গাণিতিক যুক্তি

ধরি, বিক্রি করতে হবে = x টি
প্রশ্নমতে,
(15 - x)/x = 25%
বা, (15 - x)/x = 25/100
বা, (15 - x)/x = 1/4
বা, 60 - 4x = x
বা, 5x = 60
বা, x = 12 টি

প্রশ্ন: 2x²+ x - 15 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
সমীকরণটি = 2x² + x - 15
মিডিলটার্ম করে পাই = 2x² + 6x - 5x - 15
= 2x(x + 3) - 5(x + 3) 
= (2x - 5)(x + 3)

∴ উৎপাদক = (x + 3)(2x - 5)

প্রশ্ন: ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা এবং পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান: 
ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০০ 
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯ 

অন্তর = ১০০০০০ - ৯৯৯৯৯ = ১

খ ১ দিনে করে কাজটির ১/১৪ অংশ
∴ খ ১০〃 〃 〃 ১০/১৪ 〃
= ৫/৭ অংশ
∴ ক ১০ দিনে করে কাজটির (১ - ৫/৭) বা ২/৭ অংশ
ক ২/৭ অংশ কাজ করে ১০ দিনে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ 〃 〃 ১০ × ৭/২ বা ৩৫ দিনে।

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে, প্রাপ্ত সংখ্যার গুণফল জোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাব্যতা কত? 

সমাধান: 
দুটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ৬ × ৬ = ৩৬

এখন, 
গুণফল জোড় হবে যদি অন্তত একটি ছক্কায় জোড় সংখ্যা আসে।
জোড় সংখ্যা = ২, ৪, ৬ = মোট ৩টি এবং বিজোড় সংখ্যা = ১, ৩, ৫ = মোট ৩টি

গুণফল জোড় হবে না শুধুমাত্র যখন দুটি ছক্কাতেই বিজোড় সংখ্যা আসবে।
দুটি ছক্কায় বিজোড়-বিজোড় আসার সম্ভাব্য ফলাফল, 
(১, ১), (১, ৩), (১, ৫), (৩, ১), (৩, ৩), (৩, ৫), (৫, ১), (৫, ৩), (৫, ৫) = ৯টি
অর্থাৎ,
গুণফল বিজোড় হওয়ার সম্ভাব্যতা = ৯/৩৬ = ১/৪

∴ গুণফল জোড় হওয়ার সম্ভাব্যতা = ১ - (গুণফল বিজোড় হওয়ার সম্ভাব্যতা)
= ১ - (১/৪)
= ৩/৪

সুতরাং, গুণফল জোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাব্যতা ৩/৪

dy/dx = d/dx(x²) = 2x
∴ (2, 3) বিন্দুতে dy/dx = 2.2 = 4

ধরি, x = 2, y = 3 এবং z = 4
এখন, y-xz = 3-2×4 = -5>0
যা অবশ্যই ভুল।

প্রশ্ন: ১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২,৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯ = ৮ টি

প্রশ্ন: রফিক ও শফিক একটি কাজ যথাক্রমে ১২ দিনে ও ৬ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
রফিক ১ দিনে করে = ১/১২ অংশ
শফিক ১ দিনে করে = ১/৬ অংশ

দুই জনে একত্রে ১ দিনে করে = (১/১২ + ১/৬) অংশ
= (১ + ২)/১২ অংশ
= ৩/১২ অংশ
= ১/৪ অংশ

∴ দুই জনে একত্রে ১/৪ অংশ কাজ করে ১ দিনে
∴ দুই জনে একত্রে সম্পূর্ণ (১ অংশ) কাজ করে (১ × ৪) দিনে
= ৪ দিনে

∴ তারা একত্রে কাজটি ৪ দিনে করতে পারবে।

১৭-১৩=৪
২৫-১৭=৮
৪১-২৫=১৬
৭৩-৪১=৩২
সুতরাং ৪, ৮, ১৬, ৩২ ক্রম ঠিক রাখতে উত্তর ৭৩ হবে।

