গাণিতিক যুক্তি

PrepBank · পাতা ৮ / ৪৭৫ · ৭০১–৮০০ / ৪৭,৮৩৩

৭০১.

যদি |x - 1| = 2x হয়, তাহলে x এর মান কত?

ক
3, 1
খ
1, 2
গ
- 1, 1/3
ঘ
6, 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি |x - 1| = 2x হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
|x - 1|² = (2x)²
বা, (x - 1)² = (2x)²
বা, x² - 2.x.1 + 1² = 4x²
বা, 4x² - x² + 2x - 1 = 0
বা, 3x² + 2x - 1 = 0
বা, 3x² + 3x - x - 1 = 0
বা, 3x(x + 1) - 1(x + 1) = 0
বা, (x + 1)(3x - 1) = 0
∴ x = - 1, 1/3

৭০২.

2^{x + 5} = 8^{x - 1} হলে, x = কত?

ক
4
খ
3
গ
9
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^{x + 5} = 8^{x - 1} হলে, x = কত?

সমাধান:
2^{x + 5} = 8^{x - 1}
⇒ 2^{x + 5} = (2³)^{x - 1}
⇒ 2^{x + 5} = 2^{3(x - 1)}
⇒ x + 5 = 3(x - 1)
⇒ x + 5 = 3x - 3
⇒ 2x = 8
∴ x = 4

৭০৩.

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ২৫ বর্গ সে. মি. হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ৮ সে. মি.
খ
খ) ৯ সে. মি.
গ
গ) ১০ সে. মি.
ঘ
ঘ) ১১ সে. মি.

ব্যাখ্যা

ধরি, ভূমি = লম্ব = a
∴ ১/২ × a × a = ২৫ বা, a^২ = ৫০ বা, ২a^২ = ১০০
∴ √২a = ১০ সে. মি.
∴ অতিভূজ a√২ = ১০ সে. মি.

৭০৪.

2x - 3y = 7 এবং x + y = 6 হলে, (x, y) এর মান কত?

ক
(6, 6)
খ
(5, 1)
গ
(2, 2)
ঘ
(4, 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x - 3y = 7 এবং x + y = 6 হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
2x - 3y = 7 ............(i)
x + y = 6 ............(ii)

(ii) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুণ করে (i) নং এর সাথে যোগ করে পাই,
2x - 3y + 3x + 3y = 7 + 18
⇒ 5x = 25
∴ x = 5

x এর মান (ii) নং হতে পাই,
5 + y = 6
⇒ y = 6 - 5
⇒ y = 1

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (5, 1)

৭০৫.

২ সেমিঃ ব্যাসের একটি গোলক আকৃতির বল একটি সিলিন্ডার আকৃতির বাক্সে ঠিকভাবে এটে যায়। সিলিন্ডারটির আয়তন কত?

ক
ক) ২π ঘন সেমিঃ
খ
খ) ৪π ঘন সেমিঃ
গ
গ) ৬π ঘন সেমিঃ
ঘ
ঘ) ৪ π/৩ ঘন সেমিঃ

ব্যাখ্যা

গোলকেটি ঠিক ভাবে এটে যায় বলে গোলকের ব্যাস হবে সিলিন্ডারের উচ্চতা এবং গোলকের ব্যাসার্ধ হবে সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ
গোলকোর ব্যাস ২ সেমিঃ এবং ব্যাসার্ধ ১ সেমিঃ
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h = 2π

৭০৬.

একটি ভোট কেন্দ্র উপস্থিত ভোটারদের ৬০% ভোট পেয়ে একজন প্রার্থী নিবাচিত হয়েছেন। তিনি একমাত্র প্রতিদ্বন্দ্বী অপেক্ষা ৮৬০০ ভোট বেশি পেয়েছেন। ভোট কেন্দ্রে কত জন ভোটার উপস্থিত ছিল?

ক
ক) ২৫০০০
খ
খ) ৩৭৫০০
গ
গ) ৪২০০০
ঘ
ঘ) ৪৩০০০

ব্যাখ্যা

এখানে, ৬০% - ৪০% = ২০% = ৮৬০০
∴ ১০০% = (৮৬০০/২০)×১০০ = ৪৩০০০

৭০৭.

যদি y = 4 হয় তবে, √y³ এর 4 ভিত্তিক লগ কত?

ক
1/4
খ
3/2
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি y = 4 হয় তবে, √y³ এর 4 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
y = 4

√y³ এর 4 ভিত্তিক লগ = log₄√y³
= log₄(y³)^1/2
= log₄(4³)^1/2
= log₄4^3/2
= (3/2) × log₄4
= (3/2) × 1
= 3/2

৭০৮.

X ও Y দুইটি স্বাধীন ঘটনা এবং P(X) = 2/3, P(Y) = 3/4 হলে, P(X ∩ Y) এর মান কত?

ক
2
খ
1/2
গ
3
ঘ
1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: X ও Y দুইটি স্বাধীন ঘটনা এবং P(X) = 2/3, P(Y) = 3/4 হলে, P(X ∩ Y) এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
P(X ∩ Y) = P(A) × P(B)
= (2/3) × (3/4)
= 1/2

৭০৯.

একটি কলম ও একটি বইয়ের মূল্য একত্রে ৯৫ টাকা। কলমটির মূল্য ১৫ টাকা বেশি ও বইটির মূল্য ১৪ টাকা কম হলে কলমটির মূল্য বইটির মূল্যের দ্বিগুণ হতো। বইটির মূল্য কত?

ক
৪৬ টাকা
খ
৪৮ টাকা
গ
৪৯ টাকা
ঘ
৫০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কলম ও একটি বইয়ের মূল্য একত্রে ৯৫ টাকা। কলমটির মূল্য ১৫ টাকা বেশি ও বইটির মূল্য ১৪ টাকা কম হলে কলমটির মূল্য বইটির মূল্যের দ্বিগুণ হতো। বইটির মূল্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
কলমের মূল্য = x টাকা এবং
বইয়ের মূল্য = (৯৫ - x) টাকা

প্রশ্নমতে,
x + ১৫ = ২ {(৯৫ - x) - ১৪}
বা, x + ১৫ = ১৯০ - ২x -২৮
বা, x + ২x = ১৬২ - ১৫
বা, ৩x = ১৪৭
বা, x = ১৪৭/৩
∴ x = ৪৯

∴ বইটির মূল্য = (৯৫ - ৪৯) টাকা
= ৪৬ টাকা।

৭১০.

2টি শাড়ি ও 4টি শার্ট এর মূল্য 1200 টাকা । সমপরিমাণ টাকা দিয়ে কোনো ব্যক্তি 1টি শাড়ি ও 6টি শার্ট ক্রয় করতে পারে । যদি কোনো ব্যক্তি 15 টি শার্ট কিনতে চায়, তাহলে তাকে কত টাকা ব্যয় করতে হবে?

ক
2050 টাকা
খ
2250 টাকা
গ
2150 টাকা
ঘ
2200 টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2টি শাড়ি ও 4টি শার্ট এর মূল্য 1200 টাকা । সমপরিমাণ টাকা দিয়ে কোনো ব্যক্তি 1টি শাড়ি ও 6টি শার্ট ক্রয় করতে পারে । যদি কোনো ব্যক্তি 15 টি শার্ট কিনতে চায়, তাহলে তাকে কত টাকা ব্যয় করতে হবে?

সমাধান:
ধরি,
১টি শাড়ির মূল্য = x
১টি শার্টের মূল্য = y
শর্তেমতে,
2x + 4y = 1200............ (1)
x + 6y = 1200...............(2)
(2) নং কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
2x + 12y = 2400.......... (3)

এখন, (3) - (1)
2x + 12y = 2400
2x + 4y = 1200
8y = 1200
⇒ y = 1200/8
∴ y = 150
∴ 15 টি শার্ট কিনতে ব্যয় করতে হবে = (15 × 150) = 2250 টাকা

৭১১.

ab - b², a² - b² এবং ‍a³ - b³ এর গ.সা.গু কত?

ক
1
খ
(a + b)(a - b)
গ
b(a - b)
ঘ
(a - b)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ab - b², a² - b² এবং ‍a³ - b³ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = ab - b²
= b(a - b)

২য় রাশি = a² - b²
= (a + b)(a - b)

৩য় রাশি = a³ - b³
=(a - b)(a² + ab + b²)

নির্ণেয় গ.সা.গু = (a - b)

৭১২.

