গাণিতিক যুক্তি

৪ : ৮ = ৬ : a [৪র্থ সমানুপাতটিকে a ধরে]
বা, ৪/৮ = ৬/a
বা, ১/২ = ৬/a
∴ a = ১২

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের পরিসীমার অর্ধেক 4π হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের পরিসীমার অর্ধেক = 4π
∴ বৃত্তের পরিসীমা = (2 × 4π)
বা, 2πr = 8π
বা, r = 8π/2π
∴ r = 4
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= π(4)²
= 16π

প্রশ্ন: log₅(x - 4) + log₅3 = log₅(x + 2) - 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log₅(x - 4) + log₅3 = log₅(x + 2) - 1
⇒ log₅{(x - 4) × 3} = log₅(x + 2) - log₅5 [log_aM + log_aN = log_a(MN) এবং log_aa = 1]
⇒ log₅(3x - 12) = log₅{(x + 2)/5} [log_aM - log_aN = log_a(M/N)]
⇒ 3x - 12 = (x + 2)/5
⇒ 5(3x - 12) = x + 2
⇒ 15x - 60 = x + 2
⇒ 15x - x = 2 + 60
⇒ 14x = 62
⇒ x = 62/14
∴ x = 31/7

16y² - a² - 6a - 9
= 16y² - (a² + 6a + 9)
= (4y)² - (a + 3)²
= (4y + a + 3)(4y - a - 3)

ত্রিভুজের ৩ কোণের যোগফল = 180°
২ টি কোণ 45° + 45° = 90° অপর কোণটি হবে 90°
ত্রিভুজটি সমকোণী
আমরা জানি যে, কোনো ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান হলে কোণ সংশ্লিষ্ট দুটি বাহু পরস্পর সমান হয়।

প্রশ্ন: ফলের দোকান থেকে ১৮০টি ফজলি আম কিনে আনা হলো। দুই দিন পর ৯টি আম পচে গেল। শতকরা কতটি আম ভালো আছে?

সমাধান:
মোট আম কেনা হলো ১৮০টি
এর মধ্যে পচে গেল ৯টি

∴ ভালো আম রইলো = ১৮০ - ৯ = ১৭১ টি

ভালো আম ও মোট আমের অনুপাত = ১৭১/১৮০ = ১৯/২০

∴ শতকরা ভালো আম আছে = (১৯ × ১০০)/২০ বা, ৯৫টি

ব্যাসার্ধ r = 4 সে. মি., উচ্চতা h হলে,
আয়তন/বক্রতলের ক্ষেত্রফল = (πr²h)/(2πrh)
= r/2
= 4/2
= 2
∴ অনুপাত = 2:1

প্রশ্ন: 2 - 2 + 2 - 2 +.......................  ধারাটির (2n + 5) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/2 = - 1

nসংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)

∴ (2n + 5) সংখ্যক পদের সমষ্টি:
= 2{1 - (- 1)²ⁿ⁺⁵}/{1 - (- 1)}
= 2{1 - (- 1)}/ 2  [যেহেতু 2n + 5 বিজোড় সংখ্যা, তাই (- 1)^{2n + 5} = - 1] 
= 2(1 + 1)/2 
= 2 × 2/2
= 4/2
= 2 

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 4/5 অংশ তার 2/3 অংশের চেয়ে 12 বেশি হলে সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
(4x/5) - (2x/3) = 12 
বা, (12x - 10x)/15 = 12 
বা, 12x - 10x = 180 
বা, 2x = 180 
বা, x= 180/2 
∴ x = 90 

∴ সংখ্যাটি = 90

প্রশ্ন: p ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে q দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে r। যদি ৩p কে ৩q দ্বারা ভাগ করা হয় তাহলে ভাগশেষ কত থাকবে?

সমাধান: 

ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
p = qx + r       [ধরি, ভাগফল = x]
⇒ ৩p = ৩qx + ৩r
⇒ ৩p = ৩q(x) + ৩r
∴ ভাগশেষ = ৩r

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 120 এবং বর্গের যোগফল 289 হলে, সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

 সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি = x ও y
xy = 120 .............(1)
x² + y² = 289 ........(2)

আমরা জানি, (x + y)² = x² + y² + 2xy
⇒ (x + y)² = 289 + 2 × 120
⇒ (x + y)² = 289 + 240
⇒ (x + y)² = 529
⇒ (x + y) = √529
∴ x + y = 23

ক এর ২১ টি গরু ৬ মাস = ১২৬ টি গরু ১ মাস চরে
ধরি, খ এর গরু x টি
খ এর xটি গরু ২ মাস = ২x টি গরু ১ মাস চরে্
প্রশ্নমতে, ১২৬ এর ৫/৭ = ২x
বা x = ৯০/২ = ৪৫
∴ খ এর গরু ৪৫টি