প্রশ্ন: একটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সাথে সংখ্যাটি যোগ করলে তা পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যার নয়গুণের সমান হয়। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
x² + x = 9(x + 1) 
বা, x² + x = 9x + 9 
বা, x² + x − 9x − 9 =0 
বা, x² − 8x − 9 = 0 
বা,  x² − 9x + x − 9 = 0 
বা, x(x − 9) + 1 (x − 9) = 0 
বা, (x − 9) (x + 1) = 0 
হয়,
x − 9 = 0
∴ x = 9 

অথবা,
x + 1 = 0 
বা, x = − 1
কিন্তু x ≠ − 1, স্বাভাবিক সংখ্যা ঋণাত্মক হয় না। 

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 9 ।

1 UK gal =  4.55 L
1 USA gal = 3.78541 L

প্রশ্ন: 2a + (2/a) = 12 হলে, a² + (1/a²) এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
2a + (2/a) = 12
বা, 2{a + (1/a)} = 12
বা, a + (1/a) = 12/2
∴ a + (1/a) = 6

এখন,
 a² + (1/a²)
= {a + (1/a)}² - {2 × a × (1/a)}
= 6² - 2
= 36 - 2
= 34

ধরি,
একটি ক্রমিক সংখ্যা = a
অন্যটি = a + ১

প্রশ্নমতে,
তাদের বর্গের অন্তর = (a + ১)^২ - a^২
= a^২ + ২a + ১ - a^২
= ২a + ১
= ২x যে কোন পূর্ণ সংখ্যা + ১
= জোড় সংখ্যা + ১
= বিজোড় সংখ্যা

প্রশ্ন: ঘণ্টায় a মাইল বেগে b দূরত্ব অতিক্রম করতে কত ঘণ্টা সময় লাগবে?

সমাধান:
বেগ = a মাইল/ঘণ্টা
 দূরত্ব = b মাইল 

a মাইল যায় 1 ঘণ্টায়
1 মাইল যায় 1/a ঘণ্টায়
b মাইল যায় b/a ঘণ্টায়

প্রশ্ন: 3x - 7 ≤ 8 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x - 7 ≤ 8
⇒ 3x - 7 + 7 ≤ 8 + 7 [উভয়পক্ষে 7 যোগ করে]
⇒ 3x ≤ 15
⇒ x ≤ 15/3
∴ x ≤ 5

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% সরল সুদে কত বছরে ৮০০ টাকার সুদ ৪০০ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল (P) = ৮০০ টাকা
সুদের হার (r) = ১০% 
সুদ (I) = ৪০০ টাকা
সময় = n বছর

আমরা জানি,
SI = (P × r × n)/১০০
⇒ ৪০০ = (৮০০ × ১০ × n)/১০০
⇒ ৪০০ = (৮০০০ × n)/১০০
⇒ ৪০০ = ৮০n
⇒ n = ৪০০/৮০
∴ n = ৫ বছর

∴ সময় = ৫ বছর

প্রশ্ন: 720 এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত?

সমাধান:
720 এর মৌলিক উৎপাদকগুলো = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
এখানে,
2 আছে 4 বার।
3 আছে 2 বার।
5 আছে 1 বার।

যেহেতু মৌলিক উৎপাদকদের মধ্যে 2 সবচেয়ে বেশি বার রয়েছে (4 বার),
∴ 720 এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক = 2

A - B হলো A সেটে বিদ্যমান কিন্তু B তে নাই এমন উপাদানের সেট = {1,2,3} = A

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের প্রতিকূলে নৌকা চালিয়ে ৫ ঘণ্টায় ৬০ কি.মি যান। যদি নদীতে স্রোতের বেগ ৩ কিমি/ঘণ্টা হয়, তাহলে স্থির পানিতে নৌকার বেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দূরত্ব = ৬০ কি.মি
সময় = ৫ ঘণ্টা

∴ স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = দূরত্ব ÷ সময় = ৬০ ÷ ৫ = ১২ কি.মি/ঘন্টা

আমরা জানি,
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = স্থির পানিতে নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ

∴ স্থির পানিতে নৌকার বেগ = স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ
= ১২ + ৩
= ১৫ কি.মি/ঘন্টা

