৮,২০১.
a3 - 7a - 6 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?
ব্যাখ্যা
a3 - 7a - 6
= a3 + a2 - a2 - a - 6a - 6
= a2(a + 1) - a(a + 1) - 6(a + 1)
= (a + 1) (a2 - a - 6)
= (a + 1) (a2 - 3a + 2a - 6)
= (a + 1) {a(a - 3) + 2(a - 3)}
= (a + 1) (a + 2) (a - 3)
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
গাণিতিক যুক্তি
গাণিতিক যুক্তি
PrepBank · পাতা ৮৩ / ৪৭৫ · ৮,২০১–৮,৩০০ / ৪৭,৮৩৩
৮,২০২.
জাওয়াদ মোবইলে 5 মিনিট কথা বলল। প্রতি মিনিটের মূল্য 1.5 টাকা এবং ভ্যাট 15% হলে মোট কত টাকা বিল হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: জাওয়াদ মোবইলে 5 মিনিট কথা বলল। প্রতি মিনিটের মূল্য 1.5 টাকা এবং ভ্যাট 15% হলে মোট কত টাকা বিল হবে?
সমাধান:
1 মিনিটের মূল্য 1.5 টাকা
15% ভ্যাটসহ 1 মিনিটের মূল্য = 1.5 + (1.5 × 15%) টাকা
= 1.725 টাকা
1 মিনিটে মোট বিল 1.725 টাকা
5 মিনিটে মোট বিল (1.725 × 5) টাকা
= 8.625 টাকা
সমাধান:
1 মিনিটের মূল্য 1.5 টাকা
15% ভ্যাটসহ 1 মিনিটের মূল্য = 1.5 + (1.5 × 15%) টাকা
= 1.725 টাকা
1 মিনিটে মোট বিল 1.725 টাকা
5 মিনিটে মোট বিল (1.725 × 5) টাকা
= 8.625 টাকা
৮,২০৩.
0.18 + 0.0018 + 0.000018 +.......... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 0.18 + 0.0018 + 0.000018 +.......... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 0.18
সাধারণ অনুপাত, r = 0.0018/0.18
= 0.01
সুতরাং, ধারাটির অসমীতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= 0.18/(1 - 0.01)
= 0.18/0.99
= 18/99
= 2/11
সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 0.18
সাধারণ অনুপাত, r = 0.0018/0.18
= 0.01
সুতরাং, ধারাটির অসমীতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= 0.18/(1 - 0.01)
= 0.18/0.99
= 18/99
= 2/11
৮,২০৪.
একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৩৭ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৩৭ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ২ × রম্বসের ক্ষেত্রফল
= (২ × ৩৭) বর্গ সে.মি.
= ৭৪ বর্গ সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ২ × রম্বসের ক্ষেত্রফল
= (২ × ৩৭) বর্গ সে.মি.
= ৭৪ বর্গ সে.মি.
৮,২০৫.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
সমাধান:
৮,২০৬.
1 + 5 + 9 + 13 + ...... + 85 = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + 13 + ...... + 85 = কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(85 - 1)/4} + 1
= 22
∴ সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ)/২} × পদ সংখ্যা
= {(85 + 1)/2} × 22
= 946
সমাধান:
আমরা জানি,
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(85 - 1)/4} + 1
= 22
∴ সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ)/২} × পদ সংখ্যা
= {(85 + 1)/2} × 22
= 946
৮,২০৭.
a2 - 11a + 30 এবং a2 - 25 এর গ.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - 11a + 30 এবং a2 - 25 এর গ.সা.গু কত?
সমাধান:
১ম রাশি = a2 - 11a + 30
= a2 - 5a - 6a + 30
= a(a - 5) - 6(a - 5)
= (a - 5)(a - 6)
২য় রাশি = a2 - 25
= a2 - 52
= (a + 5)(a - 5)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = a - 5
সমাধান:
১ম রাশি = a2 - 11a + 30
= a2 - 5a - 6a + 30
= a(a - 5) - 6(a - 5)
= (a - 5)(a - 6)
২য় রাশি = a2 - 25
= a2 - 52
= (a + 5)(a - 5)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = a - 5
৮,২০৮.
একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 5 এবং সপ্তম পদটি 55 হলে, দশম পদটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 5 এবং সপ্তম পদটি 55 হলে, দশম পদটি কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a
এবং সাধারণ অন্তর, d হলে
n তম পদ = a + (n - 1)d
এখানে,
পঞ্চম পদ = 55
∴ a + (7 - 1)5 = 55
⇒ a + 30 = 55
⇒ a = 55 - 30
⇒ a = 25
∴ নবম পদ = 25 + (10 - 1) × 5
= 25 + 45
= 70
সমাধান:
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a
এবং সাধারণ অন্তর, d হলে
n তম পদ = a + (n - 1)d
এখানে,
পঞ্চম পদ = 55
∴ a + (7 - 1)5 = 55
⇒ a + 30 = 55
⇒ a = 55 - 30
⇒ a = 25
∴ নবম পদ = 25 + (10 - 1) × 5
= 25 + 45
= 70
৮,২০৯.
একটি গাড়ি ২৭০ টাকা বিক্রি করলে ১০% ক্ষতি হয়। গাড়িটির ক্রয়মূল্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাড়ি ২৭০ টাকা বিক্রি করলে ১০% ক্ষতি হয়। গাড়িটির ক্রয়মূল্য কত?
সমাধান:
১০% ক্ষতিতে
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৯০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ২৭০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ × ২৭০/৯০ টাকা = ৩০০ টাকা
সমাধান:
১০% ক্ষতিতে
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৯০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ২৭০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ × ২৭০/৯০ টাকা = ৩০০ টাকা
৮,২১০.
একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ৪৪ সে.মি. ও ১৫৪ বর্গসে.মি.। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ৪৪ সে.মি. ও ১৫৪ বর্গসে.মি.। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
সমাধান:
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = ২πr একক
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr২ বর্গ একক
প্রশ্নমতে,
πr২/২πr = ১৫৪/৪৪
⇒ r/২ = ১৫৪/৪৪
⇒ r = (১৫৪ × ২)/৪৪ = ৭
∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা (ব্যাস)-এর দৈর্ঘ্য = ২r
= (২ × ৭)
= ১৪ সে.মি.
সমাধান:
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = ২πr একক
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr২ বর্গ একক
প্রশ্নমতে,
πr২/২πr = ১৫৪/৪৪
⇒ r/২ = ১৫৪/৪৪
⇒ r = (১৫৪ × ২)/৪৪ = ৭
∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা (ব্যাস)-এর দৈর্ঘ্য = ২r
= (২ × ৭)
= ১৪ সে.মি.
৮,২১১.
৯ জন ছাত্রের গড় বয়স ১৫ বছর। ৩ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১৭ বছর হলে বাকি ৬ জন ছাত্রের বয়সের গড় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯ জন ছাত্রের গড় বয়স ১৫ বছর। ৩ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১৭ বছর হলে বাকি ৬ জন ছাত্রের বয়সের গড় কত?
সমাধান:
৯ জন ছাত্রের গড় বয়স ১৫ বছর
∴ ৯ জন ছাত্রের বয়সের সমষ্টি = (১৫ × ৯) বছর
= ১৩৫ বছর
আবার,
৩ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১৭ বছর
∴ ৩ জন ছাত্রের বয়সের সমষ্টি = (১৭ × ৩) বছর
= ৫১ বছর
∴ ৬ জন ছাত্রের বয়সের সমষ্টি = (১৩৫ - ৫১) বছর = ৮৪ বছর
∴ ৬ জন ছাত্রের বয়সের গড় = (৮৪/৬) বছর
= ১৪ বছর
সমাধান:
৯ জন ছাত্রের গড় বয়স ১৫ বছর
∴ ৯ জন ছাত্রের বয়সের সমষ্টি = (১৫ × ৯) বছর
= ১৩৫ বছর
আবার,
৩ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১৭ বছর
∴ ৩ জন ছাত্রের বয়সের সমষ্টি = (১৭ × ৩) বছর
= ৫১ বছর
∴ ৬ জন ছাত্রের বয়সের সমষ্টি = (১৩৫ - ৫১) বছর = ৮৪ বছর
∴ ৬ জন ছাত্রের বয়সের গড় = (৮৪/৬) বছর
= ১৪ বছর
৮,২১২.
এক ব্যক্তি ক্রয়মূল্যের উপর ৪০% বেশী হিসাব করে বিক্রয়মূল্য নির্ধারণ করে। সে নির্ধারিত বিক্রয়মূল্যের উপর ২০% কমিশন দিয়ে জিনিস বিক্রি করে। তার মোটের উপর শতকরা কত লাভ হয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ক্রয়মূল্যের উপর ৪০% বেশী হিসাব করে বিক্রয়মূল্য নির্ধারণ করে। সে নির্ধারিত বিক্রয়মূল্যের উপর ২০% কমিশন দিয়ে জিনিস বিক্রি করে। তার মোটের উপর শতকরা কত লাভ হয়?
সমাধান:
ধরি,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ নির্ধারিত বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ৪০) টাকা = ১৪০ টাকা
১০% কমিশনে বিক্রয়মূল্য = ১৪০ - (১৪০ × ২০)/১০০ টাকা
= ১৪০ - ২৮
= ১১২ টাকা
∴ লাভ = (১১২ -১০০) টাকা = ১২ টাকা
অর্থাৎ লাভ = ১২%
সমাধান:
ধরি,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ নির্ধারিত বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ৪০) টাকা = ১৪০ টাকা
১০% কমিশনে বিক্রয়মূল্য = ১৪০ - (১৪০ × ২০)/১০০ টাকা
= ১৪০ - ২৮
= ১১২ টাকা
∴ লাভ = (১১২ -১০০) টাকা = ১২ টাকা
অর্থাৎ লাভ = ১২%
৮,২১৩.
একটি জিনিস ১২০ টাকায় ক্রয় করে ১৪৪ টাকায় বিক্রয় করলে ক্রয়মূল্য ও লাভের অনুপাত কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি জিনিস ১২০ টাকায় ক্রয় করে ১৪৪ টাকায় বিক্রয় করলে ক্রয়মূল্য ও লাভের অনুপাত কত হবে?
সমাধান:
ক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা
বিক্রয়মূল্য = ১৪৪ টাকা
লাভ = (১৪৪ - ১২০) টাকা = ২৪ টাকা
ক্রয়মূল্য ও লাভের অনুপাত = ১২০ : ২৪
= ৫ : ১
৮,২১৪.