দুইটি সংখ্যার প্রথমটির 5গুণ থেকে দ্বিতীয়টির 3গুণ বিয়োগ করলে 9 হয় এবং প্রথমটির 3গুণ থেকে দ্বিতীয়টির 5গুণ বিয়োগ করলে -1 হয়। সংখ্যা দুইটি কত?

ক
ক) 3 এবং 2
খ
খ) 2 এবং 4
গ
গ) 3 এবং 5
ঘ
ঘ) 5 এবং 4

ব্যাখ্যা

ধরি,
প্রথম সংখ্যাটি x
দ্বিতীয় সংখ্যাটি y

প্রশ্নমতে,
5x - 3y = 9........(1)
3x - 5y = - 1...........(2)

(1) × 5 - (2) × 3 ⇒
25x - 15y - 9x + 15y = 45 + 3
16x = 48
x = 48/16
x = 3

(1) নং হতে পাই -
5 × 3 - 3y = 9
15 - 3y = 9
- 3y = 9 - 15
- 3y = - 6
y = 6/3
y = 2

৭১৩.

কোন সংখ্যার ৬গুণ থেকে সংখ্যাটির ১৫গুণ ৬৩ বেশি?

ক
৪.৫
খ
৫
গ
৬.৫
ঘ
৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৬গুণ থেকে সংখ্যাটির ১৫গুণ ৬৩ বেশি?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
১৫ক = ৬ক + ৬৩
⇒ ১৫ক - ৬ক = ৬৩
⇒ ৯ক = ৬৩
⇒ ক = ৬৩/৯
∴ ক = ৭

∴ সংখ্যাটি = ৭

৭১৪.

যদি x + y = 17 এবং xy = 60 হলে x এর ধনাত্বক মান কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 12
গ
গ) 24
ঘ
ঘ) 10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + y = 17 এবং xy = 60 হলে x এর ধনাত্বক মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 17 .............. (1)
xy = 60

এখন
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
= (17)² - 4 . 60
= 289 - 240
= 49
(x - y)² = 7²
x - y = 7 ................. (2)

(1) + (2)
x + y = 17
x - y = 7
2x = 24
∴ x = 12

৭১৫.

যদি (a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5} হয়, তবে x এর মান কত?

ক
8
খ
5
গ
4
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : যদি (a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5}হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান :
(a/b)^{x - 3}= (b/a)^{x - 5}
⇒ x - 3 = 5 - x
⇒ x + x = 3 + 5
⇒ 2x = 8
∴ x = 4

৭১৬.

নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি ক্ষুদ্রতম?

ক
৩/৫
খ
৩/৭
গ
৪/৯
ঘ
৫/১১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
৩/৫ = ০.৬
৩/৭ = ০.৪৩
৪/৯ = ০.৪৪
৫/১১ = ০.৪৫৫

সুতরাং, ৩/৭ ক্ষুদ্রতম।

৭১৭.

একজন কর্মকর্তার মাসিক মূল বেতন ৪০,০০০ টাকা। তিনি প্রতিমাসে মূল বেতনের ৪৫% হারে বাড়ি ভাড়া ভাতা, ১,৫০০ টাকা চিকিৎসা ভাতা, ১,০০০ টাকা আপ্যায়ন ভাতা এবং ৭০০ টাকা মোবাইল ফোন ভাতা পান। ভাতাসহ তার এক মাসের সর্বমোট বেতন কত?

ক
ক) ৬৫.০০০
খ
খ) ৬১,২০০
গ
গ) ৬৬,৩৫০
ঘ
ঘ) ৭০,০০০

ব্যাখ্যা

ভাতাসহ কর্মকর্তার এক মাসের সর্বমোট বেতন = (৪০০০০ + ৪০০০০ এর ৪৫% + ১৫০০ + ১০০০ + ৭০০) টাকা
= (৪০০০০ + ১৮০০০ + ১৫০০ + ১০০০ + ৭০০) টাকা
= ৬১২০০ টাকা

৭১৮.

একটি 60 মিটার লম্বা খুটি ভেঙে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। খুটিটি কত উচুতে ভেঙ্গে ছিল?

ক
ক) 10 মিটার
খ
খ) 20 মিটার
গ
গ) 30 মিটার
ঘ
ঘ) 40 মিটার

ব্যাখ্যা

AB = 60m.
যা C বিন্দুতে ভেঙে যায়
এবং ∠ADC = 30°
ধরি,
AC = x,
BC = 60 - x
∴ CD = 60 - x

Sin30° = AC/CD = x/(60 - x)
বা, 1/2 = x/(60 - x)
বা, 2x = 60 - x
বা, 3x = 60
∴ x = 20 মিঃ.
অর্থ্যাৎ, খুঁটিটি 20 মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছিলো।

৭১৯.

5, 8, 1, 4 অংকগুলি দ্বারা 5000 এর চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরী করা যাবে?

ক
6টি
খ
9টি
গ
4টি
ঘ
12টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5, 8, 1, 4 অংকগুলি দ্বারা 5000 এর চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরী করা যাবে?

সমাধান:
5, 8, 4, 1 অঙ্ক গুলি দ্বারা গঠিত যে সব সংখ্যার প্রথম স্থানে 5 অথবা 8 থাকবে সে সকল সংখ্যা 5000 এর চেয়ে বড় হবে।
প্রথম স্থানে 5 নির্দিষ্ট করে অবশিষ্ট 3 টি একত্রে নিয়ে গঠিত সংখ্যা 3! = 6

আবার,
প্রথম স্থানে 8 নির্দিষ্ট করে অবশিষ্ট 3 টি একত্রে নিয়ে গঠিত সংখ্যা 3! = 6

সুতরাং, 5000 এর চেয়ে বড় সংখ্যা (6 + 6) = 12টি ।

৭২০.

নিচের কোন সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা?

ক
১০, ১৫
খ
২১, ২৮
গ
৯, ১৬
ঘ
৬, ২৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা?

সমাধান:
আমরা জানি, দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে,
ক) ১০ এবং ১৫: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৫ এবং ১। তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

খ) ২১ এবং ২৮: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৭ এবং ১। তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

গ) ৯ এবং ১৬:
৯ = ৩ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২
৯ এবং ১৬ এর মধ্যে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক নেই।
∴ ৯, ১৬ সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা।

ঘ) ৬ এবং ২৭: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৩ এবং ১। তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

অতএব, সঠিক উত্তর হলো (গ) ৯, ১৬।

৭২১.

p = log₆18 - log₆3 হলে p এর মান কত?

ক
1
খ
3
গ
36
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p = log₆18 - log₆3 হলে p এর মান কত?

সমাধান:
p = log₆18 - log₆3
⇒ p = log₆(18/3)
⇒ p = log₆6
∴ p = 1

৭২২.

যদি x + y = 10 এবং x - y = 4 হয়, তবে 2x² + 2y² এর মান কত?

ক
108
খ
58
গ
84
ঘ
116

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + y = 10 এবং x - y = 4 হয়, তবে 2x² + 2y² এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y = 10 এবং x - y = 4

প্রদত্ত রাশি = 2x² + 2y²
= 2(x² + y²)
= (x + y)² + (x - y)²
= 10² + 4²
= 100 + 16
= 116

৭২৩.

একটি সমান্তর ধারার 10 তম পদ 32 হলে, ধারাটির প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত?

ক
605
খ
608
গ
806
ঘ
611

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 10 তম পদ 32 হলে, ধারাটির প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি,
ধারাটির প্রথম পদ, a
সাধারণ অন্তর, d

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
10 তম পদ = a + (10 - 1)d
= a + 9d

প্রশ্নমতে, a + 9d = 32

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}

প্রথম 19টি পদের সমষ্টি = (19/2) {2a + (19 - 1)d}
= (19/2) (2a + 18d)
= (19/2) × 2 (a + 9d)
= 19 × (a + 9d)
= 19 × 32
= 608

৭২৪.

'CAUTIONS' শব্দটি থেকে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে বিন্যাস করা যাবে, যেখানে A, N থাকবেনা?

