
বা, 2^{n - 1} = 2⁸ 
বা, n - 1 = 8 
বা, n = 8 + 1
∴ n = 9 

∴ ধারাটির 9ম পদের মান 512 হবে। 

দৈর্ঘ্য = 18cm,
প্রস্থ = 10cm
∴ ক্ষেত্রফল = 18 × 10
= 180 বর্গসেঃমিঃ
ধরি,
নতুন প্রস্থ = bcm
∴ 25 × b = 180
বা, b = 180/25
= 7.2 সেঃমিঃ

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৩ ইঞ্চি এবং প্রস্থ ২ ইঞ্চি হলে এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
এখানে চতুর্ভুজ বলতে আয়তক্ষেত্র বোঝানো হয়েছে, কারণ দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ উল্লেখ করা হয়েছে, যা সাধারণত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়।

দেওয়া আছে, 
দৈর্ঘ্য = ৩ ইঞ্চি
প্রস্থ = ২ ইঞ্চি

আমরা জানি, 
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (৩ + ২) = ২ × ৫ = ১০ ইঞ্চি

সুতরাং, পরিসীমা ১০ ইঞ্চি

(2.5 × 100)/3.125
= 80%

প্রশ্ন: একটি দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের পার্থক্য ১৪০ টাকা। একজন যদি ২০% হারে লাভ করতে চান তবে দ্রব্যটির বিক্রয়মূল্য কত হবে?

সমাধান:
মনে করি,
দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
২০% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২০) টাকা
= ১২০ টাকা

∴ লাভ = (১২০ - ১০০) = ২০ টাকা

এখন,
২০ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা
১ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০/২০ = ৬ টাকা
১৪০ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = (১৪০ × ৬) = ৮৪০ টাকা

xyz = 450
xy = 450/z
এখানে, z = 0 হতে পারবে না। কারণ z এর মান শূন্য হলে xy অসঙ্গায়িত।

∴ a² + 12² = 4a²
বা, 3a² = 144
বা, a² = 48
∴ a = 4√3
∴ মইয়ের দৈর্ঘ্য = 2a
= 2 × 4√3
= 8√3মিঃ

দেওয়া আছে,
3x - y = 7 ....... (১)
এবং 2x + y = 3 .......... (২)

১ + ২ করে পাই,
5x = 10
বা, x = 2

২ নং সমীকরণে x = 2 বসিয়ে পাই,
2×2 + y = 3
বা, y = 3 - 4

সুতরাং , y = - 1
সুতরাং নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, -1)

প্রশ্ন: (১ + ২^৩ + ৩^৩ + ৪^৩ + ....... + ১০^৩)/(১ + ২ + ৩ + ....... + ১০) = কত?

সমাধান: 
(১ + ২^৩ + ৩^৩ + ৪^৩ + ....... + ১০^৩)/(১ + ২ + ৩ + ....... + ১০) 
= {১০(১০ + ১)/২}^২/{(১০ × (১০ + ১)/২}
= {(১০ × ১১)/২}^২/{(১০ × (১১/২)}
= (৫৫)^২/৫৫ 
= (৫৫ × ৫৫)/৫৫
= ৫৫ 

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ৫/৮ হতে বড়?

সমাধান:
প্রদত্ত ভগ্নাংশ: ৫/৮ = ০.৬২৫

এখন অপশনগুলো যাচাই করি:
৩/৫ = ০.৬
১১/২০ = ০.৫৫
৭/১০ = ০.৭
২১/৪০ = ০.৫২৫

এখানে দেখা যাচ্ছে যে, ০.৭ > ০.৬২৫
অর্থাৎ, ৭/১০ ভগ্নাংশটি ৫/৮ হতে বড়।

৫০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = ৫০০×৪ বা ২০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
আবার ৬০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = ৬০০×৫ বা ৩০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
সুতরাং মোট ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
এখন, ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০ টাকা। (শর্ত)
১ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০/৫০০০ টাকা।
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০×১০০/৫০০০ টাকা।
= ১০ টাকা।

কর্ণের দৈর্ঘ্য = √ (40² + 30²)
= 50
মোট দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে, (50 + 40 + 30) = 120 মিটার
তাহলে মোট সময় লাগবে, 120 / 10 = 12 মিনিট

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল, তাদের বিয়োগফলের দ্বিগুণ। সংখ্যা দুটির অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি x, y

শর্তমতে,
x + y = 2(x - y)
⇒ x + y = 2x - 2y
⇒ y + 2y = 2x - x
⇒ 3y = x
⇒ x/y = 3/1
∴ x : y = 3 : 1

অর্থাৎ, সংখ্যা দুটির অনুপাত = 3 : 1

প্রশ্ন: চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৮, ১০, ১৫ ও ২০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০
৮ = ২ × ২ × ২ = ২^৩
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫ = ২^২ × ৫

