গাণিতিক যুক্তি

আমরা জানি, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক বা একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
তাই একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 40° হলে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 80°।

প্রশ্ন: 3log₇49 + 2log₅25 + 4log₈512 এর মান কত?

সমাধান:
3log₇49 + 2log₅25 + 4log₈512
= 3log₇(7²) + 2log₅(5²) + 4log₈(8³)
= 3 × 2log₇7 + 2 × 2log₅5 + 4 × 3log₈8
= (3 × 2 × 1) + (2 × 2 × 1) + (4 × 3 × 1) [ ∵ log _aa = 1]
= 6 + 4 + 12
= 22

এখানে তামা ও সোনার অনুপাত = ৩ঃ১।
সুতরাং মোট মিশ্রণের অনুপাত = ৩+১ = ৪
মিশ্রণে সোনার অনুপাত = ৩/৪ × ১৬ গ্রাম
= ১২ গ্রাম।
এবং মিশ্রণে তামার অনুপাত = ১/৪ × ১৬ গ্রাম = ৪ গ্রাম।
নতুন মিশ্রণে সোনা মিশাতে হবে, (১২+ক)/৪ = ৪/১
বা, ১২+ক = ১৬
বা, ক = ১৬-১২
বা, ক = ৪ গ্রাম।

প্রশ্ন: কোনো আসল ৫ বছরে মুনাফা-আসলে ৩৯০০ টাকা হয়। মুনাফা আসলের ৪/৯ অংশ হলে মুনাফার হার কত?

সমাধান:
ধরি,
আসল = ৯ টাকা
মুনাফা = ৪ টাকা
∴ মুনাফা-আসল = ১৩ টাকা

মুনাফা-আসল ১৩ টাকা হলে মুনাফা = ৪ টাকা
মুনাফা-আসল ১ টাকা হলে মুনাফা = ৪/১৩ টাকা
মুনাফা-আসল ৩৯০০ টাকা হলে মুনাফা = (৪× ৩৯০০)/১৩ টাকা
= ১২০০ টাকা

∴ আসল = (৩৯০০ - ১২০০) = ২৭০০ টাকা

এখন, 
২৭০০ টাকার ৫ বছরের মুনাফা = ১২০০ টাকা
∴ ১ টাকার ১ বছরের মুনাফা = ১২০০/(২৭০০ × ৫)টাকা
∴ ১০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা = (১২০০ × ১০০)/(২৭০০ × ৫)টাকা
= ৮.৮%

প্রশ্ন: যদি sinθ = √2 - cosθ হয়, তবে θ এর মান কত? যেখানে, 0 < θ < π/2.

সমাধান:
sinθ = √2 - cosθ
⇒ sinθ = √2 - cosθ
⇒ sin²θ = (√2 - cosθ)²
⇒ 1 - cos²θ = (√2)² - 2.√2.cosθ + cos²θ
⇒ 1 - cos²θ = 2 - 2√2cosθ + cos²θ
⇒ 2cos²θ - 2√2cosθ + 1 = 0
⇒ (√2cosθ - 1)² = 0
⇒ √2cosθ - 1 = 0
⇒ √2cosθ = 1
⇒ cosθ = 1/√2
⇒ cosθ = cos45°
⇒ cosθ = cos(π/4)
∴ θ = π/4

প্রশ্ন: ১২ জন শ্রমিক একটি দেয়াল ১৫ দিনে তৈরি করতে পারে। একই দেয়াল ৪৫ দিনে তৈরি করতে চাইলে কত জন শ্রমিক ছাঁটাই করা প্রয়োজন?

সমাধান:
১৫ দিনে দেয়ালটি তৈরি করতে শ্রমিক লাগে ১২ জন
১ দিনে দেয়ালটি তৈরি করতে শ্রমিক লাগে = (১৫ × ১২) জন
∴ ৪৫ দিনে দেয়ালটি তৈরি করতে শ্রমিক লাগে =  (১৫ × ১২)/৪৫ জন
= ১৮০/৪৫ জন
= ৪ জন

∴ শ্রমিক ছাঁটাই করা প্রয়োজন = (১২ - ৪) = ৮ জন

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ. সা. গু 3 ও ল. সা. গু 11880। একটি সংখ্যা 297 হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার গ. সা. গু 3
এবং ল. সা. গু 11880
একটি সংখ্যা 297