৩০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে কেরোসিন ও পেট্রোলের অনুপাত ৭ : ৩। ঐ মিশ্রণে কি পরিমাণ পেট্রোল মিশ্রিত করলে কেরোসিন ও পেট্রোলের অনুপাত ৩ : ৭ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে কেরোসিন ও পেট্রোলের অনুপাত ৭ : ৩। ঐ মিশ্রণে কি পরিমাণ পেট্রোল মিশ্রিত করলে কেরোসিন ও পেট্রোলের অনুপাত ৩ : ৭ হবে?
সমাধান:
৩০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে কেরোসিন ও পেট্রোলের অনুপাত ৭ : ৩।
কেরোসিনের পরিমাণ = ৩০ × (৭/১০) লিটার = ২১ লিটার
পেট্রোলের পরিমাণ = ৩০ × (৩/১০) লিটার = ৯ লিটার
ধরি, ক পরিমাণ পেট্রোল মিশ্রিত করতে হবে
প্রশ্নমতে,
২১/(৯ + ক) = ৩/৭
⇒ ২৭ + ৩ক = ১৪৭
⇒ ৩ক = ১২০
∴ ক = ৪০
অতএব, ৪০ লিটার পেট্রোল মেশাতে হবে।
সমাধান:
৩০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে কেরোসিন ও পেট্রোলের অনুপাত ৭ : ৩।
কেরোসিনের পরিমাণ = ৩০ × (৭/১০) লিটার = ২১ লিটার
পেট্রোলের পরিমাণ = ৩০ × (৩/১০) লিটার = ৯ লিটার
ধরি, ক পরিমাণ পেট্রোল মিশ্রিত করতে হবে
প্রশ্নমতে,
২১/(৯ + ক) = ৩/৭
⇒ ২৭ + ৩ক = ১৪৭
⇒ ৩ক = ১২০
∴ ক = ৪০
অতএব, ৪০ লিটার পেট্রোল মেশাতে হবে।
৮,২১৫.
৬০ এর এমন কয়টি উৎপাদক আছে যেগুলো ৬ দিয়ে বিভাজ্য?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬০ এর এমন কয়টি উৎপাদক আছে যেগুলো ৬ দিয়ে বিভাজ্য?
সমাধান:
৬০ এর উৎপাদক গুলো হলো ১, ২, ৩ ,৪, ৫, ৬, ১০, ১২, ১৫, ২০, ৩০, ৬০
৬দিয়ে বিভাজ্য গুলো হলো ৬, ১২, ৩০, ৬০
মোট = ৪ টি
সমাধান:
৬০ এর উৎপাদক গুলো হলো ১, ২, ৩ ,৪, ৫, ৬, ১০, ১২, ১৫, ২০, ৩০, ৬০
৬দিয়ে বিভাজ্য গুলো হলো ৬, ১২, ৩০, ৬০
মোট = ৪ টি
৮,২১৬.
2x + 1 = 32 হলে x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : 2x + 1 = 32 হলে x এর মান কত?
সমাধান:
2x + 1 = 32
2x + 1 = 25
x + 1 = 5
x = 5 - 1
x = 4
সমাধান:
2x + 1 = 32
2x + 1 = 25
x + 1 = 5
x = 5 - 1
x = 4
৮,২১৭.
নিচের কোনটি x3 + 3x + 36 এর একটি উৎপাদক?
ব্যাখ্যা
ধরি,
f(x) = x3 + 3x + 36
(x+3), f(x) এর একটি উৎপাদক হবে যদি f(x) = 0 হয়।
f(-3) = (-3)3 + 3(-3) + 36
= - 27 - 9 + 36
= 0
সুতরাং (x + 3), f(x) এর একটি উৎপাদক।
৮,২১৮.
একটি সমান্তর ধারার চতুর্থ ও দ্বাদশ পদের যোগফল ৩০। তাহলে প্রথম ১৫ টি পদের যোগফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার চতুর্থ ও দ্বাদশ পদের যোগফল ৩০। তাহলে প্রথম ১৫ টি পদের যোগফল কত?
সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ a এবং
সাধারন অন্তর d
চতুর্থ পদ = a + (4 - 1)d
= a + 3d
দ্বাদশ পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d
a + 3d + a + 11d = 30
2a + 14d = 30
তাহলে প্রথম ১৫ টি পদের যোগফল, S15 = 15/2{2a + (15 - 1)d}
= 15/2{2a + 14d}
= 15 × 30/2
= 225
সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ a এবং
সাধারন অন্তর d
চতুর্থ পদ = a + (4 - 1)d
= a + 3d
দ্বাদশ পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d
a + 3d + a + 11d = 30
2a + 14d = 30
তাহলে প্রথম ১৫ টি পদের যোগফল, S15 = 15/2{2a + (15 - 1)d}
= 15/2{2a + 14d}
= 15 × 30/2
= 225
৮,২১৯.
b2 - 4ac > 0 হলে নিচের কোনটি সত্য?
ব্যাখ্যা
b² - 4ac = 0 হলে মূল দুইটি বাস্তব এবং সমান এবং মূলদ
b² - 4ac পূর্ণ বর্গ হলে বাস্তব এবং অসমান এবং অমূলদ
b² - 4ac < 0 হলে মূল দুইটি জটিল সংখ্যা
b² - 4ac > 0 হলে মূল দুইটি বাস্তব এবং অসমান
৮,২২০.
মুনাফার হার শতকরা ২৫ টাকা হলে কোন আসল কত বছরে মুনাফা-আসলে তিনগুণ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: মুনাফার হার শতকরা ২৫ টাকা হলে কোন আসল কত বছরে মুনাফা-আসলে তিনগুণ হবে?
সমাধান:
ধরি,
আসল P = ১০০ টাকা
∴ মুনাফা আসল =(৩ × ১০০) টাকা
= ৩০০ টাকা
∴মুনাফা I =৩০০ - ১০০ = ২০০ টাকা
সময় n = ?
সুদের হার r = ২৫% = ২৫/১০০ = ১/৪
আমরা জানি,
I = Pnr
n = I/Pr
= ২০০/(১০০ × ১/৪)
= (২০০ × ৪)/১০০
= ৮
সমাধান:
ধরি,
আসল P = ১০০ টাকা
∴ মুনাফা আসল =(৩ × ১০০) টাকা
= ৩০০ টাকা
∴মুনাফা I =৩০০ - ১০০ = ২০০ টাকা
সময় n = ?
সুদের হার r = ২৫% = ২৫/১০০ = ১/৪
আমরা জানি,
I = Pnr
n = I/Pr
= ২০০/(১০০ × ১/৪)
= (২০০ × ৪)/১০০
= ৮
৮,২২১.
প্রথম সাতটি স্বাভাবিক সংখ্যার পরিমিতি ব্যবধান কত?
ব্যাখ্যা
কোন সংখ্যার পরিমিতি ব্যবধান হল ঐ সংখ্যা গুলোর গড় এর বর্গমূলের সমান.
প্রথম ৭টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল = ১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬ + ৭ = ২৮
∴ এদের গড় = ২৮/৭ = ৪
এখন, পরিমিতি ব্যবধান = √[{(৪ - ১)২ + (৪ - ২)২ + (৪ - ৩)২ + (৪ - ৪)২ + (৪ - ৫)২ + (৪ - ৬)২ + (৪ - ৭)২}/৭]
= √{(৯ + ৪ + ১ + ০ + ১ + ৪ + ৯)/৭}
= √(২৮/৭)
= √৪
= ২
প্রথম ৭টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল = ১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬ + ৭ = ২৮
∴ এদের গড় = ২৮/৭ = ৪
এখন, পরিমিতি ব্যবধান = √[{(৪ - ১)২ + (৪ - ২)২ + (৪ - ৩)২ + (৪ - ৪)২ + (৪ - ৫)২ + (৪ - ৬)২ + (৪ - ৭)২}/৭]
= √{(৯ + ৪ + ১ + ০ + ১ + ৪ + ৯)/৭}
= √(২৮/৭)
= √৪
= ২
৮,২২২.
x2 + 4 = 4x হলে x/(x2 + x - 1) এর মান কত?
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
x2 + 4 = 4x
x2 - 2 .x 2 + 22 = 0
(x - 2)2 = 0
x - 2 = 0
x = 2
x/(x2 + x - 1) = 2/(22 + 2 - 1)
= 2/(4 + 2 - 1)
= 2/5
x2 + 4 = 4x
x2 - 2 .x 2 + 22 = 0
(x - 2)2 = 0
x - 2 = 0
x = 2
x/(x2 + x - 1) = 2/(22 + 2 - 1)
= 2/(4 + 2 - 1)
= 2/5
৮,২২৩.
√4 × i4 এর মান নির্ণয় করুন।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: √4 × i4 এর মান নির্ণয় করুন।
সমাধান:
এখানে, √4 = √(2)2
= 2
এবং i4 = (i2)2
= (- 1)2 [∵ i2 = -1]
= 1
প্রদত্ত রাশি, √4 × i4 = 2 × 1 = 2
৮,২২৪.
ABCD একটি রম্বস।যার AC = 5 মিটার এবং BD = 6 মিটার হলে, ABCD রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৩০ = ১৫ বর্গমিটার
৮,২২৫.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ১২ মিঃ হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
এক বাহুর দৈর্ঘ্য a = ১২/৩ = ৪ মিঃ
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × ৪২
= ৪√৩ বর্গ মিঃ
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × ৪২
= ৪√৩ বর্গ মিঃ
৮,২২৬.
কোনো বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১৩৫° হলে ঐ বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১৩৫° হলে ঐ বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
পরিধিস্থ কোণ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ পরিধিস্থ কোণ= (১/২) × কেন্দ্রস্থ কোণ
= (১/২) × ১৩৫°
= ৬৭.৫°
সমাধান:
আমরা জানি,
পরিধিস্থ কোণ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ পরিধিস্থ কোণ= (১/২) × কেন্দ্রস্থ কোণ
= (১/২) × ১৩৫°
= ৬৭.৫°
৮,২২৭.
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... + n সংখ্যক পদের যোগফল হবে -
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... + n সংখ্যক পদের যোগফল হবে -
সমাধান:
এখানে ১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (- 1)/1 = -1 < 1
আমরা জানি, r < 1 হলে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = {a(1 - rn)/(1 - r)}
∴ n সংখ্যক পদের সমষ্টি = {a(1 - rn)} / (1 - r)
= {1 × (1 - (-1)n) / {1 - (- 1)}
= {1 - (-1)n} / (1 + 1)
= {1 - (-1)n} / 2
= (1/2)[1 - (- 1)n]
সমাধান:
এখানে ১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (- 1)/1 = -1 < 1
আমরা জানি, r < 1 হলে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = {a(1 - rn)/(1 - r)}
∴ n সংখ্যক পদের সমষ্টি = {a(1 - rn)} / (1 - r)
= {1 × (1 - (-1)n) / {1 - (- 1)}
= {1 - (-1)n} / (1 + 1)
= {1 - (-1)n} / 2
= (1/2)[1 - (- 1)n]
৮,২২৮.
