গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি বড়?

সমাধান:
ভগ্নাংশগুলোকে দশমিক আকারে লিখলে:
৩/৫ = ০.৬
৪/৯ = ০.৪৪৪....
২/৭ = ০.২৮৬.....
১/৩ = ০.৩৩৩৩....

ভগ্নাংশগুলোর মাঝে ৩/৫ বড় 

 প্রশ্ন: একটি বাক্সে ১০ টি নীল ও ১৫ টি লাল মার্বেল আছে। যেমন খুশী টানলে প্রতিবার ২টি একই রংয়ের মার্বেল পাওয়ার সম্ভাব্যতা-
​
​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​নীল মার্বেল = ১০
লাল মার্বেল = ১৫

∴ মোট মার্বেল = ১০ + ১৫ = ২৫
​
​∴ মোট ২৫টি মার্বেল থেকে ২টি তোলার উপায় = ^২৫C_২ = ২৫!/২!(২৫ - ২)!
​= (২৫ × ২৪ × ২৩!)/(২ × ২৩!)
​= ৩০০

​আবার,
​একই রংয়ের নীল জোড়া পাওয়া উপায় = ^১০C_২ = ৪৫
​একই রংয়ের লাল জোড়া পাওয়া উপায় = ^১৫C_২ = ১০৫
​
​∴ মোট একই রংয়ের জোড়া = ৪৫ + ১০৫ = ১৫০
​
​∴ ​P(২টি একই রংয়ের মার্বেল পাওয়ার সম্ভাব্যতা) = ১৫০/৩০০ = ১/২

x⁴ + x² + 1
= (x²)² + 2.x².1 + 1 - x²
= (x² + 1)² - x²
= (x² + 1 + x)(x² + 1 - x)
= (x² + x + 1)(x² - x + 1)

মনে করি,
গমের পূর্ব মূল্য ১০০ টাকা
২১% কমালে, গমের বর্তমান মূল্য (১০০ - ২১) = ৭৯ টাকা
বর্তমানে ১০০ টাকায় ১০ কেজি গম বেশী কিনতে পারে।
অর্থাৎ,
∴ ১০ কেজি গমের বর্তমান মুল্য (১০০ - ৭৯) = ২১ টাকা
∴ প্রতি কেজি গমের বর্তমান মুল্য (২১/১০) = ২.১ টাকা

বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৮০ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ৩৬০০০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০X৩৬০০০)/৮০ টাকা।
= ৪৫০০০ টাকা।
আবার,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৬ টাকা।
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৬/১০০ টাকা।
ক্রয়মূল্য ৪৫০০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৬X৪৫০০০/১০০ টাকা।
= ৫২২০০ টাকা।

2x²−5xy+2y²
=2x²−4xy-xy+2y²
=2x(x-2y) - y(x-2y)
=(x-2y)(2x-y)

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৮, ৪২ ও ৬৯ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৬ ও ৯ ভাগশেষ থাকবে? 

সমাধান:
এখানে, 
২৮ - ৪ = ২৪
৪২ - ৬ = ৩৬
৬৯ - ৯ = ৬০

২৪, ৩৬ এবং ৬০ এর গ.সা.গুই হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা।

এখন,
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩
৬০ = ২ × ২ × ৩ × ৫

∴ গ.সা.গু = ২ × ২ × ৩ 
= ১২ 

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি ১২         

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের বাইরের দিকে ৩ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তা তৈরি করতে ২০০ টাকা খরচ হয়, তাহলে রাস্তাটি তৈরি করতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
মাঠের দৈর্ঘ্য = ৬০ মিটার
মাঠের প্রস্থ = ৪০ মিটার
∴ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৬০ × ৪০ = ২৪০০ বর্গমিটার

রাস্তার প্রস্থ = ৩ মিটার
∴ রাস্তাসহ দৈর্ঘ্য = ৬০ + ৩ + ৩ = ৬৬ মিটার
∴ রাস্তাসহ প্রস্থ = ৪০ + ৩ + ৩ = ৪৬ মিটার
∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = ৬৬ × ৪৬ = ৩০৩৬ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ৩০৩৬ − ২৪০০ = ৬৩৬ বর্গমিটার

প্রতি বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় = ২০০ টাকা
∴  ৬৩৬ বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় = ৬৩৬ × ২০০ = ১,২৭,২০০ টাকা

