গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: 100 জন লোকের মধ্যে 65 জন চা পছন্দ করে, 50 জন কফি পছন্দ করে এবং 15 জন কোনোটিই পছন্দ করে না। কতজন উভয়টিই পছন্দ করে? 

সমাধান:
মোট লোক = 100 জন
কোনোটিই পছন্দ করে না = 15 জন
∴ অন্তত একটি (চা বা কফি বা উভয়) পছন্দ করে = 100 - 15 = 85 জন
চা পছন্দ করে, T = 65 জন
কফি পছন্দ করে, C = 50 জন

আমরা জানি, 
n(T ∪ C) = n(T) + n(C) - n(T ∩ C)  ; এখানে (T ∪ C) = অন্তত একটি পছন্দ করে = 85 জন
⇒ 85 = 65 + 50 - n(T ∩ C)
⇒ 85 = 115 - n(T ∩ C)
⇒ n(T ∩ C) = 115 - 85
∴ n(T ∩ C) = 30

সুতরাং, 30 জন উভয়টিই (চা ও কফি) পছন্দ করে।

 x² + y² = 50
বা, (x + y)² - 2xy = 50
বা, 8² - 2xy = 50
64 - 50 = 2xy
বা, 2xy = 14
∴ xy = 7

n(S) = number of ways of sitting 12 persons at round table:
= (12 - 1)! = 11!
Since two persons will be always together, then number of persons:
= 10 + 1 = 11
So, 11 persons will be seated in (11 - 1)! = 10! ways at round table and 2 particular persons will be seated in 2! ways.
n(A) = The number of ways in which two persons always sit together = 10! × 2
P(A) = n(A)/n(S) = (10!×2!) / 11! = 2/11

প্রশ্ন: 10, 25, 30, 45, 50, 65, 72, 18, 40, 58 উপাত্তগুলোর শ্রেণিব্যাপ্তি 9 হলে, শ্রেণি সংখ্যা কত?

সমাধান:
উপাত্তসমূহ: 10, 25, 30, 45, 50, 65, 72, 18, 40, 58

সর্বোচ্চ উপাত্ত = 72
সর্বনিম্ন উপাত্ত = 10
শ্রেণিব্যাপ্তি = 9

পরিসর = (সর্বোচ্চ উপাত্ত - সর্বনিম্ন উপাত্ত) + 1
= (72 - 10) + 1
= 62 + 1
= 63

∴ শ্রেণি সংখ্যা = পরিসর/শ্রেণিব্যাপ্তি
= 63/9
= 7

চতুর্থ সমানুপাতিক ক হলে
৮ × ক = ১২ × ১৬
⇒ x = (১২ × ১৬) / ৮
∴ ক = ২৪

প্রশ্ন: যদি x + y = a, x - y = b হয়, তাহলে 2xy = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে
x + y = a
x - y = b

আমরা জানি,
4xy = (x + y)² - (x - y)²
⇒ 4xy = a² - b²
⇒ 4xy/2 = (a² - b²)/2
⇒ 2xy = (a² - b²)/2

প্রশ্ন: একজন দোকানদার ২৫% লাভে একটি জিনিস ৭৫ টাকায় বিক্রি করেন। জিনিসটির ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান: 
২৫% লাভে, 
বিক্রয়মূল্য ১২৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১২৫ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৭৫)/১২৫ টাকা 
= ৬০ টাকা 

∴ জিনিসটির ক্রয়মূল্য = ৬০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ সে.মি. বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৮১০ বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান: 
ধরি, ত্রিভুজের উচ্চতা = h সে.মি.
তাহলে ভূমি = ২h + ৬ সে.মি.

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
 ⇒ (১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ৮১০
 ⇒ (১/২) × (২h + ৬) × h = ৮১০
 ⇒ (২h + ৬) × h = ১৬২০
 ⇒ ২h^২ + ৬h = ১৬২০
 ⇒ ২h^২ + ৬h - ১৬২০ = ০
 ⇒ h^২ + ৩h - ৮১০ = ০
 ⇒ h^২ + ৩০h - ২৭h - ৮১০ = ০
 ⇒ h(h + ৩০) - ২৭(h + ৩০) = ০ 
 ⇒ (h + ৩০)(h - ২৭) = ০ 
হয়, 
h - ২৭ = ০ 
∴ h = ২৭ 
অথবা, 
h + ৩০ = ০
∴ h = - ৩০ ; [ইহা গ্রহণযোগ্য নয় কারণ উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না]