২-এর কত শতাংশ ৮ হবে?
ব্যাখ্যা
ধরি, ২ এর ক শতাংশ হবে ৮
∴ ২ এর ক/১০০= ৮
বা, ২ক= ৮ × ১০০
∴ ক = ৪০০
∴ ২ এর ক/১০০= ৮
বা, ২ক= ৮ × ১০০
∴ ক = ৪০০
৮,২২৯.
কোনো সেনাবাহিনীতে যদি আরো ১১ জন সৈন্য নিয়োগ করা যেত তবে তাদেরকে ২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ সেনাবাহিনীতে কত জন সৈন্য ছিল?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সেনাবাহিনীতে যদি আরো ১১ জন সৈন্য নিয়োগ করা যেত তবে তাদেরকে ২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ সেনাবাহিনীতে কত জন সৈন্য ছিল?
সমাধান:
২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৬০০
∴ নির্ণেয় সৈন্য সংখ্যা = (৬০০ - ১১) জন
= ৫৮৯ জন।
৮,২৩০.
একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার 3/4 অংশ এবং ক্ষেত্রফল 363 বর্গমিটার হলে সামান্তরিকের উচ্চতা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার 3/4 অংশ এবং ক্ষেত্রফল 363 বর্গমিটার হলে সামান্তরিকের উচ্চতা কত?
সমাধান:
মনেকরি,
সামান্তরিকের উচ্চতা = x মিটার
সামান্তরিকের ভূমি = 3x/4 মিটার
আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
শর্তমতে,
(3x/4)× x = 363
বা,3x2 = 363 × 4
বা, x2 = (363 × 4)/3
বা, x2 = 484
∴ x = 22
সামান্তরিকের উচ্চতা = 22 মিটার
সমাধান:
মনেকরি,
সামান্তরিকের উচ্চতা = x মিটার
সামান্তরিকের ভূমি = 3x/4 মিটার
আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
শর্তমতে,
(3x/4)× x = 363
বা,3x2 = 363 × 4
বা, x2 = (363 × 4)/3
বা, x2 = 484
∴ x = 22
সামান্তরিকের উচ্চতা = 22 মিটার
৮,২৩১.
x = √5 + √4 হলে x2 + 1/x2 এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = √5 + √4 হলে x2 + 1/x2 এর মান কত?
সমাধান:
x = √5 + √4
1/x = 1/(√5 + √4)
1/x = (√5 - √4)/(√5 + √4)(√5 - √4)
1/x = (√5 - √4)/(√5)2 - (√4)2
1/x = (√5 - √4)/(5 - 4)
1/x = √5 - √4
x + 1/x = √5 + √4 + √5 - √4
x + 1/x = 2√5
x2 + 1/x2 = (x + 1/x)2 - 2.x.(1/x)
x2 + 1/x2 = (2√5)2 - 2
x2 + 1/x2 = 4 × 5 - 2
x2 + 1/x2 = 20 - 2
x2 + 1/x2 = 18
সমাধান:
x = √5 + √4
1/x = 1/(√5 + √4)
1/x = (√5 - √4)/(√5 + √4)(√5 - √4)
1/x = (√5 - √4)/(√5)2 - (√4)2
1/x = (√5 - √4)/(5 - 4)
1/x = √5 - √4
x + 1/x = √5 + √4 + √5 - √4
x + 1/x = 2√5
x2 + 1/x2 = (x + 1/x)2 - 2.x.(1/x)
x2 + 1/x2 = (2√5)2 - 2
x2 + 1/x2 = 4 × 5 - 2
x2 + 1/x2 = 20 - 2
x2 + 1/x2 = 18
৮,২৩২.
০.১৬২৩ - ৩১ = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ০.১৬২৩ - ৩১ = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
০.১৬২৩ - ৩১
∴ ০.১৬২৩ - ৩১
= - (৩১ - ০.১৬২৩)
= -৩০.৮৩৭৭
অতএব, সঠিক উত্তর:
ক) -৩০.৮৩৭৭
৮,২৩৩.
৬৪ এর ২ ভিত্তিক লগারিদম কত?
ব্যাখ্যা
যুক্তিঃ log264
= log226
= 6log22
= 6.
= log226
= 6log22
= 6.
৮,২৩৪.
x2 = √5x - 1 হলে x3 + (1/x)3 এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 = √5x - 1 হলে x3 + (1/x)3 এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x2 = √5x - 1
⇒ (x2/x) = (√5x - 1)/x [উভয় পক্ষকে x দ্বারা ভাগ করে]
⇒ x = (√5x/x) - (1/x)
⇒ x = √5 - (1/x)
⇒ x + (1/x) = √5
∴ x3 + (1/x)3
= {x + (1/x)}3- 3x(1/x){x + (1/x)}
= (√5)3 - 3√5
= 5√5 - 3√5
= 2√5
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x2 = √5x - 1
⇒ (x2/x) = (√5x - 1)/x [উভয় পক্ষকে x দ্বারা ভাগ করে]
⇒ x = (√5x/x) - (1/x)
⇒ x = √5 - (1/x)
⇒ x + (1/x) = √5
∴ x3 + (1/x)3
= {x + (1/x)}3- 3x(1/x){x + (1/x)}
= (√5)3 - 3√5
= 5√5 - 3√5
= 2√5
৮,২৩৫.
রিফাত ও তানভীর যথাক্রমে ৭৫০০০ টাকা ও ৫০০০০ টাকা বিনিয়োগ করে একটি ডেইরী ফার্ম দিল। ঐ ফার্মে ১২০০০ টাকা লাভ হলে রিফাত ও তানভীর যথাক্রমে কত টাকা পাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রিফাত ও তানভীর যথাক্রমে ৭৫০০০ টাকা ও ৫০০০০ টাকা বিনিয়োগ করে একটি ডেইরী ফার্ম দিল। ঐ ফার্মে ১২০০০ টাকা লাভ হলে রিফাত ও তানভীর যথাক্রমে কত টাকা পাবে?
সমাধান:
রিফাত ও তানভীরের বিনিয়োগের অনুপাত = ৭৫০০০ : ৫০০০০
= ৭৫ : ৫০
= ৩ : ২
∴ লাভ থেকে রিফাত পাবে = ১২০০০ × (৩/৫) টাকা
= ৭২০০ টাকা
∴ লাভ থেকে তানভীর পাবে = ১২০০০ × (২/৫) টাকা
= ৪৮০০ টাকা
সমাধান:
রিফাত ও তানভীরের বিনিয়োগের অনুপাত = ৭৫০০০ : ৫০০০০
= ৭৫ : ৫০
= ৩ : ২
∴ লাভ থেকে রিফাত পাবে = ১২০০০ × (৩/৫) টাকা
= ৭২০০ টাকা
∴ লাভ থেকে তানভীর পাবে = ১২০০০ × (২/৫) টাকা
= ৪৮০০ টাকা
৮,২৩৬.
একটি বন্দুকের গুলি প্রতি সেকেন্ডে ১,৩৫০ ফুট গতিবেগে লক্ষ্যভেদ করে। এক ব্যক্তি গুলি ছুঁড়বার ৩ সেকেন্ড পরে লক্ষ্যভেদের শব্দ শুনতে পায়। শব্দের গতি প্রতি সেকেন্ডে ৯০০ ফুট। লক্ষ্যবস্তুর দূরত্ব কত ফুট?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বন্দুকের গুলি প্রতি সেকেন্ডে ১,৩৫০ ফুট গতিবেগে লক্ষ্যভেদ করে। এক ব্যক্তি গুলি ছুঁড়বার ৩ সেকেন্ড পরে লক্ষ্যভেদের শব্দ শুনতে পায়। শব্দের গতি প্রতি সেকেন্ডে ৯০০ ফুট। লক্ষ্যবস্তুর দূরত্ব কত ফুট?
সমাধান:
ধরি,
লক্ষবস্তুর দূরত্ব = ক ফুট
∴ ক মিটার যেতে বুলেটের সময় লাগে = ক/১৩৫০ সেকেন্ড
আবার,
ক মিটার আসতে শব্দের সময় লাগে = ক/৯০০ সেকেন্ড
প্রশ্নমতে,
(ক/১৩৫০) + (ক/৯০০) = ৩
বা, (২ক + ৩ক)/২৭০০ = ৩
বা ,৫ক = ৩ × ২৭০০
বা, ৫ক = ৮১০০
বা, ক = ৮১০০/৫
∴ ক = ১৬২০ ফুট
∴ লক্ষ্যবস্তুর দূরত্ব = ১৬২০ ফুট ।
সমাধান:
ধরি,
লক্ষবস্তুর দূরত্ব = ক ফুট
∴ ক মিটার যেতে বুলেটের সময় লাগে = ক/১৩৫০ সেকেন্ড
আবার,
ক মিটার আসতে শব্দের সময় লাগে = ক/৯০০ সেকেন্ড
প্রশ্নমতে,
(ক/১৩৫০) + (ক/৯০০) = ৩
বা, (২ক + ৩ক)/২৭০০ = ৩
বা ,৫ক = ৩ × ২৭০০
বা, ৫ক = ৮১০০
বা, ক = ৮১০০/৫
∴ ক = ১৬২০ ফুট
∴ লক্ষ্যবস্তুর দূরত্ব = ১৬২০ ফুট ।
৮,২৩৭.
কোনো পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীদের ৮৫% গণিতে এবং ৭৫% বাংলায় পাস করল। উভয় বিষয়ে পাস করল ৭০%। উভয় বিষয়ে শতকরা কতজন ফেল করল?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীদের ৮৫% গণিতে এবং ৭৫% বাংলায় পাস করল। উভয় বিষয়ে পাস করল ৭০%। উভয় বিষয়ে শতকরা কতজন ফেল করল?
