গাণিতিক যুক্তি

ধরি এককের অংক y এবং দশকের অংক x ; তাহলে সংখ্যাটি = 10x+y

প্রশ্নমতে, 10(x+3) + y - 2 = 3(10x+y)
⇒ 10x + 30 + y - 2 = 30x + 3y
⇒ 10x + y + 28 = 30x + 3y
⇒ 20x + 2y = 28
⇒ 2(10x + y) = 28
⇒ 10x + y = 14

সুতরাং, সংখ্যাটি 14

প্রশ্ন: ৩২০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
• কোনো সংখ্যাকে পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হতে হলে, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত (power) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হতে হবে।

৩২০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৫
= ২^৬ × ৫^১

এখানে, ২-এর ঘাত হলো ৬, যা একটি জোড় সংখ্যা। কিন্তু ৫-এর ঘাত হলো ১, যা একটি বিজোড় সংখ্যা।

৫-এর ঘাত জোড় করতে হলে আরও একটি ৫ দিয়ে গুণ করতে হবে।
৩২০ × ৫ = ১৬০০ = ৪০^২

সুতরাং, ৫ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 + 0.015625 +........... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এখানে, 
১ম পদ, a = 1

∴ সাধারণ অনুপাত, r = 0.5 ÷ 1 
= (5/10)/1 
= (1/2)/1 
= 1/2 
= 0.5 < 1

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার অসীমতক পদের সমষ্টি = a/(1 - r) [যখন r < 1]
= 1/(1 - 0.5) 
= 1/(0.5)
= 1/(1/2)
= 2

প্রশ্ন: যদি n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই বিজোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
যেহেতু n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, সুতরাং 2n অবশ্যই জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা হবে। 

∴ 2n + 1 হবে বিজোড় পূর্ণসংখ্যা। 

উদাহরণ:
2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7
2 × 4 + 1 = 8 + 1 = 9

প্রশ্ন: ২০ জন লোক একটি দেয়াল ১৫ দিনে তৈরি করতে পারে। ১০ দিনে দেয়ালটি তৈরি করতে কতজন লোক লাগবে?

সমাধান:
১৫ দিনে দেয়াল তৈরি করে ২০ জন
১ দিনে দেয়াল তৈরি করে (২০ × ১৫) জন
১০ দিনে দেয়াল তৈরি করে (২০ × ১৫)/১০ জন
= ৩০ জন 

সুতরাং, ১০ দিনে দেয়ালটি তৈরি করতে ৩০ জন লোক লাগবে।

ধরি, ১১০ টাকা দামের চা ক কেজি = ১১০ক টাকা
∴ ১০০ টাকা দামের চা ২ক কেজি = ১০০ × ২ক = ২০০ক টাকা
প্রশ্নমতে,
১২০×(ক + ২ক) - (১১০ক + ২০০ক) = ২০০০
বা, ৩৬০ক - ৩১০ক = ২০০০
বা, ক = ২০০০/৫০ = ৪০
সুতরাং ২য় প্রকারের চা = ২×৪০ = ৮০ কেজি

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে। 
এখানে, 
২৭ - ৩ = ২৪ 
৪০ - ৪ = ৩৬ 
৬৫ - ৫ = ৬০ 

এখন,
২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু ই হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা । 
∴ ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ১২

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ ।

125(√5)^2x = 1
(√5)^2x = 1/125
(√5)^2x = 1/(√5)⁶
(√5)^2x = (√5)^-6
2x = − 6
x = -  3

প্রশ্ন: একজন দোকানদার ৪৮০০ টাকা করে দুটি চেয়ার বিক্রয় করেছে। একটি চেয়ার ২০% লাভে এবং অন্যটি ২০% লোকসানে বিক্রয় করেছে। সব মিলিয়ে কত টাকা লোকসান হয়েছে?