সুতরাং, ত্রিভুজের উচ্চতা ২৭ সে.মি.। 

এখানে,
ক × ৯/১০০ = ০.০০২৭
বা, ৯ক = ০.২৭
বা, ক = ০.২৭/০
বা, ক = ০.০৩

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৭৫% শিক্ষার্থী গণিতে এবং ৬৫% শিক্ষার্থী বিজ্ঞানে পাশ করল। যদি ৫৫% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করে থাকে, তাহলে শতকরা কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
গণিতে পাশ করেছে = ৭৫%
বিজ্ঞানে পাশ করেছে = ৬৫%
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = ৫৫%

কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ (গণিত বা বিজ্ঞান) = (গণিতে পাশ) + (বিজ্ঞানে পাশ) - (উভয় বিষয়ে পাশ)
= (৭৫ + ৬৫ - ৫৫)%
= (১৪০ - ৫৫)% = ৮৫%

উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (মোট শিক্ষার্থী) - (কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ)
= (১০০ - ৮৫)%
= ১৫%

∴ উভয় বিষয়ে শতকরা ১৫ জন শিক্ষার্থী ফেল করেছে।

প্রশ্ন: যদি a + b = 6 এবং a - b = 2 হয় , তাহলে 2(a² + b²) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 6 এবং a - b = 2

∴ 2(a² + 2b²)
= {(a + b)² + (a - b)²}
= (6)² + (2)²
= 36 + 4 
= 40

বাক্সে,
সবুজ মার্বেল সংখ্যা = 4 টি
বেগুনী মার্বেল সংখ্যা = 12 টি
মোট মার্বেল সংখ্যা = 20 টি
3 টি মার্বেল একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা = (⁸c₃ + ¹²c₃)/²⁰C₃
= 276/1140
= 23/95

16 - 2x³ = 0
বা, -2(x³ - 8) = 0
বা, x³ - 8 = 0
বা, (x - 2)(x² + 2x + 4) = 0

হয়, x - 2 = 0
∴ x = 2
অথবা, x² + 2x + 4 = 0

a = 2, r = 1/2, n = 8
∴ সমষ্টি = a.{(1 - r⁸)/(1 - r)
= 2.{(1 - (1/2)⁸}/(1 - 1/2)
= 2.{1 - (1/256)}/(1/2)
= 2 × 2 × (255/256)
= 255/64

প্রশ্ন: যদি

সমাধান:
দেয়া আছে,
A = √x + (1/√x) 
B = √x - (1/√x) 

প্রশ্ন: ৬ জন তাঁতির ৬ টি পোশাক তৈরি করতে ৬ দিন লাগলে ১২ জন তাঁতির ১২টি পোশাক তৈরি করতে কত দিন সময় লাগবে?

সমাধান: 
৬ জন তাঁতির ৬ টি পোশাক তৈরি করতে সময় লাগে = ৬ দিন
∴ ১ জন তাঁতির ১টি পোশাক তৈরি করতে সময় লাগে = (৬ × ৬)/৬ দিন
∴ ১২ জন তাঁতির ১২ টি পোশাক তৈরি করতে সময় লাগে = (৬ × ৬ × ১২)/(৬ × ১২) দিন
= ৬ দিন। 

সুতরাং, ১২ জন তাঁতি ১২টি পোশাক তৈরি করতে ৬ দিন সময় লাগবে।

প্রশ্নমতে, ১ম সংখ্যাঃ ২য় সংখ্যা = ২.৫ঃ৩.৫
বা, ১ম সংখ্যা/২য় সংখ্যা = ২.৫/৩.৫
বা, ৩০/২য় সংখ্যা = ২৫/৩৫
বা, ২য় সংখ্যা = (৩০ × ৩৫)/২৫ = ৪২

প্রশ্ন: p = 4, q = 6, r = 3 হলে, 4p²q² - 16pq²r + 16q²r² এর মান কত?

সমাধান,
দেওয়া আছে,
p = 4
q = 6
r = 3

∴ প্রদত্ত রাশি = 4p²q² - 16pq²r + 16q²r²
= (2pq)² - 2 × 2pq · 4qr + (4qr)²
= (2pq - 4qr)²
= (2 × 4 × 6 - 4 × 6 × 3)²
= (48 - 72)²
= (- 24)²
= 576

9x² - ax + 4
= (3x)² - 2.3x.2 + 2² + 2.3x.2 - ax
= (3x - 2)² + 12x - ax
রাশিটি পূর্ণ বর্গ হবে যদি,
12x - ax = 0
বা, ‍-ax = -12x
বা, a = 12