সমাধান :
গণিতে পাশ = ৮৫%
শুধু গণিতে পাশ = (৮৫ - ৭০)% = ১৫%
বাংলায় পাশ = ৭৫%
শুধু বাংলায় পাশ = (৭৫ - ৭০)% = ৫%
এক এবং উভয় বিষয়ে পাশ = (১৫ + ৫ + ৭০)% = ৯০%
∴ উভয় বিষয়ে ফেল = (১০০ - ৯০)% = ১০%
সমাধান :
গণিতে পাশ = ৮৫%
শুধু গণিতে পাশ = (৮৫ - ৭০)% = ১৫%
বাংলায় পাশ = ৭৫%
শুধু বাংলায় পাশ = (৭৫ - ৭০)% = ৫%
এক এবং উভয় বিষয়ে পাশ = (১৫ + ৫ + ৭০)% = ৯০%
∴ উভয় বিষয়ে ফেল = (১০০ - ৯০)% = ১০%
৮,২৩৮.
একটি কলম ১০% লাভে বিক্রয় করলে বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
মনেকরি, ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০ = ১১০ টাকা
তাহলে, বিক্রয়মূল্য : ক্রয়মূল্য = ১১০ : ১০০
= ১১ : ১০
৮,২৩৯.
যদি অবিন্যস্ত তথ্য ১১, ১৫, ০৯, ০৮, ১৬, ১২, ২০, ১৮ হয়, তাহলে মধ্যক নির্ণয় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি অবিন্যস্ত তথ্য ১১, ১৫, ০৯, ০৮, ১৬, ১২, ২০, ১৮ হয়, তাহলে মধ্যক নির্ণয় কত?
সমাধান: এখানে তথ্য সংখ্যা ৮টি অর্থাৎ জোড় সংখ্যা। প্রথমে তথ্যগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজাতে হবে,
অর্থাৎ- সাজানো তথ্য: ০৮, ০৯, ১১, ১২, ১৫, ১৬, ১৮, ২০।
তাহলে, মধ্যক হবে = (১২ + ১৫)/২
= ২৭/২
= ১৩.৫
সমাধান: এখানে তথ্য সংখ্যা ৮টি অর্থাৎ জোড় সংখ্যা। প্রথমে তথ্যগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজাতে হবে,
অর্থাৎ- সাজানো তথ্য: ০৮, ০৯, ১১, ১২, ১৫, ১৬, ১৮, ২০।
তাহলে, মধ্যক হবে = (১২ + ১৫)/২
= ২৭/২
= ১৩.৫
৮,২৪০.
কিছু সদস্যের একটি গ্রুপ ৪দিনে একটি কাজ শেষ করার পরিকল্পনা করে কাজ শুরু করল। কিন্তু প্রতিদিন ২০ জন করে লোক কম আসতে শুরু করল। ৭দিন পরে কাজটি শেষ হলে, কতজন লোক কাজটি শুরু করেছিল?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কিছু সদস্যের একটি গ্রুপ ৪দিনে একটি কাজ শেষ করার পরিকল্পনা করে কাজ শুরু করল। কিন্তু প্রতিদিন ২০ জন করে লোক কম আসতে শুরু করল। ৭দিন পরে কাজটি শেষ হলে, কতজন লোক কাজটি শুরু করেছিল?
সমাধান:
ধরি,
কাজটির শুরুতে সদস্য ছিল = ক জন
প্রশ্নমতে,
৪ক = ক + (ক - ২০) + (ক - ৪০) + (ক - ৬০) + (ক - ৮০) + (ক - ১০০) + (ক - ১২০)
⇒ ৪ক = ৭ক - ৪২০
⇒ ৩ক = ৪২০
∴ ক = ১৪০ জন
সমাধান:
ধরি,
কাজটির শুরুতে সদস্য ছিল = ক জন
প্রশ্নমতে,
৪ক = ক + (ক - ২০) + (ক - ৪০) + (ক - ৬০) + (ক - ৮০) + (ক - ১০০) + (ক - ১২০)
⇒ ৪ক = ৭ক - ৪২০
⇒ ৩ক = ৪২০
∴ ক = ১৪০ জন
৮,২৪১.
একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের মানের এক-তৃতীয়াংশ সমান। কোণটির মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের মানের এক-তৃতীয়াংশ সমান। কোণটির মান কত?
সমাধান:
মনে করি,
একটি কোণ = x
কোণটির সম্পূরক কোণ = (180°- x)
প্রশ্নমতে,
x = (180°- x)/3
⇒ 3x = 180°- x
⇒ 4x = 180°
∴ x = 45°
সমাধান:
মনে করি,
একটি কোণ = x
কোণটির সম্পূরক কোণ = (180°- x)
প্রশ্নমতে,
x = (180°- x)/3
⇒ 3x = 180°- x
⇒ 4x = 180°
∴ x = 45°
৮,২৪২.
sinA + cosecA = 2 হলে, sinA এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sinA + cosecA = 2 হলে, sinA এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinA + cosecA = 2
⇒ SinA + (1/sinA) = 2
⇒ (sin2A + 1)/sinA = 2
⇒ sin2A + 1 = 2sinA
⇒ sin2A - 2sinA + 1 = 0
⇒ (sinA - 1)2 = 0
⇒ sinA - 1 = 0
⇒ sinA = 1
সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinA + cosecA = 2
⇒ SinA + (1/sinA) = 2
⇒ (sin2A + 1)/sinA = 2
⇒ sin2A + 1 = 2sinA
⇒ sin2A - 2sinA + 1 = 0
⇒ (sinA - 1)2 = 0
⇒ sinA - 1 = 0
⇒ sinA = 1
৮,২৪৩.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
সমাধান:
সমাধান:
৮,২৪৪.
একটি সমান্তর ধারায় 12তম পদের মান 77 হলে, এর প্রথম 23টি পদের যোগফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারায় 12তম পদের মান 77 হলে, এর প্রথম 23টি পদের যোগফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
12 তম পদ = 77
ধরি,
ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
তাহলে,
12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d
শর্তমতে,
a + 11d = 77
আবার,
প্রথম n পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = (23/2){2a + (23 - 1)d}
= (23/2)(2a + 22d)
= (23/2) × 2(a + 11d)
= (23/2) × 2 × 77 [a + 11d = 77 বসিয়ে]
= 23 × 77
= 1771
∴ সমান্তর ধারাটির প্রথম 23টি পদের সমষ্টি 1771.
৮,২৪৫.
নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা নয়?
ব্যাখ্যা
১ মৌলিক সংখ্যা নয়।
৮,২৪৬.
ত্রিভুজ ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ, উহার AB ও AC বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয়ের সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোন সমান এবং ৬০° হয়।
এর কোন বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণ হবে (১৮০-৬০)° = ১২০°
অর্থাৎ AB ও AC বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয়ের সমষ্টি হবে (১২০+১২০)° = ২৪০°
এর কোন বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণ হবে (১৮০-৬০)° = ১২০°
অর্থাৎ AB ও AC বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয়ের সমষ্টি হবে (১২০+১২০)° = ২৪০°
৮,২৪৭.
0.1 + 0.01 + 0.001 + ........ ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 0.1 + 0.01 + 0.001 + ....... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?
সমাধান:
এখানে,
a = 0.1
r = 0.01/0.1
= 0.1 [0.1 < 1]
আমরা জানি,
অসীম পদের সমষ্টি, S∞ = a/(1 - r)
= 0.1/(1 - 0.1)
= 0.1/0.9
= 1/9
৮,২৪৮.
x2 - y2 - 1 + 2y এর একটি উৎপাদক কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - y2 - 1 + 2y এর একটি উৎপাদক কোনটি?
সমাধান:
x2 - y2 - 1 + 2y
= x2 - (y2 - 2y + 1)
= x2 - (y - 1)2
= {x + (y - 1)}{x - (y - 1)}
=(x + y - 1)(x - y + 1)
সমাধান:
x2 - y2 - 1 + 2y
= x2 - (y2 - 2y + 1)
= x2 - (y - 1)2
= {x + (y - 1)}{x - (y - 1)}
=(x + y - 1)(x - y + 1)
৮,২৪৯.
যদি A = 30° হয়, তাহলে 4cos3A - 3cosA এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি A = 30° হয়, তাহলে 4cos3A - 3cosA এর মান কত?
সমাধান:
= 4cos3A - 3cosA
= 4cos330° - 3cos30° [A এর মান বসিয়ে]
= {4 × (√3/2)3} - {3 ×(√3/2)} [∴ cos30° = √3/2]
= {4 × (3√3/8)} - (3√3/2)
= (3√3/2) - (3√3/2)
= 0
সমাধান:
= 4cos3A - 3cosA
= 4cos330° - 3cos30° [A এর মান বসিয়ে]
= {4 × (√3/2)3} - {3 ×(√3/2)} [∴ cos30° = √3/2]
= {4 × (3√3/8)} - (3√3/2)
= (3√3/2) - (3√3/2)
= 0
৮,২৫০.
একটি বাক্সে বিভিন্ন আকারের ৭ টি সাদা বল, ৪ টি কমলা বল এবং ৯ টি সবুজ বল আছে। এলোমেলোভাবে একটি বল তুলে নেওয়া হলো। বলটি কমলা বা সবুজ হবার সম্ভাব্যতা কত?
ব্যাখ্যা
মোট বল = ৭ + ৪ + ৯ = ২০ টি
একটি বল তুললে বলটি কমলা হবার সম্ভাবনা ৪/২০
আবার, একটি বল তুললে বলটি সবুজ হবার সম্ভাবনা ৯/২০
ঘটনা দুটি পরষ্পর বর্জনশীল।
এলোমেলোভাবে একটি বল তুলে নেওয়া হলো। বলটি কমলা বা সবুজ হবার সম্ভাব্যতা = ৪/২০ + ৯/২০ = ১৩/২০
৮,২৫১.
কোন এলাকায় লোকসংখ্যা ৪% বৃদ্ধি পেয়ে ৮৮৪০ জন হলো। পূর্বে ঐ এলাকায় লোকসংখ্যা কতজন ছিল?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন এলাকায় লোকসংখ্যা ৪% বৃদ্ধি পেয়ে ৮৮৪০ জন হলো। পূর্বে ঐ এলাকায় লোকসংখ্যা কতজন ছিল?
