গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: ০.৫ + ০.০৫ + ০.০০৫ + ...... অসীম ধারাটির সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = ০.৫ 
= ৫/১০ = ১/২

ধারাটির সাধারণ অনুপাত r = ০.০৫/০.৫ = ১/১০

∴ সমষ্টি, S = a/(1 - r) 
= (১/২)/(১ - ১/১০)
= (১/২)/(৯/১০)
= ৫/৯

প্রশ্ন: যদি x² + (1/x)² = 10 হয়, তাহলে x + (1/x) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² + (1/x)² = 10

∴ {x + (1/x)}² = x² + (1/x)² + 2 × x × (1/x)
= 10 + 2
= 12

∴ x + (1/x) = √12

প্রশ্ন: একটি ঘোড়া ৭ মিটার লম্বা দড়ি দিয়ে বাঁধা আছে। দড়ির বাঁধা স্থান হতে চারদিকে ঘুরে ঘোড়াটি ঘাস খেতে পারে। ঘোড়াটি যতটুকু স্থানের ঘাস খেতে পারবে তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দড়ির বাঁধা স্থান হতে চারদিকে ঘুরে ঘোড়াটি ঘাস খেতে পারে। ঐ স্থানটি একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্র তৈরি হবে।
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ, r = ৭ মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক 
= (২২/৭) × ৭^২  বর্গ মিটার
= (২২/৭) × ৭ × ৭  বর্গ মিটার
= ১৫৪ বর্গ মিটার

প্রশ্ন: a²b³/c²d কে a³b²/cd³ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত? 

সমাধান: 
(a²b³/c²d) ÷ (a³b²/cd³)
= (a²b³/c²d) × (cd³/a³b²)
= bd²/ca 

Given, a - (1/a) = 2
∴ a + (1/a) = √[{(a - (1/a)}² + 4.a.(1/a)}]
= √{(2)² + 4}
= √8
= 2√2 

∴ a⁴ + (1/a⁴) = (a²)² + (1/a²)²
= {a² + (1/a²)}² - 2.a².(1/a²)
= {a² + (1/a²)}² - 2
= {(a + 1/a)² - 2.a.(1/a)}² - 2
= {(2√2)² - 2}² - 2
= 36 - 2
= 34

প্রশ্ন: ৫ এর প্রথম পাচঁটি বিজোড় গুণিতকের গড় কত?

সমাধান:
৫ এর প্রথম পাচঁটি বিজোড় গুণিতক = ৫, ১৫, ২৫, ৩৫, ৪৫
∴ সংখ্যাগুলোর যোগফল = ৫ + ১৫ + ২৫ + ৩৫ + ৪৫ 
= ১২৫

∴ নির্ণেয় গড় = ১২৫/৫
= ২৫

৭/৯ = ০.৭৮
৩/৪ = ০.৭৫
৪/৯ = ০.৪৪
৯/১৩ = ০.৬৯
সুতরাং, বৃহত্তম ভগ্নাংশ = ৭/৯

2(x² + y²) = (x + y)² + (x - y)²
= 3² + 1²
= 9 + 1
2(x² + y²) = 10
∴ x² + y² = 10/2
=5

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাণ 60⁰
এবং ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরিত অন্তস্থ দুইটি কোণের সমষ্টির সমান।
সুতরাং,
 সমবাহু ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় এর মান হবে 60⁰ + 60⁰ = 120⁰

ধরি, তৃতীয় ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = x cm
প্রশ্নমতে,
(4/3)π×3³ + (4/3)π×4³ + (4/3)π×x³ = (4/3)π×6³
⇒ 3³ + 4³ + x³ = 6³
∴ x = 5 cm.

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু তাদের গ.সা.গু এর ১৫ গুণ। দুটি সংখ্যার গুণফল ৯৬০ হলে তাদের  ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
ধরি,
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু = ক 
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু  = ১৫ক 

আমরা জানি, 
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গুর গুণফল = দুটি সংখ্যার গুণফল 
∴ ১৫ক × ক = ৯৬০
⇒  ১৫ক^২ = ৯৬০ 
⇒  ক^২ = ৬৪  
⇒ ক^২ = ৮^২ 
∴ ক = ৮ 

∴ ল.সা.গু = ১৫ × ৮ = ১২০ 

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: বার্ষিক ৫% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে ৮০০০ টাকার ২ বছর পর চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রারম্ভিক মূলধন, P = ৮০০০ টাকা
বার্ষিক মুনাফার হার, r = ৫%
= ৫/১০০
= ১/২০

সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মূলধন,
C = P(১ + r)ⁿ
⇒ C = ৮০০০ × {১ + (১/২০)^২}
⇒ C = ৮০০০ × (২১/২০)^২
⇒ C = ৮০০০ × ৪৪১/৪০০
⇒ C = ৮৮২০