ক
120
খ
66
গ
108
ঘ
92

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'CAUTIONS' শব্দটি থেকে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে বিন্যাস করা যাবে, যেখানে A, N থাকবেনা?

সমাধান:
Cautions শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি। যথা, C, A, U, T, I, O, N, S
যেহেতু A ও N বাদ, তাই বাকি বর্ণ 6 টি। C, U, T, I, O, S

এখন,
6 টি বর্ণ প্রতিবারে 3টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁶p₃ = 6!/(6 - 3)! = 120

৭২৫.

প্রত্যেকটি অঙ্ক কেবল একবার ব্যবহার করে 8, 9, 7, 6, 3, 2 অঙ্কগুলো দ্বারা তিন অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যাবে?

ক
48 টি
খ
100 টি
গ
120 টি
ঘ
360 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রত্যেকটি অঙ্ক কেবল একবার ব্যবহার করে 8, 9, 7, 6, 3, 2 অঙ্কগুলো দ্বারা তিন অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
মোট অঙ্ক সংখ্যা = 6 টি।
6 টি অঙ্ক থেকে 3 টি অঙ্ক একবার করে নিয়ে মোট সংখ্যা গঠন করা যাবে,
⁶P₃
= 6!/3!
= (6 × 5 × 4 × 3!)/3!
= 120 টি

৭২৬.

1 + 3 + 5 + ....... + 31 ধারাটির পদসংখ্যা কত?

ক
14
খ
15
গ
16
ঘ
17

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + ....... + 31 ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধারাটির,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2
শেষ পদ = 31

∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(31 - 1)/2} + 1
= 15 + 1
= 16

৭২৭.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৫ : ১২ এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য ৬৫ মিঃ হলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ক
১২০০ বর্গমিঃ
খ
১৪০০ বর্গমিঃ
গ
১৫৫০ বর্গমিঃ
ঘ
১৫০০ বর্গমিঃ

ব্যাখ্যা

ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১২a,
প্রস্থ = ৫a
∴ কর্ণ = √{(১২a)² + (৫a)²}
= ১৩a
∴ ১৩a = ৬৫
বা, a = ৫
∴ ক্ষেত্রফল = ৫a × ১২a
= ৬০ × ৫^২
= ১৫০০

৭২৮.

দুটি সংখ্যার গুণফল ২৭৬০। সংখ্যা দুটোর ল.সা.গু ১২০ হলে গ.সা.গু কত?

ক
১৫
খ
১৮
গ
২৩
ঘ
২৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ২৭৬০। সংখ্যা দুটোর ল.সা.গু ১২০ হলে গ.সা.গু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ২৭৬০
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ১২০

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ২৭৬০ = ১২০ × গ.সা.গু
⇒ গ.সা.গু = ২৭৬০/১২০
∴ গ.সা.গু = ২৩

৭২৯.

চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে কত যোগ করলে, যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

ক
3
খ
8
গ
1
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে কত যোগ করলে, যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
ধরি চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা হলো,
n, n + 1, n + 2, n + 3

∴ তাদের গুণফল = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
= (n² + 3n)(n² + 3n + 2)
= x(x + 2) ; [ধরি, x = n² + 3n]
= x² + 2x
= x² + 2x + 1 ; [1 যোগ করে পাই]
= (x + 1)² ; যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা

সুতরাং, চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে, যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

৭৩০.

৫ টাকায় ৪ টি করে কিনে ৪ টাকায় ৫ টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

ক
ক) ৩৬% ক্ষতি
খ
খ) ৪৫% লাভ
গ
গ) ৫৪% লাভ
ঘ
ঘ) ৫৬.২৫% ক্ষতি

ব্যাখ্যা

৪টির ক্রয়মূল্য ৫ টাকা হলে ১ টির ক্রয়মূল্য ৫/৪ = ১.২৫ টাকা
৪টাকায় ৫ টি বিক্রয় করলে ১ টি বিক্রয় করে ৪/৫ = ০.৮০ টাকায়
∴১টিতে ক্ষতি হয় ১.২৫ - ০.৮০= ০.৪৫ টাকা
১.২৫ টাকায় ক্ষতি হয় ০.৪৫ টাকা
১০০ টাকায় ক্ষতি হয় (০.৪৫/১.২৫)×১০০ = ৩৬ টাকা
শতকরা ৩৬ টাকা ক্ষতি হবে ।

৭৩১.

একটি পরীক্ষায় মোট ৫টি বিষয়ের উপর পরীক্ষা হয়। কোন পরীক্ষার্থী সেই পরীক্ষায় কত উপায়ে ফেল করতে পারবে?

ক
৩০
খ
৩১
গ
৩৪
ঘ
৪০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় মোট ৫টি বিষয়ের উপর পরীক্ষা হয়। কোন পরীক্ষার্থী সেই পরীক্ষায় কত উপায়ে ফেল করতে পারবে?

সমাধান:
পরিক্ষার্থী পরীক্ষায় ১, ২, ৩, ৪, ৫ এর মধ্যে যেকোনো সংখ্যক উপায়ে ফেল করতে পারে।

∴ মোট ফেলের উপায় = ^৫C_১ + ^৫C_২ + ^৫C_৩ + ^৫C_৪ + ^৫C_৫
= (৫ + ১০ + ১০ + ৫ + ১)
= ৩১

৭৩২.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে. মি. ছোট; কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২সে. মি. বড়। সমকোণী ত্রিভুজের লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 8 সে. মি.
খ
খ) 6 সে. মি.
গ
গ) 10 সে. মি.
ঘ
ঘ) 12 সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে. মি. ছোট; কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২সে. মি. বড়। সমকোণী ত্রিভুজের লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ভূমি = x সে.মি.
অতিভূজ = x + 2 সে.মি.
শর্তমতে
x²+ (x - 2)² = (x + 2)²
বা, x²+ x² - 4x + 4 = x² + 4x + 4
বা, x² - 8x = 0
বা, x - 8 = 0
∴ x = 8

∴ সমকোণী ত্রিভুজের লম্বের = x - 2 = 8 - 2 = 6 সে. মি.

৭৩৩.

(1/3) + (1/9) + (1/27) + (1/81) + .......... গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

ক
1
খ
1/3
গ
1/2
ঘ
1/7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/3) + (1/9) + (1/27) + (1/81) + .......... গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি,
১ম পদ, a = 1/3

সাধারণ অনুপাত, r = (1/9) ÷ (1/3)
= (1/9) × (3/1)
= 1/3 < 1

∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/3) ÷ (1 - 1/3)
= (1/3) ÷ (2/3)
= (1/3) × (3/2)
= 1/2

৭৩৪.

যদি 3x = (3/x) + 4 হয়, তবে 27x³ - (27/x³) কত?

ক
108
খ
192
গ
64
ঘ
172

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3x = (3/x) + 4 হয়, তবে 27x³ - (27/x³) কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
3x = (3/x) + 4
⇒ 3x - 3/x = 4
⇒ 3(x - 1/x) = 4
⇒ x - (1/x) = 4/3

∴ 27x³- (27/x³)
= 27(x³ - 1/x³)
= 27{(x - 1/x)³ + 3. x. (1/x)(x - 1/x)}
= 27{(4/3)³ + 3 × (4/3)}
= 27{(64/27) + 4)}
= 64 + 108
= 172

৭৩৫.

১০% চক্রবৃদ্ধি সুদে ২০০০ টাকার ২ বছরে সুদ কত টাকা হবে?

ক
ক) ৪০০
খ
খ) ৪১০
গ
গ) ৪২০
ঘ
ঘ) ৪৪০

ব্যাখ্যা

আসল, P = ২০০০, r = ১০%, n = ২ বছর
∴ সুদাসল = P(1+r)ⁿ = ২০০০ × (১ + (১০/১০০))^২
= ২০০০ × {(১১০ × ১১০) / (১০০ × ১০০)} = ২৪২০
∴ সুদ = ২৪২০ - ২০০০ = ৪২০ টাকা

৭৩৬.

আমেরিকা ও বাংলাদেশের ৩ জন করে কূটনীতিবিদ গোলটেবিল বৈঠকে মিলিত হলে তারা কত উপায়ে বসতে পারেন যেন দুই দেশের কূটনীতিবিদ পাশাপাশি না বসেন?