সমাধান:
সমাধান:
৪% বৃদ্ধিতে,
পূর্বের লোকসংখ্যা ১০০ জন হলে বর্তমানে = (১০০ + ৪) = ১০৪ জন
পূর্বের লোকসংখ্যা ১০০ জন হলে বর্তমানে = (১০০ + ৪) = ১০৪ জন
বর্তমানে ১০৪ জন হলে পূর্বের লোকসংখ্যা ছিল = ১০০ জন
বর্তমানে ১ জন হলে পূর্বের লোকসংখ্যা ছিল = ১০০/১০৪ জন
বর্তমানে ৮৮৪০ জন হলে পূর্বের লোকসংখ্যা ছিল = (১০০ × ৮৮৪০)/১০৪ জন
= ৮৫০০ জন
বর্তমানে ১ জন হলে পূর্বের লোকসংখ্যা ছিল = ১০০/১০৪ জন
বর্তমানে ৮৮৪০ জন হলে পূর্বের লোকসংখ্যা ছিল = (১০০ × ৮৮৪০)/১০৪ জন
= ৮৫০০ জন
৮,২৫২.
বার্ষিক শতকরা ৫ টাকা হার সুদে ৯০০ টাকার ৫ বছরের সুদাসল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ৫ টাকা হার সুদে ৯০০ টাকার ৫ বছরের সুদাসল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
সুদ = (আসল × সুদের হার × সময়)/১০০
= (৯০০ × ৫ × ৫)/১০০
= ২২৫ টাকা
∴ সুদাসল = সুদ + আসল
= ২২৫ + ৯০০
= ১১২৫ টাকা
সমাধান:
আমরা জানি,
সুদ = (আসল × সুদের হার × সময়)/১০০
= (৯০০ × ৫ × ৫)/১০০
= ২২৫ টাকা
∴ সুদাসল = সুদ + আসল
= ২২৫ + ৯০০
= ১১২৫ টাকা
৮,২৫৩.
4 × np3 = 5 × n - 1p3 হলে n এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4 × np3 = 5 × n - 1p3 হলে n এর মান কত?
সমাধান:
4 × np3 = 5 × n - 1p3
⇒ 4 × n!/(n - 3)! = 5 × (n - 1)!/(n - 1 - 3)!
⇒ 4 × n (n - 1) (n - 2) (n - 3)!/(n - 3)! = 5 × (n - 1) (n - 2) (n - 3) (n - 4)!/(n - 4)!
⇒ 4 × n = 5 × (n - 3)
⇒ 4n = 5n - 15
⇒ - n = - 15
∴ n = 15
সমাধান:
4 × np3 = 5 × n - 1p3
⇒ 4 × n!/(n - 3)! = 5 × (n - 1)!/(n - 1 - 3)!
⇒ 4 × n (n - 1) (n - 2) (n - 3)!/(n - 3)! = 5 × (n - 1) (n - 2) (n - 3) (n - 4)!/(n - 4)!
⇒ 4 × n = 5 × (n - 3)
⇒ 4n = 5n - 15
⇒ - n = - 15
∴ n = 15
৮,২৫৪.
শতকরা বার্ষিক ৭ টাকা হার সরল মুনাফায় ৬৫০ টাকার ৬ অর্ধ-বছরের মুনাফা কত?
ব্যাখ্যা
এখানে, আসল, P = ৬৫০ টাকা
সময়, n = ৬ অর্ধ-বছর
অর্ধ-বার্ষিক মুনাফার হার, r = ৭%/২ = ৩.৫%
আমরা জানি, I = Pnr
= ৬৫০ × ৬ × ৩.৫%
= ১৩৬.৫ টাকা
সময়, n = ৬ অর্ধ-বছর
অর্ধ-বার্ষিক মুনাফার হার, r = ৭%/২ = ৩.৫%
আমরা জানি, I = Pnr
= ৬৫০ × ৬ × ৩.৫%
= ১৩৬.৫ টাকা
৮,২৫৫.
3x + 5 = 3x + 3 + (8/3) হলে x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x + 5 = 3x + 3 + (8/3) হলে x এর মান কত?
সমাধান:
3x + 5 = 3x + 3 + (8/3)
⇒ 3x.35 = 3x .33 + (8/3)
⇒ 3x.35 - 3x .33 = 8/3
⇒ 3x 36 - 3x. 34 = 8
⇒ 3x.34(32 - 1) = 8
⇒ 3x.34.8 = 8
⇒ 3x + 4 = 1
⇒ 3x + 4 = 30
⇒ x + 4 = 0
x = - 4
সমাধান:
3x + 5 = 3x + 3 + (8/3)
⇒ 3x.35 = 3x .33 + (8/3)
⇒ 3x.35 - 3x .33 = 8/3
⇒ 3x 36 - 3x. 34 = 8
⇒ 3x.34(32 - 1) = 8
⇒ 3x.34.8 = 8
⇒ 3x + 4 = 1
⇒ 3x + 4 = 30
⇒ x + 4 = 0
x = - 4
৮,২৫৬.
দুটি সংখ্যার বিয়োগফল তাদের যোগফলের এক- তৃতীয়াংশ হলে সংখ্যা দুটির অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার বিয়োগফল তাদের যোগফলের এক- তৃতীয়াংশ হলে সংখ্যা দুটির অনুপাত কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি x, y
শর্তমতে,
x - y = (x + y)/3
বা, 3x - 3y = x + y
বা, 2x = 4y
বা, x/y = 4/2
∴ x : y = 2 : 1
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি x, y
শর্তমতে,
x - y = (x + y)/3
বা, 3x - 3y = x + y
বা, 2x = 4y
বা, x/y = 4/2
∴ x : y = 2 : 1
৮,২৫৭.
১৫ + ১৮ + ২১ + ২৪ +..............ধারাটির ২৫ তম পদ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৫ + ১৮ + ২১ + ২৪ +..............ধারাটির ২৫ তম পদ কত?
সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ১৫
সাধারণ অন্তর, d = (১৮ - ১৫) = ৩
এবং পদসংখ্যা, n = ২৫
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১)d
∴ ধারাটির ২৫ তম পদ = a + (n - ১)d
= ১৫ + (২৫ - ১) × ৩
= ১৫ + (২৪ × ৩)
= ১৫ + ৭২
= ৮৭
∴ ধারাটির ২৫ তম পদ = ৮৭
৮,২৫৮.
কুকুর তাড়িত একটি বিড়াল যত সময়ে ১০ লাফ দেয়, কুকুরটি ততক্ষণে ৮ লাফ দেয়। কিন্তু বিড়াল ৬ লাফে যত দূর যায় কুকুরটি ৪ লাফে তত দূর যায়। কুকুর ও বিড়ালের বেগের অনুপাত -
ব্যাখ্যা
ধরি,
বিড়াল ৬ লাফে যায় x মি.
∴ বিড়াল ১০ লাফে যায় = (x × ১০)/৬ মি.
= ৫x/৩
কুকুর ৪ লাফে যায় = x মি.
∴ কুকুর ৮ লাফে যায় = (x × ৮)/৪
= ২x
কুকুর : বিড়াল = ২x : (৫x/৩)
= ৬ : ৫
৮,২৫৯.
কমপক্ষে একজন পুরুষকে নিয়ে 3 সদস্য বিশিষ্ট একটি দল নির্বাচন করতে হবে। যদি সেখানে মোট 4 জন পুরুষ এবং 3 জন মহিলা থাকে, তাহলে কতগুলি দল গঠন করা যায়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কমপক্ষে একজন পুরুষকে নিয়ে 3 সদস্য বিশিষ্ট একটি দল নির্বাচন করতে হবে। যদি সেখানে মোট 4 জন পুরুষ এবং 3 জন মহিলা থাকে, তাহলে কতগুলি দল গঠন করা যায়?
সমাধান:
দলে একজন পুরুষ, দু'জন পুরুষ বা তিনজন পুরুষ থাকতে পারে।
একজন পুরুষ এবং দুইজন মহিলা নিয়ে দলের সংখ্যা = 4C1 × 3C2 = 4 × 3 = 12
দুইজন পুরুষ এবং একজন মহিলা নিয়ে দলের সংখ্যা = 4C2 × 3C1 = 6 × 3 = 18
তিনজন পুরুষ নিয়ে দলের সংখ্যা = 4C3 = 4
∴ মোট দলের সংখ্যা = 12 + 18 + 4 = 34
সমাধান:
দলে একজন পুরুষ, দু'জন পুরুষ বা তিনজন পুরুষ থাকতে পারে।
একজন পুরুষ এবং দুইজন মহিলা নিয়ে দলের সংখ্যা = 4C1 × 3C2 = 4 × 3 = 12
দুইজন পুরুষ এবং একজন মহিলা নিয়ে দলের সংখ্যা = 4C2 × 3C1 = 6 × 3 = 18
তিনজন পুরুষ নিয়ে দলের সংখ্যা = 4C3 = 4
∴ মোট দলের সংখ্যা = 12 + 18 + 4 = 34
৮,২৬০.
আলমের বাংলা পরীক্ষায় ফেল করার সম্ভাব্যতা 1/5, বাংলা ও ইংরেজি দুটোতেই পাসের সম্ভাব্যতা 3/4 এবং দুইটির যেকোন একটিতে পাসের সম্ভাব্যতা 7/8 হলে তার ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা কত?
ব্যাখ্যা
মনে করি, বংলায় পাসের ঘটনা = A এবং ইংরেজিতে পাসের ঘটনা = B
তাহলে, P(A) = 1-(1/5) = 4/5[পূরক সূত্রানুযায়ী]
P(বাংলা বা ইংরেজি) = P(A∪B) = 7/8
P(বাংলা বা ইংরেজি) = P(A∩B) = 3/4
এখন সম্ভাবতার সংযোগ সূত্র P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
বা, 7/8 = (4/5)+P(B)-(3/4)
বা, P(B) = 7/8 + 3/4 - 4/5 = (35+30-32)/40
∴ P(B) = 33/40
অর্থাৎ ইংরেজিতে পাসের সম্ভব্যতা = 33/40.
তাহলে, P(A) = 1-(1/5) = 4/5[পূরক সূত্রানুযায়ী]
P(বাংলা বা ইংরেজি) = P(A∪B) = 7/8
P(বাংলা বা ইংরেজি) = P(A∩B) = 3/4
এখন সম্ভাবতার সংযোগ সূত্র P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
বা, 7/8 = (4/5)+P(B)-(3/4)
বা, P(B) = 7/8 + 3/4 - 4/5 = (35+30-32)/40
∴ P(B) = 33/40
অর্থাৎ ইংরেজিতে পাসের সম্ভব্যতা = 33/40.
৮,২৬১.
