গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৩য় পদ এবং ৮ম পদ যথাক্রমে - 13 এবং 2 হলে, ধারাটির ১৪তম পদ কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
a_n = a + (n - 1)d
দেওয়া আছে,
a₃ = a + 2d = - 13 .......(1)
a₈ = a + 7d = 2 .......(2)

এখন (2) থেকে (1) বিয়োগ করে পাই, 
(a + 7d) - (a + 2d) = 2 - (- 13)
⇒ 5d = 15
⇒ d = 15/5 = 3
∴ d = 3

d এর মান (1) বসিয়ে পাই,
⇒ a + 2 × 3 = - 13
⇒ a + 6 = - 13
⇒ a = - 13 - 6
∴ a = - 19

এখন ১৪তম পদ, a₁₄ = a + 13d
= - 19 + 13 × 3
= - 19 + 39
= 20

সুতরাং, ধারাটির ১৪তম পদ = 20

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যা তৃতীয় একটি সংখ্যার চেয়ে যথাক্রমে ২৫% এবং ৪০% কম। তাহলে দ্বিতীয় সংখ্যাটি প্রথম সংখ্যার থেকে কত শতাংশ কম?

সমাধান: 
ধরি,
তৃতীয় সংখ্যাটি হলো ১০০ 

প্রথম সংখ্যাটি তৃতীয় সংখ্যার চেয়ে ২৫% কম।
∴ প্রথম সংখ্যাটি = ১০০ - [(২৫/১০০) × ১০০] = ১০০ - ২৫ = ৭৫

আবার, 
দ্বিতীয় সংখ্যাটি তৃতীয় সংখ্যার চেয়ে ৪০% কম। 
∴ দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ১০০ - [(৪০/১০০) × ১০০] = ১০০ - ৪০ = ৬০

∴ প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার পার্থক্য = ৭৫ - ৬০ = ১৫ 

∴ দ্বিতীয় সংখ্যাটি প্রথম সংখ্যার থেকে কম = (১৫/৭৫) × ১০০% = ২০% 

যেহেতু, a < b এবং ab < 0
∴ a < 0 এবং b > 0
∴ a²b সর্বদা ধনাত্মক।

log₂√20 + log₂√4/5
= log₂√(4 × 5) + log₂√4/5
= log₂√4 × √5 + log₂√4/√5
= log₂√4 + log₂√5 + log₂√4 - log₂√5
= log₂2 + log₂2
= 1 + 1 = 2

মনে করি, সামান্তরিকের উচ্চতা, ক
সুতরাং, ভূমি 2ক
আমরা জানি, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
শর্তমতে, ক × 2ক = 72
বা, 2ক² = 72
বা, ক² = 36
বা, ক = 6
সুতরাং উচ্চতা = 6 সে.মি. এবং ভূমি 2 × 6 = ১২ সে.মি.

প্রশ্ন: 15 টি বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সুষম বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = 15

আমরা জানি, 
সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = 360°/বাহুর সংখ্যা 
= 360°/15 
= 24° ।

• এখানে, ৩ বছর পূর্বে মা ও মেয়ের বয়স যথাক্রমে ২৭ বছর ও ২ বছর ছিল।
• তাহলে, বর্তমানে মায়ের বয়স = (২৭+৩) বছর = ৩০ বছর এবং মেয়ের বয়স = (২+৩) বছর = ৫ বছর।
• সুতরাং, ৫ বছর পর মা ও মেয়ের বয়স হবে যথাক্রমে = (৩০+৫) বছর = ৩৫ বছর এবং (৫+৫) বছর = ১০ বছর
• সুতরাং মা ও মেয়ের বয়সের অনুপাত হবে = ৩৫ঃ১০
= ৭ঃ২ বছর।

x + y = 7 .......(1)
x - y = 3 ...........(2)
(1) + (2) করে
2x = 10
x = 5
x এর মান (1) বসিয়ে,
5 + y = 7
y = 2
∴ (x, y) = (5, 2) 

x² + 2ax - 2a - 1
= (x² - 1) + 2ax - 2a
= (x + 1)(x - 1) + 2a (x - 1)
= (x - 1)(x + 2a + 1)

x² - (p+q)x + pq = 0
⇒ x² - px - qx + pq = 0
⇒ x(x-p) - q(x-p) = 0
⇒ (x-p)(x-q) = 0
∴ x = (p,q)

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 10। সংখ্যাটির সাথে 18 যোগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
একক স্থানীয় অঙ্কটি x এবং দশক স্থানীয় অঙ্কটি y। 
∴ সংখ্যাটি = 10y + x

প্রথম শর্তানুসারে,
∴ x + y = 10 ........(1)

দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
⇒ (10y + x) + 18 = 10x + y
⇒ 10x - x + y - 10y = 18
⇒ 9x - 9y = 18
∴ x - y = 2 .......(2)

এখন, (1) + (2) করে পাই, 
⇒ (x + y) + (x - y) = 10 + 2
⇒ 2x = 12
∴ x = 6

এখন x = 6 হলে, (1) নং সমীকরণ থেকে পাই,
⇒ 6 + y = 10
∴ y = 4

∴ সংখ্যাটি = 10y + x
= 10 × 4 + 6
= 40 + 6
= 46

অতএব, সংখ্যাটি হলো 46

প্রশ্ন: ঘড়িতে যখন 5 : 35 বাজে তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত? 