সমাধান: 
১ম চেয়ারের বিক্রয় মূল্য = ১২০ টাকা
∴ ১ম চেয়ারের ক্রয় মূল্য = (৪৮০০ × ১০০)/১২০ টাকা
= ৪০০০ টাকা

আবার,
২য় চেয়ারের বিক্রয় মূল্য = ৮০ টাকা
∴ ২য় চেয়ারের ক্রয় মূল্য = (৪৮০০ × ১০০)/৮০ টাকা
= ৬০০০ টাকা

∴ মোট বিক্রয় মূল্য = (৪৮০০ + ৪৮০০) টাকা
= ৯৬০০ টাকা
এবং
মোট ক্রয় মূল্য = (৪০০০ + ৬০০০) টাকা
= ১০০০০ টাকা

∴ মোট লোকসান = (১০০০০ - ৯৬০০) টাকা
= ৪০০ টাকা

∴ সব মিলিয়ে লোকসান হয়েছে = ৪০০ টাকা।

১ম পাত্রে মোট বল = ৫ টি
২য় পাত্রে মোট বল = ৭ টি
১ম ও ২য় পাত্রে বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = (২/৫)×(৩/৭) = ৬/৩৫
১ম ও ২য় পাত্রে বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা = (৩/৫)×(৪/৭) = ১২/৩৫
∴ বল একই রঙের হওয়ার সম্ভাবনা = (৬/৩৫)+(১২/৩৫) = ১৮/৩৫

১ থেকে ১৯ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯
গড় = (২+৩+৫+৭+১১+১৩+১৭+১৯)/৮ = ৯.৬২

A ∪ B = (1, 2, 3),
∴ n(A ∪ B) = 3
∴ P(A ∪ B) এর উপাদান = 2³
= 8

অনুপাতের যোগফল = ৫+১ = ৬
৩৬ জনের ঐ ক্লাসে বালকের সংখ্যা (৩৬ এর ৫/৬) জন = ৩০ জন।
এবং বালিকার সংখ্যা (৩৬ এর ১/৬) = ৬ জন।
বালকদের গড় বয়স বালিকাদের সংখ্যার দ্বিগুণ অর্থাৎ (৬ X ২) বা ১২ বছর।
বালকদের মোট বয়স (৩০ X ১২) = ৩৬০ বছর।

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক কত হার মুনাফায় ১ বছরের মুনাফা আসলের ১/৪ অংশ হবে?

সমাধান:
ধরি,
আসল = ৪ টাকা 
মুনাফা = ৪ এর ১/৪ অংশ = ১ টাকা 
সময় = ১ বছর 

মুনাফার = (আসল × সময় × মুনাফার হার)/১০০
বা, মুনাফার হার = (মুনাফা × ১০০)/(আসল × সময়) = (১ × ১০০)/(৪ × ১) = ২৫

অর্থাৎ মুনাফার হার ২৫% হলে ১ বছরের মুনাফা আসলের ১/৪ অংশ হবে।

ত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি : বৃত্তের ব্যাস = 2πr/2r = π = ২২/৭

প্রশ্ন: একটি মাঠের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের অনুপাতে যদি মাঠের প্রস্থ ১০ মিটার বৃদ্ধি করা হয়, তবে এটি একটি বর্গাকার মাঠে পরিণত হবে যার ক্ষেত্রফল ১০,০০০ বর্গমিটার। মাঠটির প্রস্থ কত? 

সমাধান: 
ধরি,
বর্গাকার মাঠের প্রস্থ = x মিটার
∴ ১০ মিটার বৃদ্ধি করা হলে মাঠের প্রস্থ হবে = (x + ১০) মিটার 

প্রশ্নমতে,
(x + ১০)^২ = ১০০০০
⇒ x + ১০ = (√১০০০০)
⇒ x + ১০ = ১০০
⇒ x = ১০০ - ১০
∴ x = ৯০ মিটার

∴ মাঠটির প্রস্থ = ৯০ মিটার ।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১০ সেমি হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি?

সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমদ্বিবাহু বাহুর দৈর্ঘ্য = ক
এখানে, অতিভুজ = ১০

পীথাগোরাসের সূত্রমতে,
ক² + ক² = ১০²
⇒ ২ক² = ১০০
⇒ ক² = ১০০/২
⇒ ক² = ৫০
⇒ ক = ৫√২

∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × (৫√২) × (৫√২)
= (১/২) × ৫০ = ২৫ বর্গ সেমি

প্রশ্ন: 81(√3)^4x = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
81(√3)^4x = 1
⇒3⁴ × (3^1/2)^4x = 1
⇒ 3⁴ × 3^2x = 1
⇒ 3^{4 + 2x} = 1
⇒ 3^{4 + 2x} = 3⁰
⇒ 4 + 2x = 0
⇒ 2x = - 4
⇒ x = - 2