ক
6 উপায়ে
খ
8 উপায়ে
গ
12 উপায়ে
ঘ
16 উপায়ে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আমেরিকা ও বাংলাদেশের ৩ জন করে কূটনীতিবিদ গোলটেবিল বৈঠকে মিলিত হলে তারা কত উপায়ে বসতে পারেন যেন দুই দেশের কূটনীতিবিদ পাশাপাশি না বসেন?

সমাধান:
একজন বাংলাদেশীকে স্থির রেখে বাকী দুজনকে বিন্যাস করা যায় = 2! উপায়ে
তিনজন আমেরিকানকে বিন্যাস করা যায় = 3! উপায়ে

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 2! × 3!
= 2 × 3 × 2
= 12

৭৩৭.

একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 3। লব থেকে 1 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা 1/3 এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?

ক
5/8
খ
4/7
গ
7/10
ঘ
8/11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 3। লব থেকে 1 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা 1/3 এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশের লব = x
ভগ্নাংশের হর = x + 3

ভগ্নাংশটি = x/(x + 3)

প্রশ্নমতে,
(x - 1)/(x + 3 + 2) = 1/3
⇒ (x - 1)/(x + 5) = 1/3
⇒ 3x - 3 = x + 5
⇒ 3x - x = 5 + 3
⇒ 2x = 8
⇒ x = 4

∴ ভগ্নাংশটি = 4/(4 + 3) = 4/7

৭৩৮.

ক, খ ও গ ২৮০ টাকা নিয়ে কারবার শুরু করল। ক ও খ এর মূলধন সমান কিন্তু গ এর মূলধন ২০ টাকা কম। মোট ৫৬ টাকা লাভ হলে, গ কত টাকা লাভ পাবে?

ক
১২ টাকা
খ
১৪ টাকা
গ
১৬ টাকা
ঘ
১৮ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ক, খ ও গ ২৮০ টাকা নিয়ে কারবার শুরু করল। ক ও খ এর মূলধন সমান কিন্তু গ এর মূলধন ২০ টাকা কম। মোট ৫৬ টাকা লাভ হলে, গ কত টাকা লাভ পাবে?

সমাধান:
ধরি,
ক ও খ এর মূলধন = x টাকা
∴ গ এর মূলধন = (x - ২০) টাকা

প্রশ্নমতে,
x + x + (x - ২০) = ২৮০
বা, x + x + x - ২০ = ২৮০
বা, ৩x = ২৮০ + ২০
বা, ৩x = ৩০০
বা, x = ৩০০/৩
∴ x = ১০০

ক, খ ও গ এর মূলধনের অনুপাত = x : x : (x - ২০)
= ১০০ : ১০০ : (১০০ - ২০)
= ১০০ : ১০০ : ৮০
= ৫ : ৫ : ৪

∴ অনুপাতটির রাশিগুলোর সমষ্টি = (৫ + ৫ + ৪)
= ১৪

∴ গ লাভ পাবে = {৫৬ × (৪/১৪)} টাকা
= ১৬ টাকা ।

৭৩৯.

log_x324 = 4 হলে, x²এর মান কত?

ক
15
খ
18
গ
14
ঘ
12

ব্যাখ্যা

log_x324 = 4
বা, x⁴= 324
বা, x⁴ = (3√2)⁴
বা, x = 3√2

x² = (3√2)²= 9.2 = 18

৭৪০.

প্রদত্ত

ক
3/4
খ
4
গ
1/2
ঘ
2/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্ত

সমাধান:

= log₁₆(4¹ × 4^1/3)
= log₁₆4^{(1 + 1/3)}
= log₁₆4^4/3
= log₁₆(16^1/2)^4/3
= log₁₆16^2/3
= (2/3) × log₁₆16
= (2/3) × 1
= 2/3

৭৪১.

দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গু যথাক্রমে ২৫২ ও ৬। একটি সংখ্যা ৪২ হলে, অপরটি কত?

ক
৪২
খ
৩৬
গ
২৪
ঘ
৪৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গু যথাক্রমে ২৫২ ও ৬। একটি সংখ্যা ৪২ হলে, অপরটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু = ২৫২
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু = ৬
একটি সংখ্যা ৪২

আমরা জানি,
১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. × সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু.
⇒ ২য় সংখ্যা = (সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. × সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু.)/১ম সংখ্যা
∴ ২য় সংখ্যা = (২৫২ × ৬)/৪২
= ৩৬

৭৪২.

পিতা এবং পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৬৪ বছর। ৪ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত ৭ : ২ হবে। পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

ক
১২ বছর
খ
১৪ বছর
গ
১৮ বছর
ঘ
২০ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিতা এবং পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৬৪ বছর। ৪ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত ৭ : ২ হবে। পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
৪ বছর পরে পিতার বয়স হবে = ৭ক বছর
৪ বছর পরে পুত্রের বয়স হবে = ২ক বছর

তাহলে,
পিতার বর্তমান বয়স = (৭ক - ৪) বছর
পুত্রের বর্তমান বয়স = (২ক - ৪) বছর

প্রশ্নমতে,
৭ক - ৪ + ২ক - ৪ = ৬৪
⇒ ৯ক = ৬৪ + ৮
⇒ ৯ক = ৭২
∴ ক = ৮

সুতরাং, পুত্রের বর্তমান বয়স = (২ × ৬) - ৪
= ১৬ - ৪
= ১২ বছর

৭৪৩.

যদি x - y = 6 , x² - y² = 60 হয়, তবে x + y এর মান কত?

ক
15
খ
4
গ
12
ঘ
10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x - y = 6 , x² - y² = 60 হয়, তবে x + y এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x - y = 6
x² - y² = 60

x² - y² = (x + y)(x - y)
⇒ 60 = (x + y) × 6
∴ (x + y) = 60/6
= 10

৭৪৪.

x - y = √12 এবং xy = 1 হলে, x² + y² =?

ক
ক) 10
খ
খ) 12
গ
গ) 14
ঘ
ঘ) 16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - y = √12 এবং xy = 1 হলে, x² + y² =?

সমাধান:
x - y = √12
⇒ (x - y)² = (√12)²
∴ (x - y)² = 12

xy = 1

(x - y)² = x² - 2xy + y²
⇒ 12 = x² + y² - 2 × 1
⇒ 12 = x²+ y² - 2
∴ x² + y² = 12 + 2
= 14

৭৪৫.

a - [a - (a + 1)] = কত?

ক
a + 1
খ
a - 1
গ
1
ঘ
a

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - [a - (a + 1)] = কত?

সমাধান:
a - [a - (a + 1)]
= a - [a - a - 1]
= a - a + a + 1
= a + 1

৭৪৬.

একটি চতুর্ভুজের তিন কোণের সমষ্টি ২৮০° হলে চতুর্থ কোণটি কত?

ক
৬০°
খ
৭০°
গ
৮০°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের তিন কোণের সমষ্টি ২৮০° হলে চতুর্থ কোণটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
চতুর্ভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ২৮০°

সুতরাং, চতুর্থ কোণটি= (৩৬০ - ২৮০)°
= ৮০°

৭৪৭.

নৌকার গতি স্রোতের অনুকূলে ঘণ্টায় ১০ কি.মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ঘণ্টায় ২ কি.মি.। স্রোতের গতিবেগ কত?

ক
২ কি.মি./ঘণ্টা
খ
৪ কি.মি./ঘণ্টা
গ
৬ কি.মি./ঘণ্টা
ঘ
৫ কি.মি./ঘণ্টা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নৌকার গতি স্রোতের অনুকূলে ঘণ্টায় ১০ কি.মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ঘণ্টায় ২ কি.মি.। স্রোতের গতিবেগ কত?

সমাধান:
স্রোতের বেগ = (স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ - স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ) /২
= (১০ - ২)/২
= ৪ কি.মি./ঘণ্টা

৭৪৮.

দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৩ : ৫ হলে তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

ক
৩ : ৫
খ
২৭ : ১২৫
গ
৯ : ২৫
ঘ
৩ : ১০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৩ : ৫ হলে তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৩ক ও ৫ক

ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(৩ক)^২ : π(৫ক)^২
= ৯ : ২৫

৭৪৯.

শতকরা বার্ষিক ৫ টাকা হার সুদে কত টাকায় ৫ বছরের সুদাসল ৯০০ টাকা হবে?