∴ রাস্তা তৈরি করতে মোট ব্যয় = ১,২৭,২০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি ৬০ ফুট লম্বা রশি এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হল যেন ছোট অংশ বড় অংশের এক-তৃতীয়াংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
মনে করি,
বড় অংশ = ক ফুট
∴ ছোট অংশ = (ক এর ১/৩)
= ক/৩ ফুট 

প্রশ্নমতে, 
ক + (ক/৩) = ৬০ 
বা, (৩ক + ক)/৩ = ৬০ 
বা, ৪ক = ৬০ × ৩
বা, ৪ক = ১৮০
বা, ক = ১৮০/৪
∴ ক = ৪৫

∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = ৪৫/৩ 
= ১৫ ফুট ।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের তিনগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার হয়, তবে এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার
অতএব, দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

প্রশ্নমতে,
৩ক × ক = ৩০০
⇒ ৩ক^২ = ৩০০
⇒ ক^২ = ৩০০/৩
⇒ ক^২ = ১০০
⇒ ক = √১০০
∴ ক = ১০

অতএব,
প্রস্থ = ১০ মিটার
দৈর্ঘ্য = ৩ × ১০ = ৩০ মিটার

এখন, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (৩০ + ১০) মিটার
= ২ × ৪০ মিটার
= ৮০ মিটার

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা হলো ৮০ মিটার।

সংখ্যাটি x হলে,
প্রশ্নমতে-
x × ৭৫/১০০ = ৯০
বা, x = ৯০× ১০০/৭৫
∴ x = ১২০

প্রশ্ন: একটি ভোট কেন্দ্রে উপস্থিত ভোটারদের ৬০% ভোট পেয়ে একজন প্রার্থী নির্বাচিত হয়েছেন। তিনি একমাত্র প্রতিদ্বন্দ্বী অপেক্ষা ৭৫০০ ভোট বেশি পেয়েছেন। ভোট কেন্দ্রে কতজন ভোটার উপস্থিত ছিল?

সমাধান: 
নির্বাচিত প্রার্থী ভোট পেয়েছেন ৬০%।
অন্যান্য প্রার্থী বা ভোট দিয়েছেন এমন ভোটারদের জন্য বাকি থাকে (১০০% - ৬০%) = ৪০% ভোট।
যেহেতু একমাত্র প্রতিদ্বন্দ্বী অপেক্ষা ৭৫০০ ভোট বেশি পেয়েছেন, এই ৭৫০০ ভোটটিই দুটি প্রার্থীর প্রাপ্ত ভোটের মধ্যেকার পার্থক্য।

সুতরাং, ৬০% - ৪০% = ২০% ভোট হলো ৭৫০০ এর সমান।

∴ ২০% ভোট = ৭৫০০
∴ ১% ভোট = ৭৫০০/২০ = ৩৭৫
∴ ১০০% ভোট = ৩৭৫ × ১০০ = ৩৭৫০০ জন।

সুতরাং, মোট ভোটার সংখ্যা ৩৭৫০০ জন।

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% মুনাফা হারে কত টাকা তিন বছর জমা রাখলে মেয়াদান্তে মুনাফাসহ ৬,৬৫৫ টাকা পাওয়া যাবে?

সমাধান:
এখানে
আসল = 
মুনাফার r = ১০%
= ১০/১০০
= ১/১০

সময় n = ৩ বছর

আমরা জানি
C = P(1 + r)ⁿ
বা, ৬৬৫৫ = P(১ + ১/১০)^৩
বা, ৬৬৫৫ =  P(১.১)^৩
বা, P =৬৬৫৫/১.৩৩১
∴ P = ৫০০০ টাকা

বি: দ্র: সরল মুনাফা বা চক্রবৃদ্ধি মুনাফার কথা উল্লেখ করা নাই। সরল মুনাফা দিয়ে প্রশ্নটি সমাধান করলে অপশনের উত্তর আসেনা। তাই চক্রবৃদ্ধি মুনাফার সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা হয়েছে।