∴ ২ বছর পরে চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ৮৮২০ টাকা

প্রশ্ন: ৪, ২, ৮, ০ অংকগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
৪, ২, ৮, ০ অংকগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা = ৮৪২০
৪, ২, ৮, ০ অংকগুলো দ্বারা গঠিত ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২০৪৮

বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার গড় = (৮৪২০ + ২০৪৮)/২
= ১০৪৬৮/২
= ৫২৩৪

2+(6/x) = 5
⇒ 6/x = 5 - 2
⇒ 6/x = 3
⇒ 3x = 6
∴ x = 2
∴ 2x + 8 = 2 X 2 + 8 = 12

৫০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = ৫০০ × ৪ বা ২০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
আবার ৬০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = ৬০০ × ৫ বা ৩০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
সুতরাং মোট ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
এখন, ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০ টাকা। (শর্ত)
১ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০/৫০০০ টাকা।
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = (৫০০×১০০) / ৫০০০ টাকা।
= ১০ টাকা।

অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ১ + ২ + ৪ = ৭ 
ক্ষুদ্রতম অংশ = ২১,০০০ এর ১/৭ = ৩,০০০ টাকা
বৃহত্তম অংশ = ২১,০০০ এর ৪/৭ = ১২,০০০ টাকা
বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য ( ১২,০০০ - ৩,০০০ ) = ৯,০০০ টাকা

বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে বৃত্তের পরিধি = 2πr সেন্টিমিটার
= 2 × 22/7 × 35 সেন্টিমিটার
= 220 সেন্টিমিটার

প্রশ্ন: কোন একটি পণ্যকে নির্মাতা ৩০% লাভে ও খুচরা বিক্রেতা ২৫% লাভে বিক্রয় করে। যদি ঐ পণ্যের নির্মাণ খরচ ৪০০ টাকা হয়, তাহলে খুচরা মূল্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পণ্যের নির্মাণ খরচ ৪০০ টাকা
নির্মাতা ৩০% লাভে বিক্রয় করলে,
বিক্রয়মূল্য = ৪০০ + ৪০০ এর ৩০% = ৪০০ + ১২০ 
= ৫২০ টাকা

এখন,
 নির্মাতার বিক্রয়মূল্য = খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = ৫২০ টাকা

আবার,
খুচরা বিক্রেতা ২৫% লাভে বিক্রয় করলে,
বিক্রয়মূল্য = ৫২০ + ৫২০ এর ২৫% = ৫২০ + ১৩০ টাকা
= ৬৫০ টাকা

∴ খুচরা মূল্য ৬৫০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি খেলনা ৩০০ টাকায় ক্রয় করা হলো। যদি এটি ২০% লাভে বিক্রয় করা হয়, বিক্রয়মূল্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক্রয়মূল্য = ৩০০ টাকা 
লাভ = ২০%

বিক্রয়মূল্য = ৩০০ + ৩০০ × ২০%
= ৩০০ + ৩০০ × (২০/১০০)
= ৩০০ + ৬০
= ৩৬০ 

∴ বিক্রয়মূল্য ৩৬০ টাকা। 

L = প্রচুরক শ্রেণীর নিম্নসীমা = 48
f₁ = 25 - 18
= 7
f₂ = 25 - 8
= 17
d = শ্রেণী ব্যবধান = 6
প্রচুরক = L + f₁/(f₁ + f₂)× d
= 48 + 7/(7 + 17) × 6
= 48 + 7/24 × 6 
= 48 + 42/24
= 48 + 1.75
= 49.75

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + ........... + 81 = ?

সমাধান: 
সমষ্টি = গড় × পদ সংখ্যা
= {(81 + 1)/2} × [{(81 - 1)/4} + 1]
= (82/2) × {(80/4) + 1}
= (82/2) × (20 + 1)
= 41 × 21
= 861

প্রশ্ন: যদি x = √6 এবং y = √3 হয়, তবে (x - y)² + 2xy এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x = √6 এবং y = √3

প্রদত্ত রাশি, 
(x - y)² + 2xy
= x² - 2xy + y² + 2xy
= x² + y²
= (√6)² + (√3)²
= 6 + 3
= 9

রহিম  : করিম  :  সাকিব  = ২০০০০  :  ৩০০০০  : ৪০০০০ = ২  : ৩  : ৪
মোট মূলধন ২০০০০  + ৩০০০০ + ৪০০০০ = ৯০০০০ টাকা
৯০০০০ টাকা ৩ বছর পরে লাভ  = ৯০০০০ × ৩০/১০০ = ২৭০০০ টাকা

তাহলে সাকিব পাবে = ২৭০০০ এর ৪/৯ = ১২০০০ টাকা

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ 80° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = 180° 
একটি কোণ 80° হলে, 
অপর কোণটি হবে = (180 - 80)° 
= 100° 

∴ বিপরীত কোণের পরিমাণ = 100° ।

প্রশ্ন: log_x1/256 = - 8 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x1/256 = - 8
বা, x^{- 8} = 1/256
বা, 1/x⁸ = 1/256
বা, x⁸ = 256
বা, x⁸ = 2⁸
∴ x = 2

প্রশ্ন:  ১৩ থেকে ২৭ পর্যন্ত উপাত্তগুলোর গড় কত?

