গাণিতিক যুক্তি

p = ১০০০০ টাকা,
r = ৪%,
n = ৩ বছর
∴ সবৃদ্ধিমুল = p(১ + (r/১০০))ⁿ
= ১০০০০(১ + (৪/১০০))^৩
= ১০০০০ × ১০৪/১০০ × ১০৪/১০০ × ১০৪/১০০
= ১১২৪৮.৬৪ টাকা
∴ সুদ = (১১২৪৮.৬৪ - ১০০০০০) টাকা
= ১২৪৮.৬৪ টাকা।

সঞ্চয় = ৪৫০০-৩০০০ = ১৫০০ টাকা।
∴ আয় ∶ সঞ্চয় = ৪৫০০ ∶ ১৫০০ = ৩ ∶ ১

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ৭ টাকা হার সরল মুনাফায় ৬৫০ টাকা ৬ বছরের মুনাফা কত টাকা?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৬৫০ টাকা
হার, r = ৭/১০০
সময়, n = ৬ বছর

আমরা জানি,
সরল মুনাফা, I = Pnr

∴ I = ৬৫০ × (৭/১০০) × ৬
= (৬৫০ × ৭ × ৬) / ১০০
= ২৭৩০০ / ১০০
= ২৭৩

অতএব,
৬ বছরের মুনাফা = ২৭৩ টাকা

সঠিক উত্তর:
ক) ২৭৩ টাকা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ১০ যোগ করলে যোগফল ৪ এর বর্গ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
√x + ১০ = ১৬ 
বা, √x = ১৬ - ১০ 
বা, √x = ৬ 
বা, (√x)^২ = (৬)^২ 
∴ x = ৩৬ 

∴ সংখ্যাটি = ৩৬ । 

সমবাহু ত্রিভুজ এর বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, ক্ষেত্রফল = √3a²/4

প্রশ্ন: cosA secA + 2 এর মান কত?
​
​সমাধান:
 cosA secA  + 2
​= cosA (1/cosA) + 2
​= 1 + 2
​= 3

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাসার্ধ চারগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = (4r + r) = 5r 

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে = π(5r)² =25πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 25πr² - πr² = 24πr²

∴ 24 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: দুটি রাশির বর্গের অন্তরফল কোনটি?

সমাধান:
দুটি রাশির বর্গের অন্তরফল হবে:
a² - b² = (a + b)(a - b)

কিছু গুরুত্বপূর্ণ বীজগাণিতিক সূত্র:
1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদাই নিচের কোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান: 
পরপর তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদা 6 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

কারণ হলো:
2 দ্বারা বিভাজ্যতা: পরপর তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে অন্তত একটি জোড় সংখ্যা থাকে, যা 2 দ্বারা বিভাজ্য।  
3 দ্বারা বিভাজ্যতা: পরপর তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে অন্তত একটি সংখ্যা 3 দ্বারা বিভাজ্য।  
6 দ্বারা বিভাজ্যতা: যেহেতু গুণফলটি 2 এবং 3 উভয় দ্বারাই বিভাজ্য, তাই এটি 2 × 3 = 6 দ্বারাও বিভাজ্য হবে।  
 
যেমন:
1 × 2 × 3 = 6 (যা 6 দ্বারা বিভাজ্য)
2 × 3 × 4 = 24 (যা 6 দ্বারা বিভাজ্য)
3 × 4 × 5 = 60 (যা 6 দ্বারা বিভাজ্য)

সুতরাং, তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদা 6 দ্বারা বিভাজ্য হয়। 

9^x+9^x+9^x = 9^x(1+1+1)=3^2x×3¹=3^2x+1

যখন ৪ ফুট ছায়া হয় তখন বাশের উচ্চতা = ৬ ফুট
সুতরাং, যখন ৬৪ ফুট ছায়া হয় তখন বাশের উচ্চতা = (৬ × ৬৪) / ৪ = ৯৬ ফুট

প্রশ্ন: x² - 8x + 15,  x² - 25, x² + 2x - 15 এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
১ম রাশি = x² - 8x + 15
= x² - 8x + 15
= x² - 3x - 5x + 15
= x(x - 3) - 5(x - 3)
= (x - 3) (x - 5)

২য় রাশি = x² - 25
= x² - 5²
= (x - 5) (x + 5)