প্রশ্ন: ২৪০ মিটার, লম্বা একটি ট্রেন ১২০ মিটার লম্বা একটি সেতুকে ৩০ সেকেন্ড অক্রিম করে। ট্রেনটির গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২৪০ মিটার
সেতুর দৈর্ঘ্য = ১২০ মিটার
অতিক্রমের সময় = ৩০ সেকেন্ড
এবং, 
মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য = ২৪০ + ১২০ 
= ৩৬০ মিটার

∴ ৩০ সেকেন্ড অতিক্রম করে = ৩৬০ মিটার
∴ 1 সেকেন্ড অতিক্রম করে = ৩৬০/৩০ মিটার
∴ ৩৬০০ সেকেন্ড অতিক্রম করে = (৩৬০ × ৩৬০০)/৩০ মিটার
= ৪৩২০০ মিটার
= ৪৩২০০/১০০০
= ৪৩.২ কি.মি. 

∴ ট্রেনটির গতিবেগ = ৪৩.২ কি.মি./ঘণ্টা 

সুতরাং, ট্রেনটির গতিবেগ ৪৩.২ কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টা।

প্রশ্ন: যদি x - y = 4 এবং xy = 5 হয়, তবে x² + y² = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 4
(x - y)² = 4²
(x - y)² = 16
এবং xy = 5

আমরা জানি,
x² + y² = (x - y)² + 2xy
= 16 + (2 × 5)
= 26

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের চারগুণ হলে শতকরা ক্ষতির পরিমাণ কত?

সমাধান: 
ধরি,
বিক্রয়মূল্য = ক টাকা
সুতরাং, ক্রয়মূল্য ৪ক টাকা

∴ ক্ষতি = (৪ক - ক) = ৩ক টাকা

এখন, 
৪ক টাকায় ক্ষতি হয় = ৩ক টাকা
∴ ১ টাকায় ক্ষতি হয় = ৩ক/৪ক টাকা
∴ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় (৩ক × ১০০)/৪ক = ৭৫ টাকা

সুতরাং, শতকরা ৭৫% ক্ষতি হয়।

ধরি, ভূমি = a cm, উচ্চতা = b cm
∴ a+b+13 = 30
বা, a+b = 17 = 4+13 কিন্তু 4² + 13² ≠ 13²
= 5+12 যেখানে 5² + 12² = 13²
= 6+11 কিন্তু 6² + 11² ≠ 13²
= 7+10 কিন্তু 7² + 10² ≠ 13²
∴ উত্তর = খ।

x + 2y = 5 .......(1) এবং 2x - y = 0
∴ y = 2x .........(2)
(1) নং থেকে পাই,
x + 2y = 5
বা, x + 2.2x = 5
বা, 5x = 5
∴ x = 1
(2) নং থেকে পাই,
∴ y = 2.1 = 2

প্রশ্ন: ১৮০০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
১৮০০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ × ৫
= ২^৩ × ৩^২ × ৫^২

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে। এখানে ২ এর ঘাত ৩ (বিজোড়)।

তাই ২ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।
অর্থাৎ, ১৮০০ × ২ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটি ২ দ্বারা গুণ করতে হবে।

প্রশ্ন: বাড়ি থেকে স্কুল যাওয়ার ৪টি পথ এবং স্কুল থেকে কোচিং যাওয়ার ৩টি পথ আছে। বাড়ি থেকে কোচিং পর্যন্ত মোট কতটি ভিন্ন পথ আছে?

সমাধান:
বাড়ি থেকে স্কুল যাওয়ার পথ আছে = ৪টি 
এবং স্কুল থেকে কোচিং যাওয়ার পথ আছে = ৩টি 

∴ মোট ভিন্ন পথের সংখ্যা = ৪ × ৩ = ১২টি

সুতরাং, বাড়ি থেকে কোচিং পর্যন্ত মোট ১২টি ভিন্ন পথ আছে।

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 +.......... ধারাটির 80 তম পদ কত? 

