গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: x² - 3x - 28 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
x² - 3x - 28
= x² - 7x + 4x - 28
= x(x - 7) + 4(x - 7)
= (x - 7)(x + 4)

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ১০ ঘণ্টায় একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব অতিক্রম করেন। যাত্রাপথের অর্ধেক দূরত্ব তিনি ২১ কি.মি./ঘণ্টা এবং বাকী অর্ধেক দূরত্ব ২৪ কি.মি./ঘণ্টা গতিতে চলেন। মোট দূরত্ব কত ছিল?

সমাধান: 
মনে করি, 
মোট দূরত্ব = ক মিটার 

প্রশ্নমতে, 
(ক/২)/২১ + (ক/২)/২৪ = ১০ 
বা, ক/৪২ + ক/৪৮ = ১০ 
বা, ৮ক + ৭ক = ১০ × ৩৩৬ 
বা, ১৫ক = ১০ × ৩৩৬ 
বা, ক = (১০ × ৩৩৬)/১৫ 
∴ ক = ২২৪ কি.মি. 
​
∴ ​মোট দূরত্ব = ২২৪ কি.মি. 

x +1, f(x) = ax² - x - 3 এর একটি উৎপাদক
∴ f(-1) = a(-1)² - (-1) - 3 = 0
বা, a + 1 - 3 = 0
∴ a = 2

প্রশ্ন: 15 + 22 + 29 + 36 + ......... ধারাটির 35 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, প্রথম পদ, a = 15
সাধারণ অন্তর, d = 22 - 15 = 7
পদসংখ্যা, n = 35

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার সমষ্টি S_n = n/2 × {2a + (n - 1) × d}
∴ S₃₅ = 35/2 × {2 × 15 + (35 - 1) × 7}
= 35/2 × {30 + (34 × 7)}
= 35/2 × (30 + 238)
= 35/2 × 268
= 35 × 134
= 4690

∴ ধারাটির 35 টি পদের সমষ্টি হলো 4690

প্রশ্ন: একটি সমবায় সমিতির যতজন সদস্য ছিল, প্রত্যেকে তত টাকা করে দেওয়ায় মোট 400 টাকা হলো। পরে আরও 5 জন সদস্য যোগ দিলে এবং প্রত্যেকে একই হারে টাকা দিলে মোট কত টাকা হবে? 

সমাধান: 
ধরি, সমিতির সদস্য সংখ্যা = n জন
এবং প্রত্যেক সদস্য n পরিমাণ টাকা করে দেয়। 

প্রশ্নমতে, 
n × n = 400
⇒ n² = 400
⇒ n = √400
∴ n = 20

সুতরাং আসল সদস্য সংখ্যা ছিল 20 জন এবং প্রত্যেকে 20 টাকা করে দিয়েছিল। 

আবার, 
আরও 5 জন সদস্য যোগ দেওয়ায় বর্তমান সদস্য সংখ্যা = 20 + 5 = 25 জন।
যেহেতু প্রত্যেকে একই হারে (অর্থাৎ 20 টাকা করে) দিচ্ছে,
তাই মোট টাকা পরিমাণ = 25 × 20 = 500 টাকা।

সুতরাং নতুন মোট টাকার পরিমাণ 500 টাকা। 

x + 2y = 9 ............(1)
2x - y = 3
⇒ y = 2x - 3 ...........(2)
সমীকরণ (1) এ y এর মান বসিয়ে পাই,
বা, x + 2(2x - 3) = 9
বা, x + 4x - 6 = 9
বা, 5x = 15
বা, x = 3
সমীকরণ (2) এ x এর মান বসিয়ে পাই,
বা, y = 2 × 3 - 3
বা, y = 3
∴ (x, y) = (3, 3)

ধরি, A = {1, 2, 3, 7, 8}
B = {3, 4, 5, 7}
(A ∩ B) = {1, 2, 3, 7, 8} ∩ {3, 4, 5, 7} = {3, 7}
তাহলে, A ∪ (A ∩ B) = {1, 2, 3, 7, 8} ∪ {3, 7}
= {1, 2, 3, 7, 8}
একটু চিন্তা করলেই বুঝা যাবে।

প্রশ্ন: একটি নৌকা ১০ মিটার/সেকেন্ড বেগে গতিশীল স্রোতের অনুকূলে যে দূরত্ব অতিক্রম করতে ২০ সেকেন্ড লাগে, স্রোতের প্রতিকূলে সে দূরত্ব অতিক্রম করতে ১০ সেকেন্ড সময় বেশি লাগে। স্রোতের বেগ কত?