ক
৮২০ টাকা
খ
৬২০ টাকা
গ
৭১০ টাকা
ঘ
৭২০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ৫ টাকা হার সুদে কত টাকায় ৫ বছরের সুদাসল ৯০০ টাকা হবে?

সমাধান:
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫ টাকা
∴ ১০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = (৫ × ৫) টাকা = ২৫ টাকা

∴ ১০০ টাকার ৫ বছরে সুদে আসলে = (১০০ + ২৫) = ১২৫ টাকা।

প্রশ্নমতে,
সুদাসল ১২৫ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
∴ সুদাসল ১ টাকা হলে আসল = ১০০/১২৫ টাকা
∴ সুদাসল ৯০০ টাকা হলে আসল = (১০০ × ৯০০)/১২৫ টাকা
= ৭২০ টাকা।

৭৫০.

একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দেড়গুণ, এর ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গ মি, হলে পরিসীমা কত?

ক
ক) ৬০ মিটার
খ
খ) ৫০ মিটার
গ
গ) ৪০ মিটার
ঘ
ঘ) ৩০ মিটার

ব্যাখ্যা

ঘরের বিস্তার x মি. হলে, দৈর্ঘ্য = 3x/2 মি.
∴ ক্ষেত্রফল = (x × 3x/2) = 3x²/2বর্গমিটার।
প্রশ্নমতে, 3x²/2= 216
=> x² = 144
∴ x = 12
∴ দৈর্ঘ্য = 18মি.
ঘরটির পরিসীমা = 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ (18+ 12) = 60 মি.

৭৫১.

4% হার মুনাফায় কোনো টাকায় 2 বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য 1 টাকা হলে মূলধন কত?

ক
625 টাকা
খ
640 টাকা
গ
720 টাকা
ঘ
750 টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4% হার মুনাফায় কোনো টাকায় 2 বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য 1 টাকা হলে মূলধন কত?

সমাধান:
ধরি,
মূলধন = P

এখানে,
মুনাফার হার, r = 4%
সময়, n = 2 বছর
সরল মুনাফা = Pnr
= P × 2 × (4/100)
= 2P/25

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = P{1 + (4/100)}² - P
= P{1 + (1/25)}² - P
= P(26/25)² - P
=(676P/625) - P
= (676P - 625P)/625
= 51P/625

প্রশ্নমতে,
(51P/625) - (2P/25) = 1
⇒ (51P - 50P)/625 = 1
⇒ P/625 = 1
⇒ P = 625 টাকা

৭৫২.

তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে তাদের যোগফল কত হবে?

ক
ক) ১২
খ
খ) ১৪
গ
গ) ১৫
ঘ
ঘ) ৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে তাদের যোগফল কত হবে?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা তিনটি (x-1), x এবং (x+1)

প্রশ্নমতে,
(x-1).x.(x+1) = 120
⇒ x³ - x = 120
⇒ x³ - x - 120 = 0
⇒ x³ - 5x² + 5x² - 25x + 24x - 120 = 0
⇒ x²(x-5) + 5x(x-5) + 24(x-5) = 0
⇒ (x-5)(x²+5x+24) = 0
∴ x = 5 ( অন্যান্য মানগুলিকে উপেক্ষা করে)

∴ ক্রমিক সংখ্যা তিনটি = 4,5 এবং 6

∴ ক্রমিক সংখ্যা তিনটির যোগফল = 4 + 5 + 6 =15

৭৫৩.

- ৩, - ১, ০, ১, ৩ পাঁচটি সংখ্যা থেকে একটি সংখ্যা ক বাছাই করা হলো। ক^২> ০ হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

ক
২/৫
খ
৩/৪
গ
৪/৫
ঘ
২/৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - ৩, - ১, ০, ১, ৩ পাঁচটি সংখ্যা থেকে একটি সংখ্যা ক বাছাই করা হলো। ক^২> ০ হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
(- ৩)^২ = ৯
(- ১)^২ = ১
০^২ = ০
১^২ = ১
৩^২ = ৯

একটি ঘটনা ছাড়া বাকি ৪ টিতেই শুন্য থেকে বড় সংখ্যা পাওয়া যাবে।
∴ সম্ভাব্যতা = ৪/৫

৭৫৪.

একট ছোঁকা নিপেক্ষ করলে ৪ উঠার সম্ভাবনা কত?

ক
১/৬
খ
১
গ
০
ঘ
২/৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একট ছোঁকা নিপেক্ষ করলে ৪ উঠার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কায় (ছোঁকা) ৬টি মুখ আছে।
সুতরাং, মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = ৬

আবার,
৪ উঠার ঘটনা মাত্র ১টি (কারণ শুধুমাত্র একটি মুখে ৪ লেখা থাকে)।
অতএব, অনুকূল ঘটনা সংখ্যা = ১

∴ P(৪ উঠার সম্ভাবনা) = অনুকূল ঘটনা সংখ্যা/মোট ঘটনা সংখ্যা
= ১/৬

৭৫৫.

কোন সংখ্যা ২৫% হ্রাস পেলে ২১০ হবে?

ক
২৮০
খ
২৯৫
গ
৩০০
ঘ
৩২০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যা ২৫% হ্রাস পেলে ২১০ হবে?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
২৫% হ্রাস পেলে দাঁড়ায় = ১০০% - ২৫% = ৭৫%

প্রশ্নমতে,
ক এর ৭৫% = ২১০
⇒ ক × (৭৫/১০০) = ২১০
⇒ ক × ৩/৪ = ২১০
⇒ ৩ক = ৮৪০
⇒ ক = ৮৪০/৩
∴ ক = ২৮০

৭৫৬.

যদি 2y = 2x − 4 এবং 4x − 5y = 3 হয়, তাহলে x ও y এর মান কত?

ক
x = 5 এবং y = 7
খ
x = 3 এবং y = 7
গ
x = 2 এবং y = 5
ঘ
x = 7 এবং y = 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 2y = 2x − 4 এবং 4x − 5y = 3 হয়, তাহলে x ও y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2y = 2x − 4
বা, 2y = 2 (x − 2)
বা, y = 2 (x − 2)/2
∴ y = x − 2 ............... (¡)

আবার,
4x − 5y = 3
বা, 4x − 5(x − 2) = 3 [y এর মান বসিয়ে]
বা, 4x − 5x + 10 = 3
বা, − x = 3 - 10
বা, − x = − 7
∴ x = 7

x এর মান (¡) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
y = 7 − 2
∴ y = 5

∴ নির্ণেয় মান = (x = 7 এবং y = 5) ।

৭৫৭.

27^{x + 1} = 243 হলে, x এর মান কোনটি?

ক
2
খ
2/3
গ
3
ঘ
1/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 27^{x + 1} = 243 হলে, x এর মান কোনটি?

সমাধান:
দেয়া আছে,
27^x+1= 243
⇒ 3^{3(x + 1)} = 3⁵
⇒ 3^{3x + 3} = 3⁵
⇒ 3x + 3 = 5
⇒ 3x = 5 - 3
∴ x = 2/3

৭৫৮.

(০.০৩/১০)^২ =?

ক
ক) ০.০০৯
খ
খ) ০.০০০৯
গ
গ) ০.০০০০৯
ঘ
ঘ) ০.০০০০০৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (০.০৩/১০)^২ =?

সমাধান:
(০.০৩/১০)^২
= (০.০০৩)^২
= ০.০০০০০৯

৭৫৯.

এক ব্যক্তির বেতন ১ মাসে ২০% বৃদ্ধি পেল। কিন্তু পরের মাসে ২০% কমে গেল। এতে ঐ ব্যক্তির বেতন শতকরা কত হ্রাস পায়?

ক
২%
খ
৮%
গ
৬%
ঘ
৪%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির বেতন ১ মাসে ২০% বৃদ্ধি পেল। কিন্তু পরের মাসে ২০% কমে গেল। এতে ঐ ব্যক্তির বেতন শতকরা কত হ্রাস পায়?

সমাধান:
ধরি,
ব্যক্তির মাসিক বেতন = ১০০ টাকা

২০% বৃদ্ধিতে মাসিক বেতন দাঁড়ায় = ১০০ × (১২০/১০০) টাকা
= ১২০ টাকা

২০% হ্রাসে মাসিক বেতন দাঁড়ায় = ১২০ × (৮০/১০০) টাকা
= ৯৬ টাকা

∴ শতকরা হ্রাস পায় = ১০০ - ৯৬ = ৪ টাকা

৭৬০.

a - 1/a = 2 হলে a² + (1/a)² এর মান কত?