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুনফল = দুইটি সংখ্যার ল. সা. গু × দুইটি সংখ্যার গ. সা. গু
বা, একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = দুইটি সংখ্যার ল. সা. গু × দুইটি সংখ্যার গ. সা. গু
বা, 297 × অপর সংখ্যা = 11880 × 3
বা, অপর সংখ্যা = 35640/297
∴ অপর সংখ্যা = 120

৩০ ও ৮০ এর মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা ৭৯
৩০ ও ৮০ ক্ষুদ্রতম এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ৩১
∴ তাদের পার্থক্য = ৭৯ - ৩১ = ৪৮

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ও অন্তরফল যথাক্রমে 61 ও 11 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যা দুইটি x এবং y

∴ x² + y² = 61..........(¡)
x² - y² = 11..........(¡¡) 
-----------------------
(+) করে, 2x² = 72
বা, x² = 72/2
বা, x² = 36
বা, x² = 6²
∴ x = 6
​
(¡) নং হতে পাই, 
y² = 61 - x²
বা, y² = 61 - (6)²
বা, y² = 61 - 36
বা, y² = 25
বা, y² = 5²
∴ y = 5

∴ (x, y) = (6, 5)

প্রশ্ন: টাকায় ১০টি ও টাকায় ১৫টি করে সমান সংখ্যক লিচু কিনে সব লিচু টাকায় ১২টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
১০টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১ টাকা 
১টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১/১০ টাকা 

১৫টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১ টাকা 
১টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১/১৫ টাকা 

(১ + ১)টি বা ২টি লিচুর ক্রয়মূল্য = (১/১০) + (১/১৫) টাকা 
২টি লিচুর ক্রয়মূল্য =(৩ + ২)/৩০ টাকা 
২টি লিচুর ক্রয়মূল্য= ৫/৩০ টাকা 
২টি লিচুর ক্রয়মূল্য= ১/৬ টাকা 
১টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১/(২× ৬)
= ১/১২ টাকা 

১২টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = ১ টাকা 
১টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = ১/১২ টাকা 

১টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১টি লিচুর বিক্রয়মূল্য
লাভ বা ক্ষতি কিছুই হবে না

প্রশ্ন: দুটি ট্রেন বিপরীত দিক থেকে একটি অপরটির দিকে চলছে। যদি একটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য ১২০ মি. হয় এবং তারা একে অপরকে ১২ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। প্রত্যেক ট্রেনের গতিবেগ ৩৬ কি.মি./ঘণ্টা হলে অপর ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, অপর ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ক মি.
আপেক্ষিক বেগ = (৩৬ + ৩৬) কি.মি./ঘণ্টা 
= ৭২ কি.মি./ঘণ্টা
= ৭২ × (৫/১৮) মি./সে.
= ২০ মি./সে.

সময় = ১২ সে.
∴ মোট দূরত্ব = (ক + ১২০) মি.

আমরা জানি,
দূরত্ব = সময় × বেগ
বা, ক + ১২০ = ১২ × ২০
বা, ক + ১২০ = ২৪০
বা, ক = ২৪০ - ১২০
∴ ক = ১২০ মি.

ABC সমবাহু ত্রিভূজে AB = BC = CA = ২ সে. মি.
AD মধ্যমা
∴ AD ⊥ BC এবং CD = ১ সে. মি.
∴ AC² = AD² + CD²
বা, AD = √(AC² - CD²)
= √(২^২ - ১^২)
= √৩

প্রশ্ন: ৩২৪ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
৩২৪ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৩
= ২^২ × ৩^৪ 

এখানে,
২ এর সূচক ২ এবং ৩ এর সূচক ৪।
এখন, প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (৪ + ১)
= ৩ × ৫
= ১৫ 

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ১৫।

প্রশ্ন: যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান তাকে কী বলে?

সমাধান:
ট্রাপিজিয়াম: যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।

ট্রাপিজিয়ামের বৈশিষ্ট্য:
- ট্রাপিজিয়ামের দুইটি বাহু সমান্তরাল।
- সমান্তরাল বাহু দুইটি কখনও সমান হতে পারে না।
- সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটিকে ভূমি বলে।
- সমান্তরাল বাহু দুটি ব্যতীত অপর দুটি বাহুকে তীর্যক বাহু বলে।
- তীর্যক বাহু দুইটি সমান হলে উহা একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষের প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে শিক্ষার্থী বসলে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৪ জন শিক্ষার্থীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণিতে বেঞ্চের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চের সংখ্যা = ক টি

প্রথম শর্তমতে, শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৫(ক - ৩)
দ্বিতীয় শর্তমতে, শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৪ক + ৪

প্রশ্নমতে, 
৫(ক - ৩) = ৪ক + ৪
⇒ ৫ক - ১৫ = ৪ক + ৪
⇒ ৫ক - ৪ক = ৪ + ১৫
⇒ ক = ১৯

∴ বেঞ্চের সংখ্যা ১৯ টি

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের কোণগুলোর অনুপাত ৯ : ১০ : ১২ : ১৪ : ১৫ হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের অন্তর কত?