এখানে, ২ টির ক্রয়মূল্য = (১/১০ + ১/১৫) টাকা = ১/৬ টাকা
আবার, ১২ টির বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
২ টির বিক্রয়মূল্য ১/৬ টাকা।
যেহেতু, ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্য সমান, সুতরাং লাভ বা ক্ষতি কিছুই হবে না।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 5 : 7 হলে, বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি হলো 180°।
ধরি, কোণ তিনটি হলো যথাক্রমে 3x, 5x এবং 7x।
শর্তমতে,
3x + 5x + 7x = 180°
⇒ 15x = 180°
⇒ x = 180°/15
⇒ x = 12°
সুতরাং, বৃহত্তম কোণটি হলো 7x
∴ বৃহত্তম কোণ = 7 × 12° = 84°

প্রশ্ন: T = {y: y জোড় সংখ্যা এবং 1 ≤ y ≤ 7} সেটটি তালিকা পদ্ধতিতে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
সেটটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: y জোড় সংখ্যা, অর্থাৎ 2, 4, 6, 8 …
সীমা: 1 ≤ y ≤ 7
তাই তালিকার প্রথম কয়েকটি উপাদান হবে: 2, 4, 6, 

∴ সঠিক তালিকার প্রথম তিনটি উপাদান হলো {2, 4, 6}

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার শতকরা ৪০ ভাগ ঐ সংখ্যার দুই তৃতীয়াংশ অপেক্ষা ২৪ কম। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
(২ক/৩) - ক এর ৪০% = ২৪
⇒ (২ক/৩) - (৪০ক/১০০) = ২৪
⇒ (২০০ক - ১২০ক)/৩০০ = ২৪
⇒ ৮০ক/৩০০ = ২৪
⇒ ৮০ক = ২৪ × ৩০০
⇒ ৮০ক = ৭২০০
⇒ ক = ৭২০০/৮০
∴ ক = ৯০

∴ সংখ্যাটি হলো ৯০

প্রশ্ন:

সমাধান:

ধরি, উত্তর রাশি = ক
প্রশ্নমতে,
৪ঃ৭ = ১৬ঃক
বা, (৪/৭) = (১৬/ক)
বা, ক = ২৮
∴ উত্তর রাশি ২৮

প্রশ্ন: একটি বাক্সে 4টি লাল, 6টি সবুজ, এবং 10টি হলুদ বল আছে। দৈব চয়নের মাধ্যমে একটি বল তুললে সেটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
বাক্সে মোট বল আছে = (4 + 6 + 10)টি = 20টি

বলটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = 6/20 = 3/10
বলটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (3/10)
= (10 - 3)/10
 = 7/10

∴ বলটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা 7/10

প্রশ্ন: একটি খামারে কিছু মুরগি ও গরু রয়েছে। তাদের মাথার সংখ্যা ৫০ এবং মোট পায়ের সংখ্যা ১৪০। খামারে কতগুলো মুরগি রয়েছে?

সমাধান:
যেহেতু গরু ও মুরগির একটি করে মাথা থাকে তাই গরু ও মুরগির মোট সংখ্যা হবে = ৫০

ধরি,
খামারে গরুর সংখ্যা  = ক টি 
মুরগির সংখ্যা = (৫০ - ক) টি 
আমরা জানি,
গরুর পায়ের সংখ্যা = ৪ টি এবং মুরগির পায়ের সংখ্যা = ২ টি 
প্রশ্নমতে,
৪ক + ২(৫০ - ক) = ১৪০
⇒ ৪ক + ১০০ - ২ক = ১৪০
⇒ ২ক + ১০০ = ১৪০
⇒ ২ক = ১৪০ - ১০০
⇒ ২ক = ৪০
⇒ ক = ৪০/২
⇒ ক = ২০

∴ খামারে গরুর সংখ্যা = ২০ টি 
এবং মুরগির সংখ্যা = (৫০ - ২০) = ৩০ টি 

দেওয়া আছে,
বা, x² - 3x + 1 = 0
বা, x² + 1 = 3x
বা, x + 1/x = 3
প্রদত্ত রাশি,
= (x³ + 1/x³)
= (x + 1/x)³ - 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= (3)³ - 3.3
= 27 - 9
= 18

প্রশ্ন: যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তবে  x^{a + b} = কত? 

সমাধান: 
log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) 
⇒ log{(a/b) × (b/a)} = log(a + b) 
⇒ log1 = log(a + b) 
∴ a + b = 1 

এখন,
x^{a + b}
= x¹
= x

প্রশ্ন: ৫০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ২। ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ২ : ৩ হবে? 