ক
4
খ
5
গ
6
ঘ
7

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, a - 1/a = 2
এখন, a² + (1/a)²
= (a - 1/a)² + 2. a. 1/a
= 2² + 2
= 4 + 2
= 6

৭৬১.

কোন সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশ ও এক-চতুর্থাংশের পার্থক্য ৩?

ক
১২
খ
২৪
গ
৩৬
ঘ
৪৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশ ও এক-চতুর্থাংশের পার্থক্য ৩?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক/৩) - (ক/৪) = ৩
⇒ (৪ক - ৩ক)/১২ = ৩
⇒ ক /১২ = ৩
∴ ক = ৩৬

৭৬২.

∠x হলো ∠y এর দ্বিগুণ। ∠x ও ∠y পরস্পর পূরককোণ হলে ∠x এর মান কত?

ক
ক) 30°
খ
খ) 60°
গ
গ) 45°
ঘ
ঘ) 50°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ∠x হলো ∠y এর দ্বিগুণ। ∠x ও ∠y পরস্পর পূরককোণ হলে ∠x এর মান কত?

সমাধান:
∠y = ∠x/2

শর্তমতে,
∠x + ∠y = 90°
বা, ∠x + ∠x/2 = 90°
বা, (3∠x)/2 = 90°
বা, ∠x = (90° × 2)/3
∴ ∠x = 60°

৭৬৩.

যদি (1/2) + (1/x) = 2 হয়, তাহলে x এর মান কত?

ক
2/3
খ
3/2
গ
5/2
ঘ
2/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (1/2) + (1/x) = 2 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
(1/2) + (1/x) = 2
⇒ 1/x = 2 - 1/2
⇒ 1/x = 3/2
∴ x = 2/3

৭৬৪.

৪৫° এর সম্পূরক কোণের ১/৪ অংশ এবং পূরক কোণের পার্থক্য কত?

ক
১১.২৫°
খ
১১.৭৫°
গ
১২.২৫°
ঘ
১১.৫০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪৫° এর সম্পূরক কোণের ১/৪ অংশ এবং পূরক কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান:
কোণটি = ৪৫°
পূরক কোণ = ৯০° - ৪৫° = ৪৫°
সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৪৫° = ১৩৫°
সম্পূরক কোণের ১/৪ = ৩৩.৭৫°

পার্থক্য = ৪৫° - ৩৩.৭৫°
= ১১.২৫°

৭৬৫.

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভূজের AD কে E পর্যন্ত বর্ধিত করা হলে ∠CDE = ?

ক
ক) ∠ADC
খ
খ) ∠BAD
গ
গ) ∠ABC
ঘ
ঘ) ∠BCD

ব্যাখ্যা

এখানে,
∠ABC = ১৮০° - ∠ADC
আবার,
∠CDE = ১৮০° - ∠ADC
∴ ∠CDE = ∠ABC

৭৬৬.

5logx + 5logy = log243 হলে xy এর মান কত?

ক
5
খ
3
গ
2
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5logx + 5logy = log243 হলে xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5logx + 5logy = log243
⇒ logx⁵ + logy⁵ = log3⁵
⇒ log(xy)⁵ = log3⁵
⇒ (xy)⁵ = 3⁵
∴ xy = 3

৭৬৭.

AB ও CD সরলরেখাদ্বয় 'O' বিন্দুতে ছেদ করলে নিচের কোন গাণিতিক বাক্যটি সঠিক হবে?

ক
∠AOD = ∠BOC
খ
∠AOD = ∠BOD
গ
∠BOC = ∠AOC
ঘ
∠AOD > ∠BOC

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: AB ও CD সরলরেখাদ্বয় 'O' বিন্দুতে ছেদ করলে নিচের কোন গাণিতিক বাক্যটি সঠিক হবে?

সমাধান:
দুইটি সরল রেখা পরস্পর ছেদ করলে বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হয়।
∠AOD = ∠BOC এবং ∠AOC = ∠BOD

৭৬৮.

Δ ABC সমবাহু ত্রিভুজ এবং AB||CE হলে 1/2 ∠ACE = ?

ক
ক) 20°
খ
খ) 30°
গ
গ) 40°
ঘ
ঘ) 50°

ব্যাখ্যা

ΔABC - এ সমবাহু
∴ ∠BAC = 60°
আবার,
AB||CE এবং AC ছেদক,
∴ ∠ACE = ∠BAC = 60°
∴ 1/2 ∠ACE = 30°

৭৬৯.

যদি 0 ≤ x ≤ 4 এবং y < 6 হয় তাহলে নিচের কোনটি xy এর মান হতে পারে না?

ক
-2
খ
0
গ
6
ঘ
24

ব্যাখ্যা

y < 6 তাই y এর মান সকল ঋণাত্মক সংখ্যা এবং 6 এর চেয়ে ছোট এবং x এর মান 0, 1, 2, 3, 4, 5
তাই এই শর্তে উপরের তিনটি সংখ্যাই সম্ভব তাই 24 হওয়া সম্ভব নয়

৭৭০.

২০ক পরিসীমা বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ক - ৩ হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
৪ক + ৩
খ
২ক + ৪
গ
ক + ৬
ঘ
৩ক + ৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২০ক পরিসীমা বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ক - ৩ হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = খ

প্রশ্নমতে,
২(৬ক - ৩ + খ) = ২০ক
⇒ ১২ক - ৬ + ২খ = ২০ক
⇒ ২খ = ২০ক - ১২ক + ৬
⇒ ২খ = ৮ক + ৬
∴ খ = ৪ক + ৩

৭৭১.

log_x 1/27 = 3 হলে x-এর মান কত?

ক
ক) -1/3
খ
খ) -3
গ
গ) 1/3
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

log_x 1/27 = 3
⇒X₃ = 1/27
∴ x= 1/3

৭৭২.

রাসেলের ব্যয় ও আয়ের অনুপাত ১৫ : ২০ হলে, তার মাসিক সঞ্চয় মাসিক আয়ের শতকরা কত ভাগ?

ক
১৫%
খ
২০%
গ
২২%
ঘ
২৫%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রাসেলের ব্যয় ও আয়ের অনুপাত ১৫ : ২০ হলে, তার মাসিক সঞ্চয় মাসিক আয়ের শতকরা কত ভাগ?

সমাধান:
রাসেলের ব্যয় ১৫ক, আয় ২০ক টাকা
সঞ্চয় = ২০ক - ১৫ক
= ৫ক

তার মাসিক সঞ্চয় মাসিক আয়ের শতকরা = (৫ক/২০ক) × ১০০%
= ২৫%

৭৭৩.

x² - y², x³ - y³, x⁴ + x²y² + y⁴ রাশিগুলির গ.সা.গু কত?

ক
ক) x + y
খ
খ) x - y
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - y², x³ - y³, x⁴ + x²y² + y⁴ রাশিগুলির গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x² - y²
= (x + y)(x - y)

২য় রাশি = x³ - y³
= (x - y)(x² + xy + y²)

৩য় রাশি = x⁴ + x²y² + y⁴
= (x²)² + 2x².y² + (y²)²- x²y²
= (x² + y²)²-(xy)²
= (x² + xy + y²)(x² - xy + y²)

নির্ণেয় গ.সা.গু = 1

৭৭৪.

ফাঁকা সেটের কয়টি উপসেট রয়েছে?

ক
শূন্য
খ
তিনটি
গ
একটি
ঘ
অসংখ্য

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ফাঁকা সেটের কয়টি উপসেট রয়েছে?

সমাধান:
→ ফাঁকা সেটকে প্রকাশ করা হয় ∅ বা { } চিহ্ন দ্বারা।
→ A একটি ফাঁকা সেট হলে, A এর উপাদান সংখ্যা, n(A) = 0
→ অর্থাৎ ফাঁকা সেট হলো একটি সসীম সেট।

• যদি কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হয়, তাহলে সেই সেটের উপসেটের সংখ্যা হয় 2ⁿ।
ফাঁকা সেটে কোনো উপাদান নেই, অর্থাৎ n = 0।
তাহলে উপসেটের সংখ্যা হবে = 2ⁿ = 2⁰ = 1

অতএব, ফাঁকা সেটের একমাত্র উপসেট হচ্ছে ফাঁকা সেট।

৭৭৫.

a ≠ 0 এবং a ধনাত্মক হলে a (x + b) < c অসমতাটির সমাধান কত?