3x - 2y = 5 ......(1)
2x + 3y = 12 .....(2)
সমীকরণ (1) কে তিন দিয়ে এবং (2) কে দুই দিয়ে গুণ করে পাই,
(1) + (2) করে,
বা, 13x = 39
x = 3
x এর মান সমীকরণ (2) এ বসিয়ে,
বা, 2.3 + 3y = 12
বা, 3y = 6
y = 2
(x, y) = (3, 2)

প্রশ্ন: f(x) = x² + x - 6 এবং f(x) = 0 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
f(x) = x² + x - 6
আবার,
f(x) = 0

এখন,
x² + x - 6 = 0
⇒ x² + 3x - 2x - 6 = 0
⇒ x(x + 3) - 2(x + 3)= 0
⇒ (x + 3)(x - 2)= 0
∴ x = 2, - 3

প্রশ্ন: x² - 6x + 8 < 0 হলে -

সমাধান:
x² - 6x + 8 < 0
x² - 4x - 2x + 8 < 0
x(x - 4) - 2(x - 4) < 0
∴ (x - 4)(x - 2) < 0

x² - 6x + 8 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 4 > 0 হয়।
এখন, x - 2 < 0 এবং x - 4 > 0
অর্থাৎ,  x < 2 এবং x > 4
2 এর চেয়ে ছোট এবং 4 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 6x + 8 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 4 < 0 হয়।
এখন,  x - 2 > 0 এবং x - 4 < 0
অর্থাৎ x > 2 এবং x < 4
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 4 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 2 < x < 4

প্রশ্ন: M(x) = 2x² - 5x + x³ + 7 এবং N(x) = x² - 2x + 3 হলে, M(x)/N(x) এর মাত্রা কত?

সমাধান:
M(x) = 2x² - 5x + x³ + 7 
 সর্বোচ্চ ঘাত হলো 3, তাই M(x) এর মাত্রা 3
এবং 
N(x) = x² - 2x + 3
সর্বোচ্চ ঘাত হলো 2, তাই N(x) এর মাত্রা 2

M(x)/(N) = x³/x² = x^{3 - 2} = x¹
অতএব, M(x)/N(x)​ এর মাত্রা হলো 1

ধরি, ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা
৮% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (১০০ - ৮) = ৯২ টাকা
৮% লাভে বিক্রয়মূল্য (১০০ + ৮) = ১০৮ টাকা
বিক্রয়মূল্য বেশি (১০৮-৯২) = ১৬ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১৬ টাকা বেশি হয় ১০০ টাকা ক্রয়মূল্যে
বিক্রয়মূল্য ৮০০ টাকা বেশি হয় (১০০×৮০০)/১৬ = ৫০০০ টাকা ক্রয়মূল্য

প্রশ্ন: 200 জন পরীক্ষার্থীর মধ্যে 40 জন গনিতে, 20 জন পরিসংখ্যানে এবং 10 জন উভয় বিষয়ে ফেল করে। একজন পরীক্ষার্থীকে দৈবভাবে নির্বাচন করা হলে তার কেবল এক বিষয়ে ফেল করার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ধরি,
গনিতে ফেল করার ঘটনা = A
∴ P(A) = 40/200 = 1/5

পরিসংখ্যানে ফেল করার ঘটনা = B
∴ P(B) = 20/200 = 1/10

উভয় বিষয়ে ফেল করার ঘটনা = P(A ∩ B) = 10/200 = 1/20

∴ কেবল এক বিষয়ে ফেল করার সম্ভাবনা = P(A' ∩ B) + P(A ∩ B')
= P(B) - P(A ∩ B) + P(A) - P(A ∩ B)
= (1/10) - (1/20) + (1/5) - (1/20)
= (2 - 1 + 4 - 1)/20
= 4/20
= 1/5

বিকল্প:
শুধু গনিতে ফেল করে = (40 - 10) জন = 30 জন
শুধু পরিসংখ্যানে ফেল করে = (20 - 10) জন = 10 জন

কেবল এক বিষয়ে ফেল করে = 30 + 10 
= 40 জন

∴ কেবল এক বিষয়ে ফেল করার সম্ভাবনা = 40/200 = 1/5

প্রশ্ন: 4b² + 1/b² = 2 হলে 8b³ + 1/b³ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
4b² + 1/b² = 2
(2b)² + (1/b)² = 2
(2b + 1/b)² - 2.2b.(1/b) = 2
(2b + 1/b)² - 4 = 2
(2b + 1/b)² = 6
(2b + 1/b) = √6

8b³ + 1/b³ = (2b)³ + (1/b)³
=(2b + 1/b)³ - 3.2b(1/b)(2b + 1/b)
= (√6)³ - 6√6
= 6√6 - 6√6
= 0