৩য় রাশি = x² + 2x - 15
= x² + 5x - 3x - 15
= x(x + 5) - 3(x + 5)
= (x + 5) (x - 3)

নির্ণেয় গ.সা.গু = 1

- 'BIAM' শব্দটির চারটি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন।
- সুতরাং বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে সাজানোর উপায় = 4!
= 4 × 3 × 2 × 1 = 24

(a-b)²
= (a+b)² - 4ab
= (9m)² - 4×18m²
= 81m² - 72m²
= 9m²
∴ (a-b) = ±3m
এখন a - b = 3m হলে,
a = 6m, b = 3m
এবং, a - b = -3m হলে,
a = 3m, b = 6m

x অক্ষ হতে কোন বিন্দুর দূরত্ব, বিন্দুটির কোটির সমান। এখানে কোটি = ৩

ধরি,
প্রস্থ = ২x মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = (২x) × (৩/২) মিটার
শর্তমতে,
(২x) × (৩/২) × 2x = ৯৬
বা, x^২ = ১৬
বা, x = ৪
∴ x = ৪
∴ প্রস্থ = ৮ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার
∴ পরিসীমা = ২(১২ + ৮) = ৪০ মিটার

প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট হার সরল সুদে ৭৫০০ টাকা ৪ বছরে সুদে-আসলে ১০৫০০ টাকা হয়। সুদের হার কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, P = ৭৫০০ টাকা
সময়, n = ৪ বছর
সুদ-আসল, A = ১০৫০০ টাকা
সুদ, I = (১০৫০০ - ৭৫০০) টাকা
= ৩০০০ টাকা
সুদের হার = r

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, r = I/Pn
= (৩০০০ × ১০০)/(৭৫০০ × ৪)
= ১০

∴ সুদের হার ১০% 

প্রশ্ন: দুটি ধনাত্মক সংখ্যার পার্থক্য 8। এদের বর্গের পার্থক্য 192। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি, দুটি ধনাত্মক সংখ্যা a এবং b  (যেখানে a > b)।
দেওয়া আছে,
a - b = 8
a² - b² = 192

আমরা জানি,
a² - b² = (a - b)(a + b) 

শর্তমতে, 
(a - b)(a + b) = 192
⇒ 8 × (a + b) = 192
⇒ a + b = 192/8
∴ a + b = 24

সুতরাং সংখ্যা দুইটির যোগফল = 24

প্রশ্ন: সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 2 সে.মি. এবং উচ্চতা 6 সে.মি. হলে সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 2 সে.মি এবং 
সিলিন্ডারের ভূমির উচ্চতা, h = 6 সে.মি

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh 
=  2 π × 2 × 6
= 24π

∴ সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 24π বর্গ সে.মি।

প্রশ্ন: a² + 4b² + 4b - 4ab - 2a - 8 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
a² + 4b² + 4b - 4ab - 2a - 8
= a² - 4ab + 4b² - 2a + 4b - 8
= {a² - 2 . a . 2b + (2b)²} - 2(a - 2b) - 8
= (a - 2b)² - 2(a - 2b) - 8

ধরি,
a - 2b = x
এখন, 
x² - 2x - 8
= x² - 4x + 2x - 8
= x(x - 4) + 2(x - 4)
= (x - 4)(x + 2)
= (a - 2b - 4)(a - 2b + 2) [x এর মান বসিয়ে]

প্রশ্ন: 14 সদস্যের দল থেকে খেলোয়াড়দেরকে নিয়ে কতভাবে একাদশ সাজানো যাবে যেখানে প্রতিবার একজন অধিনায়ক হিসেবে নির্দিষ্ট থাকবেন?

সমাধান:
14 সদস্যের দলে 1 জন অধিনায়ক নির্দিষ্ট থাকলে বাকি খেলোয়াড় সংখ্যা হবে = (14 - 1) = 13 জন

একাদশে অধিনায়ক নির্দিষ্ট থাকলে খেলোয়াড় বাছাই করতে হবে = 11 - 1 = 10 জন

∴ সমাবেশ সংখ্যা = ¹³C₁₀
= 13!/{10! × (13 - 10)!}
= 13!/(10! × 3!)
= (13 × 12 × 11 × 10!)/(10! × 3!)
= (13 × 12 × 11)/(3 × 2 × 1)
= 286

(x - a)/(a² - b²) = (x - b)/(b² - a²)
⇒ (x - a)/(a² - b²) = -{(x - b)/(a² - b²)}
⇒ (x - a)/(a² - b²) + (x - b)/(a² - b²) = 0
⇒ (x - a + x - b)=0
⇒ 2x = a + b
∴ x = (a + b)/2.