সমাধান:
১৩ থেকে ২৭ পর্যন্ত অর্থাৎ:
১৩, ১৪, ১৫, ১৬, ১৭, ১৮, ১৯, ২০, ২১, ২২, ২৩, ২৪, ২৫, ২৬, ২৭

মোট সংখ্যা = ২৭ - ১৩ + ১ = ১৫টি সংখ্যা

ক্রমিক সংখ্যা গড় = (প্রথম সংখ্যা + শেষে সংখ্যা)/২
= (১৩ + ২৭)/২
= ৪০/২
= ২০

∴ক্রমিক সংখ্যা গড় = ২০  

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য লম্বের দৈর্ঘ্য অপেক্ষা 1 মিটার কম এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য লম্ব অপেক্ষা 1 মিটার বেশি। ত্রিভুজতির অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সমকোণী ত্রিভুজের লম্বের দৈর্ঘ্য = x
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য = x - 1
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য = x + 1

আমরা জানি,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
⇒ (x + 1)² = (x - 1)² + x²
⇒ x² + 2x + 1 = x² - 2x + 1 + x²
⇒ x² - 4x = 0
⇒ x(x - 4) = 0
∴ x = 4 [যেহেতু, ত্রিভুজের লম্ব কখনো শূন্য হতে পারে না]

ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 4 + 1 = 5 মিটার

একজন লোকের ঢাকা হতে খুলনায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা 5/7 এবং খুলনা হতে রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা 3/5
∴ খুলনা হতে রাজশাহী ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা (1 - 3/5) = 2/5
∴ লোকটি খুলনায় বাসে ও রাজশাহী ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা = 5/7 × 2/5 = 2/7

আমরা জানি.
সমানুপাতের ১ম রাশি×৪র্থ রাশি = ২য় রাশি×৩য় রাশি
∴ ৪র্থ রাশি = ৪০×৫০/১০
= ২০০

প্রশ্ন: 2x² + 5x + 3 < 0 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
2x² + 5x + 3 < 0
⇒ 2x² + 2x + 3x + 3 < 0
⇒ 2x(x + 1) + 3 (x + 1) < 0
⇒ (x + 1)(2x + 3) < 0

2x² + 5x + 3 < 0 সত্য হবে যদি (x + 1) < 0 এবং (2x + 3) > 0 হয়।
এখন, x + 1 < 0 এবং 2x + 3 > 0
x < - 1 এবং x > - 3/2

- 1 এর চেয়ে ছোট এবং- 3/2 এর চেয়ে বড়
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.
সুতরাং নির্ণেয় সমাধান: - 3/2 < x < - 1

আবার,
2x² + 5x + 3 < 0 সত্য হবে যদি x + 1 > 0 এবং 2x + 3 < 0 হয়।
এখন, x + 1 > 0 এবং 2x + 3 < 0
x > - 1 এবং x < - 3/2
x এর মান - 1 এর চেয়ে বড় এবং - 3/2 এর চেয়ে ছোট x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

∴ নির্ণেয় সমাধান = - 3/2 < x < - 1

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তির মাসিক আয় ১৩৫০০ টাকা এবং মাসিক ব্যয় ৯০০০ টাকা। পরের বছর তার মাসিক আয় ১৪% বৃদ্ধি পায় এবং মাসিক ব্যয় ৭% বৃদ্ধি পায়। আগের বছরের মাসিক সঞ্চয় এবং পরের বছরের মাসিক সঞ্চয়ের মধ্যে পার্থক্য কত টাকা?
  
সমাধান: 
প্রথম বছর (আগের),
আয় = ১৩৫০০ টাকা
খরচ = ৯০০০ টাকা

∴ সঞ্চয় = ১৩৫০০ - ৯০০০ = ৪৫০০ টাকা

আবার, 
পরের বছর আয় ১৪% বৃদ্ধি পেলে,
নতুন আয় = ১৩৫০০ × (১১৪/১০০) = ১৫৩৯০ টাকা
এবং ব্যয় ৭% বৃদ্ধি পেলে নতুন খরচ = ৯০০০ × (১০৭/১০০) = ৯৬৩০ টাকা

∴ নতুন সঞ্চয় = ১৫৩৯০ - ৯৬৩০ = ৫৭৬০ টাকা

∴ পার্থক্য = নতুন সঞ্চয় - আগের সঞ্চয় = ৫৭৬০ - ৪৫০০ = ১২৬০ টাকা

সুতরাং, পরের বছরের মাসিক সঞ্চয় আগের তুলনায় ১২৬০ টাকা বেশি হবে।