ক
x > (c/a) - b
খ
x > b/a
গ
x < (c/a) - b
ঘ
x < a/b

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a ≠ 0 এবং a ধনাত্মক হলে a (x + b) < c অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতা = a (x + b) < c
বা, {a (x + b)}/a < c/a
বা, x + b < c/a
বা, x < (c/a) - b

৭৭৬.

৫ঃ১৬ , ৭ঃ২, ৩ঃ৬ এর মিশ্র অনুপাত কত?

ক
ক) ৩৫ঃ৬৪
খ
খ) ২২ঃ৮৮
গ
গ) ৬৪ঃ২৪
ঘ
ঘ) ৬৫ঃ৯৮

ব্যাখ্যা

৫ঃ১৬ , ৭ঃ২, ৩ঃ৬ = ৫ঃ১৬ , ৭ঃ২, ১ঃ২
∴ মিশ্র অনুপাত = (৫ × ৭ × ১) ঃ (১৬ × ২ × ২) = ৩৫ঃ৬৪

৭৭৭.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় ২০ সে.মি. ও ১০ সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

ক
৬০ বর্গ সে.মি.
খ
১০০ বর্গ সে.মি.
গ
৩০ বর্গ সে.মি.
ঘ
২০০ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় ২০ সে.মি. ও ১০ সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ২০ × ১০ বর্গ সে.মি.
= ১০০ বর্গ সে.মি.

৭৭৮.

প্রতি বর্গমিটার ৮.৫ টাকা দরে একটি রুমের মেঝে তৈরী করতে মোট খরচ ১০২০ টাকা। রুমটির প্রস্থ ৭.৫ মিটার হলে দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
৮ মিটার
খ
১২ মিটার
গ
১৬ মিটার
ঘ
২০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রতি বর্গমিটার ৮.৫ টাকা দরে একটি রুমের মেঝে তৈরী করতে মোট খরচ ১০২০ টাকা। রুমটির প্রস্থ ৭.৫ মিটার হলে দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
মেঝের ক্ষেত্রফল = (মোট খরচ ÷ প্রতি বর্গমিটারে খরচ)
= (১০২০/৮.৫) বর্গমিটার
= ১২০ বর্গমিটার

আবার,
দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল
বা, দৈর্ঘ্য × ৭.৫ = ১২০
বা, দৈর্ঘ্য = ১২০/৭.৫
∴ দৈর্ঘ্য = ১৬ মিটার

৭৭৯.

একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৬ মিটার । চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত?

ক
২৮ মিটার
খ
২৪ মিটার
গ
২২ মিটার
ঘ
১৪ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৬ মিটার । চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য = ৮ মিটার
চতুর্ভুজের প্রস্থ = ৬ মিটার

আমরা জানি,
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
= ২ (৮ + ৬) মিটার
= ২ × ১৪ মিটার
= ২৮ মিটার।

৭৮০.

যদি A = {x, y} এবং B = {1, 2, 3} হয়, তাহলে A × B =?

ক
{(1, x), (2, x), (3, x), (1, y), (2, y), (3,y)}
খ
{(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3,y)}
গ
{(x, 1), (x, 2), (x, 3), (y, 1), (y, 2), (y, 3)}
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A = {x, y} এবং B = {1, 2, 3} হয়, তাহলে A × B =?

সমাধান:
A × B = {x, y} × {1, 2, 3}
= {(x, 1), (x, 2), (x, 3), (y, 1), (y, 2), (y, 3)}

৭৮১.

8, 32 এবং 128 এর জ্যামিতিক গড় কত?

ক
64
খ
56
গ
48
ঘ
32

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8, 32 এবং 128 এর জ্যামিতিক গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় বা জ্যামিতিক গড় =

∴ 8, 32 এবং 128 এর জ্যামিতিক গড় = (8 × 32 × 128)^1/3
= (2³ × 2⁵ × 2⁷)^1/3
= (2¹⁵)^1/3
= 2⁵
= 32

৭৮২.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও পরিসীমার অনুপাত ১ঃ৪ হলে,এর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ এর অনুপাত কত হবে?

ক
ক) 1:2
খ
খ) 2:1
গ
গ) 1:1
ঘ
ঘ) None of them

ব্যাখ্যা

ধরি, দৈর্ঘ্য ও পরিসীমা যথাক্রমে x ও 4x এবং প্রস্থ y
প্রশ্নমতে,
2(x + y) = 4x
বা, 2x + 2y = 4x
বা, 2y = 4x - 2x
বা, 2y = 2x
বা, y = x
সুতরাং দৈর্ঘ্য;প্রস্থ = x:y = x:x = 1:1

মনে রাখতে হবে, সকল বর্গক্ষেত্রই এক ধরণের আয়তক্ষেত্র।

৭৮৩.

পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ২১০ হলে, তাদের যোগফল কত হবে?

ক
১২
খ
১৪
গ
১৮
ঘ
১০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ২১০ হলে, তাদের যোগফল কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
২১০ = ২ × ৩ × ৫ × ৭
= ৫ × ৬ × ৭

সুতরাং,
সংখ্যা তিনটি ৫, ৬, ৭

এদের যোগফল, ৫ + ৬ + ৭
= ১৮

৭৮৪.

১৫ জন ছাত্র থেকে ৫ জন করে ছাত্র নিয়ে মোট কত উপায়ে দল গঠন করা যাবে?

ক
৩০০৩
খ
৭৫
গ
৩৫০০
ঘ
৭৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৫ জন ছাত্র থেকে ৫ জন করে ছাত্র নিয়ে মোট কত উপায়ে দল গঠন করা যাবে?

সমাধান:
মোট দল গঠন করার উপায়= ^১৫C_৫ = ৩০০৩

৭৮৫.

1² + 2² + 3² + .......... + 30² = কত?

ক
2550
খ
9455
গ
5050
ঘ
8060

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + .......... + 30² = কত?

সমাধান:
ধারারটির যোগফল = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {30(30 + 1)(2 ⋅ 30 + 1)}/6 [দেওয়া আছে, n = 30]
= (30 · 31 · 61)/6
= 9455

∴ ধারাটির সমষ্টি 9455

৭৮৬.

একজন আপেল ব্যবসায়ী এক বাক্স আপেল কেজি প্রতি ১৪০ টাকা দরে ক্রয় করে সব আপেল কেজি প্রতি ১৩২ টাকা দরে বিক্রয় করায় ১২৪০ টাকা ক্ষতি হয়। তিনি কত কেজি আপেল ক্রয় করেছিলেন?

ক
১৫০ কেজি
খ
১৫৫ কেজি
গ
২০০ কেজি
ঘ
১২০ কেজি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন আপেল ব্যবসায়ী এক বাক্স আপেল কেজি প্রতি ১৪০ টাকা দরে ক্রয় করে সব আপেল কেজি প্রতি ১৩২ টাকা দরে বিক্রয় করায় ১২৪০ টাকা ক্ষতি হয়। তিনি কত কেজি আপেল ক্রয় করেছিলেন?

সমাধান:
ধরি,
আপেল ক্রয় করেছিলেন = ক কেজি

প্রশ্নমতে,
১৪০ক - ১৩২ক = ১২৪০
⇒ ৮ক = ১২৪০
⇒ ক = ১২৪০/৮
∴ ক = ১৫৫ কেজি

৭৮৭.

cot(θ - 30°) = 1/√3 হলে, cosθ এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
√3/2
ঘ
1/√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cot(θ - 30°) = 1/√3 হলে, cosθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cot(θ - 30°) = 1/√3
⇒ cot(θ - 30°) = cot 60°
⇒ θ - 30° = 60°
⇒ θ = 30° + 60°
⇒ θ = 90°

∴ cosθ = cos 90° = 0

৭৮৮.

x এর কোন মানের জন্য log_x(1/256) = - 4 হবে?

ক
3
খ
4
গ
2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর কোন মানের জন্য log_x(1/256) = - 4 হবে?