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1) 
∴ প্রথম 19টি পদের সমষ্টি = 19 × (19 + 1)
= (19 × 20)
= 380

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক ৪। সংখ্যাটির দুই অঙ্কের যোগফল সংখ্যাটির ৪ ভাগের ১ ভাগ। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একক স্থানীয় অঙ্ক ৪

ধরি,
সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = x

অতএব,
সংখ্যাটি = ১০x + ৪

প্রশ্নমতে,
⇒ x + ৪ = (১০x + ৪)/৪
⇒ ৪(x + ৪) = ১০x + ৪
⇒ ৪x + ১৬ = ১০x + ৪
⇒ ১০x - ৪x = ১৬ - ৪
⇒ ৬x = ১২
⇒ x = ১২/৬ = ২

∴ সংখ্যাটি = ১০ × ২ + ৪ = ২৪

প্রশ্ন: একটি হুইলচেয়ার ৯৯০ টাকায় বিক্রয় করায় ১০% ক্ষতি হলো, হুইলচেয়ারটির ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান: 
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা 
= ৯০ টাকা 

এখন, 
বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৯০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৯৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৯৯০)/৯০ টাকা 
= ১১০০ টাকা 

∴ চেয়ারটির ক্রয়মূল্য = ১১০০ টাকা।

যেহেতু বলাই আছে যে শিরঃকোণটির সমদ্বিখণ্ডক ভূমির উপর লম্ব অর্থাৎ পাশের দুইটি বাহু নিশ্চিতভাবেই সমান। এখন ভূমি এই দুটি বাহুর সমান হতেও পারে নাও পারে।
তবে, প্রশ্ন যদি এটা হয় যে, কোন ত্রিভুজের শিরঃকোণের সমদ্বিখণ্ডক সর্বদা ভুমির উপর লম্ব হবে। তাহলে উত্তর সমবাহু।

প্রশ্ন: একটি সেনাবাহিনীর গুদামে ১২০০ সৈনিকের ৪০ দিনের খাদ্য মজুদ আছে। ১০ দিন পর কিছু সৈনিক অন্য জায়গায় চলে গেল। বাকি খাদ্য অবশিষ্ট সৈনিকদের আরো ৪৫ দিন চললো। কতজন সৈনিক অন্য জায়গায় চলে গিয়েছিল?

সমাধান:
 দিন বাকি = ৪০ – ১০ = ৩০ দিন

৩০ দিনের খাবার আছে ১২০০ জনের
∴ ১ দিনের খাবার আছে (১২০০ × ৩০) জনের
∴ ৪৫ দিনের খাবার আছে {(১২০০ × ৩০)/৪৫}  জনের
= ৮০০ জনের

∴ সৈনিক চলে গিয়েছিল = (১২০০ – ৮০০) জন
= ৪০০ জন

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x একক হলে কর্ণ x√2.
∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x = 4 বর্গ একক
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল x² = 4² = 16

মোট পরীক্ষার্থীর (৮৫-৭৮)% ; বা, ৭% = ২১ জন
মোট পরীক্ষার্থীর ১% = ৩ জন
সুতরাং মোট পরীক্ষার্থীর ১০০% = ৩০০ জন।

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°।
দুইটি কোণের সমষ্টি ১০০° হলে তৃতীয় কোণের মান (১৮০-১০০)° = ৮০°।

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৪০⁰ হলে বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:

ধরি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা x টি

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর মোট পরিমাণ ৩৬০⁰ 

সুতরাং,
x টি কোণের পরিমাণ ৩৬০⁰
১ টি কোণের পরিমাণ ৩৬০⁰/x

এখন,
৩৬০⁰/x = ৪০⁰
বা, x = ৩৬০⁰/৪০⁰
বা, x = ৯ টি

প্রশ্ন: নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ? 

সমাধান: 
ক) ২/৯ = ০.২২২ (বৃহত্তম)
খ) ৭/৩৬ = ০.১৯৪ (বৃহত্তম) 
গ) ৫/২৭ = ০.১৮৫ (ক্ষুদ্রতম) 
ঘ) ১১/৪৫ = ০.২৪৪ (বৃহত্তম) 

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৫/২৭ ।