প্রশ্ন: ১০% চক্রবৃদ্ধি সুদে ১০০০০ টাকার ২ বছরের সুদ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, আসল, P = ১০০০০ টাকা
সুদের হার, r = ১০%
সময়, n = ২ বছর

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P{১ + (r/১০০)ⁿ টাকা
= ১০০০০{১ + (১০/১০০)^২ টাকা
= ১০০০০(১১০/১০০)^২ টাকা
= ১০০০০ × (১১০/১০০) × (১১০/১০০) টাকা
= ১২১০০ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি সুদ = (১২১০০ - ১০০০০) টাকা = ২১০০ টাকা

ধরি,
ঘরের দৈর্ঘ্য = ৪a,
প্রস্থ = a
∴ পরিসীমা ২(৪a + a) = ৩০
বা, ১০a = ৩০
∴ a = ৩
∴ দৈর্ঘ্য = ৪ × ৩ = ১২ মিঃ,
প্রস্থ = ৩ মিঃ
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(১২² + ৩²)
= √(১৪৪ + ৯)
= √১৫৩
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = √১৫৩ মিঃ
এবং বাহুর ক্ষেত্রফল = (√১৫৩)²
= ১৫৩ বর্গমিঃ

প্রশ্ন: যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং sin(θ + 20°) = 1/2 হয়, তবে θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sin(θ + 20°) = 1/2
⇒ sin(θ + 20°) = sin30°
⇒ θ + 20° = 30°
⇒ θ = 30° - 20°
∴ θ = 10°

∴ θ এর মান 10° হবে।

ΔABC সমবাহু ত্রিভূজ
∴ ∠A = 60°
∴ কেন্দ্রস্থ ∠BOC = বৃত্তস্থ 2 ∠A
= 2 × 60°
= 120°

প্রশ্ন: 5 + 10 + 15 + 20 + ................ ধারাটির প্রথম 12টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
প্রথম পদ a = 5
সাধারণ অন্তর d = 10 - 5 = 5 
পদ সংখ্যা n = 12

S_n = (n/2)[2a + (n - 1)d]
⇒ S₁₂ = (12/2)[2 × 5 + (12 - 1) × 5]
⇒ S₁₂ = 6 [10 + 11 × 5]
⇒ S₁₂ = 6 [10 + 55]
⇒ S₁₂ = 6 × 6
⇒ S₁₂ = 390

∴ প্রথম 12টি পদের যোগফল 390। 

ইংরেজি স্বরবর্ণ আছে পাঁচটি (a, e, i, o, u)
যেহেতু,
বর্ণের পুনরাবৃত্তি হবে সুতরাং মোট পাসওয়ার্ড সংখ্যা = 5⁴ = 625

A:B = 4:5 = (4 × 5 ) : ( 5 × 5 ) = 20:25
A:C = 5:7 = (5 × 4 ) : ( 7 × 4 ) = 20:28
∴ A:B:C = 20:25:28

প্রশ্ন: E গুলো একত্রে এবং প্রথমে রেখে "ENGINEERING" শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
"ENGINEERING" শব্দটিতে
মোট বর্ণ = ১১টি 
যেখানে,
E = ৩টি,
N = ৩টি,
G = ২টি,
I = ২টি
এবং R = ১টি।

শর্ত অনুযায়ী, E গুলো একত্রে এবং প্রথমে থাকবে। অর্থাৎ E গুলোর অবস্থান নির্দিষ্ট। 

∴ বিন্যাস সংখ্যা = ৮!/(৩! × ২! × ২!) 
= (৮ × ৭ × ৬ × ৫ × ৪ × ৩!)/(৩! × ২ × ২)
= ১৬৮০ 

প্রশ্ন: কোন সেটের উপাদান সংখ্যা 6 হলে ঐ সেটের প্রকৃত উপসেট কতটি হবে?

সমাধান:
একটি সেটে উপাদান সংখ্যা = 6
মোট উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ = 2⁶ = 64
সুতরাং, প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1 = 64 - 1 = 63টি 

প্রথম রাশি, x³ + x²y
= x²(x + y)
দ্বিতীয় রাশি, x²y + xy²
= xy(x + y)

∴ গ.সা.গু = x(x + y)