সমাধান:
ধরি,
পঞ্চভুজটির কোণগুলোর পরিমাণ যথাক্রমে ৯ক, ১০ক, ১২ক, ১৪ক , ১৫ক 

আমরা জানি,
পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ ৫ টি কোণের সমষ্টি = (২n - ৪) × ৯০° 
= (২ × ৫ - ৪) × ৯০° 
= (১০ - ৪) × ৯০° 
= ৬ ×  ৯০° = ৫৪০°

প্রশ্নমতে,
৯ক + ১০ক + ১২ক + ১৪ক + ১৫ক = ৫৪০° 
⇒ ৬০ক = ৫৪০°
 ⇒ ক = ৫৪০°/৬০ 
 ⇒ ক = ৯° 

∴ বৃহত্তম কোণ = (১৫ × ৯)° = ১৩৫° 
এবং ক্ষুদ্রতম কোণ = (৯ × ৯)° = ৮১° 

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের অন্তর = (১৩৫ - ৮১)° = ৫৪° 

প্রশ্ন: যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 8x + y = কত? 

সমাধান: 
5xy + 28x - 2 = 0 
বা, 5x × (- 4) + 28x - 2 = 0 [y = - 4] 
বা, - 20x + 28x - 2 = 0 
বা, 8x - 2 = 0 
বা, 8x = 2 
বা, x = 2/8 
∴ x = 1/4 

∴ 8x + y = 8 × (1/4) + (- 4) 
= 2 - 4 
= - 2 

প্রশ্ন:  = ?

সমাধান:

প্রশ্ন: ৫০ কেজি মিশ্রণে বালি ও সিমেন্টের পরিমাণের অনুপাত ৪ : ১। মিশ্রণটিতে বালি ও সিমেন্টের পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট মিশ্রণ = ৫০ কেজি
বালি : সিমেন্ট = ৪ : ১

∴ মোট অংশ = ৪ + ১ = ৫ অংশ
প্রতি অংশের পরিমাণ = ৫০/৫ = ১০ কেজি

এখন, বালির পরিমাণ = (৪ × ১০) কেজি = ৪০ কেজি
সিমেন্টের পরিমাণ = (১ × ১০) কেজি = ১০ কেজি

সুতরাং, মিশ্রণে বালি ৪০ কেজি এবং সিমেন্ট ১০ কেজি।

বিনিয়োগকারীর মধ্যে ভাগের অনুপাত = ১ঃ২ঃ৪
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ১ + ২ + ৪ = ৭ 
∴ বৃহত্তম অংশ = ২১,০০০ এর ৪/৭ = ১২,০০০ টাকা

দেওয়া আছে,
পিতার বয়স ৫৬ বছর
পিতার বয়স ঃ পুত্রের বয়স = ১৪ঃ৩
∴ পুত্রের বয়স = (৩/১৪) × পিতার বয়স
= (৩/১৪) × ৫৬
= ১২ বছর
∴ পুত্রের বয়স ১২ বছর।

প্রশ্ন: বাংলা বর্ণমালায় থেকে এলোমেলো ভাবে একটা বর্ণ বেছে নিলে সেটা ব্যঞ্জনবর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
বাংলা বর্ণমালায় মোট বর্ণ = ৫০টা
যেখানে, স্বরবর্ণ = ১১টা এবং ব্যঞ্জনবর্ণ = ৩৯টা

∴ ব্যঞ্জনবর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা = ৩৯/৫০
∴ ব্যঞ্জনবর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৩৯/৫০)
= (৫০ - ৩৯)/৫০  
= ১১/৫০

সুতরাং, ব্যঞ্জনবর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা ১১/৫০। 

যেহেতু,
f(5) = 0
বা, 5² + 7.5 + c = 0
বা, 25 + 35 + c = 0
বা, c + 60 = 0
∴ c = -60

1/x³ এর লব ও হরের সাথে -x যোগ করে পাই,
(1 - x)/(x³ - x)
= -(x - 1)/{x(x² - 1)}
= - (x - 1)/{ x(x + 1)(x - 1)}
= - {1/(x² + x)}

প্রশ্ন: কোনো স্থানে ৩ কি.মি./ঘণ্টা বেগে গিয়ে এবং ২ কি.মি./ঘণ্টা বেগে ফিরে আসতে মোট সময় লাগে ১৫ ঘণ্টা। তবে যাত্রা পথের দূরত্ব কত?