সমাধান:
ধরি,
স্রোতের বেগ = x মিটার/সেকেন্ড

স্রোতের অনুকূলে অতিক্রান্ত দূরত্ব = (১০ + x) × ২০ মিটার
স্রোতের প্রতিকূলে অতিক্রান্ত দূরত্ব = (১০ - x) × ৩০ মিটার

প্রশ্নমতে,
(১০ + x) × ২০ = (১০ - x) × ৩০
বা, ২০ + ২x = ৩০ - ৩x
বা, ৫x = ১০
∴ x = ২

∴ স্রোতের বেগ ২ মিটার/সেকেন্ড।

প্রশ্ন: 12 + 24 + 48 + ............. + 768 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
12 + 24 + 48 + ............. + 768
ধারাটির প্রথম পদ, a = 12
সাধারন অনুপাত, r = 24/12 = 2
∴ n-তম পদ = ar^n-1
⇒ 768 = 12.2^n-1
⇒ 64 = 2^n-1
⇒ 2^n-1 = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 6 + 1
∴ n = 7

∴ ধারাটির সমষ্টি = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 12 × (2⁷ - 1)/(2 - 1) 
= 12 × (128 - 1)
= 12 × 127
= 1524

• এখানে, মোট পত্রিকা পড়েন = ৭৫ + ৪৫ + ৫৫ জন
= ১৭৫ জন।
• ইত্তেফাক পত্রিকা পড়েন = ৫৫ জন।
• সুতরাং ঐ ব্যক্তির ইত্তেফাক পত্রিকা পড়ার সম্ভাবনা = ৫৫/১৭৫
= ১১/৩৫

অর্থনীতি নিয়েছে, E = 19 জন
ভূগোল নিয়েছে, G = 17 জন
পৌরনীতি নিয়েছে, C = 11 জন
অর্থনীতি ও ভূগোল নিয়েছে, E ∩ G = 12 জন
অর্থনীতি ও পৌরনীতি নিয়েছে, E ∩ C = 7 জন
ভূগোল ও পৌরনীতি নিয়েছে, G ∩ C = 5 জন
সবগুলো বিষয় নিয়েছে, E ∩ G ∩ C = 2 জন
কমপক্ষে একটি বিষয় নিয়েছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা -
E + G + C - (E ∩ G) - (E ∩ C) - (G ∩ C) + (E ∩ G ∩ C)
= 19 + 17 + 11 - 12 - 7 - 5 + 2
= 25 জন
∴ কোন বিষয়ই নেয়নি (30-25) = 5 জন

প্রশ্ন: 3 + 9 + 27 + ......... ধারাটির প্রথম চৌদ্দটি পদের সমষ্টি নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
ধারাটির ১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 9/3 = 3 > 1
পদ সংখ্যা, n = 14

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = a(rⁿ - 1) / (r - 1) ; [যখন r > 1]

∴ প্রথম 14টি পদের সমষ্টি = 3(3¹⁴ - 1) / (3 - 1)
= (3/2) × (3¹⁴ - 1) 

x⁶ + 4x³ − 1
= (x²)³ + x³ + (-1)³ - 3x².x(-1)
= (x² + x - 1){(x²)² + x² + (-1)² - x²x - x(-1) - (-1)x²} [As, x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)]
= (x² + x - 1)(x⁴ - x³ + 2x² + x + 1)

x² + 2x - 143 = 0
বা, x² + 13x - 11x - 143 = 0
বা, x(x + 13) - 11(x + 13) = 0
বা, (x + 13)(x - 11) = 0
∴ x = 11, -13