∴ ৮, ১০, ১৫ ও ২০ এর ল.সা.গু = ২^৩ × ৩ × ৫
= ৮ × ৩ × ৫ = ১২০

এখন ১০০০ কে ১২০ দিয়ে ভাগ করি,
১০০০ ÷ ১২০ = ৮ ভাগফল
১২০ × ৮ = ৯৬০
∴ ভাগশেষ = ১০০০ - ৯৬০ = ৪০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১২০ - ৪০ = ৮০

অর্থাৎ, ১০০০ এর সাথে ৮০ যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা (১০৮০) ১২০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় বাংলা ১ম ও ২য় পত্রে রমা পেয়েছে যথাক্রমে 5x এবং 6x নম্বর এবং কুমকুম পেয়েছে 4x এবং 84 নম্বর। কোনো পত্রে কেউ 40 এর নিচে পায়নি। বাংলা বিষয়ে কুমকুম হয়েছে প্রথম এবং রমা হয়েছে দ্বিতীয়। x এর মান সম্ভাব্য অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করুন।

সমাধান: 
রমা পেয়েছে মোট (5x + 6x = 11x) নম্বর
এবং কুমকুম পেয়েছে মোট (4x + 84) নম্বর।  

প্রশ্নমতে,
5x + 6x < 4x + 84
⇒ 5x + 6x - 4x < 84
⇒ 7x < 84
⇒ x < 84/7
∴ x < 12

কিন্তু, 4x ≥ 40   ; [প্রাপ্ত সর্বনিম্ন নম্বর 40]
x ≥ 10
⇒ 10 ≤ x 

∴ 10 ≤ x < 12

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ১২ মিটার বড় এবং ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৪৪ মিটার হলে ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?

সমাধান:
ধরি, 
প্রস্থ = x মিটার 
দৈর্ঘ্য = (x + ১২) মিটার 

শর্তমতে, 
২(x + ১২ + x) = ১৪৪ 
বা, ২x + ১২ = ৭২ 
বা, ২x = ৭২ - ১২ 
বা, ২x = ৬০ 
বা, x = ৬০/২ 
∴ x = ৩০ 
অর্থাৎ, প্রস্থ = ৩০ মিটার 
এবং দৈর্ঘ্য = (৩০ + ১২) মিটার = ৪২ মিটার ।

প্রশ্ন: ৬% সরল মুনাফায় ৮ মাসে ১৬,০০০ টাকার মুনাফা কত?

সমাধান:
এখানে,
আসল, P = ১৬,০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৬% = ৬/১০০ = ৩/৫০
সময়, n = ৮ মাস = ৮/১২ = ২/৩ বছর

সুদ, I = Pnr
= ১৬০০০ × (২/৩) × (৩/৫০)
= ৬৪০ টাকা

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ২৫০ টাকায় ক্রয় করে ২৮৭.৫০ টাকায় বিক্রয় করলে শতকরা লাভ কত?

সমাধান:
এখানে,
ক্রয়মূল্য = ২৫০ টাকা
বিক্রয়মূল্য = ২৮৭.৫০ টাকা

∴ লাভ = ২৮৭.৫০ - ২৫০ = ৩৭.৫০ টাকা

এখন,
২৫০ টাকায় লাভ = ৩৭.৫০ টাকা
১ টাকায় লাভ = ৩৭.৫০/২৫০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ = (৩৭.৫০ × ১০০)/২৫০ টাকা
= ১৫ টাকা

∴ লাভের শতকরা হার = ১৫%

প্রশ্নমতে, ৩ বছর পূর্বে মা ও মেয়ের বয়স যথাক্রমে ২৭ বছর ও ২ বছর ছিল। তাহলে, বর্তমানে মায়ের বয়স = (২৭+৩) বছর = ৩০ বছর এবং মেয়ের বয়স = (২+৩) বছর = ৫ বছর।
সুতরাং, ৫ বছর পর মা ও মেয়ের বয়স হবে যথাক্রমে = (৩০+৫) বছর = ৩৫ বছর এবং (৫+৫) বছর = ১০ বছর
সুতরাং মা ও মেয়ের বয়সের অনুপাত হবে = ৩৫ঃ১০
= ৭ঃ২ বছর।

x-1, f(x) = x³ - ax² + (a+5)x - a এর একটি উৎপাদক
∴ f(1) = 0,
বা, 1 - a + a + 5 - a = 0
বা, 6 - a = 0
∴ a = 6

4x⁴ + 1
= (2x²)² + 2. 2x². 1 + 1² - 4x²
= (2x² + 1)² - (2x)²
= (2x² + 2x + 1) (2x² - 2x + 1)

প্রশ্ন: f(x) = 6x² - ax - 3 এবং (3x - 1), f(x) এর একটি উৎপাদক হলে a এর মান কত?

সমাধান:
f(x) = 6x² - ax - 3
∴ ‍f(1/3) = 6(1/3)² - a(1/3) - 3 = 0
⇒ 6/9 - a/3 - 3 = 0
⇒ 6 - 3a - 27 = 0
⇒ - 3a = 21
∴ ‍a = - 7