সমাধান: 
ধরি,
মোট দুরত্ব = ক কি.মি.

প্রথমে ৩ কি.মি. যায় = ১ ঘণ্টায়
∴ ক কি.মি. যায় = ক/৩ ঘণ্টায়

আবার,
২ কি.মি./ঘন্টা ফিরে আসে = ১ ঘণ্টায়
ক কি.মি./ঘন্টা ফিরে আসে= ক/২ ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
(ক/৩) + (ক/২) = ১৫
বা, (২ক + ৩ক)/৬ = ১৫
বা, ৫ক/৬ = ১৫
বা, ৫ক = ১৫ × ৬
বা, ক = ৯০/৫
∴ ক = ১৮ কি.মি.

প্রশ্ন: sin45° = √2A হলে, A = কত?
​
​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
sin45° = √2A
⇒ ​​1/√2 = √2A
∴ ​A = 1/2

প্রশ্ন: 16x² + 24x + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কী?

সমাধান:
16x² + 24x + 9 = 0
এখানে,
a = x² এর সহগ = 16
b = x এর সহগ = 24
c = ধ্রুবক = 9

নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (24)² - 4 × 16 × 9
= 576 - 576
= 0

নিশ্চায়ক = 0 হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

উল্লেখ্য:
• b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।
• b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ নয় মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ।
• b² - 4ac = 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।
• b² - 4ac < 0 হলে বাস্তব মূল নেই (কাল্পনিক মূল)।

প্রদত্ত কোনদ্বয়ের সমষ্টি = (৩৫ + ৫৫) বা ৯০°
তাহলে, অপর কোনটিও ৯০ কারন ত্রিভুজের তিনকোনের সমষ্টি ১৮০°
যার এককোন সমকোন তাকে সমকোনী ত্রিভুজ বলে।

প্রশ্ন: log₁₀​(0.001) এর মান নির্ণয় করুন-

সমাধান:
log₁₀​(0.001)
= log₁₀(1/1000)
= log₁₀10^{- 3}
= - 3 log₁₀10
= - 3 × 1  ; [log₁₀10 = 1]

∴ log₁₀​(0.001) এর মান - 3

a³ - 3a²b + 3ab² - 2b³
= a³ - 3a²b + 3ab² - b³ - b³
= ( a - b)³ - b³
= (a - 2b){(a - b)² + b(a -b) + b²}
= (a - 2b)(a² - ab + b²)

প্রশ্ন: 16a³ - 46a² + 15a কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন-

সমাধান: 
16a³ - 46a² + 15a
= a(16a² - 46a + 15)
= a(16a² - 40a - 6a + 15)
= a {8a(2a - 5) - 3(2a - 5)}
= a(2a - 5)(8a - 3)

-{(-x) - (-y)}
= -(-x + y)
= x - y

এবং -(z - y)
= y - z

∴ যোগফল = x - y + y - z
= x - z

প্রশ্ন: পিতা ও ২ পুত্রের বয়সের গড় অপেক্ষা মাতা ও ২ পুত্রের বয়সের গড় ২ বছর কম। মাতার বয়স ৩২ বছর হলে পিতার বয়স কত?

​সমাধান:
ধরি, 
​পিতার বয়স = ক বছর 
​২ পুত্রের বয়স = খ বছর 
​
​∴ পিতা ও ২ পুত্রের বয়সের গড় = (ক + খ)/৩ বছর 
এবং 
​মাতা ও ২ পুত্রের বয়সের গড় = (৩২ + খ)/৩ বছর

​প্রশ্নমতে,
​(৩২ + খ)/৩ = {(ক + খ)/৩} - ২
​⇒ (৩২ + খ)/৩ = {(ক + খ) - ৬}/৩
⇒ ​৩(৩২ + খ) = ৩(ক + খ - ৬)
​⇒ ​৩২ + খ = ক + খ - ৬
⇒ ​ক = ৩২ + খ - খ + ৬
​⇒ ​ক = ৩৮
​
∴ ​পিতার বয়স = ৩৮ বছর