গাণিতিক যুক্তি

এখানে,
শতক, দশক ও একক স্থানীয় অঙ্ক যথাক্রমে x, y, z হলে,
সংখ্যাটি = 100 × x + 10 × y + 1 × z
= 100x + 10y + z

যে সকল সংখ্যার গুণনীয়ক কেবল ১ এবং ঐ সংখ্যা তাদের কে মৌলিক সংখ্যা বলে।
এখানে ২৬৩, ২৪১, ২৩৩ এর গুণনীয়ক কেবল ১ এবং ঐ সংখ্যা।
কিন্তু ২৫৩/১১ = ২৩ পাওয়া যায় তাই ২৫৩ এর গুণনীয়ক কেবল ১ এবং ঐ সংখ্যা নয় তাই ২৫৩ সংখ্যাটি মৌলিক নয়।

প্রশ্ন: A : B = ৫ : ৭, B : C = ৮ : ৯ এবং C : D = ৩ : ৫ হলে A : D = কত?

সমাধান:
A : B = ৫ : ৭ = (৫ × ৮) : (৭ × ৮) = ৪০ : ৫৬

B : C = ৮ : ৯ = (৮ × ৭) : (৯ × ৭) = ৫৬ : ৬৩

C : D = (৩ × ২১) : (৫ × ২১) = ৬৩ : ১০৫

আবার, A : C = ৪০ : ৬৩

∴ A : D = ৪০ : ১০৫ = ৮ : ২১

সমান কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 50° + 50°
= 100°
∴ অপর কোণ = 180° - 100°
= 80°

8, 10, 12 এর ল.সা.গু = 2 × 2 × 2 × 5 × 3 = 120
এতে সৈন্যদের 8, 10, 12 সারিতে সাজানো যাবে।
এখন, তাদেরকে বর্গাকারে সাজাতে হলে ল.সা.গু কে 2 × 5 × 3 দ্বারা গুণ করতে হবে।
সুতরাং সৈন্যদেরকে বর্গাকারে সাজানো যাবে যদি সৈন্য সংখ্যা = (2 × 2) × (2 × 2) × (5 × 5) × (3 × 3) = 3600 জন হয়।
এবং এখানের অপশনগুলোর মধ্যে ৩৬০০ই ১২০ এর গুণিতক এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক ছাত্রকে ৬, ১০, ১৫ এবং ২০ জনের দলে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে সাজানো সম্ভব?

সমাধান:
৬, ১০, ১৫ এবং ২০ এর ল.সা.গু নির্ণয় করি:
৬ = ২ × ৩
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫

∴ ৬, ১০, ১৫ এবং ২০ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৬০

- এখানে ২ এর সূচক জোড়, কিন্তু ৩ এবং ৫ এর সূচক বিজোড় (১)।
- বর্গাকৃতিতে সাজাতে হলে সংখ্যাটিকে পূর্ণবর্গ হতে হবে। পূর্ণবর্গ করতে হলে আরও একটি ৩ এবং একটি ৫ দিয়ে গুণ করতে হবে।

∴ ছাত্রসংখ্যা = ৬০ × ৩ × ৫
= ৬০ × ১৫
= ৯০০ জন

প্রশ্ন: ৩/৭ এর শতকরা কত ৯/১৪ হবে?

সমাধান:
ধরি, ৩/৭ এর ক% = ৯/১৪
⇒ (৩/৭) × (ক/১০০) = ৯/১৪
⇒ ৩ক/৭০০ = ৯/১৪
⇒ ৩ক × ১৪ = ৯ × ৭০০
⇒ ৪২ক = ৬৩০০
⇒ ক = ৬৩০০/৪২
∴ ক = ১৫০%

অতএব, ৩/৭ এর ১৫০% হলো ৯/১৪।

গণিতে ফেল করে = ১০০% - ৮০% =২০%
বাংলায় ফেল করে = ১০০% - ৯০% =১০%
গণিতে ও বাংলায় ফেল করে = ২০%+১০% = ৩০%
সুতরাং, উভয় বিষয়ে পাস করে = ১০০% -৩০% =৭০%
এখন,
৭০ জন পাস হলে ছাত্র ১০০
১ জন পাস হলে ছাত্র ১০০/৭০
৩৫০ জন পাস হলে ছাত্র (১০০×৩৫০) /৭০ = ৫০০ জন

প্রশ্ন: 7 + 12 + 17 + ...... ধারাটির প্রথম 16 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 7,
সাধারণ অন্তর, d = 12 - 7 = 5
এখানে পদ সংখ্যা, n = 16

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি, S_n = (n/2) × {2a + (n - 1)d}
∴ 16 টি পদের সমষ্টি S₁₆ = (16/2) × {2 × 7 + (16 - 1)5}
= 8 × (14 + 15 × 5)
= 712

{(৩/৫)/(৩/৪)} × ১০০%
= (৩/৫) × (৪/৩) × ১০০%
= ৮০%

প্রশ্ন:

সমাধান:

২/৩ = ০.৬৭
৩/৫ = ০.৬
৮/১১ = ০.৭৩
১৭/২৭ = ০.৬৩

Let the required number of days be x
Less men, More days (Indirect proportion)
∴ 42:56::24:x
⇒ 42×x = 56×24
⇒ x = (56×24)/42
⇒ x = 32

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে x + 1, 2x - 1 এবং 3x + 1 ত্রিভুজটির পরিসীমা 31cm হলে ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে x + 1, 2x - 1 এবং 3x + 1

যেহেতু, ত্রিভুজের পরিসীমা হলো ত্রিভুজের তিন বাহুর সমষ্টি।
∴ x + 1 + 2x - 1 + 3x + 1 = 31
⇒ 6x + 1 = 31
⇒ 6x = 31 - 1 = 30
⇒ x = 30/6
∴ x = 5

অতএব ১ম বাহু = x + 1 = 5 + 1 = 6cm
২য় বাহু = 2x - 1 = 2 × 5 - 1 = 10 - 1 = 9cm
এবং
৩য় বাহু = 3x + 1 = 3 × 5 + 1 = 15 + 1 = 16

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য 6 cm। 

ধারাটির সমষ্টি = 1/6 n (n + 1) (2n + 1)
= 1/6 × 18 (18 +1) (2 × 18 +1)
= 3 × 19 × 37
= 2109

প্রশ্ন: ৩০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৩ তাদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
​৩০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৩ সেগুলো হলো = ৪৩, ৫৩, ৭৩।

এই সংখ্যাগুলোর সমষ্টি,
= (৪৩ + ৫৩ + ৭৩)
= ১৬৯

অতএব, সংখ্যাগুলোর সমষ্টি হলো ১৬৯।

প্রশ্ন: সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে, যেকোনো মূলধন ৮ বৎসরে সুদে-আসলে তিনগুণ হবে?

সমাধান: 
ধরি,
আসল = x টাকা
∴ সুদে-আসলে ৩ গুণ = ৩x টাকা
∴ সুদ = (৩x - x) টাকা
= ২x টাকা

x টাকার ৮ বৎসরের সুদ = ২x টাকা
∴ ১ টাকার ১ বৎসরের সুদ = ২x/(x × ৮) টাকা
∴ ১০০ টাকার ১ বৎসরের সুদ = (২x × ১০০)/(x × ৮) টাকা
= ২৫ টাকা

∴ শতকরা সরল সুদের হার = ২৫ টাকা ।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: (2 + a) + 5 = 5(a + 2) হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
(2 + a) + 5 = 5(a + 2)
⇒ 2 + a + 5 = 5a + 10
⇒ 7 + a = 5a + 10
⇒ 5a + 10 = a + 7
⇒ 5a - a = 7 - 10
⇒ 4a = - 3
∴ a = - (3/4)

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ১৪ সেমি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস d = ১৪ সেমি
∴ বৃত্তের ব্যাষার্ধ r = ১৪ ÷ ২ সেমি
= ৭ সেমি

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= (২২/৭) × (৭)^২
= ২২ × ৭
= ১৫৪ বর্গ সেমি

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল ১৫৪ বর্গ সেমি

করমর্দন সংখ্যা = ¹⁰C₂
= 10! ÷ {2! × (10 - 2)!}
= 10! ÷ (2! × 8!)
= 10 × 9 × 8! ÷ {( 2 × 1) × 8!}
= 10 × 9/2
= 45

শর্টকাটঃ 10 × 9/2= 45

প্রশ্ন: ৮ + ১১ + ১৪ + ... ধারাটির প্রথম ২৫টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে, ১১ - ৮ = ৩ এবং ১৪ - ১১ = ৩।
যেহেতু পরপর দুটি পদের পার্থক্য সমান, এটি একটি সমান্তর ধারা।

ধারাটির প্রথম পদ, a = ৮
সাধারণ অন্তর, d = ৩
পদ সংখ্যা, n = ২৫

সমান্তর ধারার প্রথম n পদের যোগফল সূত্র: S_n = n/2 [2a + (n - 1)d]

∴ ধারাটির প্রথম ২৫ টি পদের সমষ্টি, S_২৫ = ২৫/২[(২ × ৮) + (২৫ - ১) × ৩]
= ২৫/২ [১৬ + (২৪ × ৩)]
= ২৫/২ [১৬ + ৭২]
= ২৫/২ × ৮৮
= ২৫ × ৪৪
= ১১০০

∴ ধারাটির প্রথম ২৫টি পদের যোগফল = ১১০০।

3টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত রেখে অবশিষ্ট (14-3) বা 11টি হতে (6-3) বা 3 টিকে বাছাই করার উপায় = ¹¹C₃
= (11×10×9×8!) ÷ (8!×3!)
= (11×10×9) ÷ 6
= 165

প্রশ্ন: ১৬ এর কত শতাংশ ৪৪ হবে? 

সমাধান: 
মনে করি, 
১৬ এর x% = ৪৪ 
⇒ ১৬ × (x/১০০) = ৪৪ 
⇒ ১৬x = ৪৪ × ১০০ 
⇒ x = (৪৪ × ১০০)/১৬ 
⇒ x = ১১ × ২৫
∴ x = ২৭৫%