সমাধান: 
এখানে,
ধারার প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3 
পদ সংখ্যা, n = 80

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 80 তম পদ = 5 + {(80 - 1) × (3)}
= 5 + (79 × 3)
= 5 + 237
= 242

অনুপাতদ্বয়ের বিয়োগফল, ৫ - ১ = ৪
দুধের পরিমাণ ৪ লিটার বেশি হয় যখন পানি ১ লিটার
∴ দুধের পরিমাণ ৮ লিটার বেশি হয় পানি (১×৮)/৪ লিটার
= ২ লিটার

(12)^-1/2 × ∛54
(2²×3)^-1/2 × (3³×2)^1/3
(2^-1×3^-1/2 ) × (3×2^1/3 )
(2^-1+1/3) ×(3^1-1/2)
(2^-2/3 ) × (3^1/2)
√3/∛4

প্রশ্ন: sinθ + cosθ = √2 হলে, θ এর মান নির্ণয় করুন, যেখানে 0 < θ < 90°.

সমাধান: 
sinθ + cosθ = √2
⇒ sinθ = √2 - cosθ
⇒ sin²θ = (√2 - cosθ)²
⇒ 1 - cos²θ = (√2)² - 2.√2.cosθ + cos²θ
⇒ 1 - cos²θ = 2 - 2√2cosθ + cos²θ
⇒ 2cos²θ - 2√2cosθ + 1 = 0
⇒ (√2cosθ - 1)² = 0
⇒ √2cosθ - 1 = 0
⇒ √2cosθ = 1
⇒ cosθ = 1/√2
⇒ cosθ = cos45°
⇒ θ = 45°

প্রশ্ন: x² + 2px + p² - 4 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² + 2px + p² - 4
= (x² + 2px + p²) - 4
= (x + p)² - 4
= (x + p)² - 2²
= (x + p + 2)(x + p - 2)

প্রশ্ন: একটি খুটির দৈর্ঘ্য ২০ মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে উন্নতি কোণ ৪৫° হবে?

সমাধান: 
 

খুটির দৈর্ঘ্য AB = ২০ মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য AC = ?
সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = θ =৪৫°

ΔABC এ 
tanθ = AB/AC
⇒ tan45° = ২০/AC
⇒ ১ = ২০/AC
∴ AC = ২০

∴ ছায়ার দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার

প্রশ্ন: কোন গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ 1/16 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
ধরি 
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ = a

দেওয়া আছে, 
পঞ্চম পদ ar⁴ = 1/16
সাধারণ অনুপাত r = 1/2

এখন
a(1/2)⁴ =  1/16
⇒ a (1/16) = 1/16
⇒ a/16 = 1/16
⇒ a = 1

∴ প্রথম পদ a = 1

পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত = ৫ঃ২
অনুপাতের যোগফল = ৫ + ২ = ৭
৭০ লিটার মিশ্রণে পেট্রোলের পরিমাণ = (৭০ X ৫/৭) = ৫০ লিটার
৭০ লিটার মিশ্রণে অকটেনের পরিমাণ = (৭০ X ২/৭) = ২০ লিটার
ধরি অকটেন মিশাতে হবে ক লিটার
প্রশ্নমতে, ৫০/(২০ + ক) = ২/১
বা, ৪০ + ২ক = ৫০
বা, ক = ৫

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১০% বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল শতকরা কতটুকু বৃদ্ধি পায়?

সমাধান: 
ধরি, 
ব্যাসার্ধ r একক,
ক্ষেত্রফল A = πr² বর্গএকক

ব্যাসার্ধ, r 10% বৃদ্ধি পেলে নতুন r₁
= r  × (1 + 10/100)
= 1.1r একক

তাহলে,
নতুন ক্ষেত্রফল A₁ = πr² বর্গএকক
= π(1.1r)²
= 1.21πr² বর্গএকক

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = (1.21πr² - πr²) × 100%
= 0.21πr² × 100%
= 21%

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার 21% 

প্রশ্ন: সুমনের বেতন রহিমের বেতনের ২১০%। লিটনের বেতন লিজার বেতনের ৭০%। লিজার বেতন রহিমের বেতনের দ্বিগুণ। সুমন এবং লিটনের বেতনের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
রহিমের বেতন ১০০ টাকা
∴ সুমনের বেতন = ১০০ × ২১০%
= ১০০ × (২১০/১০০) = ২১০ টাকা

লিজার বেতন ২০০ টাকা
∴ লিটনের বেতন = ২০০ × ৭০%
= ১০০ × (৭০/১০০) = ১৪০ টাকা

∴ সুমন এবং লিটনের বেতনের অনুপাত = ২১০ : ১৪০
= ২১ : ১৪
= ৩ : ২