গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে ৮ টি নীল বল, ১২ টি সাদা বল এবং ৪ টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তোলা হলে বলটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল সংখ্যা = ৮ + ১২ + ৪ = ২৪

নীল বলের সংখ্যা = ৮
∴ নীল হওয়ার সম্ভাবনা = ৮/২৪ = ১/৩

∴ নীল না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৩)
= (৩ - ১)/৩
= ২/৩

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার বর্গের চার-পঞ্চমাংশ ৮০ হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি x 

শর্তমতে,
x^২ × (৪/৫) = ৮০
⇒ x^২ = (৮০ × ৫)/৪
⇒ x^২ = ২০ × ৫
⇒ x^২ = ১০০
⇒ x = √১০০
∴ x = ১০

একটি ত্রিভুজ আঁকতে হলে কমপক্ষে ১টি কোণ ও ১টি বাহু থাকতে হবে।
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে একটি কোণ ৯০ ডিগ্রি।
তাই শুধু অতিভুজ দেওয়া থাকলেও ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
এক্ষেত্রে, লম্ব ও ভূমির বাহুকে ছোট ও বড় করে অনেকগুলো ত্রিভুজ আঁকা যাবে।

আমরা জানি,
2 (x² + y²) = (x + y)² + (x - y)²
⇒ 2 × 185 = (x + y)² + (3)²
⇒ (x + y)² = 370 - 9
⇒ (x + y)² = 361
∴ x + y = 19 ------- (i)
আবার, x - y = 3 ------- (ii)
(i) + (ii) ⇒ 2x = 22
∴ x = 11
∴ y = 8
∴ (x, y) = (11, 8)

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
প্রশ্নমতে,
52 = a + (6 - 1)×10
বা, a = 52 - 50 = 2
সুতরাং 15 তম পদ = a + (n - 1)d = 2 + (15 - 1)×10 = 142

মোট বাহু 4 টি, তিনটি বাহুর সমাবেশ থেকে একটি ত্রিভুজ ত্রিভূজ গঠিত হয় এক্ষেত্রে ত্রিভূজ সংখ্যা = ⁴c₃ = 4 কিন্তু, {1,2,3},{1,2,4},{1,3,4} এই তিনটি সমাবেশ ত্রিভূজ গঠন করতে পারে না।
∴ মোট ত্রিভূজ সংখ্যা = 4-3 = 1 টি

প্রশ্ন: পিতা-মাতার গড় বয়স ৩৮ বছর। তিনজনের (পিতা, মাতা, মেয়ে) গড় বয়স ২৮ হলে, মেয়ের বয়স নির্ণয় করুন।

সমাধান:
পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৩৮ বছর
পিতা ও মাতার বয়সের সমষ্টি = (৩৮ × ২) বছর
= ৭৬ বছর

পিতা, মাতা ও মেয়ের বয়সের গড় ২৮ বছর 
পিতা, মাতা ও মেয়ের বয়সের সমষ্টি = (২৮ × ৩) বছর 
= ৮৪ বছর

মেয়ের বয়স = (৮৪ - ৭৬) বছর
= ৮ বছর

প্রশ্ন: √(- 3) × √(- 12) = কত?

সমাধান: √(-3)  × √(-12) 
= √(3i²) × √(12i²)
= √3 i × √12 i
= (√3 × √12) i²
= √36 (-1)
= - 6

প্রশ্ন: একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 90° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস 20 cm হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি, বৃত্তের ব্যাস = 20 cm ∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 10 cm
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 90°
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, s = ?

আমরা জানি, s = (π × r × θ)/180°
∴ s = (π × 10 × 90)/180
∴ s = (10π)/2
∴ s = 5π cm

∴ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = 5π cm

রিমা ও মুক্তার বিনিয়োগের অনুপাত = ৬০০ঃ৯০০
= ২ঃ৩ (৩০০ দ্বারা ভাগ করে)
সুতরাং মুক্তা পাবে = ৩/৫ × ২১০
= ১২৬ টাকা।