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৭২ কি.মি বেগে চলমান একটি ট্রেন ৩৫০ মিটার দীর্ঘ একটি প্লাটফর্ম ২৫ সেকেন্ড অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান: 
এখানে,
১ ঘণ্টা = ৩৬০০ সেকেন্ড
৭২ কি.মি = ৭২০০০ মিটার

৩৬০০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৭২০০০ মিটার
∴ ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৭২০০০/৩৬০০ মিটার
∴ ২৫ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = (৭২০০০ × ২৫)/৩৬০০ মিটার
= ৫০০ মিটার

প্রশ্নমতে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ৫০০ মিটার
বা, ট্রেনের দৈর্ঘ্য = (৫০০ - ৩৫০) মিটার
∴ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১৫০ মিটার

২৮ + ১১ = ৩৯
৩৯ + ১৯ = ৫৮
৫৮ + ২৭ = ৮৫

এখানে,
১১ + ৮ = ১৯
১৯ + ৮ = ২৭

প্রশ্ন: আটটি সংখ্যার গড় ২০। যদি তাদের মধ্যে থেকে একটি সংখ্যা বাদ দেওয়া হয়, তবে অবশিষ্ট সংখ্যাগুলোর গড় ১৮ হয়। যে সংখ্যাটি বাদ দেওয়া হয়েছিল সেটি কত?

সমাধান:
আটটি সংখ্যার মোট সমষ্টি = ৮ × ২০ = ১৬০ 

আবার, 
একটি সংখ্যা বাদ দেওয়ার পর সাতটি সংখ্যার মোট সমষ্টি = ৭ × ১৮ = ১২৬

∴ বাদ দেওয়া সংখ্যাটি = (আটটি সংখ্যার মোট সমষ্টি) - (সাতটি সংখ্যার মোট সমষ্টি)
= ১৬০ - ১২৬ = ৩৪

∴ যে সংখ্যাটি বাদ দেওয়া হয়েছিল সেটি হলো ৩৪।

∴সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = ৩ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= ১৮ মিটার।

প্রশ্ন: মান নির্ণয় করুন:
log_3√2(1/18) = ?

সমাধান:
log_3√2(1/18)
= log_3√2{1/(3√2)²}
= log_3√2 (3√2)⁻²
= (−2)log_3√23√2
= −2

প্রদত্ত অপশনগুলোতে √9 একটি মূলদ সংখ্যা।
= √9
= 3

প্রশ্ন: ৭২ কোন সংখ্যার ৩০%?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক
তাহলে,
ক এর ৩০% = ৭২
⇒ ক × (৩০/১০০) = ৭২
⇒ ক = ৭২ × (১০০/৩০)
⇒ ক = ২৪০

সুতরাং, সংখ্যাটি হলো ২৪০

১৪৩ = ১১×১৩,
৬৩ = ৩×২১,
২৫৩ = ১১×২৩,
২৪১ = ১×২৪১

প্রশ্ন: ৩০,০০০ টাকার যোগিক মুনাফায় ১২% হারে ২ বছর পর মুনাফা কত টাকা হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে,
আসল (P) = ৩০,০০০ টাকা
সুদের হার (r) = ১২%
সময় (n) = ২ বছর

আমরা জানি, 
চক্রবৃদ্ধি মূল, A = P{1 + (r/100)}ⁿ 
= ৩০,০০০ × {১ + (১২/১০০)^২
= ৩০,০০০ × (১১২/১০০)^২ 
= ৩০,০০০ × (১১২/১০০) × (১১২/১০০) 
= ৩৭,৬৩২ টাকা

∴ মুনাফা = ৩৭,৬৩২ - ৩০,০০০
= ৭,৬৩২ টাকা

মনে করি চিনির আগের মূল্য = ১০০ টাকা
১৩% বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য = ১০০ + ১৩ = ১১৩ টাকা
১১৩ টাকাতে খরচ কমাতে হবে = ১৩ টাকা
১০০  ''         ''       ''     '' = (১৩×১০০)/১১৩ = ১১.৫ টাকা

প্রশ্ন: চালের দাম ২৫% বেড়ে গেলে, মাসিক ব্যয় অপরিবর্তিত রেখে চালের ব্যবহার শতকরা কত কমাতে হবে?