সমাধান: 
এসিড : পানি = ৩ : ২ 
∴ মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = {৫০ × (৩/৫)} = ৩০ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = {৫০ × (২/৫)} = ২০ লিটার

ধরি, 
x লিটার পানি মিশ্রিত করলে এসিড এবং পানির অনুপাত হবে = ২ : ৩ 

প্রশ্নমতে, 
৩০ : (২০ + x) = ২ : ৩
বা, ৩০/(২০ + x) = ২/৩ 
বা, ৯০ = ৪০ + ২x 
বা, ২x = ৯০ - ৪০ 
বা, ২x = ৫০ 
বা, x = ৫০/২ 
∴ x = ২৫ 

∴ ২৫ লিটার পানি মিশ্রিত করতে হবে।

প্রশ্ন: 2 + 4 + 6 + ....................... + 2P = কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 4 - 2 = 2
মনে করি,
n তম পদ = 2P

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) × d
⇒  2P =  2 + (n - 1) × 2
⇒ 2P = 2 + 2n - 2
⇒ 2P = 2n
⇒ P =n

এখানে,
পদসংখা n = P

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার P  সংখ্যক পদের সমষ্টি
= (P/2) × {2a + (P - 1) × d}
= (P/2) × {2 × 2 + (P - 1) × 2}
= (P/2) × (4 + 2P - 2)
= (P/2) × (2P + 2)
= (P/2) × 2(P + 1)
= P(P + 1)
= P²+ P

ধরি, ১ টি টিভির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
৪৫% লাভে টিভি বিক্রির সংখ্যা 'ক' টি
১ টি টিভিতে লাভ করে ৪৫ টাকা
'ক' টি টিভিতে লাভ করে ৪৫ক টাকা
২০% বেশি বিক্রিতে টেলিভিশনের সংখ্যা (ক + ক এর ২০%)
= ৬ক/৫ টি
৪০% লাভে মোট লাভের পরিমাণ (৪০ X ৬ক/৫) টাকা
= ৪৮ক টাকা
নতুন লাভ : আগের লাভ = ৪৮ক : ৪৫ক = ৪৮ : ৪৫

প্রশ্ন: দুটি রাশির অনুপাত ৫ : ১২। পূর্ব রাশি ৩৫ হলে উত্তর রাশি কত?

সমাধান:
পূর্ব রাশি : উত্তর রাশি = ৫ : ১২
⇒ পূর্ব রাশি/উত্তর রাশি = ৫/১২
⇒ ৩৫/উত্তর রাশি = ৫/১২
⇒ ৫ × উত্তর রাশি = ৩৫ × ১২
⇒ ৫ × উত্তর রাশি = ৪২০
⇒ উত্তর রাশি = ৪২০/৫
∴ উত্তর রাশি = ৮৪

প্রশ্ন: দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৩.৫ মিটার দূরত্বে থেকে সমান্তরালভাবে চলছে। তারা একে অন্যের সাথে কত মিটার দূরত্বে গিয়ে মিলিত হবে? 

সমাধান: 
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না।

সমান্তরাল রেখা (Parallel Line): 
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে। 
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত: 
১। সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে। 
২। এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না। 
৩। দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে। 

- দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল। 
- একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়।

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৩৫° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোণ ৩৫° হলে,

∴ অপর কোণটি হবে = (১৮০ - ৩৫)°
= ১৪৫°

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ওই সরলরেখার 1/4 অংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কতগুণ?

সমাধান:
ধরি,
সরলরেখার দৈর্ঘ্য = ক মিটার 
সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ = ক² বর্গমিটার 

আবার,
সরলরেখার 1/4 অংশ = ক/4 মিটার 
সরলরেখার 1/4 অংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (ক/4)² = ক²/16 বর্গমিটার 

∴ মূল সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ/সরলরেখার 1/4 অংশের উপর অঙ্কিত বর্গ = ক²/(ক²/16)
= ক² × (16/ক²)
= 16 গুণ 

২/৩ = ০.৬৭
৩/৫ = ০.৬
৮/১১ = ০.৭৩
১৭/২৭ = ০.৬৩

৩/৫ = ০.৬
৫/৮ = ০.৬২৫
৪/৭ = ০.৫৭
৭/৯ = ০.৭৭
সুতরাং বৃহত্তম সংখ্যাটি ৭/৯।

secθ = 5/3 = অতি/ভূমি,
পীথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
লম্ব = √(অতি² - ভূমি²)
= √(5² - 3²)
= 4
∴ cosecθ = 5/4

এখানে,
১ম পদ = 3,
সাধারণ অন্তর = 5 - 3 = 2
শেষ পদ = 383 
∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/(সাধারণ অন্তর)} + 1
= {(383 - 3)/2} + 1
= (380/2) + 1
= 190 + 1
= 191

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ৩ ঘণ্টায় ১৫ কিলোমিটার যায় এবং স্রোতের প্রতিকূলে ৬ ঘণ্টায় একই দূরত্ব ফিরে আসে। তার মোট ভ্রমণের গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
স্রোতের অনুকূলে দূরত্ব = ১৫ কি.মি. এবং সময় = ৩ ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে দূরত্ব = ১৫ কি.মি. এবং সময় = ৬ ঘণ্টা

∴ মোট দূরত্ব = ১৫ + ১৫ = ৩০ কি.মি.
∴ মোট সময় = ৩ + ৬ = ৯ ঘণ্টা

∴ গড় গতিবেগ = ৩০/৯
= ১০/৩ কি.মি./ঘণ্টা