কোনো সেট হতে প্রাপ্ত সকল উপসেটের সেটকে ঐ সেটের শক্তি সেট বলে

(a + b)²
= (a - b)² + 4ab
= 6² + 4.7
= 36 + 28
= 64
∴ (a + b) = 8
∴ 1/12(a² - b²)
= 1/12(a + b)(a - b)
= 1/12×8×6
= 4

প্রশ্ন: একজন ছাত্রের প্রথম পরীক্ষার প্রাপ্ত নম্বর ৮৫। তৃতীয় পরীক্ষার পর তার নম্বরের গড় ৮৭ থেকে ৮২ হয়। ২য় ও ৩য় পরীক্ষার ফলাফলের গড় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ছাত্রটির প্রথম পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর = ৮৫
এবং তিনটি পরীক্ষার প্রাপ্ত নম্বরের গড় = ৮২

∴ তিনটি পরীক্ষার প্রাপ্ত মোট নম্বর = (৮২ × ৩) = ২৪৬

সুতরাং, ২য় ও ৩য় পরীক্ষার প্রাপ্ত মোট নম্বর = (২৪৬ - ৮৫) = ১৬১

∴ ২য় ও ৩য় পরীক্ষার ফলাফলের গড় = ১৬১ / ২ = ৮০.৫

প্রশ্ন: রহিমের মাসিক বেতন কামালের মাসিক বেতনের চেয়ে ৫০০০ টাকা বেশি। তাদের দুজনের বার্ষিক বেতনের যোগফল ৪,৮০,০০০ টাকা হলে কামালের মাসিক বেতন কত?

সমাধান:

ধরি, কামালের মাসিক বেতন = x টাকা
∴ রহিমের মাসিক বেতন = ( x + ৫০০০) টাকা

প্রশ্নমতে,
১২(x + x + ৫০০০) = ৪৮০০০০
⇒ ১২x + ১২x + ৬০০০০ = ৪৮০০০০
⇒ ২৪x + ৬০০০০ = ৪৮০০০০
⇒ ২৪x = ৪৮০০০০ - ৬০০০০
⇒ ২৪x = ৪২০০০০
⇒ x = ৪২০০০০/২৪
∴ x = ১৭৫০০

∴ কামালের মাসিক বেতন = ১৭৫০০ টাকা

ধরি, সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
x - 742 = 830 - x
বা, x + x = 830 + 742
বা, 2x = 1572
বা, x = 1572/2
∴ x = 786.

x+y = 4 --------- (i)
x-y = 3 ---------- (ii)
(i) + (ii) ⇒
2x = 7
∴ x = 7/2
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই -
7/2 + y = 4
⇒ y = 4 - 7/2
∴ y = ½
x ও y এর মান প্রদত্ত রাশিতে বসালে পাই-
x+2y = 7/2 + 2(½) = 7/2 + 1 = 9/2

প্রশ্ন: x - ( 1/x) = p হলে c/{x(x - p)} এর মান কত হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - (1/x)= p
⇒ (x² - 1)/x = p
⇒ x² - 1 = xp
⇒ x² - xp = 1 
⇒ x(x - p) = 1 

এখন,
c/{x(x - p)}
= c/1 
= c

ধরা যাক,
A = প্রথম সংস্থা থেকে সহায়তা পাবার ঘটনা
B = দ্বিতীয় সংস্থা থেকে সহায়তা পাবার ঘটনা
C = তৃতীয় সংস্থা থেকে সহায়তা পাবার ঘটনা

তাহলে,
P(A) = 1/3
P(B) = 1/4
P(C) = 1/2

অর্থাৎ,
প্রথম সংস্থা থেকে সহায়তা না পাবার সম্ভাবনা = ২/৩
দ্বিতীয় সংস্থা থেকে সহায়তা না পাবার সম্ভাবনা = ৩/৪
তৃতীয় সংস্থা থেকে সহায়তা না পাবার সম্ভাবনা = ১/২

অতএব, প্রকল্পটির কোন সংস্থা থেকেই সাহায্য না পাবার সম্ভাবনা = ২/৩ X ৩/৪ X ১/২ = ১/৪
সুতরাং, যে কোন একটি থেকে সহায়তা পাবার সম্ভাব্যতা =১ - ১/৪ = ৩/৪

প্রশ্ন: একজন ব্যবসায়ী ২০০ টাকায় ৮ কেজি আলু ক্রয় করেন। পরে তিনি ৫ কেজি আলু ১৪০ টাকায় বিক্রি করেন। তাঁর শতকরা লাভ কত?