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪। তাদের ল.সা.গু ১০৮ হলে বড় সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪। তাদের ল.সা.গু ১০৮ হলে বড় সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ৩ক
বড় সংখ্যাটি = ৪ক
এদের ল.সা.গু = ১২ক
প্রশ্নমতে,
১২ক = ১০৮
⇒ ক = ১০৮/১২
∴ ক = ৯
অতএব, বড় সংখ্যাটি = ৪ × ৯ = ৩৬
সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ৩ক
বড় সংখ্যাটি = ৪ক
এদের ল.সা.গু = ১২ক
প্রশ্নমতে,
১২ক = ১০৮
⇒ ক = ১০৮/১২
∴ ক = ৯
অতএব, বড় সংখ্যাটি = ৪ × ৯ = ৩৬
৮,২৬২.
৫০০০ টাকা সরল মুনাফায় ৮ বছরে সুদে-আসলে তিনগুণ হলে মুনাফার হার শতকরা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫০০০ টাকা সরল মুনাফায় ৮ বছরে মুনাফা-আসলে তিনগুণ হলে মুনাফার হার শতকরা কত?
সমাধান:
ধরি,
আসল P = ৫০০০ টাকা
মুনাফা-আসল A = ৫০০০ × ৩ = ১৫০০০ টাকা
মুনাফা, I = ১৫০০০ - ৫০০০ = ১০০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = (১০০০০ × ১০০)/(৫০০০ × ৮)%
= ২৫%
সমাধান:
ধরি,
আসল P = ৫০০০ টাকা
মুনাফা-আসল A = ৫০০০ × ৩ = ১৫০০০ টাকা
মুনাফা, I = ১৫০০০ - ৫০০০ = ১০০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = (১০০০০ × ১০০)/(৫০০০ × ৮)%
= ২৫%
৮,২৬৩.
৯, ৩৬, ৮১, ১৪৪,.........ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯, ৩৬, ৮১, ১৪৪,.......... ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?
সমাধান:
এখানে,
রাশিগুলো ৩২,৬২,৯২,১২২,১৫২,.......এভাবে দেওয়া আছে।
∴ ৩২ = ৯
৬২= ৩৬
৯২ = ৮১
১২২ = ১৪৪
১৫২ = ২২৫
∴ ধারাটির পরবর্তী সংখ্যাটি হবে = ১৫২
=২২৫
সমাধান:
এখানে,
রাশিগুলো ৩২,৬২,৯২,১২২,১৫২,.......এভাবে দেওয়া আছে।
∴ ৩২ = ৯
৬২= ৩৬
৯২ = ৮১
১২২ = ১৪৪
১৫২ = ২২৫
∴ ধারাটির পরবর্তী সংখ্যাটি হবে = ১৫২
=২২৫
৮,২৬৪.
৮৫° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রী?
ব্যাখ্যা
সম্পূরক কোনদ্বয়ের সমষ্টি = ১৮০°
৯০° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০°-৮৫° = ৯৫°
৮,২৬৫.
বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা কে বলা হয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা কে বলা হয়?
সমাধান:
• যদি জ্যা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়, তাকে ব্যাস (Diameter) বলা হয়।
- বৃত্তের সর্ববৃহৎ জ্যা কে ব্যাস বলা হয়।
- বৃত্তের জ্যা (Chord) হলো একটি রেখাংশ যা বৃত্তের দুটি বিন্দু সংযুক্ত করে।
- ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ
অন্যান্য অপশনগুলো:
- বৃত্তচাপ (Arc) = বৃত্তের অংশ।
- ব্যাসার্ধ (Radius) = কেন্দ্র থেকে বৃত্তের যে কোনো বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব।
- পরিধি (Circumference) = বৃত্তের চারপাশের দৈর্ঘ্য।
উৎস: NCTB, সাধারণ গনিত, নবম-দশম শ্রেনি।
৮,২৬৬.
দুইটি রাশির অনুপাত ৭ : ৪। যদি উত্তর রাশি হয় ১২, তবে পূর্বরাশি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি রাশির অনুপাত ৭ : ৪। যদি উত্তর রাশি হয় ১২, তবে পূর্বরাশি কত?
সমাধান:
দুইটি রাশির অনুপাত = ৭ : ৪
ধরি,
পূর্বরাশি = ৭ক
উত্তর রাশি = ৪ক
প্রশ্নমতে, ৪ক = ১২
∴ ক = ১২/৪ = ৩
∴ পূর্বরাশি = ৭ × ৩ = ২১
৮,২৬৭.
২০ ও ১০০ এর মধ্যে ৩ ও ৪ দ্বারা বিভাজ্য মোট কয়টি সংখ্যা আছে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২০ ও ১০০ এর মধ্যে ৩ ও ৪ দ্বারা বিভাজ্য মোট কয়টি সংখ্যা আছে?
সমাধান:
যে সকল সংখ্যা ৩ ও ৪ উভয় দ্বারা বিভাজ্য, তারা অবশ্যই ৩ ও ৪ এর লসাগু দ্বারা বিভাজ্য হবে।
৩ ও ৪ এর লসাগু = ১২
২০ ও ১০০ এর মধ্যে ১২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো:
১২ × ২ = ২৪
১২ × ৩ = ৩৬
১২ × ৪ = ৪৮
১২ × ৫ = ৬০
১২ × ৬ = ৭২
১২ × ৭ = ৮৪
১২ × ৮ = ৯৬
সংখ্যাগুলো হলো: ২৪, ৩৬, ৪৮, ৬০, ৭২, ৮৪ এবং ৯৬
∴ মোট সংখ্যা আছে ৭টি।
৮,২৬৮.
log(a + 5) = loga + log5 হলে, a এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: log(a + 5) = loga + log5 হলে, a এর মান কত?
সমাধান:
log(a + 5) = loga + log5
⇒ log(a + 5) = log(a × 5)
⇒ a + 5 = 5a
⇒ 4a = 5
∴ a = 5/4
সমাধান:
log(a + 5) = loga + log5
⇒ log(a + 5) = log(a × 5)
⇒ a + 5 = 5a
⇒ 4a = 5
∴ a = 5/4
৮,২৬৯.
ক : খ = ৩ : ৫ এবং খ : গ = ৪ : ৭ হলে ক : গ = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ক : খ = ৩ : ৫ এবং খ : গ = ৪ : ৭ হলে ক : গ = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক : খ = ৩ : ৫ = ৩ × ৪ : ৫ × ৪ = ১২ : ২০
খ : গ = ৪ : ৭ = ৪ × ৫ : ৭ × ৫ = ২০ : ৩৫
ক : খ : গ = ১২ : ২০ : ৩৫
∴ ক : গ = ১২ : ৩৫
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক : খ = ৩ : ৫ = ৩ × ৪ : ৫ × ৪ = ১২ : ২০
খ : গ = ৪ : ৭ = ৪ × ৫ : ৭ × ৫ = ২০ : ৩৫
ক : খ : গ = ১২ : ২০ : ৩৫
∴ ক : গ = ১২ : ৩৫
৮,২৭০.
এক দোকানদার ১২ দিনে ৫০৪ টাকা আয় করলেন। প্রথম ৪ দিনে গড় আয় ৪০ টাকা হলে বাকি দিনগুলোর গড় আয় কত টাকা হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক দোকানদার ১২ দিনে ৫০৪ টাকা আয় করলেন। প্রথম ৪ দিনে গড় আয় ৪০ টাকা হলে বাকি দিনগুলোর গড় আয় কত টাকা হবে?
সমাধান:
প্রথম ৪ দিনের মোট টাকা = (৪০ × ৪) টাকা = ১৬০ টাকা
৮ দিনের মোট আয় = ৫০৪ - ১৬০ = ৩৪৪ টাকা
৮ দিনের গড় আয় = ৩৪৪/৮ = ৪৩ টাকা
সমাধান:
প্রথম ৪ দিনের মোট টাকা = (৪০ × ৪) টাকা = ১৬০ টাকা
৮ দিনের মোট আয় = ৫০৪ - ১৬০ = ৩৪৪ টাকা
৮ দিনের গড় আয় = ৩৪৪/৮ = ৪৩ টাকা
৮,২৭১.
একটি বাঁশের ১/৪ অংশ কাদায়, ৩/৫ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ৩ মিটার পানির উপরে আছে। বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৪ অংশ কাদায়, ৩/৫ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ৩ মিটার পানির উপরে আছে। বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
একটি বাঁশের ১/৪ অংশ কাদায়, ৩/৫ অংশ পানিতে আছে।
বাকি অংশ ১ - ১/৪ - ৩/৫ অংশ
= (২০ - ৫ - ১২)/২০ অংশ
= ৩/২০ অংশ
৩/২০ অংশ = ৩ মিটার
১ অংশ = ৩ × ২০/৩ মিটার
= ২০ মিটার
∴ বাঁশটির দৈর্ঘ্য ২০ মিটার।
সমাধান:
একটি বাঁশের ১/৪ অংশ কাদায়, ৩/৫ অংশ পানিতে আছে।
বাকি অংশ ১ - ১/৪ - ৩/৫ অংশ
= (২০ - ৫ - ১২)/২০ অংশ
= ৩/২০ অংশ
৩/২০ অংশ = ৩ মিটার
১ অংশ = ৩ × ২০/৩ মিটার
= ২০ মিটার
∴ বাঁশটির দৈর্ঘ্য ২০ মিটার।
৮,২৭২.
যদি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি
সমাধান:
৮,২৭৩.
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য b মিটার এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য b মিটার এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল = b/4 × √(4a2 - b2)
৮,২৭৪.
2bd - a2 - c2 + b2 + d2 + 2ac এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2bd - a2 - c2 + b2 + d2 + 2ac এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
সমাধান:
2bd - a2 - c2 + b2 + d2 + 2ac
= b2 + 2bd + d2 - a2 + 2ac - c2 [সাজিয়ে]
= (b2 + 2bd + d2) - (a2 - 2ac + c2)
= (b + d)2 - (a - c)2
= (b + d + a - c)(b + d - a + c)
= (a + b - c + d)(b - a + c + d)
সমাধান:
2bd - a2 - c2 + b2 + d2 + 2ac
= b2 + 2bd + d2 - a2 + 2ac - c2 [সাজিয়ে]
= (b2 + 2bd + d2) - (a2 - 2ac + c2)
= (b + d)2 - (a - c)2
= (b + d + a - c)(b + d - a + c)
= (a + b - c + d)(b - a + c + d)
৮,২৭৫.
চতুর্ভুজের চার কোণের অণুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অণুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
দেওয়া আছে,
চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩
∴ অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ১ + ২ + ২ + ৩ = ৮
∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = (৩৬০ এর ১/৮)°
= ৪৫°
৮,২৭৬.
1 + 3 + 5 + 7 + .............ধারাটির 2n + 1 সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + 7 + .............ধারাটির 2n + 1 সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?