সমাধান:
মাসিক ব্যয় অপরিবর্তিত রাখতে হলে চালের ব্যবহার কমাতে হবে।

২৫% বৃদ্ধিতে চালের বর্তমান মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা
= ১২৫ টাকা

বর্তমান মূল্য ১২৫ টাকা হলে পূর্ব মূল্য = ১০০ টাকা
বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্ব মূল্য = ১০০/১২৫ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১০০ টাকা হলে পূর্ব মূল্য = (১০০ × ১০০)/১২৫ টাকা
= ১০,০০০/১২৫ টাকা
= ৮০ টাকা

∴ চালের ব্যবহার কমিয়েছেন = (১০০ - ৮০)%
= ২০%

২০% লাভে নির্মাতার বিক্রয় মূল্য (২০০+ ২০০ এর ২০%) = (২০০ + ৪০) = ২৪০ টাকা
খুচরা বিক্রেতার বিক্রয় মূল্য (২৪০ + ২৪০ এর ২০%) = (২৪০ + ৪৮) = ২৮৮ টাকা।

P^bc×Q^-ca
=(x^a)^bc×(x^b)^-ca
=x^abc-abc
=x⁰=1

৩০ থেকে ৯০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা হচ্ছে ৮৯ ও ৩১
এদের অন্তর = ৮৯ - ৩১ = ৫৮।

প্রশ্ন: ২ হতে ৪০ পর্যন্ত কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে? 

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যা হলো এমন সংখ্যা যার শুধুমাত্র দুটি গুণনীয়ক ১ এবং সংখ্যাটি নিজেই।

এখন, 
২ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো - ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭ = ১২টি।

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় |2x – 3| ≤ 1 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
|2x – 3| ≤ 1
⇒ - 1 ≤ 2x - 3 ≤ 1
⇒ - 1 + 3 ≤ 2x ≤ 1 + 3 ; [ উভয় পাশে 3 যোগ করে পাই]
⇒ 2 ≤ 2x ≤ 4
∴ 1 ≤ x ≤ 2 ; [উভয় পাশে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই]

প্রশ্ন: 4 + 8 + 12 + .......... ধারাটির 7তম পদ কত? 

সমাধান: 
​​দেওয়া আছে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 4 
ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 8 - 4 = 4
n তম পদ = 7 

∴ 7 তম পদ = a + (n - 1)d 
= 4 + (7 - 1)4 
​= 4 + (6 × 4)
​= 4 + 24 
= 28 

প্রশ্ন: কোনো আসল যদি ৫ বছরে সুদে-আসলে তিনগুণ হয়ে যায়, তাহলে সরল সুদের হার শতকরা কত হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
আসল = x টাকা 
∴ সুদে-আসলে ৩ গুণ = ৩x টাকা 
∴ সুদ = (৩x - x) টাকা 
= ২x টাকা 

x টাকার ৫ বৎসরের সুদ = ২x টাকা 
∴ ১ টাকার ১ বৎসরের সুদ = ২x/(x × ৫) টাকা 
∴ ১০০ টাকার ১ বৎসরের সুদ = (২x × ১০০)/(x × ৫) টাকা 
= ৪০ টাকা 

∴ শতকরা সরল সুদের হার = ৪০ টাকা

প্রশ্ন: নিচের চিত্রানুসারে (A ∩ B)^c = কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ভেনচিত্র হতে,
U = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}
A = {2, 5, 8, 9}
B = {3, 5, 7, 9}

এখন,
(A ∩ B) = {2, 5, 8, 9} ∩ {3, 5, 7, 9}
= {5, 9}

∴ (A ∩ B)^c = U - (A ∩ B)
= {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} - {5, 9}
= {1, 2, 3, 4, 7, 8}

প্রশ্ন: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্ত চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে কী বলে?

সমাধান:

সমকোণ: যদি একই রেখার উপর অবস্থিত দুটি সন্নিহিত কোণ পরস্পর সমান হয়, তবে কোণ দুটির প্রত্যেকটি সমকোণ বা 90°

সূক্ষ্মকোণ: এক সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।

স্থূলকোণ: এক সমকোণ অপেক্ষা বড় কিন্ত দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।

প্রবৃদ্ধ কোণ: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্ত চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।