সমাধানঃ
১ কেজি আলুর ক্রয়মূল্য = ২০০/৮
= ২৫ টাকা

১ কেজি আলুর বিক্রয়মূল্য = ১৪০/৫
= ২৮ টাকা

লাভ = ২৮ - ২৫ = ৩ টাকা 

২৫ টাকায় লাভ হয় ৩ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় (৩/২৫) টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (৩ × ১০০) / ২৫ 
= ১২% 

∴ব্যবসায়ীর শতকরা লাভ ১২% 

১১/১৪ = ০.৭৮৫৭
৫/৬ = ০.৮৩৩৩৩
১২/১৫ = ০.৮
১৭/২১ = ০.৮০৯৫
সুতরাং ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ হচ্ছে ১১/১৪

প্রশ্ন: 2, 6, 18, 54 প্রগতিটির কতগুলি পদের সমষ্টি 728? 

সমাধান: 
প্রগতিটির প্রথম পদ = 2, 
সাধারণ অনুপাত = 3, 
​
ধরা যাক,
​ n সংখ্যক পদের সমষ্টি = 728 
∴ {2(3ⁿ - 1)}/(3 - 1) = 728 
⇒ 3ⁿ - 1 = 728
​⇒ 3ⁿ = 728 + 1
⇒ 3ⁿ = 729
⇒ 3ⁿ = 3⁶
∴ n = 6

∴ প্রগতিটির 6 টি পদের সমষ্টি 728  । 

প্রশ্ন: সর্বমোট কত সংখ্যক গাছ হলে একটি বাগানে ২৫, ৩৫, ৪৫ ও ৬০ সারিতে গাছ লাগালে একটিও কম বা বেশি হবে না?

সমাধান:
২৫, ৩৫, ৪৫ ও ৬০ এর ল.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় গাছের সংখ্যা।

এখানে,
২৫ = ৫ × ৫
৩৫ = ৫ × ৭
৪৫ = ৩ × ৩ × ৫
৬০ = ২ × ২ × ৩ × ৫

∴ ২৫, ৩৫, ৪৫ ও ৬০  এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ × ৫ × ৭ = ৬৩০০

∴ সর্বমোট ৬৩০০ টি গাছ লাগাতে হবে।

প্রশ্ন: ⁿP_{n - r} = ?

সমাধান:
ⁿP_{n - r} = n!/(n - n + r)!
= n!/r!

প্রশ্ন: ৪ বছরে ১০০০ টাকার সুদসহ মোট ১২০০ টাকা হলে, ৩০০ টাকার ২ বছরের সরল সুদ কত হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সুদ = সুদাসল - আসল 
= (১২০০ - ১০০০) টাকা 
= ২০০ টাকা 

এখানে, 
১০০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = ২০০ টাকা 
∴ ১ টাকার ১ বছরের সুদ = ২০০/(১০০০ × ৪) টাকা 
∴ ৩০০ টাকার ২ বছরের সুদ = (২০০ × ৩০০ × ২)/(১০০০ × ৪) টাকা 
= ৩০ টাকা।

ধরি,
চতুর্থ সমানুপাতিক = x
∴ ৬ঃ৮ = ৯ঃx
বা, ৬/৮ = ৯/x
বা, ৬x = ৭২
∴ x = ১২

প্রশ্নমতে, মিনা/রিনা = ৫/৭ …………..( ১ )
রিনা/মাহি = ৪/৫ ……………..( ২ )
১ ও ২ নং রাশি গুণ করে পাই,
মিনা/মাহি = ৪/৭
মাহি = ( ৭ × ১২০ )/৪ = ২১০ টাকা 
∴ মাহির আয় = ২১০ টাকা

log_(0.04)x = -1.5
বা, x = (0.04)^-1.5
= (4/100)^-(3/2)
= (100/4)^3/2
= (25)^3/2
= (25)^3/2
= 5³
= 125

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ২১৬ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, প্রথম সংখ্যাটি = ক
সুতরাং, দ্বিতীয় সংখ্যাটি = (ক + ১)
এবং, তৃতীয় সংখ্যাটি = (ক + ২)