সমাধান:
এখানে
ধারাটির প্রথম পদ a = 1
সাধারণ অন্তর d = 2
এবং পদসংখ্য = 2n + 1
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার 2n + 1 সংখ্যক পদের সমষ্টি
= {(2n + 1)/2}{2. a + ( 2n + 1 -1)d}
= {(2n + 1)/2}{2. 1 + (2n).2}
= {(2n + 1)/2}(2 + 4n)
= {(2n + 1)/2}(4n + 2)
= {(2n + 1)/2} × (4n +2)
= {(2n + 1)/2}×2(2n + 1)
= (2n + 1)2
বিকল্প :
1 + 3 + 5 + 7 + ……… ধারাটির n টি পদের সমষ্টি = n2
1 + 3 + 5 + 7 + ……… ধারাটির 2n + 1 টি পদের সমষ্টি = (2n + 1)2
সমাধান:
এখানে
ধারাটির প্রথম পদ a = 1
সাধারণ অন্তর d = 2
এবং পদসংখ্য = 2n + 1
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার 2n + 1 সংখ্যক পদের সমষ্টি
= {(2n + 1)/2}{2. a + ( 2n + 1 -1)d}
= {(2n + 1)/2}{2. 1 + (2n).2}
= {(2n + 1)/2}(2 + 4n)
= {(2n + 1)/2}(4n + 2)
= {(2n + 1)/2} × (4n +2)
= {(2n + 1)/2}×2(2n + 1)
= (2n + 1)2
বিকল্প :
1 + 3 + 5 + 7 + ……… ধারাটির n টি পদের সমষ্টি = n2
1 + 3 + 5 + 7 + ……… ধারাটির 2n + 1 টি পদের সমষ্টি = (2n + 1)2
৮,২৭৭.
9(x + 1) = 729 হলে x = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9(x + 1) = 729 হলে x = কত?
সমাধান:
9(x + 1) = 729
⇒ 32(x + 1) = 36
⇒ 2x + 2 = 6
⇒ 2x = 6 - 2
⇒ 2x = 4
∴ x = 2
সমাধান:
9(x + 1) = 729
⇒ 32(x + 1) = 36
⇒ 2x + 2 = 6
⇒ 2x = 6 - 2
⇒ 2x = 4
∴ x = 2
৮,২৭৮.
4a4 - 27a2 - 81 এবং a2 + 7a + 12 এর একটি সাধারণ উৎপাদক কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4a4 - 27a2 - 81 এবং a2 + 7a + 12 এর একটি সাধারণ উৎপাদক কোনটি?
সমাধান:
১ম রাশি:
4a4 - 27a2 - 81
= 4a4 - 36a2 + 9a2 - 81
= 4a2(a2 - 9) + 9(a2 - 9)
= (a2 - 9)(4a2 + 9)
= (a + 3)(a - 3)(4a2 + 9)
২য় রাশি:
a2 + 7a + 12
= a2 + 4a + 3a + 12
= a(a + 4) + 3(a + 4)
= (a + 3)(a + 4)
সমাধান:
১ম রাশি:
4a4 - 27a2 - 81
= 4a4 - 36a2 + 9a2 - 81
= 4a2(a2 - 9) + 9(a2 - 9)
= (a2 - 9)(4a2 + 9)
= (a + 3)(a - 3)(4a2 + 9)
২য় রাশি:
a2 + 7a + 12
= a2 + 4a + 3a + 12
= a(a + 4) + 3(a + 4)
= (a + 3)(a + 4)
৮,২৭৯.
একটি সোনার গহনার ওজন ৪৮ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৭ : ১ । গহনাটিতে কী পরিমাণ সোনা মেশালে সোনা ও তামার অনুপাত ৮ : ১ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সোনার গহনার ওজন ৪৮ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৭ : ১ । গহনাটিতে কী পরিমাণ সোনা মেশালে সোনা ও তামার অনুপাত ৮ : ১ হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সোনা ও তামার অনুপাত ৭ : ১
মোট অংশ = (৭ + ১) = ৮
∴ গহনাতে সোনার পরিমাণ = ৪৮ × (৭/৮) গ্রাম = ৪২ গ্রাম
∴ গহনাতে তামার পরিমাণ = ৪৮ × (১/৮) গ্রাম = ৬ গ্রাম
ধরি,
সোনা মেশাতে হবে = ক গ্রাম
শর্তমতে,
(৪২ + ক)/৬ = ৮/১
⇒ ৪২ + ক = ৪৮
⇒ ক = ৪৮ - ৪২
⇒ ক = ৬
∴ সোনা মেশাতে হবে = ৬ গ্রাম।
৮,২৮০.
৫ + ৮ + ১১ + ১৪ +...... ধারাটির ১২৩৪২ ও ১২৩৪১ তম পদ দুটির পার্থক্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫ + ৮ + ১১ + ১৪ +...... ধারাটির ১২৩৪২ ও ১২৩৪১ তম পদ দুটির পার্থক্য কত?
সমাধান:
৫ + ৮ + ১১ + ১৪ +...... ধারাটির ১২৩৪২ ও ১২৩৪১ তম পদ দুটির পার্থক্য
= সাধারণ অন্তর
= ৮ - ৫
= ৩
সমাধান:
৫ + ৮ + ১১ + ১৪ +...... ধারাটির ১২৩৪২ ও ১২৩৪১ তম পদ দুটির পার্থক্য
= সাধারণ অন্তর
= ৮ - ৫
= ৩
৮,২৮১.
5x - 3 · 32x - 8 = 225 হলে, x = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5x - 3 · 32x - 8 = 225 হলে, x = কত?
সমাধান:
5x - 3 · 32x - 8 = 225
⇒ 5x - 3 · 32x - 8 = 52 · 32
অর্থাৎ, 5x - 3 = 52
⇒ x - 3 = 2
⇒ x = 2 + 3 = 5
এবং, 32x - 8 = 32
⇒ 2x - 8 = 2
⇒ 2x = 2 + 8
⇒ x =10/2 = 5
∴ 5x - 3 · 32x - 8 = 225 হলে, x = 5.
সমাধান:
5x - 3 · 32x - 8 = 225
⇒ 5x - 3 · 32x - 8 = 52 · 32
অর্থাৎ, 5x - 3 = 52
⇒ x - 3 = 2
⇒ x = 2 + 3 = 5
এবং, 32x - 8 = 32
⇒ 2x - 8 = 2
⇒ 2x = 2 + 8
⇒ x =10/2 = 5
∴ 5x - 3 · 32x - 8 = 225 হলে, x = 5.
৮,২৮২.
একটি আয়তকার ক্ষেত্রের পরিসীমা ১৮ মিটার ক্ষেত্রফল ২০ বর্গমিটার হলে, এর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তকার ক্ষেত্রের পরিসীমা ১৮ মিটার ক্ষেত্রফল ২০ বর্গমিটার হলে, এর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?
সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = x মিটার
আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = y মিটার
প্রশ্নমতে
2(x + y) =18
x + y = 9
x = 9 - y.................(1)
আবার
xy = 20
বা, y(9 - y) = 20
বা, 9y - y2 = 20
বা, - y2 + 9y - 20 = 0
বা, -1(y2 - 9y + 20) = 0
বা, y2 - 9y + 20 = 0
বা, y2 - 4y - 5y + 20 = 0
বা, y(y - 4) - 5(y - 4) = 0
(y - 5)(y - 4) = 0
হয়
y - 5 = 0
y = 5
অথবা
y - 4 = 0
y = 4
যখন y = 5 তখন x = 9 - 5 = 4
যখন y = 4 তখন x = 9 - 4 = 5
অতএব
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 5 মিটার
আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = 4 মিটার
৮,২৮৩.
এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এর মান কত?
সমাধান:
৮,২৮৪.
একটি শ্রেণীতে যতজন ছাত্র আছে প্রত্যেকে তত টাকা করে প্রদান করলে মোট ৬৫৬১ টাকা হয়। ছাত্র সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি শ্রেণীতে যতজন ছাত্র আছে প্রত্যেকে তত টাকা করে প্রদান করলে মোট ৬৫৬১ টাকা হয়। ছাত্র সংখ্যা কত?
সমাধান:
মনে করি,
ছাত্র সংখ্যা = ক জন
১ জন ছাত্র দেয় = ক টাকা
∴ ক জন ছাত্র দেয় = (ক × ক) টাকা
= ক২ টাকা
প্রশ্নমতে,
ক২ = ৬৫৬১
বা, (ক)২ = (৮১)২
∴ ক = ৮১
∴ ছাত্র সংখ্যা = ৮১ জন।
সমাধান:
মনে করি,
ছাত্র সংখ্যা = ক জন
১ জন ছাত্র দেয় = ক টাকা
∴ ক জন ছাত্র দেয় = (ক × ক) টাকা
= ক২ টাকা
প্রশ্নমতে,
ক২ = ৬৫৬১
বা, (ক)২ = (৮১)২
∴ ক = ৮১
∴ ছাত্র সংখ্যা = ৮১ জন।
৮,২৮৫.
একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৫ মিটার, প্রস্থ ৪ মিটার ও উচ্চতা ৩ মিটার। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৫ মিটার, প্রস্থ ৪ মিটার ও উচ্চতা ৩ মিটার। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরবে?
সমাধান:
সমাধান:
দেওয়া আছে,
চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য = ৫ মিটার
চৌবাচ্চাটির প্রস্থ = ৪ মিটার
চৌবাচ্চাটির উচ্চতা = ৩ মিটার
আমরা জানি,
∴ চৌবাচ্চাটির আয়তন = (৫ × ৪ × ৩) ঘন মি.
= ৬০ ঘন মি.
= ৬০০০০০০০ ঘন সে. মি.
= ৬০০০০০০০/১০০০ লিটার [১০০০ ঘন সে. মি. = ১ লিটার]
= ৬০০০০ লিটার
∴ চৌবাচ্চাটিতে পানি ধরবে ৬০০০০ লিটার।
সমাধান:
সমাধান:
দেওয়া আছে,
চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য = ৫ মিটার
চৌবাচ্চাটির প্রস্থ = ৪ মিটার
চৌবাচ্চাটির উচ্চতা = ৩ মিটার
আমরা জানি,
∴ চৌবাচ্চাটির আয়তন = (৫ × ৪ × ৩) ঘন মি.
= ৬০ ঘন মি.
= ৬০০০০০০০ ঘন সে. মি.
= ৬০০০০০০০/১০০০ লিটার [১০০০ ঘন সে. মি. = ১ লিটার]
= ৬০০০০ লিটার
∴ চৌবাচ্চাটিতে পানি ধরবে ৬০০০০ লিটার।
৮,২৮৬.