আমরা জানি,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
বা, 10² = 8² + ভূমি²
∴ ভূমি = 6 মিটার
সুতরাং ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা = (1/2) × 8 × 6 = 24 বর্গ মিটার

0.01 × 0.1
= 0.001

প্রশ্ন: A ও B দুটি সসীম সেট। যদি n(A) = 20, n(B) = 28 এবং n(A ∪ B) = 36 হয়, তাহলে n(A ∩ B) = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 
∴ n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B) 
= 20 + 28 - 36 
= 48 - 36 
= 12 

n(R) = ৩০,
n(B) = ২০,
n(R ∩ B) = ১২
∴ যেকোন একটি রংয়ের n(R ∪ B)
= n(R) + n(B) - n(R ∩ B)
= ৩০ + ২০ - ১২
= ৫০ - ১২
= ৩৮
∴ লাল বা নীল কোন রংয়ের নয় = ৫০ - ৩৮ = ১২টি

প্রশ্ন: ৩০ সেকেন্ডে একটি ট্রেন ২০০ মিটার লম্বা স্টেশন অতিক্রম করে, এবং ২০ সেকেন্ডে ১০০ মিটার লম্বা ব্রিজ অতিক্রম করে। ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
(ক + ২০০)/৩০ = (ক + ১০০)/২০
⇒ ২০(ক + ২০০) = ৩০(ক + ১০০)
⇒ ২০ক + ৪০০০ = ৩০ক + ৩০০০
⇒ ৩০ক - ২০ক = ৪০০০ - ৩০০০
⇒ ১০ক = ১০০০ 
⇒ ক = ১০০০/১০ 
∴ ক = ১০০ মিটার

∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ১০০ মিটার।

প্রশ্ন: যদি একটি সমবাহু ত্রিভুজে এক শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশের দৈর্ঘ্য ২৭ সেন্টিমিটার হয়, তবে ত্রিভুজটির ঐ শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব কত হবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
মধ্যমা, AE = ২৭
ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।

∴ শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব, AD = (২/৩) × ২৭ = ১৮ সে.মি.

প্রশ্ন: x² + 2x + 3 = 0 সমীকরণের নিশ্চায়ক কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x² + 2x + 3 = 0
সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই:
a = 1, b = 2, c = 3

নিশ্চায়ক (Discriminant) নির্ণয়:
D = b² − 4ac
= 2² − (4 × 1 × 3)
= 4 − 12
= - 8

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশ?

সমাধান:
প্রকৃত ভগ্নাংশ: যে ভগ্নাংশের লব ছোট এবং হর বড় সেইসকল ভগ্নাংশকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
যেমন - ৩/৫, ৪/৭ ইত্যাদি।

অপ্রকৃত ভগ্নাংশ: যে ভগ্নাংশের লব বড় এবং হর ছোট সেইসকল ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
যেমন - ৫/৩, ৯/৫ ইত্যাদি।

মিশ্র ভগ্নাংশ: পূর্ণ সংখ্যা এবং ভগ্নাংশ মিলে যে ভগ্নাংশ হয় তাকে মিশ্র ভগ্নাংশ বলে।
যেমন - 

প্রশ্ন: a ∈ N হলে, a² + 2a + 1 কোন ধরনের সংখ্যা?

সমাধান: 
কারণ a² + 2a + 1 রাশিটিকে (a + 1)² হিসাবে লেখা যায়।
এখানে a একটি স্বাভাবিক সংখ্যা (N), তাই (a + 1) ও একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হবে।

আমরা জানি, 
কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ সর্বদা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হয়।

উদাহরণস্বরূপ,
যদি a = 1 হয়, তবে (1 + 1)² = 2² = 4, যা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা।
যদি a = 2 হয়, তবে (2 + 1)² = 3² = 9, যা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা।