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১) + (ক + ২) = ২১৬
বা, ৩ক + ৩ = ২১৬
বা, ৩ক = ২১৬ - ৩
বা, ৩ক = ২১৩
বা, ক = ২১৩ / ৩
∴ ক = ৭১

∴ বড় সংখ্যাটি হলো= ক + ২ = ৭১ + ২ = ৭৩

প্রশ্ন: একটি ৬০ মিটার দীর্ঘ ট্রেন ঘণ্টায় ৩৬ কিলোমিটার বেগে চলেছে। ট্রেনটি রাস্তার পাশের একটি খুঁটি অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
১ কি.মি. = ১০০০ মিটার
৩৬ কি.মি. = (৩৬ × ১০০০) মিটার
= ৩৬০০০ মিটার

১ ঘণ্টা = ৬০ মিনিট
= (৬০ × ৬০) সেকেন্ড
= ৩৬০০ সেকেন্ড

খুঁটিকে অতিক্রম করতে ট্রেনটিকে নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।

ট্রেনটি ৩৬০০০ মিটার অতিক্রম করে = ৩৬০০ সেকেন্ডে
ট্রেনটি ১ মিটার অতিক্রম করে = ৩৬০০/৩৬০০০ সেকেন্ডে
∴ ট্রেনটি ৬০ মিটার অতিক্রম করে = (৩৬০০ × ৬০)/৩৬০০০ সেকেন্ডে
= ৬ সেকেন্ডে

৩, ৪, ৫, ৬ সংখ্যা গুলোর ল.সা.গু = ৬০
সুতরাং সংখ্যাগুলো = ৩/৪ × ৬০ = ৪৫
আবার, ২/৩ × ৬০ =৪০
আবার, ৪/৫ × ৬০ = ৪৮
এবং ৫/৬ × ৬০ = ৫০
সুতরাং সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশটি হচ্ছে = ২/৩।

প্রশ্ন: ২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো হতে ইচ্ছেমত ১টি সংখ্যা নির্বাচন করা হলে সংখ্যাটি মৌলিক না হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ২১ 
২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭
∴ মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/২১

∴ মৌলিক না হওয়ার সম্ভাবনা = {১ - (৪/২১)}
= {(২১ - ৪)/২১}
= ১৭/২১ । 

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু²
সুতরাং, প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = √বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =√404.01 = 20.1 মিটার

প্রশ্ন: পরিসংখ্যানের অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ মানের ক্রমানুসারে সাজালে উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি কোনো মানের কাছাকাছি পুঞ্জিভূত হয়। উপাত্তের এই প্রবণতাকে কী বলা হয়?

সমাধান:
উপাত্তসমূহের কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জীভূত হওয়ার প্রবণতাকে বলা হয় কেন্দ্রীয় প্রবণতা।

অনুসন্ধানাধীন অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ মানের ক্রমানুসারে সাজালে, উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি কোনো মানের কাছাকাছি পুঞ্জীভূত হয়।
আবার অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ গণসংখ্যা নিবেশন সারণিতে উপস্থাপন করা হলে মাঝামাঝি একটি শ্রেণিতে গণসংখ্যার প্রাচুর্য দেখা যায়।
অর্থাৎ, মাঝামাঝি একটি শ্রেণিতে গণসংখ্যা খুব বেশি হয়। বস্তুত উপাত্তসমূহের কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জীভূত হওয়ার এই প্রবণতাই হলো কেন্দ্রীয় প্রবণতা।
কেন্দ্রীয় মান একটি সংখ্যা এবং এই সংখ্যা উপাত্তসমূহের প্রতিনিধিত্ব করে। এই সংখ্যা দ্বারা কেন্দ্রীয় প্রবণতা পরিমাপ করা হয়।

সাধারণত কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ হলো:
- গাণিতিক গড়, মধ্যক, প্রচুরক।

প্রশ্ন: b² + 7b - 120 এর একটি উৎপাদক b - 8 হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
b² + 7b - 120
= b² - 8b + 15b - 120
= b(b - 8) + 15(b - 8)
= (b - 8)(b + 15)