M = {4, 5, 6, 7} এবং N = {5, 6, 7, 8} হলে, n(M ∩ N) = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: M = {4, 5, 6, 7} এবং N = {5, 6, 7, 8} হলে, n(M ∩ N) = কত?
সমাধান:
দেয়া আছে,
M = {4, 5, 6, 7}
N = {5, 6, 7, 8}
(M ∩ N) = {4, 5, 6, 7} ∩ {5, 6, 7, 8}
= {5, 6, 7}
(M ∩ N) এর উপাদান সংখ্যা = 3
∴ n(M ∩ N) = 3
সমাধান:
দেয়া আছে,
M = {4, 5, 6, 7}
N = {5, 6, 7, 8}
(M ∩ N) = {4, 5, 6, 7} ∩ {5, 6, 7, 8}
= {5, 6, 7}
(M ∩ N) এর উপাদান সংখ্যা = 3
∴ n(M ∩ N) = 3
৮,২৮৭.
(x + 2y, 4) = (7, x - y) হলে (x, y) = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + 2y, 4) = (7, x - y) হলে (x, y) = কত?
সমাধান:
(x + 2y, 4)=(7, x - y)
∴ x + 2y = 7............(1)
এবং, x - y = 4...........(2)
এখন, (2) নং কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
2x - 2y = 8..............(3)
∴ (1) + (3)
x + 2y = 7
2x - 2y = 8
3x = 15
∴ x = 5
x এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
⇒ 5 + 2y = 7
⇒ 2y = 7 - 5
⇒ 2y = 2
∴ y = 1
∴(x, y) = (5, 1)
সমাধান:
(x + 2y, 4)=(7, x - y)
∴ x + 2y = 7............(1)
এবং, x - y = 4...........(2)
এখন, (2) নং কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
2x - 2y = 8..............(3)
∴ (1) + (3)
x + 2y = 7
2x - 2y = 8
3x = 15
∴ x = 5
x এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
⇒ 5 + 2y = 7
⇒ 2y = 7 - 5
⇒ 2y = 2
∴ y = 1
∴(x, y) = (5, 1)
৮,২৮৮.
১ হেক্টর = কত একর?
ব্যাখ্যা
১ হেক্টর = ২.৪৭ একর
১ বর্গমাইল = ৬৪০ একর
১ বর্গফুট = ৯২৯ বর্গসেন্টিমিটার
১ বর্গমিটার = ১০.৭৬ বর্গফুট
১ বর্গমাইল = ৬৪০ একর
১ বর্গফুট = ৯২৯ বর্গসেন্টিমিটার
১ বর্গমিটার = ১০.৭৬ বর্গফুট
৮,২৮৯.
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ৭/২০ । একটি ভগ্নাংশ ৭/১০ হলে, অপর ভগ্নাংশটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ৭/২০ । একটি ভগ্নাংশ ৭/১০ হলে, অপর ভগ্নাংশটি কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = ৭/২০
একটি ভগ্নাংশ = ৭/১০
এখন,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = একটি ভগ্নাংশ × অপর ভগ্নাংশ
বা, অপর ভগ্নাংশ = দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল/একটি ভগ্নাংশ
= (৭/২০)/(৭/১০)
= (৭/২০) × (১০/৭)
= ১/২
∴ অপর ভগ্নাংশ = ১/২
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = ৭/২০
একটি ভগ্নাংশ = ৭/১০
এখন,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = একটি ভগ্নাংশ × অপর ভগ্নাংশ
বা, অপর ভগ্নাংশ = দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল/একটি ভগ্নাংশ
= (৭/২০)/(৭/১০)
= (৭/২০) × (১০/৭)
= ১/২
∴ অপর ভগ্নাংশ = ১/২
৮,২৯০.
১ গ্যালন = কত লিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১ গ্যালন = কত লিটার?
সমাধান:
১ গ্যালন = ৪.৫৫ লিটার
সমাধান:
১ গ্যালন = ৪.৫৫ লিটার
৮,২৯১.
একটি টেবিল ৬০০ টাকায় বিক্রি করলে ২৫% ক্ষতি হয়। বিক্রয়মূল্য বৃদ্ধি করে কত টাকায় বিক্রয় করলে ২৫% লাভ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি টেবিল ৬০০ টাকায় বিক্রি করলে ২৫% ক্ষতি হয়। বিক্রয়মূল্য বৃদ্ধি করে কত টাকায় বিক্রি করলে ২৫% লাভ হবে?
সমাধান:
মনেকরি, ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
২৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ২৫ = ৭৫ টাকা
এখন, বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৭৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৬০০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৬০০)/৭৫ টাকা
= ৮০০ টাকা
আবার, ২৫% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ২৫ = ১২৫ টাকা
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২৫ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২৫/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৮০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১২৫ × ৮০০)/১০০ টাকা
= ১০০০ টাকা
∴ টেবিলটি ১০০০ টাকায় বিক্রি করলে ২৫% লাভ হবে।
৮,২৯২.
স্বাভাবিক সংখ্যার সেটের কনিষ্ঠতম উপাদান নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা
1, 2, 3, 4, 5, …….. ইত্যাদিকে স্বাভাবিক সংখ্যা। সুতরাং স্বাভাবিক সংখ্যার সেটের কনিষ্ঠতম উপাদান হলো 1.
৮,২৯৩.
a3 - 7a - 6 এর উৎপাদক কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - 7a - 6 এর উৎপাদক কোনটি?
সমাধান:
a3 - 7a - 6
= a3 + a2 - a2 - a - 6a - 6
= a2(a + 1) - a(a + 1) - 6(a + 1)
= (a + 1)(a2 - a - 6)
= (a + 1)(a2 - 3a + 2a - 6)
= (a + 1){a(a - 3) + 2(a - 3)}
= (a + 1)(a - 3)(a + 2)
∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (a + 1)(a + 2)(a - 3)
৮,২৯৪.
ত্রিভুজের তিন কোণের অনুপাত ১ঃ২ঃ৩ হলে, বৃহত্তম কোণটির পরিমাপ কত?
ব্যাখ্যা
ক + ২ক + ৩ক = ১৮০°
⇒ ৬ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০/৬ = ৩০°
অতএব, বৃহত্তম কোণের পরিমাপ = ৩ × ৩০° = ৯০°
⇒ ৬ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০/৬ = ৩০°
অতএব, বৃহত্তম কোণের পরিমাপ = ৩ × ৩০° = ৯০°
৮,২৯৫.
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9} হলে, A ∩ B = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9} হলে, A ∩ B = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}
B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9}
= {1, 3, 5, 7, 9}
∴ A ∩ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}
= {3, 5, 7}
সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}
B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9}
= {1, 3, 5, 7, 9}
∴ A ∩ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}
= {3, 5, 7}
৮,২৯৬.
একটি সংখ্যা থেকে ৩৫ বিয়োগ করলে তা কমে সংখ্যাটির ৮০% এর সমান হয়। সংখ্যাটির তিন-পঞ্চমাংশের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা থেকে ৩৫ বিয়োগ করলে তা কমে সংখ্যাটির ৮০% এর সমান হয়। সংখ্যাটির তিন-পঞ্চমাংশের মান কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
x − ৩৫ = x এর ৮০%
বা, x − ৩৫ = x × ৮০/১০০
বা, ১০০x − ৩৫০০ = ৮০x
বা, ১০০x − ৮০x = ৩৫০০
বা, ২০x = ৩৫০০
বা, x = ৩৫০০/২০
∴ x = ১৭৫
∴ সংখ্যাটির তিন-পঞ্চমাংশ = ১৭৫ × (৩/৫)
= ১০৫
৮,২৯৭.
দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ। সংখ্যাটি অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির কতগুণ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ। সংখ্যাটি অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির কতগুণ?
সমাধান:
ধরি, একক স্থানীয় অঙ্ক = a
দশক স্থানীয় অঙ্ক = 2a
অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি = a + 2a = 3a
∴ সংখ্যাটি = a + (10 × 2a)
= a + 20a
= 21a
এখন, সংখ্যাটি = 21a
= 3a × 7
= অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি × 7
অর্থাৎ, সংখ্যাটি অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির 7 গুণ।
সমাধান:
ধরি, একক স্থানীয় অঙ্ক = a
দশক স্থানীয় অঙ্ক = 2a
অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি = a + 2a = 3a
∴ সংখ্যাটি = a + (10 × 2a)
= a + 20a
= 21a
এখন, সংখ্যাটি = 21a
= 3a × 7
= অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি × 7
অর্থাৎ, সংখ্যাটি অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির 7 গুণ।
৮,২৯৮.
3-3 এর মান নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে, 3-3
= 1/33
= 1/(√3 × √3)3
= 1/(√3)6
৮,২৯৯.
সম্পূর্ণ খালি একটি চৌবাচ্চা একটি পাইপ দিয়ে ১০ ঘন্টায় সম্পূর্ণ ভর্তি করা যায়। দ্বিতীয় একটি পাইপ দিয়ে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে ৬ ঘন্টা লাগে। দুটি পাইপ একসাথে ব্যবহার করে চৌবাচ্চাটির ২/৩ অংশ ভর্তি করতে কত সময় লাগবে?
ব্যাখ্যা
প্রথম পাইপ দিয়ে ১ ঘন্টায় ভর্তি হয় ১/১০ অংশ
দ্বিতীয় পাইপ দিয়ে ১ ঘন্টায় ভর্তি হয় ১/৬ অংশ
দুটি পাইপ একত্রে ১ ঘন্টায় ভর্তি করে(১/১০ + ১/৬) অংশ = ৮/৩০ অংশ
প্রশ্নমতে, ৮/৩০ অংশ ভর্তি হয় ১ ঘন্টায়
∴ ২/৩ অংশ ভর্তি হয় (৩০/৮ × ২/৩) = ৫/২ ঘন্টায়
৮,৩০০.
যদি a : b =7 : 9 এবং b : c = 15 : 7 হয় তাহলে a : c = ?
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
a : b =7 : 9
a/b = 7/9
b : c = 15 : 7
b/c = 15/7
(a/b) ×(b/c) = (7/9) × (15/7)
a/c = 15/9
a/c = 5/3
a : c = 5 : 3
a : b =7 : 9
a/b = 7/9
b : c = 15 : 7
b/c = 15/7
(a/b) ×(b/c) = (7/9) × (15/7)
a/c = 15/9
a/c = 5/3
a : c = 5 : 3