সমাধান:
log_x(1/256) = - 4
⇒ x^-4 = 1/256
⇒ 1/x⁴ = 1/256
⇒ x⁴ = 256
⇒ x⁴ = 4⁴
∴ x = 4

৭৮৯.

একটি রম্বসের একটি কর্ণ ১০ মিঃ এবং ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গ মিঃ হলে, অপর কর্ণ এবং পরিসীমা নির্ণয় করুন-

ক
ক) ২৪ মিঃ এবং ৫২ মিঃ
খ
খ) ২০ মিঃ এবং ৫০ মিঃ
গ
গ) ২৪ মিঃ এবং ১০ মিঃ
ঘ
ঘ) ১৫ মিঃ এবং ৫০ মিঃ

ব্যাখ্যা

রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ (দুই কর্নের গুনফল) = ১২০
১/২ x ১০ x AC = ১২০
AC = ২৪ মিঃ
রম্বসের কর্নদ্বয় পরষ্পরকে সমকোনে সমদ্বিখন্ডিত করে।
AO = OC = 12 এবং BO = OD = 5
AOD সমকোনী ত্রিভুজে,
AD² = AO² + OD²
AD = 13
রম্বসের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য ১৩ মিঃ
রম্বসের পরিসীমা = ৪ x ১৩ = ৫২ মিঃ

৭৯০.

cotθ এর বিপরীত অনুপাত কী?

ক
sin⁡θ
খ
cos⁡θ
গ
tan⁡θ
ঘ
sec⁡θ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cotθ এর বিপরীত অনুপাত কী?

সমাধান:
sinθ = 1/cosecθ
cosθ = 1/secθ
tanθ = 1/cotθ
cotθ = 1/tanθ
secθ = 1/cosθ
cosecθ = 1/sinθ

∴ cotθ এর বিপরীত অনুপাত tanθ

৭৯১.

যদি 3^m = 81 হয়, তবে m³ = ?

ক
ক) 9
খ
খ) 16
গ
গ) 27
ঘ
ঘ) 64

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : যদি 3^m = 81 হয়, তবে m³ = ?
সমাধান :
দেওয়া আছে,
3^m = 81
বা, 3^m = 3⁴
বা, m = 4
বা, m³ = 4³
বা, m³ = 64

৭৯২.

একটি সমান্তর অনুক্রমে 5ম পদটি 18 এবং প্রথম 5টি পদের যোগফল 75 হলে প্রথম পদটি কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 10
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a এবং সাধারন অন্তর = d
∴ a + (5 - 1)d =18
a + 4d = 18 -----(1)
এবং 5/2{2a + (5 - 1)d } = 75
2a + 4d = 30 ----(2)
(1) ও (২) সমাধান করে পাই
a = 12; d = 3/2

৭৯৩.

R হলো একটি ধনাত্মক সংখ্যা। সংখ্যাটিকে 8 দিয়ে গুণ করে তার বর্গ করা হলো। এখন বর্গটিকে 4 দিয়ে ভাগ করে তার বর্গমূল করা হলো। বর্গমূলের ফল Q হলে, Q এর মান কত?

ক
3R
খ
4R
গ
7R
ঘ
9R

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: R হলো একটি ধনাত্মক সংখ্যা। সংখ্যাটিকে 8 দিয়ে গুণ করে তার বর্গ করা হলো। এখন বর্গটিকে 4 দিয়ে ভাগ করে তার বর্গমূল করা হলো। বর্গমূলের ফল Q হলে, Q এর মান কত?

সমাধান:

R কে 8 দিয়ে গুণ করে তার বর্গ করা হলো,

R × 8 = 8R
বর্গ: (8R)² = 64R²
বর্গটিকে 4 দিয়ে ভাগ করে তার বর্গমূল করা হলো,

ভাগ: 64R² ÷ 4 = 16R²
বর্গমূল: √(16R²) = 4R
তাহলে, Q = 4R

উত্তর: খ) 4R

৭৯৪.

একটি সামন্তরিকরে একটি কোণ ১০০° হলে, তার বিপরীত কোণের মান কত ?

ক
১০০°
খ
৫০°
গ
২০০°
ঘ
৩০০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকরে একটি কোণ ১০০° হলে, তার বিপরীত কোণের মান কত ?

সমাধান:
সামান্তরিক : যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান্তরাল, তা সামান্তরিক। সামান্তরিকের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে সামান্তরিকক্ষেত্র বলে।

সাধারণ বৈশিষ্ট :
১. সামান্তরিকের বিপরীত শীর্ষকোণগুলো পরস্পর সমান।
২. সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর।
৩. সামান্তরিকের সব বাহু সমান নাও হতে পারে।
৪. সামন্তরিকের কর্ণ একে অপরকে সমান ভাগে ভাগ করে না।

∴ সামান্তরিকের সাধারণ বৈশিষ্ট হতে দেখা যায় যে, সামান্তরিকরে একটি কোণ ১০০° হলে, তার বিপরীত কোণের মানও ১০০° হবে।

৭৯৫.

নিচের কোনটির ক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে?

ক
b² - 4ac < 0
খ
b² - 4ac > 0
গ
b² - 4ac = 0
ঘ
b² - 4ac পূর্ণবর্গ হলে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটির ক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে?

সমাধান:
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

৭৯৬.

২ মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বলকে একটি ঘনক আকৃতির বাক্সে রাখা যায় তবে ঐ বাক্সের পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল -

ক
৬৪ ঘন মি.
খ
৬৪ বর্গ মি.
গ
৯৬ ঘন মি.
ঘ
৯৬ বর্গ মি.

ব্যাখ্যা

বলটির ব্যাস = ২ × ২ = ৪ মিটার = বাক্সের এক বাহুর দৈর্ঘ্য
∴ বাক্সের পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল = ৬ × ৪^২ = ৬ × ১৬ = ৯৬ বর্গ মি.

৭৯৭.

রোমান সংখ্যা MCCLXXXIV-এর মান কত?

ক
784
খ
1284
গ
1234
ঘ
2284

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রোমান সংখ্যা MCCLXXXIV-এর মান কত?

সমাধান:
4 = IV, 10 = X, 50 = L, 100 = C, 500 = D, 1000 = M

MCCLXXXIV = M (1000) + C (100) + C (100) + L (50) + X (10) + X (10) + X (10) + IV (4) = 1284
MCCLXXXIV = 1284

৭৯৮.

'BACHELOR' শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতপ্রকারে সাজানো যায়?

ক
ক) 120
খ
খ) 148
গ
গ) 336
ঘ
ঘ) 163

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'BACHELOR' শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতপ্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
'BACHELOR' শব্দটিতে ৮টি বর্ণ।
প্রতিবারে 3টি করে বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁸P₃ = 336

৭৯৯.

একটি দ্রব্য ৫৭০০ টাকায় বিক্রয় করলে ১৪% লাভ হয়। লাভ কমিয়ে ৮% করা হলে, বিক্রয়মূল্য কত হবে?

ক
৫০২৫ টাকা
খ
৫৩৪০ টাকা
গ
৫৩৭৬ টাকা
ঘ
৫৪০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৫৭০০ টাকায় বিক্রয় করলে ১৪% লাভ হয়। লাভ কমিয়ে ৮% করা হলে, বিক্রয়মূল্য কত হবে?

সমাধান:
১৪% লাভে,
বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১৪) = ১১৪ টাকা

বিক্রয়মূল্য ১১৪ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১১৪ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৫৭০০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৫৭০০)/১১৪ = ৫০০০ টাকা

এখন, ৮% লাভে বিক্রয়মূল্য = ৫০০০ + ৫০০০ এর ৮%
= {৫০০০ + (৫০০০ × ৮)/১০০}
= ৫০০০ + ৪০০
= ৫৪০০ টাকা

৮০০.

ABCD সামন্তরিকের AB = 15 সে.মি. এবং D বিন্দু থেকে AB এর লম্ব দূরত্ব 7 সে.মি.। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

ক
484 বর্গ সে.মি.
খ
105 বর্গ সে.মি.
গ
210 বর্গ সে.মি.
ঘ
274 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABCD সামন্তরিকের AB = 15 সে.মি. এবং D বিন্দু থেকে AB এর লম্ব দূরত্ব 7 সে.মি.। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= 15 × 7
= 105 বর্গ সে.মি.