সমাধান: 
উৎপন্ন কোণ = {|11M - 60H|}/2 
= {|(11 × 35) - (60 × 5)|}/2 
= {|385 - 300|}/2 
= 85/2 
= 42.5°

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা?

সমাধান:
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে,
১৪ = ২ × ৭
২৫ = ৫ × ৫ 

১৪ এবং ২৫ এর মধ্যে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
∴ ১৪, ২৫ সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা।

∠A + ∠B = ∠ACD
বা, ∠A = ∠ACD - ∠B = 130° - 90° = 40°

প্রশ্ন: ১ থেকে ৪২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা-

সমাধান:
১ থেকে ৪২০ পর্যন্ত মোট নমুনাবিন্দু = ৪২০
পূর্ণ বর্গসংখ্যার অনুকূলে নমুনাবিন্দু - {১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১, ১০০, ১২১, ১৪৪, ১৬৯, ১৯৬, ২২৫, ২৫৬, ২৮৯, ৩২৪, ৩৬১, ৪০০} = মোট ২০টি

∴ এক্ষেত্রে সম্ভাবনা = ২০/৪২০
= ১/২১

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৮ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৭২ বর্গমিটার
সামান্তরিকের উচ্চতা = ৮ মিটার 
সামান্তরিকের ভূমি =? 

আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক 
বা, ৭২ = ভূমি × ৮ 
বা, ভূমি = ৭২/৮ 
∴ ভূমি = ৯ মিটার 

∴ সামান্তরিকের ভূমি = ৯ মিটার। 

প্রশ্ন: একটি স্কুলে ৮০ জন ছাত্র আছে। ৪৫ জন বাস্কেটবল খেলে, ৩৮ জন ভলিবল খেলে এবং ১৫ জন উভয় খেলা খেলে। কতজন কোনো খেলাই খেলে না?

সমাধান: 
বাস্কেটবল খেলে, n(B) = ৪৫ জন
ভলিবল খেলে, n(V) = ৩৮ জন
উভয় খেলা খেলে, n(B ∩ V) = ১৫ জন

আমরা জানি,
অন্তত একটি খেলা খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা n(B ∪ V) = n(B) + n(V) - n(B ∩ V)
= ৪৫ + ৩৮ - ১৫
= ৮৩ - ১৫
= ৬৮ জন

∴ কোনো খেলাই না খেলা ছাত্রের সংখ্যা = মোট ছাত্র - n(B ∪ V)
= ৮০ - ৬৮
= ১২ জন

সুতরাং, ১২ জন ছাত্র কোনো খেলাই খেলে না। 

প্রশ্ন: |2x - 1| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
(2x - 1) ধনাত্মক ধরে,
2x - 1 < 7
বা, 2x < 7 + 1
বা, 2x < 8
বা, x < 4

আবার, (2x - 1) ঋণাত্মক ধরে,
- (2x - 1) < 7
বা, 2x - 1 > - 7 [উভয়পক্ষকে -1 দ্বারা গুণ করে চিহ্ন পরিবর্তন করা হয়েছে]
বা, 2x > - 7 + 1
বা, 2x > - 6
বা, x > - 3

∴ নির্ণেয় সমাধান: {x ∈ R: - 3 < x < 4}

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৬০০ জন ছাত্র-ছাত্রী আছে যার মধ্যে ৩০% ছাত্র, সেই ক্লাসে ছাত্রীর সংখ্যা কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট ছাত্র-ছাত্রী = ৬০০ জন
∴ ক্লাসে ছাত্র সংখ্যা = ৬০০ এর ৩০%
= ৬০০ এর ৩০/১০০
= ১৮০ জন

∴ ক্লাসে ছাত্রীর সংখ্যা = (৬০০ - ১৮০) জন
= ৪২০ জন।

এখানে, a² - 10a - 2ab + 25 + b²
= a² + 25 + b² - 10a - 2ab
= (-a)² + 5² + b² + 2.(-a).5 + 2.(-a).b + 2.5.b
= (-a+5+b)²
সুতরাং 2.5.b বা 10b যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।

১/২ অংশ করতে লাগে ২০ দিন
১ অংশ করতে লাগে (২০ ÷ (১/২)) = ৪০ দিন

১৫ জন করে ৪০ দিনে
১ জন করে (৪০ × ১৫) দিনে
২০ জন করে (৪০ × ১৫)/২০ = ৩০ দিনে।