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা ৪৭। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি ১৬৮০ টাকা হলে, ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, ডেকের যাত্রী ক জন
কেবিনের যাত্রী সংখ্যা ৪৭ - ক জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা
কেবিনের ভাড়া = ৩০ × ২ টাকা
= ৬০ টাকা

প্রশ্নমতে,
৩০ক + ৬০ (৪৭ - ক) = ১৬৮০ টাকা
⇒ ৩০ক + ২৮২০ - ৬০ক = ১৬৮০
⇒ ২৮২০ - ৩০ক = ১৬৮০
⇒ ৩০ক = ২৮২০ - ১৬৮০
⇒ ৩০ক = ১১৪০
∴ ক = ৩৮

ডেকের যাত্রী ৩৮ জন  

প্রশ্ন: একটি মিটিং এ 16 জন ব্যক্তি উপস্থিত আছেন। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করমর্দন করলে মোট কতগুলো করমর্দনের ঘটনা ঘটবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রতি 2 জনে 1 টি করে করমর্দন হয়। 

সুতরাং,
মোট করমর্দনের সংখ্যা,
= ¹⁶C₂
= 16!/{2! × (16 - 2)!}
= 16!/(2! × 14!)
= (16 × 15 × 14!)/(2 × 14!)
= (16 × 15)/2
= 120

ধরি, সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে, ৮ক - ২ক = ৭২
বা, ৬ক = ৭২
বা, ক = ১২

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 16 ও 8 হলে, ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 16
দ্বিতীয় পদ = 8

∴ সাধারণ অনুপাত, r = 8/16 = 1/2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ হলো ar^{n - 1}

∴ সপ্তম পদ = ar^{7 - 1}
= 16 × (1/2)⁶
= 16 × (1/64)
= 16/64
= 1/4

প্রশ্ন: (- 3, - 5) বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত?

সমাধান:
একটি সমতল কার্তেসীয় তলে:

প্রথম চতুর্ভাগ: x > 0, y > 0
দ্বিতীয় চতুর্ভাগ: x < 0, y > 0
তৃতীয় চতুর্ভাগ: x < 0, y < 0
চতুর্থ চতুর্ভাগ: x > 0, y < 0

দেওয়া বিন্দু (- 3, - 5) এ:
x < 0
y < 0

∴ এটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। 

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + …......... + 21³ = কত?

সমাধান:
এখানে, শেষ পদ n = 21
আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টির সূত্র,
S_n = {n(n + 1)/2}²
⇒ S₂₁ = {21(21 + 1)/2}²
⇒ S₂₁ = {21 × 22/2}²
⇒ S₂₁ = (21 × 11)²
⇒ S₂₁ = (231)²
∴ S₂₁ = 53361

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ?

সমাধান: 
আমরা জানি,
যে ভগ্নাংশের লব, হর অপেক্ষা ছোট তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।

এখানে,
ক) ১.৫= ৩/২ [অপ্রকৃত ভগ্নাংশ]
খ) ১.০৭ =১০৭/১০০[অপ্রকৃত ভগ্নাংশ]
গ) ১.৮  = ১৮/১০ [অপ্রকৃত ভগ্নাংশ]
ঘ)০.০৭ = ৭/১০০[প্রকৃত ভগ্নাংশ]

সুতরাং, প্রকৃত ভগ্নাংশ ০.০৭ । 

৫,১০,১৫ এর লসাগু=৩০, তাই ৩০ মিনিট পরে পরে তারা একত্রে চকলেট খাই

প্রশ্ন: 7 + x + y + 2401 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত = r 

আমরা জানি, 
n তম পদ = ar^{n - 1}
২য় পদ = ar^{2 - 1} = ar = x
৩য় পদ = ar^{3 - 1} = 7r² = y
৪র্থ পদ = ar^{4 - 1} = ar³

প্রশ্নমতে,
ar³ = 2401
বা, 7r³ = 2401
বা, r³ = 2401/7
বা, r³ = 343
বা, r³ = 7³
বা, r = 7

∴ x = ar
= 7 × 7
= 49

∴ x এর মান 49.